Исследование областей сходимости численных методов второго порядка

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Исследование областей сходимости численных методов второго порядка"

Транскрипт

1 Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» Выпуск 6 А.Т. Когут, Н.Ю. Безбородова Омский государственный университет путей сообщения Исследование областей сходимости численных методов второго порядка математический анализ А В работе описан численный эксперимент по сравнению областей сходимости классических методов Ньютона, Хэлли и Чебышева. Обсуждается критерии сходимости в рамках общей схемы полиномиальной аппроксимации из работы первого автора [3]. В вычислительной практике одним из подходов к получению итерационных процедур является интерполяционный на основе представления операторов в форме ряда Тейлора [1]. Например, если необходимо построить алгоритмы содержащие вторые производные, то применение обратной интерполяции приводит к рекуррентной формуле метода Чебышева [1], [], а дробно-рациональной к методу Хэлли [1]. В работе [3] предлагается полиномиальная аппроксимация, позволяющая для построения итерационных процедур второго порядка использовать линейную прямую интерполяцию и приводящая в частных случаях к алгоритмам Чебышева и Хэлли. В специальной литературе, как правило, оцениваются скорости сходимости, поэтому в данной работе исследуются вопросы определения областей (граничных значений сходимости. Итерационную процедуру определения корня нелинейного уравнения f ( = будем записывать в виде = + +1 в которой от способа получения разности и будет зависеть применяемый численный метод. В полиномиальной аппроксимации первой формы эта разность определяется выражением f ( = ( f ( +.5 f ( δ а второй f ( f ( δ = (3 f ( Если в формулах ( и (3 вычислять разность δ с помощью классического метода Ньютона [1], [], то δ 1 = f ( / f + ( (4 и подстановка δ в разности приводит после несложный преобразований к методу Хэлли f ( f ( = (5 [ f ( ].5 f ( f ( и алгоритму Чебышева f ( [ f ( ] f ( =.5. (6 3 f ( [ f ( ] Формула (5 записана в том же виде, что и в работе [4]. Докажем вначале условия сходимости рассматриваемых методов второго порядка. Для этого допустим, что на ( +1 -м шаге выполняется условие сходимости всех алгоритмов. В этом случае ньютоновская разность δ и приращения методов второго поряд-

2 ка будут иметь одно направление или один знак, а условие сходимости алгоритмов (5 и (6 будет заключаться в выполнение неравенства δ >. (7 Если сравнить формулы (4 и (, то у них один и тот же числитель, а знаменатели разные, поэтому для метода Хэлли условие сходимости (7 запишется в виде неравенства для произведения знаменателей f ( [ (.5 f + f ( δ ] >. (8 В формуле (3 знаменатель совпадает с выражением (4, поэтому для метода Чебышева неравенство (7 сводиться к виду f ( f ( +.5 f ( δ (9 [ ], > т. е. к произведению числителей формул (3 и (4. Подставим в выражение (8 значение δ из формулы (4, умножим левую и правую части неравенства на и получим в окончательном виде условие сходимости метода Хэлли f ( ( [ ( ] f f <. Можно показать, что после также достаточно несложных преобразований из неравенства (9 получается условие сходимости метода Чебышева f ( f ( + f ( > (11 [ ]. В работе [] приводится как рекомендация, а в [5] доказывается, что для сходимости метода Ньютона начальное приближение итерационной процедуры должно выбираться из условия: f ( f ( >. При = получим условия сходимости для метода Хэлли: (13 и алгоритма Чебышева: [ f ( ] f ( f ( < [ f ( ]. f ( f ( + > (14 Области сходимости могут быть определены из равенства f ( f ( = [ f ( ]. (15 Для проверки полученных аналитических выражений на рис. 1 5 приведены графики f ( f ( (кривая 1 и [ f ( ] (кривая для различных тестовых функций, а также показаны значения корня и экспериментальной границы сходимости методов Ньютона, Хэлли и Чебышева. ( (. 5 Рис. 1. Определение областей сходимости для функции f = log ( 1

3 Рис.. Определение областей сходимости для функции f ( = 3 sin( Рис. 3. Определение областей сходимости для функции f ( =.1 ln(

4 Рис. 4. Определение областей сходимости для функции f ( = 3 4 ln( 5 Рис. 5. Определение областей сходимости для функции 1 f ( = ( ln 3 Прокомментируем некоторые результаты. На рис. 1 в области ( > вблизи корня произведение f ( f ( <, поэтому выполняется неравенство (13 и метод Хэлли имеет более широкую область сходимости, чем Ньютона ( > и, так как f ( f ( меняет свой знак, то границу сходимости можно определить из равенства f ( =. (16 Аналогичное поведение функции показано на рис., но при ( > произведение f ( f ( >, но выполняется неравенство (13 и при изменении знака f ( f (, поэтому, как это видно из рис., область сходимости для алгоритма Хэлли определяется из условия (15. Для функции, приведенной на рис. 1, метод Чебышева имеет область сходимости меньшую, чем у метода Ньютона, это связанно с тем, что при [ f ( ] f ( = f ( > (17 и не выполняется условие сходимости для алгоритма Чебышева. В качестве примера на рис. и 3 приведены случаи, когда при = выполняется неравенство (14 и область сходимости метода Чебышева ( шире области Ньюто-

5 ( ( на >. Численное значение границ во всех трех случаях, приведенных на рис. 1 3, определяется из условия (15. Если при = будет выполняться равенство (15, то области сходимости всех ( трех методов совпадут. Такой случай показан на рис. 4, где = =. Таким образом, выполнение неравенств (13 и (14 соответствует нахождению ( в области сходимости методов Хэлли и Чебышева, а границы и могут быть определены из равенства (16. Конечно, в области сходимости в некоторых точках возможно появление вычислительной неустойчивости. Так на рис. 5 для функции вида 1 1 f ( = ( 3 + ln (18 3 показана точка, при которой наблюдалась расходимость итерационного процесса, поскольку в алгоритме Хэлли произошло деление на ноль, но как видно из графиков, качественно выполняется неравенство (13, т. е. алгоритм Хэлли должен сходиться. Такая ситуация может возникнуть и в методе Чебышева, поэтому при экспериментальных ис- ( следованиях и определения границ и нельзя ограничиваться односторонним алгоритмом сходимости. Для оценки точности полученных данных в таблице приведены для функций показанных на рис. 1 4, значения исследуемого корня, а также границы ( и, полученные экспериментально и теоретически из условия (15. п/п Результаты сравнения экспериментальных и теоретических исследований Вид функции Ньютона Теоретическое Границы сходимости методов Хэлли Чебышева ( Экспериментальное Теоретическое Экспериментальное 1 f = log ( 1,73,48,,,5,51 (. 5 f ( = 3 sin( f (.1 ln( 18,84 54,38 8,59 8,99 61,19 61,17 = 1,1 9,37 1,77 1,77 4 f ( = 3 4 ln( 5,38 3,3 3, 3,3 3, 3,3 Анализ данных в таблице показывает, что условие (15 позволяет с достаточной степенью точности оценивать границы областей сходимости рассматриваемых методов, а неравенства (13 и (14 рассматривать как необходимые и достаточные условия сходимости. Заметим, что условие является для метода Ньютона только достаточным, так как и при его невыполнении (см., например, рис. 1 наблюдается при < его сходимость. Полученные результаты позволяют сделать вывод о более широкой области сходимости методов второго порядка по сравнению с классическим методом Ньютона, поэтому методы полиномиальной аппроксимации, рассмотренные в [3], и при определении корней нелинейных уравнений целесообразно использовать на первых итерациях с последующим переходом к классическим алгоритмам.

6 Библиография 1. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. М.: Мир, с.. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. М.: Наука, Т с. 3. Когут А. Т. Полиномиальная аппроксимация в некоторых задачах оптимизации и управления: Монография. Омск: Омский гос. ун-т путей сообщения, с. 4. Микеладзе Ш. Е. Решение численных уравнений. Тбилиси: Мецниереба, с. 5. Вержбицкий В. М. Численные методы (Линейная алгебра и нелинейные уравнения: Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа,. 66 с.

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений»

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений» Лабораторная работа по теме «Тема.. Методы решения нелинейных уравнений» Перейти к Теме. Теме. Огл.... Вопросы, подлежащие изучению. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.. Этапы численного

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы Иванов И.И. Вариант 1.

Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы Иванов И.И. Вариант 1. Задание: Вариант #1 x 11x + 36x 36 = 0 Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы 04-06 Иванов И.И. Вариант 1 Этап 5. Тема: Методы решения алгебраических

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение ( 0, (3.1 где ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. В некоторых случаях

Подробнее

2 Численные методы решения уравнений.

2 Численные методы решения уравнений. 2 Численные методы решения уравнений. 2.1 Классификация уравнений, их систем и методов решения. Уравнения и системы уравнений делятся на: 1) алгебраические: уравнение называется алгебраическим, если над

Подробнее

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1,

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1, Интерполяция функций интерполяционными полиномами В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения

Подробнее

5. Определение коррекно поставленной задачи. Является ли решение уравнения x 2 3x+

5. Определение коррекно поставленной задачи. Является ли решение уравнения x 2 3x+ 0.1 Погрешность, устойчивость, числа с плавающей запятой 1. Абсолютная и относительная погрешности. Дано уравнение 0,134x+2,824 = 0. С какой погрешностью можно вычислить его корень? 2. Абсолютная и относительная

Подробнее

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Владимирский авиамеханический колледж» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине ЧИСЛЕННЫЕ

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция 2 Решение линейных и нелинейных уравнений в средах MS Excel и Mthcd Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. 1.Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия. 2.Метод хорд. Метод касательных. Метод

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил.

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил. Печатается по решению Ученого совета Московского университета Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 636 с. : ил.

Подробнее

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x,

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x, ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество + ) a b ; ; y y y y y Найти функцию : F F : y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Подробнее

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (

Подробнее

Численные методы линейной и нелинейной алгебры

Численные методы линейной и нелинейной алгебры ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» А.И. Зинина В.И. Копнина Численные методы линейной и нелинейной алгебры Учебное пособие Саратов

Подробнее

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности.

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности. Methods.doc Методы приближенных вычислений Стр.1 из 6 Общее условие задачи: Двумя заданными численными методами вычислить приближенное значение корня 1 функционального уравнения вида f()=0 для N значений

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ Математические модели и численные методы Математические модели содержат соотношения, составленные на основе теоретического анализа изучаемых процессов или полученные

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ В. Г. Чередниченко

РАЦИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ В. Г. Чередниченко Сибирский математический журнал Январь февраль 2002. Том 43 1 УДК 511.3 РАЦИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ В. Г. Чередниченко Аннотация: Классическая задача интерполяции рациональными функциями

Подробнее

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции 1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции ( x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции ( x в произвольной точке x Для

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

БИЛЕТ КОЛЛОКВИУМА (образец ) 1 ПО КУРСУ «Численные методы», Обязательная часть

БИЛЕТ КОЛЛОКВИУМА (образец ) 1 ПО КУРСУ «Численные методы», Обязательная часть БИЛЕТ КОЛЛОКВИУМА (образец 10.04.2016 ) 1 1. (2 балла) Абсолютная и относительная погрешности. Чему равна абсолютная и относительная погрешности записанного в память компьютера числа π (ответ обосновать).

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. Машкова Е.Г., Покришка О.И. Донской Государственный Технический Университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

Подробнее

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 1 Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения. Термины и понятия 2 Моделирование это исследование объекта или системы объектов путем

Подробнее

Кафедра «Математический анализ» ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Кафедра «Математический анализ» ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных исследований

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес - информатика»

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ». ЧАСТЬ 2

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ». ЧАСТЬ 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Национальный исследовательский университет СБОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Институт радиоэлектроники и информационных технологий

Институт радиоэлектроники и информационных технологий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА С ИТЕРАЦИОННЫМ УТОЧНЕНИЕМ И ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ. С.В. Трубников

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА С ИТЕРАЦИОННЫМ УТОЧНЕНИЕМ И ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ. С.В. Трубников УДК. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА С ИТЕРАЦИОННЫМ УТОЧНЕНИЕМ И ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ С.В. Трубников Предложен новый численный метод решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ключевые слова:

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ф И Л И А Л «С Е В М А Ш В Т У З» Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Г О О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н О Г О У Ч Р Е Ж Д Е Н И Я В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Факультет информационных технологий Кафедра Математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Федеральное агентство по образованию. Факультет информационных технологий Кафедра Математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет» (НГУ) Факультет информационных технологий

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из

Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из уравнения: δ cos σ υ σ 2 + η = 0 Значения δ = 0,186, υ = 4,18,

Подробнее

Coa Компьютерная алгебра

Coa Компьютерная алгебра 6. Быстрые алгоритмы деления Деление чисел методом Ньютона Для определенности будем считать, что делимое a = ( a,, am) и делитель b = ( b,, b ) записаны в позиционной системе счисления по основанию ( ).

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ижевский государственный технический университет" УТВЕРЖДАЮ Ректор И.В. Абрамов

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учебно-методическое объединение вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию

Министерство образования Республики Беларусь Учебно-методическое объединение вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию Министерство образования Республики Беларусь Учебно-методическое объединение вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Типовая учебная программа для высших учебных заведений

Подробнее

Вопросы на экзамен по курсу. Вычислительные методы линейной алгебры. 2-й курс, 3-й семестр Лектор: профессор С.Б. Сорокин

Вопросы на экзамен по курсу. Вычислительные методы линейной алгебры. 2-й курс, 3-й семестр Лектор: профессор С.Б. Сорокин Вопросы на экзамен по курсу Вычислительные методы линейной алгебры 2-й курс, 3-й семестр Лектор: профессор С.Б. Сорокин Часть 1. Численный анализ Тема 1. Алгебраические методы интерполирования. 1. Формулировка

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона.

Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона. 1 Материалы к установочной лекции Вопрос 37. Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона. 1. Решение скалярных уравнений. Метод Чебышева Рассмотрим уравнение f(x) =0,x [a, b], и пусть на указанном

Подробнее

Решение уравнения с одним неизвестным

Решение уравнения с одним неизвестным 1 Решение уравнения с одним неизвестным Дано уравнение в виде f(x)=0, где f(x) некоторая функция переменной x. Число x * называется корнем или решением данного уравнения, если при подстановке x=x * в уравнение

Подробнее

Пирумов У. Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, с.: ил.

Пирумов У. Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, с.: ил. Рецензенты: проф., д. ф.-м. н. В. Б. Миносцев (зав. каф. общей и прикладной математики Московского государственного индустриального университета); проф., д. ф.-м. н., действ, чл. РАЕН Ю. И. Яламов Пирумов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ На прошлой лекции были рассмотрены методы решения нелинейных уравнений Были рассмотрены двухточечные методы, которые используют локализацию корня,

Подробнее

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция Решение систем алгебраических уравнений в средах Лектор MS Ecel и Mthcd Ст. преподаватель Купо А.Н. .Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Постановка задачи..методы решения СЛАУ.(Метод

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ - --1 1.57.5-5-.5 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Задание: Найти решение уравнения с точностью 0. 0001 следующими методами: дихотомии; пропорциональных частей (хорд); касательных (Ньютона); модифицированным

Подробнее

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании.

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра информатики и методики

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Глава 0 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-00 Вычисление членов последовательности по рекуррентной формуле Т-00 Составление рекуррентной формулы Т-00 Формула общего члена Т-004 Составление арифметической прогрессии

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Контрольные вопросы Дайте определение вычислительного эксперимента Нарисуйте схему

Подробнее

Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

Подробнее

Требования к результатам освоения учебного предмета В результате изучения алгебры ученик должен знать/понимать существо понятия математического

Требования к результатам освоения учебного предмета В результате изучения алгебры ученик должен знать/понимать существо понятия математического Требования к результатам освоения учебного предмета В результате изучения алгебры ученик должен знать/понимать существо понятия математического доказательства; примеры доказательств; существо понятия алгоритма;

Подробнее

0, если заданы приближения a

0, если заданы приближения a 1. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА 3 курс 5 семестр 1. Отличия вычислительной математики от других математических наук.. Грубая (линейная) оценка абсолютной погрешности A ( u *). 3. Теор. задача. Вычислить относительную

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям РЕФЕРАТ Выпускная квалификационная работа по теме «Численная идентификация правой части параболического уравнения» содержит 45 страниц текста 4 приложения 6 использованных источников 4 таблицы ОБРАТНАЯ

Подробнее

8 ноября 2014 г. Построние ортогональной системы по линейно-независимой системе функций

8 ноября 2014 г. Построние ортогональной системы по линейно-независимой системе функций Вывод рекуррентного соотношения ортогональных многочленов из процесса ортогонализации Грама-Шмидта, а также схема применения полученного рекуррентного соотношения Сухопаров Станислав Юрьевич s.suhoparov@gmail.com

Подробнее

Численные методы вычисления определенного интеграла

Численные методы вычисления определенного интеграла Глава 1 Численные методы вычисления определенного интеграла Цель работы изучение численных методов интегрирования и их практическое применение для приближенного вычисления однократных интегралов. Продолжительность

Подробнее

УДК: 621 АППРОКСИМАЦИЯ ВАХ НЕЛИНЕЙНОГО ЭЛЕМЕНТА ЦЕПИ Ержан Асел Ануаркызы Старший преподаватель Алматинский университет энергетики и связи Республика

УДК: 621 АППРОКСИМАЦИЯ ВАХ НЕЛИНЕЙНОГО ЭЛЕМЕНТА ЦЕПИ Ержан Асел Ануаркызы Старший преподаватель Алматинский университет энергетики и связи Республика УДК: 61 АППРОКСИМАЦИЯ ВАХ НЕЛИНЕЙНОГО ЭЛЕМЕНТА ЦЕПИ Ержан Асел Ануаркызы Старший преподаватель Алматинский университет энергетики и связи Республика Казахстан, город Алматы Анализ нелинейных электронных

Подробнее

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА МИНОБРНАУКИ РОССИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ Рабочая программа дисциплины ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Направление подготовки 010300 Фундаментальная информатика и информационные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3 НОВОСИБИРСК 008 Министерство науки и образования РФ Новосибирский технологический институт Московского государственного

Подробнее

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 УДК 519.865 В.В. Поддубный, О.В. Романович МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ЭЙЛЕРА С УРАВНИВАНИЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РАЗРЫВЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РАЗРЫВЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ УДК 59.8 О. А. Юдин, аспирант ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РАЗРЫВЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Проанализированы возможные варианты решения задачи поиска минимума функции, которая имеет разрыв частной

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

3 1 на отрезке 3;3. на отрезке 4. Проверить найденное решение с помощью надстройки MS Excel Поиск решения (1 балл). y x x

3 1 на отрезке 3;3. на отрезке 4. Проверить найденное решение с помощью надстройки MS Excel Поиск решения (1 балл). y x x ОБРАЗЕЦ БИЛЕТА К ЗАЧЁТУ ПО ИНФОРМАТИКЕ С РЕШЕНИЕМ (ДЛЯ ЗАЧЁТА MIN БАЛЛОВ!) СамГТУ ИТФ 5/6 Задание Построить график функции y на отрезке ; с шагом h, (,5 балла) С точностью, найти корень нелинейного уравнения

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Практическая работа 5.1. Применение деловой графики и инструмента «Подбор параметра» MS Excel в моделировании Цель работы. Выполнив эту работу, Вы

Практическая работа 5.1. Применение деловой графики и инструмента «Подбор параметра» MS Excel в моделировании Цель работы. Выполнив эту работу, Вы Практическая работа 5.1. Применение деловой графики и инструмента «Подбор параметра» MS Excel в моделировании Цель работы. Выполнив эту работу, Вы научитесь: использовать линии тренда для аппроксимации

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

Кафедра Электроэнергетика, электроснабжение и силовая электроника. Составители: Флаксман Е.А., Гребенщиков В.И. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА

Кафедра Электроэнергетика, электроснабжение и силовая электроника. Составители: Флаксман Е.А., Гребенщиков В.И. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 5: Интерполирование функций факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Алгебраическое интерполирование. Полином Лагранжа............. 2 1.1. Погрешность метода.

Подробнее

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональные выражения Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

13-е занятие. Частное и суперпозиция степенных рядов. Ряды Лорана для рациональных функций Матем. анализ, прикл. матем.

13-е занятие. Частное и суперпозиция степенных рядов. Ряды Лорана для рациональных функций Матем. анализ, прикл. матем. стр. из 9 3-е занятие. Частное и суперпозиция степенных рядов. Ряды Лорана для рациональных функций Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр Вычисление коэффициентов композиции и частного Найти первые

Подробнее

Практическое занятие 3 Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами Продолжительность работы - 2 часа Цель работы:

Практическое занятие 3 Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами Продолжительность работы - 2 часа Цель работы: 20 Практическое занятие 3 Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами Продолжительность работы - 2 часа Цель работы: закрепление знаний о методах простой итерации и Гаусса-Зейделя;

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург 2013 ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ

Подробнее

Лектор проф. Ю. Н. Григорьев. 3-й семестр. 1. Алгебраические методы интерполирования

Лектор проф. Ю. Н. Григорьев. 3-й семестр. 1. Алгебраические методы интерполирования ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Лектор проф. Ю. Н. Григорьев 3-й семестр 1. Алгебраические методы интерполирования 1.1. Интерполяционный полином в форме Лагранжа. 1.2. Интерполяционный полином в

Подробнее

Численные методы и моделирование на ЭВМ

Численные методы и моделирование на ЭВМ Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донбасская государственная машиностроительная академия Составитель Костиков А.А. Численные методы и моделирование на ЭВМ Методические указания к выполнению

Подробнее

Сходимость метода последовательных приближений при моделировании нелинейных радиотехнических устройств. Метод простой итерации

Сходимость метода последовательных приближений при моделировании нелинейных радиотехнических устройств. Метод простой итерации 244 УДК 621.396.6:4.942 А.В. Ненашев Сходимость метода последовательных приближений при моделировании нелинейных радиотехнических устройств. Метод простой итерации Рассмотрены вопросы сходимости метода

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 9 по курсу: «Высшая математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 9 по курсу: «Высшая математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ

Подробнее

Численное решение нелинейного уравнения Для простейших уравнений вида f ( x) Рис. 3.1.

Численное решение нелинейного уравнения Для простейших уравнений вида f ( x) Рис. 3.1. Лабораторная работа Решение уравнений средствами Mthcd Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений

Подробнее

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация Тема Численные методы линейной алгебры - - Тема Численные методы линейной алгебры Классификация Выделяют четыре основных раздела линейной алгебры: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Подробнее

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика.

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Булычев Сергей, МОУ «Лицей

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» Методические указания к лабораторной работе «Вычисления корней трансцендентных уравнений»

Подробнее

( ) ( ) Контрольная работа по численным методам с решением. f (2) f ''(2) = > 0, значит, метод Ньютона сходится. x x ε = 2 1.

( ) ( ) Контрольная работа по численным методам с решением. f (2) f ''(2) = > 0, значит, метод Ньютона сходится. x x ε = 2 1. Контрольная работа по численным методам с решением Задание На отрезке [;] методом Ньютона найти корень уравнения + = с точностью, График функции Условие сходимости метода Ньютона: f f ''(, ( > где = начальное

Подробнее

I. Пояснительная записка

I. Пояснительная записка I. Пояснительная записка Количество часов в неделю: 3 Количество часов в год: 102 Уровень программы: базовый Тип программы: типовая Учебник: Алгебра 8 класс /Ю.Н.Макарычев,Н.Г. Миндюк и др.;под редакцией

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее