Тема 1-8: Комплексные числа

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 1-8: Комплексные числа"

Транскрипт

1 Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

2 Понятие поля комплексных чисел Определение Элементы множества C комплексными числами. Теорема {( a b b a ) } α, β R R называются Относительно операций сложения и умножения матриц множество C является полем. Доказательство. Очевидно, что C замкнуто относительно сложения матриц. ( Проверим ) ( замкнутость ) ( относительно умножения: ) a b c d ac bd ad + bc, что и требуется. b a d d bc ad bd + ac Так как R является ассоциативным кольцом с единицей (сл.8 т.1-6), O, E C и A(A C A C), заключаем, что C является ассоциативным кольцом с единицей. Убедимся, что C коммутативное кольцо. ( Для) этого ( вычислим ) ( ) c d a b ca db cb + da. Сравнив с d c b a da cb db + ca произведением, вычисленным выше, получаем требуемое.

3 Окончание доказательства Осталось проверить, что каждый ( ненулевой ) элемент кольца C имеет a b обратный в C. Пусть A O, т.е. a 0 или b 0. Тогда b a A a b b a a + b > 0 и матрица A является обратимой согласно теореме сл.36( т.1-7. По ) формуле сл.41 т.1-7 имеем a b A 1 1 C. Теорема доказана. a +b b a

4 Алгебраическая форма комплексного числа ( ) 0 1 Положим I. Каждый элемент поля C однозначно 1 0 ( ) a b записывается в виде ae b a + bi. Элементы вида ae ведут себя относительно операций сложения и умножения как действительные числа: ae + be (a + b)e, (ae ) (be ) (ab)e, поэтому комплексное число ae отождествляют с действительным числом a. Таким образом, выполняется включение R C. Легко проверить, что I E. Так как ae + bi ae + (be )I, комплексное число ae + bi принято записывать в виде a + bi, где i 1. Определения Алгебраической формой комплексного числа называется его запись в виде a + bi. Комплексное число i называется мнимой единицей. Действительное число a называется действительной частью числа a + bi, а действительное число b мнимой частью числа a + bi.

5 Алгебраическая форма записи комплексных чисел () Очеивидно следующее Наблюдение Комплексные числа a + bi и c + di равны тогда и только тогда, когда a c и b d, т.е. комплексные числа в алгебраической форме равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и мнимые части. Заметим, что ( a b (a + bi) + (c + di) b a ( a b (a + bi)(c + di) b a Иными словами, ) ( c d + d d ) ( c d d d ) ( ) a + c b + d b d a + c (a + c) + (b + d)i, ) ( ) ac bd ad + bc bc ad bd + ac (ac bd) + (ad + bc)i. сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме осуществляется как сложение и умножение обычных многочленов с «неизвестным» i, при умножении дополнительно учитывается, что i 1.

6 Комплексное сопряжение (1) Определение Если x a + bi комплексное число, то число a bi называется комплексно сопряженным к x и обозначается через x. Свойства операции комплексного сопряжения Если x и y произвольные комплексные числа, то: 1) x действительное число тогда и только тогда, когда x x; ) x + x действительное число; 3) x x действительное число; более того, x x 0, причем x x 0 тогда и только тогда, когда x 0; 4) x + y x + y; 5) xy x y.

7 Комплексное сопряжение () Свойство 1 очевидно. Свойства и 3 вытекают из того, что, как легко проверить, если x a + bi, то x + x a и x x a + b. Свойства 4 и 5 проверяются простыми вычислениями. Свойство 3 можно использовать для того, чтобы найти алгебраическую форму числа вида a+bi. В самом деле, умножив числитель и знаменатель c+di этой дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю, имеем a + bi c + di (a + bi)(c di) ac + bd + (bc ad)i (c + di)(c di) c + d ac + bd bc ad + c + d c + d i.

8 Геометрическая интерпретация комплексных чисел (1) Зафиксируем на плоскости прямоугольную декартову систему координат. Комплексное число a + bi будем изображать точкой плоскости с координатами (a, b). Тогда каждому комплексному числу будет соответствовать точка на плоскости (причем только одна) и, наоборот, каждой точке на плоскости будет соответствовать комплексное число (причем только одно). Точки оси абсцисс и только они будут изображать действительные числа, а точки оси ординат и только они числа вида bi, которые называются чисто мнимыми. Начало координат соответствует числу 0. Определение Пусть комплексное число z a + bi изображается на плоскости точкой M (см. рис. 1 на следующем слайде). Тогда длина отрезка OM называется модулем числа z. Если z 0, то угол между положительным направлением оси Ox и отрезком OM называется аргументом числа z. У числа 0 аргумент не определен. Модуль комплексного числа z обозначается через z, а аргумент через arg(z).

9 Геометрическая интерпретация комплексных чисел () На следующем рисунке r z и ϕ arg(z). y M(a, b) b r ϕ a O x Рис. 1 Отметим, что для действительных чисел, рассматриваемых как комплексные, введенное только что понятие модуля совпадает с понятием модуля (абсолютной величины), известным из школьного курса. Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, так как если ϕ аргумент числа a + bi, то ϕ + πk также его аргумент при любом целом k.

10 Извлечение квадратного корня из комплексного числа, записанного в алгебраической форме Как найти квадратный корень из комплексного числа, показывает следующее. Предложение Для любого комплексного числа u 0 существуют два противоположных решения уравнения z u. Доказательство. Пусть u a + bi, z x + yi, где a, b, x, y R. Тогда a + bi (x + yi) x y + xyi, откуда получаем систему уравнений { x y a, (1) xy b. Рассмотрим два случая. 1. b 0, т.е. u a R. Тогда из второго уравнения системы (1) следует x 0 или y 0. При a > 0 имеем y 0 и x a, откуда x ± a. Это обычное извлечение корня из положительного действительного числа. При a < 0 имеем x 0 и y a, откуда y ± a и z ±i a. Так извлекается корень из отрицательного действительного числа.

11 Окончание доказательства. b 0. Тогда x, y 0. Возведем обе части каждого из уравнений системы (1) в квадрат и рассмотрим сумму полученных равенств: x 4 x y + y 4 + 4x y a + b или (x + y ) a + b. Таким образом, x + y a + b, так как x, y действительные числа. Прибавляя и вычитая к этому уравнению первое уравнение системы (1), получаем x a+ a +b, y a +b a. Следовательно, a + a a x ± + b + b, y ± a. Так как xy b, по знаку x знак y определяется однозначно и мы получаем два противоположных решения уравнения z u. Для комплексного числа u обозначение u применяется для множества из всех решений уравнения z u.

12 Пример Покажем на примере числа z 3 4i, как найти 3 4i. Пусть (x + yi) 3 4i. Тогда 3 4i (x + yi) x y + xyi. Имеем систему уравнений { x y 3, () xy 4. Подчеркнем, что нам необходимо найти действительные решения этой системы. Возведем обе части каждого из этих уравнений в квадрат и рассмотрим сумму полученных равенств: x 4 x y + y 4 + 4x y 5 или (x + y ) 5. Получаем, что x + y 5 (ясно, что случай x + y 5 невозможен, поскольку x и y действительные числа). Отсюда и из первого уравнения системы () имеем x 4, y 1, откуда x ± и y ±1. Из второго уравнения системы () видно, что xy < 0. Поэтому мы получаем два решения: x 1, y 1 1 и x, y 1. Итак, мы нашли 3 4i { i, + i}.

13 Тригонометрическая форма записи комплексных чисел (определение) Пусть r модуль, а ϕ аргумент комплексного числа a + bi. Ясно, что r a + b a, cos ϕ a и si ϕ b +b a. Следовательно, +b a + bi ( ) a a + b a + b + b a + b i r(cos ϕ + i si ϕ). Определение Если r модуль, а ϕ аргумент комплексного числа a + bi, то выражение r(cos ϕ + i si ϕ) называется тригонометрической формой записи этого числа. Определение Если z x + iy комплексное число, то по определению полагают e z e x (cos y + i si y) (здесь e основание натуральных логарифмов). В частности, e iϕ cos ϕ + i si ϕ и тригонометрическую форму комплексного числа можно записать в виде re iϕ.

14 Тригонометрическая форма записи комплексных чисел (примеры) Пусть, например, u 1 + i, r u и ϕ arg(u). Тогда, очевидно, r, cos ϕ 1/ и si ϕ 1/. Из двух последних равенств вытекает, что ϕ π/4. Следовательно, тригонометрической формой записи числа 1 + i будет ( cos(π/4) + i si(π/4) ). Приведем еще один пример. Пусть v 1 + 3i, ρ v и ψ arg(v). Тогда ρ, cos ψ 1/ и si ψ 3/. Из двух последних равенств вытекает, что ψ π/3. Следовательно, тригонометрической формой записи числа v будет ( cos(π/3) + i si(π/3) ). Тригонометрическая форма комплексного числа определена неоднозначно это вытекает из неоднозначности аргумента комплексного числа.

15 Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме С помощью тригонометрической формы легко находятся произведение и частное от деления двух комплексных чисел. Пусть z 1 r 1(cos ϕ 1 + i si ϕ 1) и z r (cos ϕ + i si ϕ ). Тогда z 1z r 1r (cos ϕ 1 + i si ϕ 1)(cos ϕ + i si ϕ ) r 1r [(cos ϕ 1 cos ϕ si ϕ 1 si ϕ )+i(cos ϕ 1 si ϕ + si ϕ 1 cos ϕ )] r 1r ( cos(ϕ1 + ϕ ) + i si(ϕ 1 + ϕ ) ) ; z 1 r1(cos ϕ1 + i si ϕ1) r1(cos ϕ1 + i si ϕ1)(cos ϕ i si ϕ) z r (cos ϕ + i si ϕ ) r (cos ϕ + i si ϕ )(cos ϕ i si ϕ ) ( r1 (cos ϕ1 cos ϕ + si ϕ 1 si ϕ ) + i(si ϕ 1 cos ϕ cos ϕ 1 si ϕ ) ) r (cos ϕ + si ϕ ) r1 r ( cos(ϕ1 ϕ ) + i si(ϕ 1 ϕ ) ). Мы видим, что: модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов; модуль частного от деления z 1 на z равен частному от деления модуля z 1 на модуль z, а аргумент частного разности аргументов z 1 и z.

16 Возведение в степень комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме Из результата о произведении комплексных чисел в тригонометрической форме вытекает, что ( r(cos ϕ + i si ϕ) ) r (cos ϕ + i si ϕ) (3) для любого натурального. Таким образом, при возведении комплексного числа в натуральную степень его аргумент возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени. При r 1 из формулы (3) получается равенство, известное как формула Муавра: (cos ϕ + i si ϕ) cos ϕ + i si ϕ.

17 Применение формулы Муавра Формула Муавра оказывается удобным средством для преобразования тригонометрических выражений. Продемонстрируем это на следующем примере: выразить cos 5ϕ и si 5ϕ через cos ϕ и si ϕ. Будем исходить из равенства cos 5ϕ + i si 5ϕ (cos ϕ + i si ϕ) 5, которое получено из формулы Муавра при k 5. Правую его часть преобразуем по формуле бинома Ньютона (сл.1 т.1-): (cos ϕ + i si ϕ) 5 cos 5 ϕ + 5i cos 4 ϕ si ϕ 10 cos 3 ϕ si ϕ Следовательно, 10i cos ϕ si 3 ϕ + 5 cos ϕ si 4 ϕ + i si 5 ϕ (cos 5 ϕ 10 cos 3 ϕ si ϕ + 5 cos ϕ si 4 ϕ)+ + (5 cos 4 ϕ si ϕ 10 cos ϕ si 3 ϕ + si 5 ϕ)i. cos 5ϕ cos 5 ϕ 10 cos 3 ϕ si ϕ + 5 cos ϕ si 4 ϕ, si 5ϕ 5 cos 4 ϕ si ϕ 10 cos ϕ si 3 ϕ + si 5 ϕ.

18 Использование комплексных чисел для преобразования выражений С помощью тригонометрической формы комплексных чисел можно преобразовывать суммы неограниченного числа слагаемых в сумму небольшого фиксированного числа слагаемых (т.е. выполнять суммирование). Покажем на примере, как это можно делать. Преобразовать сумму k k cos(k 1)ϕ (ϕ произвольное действительное число). Положим S k k cos(k 1)ϕ 1 + cos ϕ + 3 cos ϕ ( + 1) cos ϕ, T si ϕ + 3 si ϕ ( + 1) si ϕ, z cos ϕ + i si ϕ. Тогда по формуле Муавра S + it 1 + (cos ϕ + i si ϕ) + 3(cos ϕ + i si ϕ) ( + 1)(cos ϕ + i si ϕ) 1 + z + 3z ( + 1)z. Положим U(z) 1 + z + 3z ( + 1)z. Тогда U(z) (z + z z +1 ) есть производная от суммы геометрической прогрессии. Так как z + z z +1 z z+1 1 z 1 z+ z z 1 ( дифференцирования дроби U(z), имеем по формуле z + z z 1 ) ((+)z +1 1)(z 1) z + +z (z 1) (+1)z+ (+)z (z 1). Преобразуем (z 1) z z + 1 cos ϕ + i si ϕ cos ϕ i si ϕ + 1. Так как cos ϕ cos ϕ + 1 cos ϕ cos ϕ (cos ϕ 1) cos ϕ и si ϕ si ϕ (cos ϕ 1) si ϕ,

19 Окончание примера получаем (z 1) (cos ϕ 1)(cos ϕ + i si ϕ) (cos ϕ 1)z 4z si ϕ. Так как z 1 z, имеем U(z) (+1)z+ (+)z si ϕ (( + 1)z +1 ( + )z + z) 4z si ϕ 1 4 si ϕ 1)ϕ ( + )(cos ϕ + i si ϕ) + cos ϕ i si ϕ) (( + 1)(cos( + 1)ϕ + i si( si ϕ (( + 1) cos( + 1)ϕ ( + ) cos ϕ + cos ϕ) + i(( + 1) si( + 1)ϕ ( + ) si ϕ si ϕ). Поскольку U(z) S + it, получаем и 1 S 4 si ϕ (( + 1) cos( + 1)ϕ ( + ) cos ϕ + cos ϕ) 1 T 4 si ϕ (( + 1) si( + 1)ϕ ( + ) si ϕ si ϕ). Используя тригонометрические формулы cos α cos β si α+β si α β и si α si β si α+β cos α β, можно упростить выражения для S и T. В частности, ( + 1) cos( + 1)ϕ ( + ) cos ϕ + cos ϕ (+1)(cos(+1)ϕ cos ϕ)+cos ϕ cos ϕ (+1) si(+ 1 )ϕ si 1 ϕ si +1 1 ϕ si ϕ. Таким образом, S 1 si ϕ ( + 1) si( + 1 )ϕ + 1 si ϕ si + 1 ϕ si 1 ϕ.

20 Извлечение корней из комплексных чисел (1) Определение Пусть натуральное число. Корнем степени из комплексного числа z называется комплексное число w такое, что w z. Множество всех корней степени из комплексного числа z обозначается через z. Если z 0, то, очевидно, для любого натурального существует ровно один корень -й степени из z, равный нулю. Пусть теперь z r(cos ϕ + i si ϕ) и z 0. Корень степени из z будем искать тоже в тригонометрической форме. Пусть w q(cos ψ + i si ψ) и w z. Тогда, в силу формулы (3), q (cos ψ + i si ψ) r(cos ϕ + i si ϕ). Получаем равенства q r и ψ ϕ + πk, где k некоторое целое число. Поскольку q и r положительные действительные числа, это означает, что q арифметический корень степени из числа r. Для аргумента числа w справедливо равенство ψ (ϕ + πk)/. В частности, мы видим, что корень -й степени из числа z всегда существует.

21 Извлечение корней из комплексных чисел () Выясним, сколько значений может иметь корень из комплексного числа. Как мы видели, все корни -й степени из числа z задаются формулой ( w k r cos ϕ + πk + i si ϕ + πk ), (4) где k целое число. Ясно, что w k w l тогда и только тогда, когда ϕ+πk ϕ+πl + πm при некотором целом m. Последнее равенство равносильно равенству k l m. Иными словами, числа w k и w l совпадают тогда и только тогда, когда разность k l нацело делится на. Таким образом, чтобы получить все различные значения корня, достаточно в формуле (4) взять последовательных значений k, например, последовательно приравнивать k к 0, 1,..., 1. Мы доказали, что существует ровно различных значений корня степени из произвольного ненулевого комплексного числа z, которые вычисляются по формуле ( w k r cos ϕ + πk + i si ϕ + πk ), где k 0, 1,..., 1. (5) При этом z {w 0,..., w 1}.

22 Извлечение корней из комплексных чисел (пример) Рассмотрим пример: найти корни четвертой степени из числа 1 + i. Модуль этого числа равен, аргумент равен π/4. Согласно формуле (5) имеем i cos π 4 + πk π + i si πk 4 где k 0, 1,, 3. Получаем четыре значения корня: при k 0 : w 0 8 ( cos π 16 + i si π ), 16 при k 1 : w 1 8 ( cos 9π ) 9π + i si, при k : w 8 ( cos 17π 16 + i si 17π 16 при k 3 : w 3 8 ( cos 5π 5π + i si 16 16, ), ).

23 Корни из единицы Определение Корнем степени из единицы называется комплексное число ε такое что ε 1. Положим ε,k cos πk + i si πk. Так как 1 cos 0 + i si 0, имеем 1 {ε,k k 0, 1,..., 1} множество всех корней -й степени из 1. На комплексной плоскости корни -й степени из 1 расположены на окружности радиуса 1 с центром в точке 0 в вершинах правильного -угольника, одна из вершин которого расположена в точке 1. Легко видеть, что для любого ненулевого комплексного числа z и для любого x z справедлива формула z x 1. Определение Комплексное число ε называется первообразным корнем степени из единицы, если ε 1 и ε m 1 для всех 1 m <. Очевидно, что ε,1 первообразный корень степени из единицы, так как ε,k ε k,1 при k 1,..., 1.

24 Критерий первообразности корня Следующее утверждение позволяет выделить первообразные корни степени среди элементов множества 1. Теорема Число ε,k cos πk + i si πk (1 < k < ) является первообразным корнем степени из единицы тогда и только тогда, когда числа k и взаимно просты. Доказательство. Пусть ε,k является первообразным корнем степени из единицы. От противного, предположим, что числа k и не взаимно просты. Пусть d (, k) наибольший общий делитель, 1d, k k 1d. Имеем по формуле Муавра ε 1,k cos πk 1 + i si πk 1 cos πk 1d 1 + i si πk 1d 1 cos πk 1 + i si πk 1 1. Так как 1 <, получаем противоречие. Предположим, что числа k и взаимно просты и ε m,k 1. Тогда cos πkm + i si πkm 1, откуда πkm πq для некоторого целого числа q. Имеем km q, откуда в силу взаимной простоты k и получаем, что делит m. Следовательно, ε r,k 1 при 1 r < и ε,k первообразный корень степени из единицы.

25 Понятие числового поля Множество всех комплексных чисел, как и множество всех действительных чисел являются полями относительно сложения и умножения. Определение Числовым полем называется произвольное множество комплексных чисел, которое является полем относительно сложения и умножения чисел. Известными из школьного курса математики примерами числовых полей являются множества Q всех рациональных чисел и множество R всех действительных чисел. Наиболее широким среди числовых полей является поле комплексных чисел C. Любое числовое поле содержит поле Q. Характеристика любого числового поля (см. сл.13 т.1-4) равна нулю.

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: Лекция МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая форма комплексного числа Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая

Подробнее

Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел

Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел Комплексные числа были введены в связи с тем, чтобы расширить имеющуюся систему действительных чисел. Известно, что действительных чисел не достаточно,

Подробнее

Комплексные числа. , то суммой этих точек мы будем называть точку с абсциссой a c и ординатой c d, т.е. . Если даны точки ( a, b)

Комплексные числа. , то суммой этих точек мы будем называть точку с абсциссой a c и ординатой c d, т.е. . Если даны точки ( a, b) Тема 1 Комплексные числа 1 11 Понятие комплексного числа Комплексные числа вводятся в связи со следующей задачей Известно что действительных чисел недостаточно для того чтобы решить любое квадратное уравнение

Подробнее

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 =

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 = Лекция. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.. Числовое поле. Числовое поле множество чисел, в котором корректны арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевое число. Примеры числовых полей:

Подробнее

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА А А КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ПСКОВ ББК 57 К45 Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского совета ПГПИ им СМ Кирова Рецензент: Медведева ИН, кандидат физ мат наук, доцент

Подробнее

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 1. Определение и различные формы записи комплексного числа

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 1. Определение и различные формы записи комплексного числа КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа представляют собой расширение множества действительных чисел Впервые с необходимостью их введения математики столкнулись при изучении кубических уравнений В XVI в была

Подробнее

Лекция 5. Комплексные числа

Лекция 5. Комплексные числа Лекция 5 Комплексные числа Не все многочлены с вещественными коэффициентами имеют вещественные корни. Например, многочлен x + x + не имеет вещественных корней, т.к. уравнение x + x + = 0 имеет отрицательный

Подробнее

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и. 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа в алгебраической форме 1Основные понятия Определение 1 Комплексным числом в алгебраической форме называется выражение вида, где и действительные числа, а так называемая

Подробнее

а ϕ какой-либо из аргументов комплексного числа z = a+

а ϕ какой-либо из аргументов комплексного числа z = a+ 9- уч год 6, кл Математика Комплексные числа 3 Различные формы записи комплексных чисел Операции над комплексными числами Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа Запись комплексного

Подробнее

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Основные понятия 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексным числом называется выражение вида i, где и действительные числа, i мнимая единица, удовлетворяющая условию i 1 Число называется действительной частью комплексного

Подробнее

Лекция 3. Комплексные числа, действия с ними

Лекция 3. Комплексные числа, действия с ними ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Комплексные числа, действия с ними СОДЕРЖАНИЕ: Определение Действия с комплексными числами Свойства операций с комплексными числами Геометрическая модель комплексных

Подробнее

Комплексные числа. yξ + xη = 0 которая в силу невырожденности (определитель системы x 2 + y 2 0) имеет единственное. 2 x 2 + y. 2

Комплексные числа. yξ + xη = 0 которая в силу невырожденности (определитель системы x 2 + y 2 0) имеет единственное. 2 x 2 + y. 2 Комплексные числа Традиционно под комплексными числами понимают числа z вида x + iy, где x, y R и i мнимая единица число, обладающее свойством i = 1. Множество комплексных чисел принято обозначать C. Число

Подробнее

2. Действия над комплексными числами

2. Действия над комплексными числами Действия над комплексными числами Словарь: произведение комплексных чисел комплексная плоскость радиус-вектор формула Муавра Обратите внимание: Действия (над чем? над числами Извлечение (чего? корня Действия

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

Алгебраическая форма комплексного числа. Учебная презентация

Алгебраическая форма комплексного числа. Учебная презентация Алгебраическая форма комплексного числа. Учебная презентация А. В. Лихацкий Руководитель: Е. А. Максименко Южный федеральный университет 14 апреля 2008 г. А. В. Лихацкий (ЮФУ) Алгебр. форма компл. числа

Подробнее

Комплексные числа и действия над ними

Комплексные числа и действия над ними Комплексные числа и действия над ними Лекция 1 Л. И. Лазарева, И. А. Цехановский Курс: Ряды и комплексный анализ Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Методические указания

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю Б Мельников Алгебра комплексных чисел Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд 3-е, испр и доп

Подробнее

1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр

1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр 1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., -й семестр A1 Записать комплексные числа в алгебраической форме и отметить на комплексной плоскости: (3; 4), (7; 5),

Подробнее

Множество комплексных чисел. Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных чисел недостаточно. Например, уравнение

Множество комплексных чисел. Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных чисел недостаточно. Например, уравнение 8 Примеры : ) Пусть A [,5] mifa, MsupA5 ) Пусть A (,) 5 mifa, MsupA5 3) Пусть { } A < 5, R, m if A 5, M supa 5 Множество комплексных чисел Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных

Подробнее

Комплексные числа (факультативный курс для школьников классов)

Комплексные числа (факультативный курс для школьников классов) Лекции Комплексные числа (факультативный курс для школьников 10 11 классов) НОВОПАВЛОВСКАЯ СОШ Г. НОВОПАВЛОВСК СТАВРОПОЛЬСКИЙ КРАЙ 01 Лийка Владимир Владимирович Лекция 1. Комплексные числа и их геометрическая

Подробнее

1. Геометрия комплексных чисел

1. Геометрия комплексных чисел . Геометрия комплексных чисел В первой главе комплексные числа изучались с алгебраической точки зрения. Мы рассмотрели основные алгебраические операции и свойства комплексных чисел. Но комплексные числа

Подробнее

Тема 1-4: Алгебраические операции

Тема 1-4: Алгебраические операции Тема 1-4: Алгебраические операции А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими Определение 6.. Комплексным числом называется выражение = а + ib, где, b любые действительные числа, i мнимая единица.

Подробнее

Лекция 7 Комплексные числа Многочлены

Лекция 7 Комплексные числа Многочлены Лекция 7 Комплексные числа Многочлены. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ Комбинаторика изучает конечные множества и связанные с ними операции. Пусть N конечное множество, состоящее из n элементов; число n называется

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Лекция 1. Комплексные числа

Лекция 1. Комплексные числа С А Лавренченко wwwlawecekou Лекция Комплексные числа Множество действительных чисел, как обычно, обозначается R, а множество комплексных чисел через C Мы увидим на этой лекции, как между множествами C

Подробнее

Конспект лекции 2 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Конспект лекции 2 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Конспект лекции 2 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 0. План лекции ПЕРВЫЙ ЧАС. Поле комплексных чисел. 1. Аксиомы поля "4+1+2". 1.1. Определение поля; 1.2.! нулевого и единичного элементов; 1.3. Расширение поля и подполе;

Подробнее

1 День КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1 День КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа. Все знают, что не существует такого вещественного числа, что его квадрат равен минус единице. А что будет, если придумать такое НЕвещественное число i, которое в квадрате

Подробнее

Комплексные числа. 1) Изображение комплексного числа на плоскости. Комплексное число изображается на плоскости O

Комплексные числа. 1) Изображение комплексного числа на плоскости. Комплексное число изображается на плоскости O Комплексные числа I Комплексные числа в алгебраической форме Определение Комплексным числом называется выражение вида где и действительные числа число называется мнимой единицей: Числа и называются соответственно

Подробнее

Лекция 15. Комплексные числа. 1 Определение. 2 Поле комплексных чисел.

Лекция 15. Комплексные числа. 1 Определение. 2 Поле комплексных чисел. Лекция 15. Комплексные числа Комплексные числа - бедные родственники в программе математического образования. Для школьной программы они считаются слишком трудными, а для университета - слишком легкими.

Подробнее

Комплексные числа и их свойства.

Комплексные числа и их свойства. «знак действия» a+(-b)=a-b 1) Зачем вводятся отрицательные числа? «знак количества» ) Почему над ними совершаются действия по таким-то правилам, а не по другим? Почему при умножении и делении отрицательного

Подробнее

Алгебраические преобразования, комплексные числа, векторная алгебра, элементы комбинаторики и бином Ньютона

Алгебраические преобразования, комплексные числа, векторная алгебра, элементы комбинаторики и бином Ньютона Министерство образования Российской Федерации Томский политехнический университет Л.И. Лазарева Алгебраические преобразования, комплексные числа, векторная алгебра, элементы комбинаторики и бином Ньютона

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава первая Арифметика и алгебра..................................... 6 1.1. Числа и действия с ними.............................

Подробнее

2-е занятие. Комплексные числа: тригонометр. форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр

2-е занятие. Комплексные числа: тригонометр. форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр -е занятие Комплексные числа: тригонометр форма Линейная алгебра, прикл матем, -й семестр A1 Перевести комплексные числа из тригонометрической формы в алгебраическую и отметить на комплексной плоскости:

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

ГБОУ СПО «Тверской колледж им. А.Н. Коняева» Учебное пособие. по дисциплине «Математика» для студентов второго курса

ГБОУ СПО «Тверской колледж им. А.Н. Коняева» Учебное пособие. по дисциплине «Математика» для студентов второго курса Министерство образования Тверской области ГБОУ СПО «Тверской колледж им. А.Н. Коняева» Учебное пособие по дисциплине «Математика» для студентов второго курса г. Тверь 2014 Данная разработка обсуждена и

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ПОСОБИЕ по выполнению практических работ и контрольных домашних заданий

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ПОСОБИЕ по выполнению практических работ и контрольных домашних заданий МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- ОГ Илларионова АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.В. Конев КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Издательство Томского

Подробнее

Утверждено научно-методическим советом математического факультета 31 января 2013 г., протокол

Утверждено научно-методическим советом математического факультета 31 января 2013 г., протокол МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Н. М. Близняков КОМПЛЕКСНЫЕ

Подробнее

1-е занятие. Алгебраическая форма комплексного числа. Абсолютная величина и операция сопряжения Матем. анализ, прикл. матем.

1-е занятие. Алгебраическая форма комплексного числа. Абсолютная величина и операция сопряжения Матем. анализ, прикл. матем. стр. 1 из 13 1-е занятие. Алгебраическая форма комплексного числа. Абсолютная величина и операция сопряжения Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр A1 Вспомнить определения величин (z), (z), z, z, где

Подробнее

Практическое занятие 1. Комплексные числа

Практическое занятие 1. Комплексные числа С. А. Лавренченко.lareceko.ru Практическое занятие Комплексные числа (Используется типовые расчеты,.). Операции над комплексными числами Пример.. Вычислить ( )( 4). Решение: Надо раскрыть скобки, заменить

Подробнее

Лекция 3 1. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ Формула Эйлера. Рассмотрим функцию. f(ϕ) = cosϕ + i sin ϕ. Она обладает свойством

Лекция 3 1. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ Формула Эйлера. Рассмотрим функцию. f(ϕ) = cosϕ + i sin ϕ. Она обладает свойством Лекция. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ.. Формула Эйлера. Рассмотрим функцию Она обладает свойством Эта функция обозначается e iϕ : это формула Эйлера. fϕ) = cosϕ + i sin ϕ. fϕ ) fϕ ) = fϕ + ϕ ). e

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по теме «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по теме «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА» РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВПО РГУПС) Тихорецкий техникум

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости: Комплексные числа Имеет вид, где и действительные числа, так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью ( ) комплексного числа, число называется мнимой частью ( ) комплексного числа.

Подробнее

Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Степень с рациональным показателем. Степенная функция Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ Возьмем натуральное целое число m, которое будем называть модулем. Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если разность (a b) делится на m (m a

Подробнее

1 Системы линейных уравнений

1 Системы линейных уравнений 1 Системы линейных уравнений Рассмотрим систему линейных уравнений a x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2.............................. a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n

Подробнее

Примеры и комментарии

Примеры и комментарии 72 Глава2 Многочлены Примеры и комментарии Алгоритмы А-01 Запись многочлена в стандартном виде А-02 Действия над многочленами А-03 Устные преобразования А-04 Формулы сокращенного умножения А-05 Бином Ньютона

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Т.В.Родина КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Т.В.Родина КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИ- ОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ ТВРодина КОМПЛЕКСНЫЕ

Подробнее

Лекция Комплексные числа. Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел

Лекция Комплексные числа. Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел Лекция 1 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i 2 = 1). Действительная

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по курсу ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА для студентов первого курса

Подробнее

= c + id равны, если по отдельности равны их

= c + id равны, если по отдельности равны их ЧАСТЬ ПЕРВАЯ КВАТЕРНИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛАВА ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В этой главе для простоты дальнейшего чтения рассмотрены элементы алгебры комплексных чисел и классической алгебры

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА http://vmk.ucoz.net/ I + + Ç R ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов МАТЕМАТИКА. Понятие о комплексных числах

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов МАТЕМАТИКА. Понятие о комплексных числах Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского В.А. Иванов МАТЕМАТИКА Понятие о комплексных числах Учебное пособие для студентов биологического факультета ИЗДАТЕЛЬСТВО САРАТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Занятие 1 Основные алгебраические структуры 11 Является ли операция на множестве A ассоциативной если a A = N x y = x y b A = N x y = НОДx y c A = N x y = 2xy d A = Z x y = x 2 + y 2 e A

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

11. Скалярное произведение векторов

11. Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение скалярного произведения векторов Материал этого параграфа, как и предыдущего,

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Комплексный анализ Геометрия комплексных чисел

Комплексный анализ Геометрия комплексных чисел Комплексный анализ Геометрия комплексных чисел Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета 2015 Комплексный анализ 1 / 31 Числовая прямая R Комплексный

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Лекция 11: Гипербола

Лекция 11: Гипербола Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Подробнее

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ I Рациональные алгебраические уравнения Равносильность уравнений Равносильность уравнений на множестве Равносильность

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2}

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2} Геометрия 9 класс Тема Метод координат Основные понятия Векторы i и j называются координатными векторами, если их длины равны единице, вектор i сонаправлен с осью абсцисс, а вектор j сонаправлен с осью

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее