РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1"

Транскрипт

1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки и вектора,,, где - начало системы координат x x x x x Применим правило проектирования вектора на числовую ось Проекция вектора на координатную ось равна разности проекций его конца и начала на эту ось, те x x x Утверждение Вектор однозначно определяется тройкой ( x, yz, ) своих проекций на координатные оси, Y, Z Вектор записывается в проекциях так: ( x, y, z), где x x x, y y y, z z z Правило: Проекции вектора равны разности одноименные координаты его конца и начала, кратко Вектор называется радиус-вектором точки Его проекции совпадают с координатами точки Поэтому ( 4;) Аналогично ( ; ) Находим вектор ( ; ) ( 4;) ( ; ) Пример Найти модуль, где ( 4;) и ( ; ) Решение Модуль вектора ( x, y, z) вычисляется по формуле z (см пример ) обозначается вектора и равен длине отрезка Модуль x + y + z Так как векторы расположены на плоскости, то проекция Подставим проекции ( ; ) x y ( ) + + Пример Разложить,,, где ( 4;) и ( ; ) по базису i, j (см пример ) Решение Вектор n называется ортом или единичным вектором, если его модуль равен, те n Орты числовых осей, Y, Z обозначаются i, j, k - это единичные векторы, лежащие на этих осях и имеющие направление этих осей Векторы i, j, k называют базисом трехмерного пространства, а векторы i, j - базисом двумерного пространства ( плоскости Y )

2 Мы говорим, что вектор разложен по базису i, j, k, если его можно представить в виде линейно комбинации базисных векторов, те x i+ y j+ z k, где x, yz, R Выражение x i+ y j+ z k называют линейной комбинацией векторов i, j, k Скаляры (числа) называют координатами вектора x i+ y j+ z k в этом базисе Справедливо утверждение Для прямоугольной системы координат координаты вектора совпадают с его x, y, z x i + y j + z k проекциями, те ( ) Поэтому верно ( ; ) i+ j j i Найдем разложение вектора геометрически, запишем его как сумму + по правилу многоугольника Выражаем i, j Поэтому i + j Ответ: ( ; ) Пример 4 i+ j Вычислить координаты вектора геометрически определить проекции вектора +, где ( ; ), ( ;), ( ; ) Сделать чертеж, Решение Построим на плоскости Y точки,, и векторы,,, сумму + E ( 8;5 ) D При построении вектора мы увеличили вектор в два раза Обозначим D Точка D будет лежать на оси абсцисс (ордината точки D равна нулю) Производим сложение геометрических векторов, по правилу параллелограмма, те вектор + - это диагональ параллелограмма ED Находим координаты векторов, по правилу: из координат конца вектора вычитаем одноименные координаты его начала ; ; ; ; ; 4; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 Умножение вектора на константу и сложение векторов производим покоординатно: ; 4; ; + 8; 9; 5 + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) Итак, получаем: ( 9;5) Переходим ко второй части задачи Находим геометрически проекции ( x; y ) вектора на координатные оси: : x 8 ( ) 9 Y : y ( ) 5 Вопрос Почему точка D лежит на оси абсцисс Для проверки найдите координаты радиус-вектора D Пример 5 Известны три последовательные вершины ( ;), ( 8; ), ( 7;4) Найти координаты вершины D С параллелограмма D D Решение Построим параллелограмм D Применим правило: координаты радиус-вектора ( x; y) совпадают с координатами точки ( x; y ) Поэтому радиус вектор ( ;) Радиус-вектор D точки D находим по правилу многоугольника: D + D При параллельном переносе вектор не меняется, поэтому верно равенство D С 7;4 8; ; ( ) ( ) ( ) + D ( ;) + ( ; ) ( ;) D ( ;) Ответ: D ( ;) Отсюда D D Пример 6 Вычислить модуль вектора, где ( ; ;), ( ; ; 4) Решение Построим точки, Z 4 и вектор в пространстве Найти орт n вектора Сделать чертеж - Y n ; ; 4 ; ; ; 4; 4 Находим проекции вектора ( ) ( ) ( )

4 Модуль вычисляется по формуле Орт n x y z ( ; 4; 4) 6 ; ; ( ) 4 Чтобы построить орт n нужно уменьшить вектор в 6 раз ( во столько раз, какова длина вектора) Пример 7 При каких значениях параметра x два вектора ( x; x ), ( ; x ) + будут коллинеарными? Решение Применим признак коллинеарности векторов - два вектора коллинеарны в том и только том случае, когда их одноименные координаты пропорциональны, x y z x y z Для двумерных векторов ( ) ( ) x x+ x, x y x y x x x + 4, x x x x + Решаем это уравнение x+, x, x С геометрической точки зрения векторы коллинеарны, если один вектор получается из другого растяжением (сжатием) Ответ: x, x Пример Занятие Приложение векторов Построить радиус-вектор точки M ( ;; 4), определить его модуль и направление ( те его направляющие косинусы ) Решение Построим точку ( ;; 4) координатами его конца M ( ;; 4), те ( ;; 4) 4 Z γ M и вектор M Координаты радиуса-вектора M совпадают с M( ;;4) M α Модуль вектора β z4 M x + y + z Y ,4 Направляющие углы - это углы, которые вектор образует с координатными осями Косинусы этих углов называются направляющими косинусами Вычислим их по формулам: x y z 4 cos α, cosβ, cos γ M 9 M 9 M 9 α β γ Единичный вектор n ( cos ; cos ; cos ) является ортом этого вектора) Пример Вектор составляет с осями, Z углы Y ; ; и 4 определяет направление вектора M (те 9 9 Найти угол, который этот вектор составляет с осью

5 5 Решение Сделаем чертеж Построим вектор произвольной длины, который с осями образует заданные направляющие углы α 6, γ 9 Так как γ 9, то это значит, что вектор лежит в плоскости Y Угол α можно откладывать в обе стороны от оси абсцисс Для положения изображенного на чертеже находим β α Z γ β Y α Решим эту задачу аналитически Применим тождество для направляющих косинусов cos α+ cos β+ cos γ cos 6 + cos β+ cos 9, + cos β+, cos β, 4 cosβ± Условию задачи удовлетворяют два вектора, имеющих направляющие углы: β, β 5 Ответ: β, β 5 Пример Построить точку, симметричную точке ( 4;) относительно ( ; ) Решение Симметричные точки, относительно точки лежат на одной прямой и центр симметрии делит отрезок пополам Y Применим формулы середины отрезка x ( x + x) x x + x, x x x По аналогии y y y x 4 6; 5 6;5 Отсюда ( ) y Точка ( ) Выполним точные построения Пример 4 Найти ( геометрически и аналитически ) центр масс системы двух точек ( 4; ), ( ;4) соответственно массы m, m Решение Координаты центра масс системы двух точек:, имеющих

6 x m x + m x m + m ( ) Центр масс ( ; ) делит отрезок в отношении ; y ( ) m y+ m y + 4 m+ m + m, считая от точки m 6 Пример 5 Найти равнодействующую сил i j, Решение Запишем силы в проекциях ( ) ;, приложенных к точке ( ;), ( ) ;, где,,, x y R При построении силы, например ( ; ), смещаемся из точки горизонтально на единицы вправо и на три единицы вверх Равнодействующая равна сумме сил: R + ( ) + ( ) ( ) Пример 6 ; ; ; Разложить (геометрически и аналитически) вектор c ( ; 4) по базису ( ; 4), ( 5;) Решение Изобразим двумерные векторы, Они не коллинеарные и поэтому образуют базис плоскости Y R Это значит, что любой вектор c R выражается в виде линейной комбинации базисных векторов, те найдутся такие скаляры x, y R, что верно разложение c x + y

7 7,5 Получим геометрически разложение вектора c по этому базису Проведем пунктирные оси через векторы, Затем построим параллелограмм с диагональю c, те проецируем точку на пунктирную ось параллельно другой оси Получаем разложение c +, в котором слагаемые коллинеарны соответственно векторам, Выразим приближенно слагаемые, через базисные векторы:,5 и Следовательно, c,5 + Эту задачу можно решить аналитически так Проецируем обе части равенства c x + y на координатные оси: ; 4 x ; 4 + y 5; проекция на ось : x + 5 y ; на ось Y : 4 4 x + y ( ) ( ) ( ) x+ 5 y Решаем систему линейных уравнений по методу Крамера 4 x + y Вычисляем определители: Δ 8, Δ 9, Δ Δ Δ Отсюда: x,5, y, c,5 + Δ Δ Пример 7 Определить угол α и силу, приложенную к середине отрезка, такую, что система сил, изображенных на чертеже, уравновешенная N α 45 x Решение Введем систему координат Направим ось вдоль, точку примем за начало отсчета x ; y Система сил уравновешена, если их векторная сумма равна нулю Находим проекции сил на координатные оси: ix ; + x + cos45 ; iy ; + y sin 45 Составим систему уравнений и решим ее Обозначим ( )

8 x + x, y y + 4,, cos x α,46, α 7 4,6 +, + 4, 4,6 x y ; модуль ( ) 8 Пример 8 Точка M движется с ускорением по дуге Разложить геометрически ускорение в сумму нормального и касательного ускорений, τ n τ M n Решение Проводим через точку касания M касательную к траектории M Далее проводим нормаль траектории, те перпендикуляр к касательной, проходящий через точку M Постоим прямоугольник на этих прямых с диагональю, равной вектору Получаем разложение ускорения n + τ Пример 9 Найти силу, растягивающую стержень кронштейна, к которому подвешен груз P Угол α α α x P Решение Укажем на чертеже силы, приложенные к точке : вес груза - P, реакция стержня, реакция стержня Составим уравнение равновесия точки :, ix + cos α ; iy, P+ sin α Решаем систему уравнений: P+ sin α P sin α + cos α P cosα cosα P ctgα sin α P Ответ sin α, P ctgα Пример Определить вершины и проекции центра масс M однородного треугольника по данным пространственного чертежа

9 4 Z M 9 - Ответ ( ; ;), ( ; ; ), ( ;; 4) Y, M 7 ;; Пример Найти угол ϕ между векторами j i Решение Запишем векторы ( ; ) Занятие Скалярное произведение векторов +, ( 5; ), ( 5; ) в проекциях Построим эти вектора ϕ Угол ϕ между векторами определим согласно формуле cos ϕ Находим скалярное произведение векторов, модули векторов: x x y y ; + ( ) +, модули ( ) Определим угол ϕ : cos ϕ 4 9, ; ϕ rccos, 78 Ответ ϕ 78 Пример Найти ϕ в треугольнике, где ( ; ;), ( ; ;), ( ;;4) Решение Сделаем схематический чертеж ϕ ; ; ; ; Находим вектор: ( ) ( ) ( ; ;) ; аналогично: ( ;4; 4) Скалярное произведение этих векторов:

10 ( ) ( ) ( ) Угол между этими векторами: cos ϕ Ответ ϕ 79 ϕ rccos rccos, Пример Найти проекцию вектора ( 4;) на вектор ( ;4) Решение Из конца вектора опускаем перпендикуляр на прямую, проходящую через вектор Проекция равна длине отрезка, взятой со знаком «плюс», если угол ϕ - острый, в противном случае со знаком «минус» Согласно определению проекция Πp cos ϕ Скалярное произведение , модуль вектора Применим формулу проекции Πp 6, 5 x + y ϕ Пример 4 Доказать, что параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда его диагонали перпендикулярны Решение Докажем необходимость этого утверждения Построим ромб D на векторах, D ϕ D Выразим диагонали +, D через вектора, Применим признак перпендикулярности (ортогональности) векторов: D D Вычислим скалярное произведение диагоналей D ( ) ( ) +, Равенство верно, так как для ромба стороны равны, те Угол ϕ между диагоналями ромба прямой Пример 5 Раскрыть скобки в выражении x ( ) ( ) Ответ x Вычислить значение x при,

11 Решение Применим формулы квадрат суммы и разности: ( + ) + ( ) x ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ), x + 4, x x x Пример 6 Найти работу результирующей сил по перемещению точки M по прямой под действием постоянных сил ( ;) ; из положения ( ;) в положение ( ; 4) Решение Построим вектора, ( ) R M Находим результирующую силу R + ( ;) ( ;) ( 5;) Вектор-перемещение точки ( ; 4) ( ;) ( ;) + Находим работу силы как скалярное произведение силы на вектор-перемещение: R Пример 7 Найти угол α между векторами m+ n, m n, где m, n -единичные векторы, образующие угол ϕ 6 Решение Построим вектора m, n и m+ n, m n n α ϕ 6 m Находим косинус угла α по формуле cos α Координаты векторов, неизвестны, поэтому нельзя вычислить скалярное произведение этих векторов по обычной формуле

12 + Раскрываем скобки Находим произведение ( m n) ( m n) mm mn + nm nn mm + mn nn Скалярные квадраты единичных векторов равны единице, те m и n mm m и n n n Вычислим скалярное произведение орт с помощью определения mn m n cos ϕ cos6 Поэтому + Далее аналогично находим квадраты модулей ( m+ n) m + 4 m n+ 4 n ; ( m n) m m n+ n + ; Модули 7, Отсюда cos α cos α, cos α, α rccos 7 7 7, α Пример Занятие 4 Векторное произведение векторов Построить векторное произведение, если i, j Определить направление векторного произведения с помощью правила правого буравчика Решение Построим в пространстве вектора i, j Векторное произведение c - это вектор, который лежит на перпендикуляре к плоскости векторов, В нашем случае это плоскость Y, а вектор c лежит на оси Z c j Y i S6 Найдем модуль c как площадь S 6параллелограмма, построенного на векторах i, j Следовательно, c ϕ sin sin9 6 Определим направление вектора c на оси аппликат С конца вектора c мы видим кратчайший поворот ϕ от вектора i к вектору j в положительном направлении (против часовой стрелки) Значит, вектор c направлен вверх по оси Z и равен c 6 k Направление векторного произведение c можно также найти по правилу правого буравчика: его рукоятку вращаем кратчайшим поворотом из положения вектора в положение Поступательное движение буравчика укажет направление векторного произведения c

13 Пример Вычислить векторное произведение, если ( ;; ), ( ; ; ) Решение Векторное произведение вычислим с помощью (символического) определителя третьего порядка; в его первой строке записаны орты, а остальные строки - проекции перемножаемых векторов: i j k i j + k Произведем контроль: найденный вектор c ( ; ; 5) Значит, скалярные произведения c, c Пример + + ( ; ; 5) i j 5 k перпендикулярен (ортогонален) векторам и равны нулю Например: c ( ) Вычислить площадь S параллелограмма, построенного на векторах,, где ( ;), ( 4;) ( ; 4) Решение Построим параллелограмм на векторах,, Находим вектора: ( 4;) ( ;) ( 4; ) ; ( ; 4) ( ;) ( ;) Вычислим векторное произведение двумерных векторов, считая, что их аппликата z i j k i j + k 4 k ( ;;4) Воспользуемся геометрически смыслом модуля векторного произведения Площадь параллелограмма S 4 Пример 4 i j k + j i k + k i j + i j i Выполнить действия: ( ) ( ) 4 ( ) ( ) Решение Расположим орты в положительном направлении обхода окружности Это мнемоническое правило помогает находить векторное произведение различных орт i j k Векторное произведение двух орт равно третьему орту, взятому со знаком +, если от первого сомножителя мы передвигаемся ко второму по окружности в положительном направлении, иначе берем знак "минус" Например, i j + k, j i k Отсюда

14 i ( j k) + j ( i k) + k ( i j) + ( i j) i ( ) Ответ ii + j j+ 4 kk + ki 4 Пример 5 Найти площадь и высоту D треугольника, если ( ; ;), ( ; ; ), ( ;; 4) Z 4 - Решение Находим вектора: ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; 6;) ( ;; 4) ( ; ; ) ( ;; 4) Y ; Вычислим векторное произведение двумерных векторов, считая, что их аппликата z i j k i j + k 4 i j 6 k ( 4;; 6) x + y + z 6 4,8 Площадь треугольника равна S 6,4 Высота h D находится из другой формулы площади S h h S S ( ) + ( 6) ,78; h,4,65 6,78 Пример 6 Найти момент M M ( ) силы ( ;;4) + ( 4;; 6) относительно начала координат, если известно, что сила приложена к точке ( ; ; ) Найти модуль момента силы и направляющие косинусы момента силы Решение Сделаем чертеж Построим вектор-рычаг ( ; ; ) и силу ( ;;4), приложенную ( ; ; ) 4 Z Y Находим момент силы согласно формуле

15 i j k M 4 Вычислим модуль момента: M ( ; 4;) i j + k 4 4 M x y z i 4 j k + + ( ) Направляющие косинусы момента M x cos α M ; cos M y 4 β M ; cos M γ z M + ( ; 4;) Пример 7 Точка M движется по окружности с постоянной угловой скоростью ω i+ j вокруг оси, проходящей через начало координат Найти скорость V этой точки в момент, когда x, y, z Решение Вектор угловой скорости ω перпендикулярен к плоскости окружности и его направление определяется по правилу правого буравчика при вращении его рукоятки в сторону скорости V Применим формулу V ω M, где M ( ; ;) - радиус-вектор точки M ω V M Запишем векторное произведение: i j k ω M V i j + k i j 7 k ( ; ; 7 ) Занятие 5 Смешанное произведение трех векторов Пример Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах i, j, c ( ;; 4) Правой или левой будет связка векторов,, c? Решение Построим вектора и параллелепипед с ребрами,, c Объем V параллелепипеда определим с помощью геометрического смысла смешанного произведения: V ( c,, ) Z 4 c ± Y Вычислим смешанное произведение с помощью определителя, составленного из проекций перемножаемых векторов:

16 ( c,, ) Итак, V Связка векторов,, c правая, ибо ( ) c,, > Заметим, это означает, что с конца вектора c кратчайший поворот от вектора к вектору виден в положительном направлении (против часовой стрелке) Объем можно вычислить по обычной формуле V S h 4 4 Пример Найти объем пирамиды D, где ( ; ;), ( ;; ), ( ;;), ( 5; 4; 4) Решение Сделаем схематический чертеж D D 6 Введем вектора: ( ;; ) ( ; ;) ( ; ;), ;; ; ; ; ;, c ( ) ( ) ( ) D D( 5; 4; 4) ( ; ;) ( 4; ;) Тогда объем пирамиды равен V ( c,, ) ± 6 ( c,, ) V± ( c,, ) V 6 Ответ: V 6 6 Пример ( ) ( ) + ( ) ( ) Доказать, что точки ( ;;), ( ; ;), ( ; ;5), ( ;;5) компланарны Решение Четыре точки,,, лежат в одной плоскости ( те компланарны) три вектора,, лежат в одной плоскости, те их смешанное произведение равно нулю (признак компланарности) Векторы ( ; ; ), ( ; ;5), ( ;;5 ) Вычислим смешанное произведение (,, ) ( ) ( ) Пример 4 Найти проекцию вектора n на вектор c, если ( ;; ) ; ; Решение Применим формулу проекции вектора на вектор n c ) c Πp n c c c c,, c Применим определение смешанного произведения ( ) ( ) 5 +, ( ), ( ;; ) c

17 c Πp c n ( ) ( c,, ) Модуль c ( c,, ) c + ( ) c + + 6, проекции Πp n c 6 Ответ: 4 Πp n c 6 7 Контрольные вопросы и примеры (для подготовки к коллоквиуму) Линейные операции над векторами Найти координаты точки N, симметричной точке M (; ; 4) относительно: а) начала координат; б) плоскости Y Может ли точка M находиться в равновесии под действием трех попарно не коллинеарных сил? Чему равен вектор, получаемый из (; 4; ) увеличением его длины в раза? 4 Каков геометрический смысл неравенства + +? (неравенство треугольника) 5 Доказать правило многоугольника (см черт), используя определение суммы двух векторов c d 6 Чему равен вектор +, если (; 4)? 7 Найти орт биссектрисы первого октанта- прямой, образующей равные углы с осями координат 8 Найти координаты точки, если известно, что (;; ), (; 4) + 9 Доказать, что медиана M в треугольнике равна M Чему равен вектор + + D + D? Вектор получен поворотом вектора (; 4) на 9 по часовой стрелке Найти проекции вектора Скалярное произведение векторов Как расположены векторы,, если? Известно, что, c, c и,, c - орты Чему равен объем параллелепипеда, построенного на векторах,, c? Вектор длинней вектора Какое из чисел Пр, 4 Чему равен вектор, если i, j, k? пр большее? 5 Доказать переместительный закон 6 Почему скалярное произведение называется скалярным? 7 Будет ли угол между векторами (; ; 4), (;;) острым? Векторное произведение векторов Изменится ли векторное произведение, если к его первому множителю добавить второй? Указать направление силы Лоренца Q( v ), действующей на движущийся заряд Q > со скоростью v в магнитном поле Доказать, что c c 4 Почему векторное произведение называется векторным? 5 Обосновать инвариантность векторного произведения 6 Почему верно равенство?

18 7 Верно ли равенство sinϕ? 8 Объяснить антипереместительный закон, используя основную формулу для вычисления векторного произведения 9 Проверить тождество ( ) ( + ) Смешанное произведение векторов Чему равно смешанное произведение трех векторов, если среди них есть два равных? Почему в формуле объема параллелепипеда V± ( c,, ) присутствуют знаки ±? Чему равно смешанное произведение орт декартовой системы координат? 4 Объяснить, используя основную формулу для вычисления смешанного произведения, почему оно меняет знак при перестановке местами сомножителей? Применение векторной алгебры Доказать формулу проекции Πp x cosα+ y cosβ+ z cos γ, где ( x, y, z ), n n (cos α; cos β; cos γ) - орт Доказать формулы координат середины отрезка Записать закон Кулона притяжения двух точечных зарядов в векторной форме 4 Проверить формулу m( ω V) - центростремительной силы, действующей на точку M при ее вращении по окружности с центром и радиуса r с угловой скоростью ω Известно, что 5 Проверить тождество ( ) ( ) mv r 6 Найти длину кратчайшей дуги, лежащей на сфере с центром, если (; ; ), (; ;) 7 У неколлинеарных векторов, - положительные координаты Доказать, что их векторное произведение имеет хотя бы одну отрицательную координату 8 Разложить геометрически скорость V (; 4) по двум направлениям, заданными векторами (;), (;) 9 Доказать, что момент суммы сил равен сумме моментов слагаемых Доказать, что момент уравновешенной системы сил - величина инвариантная, те не зависит от выбора точки, относительно которой находится момент Докажите, что работа суммы сил равна сумме работ каждой силы Докажите, что вращательный момент пары сил, изображается площадью параллелограмма r 8 При каком значении x векторы ( x; 4), (; 4x+ ) коллинеарны? 4 Определить проекцию суммы + на ось абсцисс, если, являются ортами и образуют с осью абсцисс углы соответственно и 5 5 Показать, что векторы,, D компланарны, если (;;), (; ; ), (4; ; ), D(8; ; ) 6 Определить угол между высотой и медианой, выходящими из вершины (; ) треугольника, где (; ), ( ;) 7 Найти на оси аппликат точку M, которая равноудалена от точек (;;), (;;) 8 Даны три вершины (; ;), (; ; ), (; ;) треугольной пирамиды и ее объем V 5 Определить координаты четвертой вершины D пирамиды, если известно, что D принадлежит оси ординат Найти высоту пирамиды, опущенную на грань 9 Отрезок, где ( ;;), (6; ; 4), разделен точками и D на три равные части Найти координаты этих точек Найти координаты центра масс трех материальных точек одинаковой массы, где (; 5;), (; ; ), ( 4;;)

19 Векторы Проекции вектора z z z 9 ТЕОРИЯ на координатные оси: ( x, y, z), где x x x, y y y, x x x Разложение вектора по базису i, j, k (орты -единичные вектора- координатных осей ) : ( x, y, z) x i + y j + z k Модуль вектора, x + y + z ; орт (единичный вектор) n вектора Сумма векторов c + находится по правилу параллелограмма Разность векторов d находим по правилу треугольника Правило многоугольника Сумма + + c равна замыкающему вектору ломаной, составленной из слагаемых векторов При умножении скаляра (те числа) λ на вектор этот вектор растягивается в λ раз + c + + c Операции сложения, вычитания, умножения на скаляр векторов, заданных в проекциях, выполняются покоординатно Например: ( ;4) + (4; ) ( + 4;4 ) (5;) ; 6 (; ) (; 8) Скалярное произведение : cos ϕ; x x + y y + z z Векторное и смешанное произведения: i j k x y z x y z ; ( c,, ) x y z x y z x y z Приложения векторов x y z Признак коллинеарности векторов: x y z Признак перпендикулярности векторов Направляющие углы и косинусы вектора : x cos α, cosβ y, cosγ z, cos α + cos β + cos γ Z γ α β Y Угол ϕ меду векторами ; проекция вектора: cos ϕ ; Πp, Πp cos ϕ

20 ϕ Πp Площадь параллелограмма и треугольника, построенных на векторах Sn, Smp S n S mp Объем параллелепипеда и пирамиды, построенных на векторах,, c : Vпар ± (,, c), Vпир ± (,, c) 6 x + x y + y Координаты середины отрезка : x, y Деление отрезка точкой в отношении λ : x + λx x + λ m x+ m x Центр масс системы точек m, m : x и тд m + m Момент ϕ, : и тд M ( R) M R силы R, приложенной к точке M, относительно точки

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

При изучении темы рекомендуется литература [1-3] и интернет ресурс

При изучении темы рекомендуется литература [1-3] и интернет ресурс Введение Векторное исчисление это математическая дисциплина, изучающая свойства векторов, во всех их проявлениях и разделяется на векторную алгебру и векторный анализ. Условно это можно понимать так. Векторная

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

1 «Дорогу осилит идущий!» Д.Голсуорси

1 «Дорогу осилит идущий!» Д.Голсуорси «Дорогу осилит идущий!» Д.Голсуорси Введение... Лекция. Векторы на прямой, плоскости и в пространстве... Система координат на плоскости и в пространстве... Основные понятия...3 Взаиморасположение векторов...

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

1 Задачи механики. 2 Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и

1 Задачи механики. 2 Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и 1 Задачи механики. Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и полное ускорения. Структура механики Механика Механика Кинематика

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Введение Материя и ее основные свойства. Задачи и методы физики. Роль абстракций и моделей в физике. Физические величины и их измерение

Введение Материя и ее основные свойства. Задачи и методы физики. Роль абстракций и моделей в физике. Физические величины и их измерение Введение Материя и ее основные свойства. Задачи и методы физики. Роль абстракций и моделей в физике. Физические величины и их измерение Структура механики Механика Механика Кинематика Материальной точки

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски)

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) п/п Содержание материала Четырехугольники Колво часов сроки приме чание

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Р.М. Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Р.М. Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» РМ Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие Научный редактор

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Шаталина А.В., Кучер Н.А., Борисова Л.В. Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Учебное пособие для студентов механико-математического,

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Программа по геометрии для 9 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка

Программа по геометрии для 9 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Программа по геометрии для 9 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты освоения геометрии в 9 классе 2.Содержание

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее