МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости"

Транскрипт

1 Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./ Сост.: Е.К.Лейнартас, д-р физ.-мат. наук, доцент кафедры теории функций, КрасГУ. Красноярск, c. ISBN МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Модуль 3 для класса Учебно-методическая часть Печатается по решению Дирекции Краевого государственного учреждения дополнительного образования Заочная естественно-научная школа при Красноярском государственном университете Красноярск 006 Красноярский государственный ISBN университет, 006

2 Программа модуля. Координаты точки на плоскости и в пространстве.. Расстояние между точками на плоскости и в пространстве. 3. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. 4. Скалярное произведение векторов. Условие перпендикулярности и колинеарности векторов. 5. Нахождение угла между векторами. Координаты вектора. 6. Уравнения прямой и плоскости. 7. Построение геометрических образов уравнений и неравенств. Введение Величины, встречающиеся в механике, физике и других прикладных науках, могут быть разделены на две категории. К одной из них относятся такие физические или механические величины, которые определяются только числовым значением (числом), например: масса, плотность, температура, объем. К другой категории можно отнести те величины, для определения которых требуется знание не только числового значения, но и направления, например: сила, скорость, ускорение. Величины первой категории называются скалярными, второй векторными. Скалярная величина может быть задана числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единице измерения. Для изображения векторных величин (физических, механических и т. д.) употребляются векторы. Векторами называются направленные отрезки. Это одно из основных понятий раздела математики, который называется аналитической геометрией. Отрезок прямой, ограниченный точками A и B, называется направленным, если указано, какая из этих двух точек является его началом и какая концом. Если обозначим AB направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B, то BA будет означать направленный отрезок с началом B и концом A. Направленные отрезки AB и BA имеют взаимно противоположные направления. Возьмем произвольную прямую. На ней можно установить два взаимно противоположных направления. Выберем любое из них и назовем его положительным (а противоположное направление отрицательным). Прямая с выбранным на ней направлением называется осью. Метод координат начинается с того, что на оси выбирается точка O (начало координат) и единица масштаба (единичный отрезок). При этом сама прямая называется координатной осью (или говорят, что на прямой введена система координат). Введение на прямой системы координат позволяет определить положение точек этой прямой с помощью действительных чисел. Координатой любой точки M прямой называется число x, равное по абсолютной величине расстоянию от начала координат до точки M, положительное, если направление отрезка OM совпадает с направлением координатной оси, и отрицательное, если направление отрезка OM противоположно направлению этой оси.. Векторы на плоскости и в пространстве. Основные определения и свойства Определение. Вектором называется направленный отрезок. Векторы рассматриваются на плоскости (двумерные) и в пространстве (трехмерные). И в том и в другом случае вектор определяется упорядоченной парой точек, первая из которых начало вектора (или его точка приложения), другая конец вектора; вектор направлен от начала к концу. На рисунке вектор изображается стрелкой (рис. ). Для обозначения векторов используются символы, b, x и т. п.; если A и B, соответственно, точки начала и конца вектора, то этот вектор обозначается AB или BA. 3 4

3 Определение. Длина отрезка AB называется длиной вектора AB. Длина вектора обозначается. Определение.3 Если начало вектора совпадает с его концом, вектор называется нулевым (обозначается 0 или 0 r ). Длина нулевого вектора равна нулю. Направленными отрезками изображаются только ненулевые векторы. Рис. Определение.4 Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными или противоположно направленными. Определение.5 Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. На рис. изображены равные векторы и b, а на рис. 3 неравные векторы и b, c и d. Рис. 4 Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами. Напомним определения и основные свойства этих операций. Определение.7 Пусть даны два ненулевых вектора и b (рис. 5). От конца вектора отложим вектор, равный вектору b. Суммой векторов и b называется вектор AC, идущий из начала вектора AB = в конец вектора BC =b. Обозначение: AC =+b. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Рис. Рис. 3 Определение.6 Ненулевые векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными. На рис. 4 изображена треугольная призма ABCA B C. Векторы AC, AB и C B компланарны, а векторы AC, AB и AA компланарными не являются. Рис. 5 Из свойств параллелограмма следует правило параллелограмма сложения векторов: сумма двух неколлинеарных Рис. 6 векторов есть вектор, изображаемый диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, идущей от их общего начала (рис.6). 5 6

4 Если три вектора, b и c некомпланарны, их сумма может быть найдена по правилу параллелепипеда: вектор +b+c изображается диагональю параллелепипеда, построенного на векторах, b и c, имеющих общее начало (рис.7). Рис. 7 Определение.8 Разностью b двух векторов и b называется сумма вектора и вектора, противоположного вектору b. Заметим, что если на векторах и b, отложенных от общего начала O, можно построить параллелограмм (рис.8), то длина диагонали, имеющей то же начало O, равна длине вектора +b, а длина другой диагонали равна длине вектора b. Рис. 8 Определение.9 Произведением ненулевого вектора на число x 0 называется вектор, длина которого равна x. и который сонаправлен вектору при x > 0, и который направлен в противоположную сторону при x<0. Произведение вектора на число x обозначается x. = x. Пример.. Известно, что векторы, b, c попарно не коллинеарны, но вектор +b коллинеарен c, а вектор b+c коллинеарен вектору +b. Найдите сумму +b+c. Решение. По условию найдутся λ 0 и μ 0, такие что +b=λ c и b+c= μ. Вычтем из первого равенства второе, получим c =λ c μ, отсюда + μ = c +λ c. По свойству 5 найдем (+ μ )=(+λ )c. Если + μ 0 или + λ 0, то векторы и c коллинеарны, это противоречит условию задачи, поэтому μ = и λ =, что означает +b = c или +b+c = 0. Произведение нулевого вектора на любое число и произведение любого вектора на нуль по определению считается равным нулевому вектору. Линейные операции над векторами Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:. +b=b+.. (+b)+c=+(b+c) =. 4. x(y )=(xy). 5. x+y=(x+y). 6. x+xb=x (+b) =x. 0=0. Здесь, b, c произвольные векторы; 0 нулевой вектор; x, y произвольные числа. Теорема.. Вектор b коллинеарен ненулевому вектору тогда и только тогда, когда существует такое число x, что b=x. Рис. 9 7 Следствие.. Для неколлинеарных векторов и b равенство x+yb=0 выполняется тогда и только тогда, когда x=y=0. 8

5 Пример.. Векторы и b неколлинеарны. Найти, при каком x векторы c=(x )+b и d=(x+) b будут коллинеарны. Решение. Вектор c ненулевой, так как коэффициент при b отличен от нуля, следовательно, существует такое число y, что d=yc, т. е. (x+) b=y(x )+yb. Так как слагаемые в векторном равенстве можно переносить из одной части в другую, изменяя знаки перед этими слагаемыми на противоположные, то будем иметь (yx y x )+(y+)b=0. Векторы и b неколлинеарны, поэтому yx y x = 0, y + = 0. Решая эту систему, находим y = и x = /3. При x = /3 векторы c и d таковы: 5 5 c = + b, d = b Как легко видеть, они противоположные: d = c. Пусть векторы и b неколлинеарны, отложим их от одной точки: OA = и OB = b (рис. 0). Любой ненулевой вектор c, компланарный с векторами и b, по определению параллелен плоскости OAB. Если построить вектор OC =c, то точка C лежит в плоскости OAB, поэтому говорят, что любые три компланарных вектора можно перенести в одну плоскость. Рис. 0 Теорема.. Если векторы и b неколлинеарны, то вектор c компланарен с векторами и b тогда и только тогда, когда имеет место разложение c=x+yb. Нулевой вектор по определению считается компланарным с любыми двумя векторами. Пример.3. На стороне BC треугольника OBC расположена точка N так, что BN : BC = n (рис. ). Разложить вектор ON по векторам OB и OC. Решение. Векторы BN и BC коллинеарны и сонаправлены, следовательно, BN =x BC и x>0. Поскольку BN=nBC, то x=n и BN =n BC. Так как BC =OC OB и ON =OB + BN, то ON =OB + n(oc OB ) =n OC +( n) OB. Заметим, что при n=/ точка N является серединой стороны BC, а ON медианой треугольника. В этом случае ON = ( OC + OB). Рис. Теорема.3. Если векторы, b и c некомпланарны, то любой вектор d можно единственным образом представить в виде d=x+yb+zc. Это представление называется разложением вектора d по трем некомпланарным векторам, b и c, и вектор d называется линейной комбинацией векторов, b и c. Пример.4. Дана треугольная призма ABCA B C (рис. ). Разложить вектор AA по векторам BA и CB. Решение. По правилу треугольника имеем 9 0

6 AA = AB + BA, BB = BC + CB, CC = CA + AC. Складывая левые и правые части этих векторных равенств, получаем AA + BB + CC = ( AB + BC + CA) + BA + CB + AC. Свойства скалярного произведения. =.. b=b. 3. (x) b=x( b). 4. (+c) b= b+ c b. Пример.5. Найти длину диагонали AC ромба ABCD (рис. 4), у которого длины сторон равны и угол BAD равен 30 о. Рис. Так как AB + BC + CA = AA =0 и AA = BB = CC, то 3 AA = BA + CB + AC и, следовательно, AA = ( BA + CB + AC ). 3 Рис. 4 Решение. По правилу параллелограмма скалярного произведения следует AC = AB + AD. Из свойств Определение.0. Углом между ненулевыми векторами называется угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало. Угол между векторами, как и угол между лучами, может принимать значения от 0 о до 80 о. Рис. 3 Определение.. Векторы и b называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 о. Определение.. Скалярным произведением ненулевых векторов и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и b обозначается b=b. Таким образом, b = b cos(,b). AC = ( AB + AD) = AB + AB AD + AD. Так как AB=AD= и ( AB, AD )=30 о, то AB AD = 3. Учитывая это, получаем AC = + 3, откуда находим AC = + 3. Из определения скалярного произведения сразу следует, что в случае ненулевых векторов и b косинус угла между векторами и b находится по формуле b cos(, b) = b В частности, векторы и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Пример.6. Длины ненулевых векторов и b равны. Найти угол между этими векторами, если известно, что векторы p=+b и q=5 4b перпендикулярны.

7 Решение. Так как векторы p и q перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: p q = (+b) (5 4b)=0. Используя свойства скалярного произведения, получаем ( b) (5 4b)=5 +6 b 8 b. 6 cos(,b) 3 =0. Поскольку 0, то, сокращая на 3, находим cos(,b)=/. Следовательно, угол между векторами и b равен 60 о. Пример.7. Зная, что =, b =5, (,b)= π/3, найти, при каком значении x векторы p =x + 7b и q = 3 b перпендикулярны. Решение. Найдем скалярное произведение векторов и b: π (,b)= b cos(,b)=0 cos = 5. 3 Перпендикулярность векторов p и q означает, что их скалярное произведение равно нулю, найдем его: (p,q) = (x+7b, 3 b) = (x,3) + (x, b) + (7b,3) + (7b, b)= =3x(,) x(,b) + 5(b,) 7(b,b) = = 3x + 5x 55 7 b = = x + 5x = 7x 680. Из уравнения 7x 680 = 0 получим x = Как умножить вектор на число? 8. Какие векторы называются коллинеарными? 9. Какие векторы называются компланарными? 0. Как определяется угол между векторами?. Дайте определение скалярного произведения векторов.. Чему равен угол между противоположными векторами? 3. Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых? 4. Может ли длина разности двух векторов быть равной сумме длин этих векторов?. Координаты вектора. Векторы на плоскости Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат и вектор имеет начало в точке A(x ;y ), а конец в точке B(x ;y ). Определение. Координатами вектора называются два числа = x x и = y y, т.е. упорядоченная пара чисел, равных разностям соответствующих координат конца и начала вектора. Контрольные вопросы.. Что такое вектор? Как обозначаются векторы?. Что такое длина вектора? 3. Что такое нулевой вектор? 4. Какие векторы называются равными? 5. Как можно найти сумму векторов? 6. Как найти разность векторов? Рис. 5 Координаты вектора пишутся рядом с его значением в круглых скобках ( ; ) или = ( ; ). Координаты нулевого вектора равны нулю. 3 4

8 Векторное равенство = b равносильно системе равенств: = b и = b. Пример.. Дана точка A( ;) и вектор = (3;). Найти координаты точки B такой, что AB =. Решение. Пусть (x;y) координаты точки B, тогда AB = (x+;y ). Если = AB, то x+=3 и y =. Отсюда x= и y=3. Определение.. Единичные векторы, имеющие направление положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами. Координатные векторы осей OX и OY принято обозначать i и j (или e и e ). Итак, i(;0), j(0;). Если вектор задан своими координатами ( ; ), то, очевидно, = i+ j. Правила действий над векторами, заданными своими координатами. При сложении векторов ( ; ) и b(b ; b ) их координаты складываются: +b = ( + b ; + b ).. При умножении вектора ( ; ) на число все его координаты умножаются на это число: m = (m ; m ). 3. Скалярное произведение векторов ( ; ) и b(b ; b ) равно сумме произведений соответствующих координат: b= b + b. 4. Длина вектора ( ; ) равна = Векторы ( ; ) и b(b ; b ) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: b + b =0. 6. Векторы ( ; ) и b(b ; b ) коллинеарны, если их координаты пропорциональны: b = b = Пример.. Дан треугольник с вершинами в точках A(;), B( 4;3) и C(;). Найти длину медианы AN. Решение. Пусть O начало координат, тогда OB =( 4; 3) и OC =(;). Если N середина стороны BC, то ON =(OB +OC )/, т.е. координаты середины отрезка BC равны полусумме соответствующих координат точек B и C. Находим тогда N( ;5/) и 0. ON =(( 4+)/;(3+)/), AN = ( ) + ( ) =. 7 Пример.3. Определить угол между векторами c=4+b и d = + b, 4 4 если = i + j и b = I + 3j. Решение. Находим координаты векторов c и d: c = 3i + 7j и d = i + 5j. Вычисляем длины векторов c и d и их скалярное произведение: Далее находим 5 5 c = 58, d = 9, c d = 9. c d 9 cos( c,d) = = = c d Следовательно, угол равен 45 o. 5 6

9 .. Векторы в пространстве Если через некоторую точку O проведены три взаимно перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчета, то говорят, что задана прямоугольная декартова система координат (рис. 6). Прямые называются осями координат, обозначаются OX, OY, OZ и называются: OX ось абсцисс, OY ось ординат, OZ ось аппликат. Их общее начало называется началом координат. Плоскости, проходящие через каждые две координатные оси, называются координатными плоскостями, таких плоскостей три: OXY, OXZ, OYZ. Вся система координат обозначается OXYZ. Пусть M, M, M 3 ортогональные проекции точки M, соответственно, на координатные оси OX, OY, OZ. Точка M как точка координатной прямой OX имеет координату x, аналогично, точки M и M 3 на координатных прямых OY и OZ имеют координаты y и z. Упорядоченная тройка чисел x, y, z называется координатами точки M, координаты пишутся в круглых скобках M(x; y; z). Определение.3. Пусть вектор имеет начало в точке A(x ;y ;z ) и конец в точке B(x ;y ;z ). Три числа =x x, =y y и 3 =z z называются координатами вектора. Обозначение: ( ; ; 3 ) или =( ; ; 3 ). Рис. 6 Равные векторы имеют равные соответствующие координаты; если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны. 7 Определение.4. Единичные векторы, имеющие направление положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами. Координатные векторы оси абсцисс, ординат и аппликат обозначим, соответственно, i, j, k (рис. 7). Рис. 7 Очевидно, i(; 0; 0), j(0;;0), k(0;0;). Определение.5. Если вектор задан своими координатами ( ; ; 3 ), то имеет место равенство = ( i + j + 3 k) которое называется разложением вектора по координатным векторам. Пусть =( ; ; 3 ) и b=(b ;b ;b 3 ). Как и в плоском случае, действия над векторами, заданными своими координатами, выполняются по следующим правилам:. +b=( +b ; +b ; 3 +b 3 ).. m=(m ;m ;m 3 ). 3. b= b + b + 3 b = Векторы и b перпендикулярны, если b + b + 3 b 3 =0. 6. Векторы и b коллинеарны, если b 8 3 = =. b b 3

10 Пример.4. Найти координаты и длину вектора 3b, если =(0;3;) и b=( ;3;). Решение. Находим =(0;6;4), 3b=( 6;9;6) и 3b=(6; 3; ). Теперь 3b = Пример.5. Найти m и n, при которых векторы =(;m; ) и b=( ;3;n) коллинеарны. Решение. Вектор b коллинеарен вектору 0 тогда и только, когда существует число p такое, что b=p. Для данных векторов и b, это векторное равенство равносильно системе =p, 3=pm/, n= p, из которой находим p =, m = 3/, n = 4. Итак, =(; 3/; ); b=( ; 3; 4). Пример.6. Найти, при каком значении m векторы =(; 3; ) и b=( ; m; 4) перпендикулярны. Решение. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Так как b = 9+3m, то b=0 при m=3. Пример.7. Найти координаты единичного вектора, сонаправленного с вектором = (; 3; 6). Решение. Векторы b и сонаправлены, если b=m и m > 0. По условию b =, тогда из равенства b =m находим m =. Далее =7 и m =. Таким образом, b = (,, ) Пример.8. Дан треугольник с вершинами в точках A (3; ; ), B (3; 0; ), C (; ; 5). Найти угол, образованный медианой BD и основанием AC. Решение. Координаты середины отрезка AC равны полусумме соответствующих координат точек A и C (см. пример.). Находим D (; 0; 3). ( AC, DB) ( ) cosϕ = = =. AC DB ( ) ( ) Искомый угол φ =0 о. Пример.9. Найти косинусы углов, которые образует с координатными векторами вектор = (3; 0; 4). Решение. Вычислим скалярные произведения вектора с каждым из координатных векторов. Так как i =(; 0; 0), j =(0; ; 0) и k =(0; 0; ), то i =3, и j = 0; k = 4. Длины координатных векторов равны, вычисляем длину вектора : =5. Теперь находим Контрольные вопросы. i cos(,i) =, i cos(, j) j = j k cos(, k) =. k. Что называется координатами вектора на плоскости? В пространстве?. Что называется координатными векторами (ортами)? Даны координаты векторов и b. 3. Как найти координаты их суммы? 4. Как найти координаты произведения вектора на число? 5. Как найти скалярное произведения векторов? 6. Как найти длину вектора? Далее ищем координаты векторов AC и DB. AC =( ; 4; 4) и DB =(; 0; ). Если φ угол между этими векторами, то 9 0

11 3 Уравнения плоскости В прямоугольной системе координат в пространстве любое уравнение x+by+cz+d=0, () в котором хотя бы один из коэффициентов, b, c отличен от нуля, определяет плоскость. Верно и обратное: каждая плоскость может быть задана уравнением вида (). Пример 3.. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A (0; ; 5), B (3; 0; 0), C ( ; ; 6). Решение. Пусть уравнение этой плоскости x+by+cz+d=0. Координаты точек A, B, C удовлетворяют ему, следовательно, b + 5c + d = 0, 3 + d = 0, + b + 6c + d = 0. Из второго уравнения находим d = 3. Подставляя это в первое и третье уравнения, получим систему b + 5c = 3, b + 6c = 4. Почленно вычитая из первого уравнения второе, получаем c= и тогда находим b =. Уравнение плоскости имеет вид x y+z 3=0 или (так как, b и c одновременно не равны нулю) x y+z 3=0. Определение3.. Ненулевой вектор n = AB называется перпендикулярным плоскости, если прямая AB перпендикулярна этой плоскости. Пусть вектор n = (; b; c) перпендикулярен плоскости, проходящей через точку M (x 0 ; y 0 ; z 0 ). Тогда для любой точки M (x; y; z) этой плоскости Записывая это скалярное произведение в координатах, получаем следующее уравнение плоскости: (x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 )=0, () которое, если положить d = x 0 by 0 cz 0, приводится к виду (). Таким образом, уравнение x+by+cz+d=0 определяет плоскость, перпендикулярную вектору n=(; b; c). Пример 3.. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору n=( ; ; 3). Решение. Подставим в () координаты вектора n и координаты точки M (0; 0; 0), получим уравнение плоскости x+y+3z=0. Определение 3.. Пусть две плоскости пересекаются. Плоскость, перпендикулярная их линии пересечения, пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми не зависит от секущей плоскости и называется углом между плоскостями. Напомним, что если угол между прямыми, а следовательно, и угол между плоскостями равен 90 о, они называются перпендикулярными. Пусть две плоскости заданы уравнениями x+b y+c z+d =0, (3) x+b y+c z+d =0. (4) Эти две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда коллинеарны перпендикулярные им векторы n =( ; b ; c ) и n =( ; b ; c ), т. е. существует такое число m 0, что =m, b =m b, c =m c. Пусть плоскости, заданные уравнениями (3) и (4), пересекаются. Угол между ними равен углу φ между векторами n и n, если 0 ϕ 90, равен 80 о φ, если 90 ϕ 80. векторы n и MM перпендикулярны, следовательно, n MM =0.

12 Рис. 8 И в том и в другом случае cos α = cos φ. Таким образом, косинус угла α между плоскостями, заданными уравнениями (3) и (4), находится по формуле cos n n n n α =. (5) Пример3.3. Найти угол между плоскостями 3y+z+=0 и y+z 5=0. Решение. Векторы n и n, перпендикулярные этим плоскостям, имеют координаты n =(0; 3; ), n =(0; ; ). Найдем длины этих векторов и их скалярное произведение: n = 0, n = 5 ; n n = 5. Тогда по формуле (5) получаем cosα= 5 /( 0 5 )=/, откуда α =45 о. Плоскости, заданные уравнениями (3) и (4), перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы n =( ; b ; c ) и n =( ; b ; c ), т. е. когда n n =0. из которых найдем A, B, C. D D D A =, B =, C =.. b c Подставим в уравнение плоскости и, после несложных преобразований, получим уравнение вида x + y b + z c =. Уравнение (6) называется уравнением плоскости в отрезках. Контрольные вопросы.. Запишите общее уравнение плоскости.. Как по уравнению плоскости найти вектор, перпендикулярный плоскости? 3. Что называется углом между плоскостями? 4. Какие плоскости называются перпендикулярными? 5. Запишите формулу, позволяющую найти угол между плоскостями. 6. Запишите уравнение плоскости в отрезках. (6) Пример 3.4. Написать уравнение плоскости, отсекающей на осях координат отрезки, равные, b, c. Решение. Проведем через точки (; 0; 0), (0; b; 0) и (0; 0; c) плоскость, уравнение которой запишем в виде Ax+By+Cz+D=0. Подставим в уравнение координаты точек (; 0; 0), (0; b; 0) и (0; 0; c), получим соотношения A + D = 0, B b + D = 0, C c + D = 0, 3 4

13 Учебное издание Математика: Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Модуль 3 для класса Учебно-методическая часть Составитель: Евгений Константинович Лейнартас Редактор: О.Ф.Александрова Корректура автора Подписано в печать Формат 60х84/6. Бумага газетная. Печать ризографическая. Усл. печ. л.,5. Тиражируется на электронных носителях Адрес в Internet: zensh.ru/resourses Отдел информационных ресурсов управления информатизации КрасГУ г. Красноярск, пр. Свободный, 79, ауд. -05, e-mil: Издательский центр Красноярского государственного университета г. Красноярск, пр. Свободный, 79, e-mil: 5


Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Обязательный образовательный минимум Класс 9 Предмет Математика Четверть I 1 Степень с целым Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Для любого числа a, на равного нулю, определения

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8.

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8. 0 класс (технологический профиль) 208 209 уч год Геометрия УМК Атанасян ЛС Модуль 8 Тема модуля: «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» В процессе изучения данного модуля ученик научится/получит

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

) вычисляется по формуле

) вычисляется по формуле 5-6 уч. год. 4, кл. Математика. Стереометрия.. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность Практическое занятие 3. Практикум (рекомендации к практической части) МОДУЛЬ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема: Линейные операции над векторами План. Понятие вектора. Основные отношения векторов.. Сложение векторов.

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 0. План лекции 1. Аксиомы геометрии и роль систем координат. 2. Декартова система координат на прямой. 2.1. Ось, направленный отрезок, величина направленного отрезка

Подробнее