Уравнение Лапласа в круговых областях. Оператор Лапласа в полярных координатах имеет следующий вид. u = 2 u

Транскрипт

1 Уравнение Лапласа в круговых областях. Рассмотрим решение уравнения Лапласа в круговых областях (внутренность круга, внешность круга, кольцо). Для решения этой задачи перейдем в полярные координаты { x = cos ϕ y = sin ϕ и применим метод разделения переменных. Найдем сначала простейшие решения уравнения Лапласа, представимые в виде произведения двух функций с разделенными полярными координатами: u = V ()Φ(ϕ). Оператор Лапласа в полярных координатах имеет следующий вид u = 2 u + u u 2 ϕ. 2 Подставляя в уравнение Лапласа функцию u = V ()Φ(ϕ), получаем V ()Φ(ϕ) + V ()Φ(ϕ) + 2 V ()Φ (ϕ) =. Перенесем слагаемое с Φ в правую часть равенства, умножим уравнение на 2 и поделим на V ()Φ(ϕ), получим 2 V () + V () V () = Φ (ϕ) Φ(ϕ). В разных частях полученного равенства стоят функции разных переменных. Это может быть только тогда, когда обе они постоянны. Обозначим эту постоянную через λ: 2 V () + V () V () = Φ (ϕ) Φ(ϕ) = λ. В результате получим два обыкновенных дифференциальных уравнения 2 V () + V () λv () =, () Φ (ϕ) + λφ(ϕ) =. (2) Рассмотрим сначала уравнение (2). Прежде всего отметим, что две пары полярных координат (, ϕ) и (, ϕ + 2π) отвечают одной и той же точке на плоскости. Следовательно, V ()Φ(ϕ + 2π) = V ()Φ(ϕ). Если мы ищем нетривиальные решения, то функция V () хотя бы в одной точке отлична от нуля. Сокращая на V (), получим условие 2π-периодичности функции Φ Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ). Таким образом для функции Φ мы имеем дифференциальное уравнение с условием 2π-периодичности { Φ (ϕ) + λφ(ϕ) =, (3) Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ).

2 Задача (3) во многом похожа на задачу Штурма Лиувилля. Сейчас мы в этом убедимся. Будем искать нетривиальные решения этой задачи, рассматривая разные знаки λ. ) λ <. Общее решение уравнения Φ(ϕ) = C e λϕ + C 2 e λϕ. Периодическое решение должно быть ограниченным. Однако, при C функция Φ(ϕ) неограничена при ϕ +, а при C 2 эта функция неограничена при ϕ. В рассматриваемом случае задача (3) имеет только тривиальные решения. 2) λ =. Общее решение уравнения Φ(ϕ) = C + C 2 ϕ. Аналогичные сображение показывают, что из условия периодичности следует, что C 2 = и Φ(ϕ) может быть только константой. С другой стороны, константа является периодической функцией (с любым периодом). 3) λ >. Общее решение уравнения Φ(ϕ) = C cos λϕ + C 2 sin λϕ. Эта функция является периодической и ее наименьший положительный период равен 2π/ λ. Величина 2π как период должна быть кратна этой величине, т. е. при некотором натуральном n 2π = n2π/ λ. Отсюда находим "собственные значения"и "собственные функции" λ n = n 2, Φ n (ϕ) = C cos nϕ + C 2 sin nϕ. Решения из пунктов 2 и 3 можно объединить, если считать, что n меняется, начиная с нуля. Перейдем к решению уравнения (), в котором λ n = n 2 (n =,,... ). Это уравнение Эйлера. Полагая V () = µ, получаем характеристическое уравнение или µ(µ ) + µ n 2 = µ 2 n 2 =. При n > имеем два корня µ = ±n и общее решение уравнения V () = C n + C 2 n. При n = имеем двукратный корень µ = и общее решение уравнения V () = C + C 2 ln. Таким образом, мы имеем следующие простейшие решения с точностью до пропорциональности, ln, n cos nϕ, n sin nϕ, cos nϕ n, sin nϕ n. (4)

3 Уравнение Лапласа внутри круга. Рассмотрим решение уравнения Лапласа в круге. Пусть Ω круг радиуса R с центром в начале координат. Рассмотрим следующую задачу: u = в Ω, αu + β u ν = f на Ω, (5) где ν единичная внешняя нормаль к границе Ω области Ω. Среди простейших решений (4) нам подходят не все. Нужно выбросить неограниченные решения ln, cos nϕ/ n и sin nϕ/ n. Из остальных решений составляем сумму в виде ряда с произвольными коэффициентами u(, ϕ) = A + n (A n cos nϕ + B n sin nϕ). (6) Можно показать, что действительно любая гармоническая в круге функция представима формулой (6). Воспользуемся этой формулой для решения краевой задачи (5). Разложим граничную функцию (считая ее зависящей от ϕ) в ряд Фурье где f(ϕ) = a (a n cos nϕ + b n sin nϕ), a n = π b n = π f(ϕ) cos nϕdϕ, f(ϕ) sin nϕdϕ. Для круга u ν = u. Подставляя ряд (6) в краевое условие, получаем αa + αr n (A n cos nϕ + B n sin nϕ) + βnr n (A n cos nϕ + B n sin nϕ) = = a (a n cos nϕ + b n sin nϕ) Приравнивая справа и слева коэффициенты при одинаковых членах, имеем αa = a 2, (αrn + βnr n )A n = a n, (αr n + βnr n )B n = b n. (7) Рассмотрим случай когда α, тогда из полученных равенств однозначно находим все коэффициенты в формуле (6): A = a 2α, A n = a n (αr + nβ)r n, B n = b n (αr + nβ)r n.

4 Решение краевой задачи (5), следовательно, имеет следующий вид u(, ϕ) = a 2α + R (an cos nϕ + b n sin nϕ). (8) αr + nβ R Отметим частный случай задачи Дирихле (α =, β = ) когда на границе задается само решение: { u =, < R (9) u = f(ϕ), = R. В этом случае формула (8) принимает следующий вид: u(, ϕ) = a 2 + R (an cos nϕ + b n sin nϕ). () Перейдем к случаю α = (задача Неймана). В этом случае нужно обратить внимание на первое равенство в (7), из которого следует, что a =. Так как величина a определяется заданной граничной функцией, то мы получаем ограничение на исходные данные граничной задачи задача Неймана может быть разрешима не для любой граничной функции f(ϕ). Так как коэффициент a числовым множителем отличается от интеграла от граничной функции, то мы имеем следующее уловие разрешимости задачи Неймана: f(ϕ)dϕ =. () При этом величина A в формуле (6) не определяется и может быть произвольной. Таким образом, решение задачи Неймана определено с точностью до произвольной постоянной, которую удобно обозначать не буквой A, а общепринятой буквой для произвольной постоянной C. Коэффициенты A n и B n при n > определяются так же, как и раньше A n = a n nβr n, B n = и решение задачи Неймана имеет следующий вид u(, ϕ) = R β b n nβr n. (an cos nϕ + b n sin nϕ) + C. n R Обычно задача Неймана рассматривается при β = : u =, < R u (2) ν = f(ϕ), = R. Решение этой задачи дается формулой u(, ϕ) = R при условии, что выполнено соотношение (). (an cos nϕ + b n sin nϕ) + C (3) n R

5 Уравнение Лапласа во внешности круга. Рассмотрим решение уравнения Лапласа вне круга. Пусть Ω внешность круга радиуса R с центром в начале координат. Рассмотрим следующую задачу: u = в Ω, αu + β u ν = f на Ω, (4) где ν единичная внешняя нормаль к границе Ω области Ω. Во внешности круга из решений (4) мы должны выбрость неограниченные решения ln, n cos nϕ и n sin nϕ. Из остальных решений составляем сумму в виде ряда с произвольными коэффициентами u(, ϕ) = A + A n cos nϕ + B n sin nϕ n. (5) Можно показать, что действительно любая гармоническая вне круге функция представима формулой (5). Воспользуемся этой формулой для решения краевой задачи (4). Разложим граничную функцию (считая ее зависящей от ϕ) в ряд Фурье где f(ϕ) = a (a n cos nϕ + b n sin nϕ), a n = π b n = π f(ϕ) cos nϕdϕ, f(ϕ) sin nϕdϕ. Для внешности круга u ν = u. Подставляя ряд (5) в краевое условие, получаем αa + α A n cos nϕ + B n sin nϕ R n + = a (a n cos nϕ + b n sin nϕ) β n(a n cos nϕ + B n sin nϕ) R n+ = Приравнивая справа и слева коэффициенты при одинаковых членах, имеем αa = a ( α 2, R + nβ ) ( α A n R n+ n = a n, R + nβ ) B n R n+ n = b n, (6) Рассмотрим случай когда α, тогда из полученных равенств однозначно находим все коэффициенты в формуле (5): A = a 2α, A n = Rn+ a n (αr + nβ), B n = Rn+ b n (αr + nβ).

6 Решение краевой задачи (4), следовательно, имеет следующий вид u(, ϕ) = a 2α + R αr + nβ (a n cos nϕ + b n sin nϕ). (7) Отметим частный случай задачи Дирихле (α =, β = ) когда на границе задается само решение: { u =, > R u = f(ϕ), = R. В этом случае формула (7) принимает следующий вид: (8) u(, ϕ) = a 2 + (a n cos nϕ + b n sin nϕ). (9) Случай α = (задача Неймана) рассматривается так же, как и для внутренней задачи. Здесь имеем условие разрешимости a = или, что тоже самое f(ϕ)dϕ =. (2) Величина A произвольна и ее удобно обозначить через C. Из формул (6) находим все остальные коэффициенты (n > ): A n = Rn+ a n, B n = Rn+ b n nβ nβ. Таким образом, решение внешней задачи Неймана имеет следующий вид u(, ϕ) = R β n (a n cos nϕ + b n sin nϕ) + C. При β = имеем задачу ее решение дается формулой u(, ϕ) = R u =, > R при условии, что выполнено соотношение (2). u (2) ν = f(ϕ), = R, n (a n cos nϕ + b n sin nϕ) + C (22)