Уравнение Лапласа в круговых областях. Оператор Лапласа в полярных координатах имеет следующий вид. u = 2 u
|
|
- Филипп Бронский
- 1 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 Уравнение Лапласа в круговых областях. Рассмотрим решение уравнения Лапласа в круговых областях (внутренность круга, внешность круга, кольцо). Для решения этой задачи перейдем в полярные координаты { x = cos ϕ y = sin ϕ и применим метод разделения переменных. Найдем сначала простейшие решения уравнения Лапласа, представимые в виде произведения двух функций с разделенными полярными координатами: u = V ()Φ(ϕ). Оператор Лапласа в полярных координатах имеет следующий вид u = 2 u + u u 2 ϕ. 2 Подставляя в уравнение Лапласа функцию u = V ()Φ(ϕ), получаем V ()Φ(ϕ) + V ()Φ(ϕ) + 2 V ()Φ (ϕ) =. Перенесем слагаемое с Φ в правую часть равенства, умножим уравнение на 2 и поделим на V ()Φ(ϕ), получим 2 V () + V () V () = Φ (ϕ) Φ(ϕ). В разных частях полученного равенства стоят функции разных переменных. Это может быть только тогда, когда обе они постоянны. Обозначим эту постоянную через λ: 2 V () + V () V () = Φ (ϕ) Φ(ϕ) = λ. В результате получим два обыкновенных дифференциальных уравнения 2 V () + V () λv () =, () Φ (ϕ) + λφ(ϕ) =. (2) Рассмотрим сначала уравнение (2). Прежде всего отметим, что две пары полярных координат (, ϕ) и (, ϕ + 2π) отвечают одной и той же точке на плоскости. Следовательно, V ()Φ(ϕ + 2π) = V ()Φ(ϕ). Если мы ищем нетривиальные решения, то функция V () хотя бы в одной точке отлична от нуля. Сокращая на V (), получим условие 2π-периодичности функции Φ Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ). Таким образом для функции Φ мы имеем дифференциальное уравнение с условием 2π-периодичности { Φ (ϕ) + λφ(ϕ) =, (3) Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ).
2 Задача (3) во многом похожа на задачу Штурма Лиувилля. Сейчас мы в этом убедимся. Будем искать нетривиальные решения этой задачи, рассматривая разные знаки λ. ) λ <. Общее решение уравнения Φ(ϕ) = C e λϕ + C 2 e λϕ. Периодическое решение должно быть ограниченным. Однако, при C функция Φ(ϕ) неограничена при ϕ +, а при C 2 эта функция неограничена при ϕ. В рассматриваемом случае задача (3) имеет только тривиальные решения. 2) λ =. Общее решение уравнения Φ(ϕ) = C + C 2 ϕ. Аналогичные сображение показывают, что из условия периодичности следует, что C 2 = и Φ(ϕ) может быть только константой. С другой стороны, константа является периодической функцией (с любым периодом). 3) λ >. Общее решение уравнения Φ(ϕ) = C cos λϕ + C 2 sin λϕ. Эта функция является периодической и ее наименьший положительный период равен 2π/ λ. Величина 2π как период должна быть кратна этой величине, т. е. при некотором натуральном n 2π = n2π/ λ. Отсюда находим "собственные значения"и "собственные функции" λ n = n 2, Φ n (ϕ) = C cos nϕ + C 2 sin nϕ. Решения из пунктов 2 и 3 можно объединить, если считать, что n меняется, начиная с нуля. Перейдем к решению уравнения (), в котором λ n = n 2 (n =,,... ). Это уравнение Эйлера. Полагая V () = µ, получаем характеристическое уравнение или µ(µ ) + µ n 2 = µ 2 n 2 =. При n > имеем два корня µ = ±n и общее решение уравнения V () = C n + C 2 n. При n = имеем двукратный корень µ = и общее решение уравнения V () = C + C 2 ln. Таким образом, мы имеем следующие простейшие решения с точностью до пропорциональности, ln, n cos nϕ, n sin nϕ, cos nϕ n, sin nϕ n. (4)
3 Уравнение Лапласа внутри круга. Рассмотрим решение уравнения Лапласа в круге. Пусть Ω круг радиуса R с центром в начале координат. Рассмотрим следующую задачу: u = в Ω, αu + β u ν = f на Ω, (5) где ν единичная внешняя нормаль к границе Ω области Ω. Среди простейших решений (4) нам подходят не все. Нужно выбросить неограниченные решения ln, cos nϕ/ n и sin nϕ/ n. Из остальных решений составляем сумму в виде ряда с произвольными коэффициентами u(, ϕ) = A + n (A n cos nϕ + B n sin nϕ). (6) Можно показать, что действительно любая гармоническая в круге функция представима формулой (6). Воспользуемся этой формулой для решения краевой задачи (5). Разложим граничную функцию (считая ее зависящей от ϕ) в ряд Фурье где f(ϕ) = a (a n cos nϕ + b n sin nϕ), a n = π b n = π f(ϕ) cos nϕdϕ, f(ϕ) sin nϕdϕ. Для круга u ν = u. Подставляя ряд (6) в краевое условие, получаем αa + αr n (A n cos nϕ + B n sin nϕ) + βnr n (A n cos nϕ + B n sin nϕ) = = a (a n cos nϕ + b n sin nϕ) Приравнивая справа и слева коэффициенты при одинаковых членах, имеем αa = a 2, (αrn + βnr n )A n = a n, (αr n + βnr n )B n = b n. (7) Рассмотрим случай когда α, тогда из полученных равенств однозначно находим все коэффициенты в формуле (6): A = a 2α, A n = a n (αr + nβ)r n, B n = b n (αr + nβ)r n.
4 Решение краевой задачи (5), следовательно, имеет следующий вид u(, ϕ) = a 2α + R (an cos nϕ + b n sin nϕ). (8) αr + nβ R Отметим частный случай задачи Дирихле (α =, β = ) когда на границе задается само решение: { u =, < R (9) u = f(ϕ), = R. В этом случае формула (8) принимает следующий вид: u(, ϕ) = a 2 + R (an cos nϕ + b n sin nϕ). () Перейдем к случаю α = (задача Неймана). В этом случае нужно обратить внимание на первое равенство в (7), из которого следует, что a =. Так как величина a определяется заданной граничной функцией, то мы получаем ограничение на исходные данные граничной задачи задача Неймана может быть разрешима не для любой граничной функции f(ϕ). Так как коэффициент a числовым множителем отличается от интеграла от граничной функции, то мы имеем следующее уловие разрешимости задачи Неймана: f(ϕ)dϕ =. () При этом величина A в формуле (6) не определяется и может быть произвольной. Таким образом, решение задачи Неймана определено с точностью до произвольной постоянной, которую удобно обозначать не буквой A, а общепринятой буквой для произвольной постоянной C. Коэффициенты A n и B n при n > определяются так же, как и раньше A n = a n nβr n, B n = и решение задачи Неймана имеет следующий вид u(, ϕ) = R β b n nβr n. (an cos nϕ + b n sin nϕ) + C. n R Обычно задача Неймана рассматривается при β = : u =, < R u (2) ν = f(ϕ), = R. Решение этой задачи дается формулой u(, ϕ) = R при условии, что выполнено соотношение (). (an cos nϕ + b n sin nϕ) + C (3) n R
5 Уравнение Лапласа во внешности круга. Рассмотрим решение уравнения Лапласа вне круга. Пусть Ω внешность круга радиуса R с центром в начале координат. Рассмотрим следующую задачу: u = в Ω, αu + β u ν = f на Ω, (4) где ν единичная внешняя нормаль к границе Ω области Ω. Во внешности круга из решений (4) мы должны выбрость неограниченные решения ln, n cos nϕ и n sin nϕ. Из остальных решений составляем сумму в виде ряда с произвольными коэффициентами u(, ϕ) = A + A n cos nϕ + B n sin nϕ n. (5) Можно показать, что действительно любая гармоническая вне круге функция представима формулой (5). Воспользуемся этой формулой для решения краевой задачи (4). Разложим граничную функцию (считая ее зависящей от ϕ) в ряд Фурье где f(ϕ) = a (a n cos nϕ + b n sin nϕ), a n = π b n = π f(ϕ) cos nϕdϕ, f(ϕ) sin nϕdϕ. Для внешности круга u ν = u. Подставляя ряд (5) в краевое условие, получаем αa + α A n cos nϕ + B n sin nϕ R n + = a (a n cos nϕ + b n sin nϕ) β n(a n cos nϕ + B n sin nϕ) R n+ = Приравнивая справа и слева коэффициенты при одинаковых членах, имеем αa = a ( α 2, R + nβ ) ( α A n R n+ n = a n, R + nβ ) B n R n+ n = b n, (6) Рассмотрим случай когда α, тогда из полученных равенств однозначно находим все коэффициенты в формуле (5): A = a 2α, A n = Rn+ a n (αr + nβ), B n = Rn+ b n (αr + nβ).
6 Решение краевой задачи (4), следовательно, имеет следующий вид u(, ϕ) = a 2α + R αr + nβ (a n cos nϕ + b n sin nϕ). (7) Отметим частный случай задачи Дирихле (α =, β = ) когда на границе задается само решение: { u =, > R u = f(ϕ), = R. В этом случае формула (7) принимает следующий вид: (8) u(, ϕ) = a 2 + (a n cos nϕ + b n sin nϕ). (9) Случай α = (задача Неймана) рассматривается так же, как и для внутренней задачи. Здесь имеем условие разрешимости a = или, что тоже самое f(ϕ)dϕ =. (2) Величина A произвольна и ее удобно обозначить через C. Из формул (6) находим все остальные коэффициенты (n > ): A n = Rn+ a n, B n = Rn+ b n nβ nβ. Таким образом, решение внешней задачи Неймана имеет следующий вид u(, ϕ) = R β n (a n cos nϕ + b n sin nϕ) + C. При β = имеем задачу ее решение дается формулой u(, ϕ) = R u =, > R при условии, что выполнено соотношение (2). u (2) ν = f(ϕ), = R, n (a n cos nϕ + b n sin nϕ) + C (22)
Уравнение Лапласа в полярной системе координат.
Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 518 Глава 5. Уравнения эллиптического типа 25.2. Разделение
3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами
= 0. (1) E 2z. ϕ(x, y, z) = f 1 (x) f 2 (y) f 3 (z). (3) f 1 (x) + f ) f 3 (z) f. f 3 (z) = γ2. f 3 (z) = Ae γz + B e γz. f 1 (x) = γ2 1, z=0 E 1z
1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 6 Разделение переменных в декартовых координатах 1.1. (Задача 1.49) Плоскость z = заряжена с плотностью σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), где σ, α, β постоянные.
, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)
II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются
Уравнение Лапласа в декартовой системе координат.
Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в декартовой системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 25. Разделение переменных в уравнении Лапласа 511
Семинар 1. Вывод уравнений математической физики. Постановка краевых задач
Семинар 1 Вывод уравнений математической физики. Постановка краевых задач Основные уравнения математической физики: уравнение теплопроводности описывает распространение тепла, диффузию, движение вязкой
Уравнения в частных производных
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )
Дифференциальные уравнения Т С
Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее
Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА
Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных
В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина
Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов
В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина
Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например
7. Теорема Гильберта-Шмидта.
Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]
Метод разделения переменных (метод Фурье)
Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t
Системы дифференциальных уравнений
Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В
Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода
Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Метод разделения переменных применяется для решения линейных однородных уравнений с линейными однородными граничными условиями вида α 0, β0, 0,
Предварительные сведения теории разностных схем
Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21
кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )
Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:
Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,
5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()
( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.
Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего
4. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид (4.1)
4 ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид ot E, div E ρ (4 Безвихревой характер поля позволяет ввести скалярный потенциал электрического поля: E gad, для которого
Лекция. Преобразование Фурье
С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения
Критические размеры реакторов различной формы
Критические размеры реакторов различной формы При рассмотрении в виде бесконечной пластины в диффузионном приближении мы получили решение для одномерного нейтронного потока в виде суммы собственных функций
Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя.
Линейные и нелинейные уравнения физики Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич
1. Цилиндрические функции
. Цилиндрические функции.. Определение и взаимосвязь цилиндрических функций Уравнение Бесселя t Z (t + tz (t + ( t ν Z(t =. (. Всякое решение уравнения Бесселя называется цилиндрической функцией. Теорема..
. Преобразуем функцию:, если x
Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия
. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.
Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством
Предел функции. 4 1 Понятие предела функции
Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы
Лекция 4. Идеальная несжимаемая жидкость.
Лекция 4. Идеальная несжимаемая жидкость. Жидкость называется идеальной, если коэффициенты вязкости равны нулю. Предположим, что ρt, x является константой. Тогда уравнения, описывающие движение идеальной
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,
Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)
1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.
Дробно-рациональные выражения
Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют
1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»
ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (
1. Задача для уравнения теплопроводности в шаре.
УМФ семинар К 6 1 1. Задача для уравнения теплопроводности в шаре. 1.1. Постановка 1-ой, 2-ой и 3-ей краевых задач в шаре Введём обозначения: r = x 2 + y 2 + z 2 B = { x, y, z : r 2 < 2} открытый шар радиуса
14. Задача Штурма-Лиувилля.
Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается
Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»
типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..
Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений
Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем
6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так
Тема 8. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Тема 8. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Краевые задачи на плоскости. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в простейших областях (круг кольцо прямоугольник
Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции
Контрольная работа 1 Задание 1 Показать, что функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка Р е ш е н и е Найдем первую производную от заданной функции ( После подстановки
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,
8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия
8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение
1 Метод Фурье для эллиптического уравнения. 717 a).случай однородных краевых условий по x. Найти решение u(x, t) краевой задачи
1 Метод Фурье для эллиптического уравнения. 717 a).случай однородных краевых условий по x. u(, y) = u x (, y) =, y (, s), u(x, ) =, u(x, s) = f(x), x (, ). (1.1) Шаг 1. Будем искать решение уравнения u
ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.
ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют
Дифференциальные уравнения
Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие
Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2
Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или
Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a
Дифференциальные уравнения
Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения
Глава 6. Неопределенный интеграл
Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()
ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» 1 семестр
ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» семестр. Разложить вектор X по векторам P, Q, R. Систему решить ) методом Крамера, ) матричным методом,
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24
кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы
Глава 7. Понятие об асимптотических методах
Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,
α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против
ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени
, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x
Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S
Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.В. Конев КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Издательство Томского
Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть f ( где (t (t причём функции f ( (t (t дифференцируемы Тогда
Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3
Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Учебное пособие. Санкт Петербург
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие Санкт Петербург 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
С П ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ, СР ТИХОМИРОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Формулировка задания 3 Варианты задания 3 Пример выполнения задания и комментарии
удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.
Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими Определение 6.. Комплексным числом называется выражение = а + ib, где, b любые действительные числа, i мнимая единица.
Задача 396. Решить уравнение y = t +4. Решение: Заметим, что условие задачи исключает случай t = 4. dy dt = dt t +4 e y =ln t +4 + C 1,C 1 IR
Пояснения к тексту: знак читается как "равносильно" и обозначает, что у уравнений справа от знака и слева от знака множество решений совпадает, знак IR обозначает ммножество вещественных чисел, знак IN
Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2
Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты
для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,
Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Министерство образования и науки молодежи и спорта Донбасская государственная машиностроительная академия Составитель Костиков А.А. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Методические указания к выполнению практических
Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек.
СЕМИНАР 4 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации
РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD
РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD Рязань 009 Предисловие Практикум является приложением к учебному
Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы.
Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:
1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.
ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,
Дифференциальные уравнения
~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое
I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,
I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Основные понятия 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексным числом называется выражение вида i, где и действительные числа, i мнимая единица, удовлетворяющая условию i 1 Число называется действительной частью комплексного
и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности
Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические
Глава 7 Плоскость в пространстве
Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны
1 = = 0. (1) R + 1 = C, (2) 1(R)
. Электростатика. Электростатика Урок 7 Разделение переменных в сферической и цилиндрической системах координат Оператор Лапласа в сферической системе координат записывается в виде = 2 = 2 ) + sin θ )
МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ
Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8
Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.
Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка
Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член, начиная со второго,
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии
Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.
Решение типовых задач к разделу «Матрицы»
Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим
Т е м а 4 Неопределенный интеграл
17 Т е м а 4 Неопределенный интеграл Интегральное исчисление является составной частью математического анализа, и применяется при решении множества задач из области физики, химии, биологии, а именно в
Уравнения прямой и плоскости
Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется
Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы
Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство