2. Какая из указанных величин является формулой n-ого члена(n N) ряда: , если. 2 ; г) a n 1 n = ( 1)n 1? 2 n 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2. Какая из указанных величин является формулой n-ого члена(n N) ряда: , если. 2 ; г) a n 1 n = ( 1)n 1? 2 n 1"

Транскрипт

1 Тесты по теме «Числовые ряды» Вариант. Вставьте в выражение недостающий символ,, ): Общий член числового ряда a 0 при )... Числовой ряд a сходится). 2. Какая из указанных величин является формулой -ого члена N) ряда: , если а) a = 2 ; б) a = ) ; 2 в) a = ) 2 ; г) a = )? 2 3. По определению исследуйте ряд tg + tg + 2 ) на сходимость + и укажите его -ую частичную сумму. ) tg 3) tg а) ряд сходится; б) ряд расходится; + tg 2, N; 2) tg tg, N; + 2 tg, N; 4) tg 2 tg, N Какое из перечисленных утверждений является признаком Дирихле сходимости знакопеременного ряда a b )? Ряд ) сходится, если последовательности {a } + и {b } + удовлетворяют условиям: а) Последовательность {a } + монотонна и ограничена; последовательность {B } + : B = b k, N сходится. k= б) Последовательность {a } + монотонна; ряд + в) Последовательность {a } + является монотонной и бесконечно ма- b k, N, ограничена. лой; последовательность {B } + :B = b сходится. k=

2 5. Укажите сходящийся ряд: а) в) cos 4 3 ; ; б) + =2 г) + =2 l 5 l ) 2; l 8 l si. 6. Исследуйте на сходимость ряд a) сходится; б) расходится; ) 3 : в) ничего определенного сказать нельзя. 7. Исследуйте на сходимость ряд ) + l tg. а) расходится; б) сходится абсолютно; в) сходится условно; г) ничего определенного сказать нельзя. 8. С помощью каких из указанных утверждений Вы исследуете на сходимость ряд 2! 2)!? а) признак Даламбера в предельной форме; б) признак Лейбница; в) признак Даламбера в непредельной форме; г) признак Коши в предельной форме; д) необходимое условие сходимости числового ряда. Укажите, сходится ли он Сходится ли числовой ряд. Если сходится, укажите утверждения, с помощью которых вы провели l ) =2 исследование. а) признак сравнения в предельной форме; б) признак сравнения в непредельной форме; в) признак Даламбера; г) признак Коши; д) необходимое условие сходимости. 2

3 0. Исследуйте на сходимость ряд а) расходится; б) сходится. В. Исследуйте ряд si ) на сходимость используйте форму- лу Тейлора). l В2. Исследуйте на сходимость ряд ) si 3 cos и, если он сходится, укажите признак сходимости, с помощью которого вы изучили данный ряд. В3. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд Вариант 2 si π ) Вставьте недостающий символ,, ): Бесконечное числовое произведение сходится числовой ряд l a. ) + a, a > 0, N, сходится) Какая из указанных величин является формулой -ого члена N) ряда: l 2 l l 4 3 l , если а) l + ; б) ) l + ) ; в) ) l + ) ; г) ) l +? 3. По определению исследуйте на сходимость ряд arcsi 2 arcsi ) 2 и укажите его -ую частичную сумму. а) ряд сходится; б) ряд расходится; 3

4 ) arcsi arcsi 2, N; 2) arcsi arcsi, N; 2 3) arcsi 2 arcsi 2, N; 4) arcsi arcsi, N Какое из перечисленных утверждений является верным: а) Если общий член числового ряда является бесконечно малым, то ряд сходится; б) Если предел общего члена числового ряда a равен нулю, то ряд расходится; a в) Если числовой ряд расходится, то общий член ряда не является бесконечно малым; г) Если числовой ряд сходится,то общий член ряда является бесконечно малым. 5. Укажите сходящийся ряд: а) в) 3 2 ) l ; 4 ; г) 2 + 3)l ) 2 б) + l + ; l Сходится ли ряд a) сходится; б) расходится; ) l в) ничего определенного сказать нельзя. 7. Для исследования абсолютной сходимости ряда вы применили признак сравнения в cos π 0 l 4) + 3 ) предельной форме; 2) непредельной форме? Какую оценку вы получили? а) a l 4) ; б) a cos π 0 l 4) ; в) a l 4) ; г) a < cos π 0 l 4). 4

5 8. С помощью каких из указанных утверждений Вы исследуете на сходимость ряд 3! ? а) признак Даламбера в предельной форме; б) признак Лейбница; в) признак Даламбера в непредельной форме; г) признак Коши в предельной форме; д) необходимое условие сходимости числового ряда. Укажите, сходится ли он. Ответ дайте в форме: а), да Сходится ли числовой ряд 5. Если сходится, укажите утверждение, с помощью которого вы провели исследование. а) признак сравнения в предельной форме; б) признак сравнения в непредельной форме; в) признак Даламбера; г) признак Коши; д) необходимое условие сходимости. 0. Исследуйте на сходимость ряд 2 + si3 : а) расходится; б) сходится. В. Исследуйте на сходимость ряд, используя формулу Тейлора, si l + ). ) В2. Исследуйте на сходимость ряд 2 + tg и, если он сходится, укажите признак сходимости, с помощью которого вы изучили l данный ряд. В3. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд cos π 4 + arctg. 5

6 Вариант 3. В критерий Коши о сходимости числового ряда вставьте недостающие символы,, <, >,, ). В ответе укажите через запятую символы в порядке их следования: Числовой ряд a сходится)... ε > 0... N N :... > N и... p N выполняется неравенство S +p S... ε). 2. Какая из указанных величин является формулой -ого члена N) ряда: + 2 e 3 e e 3..., если 3. По определению исследуйте ряд а) a = ) e ; б) a = ) e ; в) a = ) e ; г) a = ) + ) e. на сходимость и укажите его -ую частичную сумму. e e ) + а) ряд сходится; б) ряд расходится; ) e e +, N; 2) e e 2, N; 3) e + e, N; 4) e e, N? 4. Какое из перечисленных утверждений является верным? Сумма числового ряда - это а) сумма всех его членов; б) предел его частичных сумм; в) сумма первых его членов. 5. Укажите сходящийся ряд: а) в) l π 3 ; б) ) 5 ; 2 г) ; 2l ) cos. 6. Сходится ли ряд ) si 6

7 a) сходится; б) расходится; в) ничего определенного сказать нельзя. arctg ) 0 7. Сходится ли числовой ряд 3? Укажите утверждение, с помощью которого вы провели исследование. а) признак сравнения в предельной форме; б) признак сравнения в непредельной форме; в) признак Даламбера; г) признак Коши; д) необходимое условие сходимости. 8. С помощью каких из указанных утверждений Вы исследуете на сходимость ряд ) 3 + 5) + 2? а) признак Даламбера в предельной форме; б) признак Лейбница; в) признак Даламбера в непредельной форме; г) признак Коши в предельной форме; д) необходимое условие сходимости числового ряда. Укажите, сходится ли он. 9. Исследуйте на сходимость ряд si и укажите характер его сходи- l π) мости. а) расходится; б) сходится абсолютно; в) сходится условно. 0. Исследуйте на сходимость ряд l3 + ) l l 3) : В. Исследуйте ряд формулу Тейлора). а) расходится; б) сходится. 4 l + )) 4 на сходимость используйте 7

8 cos π 2 В2. Исследуйте на сходимость ряд arctg и укажите признак сходимости, с помощью которого вы изучили данный ряд. В3. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд Вариант 4 ) si arctg +.. В формулировку критерия Коши о расходимости числового ряда вставьте недостающие символы,, <, >,, ). В ответе укажите через запятую символы в порядке их следования: Числовой ряд a расходится)... ε > 0... N N... > N и... p N : выполняется неравенство S +p S... ε). 2. Какая из указанных величин является формулой -ого члена N) ряда: , если а) a = ) 3 ; б) a = 3 ; в) a = ) ; г) a 3 = )? 3 3. По определению исследуйте ряд cos ) cos + и укажите его -ую частичную сумму. на сходимость а) ряд сходится; б) ряд расходится; ) cos 2 cos, N; 2) cos cos, N; + 3) cos 2 + cos +, N; 4) cos + cos, N. 4. Пусть числовые ряды a, b расходятся и c = 3a 2b, N. Какое из перечисленных утверждений является верным? a) Ряд c расходится; 8

9 б) Ряд c сходится; в) о сходимости ряда 5. Укажите сходящийся ряд: 6. Сходится ли ряд a) сходится; б) расходится; а) в) c ничего определенного сказать нельзя. l ) 3/4; /2 + ; ) si +? в) ничего определенного сказать нельзя. б) + г) + si ; 2 l Сходится ли числовой ряд 2 + 5? Укажите утверждение, с помощью которого вы провели исследование. а) признак сравнения в предельной форме; б) признак сравнения в непредельной форме; в) признак Даламбера; г) признак Коши; д) необходимое условие сходимости. 8. С помощью каких из указанных утверждений Вы исследуете на сходимость ряд? а) признак сравнения в предельной форме; б) признак Лейбница; в) признак Даламбера в непредельной форме; г) признак Коши в предельной форме; д) необходимое условие сходимости числового ряда. Укажите, сходится ли он. Ответ дайте в форме: а),да. 9

10 9. Исследуйте на сходимость ряд и укажите характер сходимости: si а) расходится; б) сходится абсолютно; в) сходится условно; г) ничего определенного сказать нельзя. 0. Исследуйте на сходимость ряд В. Исследуйте ряд формулу Тейлора). l + l 2 ). а) расходится; б) сходится. 4 e 4 ) 2 на сходимость используйте si π 4 В2. Исследуйте на сходимость ряд 2 l и, если он сходится, укажите признак сходимости, с помощью которого вы изучили данный ряд. В3. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд Вариант 5 ) arcsi +.. Выпишите последовательно через запятую пропущенное в утверждении: Пусть даны числовые ряды a) ); б) 2); в)сходимость; г) расходимость. a ) и b 2), удовлетворяющие условиям 0 a b, N. Тогда из расходимости ряда... ) следует... ряда... ). 2. Какая из указанных величин является формулой -ого члена N) ряда : l 2 4 l l 4 6 l , если a) a = ) 2 l ; б) a = ) 2 l + ) ; в) a = )+ 2 l ; г) a = )+ 2 l + ). 0

11 3. По определению исследуйте на сходимость ряд укажите его -ую частичную сумму. а) ряд сходится; б) ряд расходится; ) si 2 si + ; 2) si + si ; 3) si + si + ; 4) si 2 si +. si + si ) и 4. Укажите, какое из перечисленных утверждений является признаком Абеля сходимости знакопеременного ряда последовательности {a } + и {b } + a b ): Ряд ) сходится, если удовлетворяют условиям: а) последовательность {a } + монотонна и ограничена; последовательность {B } + : B = b k, N ограничена. k= + б) последовательность {a } + монотонна;ряд b сходится. + в) последовательность {a } + монотонна и ограничена; ряд b сходится. 5. Укажите сходящиеся ряды: 6. Сходится ли ряд a) сходится; б) расходится; а) в) 4 l 3 7 ; /2 + ; ) l? в) ничего определенного сказать нельзя. б) + =5 г) + arctg 2 4 ; arctg. l l 7. Сходится ли числовой ряд 3? Укажите утверждение, с помощью =2 которого вы провели исследование.

12 а) признак сравнения в предельной форме; б) признак сравнения в непредельной форме; в) признак Даламбера; г) признак Коши; д) необходимое условие сходимости. 8. С помощью какого из указанных утверждений Вы исследуете на сходимость ряд si 2+ 3 l arcsi 4? а) признак сравнения в предельной форме; б) признак Лейбница; в) признак Даламбера; г) признак Коши; д) необходимое условие сходимости числового ряда. 9. Исследуйте на сходимость ряд ) l ) 00 + и укажите харак- + 2 тер сходимости: а) расходится; б) сходится абсолютно; в) сходится условно; г) ничего определенного сказать нельзя. 0. Исследуйте на сходимость ряд =2 e l ) si : В. Исследуйте на сходимость ряд формулу Тейлора. а) расходится; б) сходится. si si, используя для решения В2. Исследуйте на сходимость ряд ) si arctg + и, если он сходится, укажите признак сходимости, с помощью которого вы изучили данный ряд. В3. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд si l + si l. 2

13 Вариант 6. Выпишите последовательно через запятую пропущенное в утверждении: Пусть даны числовые ряды a) ); б) 2); в)сходимость; г) расходимость. a ) и b 2), удовлетворяющие условиям 0 a b, N. Тогда из сходимости ряда... ) следует... ряда... ). 2. Какая из указанных величин является формулой -ого члена N) ряда : l 2 3 l l 4 5 l , если a) a = )+ l в) a = )+ l + ) + 2 ; б) a = ) l + ) ; + 2 ; г) a = ) l + 2) По определению исследуйте на сходимость ряд и укажите его -ую частичную сумму + ). а) ряд сходится; б) ряд расходится; ) ; 2) 2 + ; 3) + ; 4). 4. Укажите какое из перечисленных утверждений является верным: Пусть ряд a ) является знакопеременным; a + = { a, a > 0, 0, a 0. a = а) Ряд ) условно сходится ряды { a, a 0, 0, a > 0, N. a + 2), a 3) сходятся. ) б) Ряд ) условно сходится один из рядов 2),3) сходится,а другой расходится. ) в) Ряд ) условно сходится ряды 2),3) расходятся. ) 5. Укажите сходящийся ряд: 3

14 6. Сходится ли ряд a) сходится; б) расходится; а) в) si l ; б) ; ) si? в) ничего определенного сказать нельзя. 2 ; l ) 2 + г) l + ). 7. Сходится ли числовой ряд? Укажите утверждение, с помощью которого вы провели исследование. а) признак сравнения в предельной форме; б) признак сравнения в непредельной форме; в) признак Даламбера; г) признак Коши; д) необходимое условие сходимости. 8. С помощью какого из указанных утверждений Вы исследуете на сходимость ряд 2 si 3? а) признак сравнения в непредельной форме; б) признак сравнения в предельной форме; в) признак Даламбера в предельной форме; г) признак Даламбера в непредельной форме; д) необходимое условие сходимости числового ряда. 9. Исследуйте на сходимость ряд его сходимости: ) + + ) и укажите характер а) расходится; б) сходится абсолютно; в) сходится условно; г) ничего определенного сказать нельзя. 0. Исследуйте на сходимость ряд =2 2 si l : 4

15 В. Исследуйте на сходимость ряд e si + ), используя для ре- 2 шения формулу Тейлора. а) расходится; б) сходится. si π 6 В2. Исследуйте на сходимость ряд и укажите признак сходимости, с помощью которого вы изучили данный l ряд. В3. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд Вариант 7 ) + cos.. Вставьте пропущенный квантор,, ) в утверждение. Пусть ряд a ) является знакопеременным: a + = { a, a 0, 0, a < 0. a = Ряд ) расходится)... Один из рядов расходится. ) { a, a 0, 0, a > 0. a +, a сходится, а другой 2. Какая из указанных величин является формулой -го члена N)ряда , если a) a = ) 2 ; б) a = 2 ; в) a = ) 2 ; г) a = ) По определению исследуйте на сходимость ряд и укажите его -ую частичную сумму arctg ) arctg. + Ответ укажите в виде : б); 3). 5

16 а) ряд сходится; б) ряд расходится; ) arctg 2 arctg + ; 2) π 4 arctg + ; 3) arctg + arctg ; 4)arctg arctg Укажите, какое из перечисленных утверждений является верным, если при исследовании на сходимость положительного ряда по признаку Даламбера установлено,что lim = 0: a + + a а) ряд сходится; б) ряд расходится; в) ничего определенного сказать нельзя. 5. Укажите сходящийся ряд: а) в) ; б) l 3 + ; 6 г) + si l ; arctg. 6. Сходится ли ряд a) сходится; б) расходится; ) si? в) ничего определенного сказать нельзя ) 7. Сходится ли числовой ряд +? Укажите утверждение, с помощью которого вы провели )2 исследование. Ответ дайте в форме: да; а): а) признак сравнения в предельной форме; б) признак сравнения в непредельной форме; в) признак Коши в предельной форме; г) признак Коши в непредельной форме; д) необходимое условие сходимости. 8. С помощью какого из указанных утверждений Вы исследуете на сходимость ряд l 6 + 2? 6

17 а) признак сравнения в непредельной форме; б) признак сравнения в предельной форме; в) признак Даламбера; г) признак Коши; д) необходимое условие сходимости числового ряда. 9. Исследуйте на сходимость ряд сходимости: ) 3 + ) l а) расходится; б) сходится абсолютно; в) сходится условно. и укажите характер 0. Исследуйте на сходимость ряд 2 + 2) arcsi : В. Исследуйте на сходимость ряд cos e 2 2 ) 3, используя для решения формулу Тейлора. а) расходится; б)сходится. cos 2π 3 В2. Исследуйте на сходимость ряд и укажите признак сходимости, l l =3 с помощью которого вы изучили данный ряд. В3. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд ) si Таблицы ответов на тесты «Числовые ряды» A A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A0 г а, 4 в б а б а,б,да а, г а 2 б а, 2 г г а 2, в д, нет г б 3,,,, < в б, б б а нет, а г, д б а 4,,,, а а, 2 в б а да,а,б a,б;а,г б б 5 а, г, б г а, 3 в б а нет, б а б а 6 б, в, а б б, 3 в а а нет, д б б а 7 в а, 2 а б а нет, в б б а 7

18 Ответы на задания В: В В2 В3 сходится сходится, признаки Абеля сходится абсолютно и Лейбница 2 сходится сходится условно сходится условно, признаки Абеля и Дирихле 3 расходится сходится, признак Абеля сходится условно 4 расходится сходится, признаки Абеля и Дирихле сходится условно 5 сходится сходится, признаки Абеля сходится абсолютно и Лейбница 6 сходится сходится, признак Дирихле сходится абсолютно, признак Абеля 7 расходится сходится, признак Дирихле сходится условно Есть набор тестов 0 вариантов) по теме «Функциональные ряды». 8

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Необходимые понятия и теоремы: фундаментальная последовательность, критерий Коши, теорема о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности,

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

19-е занятие. Признаки Абеля и Дирихле. Радиус сходимости степенного ряда Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

19-е занятие. Признаки Абеля и Дирихле. Радиус сходимости степенного ряда Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 9-е занятие. Признаки Абеля и Дирихле. Радиус сходимости степенного ряда Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Необх. усл. равномерной сходимости функц. ряда f x): f 0. A Исследовать функ. ряд на сх-ть:

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!!

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!! ТЕМА РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Выяснить, какие из указанных рядов сходятся, а какие нет А) cos - расходится не выполнено необходимое условие cos, Б) arctg Применим признак Даламбера:! arctg! arctg

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция 5 Абсолютная и условная сходимости. Понятие абсолютной и условной сходимостей Пусть дан ряд (данный ряд). Поставим ему в соответствие ряд, члены которого равны

Подробнее

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность . Числовые ряды.. Пусть дана числовая последовательность x. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее членов, то говорят, что рассматривают числовой ряд x, а члены

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Цель работы: исследование числового ряда на сходимость.

Цель работы: исследование числового ряда на сходимость. Практическая работа 0 Сходимость числовых рядов с положительными членами. Цель работы: исследование числового ряда на сходимость. Содержание работы. Основные понятия. Сумма членов бесконечной числовой

Подробнее

11. Числовые ряды. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее

11. Числовые ряды. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее . Числовые ряды ТЕОРИЯ Пусть дана числовая последовательность x. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее членов, то говорят, что рассматривают числовой ряд x,

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э.

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика РЯДЫ Методические указания к курсовой работе Составитель:

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

Задача Первая теорема сравнения

Задача Первая теорема сравнения Первая теорема сравнения Постановка задачи: Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами где = f(, u (), u 2 (),...) и u (), u 2 (),...- функции с известными наименьшими и наибольшими значениями,

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

«5» Шаг 1 (достаточность) «5» Шаг 2 () «5» Шаг 3 (необходимость) «3» Теорема 3 (теорема сравнения для рядов/мажорантный признак)

«5» Шаг 1 (достаточность) «5» Шаг 2 () «5» Шаг 3 (необходимость) «3» Теорема 3 (теорема сравнения для рядов/мажорантный признак) БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Пример (гармонический ряд расходится) «3» Пример ( 1/n 2 сходится) «3» Теорема 6 (интегральный признак) БИЛЕТ 2 «3» Определение обобщенной первообразной «3» Теорема

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

4. Функциональные ряды, область сходимости

4. Функциональные ряды, область сходимости 4. Функциональные ряды, область сходимости Областью сходимости функционального ряда () называется множество значений аргумента, для которых этот ряд сходится. Функция (2) называется частичной суммой ряда;

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Сходимость произвольных рядов. Ниже будут рассматриваться ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов. Такие ряды называют знакопеременными.

Подробнее

Функциональные и степенные ряды

Функциональные и степенные ряды Глава 4. Функциональные и степенные ряды 4.1. Занятие 1 4.1.1. Функциональные ряды. Область сходимости ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1.1. Пусть u (x) функции, определенные в некоторой области D при N. Тогда ряд u (x)

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Признаки Абеля и Дирихле сходимости знакопроизвольных рядов. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов.

Признаки Абеля и Дирихле сходимости знакопроизвольных рядов. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Признаки Абеля и Дирихле сходимости знакопроизвольных рядов. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Формулировка признаков Абеля и Дирихле. Признак Абеля сходимости знакопроизвольных рядов.

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ПЛАН ЛЕКЦИИ Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВОЙ РЯД Бесконечная сумма чисел вида: а а а... а... 3 называется числовым

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

МАТЕМАТИКА ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ООО «Резольвента», wwwresolvetaru, resolveta@listru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену Содержание. Описание экзаменационного билета. Теоретические вопросы

Материалы для подготовки к экзамену Содержание. Описание экзаменационного билета. Теоретические вопросы 70800 «Строительство» семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, семестр. Направление 70800 «Строительство». Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для

Подробнее

Тема: Несобственные интегралы

Тема: Несобственные интегралы Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы Лектор Рожкова С.В. 23 г. 5. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: [;] конечен, 2 f ограничена

Подробнее

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница. Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимости. Общий комплексный ряд. Теорема

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций 3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций Рассмотрим два знака менительно к несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом. Аналогичные знаки имеют

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

( 0) = 0. Дисциплина Высшая математика Факультет ФАПИ специальность_занз 08 семестр III_ БИЛЕТ 2

( 0) = 0. Дисциплина Высшая математика Факультет ФАПИ специальность_занз 08 семестр III_ БИЛЕТ 2 БИЛЕТ Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Структура общего решения Подбор частного решения Решить уравнение: x = 0 Найти решение задачи Коши: =

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

«4» Теорема 29 (о замене переменных для интегрируемой функции)

«4» Теорема 29 (о замене переменных для интегрируемой функции) БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 12 (об интегрируемости монотонной функции) «3» Теорема 4 (теорема сравнения для рядов) БИЛЕТ 2 «3» Определение обобщенной первообразной «3» Теорема 16

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Типовой расчет : Ряды

Типовой расчет : Ряды Типовой расчет : Ряды Теоретические вопросы Что такое сумма числового ряда? Что такое геометрический ряд? Когда он сходится? Чему равна его сумма? 3 Доказать необходимый признак сходимости ряда Показать,

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

В этом случае говорят, что несобственный интеграл. интегрируема в несобственном смысле на [a,b). Если предел при b. dx называется расходящимся.

В этом случае говорят, что несобственный интеграл. интегрируема в несобственном смысле на [a,b). Если предел при b. dx называется расходящимся. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Определение. Свойства. Признаки сходимости. Примеры с решениями. Определение Пусть функция f() определена для всех а и интегрируема на любом

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Математика для направления торговое дело

Математика для направления торговое дело Математика для направления 8..6 торговое дело Контрольные вопросы по курсу Математика семестр. п мерные векторы. п мерное векторное пространство.. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц..

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее