Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы"

Транскрипт

1 Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

2 Понятие билинейной функции Определение Пусть V линейное пространство над полем F. Билинейной функцией на пространстве V называется отображение B : V V F, линейное по каждому аргументу, т.е. такое, что x, y, z V λ F B(x + y, z) = B(x, z) + B(y, z), B(λx, z) = λb(x, z) (линейность по первому аргументу) и B(x, y + z) = B(x, y) + B(x, z), B(x, λz) = λb(x, z) (линейность по второму аргументу). Примером билинейной функции является скалярное произведение на евклидовом пространстве. Вычислим значение билинейной функции B на векторах x = m i=1 ξ i e i, y = n j=1 η jf j, которые линейно выражаются через системы (e 1,..., e m) и ( m (f 1,..., f n) соответственно. Имеем B(x, y) = B i=1 ξ i e i, ) n j=1 η jf j = m i=1 B(ξ i e i, n j=1 η jf j ) = m i=1 ξ i B(e i, n j=1 η jf j ) = m i=1 ξ n i j=1 η jb(e i, f j ) = = m n i=1 j=1 ξ i η j B(e i, f j ). Таким образом, получаем формулу m n m n B ξ i e i, η j f j = ξ i η j B(e i, f j ). (1) i=1 j=1 i=1 j=1

3 Матрица билинейной функции в базисе Пусть V n-мерное линейное пространство над полем F, B билинейная функция на V. Определение Пусть C = (c 1,..., c n) базис пространства V. Положим β ij = B(c i, c j ). Матрицей билинейной функции B в базисе C называется матрица (β ij ) n n. Обозначение: B C, B C B. Вычислим значение билинейной функции B на векторах x = n i=1 ξ i c i, y = n j=1 η jc j через их столбцы координат [x] C, [y] C и матрицу функции B в базисе C, ( используя формулу (1) сл.2: n B(x, y) = B i=1 ξ i c i, ) n j=1 η jc j = n n i=1 j=1 ξ i η j B(c i, c j ) = n n i=1 j=1 ξ i η j β ij = ( n i=1 ξ n ) i j=1 β ijη j = [x] C (B C [y] C ). Получаем формулу B(x, y) = [x] C B C [y] C. (2)

4 Понятие билинейной формы Формой принято называть однородный многочлен от нескольких переменных, т.е. многочлен, у которого все одночлены имеют одинаковые степени. Например, линейная форма от n переменных над полем F имеет вид α 1x α nx n, где α 1,..., α n F. При вычислении значения билинейной функции по координатам векторов в базисе получается значение билинейной формы (т.е. формы от набора переменных, разбитого на две равные части так, что форма линейна по каждой части набора переменных) от координат векторов. Определение Билинейной формой от переменных x 1,..., x n, y 1,..., y n над полем F называется многочлен b(x 1,..., x n, y 1,..., y n) = n n i=1 j=1 β ijx i y j, где β ij F, i, j = 1,..., n. Матрицей билинейной формы называется матрица (β ij ) n n, составленная из ее коэффициентов. Например, билинейная форма x 1y 1 2x 1y 2 + 5x 1y 3 3x 2y 1 + 4x 2y 2 6x 2y 3 9x 3y 1 + 8x 2y 2 7x 2y 3 имеет матрицу

5 Изменение матрицы билинейной функции при изменении базиса Пусть V n-мерное линейное пространство над полем F, B билинейная функция на V. Пусть C и C базисы пространства V, B C B, B C B. Выясним связь между матрицами B и B. Обозначим через T матрицу перехода от базиса C к базису C. Пусть x, y V. Так как [x] C = T [x] C и [x] C = T [x] C, с помощью формулы (2) сл.3 получаем [x] C B C [y] C = B(x, y) = [x] C B C [y] C = (T [x] C ) B C T [y] C = [x] C T B C T [y] C. Следовательно, для любых x, y V справедливо равенство [x] C B C [y] C = [x] C T B C T [y] C. Таким образом, получаем следующую формулу. Формула изменения матрицы билинейной функции при изменении базиса B C = T B C T. (3)

6 Симметричные билинейные функции Пусть V n-мерное линейное пространство над полем F, B билинейная функция на V. Определение Билинейная функция B называется симметричной, если B(x, y) = B(y, x) для любых x, y V. Предложение Следующие условия эквивалентны для билинейной функции B: (1) B является симметричной билинейной функцией; (2) матрица B билинейной функции B в любом базисе является симметрической, т.е. B = B; (3) матрица билинейной функции B в некотором базисе является симметрической. Доказательство. Из определения матрицы билинейной функции получаем, что (1) (2). Очевидно, что (2) (3). Покажем, что (3) (1). Пусть C базис V, B C B и B = B. Для любых x, y V с помощью формулы (2) сл.3 получаем B(x, y) = [x] C B C [y] C, B(y, x) = [y] C B C [x] C. Так как [y] C B C [x] C = ([y] C B C [x] C ) = [x] C BC [y] C = [x] C B C [y] C, заключаем, что B(x, y) = B(y, x), что и требуется доказать.

7 Симметричные билинейные функции (1) Теорема Пусть V n-мерное евклидово пространство. Для любой симметричной билинейной функции B на V существует ортонормированный базис пространства V, в котором B имеет диагональную матрицу. Доказательство. Пусть C ортонормированный базис пространства V, и B матрица формы B в этом базисе. Матрица B определяет в базисе C самосопряженный линейный оператор B. В силу формулы (3) сл.5 и формулы изменения матрицы линейного оператора при изменении базиса (сл.19 т.2-7), учитывая предложение сл.16 т.2-18, заключаем, что функция B и оператор B в любом ортонормированном базисе имеют одинаковые матрицы. Применение теоремы сл.14 т.2-18 завершает доказательство, так как в базисе из собственных векторов оператор B имеет диагональную матрицу (с корнями характеристического многочлена χ B на главной диаглнали). С технической точки зрения нахождение ортонормированного базиса, в котором симметрическая билинейная функция имеет диагональную матрицу, не отличается от нахождения ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного линейного оператора (см. сл т.2-18).

8 Квадратичные функции Пусть V n-мерное линейное пространство над полем F. Определение Квадратичной функцией на линейном пространстве V называется отображение K : V F, для которого существует билинейная функция B на V такая что K(x) = B(x, x). Матрицей квадратичной функции K в базисе C называется матрица билинейной функции B в этом базисе. Из формулы (2) сл.3 получаем формулу для вычисления значения квадратичной функции от вектора. K(x) = [x] C B C [x] C. (4) При изменении базиса матрица квадратичной функции изменяется в соответствии с формулой (3) сл.5.

9 Квадратичные функции (1) Очевидно, что если квадратичная функция K(x) определена с помощью билинейной функции B(x, y), то симметричная билинейная функция (B(x, y) + B(y, x)) определяет ту же самую квадратичную функцию K(x). 1 2 Предложение Симметричная билинейная функция определяется по заданной с ее помощью квадратичной функции однозначно. В самом деле, легко вычислить, что если K(x) = B(x, x) и B симметричная билинейная функция, то B(x, y) = 1 (K(x + y) K(x) K(y)). 2 Из теоремы сл.7 вытекает Следствие Пусть V n-мерное евклидово пространство. Для любой квадратичной функции K существует ортонормированный базис пространства V, в котором K имеет диагональную матрицу.

10 Понятие квадратичной формы Определение Квадратичной формой от переменных x 1,..., x n над полем F называется многочлен f (x 1,..., x n) = n n i=1 j=1 α ijx i x j, где α ij = α ji F, i, j = 1,..., n. Матрицей квадратичной формы называется матрица (α ij ) n n, составленная из ее коэффициентов. Формулу из определения можно переписать, приведя подобные члены: f (x 1,..., x n) = n i=1 α ii xi i<j n 2α ijx i x j. Матрица A = (α ij ) n n квадратичной формы f (x 1,..., x n) по определению является симметрической. Из формулы (4) сл.8 получаем матричное представление квадратичной формы (где X = (x 1,..., x n) столбец переменных): f (X ) = X A X. (5) Квадратичная форма служит для вычисления значения квадратичной функции по координатам вектора в данном базисе. Квадратичная функция определяет семейство эквивалентных друг другу квадратичных форм, по одной для каждого базиса. При переходе к другому базису матрица квадратичной формы изменяется в соответствии с формулой (3) сл.5. Это можно представить как линейную замену переменных в квадратичной форме.

11 Замена переменных в квадратичной форме Пусть f (x 1, x 2..., x n) квадратичная форма над числовым полем F. Определение Пусть x 1,..., x n и y 1,..., y n два набора переменных. Система равенств x 1 = τ 11y 1 + τ 21y τ n1y n, x 2 = τ 12y 1 + τ 22y τ n2y n,... x n = τ 1ny 1 + τ 2ny τ nny n, где τ ij F, называется заменой переменных. Матрицей замены называется квадратная матрица T = (τ ij ) n n. Замена называется невырожденной, если T 0. Замену можно кратко записать в матричной форме X = T Y, где X = (x 1,..., x n), Y = (y 1,..., y n). При подстановке в квадратичную форму f (x 1, x 2,..., x n) вместо x 1,..., x n их выражений из замены переменных и выполнении необходимых преобразований получается новая квадратичная форма g(y 1, y 2,..., y n). Используя матричное представление, можно найти связь между этими формами (повторив вывод формулы (3) сл.5). Имеем в силу (5) (сл. 10) f (X ) = X A X = (T Y ) A T Y = Y T A T Y = g(y ), откуда следует, что g(y ) имеет матрицу B = T A T. (6)

12 Эквивалентность квадратичных форм Определение Квадратичная форма f (x 1, x 2..., x n) эквивалентна квадратичной форме g(y 1, y 2,..., y n), если существует невырожденная замена переменных X = T Y, которая переводит форму f (X ) в g(y ). Определенное только что отношение является отношением эквивалентности. Проверку предлагается выполнить самостоятельно. Определение Рангом квадратичная формы называется ранг ее матрицы. Обозначение: r(f ). Из формулы (6) сл. 11 и утверждения 5 теоремы сл. 13 т.2-5 непосредственно следует Предложение Если квадратичные формы эквивалентны, то их ранги совпадают. Предложение позволяет определить ранг квадратичной функции как ранг любой матрицы этой функции. Аналогично можно определить ранг билинейной функции.

13 Канонический и нормальный вид квадратичной формы Пусть f (x 1, x 2..., x n) квадратичная форма над полем F характеристики, отличной от 2. Определение Форма f (x 1, x 2..., x n) имеет канонический вид, если при i j все коэффициенты при x i x j равны 0. При F = R (соотв. F = C) форма f (x 1, x 2..., x n) имеет нормальный вид, если она имеет канонический вид и ненулевые коэффициенты при квадратах имеют модуль 1 (соотв. равны 1). Очевидно, что квадратичная форма имеет канонический вид тогда и только тогда, когда ее матрица диагональная. Ранг квадратичной формы в каноническом виде равен числу ее ненулевых коэффициентов. Если после замены переменных X = T Y квадратичная форма f (X ) превращается в форму g(y ) канонического вида, то говорят, что замена X = T Y приводит квадратичную форму f (X ) к каноническому виду. От канонического вида легко перейти к нормальному виду над полем R или C. Пусть f (X { ) = α 1x α nxn 2, где α j R. Положим для 1 j = 1,..., n x j = αj y j, если α j 0; Тогда при α j 0 вместо α j xj 2 y j, если α j = 0. получим ±yj 2 (знак тот же, что у числа α j ). Очевидно, что эта замена невырожденная. В случае поля C вместо корня из модуля можно взять корень из самого числа α j (см. сл.10 т.1-8).

14 Теорема Лагранжа Теорема Для любой квадратичной формы f (x 1, x 2..., x n) над полем F характеристики, отличной от 2 существует невырожденная замена переменных, которая приводит эту форму к каноническому виду. Доказательство. Используем индукцию по числу переменных квадратичной формы. При n = 1 форма f (x 1) = α 11x1 2 имеет канонический вид и доказывать нечего. Предположим, что требуемое уже доказано для всех квадратичных форм от 1 m < n переменных. Пусть f (x 1,..., x n) = n i=1 α ii xi i<j n 2α ijx i x j ненулевая квадратичная форма от n переменных. Рассмотрим два возможных случая. 1. Форма не содержит квадратов, т.е. α ii = 0 при i = 1,..., n. В этом случае с помощью искусственного приема получаем форму, у которой имеются ненулевые коэффициенты при квадратах. Пусть α ij 0. Положим x i = y i + y j, x j = y i y j, x k = y k при k {i, j}. Легко вычислить, что мы получаем невырожденную замену переменных (так как char(f ) 2). которая превращает исходную форму в форму, содержащую α ij yi Форма содержит квадраты. Предположим, что α Это предположение не ограничивает общности, так как можно перенумеровать переменные это невырожденная замена переменных, а две последовательные невырожденные замены можно заменить одной.

15 Окончание доказательства Запишем f (x 1, x 2..., x n) = α 11x n j=2 α 1jx 1x j + f 1(x 2,..., x n). Выделим полный квадрат в группе слагаемых α 11x n j=2 α 1jx 1x j = α 1j α 11 x j ) = (x 1 + n α 1j j=2 α 11 x j ) 2 ( n α 11(x x n 1 j=2 j=2 z 1 = x 1 + n j=2 форму, полученную путем преобразования выражения ( n α 1j α 11 x j ) 2. Положим α 1j α 11 x j и обозначим через f 2(x 2,..., x n) квадратичную ) α 2 1j j=2 α 11 x j + f1(x 2,..., x n). Имеем f (x 1, x 2..., x n) = z1 2 + f 2(x 2,..., x n). По предположению индукции существует невырожденная замена переменных (x 2,..., x n) = T 1 (z 2,..., z n), которая приводит форму f 2(x 2,..., x n) к каноническому виду β 2z β nz2 n. Тогда (z 2,..., z n) = T 1 1 (x 2,..., x n). Добавив к этой замене равенство z 1 = x 1 + n α 1j j=2 α 11 x j, получаем невырожденную замену (z 1, z 2,..., z n) = T (x 1, x 2,..., x n), где матрица T получается из матрицы ( T 1 1 окаймлением слева первым столбцом матрицы E n и сверху строкой 1, α 12 α 11,..., α 1n α 11 ). Тогда, разлагая по первому столбцу, получаем T = T Следовательно, невырожденная замена (x 1, x 2,..., x n) = T 1 (z 1, z 2,..., z n) приводит квадратичную форму f (x 1, x 2..., x n) к каноническому виду α 11z1 2 + β 2z β nz2 n. Это завершает доказательство.

16 Примеры 1. Найти канонический вид и невырожденную замену переменных, приводящую к каноническому виду, для квадратичной формы x 1x 2 + x 1x 3 + x 2x 3 + 2x 1x 4 2x 2x 4. Сначала сделаем замену переменных x 1 = y 1 + y 2, x 2 = y 1 y 2, x 3 = y 3, x 4 = y 4, чтобы получить квадраты, затем выделим полные квадраты: x 1x 2 + x 1x 3 + x 2x 3 + 2x 1x 4 2x 2x 4 = y 2 1 y y 1y 3 + 2y 2y 4 = y y 1y 3 +y 2 3 y 2 3 (y 2 2 2y 2y 4 +y 2 4 y 2 4 ) = (y 1 +y 3) 2 y 2 3 (y 2 y 4) 2 +y 2 4. Сделав замену z 1 = y 1 + y 3, z 2 = y 2 y 4, y 3 = x 3, y 4 = x 4, получаем канонический вид z 2 1 z 2 2 z z 2 4. Чтобы найти невырожденную замену, выразим сначала y i через z i : y 1 = z 1 z 3, y 2 = z 2 + z 4, y 3 = z 3, y 4 = z 4, а затем подставим в формулы для x i : x 1 = z 1 + z 2 z 3 + z 4, x 2 = z 1 z 2 z 3 z 4, x 3 = z 3, x 4 = z Найти канонический вид и невырожденную замену переменных, приводящую к каноническому виду, для квадратичной формы 9x x 1x 2 6x 1x 3 + 4x x 2x 3 + x 2 3. Имеем 9x1 2 12x 1x 2 6x 1x 3 = 9(x1 2 2x 1( 2 3 x2 + 1 x3)) = 3 9((x1 2 3 x2 1 3 x3)2 ( 2 3 x x3)2 ) = 9y1 2 4x2 2 x3 2 4x 2x 3, где y 1 = x x2 1 x3. 3 Следовательно, 9x1 2 12x 1x 2 6x 1x 3 + 4x x 2x 3 + x3 2 = 9y1 2. Замена переменных: x 1 = y y2 + 1 y3, x2 = y2, x3 = y3. 3

17 Приведение к главным осям Приводить квадратичные формы над полем R к каноническому виду возможно, используя следствие сл.9. Мы считаем, что квадратичная форма определяет квадратичную функцию на евклидовом пространстве R n в стандартном ортонормированном базисе своей матрицей, и находим для этой функции ортонормированный базис, в котором она имеет диагональную матрицу. Этот базис состоит из собственных векторов соответствующего самосопряженного оператора, которые и определяют главные оси. Ортогональная матрица перехода к этому базису определяет замену переменных, приводящую форму к каноническому виду. Эту замену также называют ортогональной. Выполнять ее нет необходимости: диагональная матрица формы записывается с помощью собственных значений соответствующего самосопряженного оператора. На этом способе основано преобразование ортонормированного базиса в системе координат в пространстве для упрощения уравнения квадрики (чтобы в нем остались только квадраты и пераые степени переменных). Так как указанный способ требует вычисления характеристического многочлена матрицы квадратичной формы, нахождения его корней и построения ортонормированного базиса из собственных векторов, его следует применять только в задачах, где явно сказано, что квадратичную форму нужно привести к главным осям. В остальных случаях следует использовать основанный на доказательстве теоремы сл.14 метод Лагранжа, использованный при решении примеров сл.16.

18 Пример Привести к главным осям квадратичную форму 2x x x x 2 4 4x 1x 2 + 4x 1x 3 6x 2x 3 + 2x 3x 4. Запишем матрицу формы и вычислим ее характеристический многочлен (прибавляем 3-ю строку к 2-й, вычитаем 3-й столбец из 2-го, используем теорему Лапласа): A = ; χ A(x) = x x = 2 6 x x 1 = 0 3 x 3 x x 1 = x x 2 x x 2 2 x 9 6 x 1 = x 3 x 2 2 x x ( 1) x 9 = (x 2 7x+10)(x 2 11x+10). Находим корни χ A (x) (коэффициенты при квадратах в каноническом виде после приведения к главным осям): λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = 5, λ 4 = 10.

19 Пример (1) Находим ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного оператора, заданного в исходном ортонормированном базисе матрицей A. Ищем собственный вектор для значения λ 1 = Нормируем собственный вектор ( 4, 1, 1, 0), получаем первый вектор e 1 = 1 3 ( 4, 1, 1, 0). Остальные 2 векторы принадлежат подпространству, порожденному векторами (1, 2, 2, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1). Находим их образы при операторе, заданном матрицей A 2E: = собственный вектор для значения λ 2 = Ищем

20 Пример (2) Нормируем собственный вектор (0, 1, 1, 1), получаем второй вектор e 2 = 1 3 (0, 1, 1, 1). Остальные векторы принадлежат подпространству, порожденному векторами (1, 2, 2, 0), (0, 1, 1, 2). Находим их образы при операторе, заданном матрицей A 5E: ( ) = ( ). Нормируем собственный вектор (0, 1, 1, 2), получаем третий вектор e 3 = 1 6 (0, 1, 1, 2). Последний вектор принадлежат подпространству, порожденному вектором (1, 2, 2, 0). Находим вектор e 4 = 1 (1, 2, 2, 0). Искомый 3 ортонормированный базис состоит из векторов e 1, e 2, e 3, e 4. Матрица перехода к этому базису является матрицей ортогональной замены переменных X = T Y : T = Канонический вид квадратичной формы: y y y y 2 4. Делать подстановку в исходную квадратичную форму не следует, так как коэффициенты канонического вида собственные числа λ 1, λ 2, λ 3, λ 4.

21 Пример преобразования уравнения квадрики в пространстве Найти каноническую систему координат, каноническое уравнение и определить тип квадрики в зависимости от значения параметра α: 4x 2 + 4y 2 2z 2 + 4xy 8xz + 8yz + 12x 12y + 24z + α = 0. Выпишем из уравнения квадратичную форму 4x 2 + 4y 2 2z 2 + 4xy 8xz + 8yz и приведем ее к главным осям. Матрица x 2 4 A = 2 4 4, χ A = 2 4 x x = 6 x 6 x x 4 = (6 x)2 2 4 x x 6 x = (x 6)2 (x + 6). Собственные значения λ 1 = 6, λ 2 = 6. Собственные векторы находим сначала для собственного значения большей кратности Для λ 1 = 6 получаем два линейно независимых собственных вектора a 1 = (1, 1, 0) и a 2 = (0, 2, 1). Так как скалярное произведение (a 1, a 2) = 2, к ним следует применить процесс ортогонализации (сл.5-7 т.2.15). Для λ 2 = = 6 собственный вектор b 3 = (1, 1, 2), находится по вектору (2, 2, 4).

22 Пример преобразования уравнения квадрики в пространстве (1) Имеем b 1 = a 1, b 2 = a 2 + γb 1, где γ = (f 2,b 1 ) (b 1,b 1 = 1. Таким образом, ) b 2 = ( 1, 1, 1). Нормируя векторы b 1, b 2, b 3, получаем ортонормированный базис из собственных векторов, определяющих главные оси: f 1 = 1 2 (1, 1, 0), f 2 = 1 3 ( 1, 1, 1), f 3 = 1 6 (1, 1, 2). Заменим систему координат, сохранив прежнее начало координат и взяв в качестве базиса (f 1, f 2, f 3). Формулы преобразования координат: (x, y, z) = T (x 1, y 1, z 1), где T = При переходе в новую систему координат квадратичная форма из уравнения квадрики примет вид 6x y 2 1 6z 2 1. Вычислим линейную форму: 12x 12y + 24z = 12(1, 1, 2) (x, y, z) = 12(1, 1, 2) T (x 1, y 1, z 1) = 12(0, 0, 6) (x 1, y 1, z 1) = 12 6z 1. Запишем уравнение квадрики в новой системе координат: 6x y 2 1 6z z 1 + α = 0. Сократим на 6 и выделим полный квадрат по z 1: x y 2 1 z z 1 + α/6 = x y 2 1 (z 1 6) α/6 = 0, откуда, перенося начало системы координат в точку O 1(0, 0, 6), получаем каноническую систему координат и окончательный вид уравнения x y 2 2 z 2 2 = α+36 6 (здесь x 2 = x 1, y 2 = y 1, z 2 = z 1 6). При α < 36 получается однополостный гиперболоид, при α = 36 получается конус 2-го порядка, при α > 36 двуполостный гиперболоид.

23 Закон инерции Теорема Пусть f (x 1,..., x n) квадратичная форма над полем R. В любом нормальном виде формы f (x 1,..., x n) над полем R количество слагаемых с коэффициентом 1 и количество слагаемых с коэффициентом 1 постоянны и не зависят от способа приведения. Доказательство. Пусть невырожденная замена переменных X = T Y приводит форму f (x 1,..., x n) к нормальному виду y y 2 k y 2 k+1... y 2 r (r = r(f )), (7) и невырожденная замена переменных X = S Z приводит ту же форму к нормальному виду z z 2 m z 2 m+1... z 2 r. (8) Предположим, что k > m, и приведем это предположение к противоречию. При m = 0 придадим y 1,..., y k значение 1, y k+1,..., y n значение 0. Тогда z 1,..., z n определяются из замены переменных Z = (S 1 T ) Y и равенство k = z z 2 n противоречиво.

24 Окончание доказательства теоремы Пусть m > 0. Невырожденная замена переменных Z = (S 1 T ) Y переводит форму (8) в (7). Распишем эту замену: z 1 = σ 11y σ 1k y k + σ 1,k+1 y k σ 1ny n,... z m = σ m1y σ mk y k + σ m,k+1 y k σ mny n, z m+1 = σ m+1,1y σ m+1,k y k + σ m+1,k+1 y k σ m+1,ny n,... z n = σ n1y σ nk y k + σ n,k+1 y k σ nny n. Подставим вместо y i числа γ i, полагая γ i = 0 при i = k + 1,..., n, а вместо z j числа δ j, полагая δ j = 0 при j = 1,..., k так, чтобы выполнялось равенство (δ 1,..., δ n) = (S 1 T ) (γ 1,..., γ n). Учитывая (8) и (7), получим равенство γ γk 2 = δm δr 2. Покажем, что можно выбрать γ 1,... γ k так, что не все эти числа будут равны 0. Тогда последнее равенство будет противоречиво. Для определения γ 1,... γ k получаем σ 11γ σ 1k γ k = 0, однородную систему линейных уравнений... σ m1γ σ mk γ k = 0, в которой число уравнений меньше числа неизвестных. В силу теоремы сл.23 т.1-5 эта система имеет ненулевое решение. Таким образом, получили противоречие, которое показывает, что k m. Аналогично доказывается, что m k. Теорема доказана.

25 Использование закона инерции Пусть f (x 1,..., x n) квадратичная форма над полем R. В силу теоремы сл.23 корректны следующие определения. Определение Количество коэффициентов 1 (соотв. 1) в нормальном виде квадратичной формы f (x 1,..., x n) называется ее положительным (соотв. отрицательным) индексом инерции. Следствие Пусть f (x 1,..., x n), g(y 1,..., y n) квадратичные формы над полем R. Для того, чтобы эти формы были эквивалентны над полем R, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковые положительные и одинаковые отрицательные индексы инерции. Доказательство. Необходимость обеспечивается законом инерции (сл.23). Для доказательства достаточности следует привести формы f (x 1,..., x n) и g(y 1,..., y n) к нормальному виду над полем R и сопоставить каждой переменной, квадрат которой входит в нормальный вид формы f (x 1,..., x n) с коэффициентом 1, переменную с тем же свойством из нормального вида формы g(y 1,..., y n). Оставшиеся переменные каждого нормального вида также сопоставляются. Таким образом можно получить невырожденную замену, которая преобразует f (x 1,..., x n) в g(y 1,..., y n).

26 Пример Выяснить, эквивалентны ли над полем R квадратичные формы f = 2x x 2 + 3x x 1x 2 4x 1x 3 10x 2x 3 и g = 2y y 2 + 6y 2 3 4y 1y 2 4y 1y 3 + 8y 2y 3. Сначала приведем эти формы к каноническому виду. Имеем 2x x 1x 2 4x 1x 3 = 2(x x 1(2x 2 x 3)) + (2x 2 x 3) 2 (2x 2 x 3) 2 ) = 2z 2 1 8x x 2x 3 2x 2 3, где z 1 = x 1 + 2x 2 x 3. Тогда f = 2z x 2 + x 2 3 2x 2x 3 = 2z (x 2 x 3) 2 = 2z z 2 2, где z 2 = x 2 x 3. Таким образом, замена z 1 = x 1 + 2x 2 x 3, z 2 = x 2 x 3, z 3 = x 3 приводит форму f к каноническому виду 2z z 2 2. Аналогично для формы g имеем 2y 2 1 4y 1y 2 4y 1y 3 = 2(y 2 1 2y 1(y 2 + y 3) + (y 2 + y 3) 2 (y 2 + y 3) 2 ) = 2u 2 1 2y 2 2y 2 3 4y 2y 3, где u 1 = y 1 y 2 y 3, откуда g = 2u y 2 + 4y y 2y 3 = 2u (y 2 + 2y 3) 2 = = 2u u 2 2, где u 2 = y 2 + 2y 3. Таким образом, замена u 1 = y 1 y 2 y 3, u 2 = y 2 + 2y 3, u 3 = y 3 приводит форму g к каноническому виду 2u u 2 2. Мы видим, что формы f и g эквивалентны. Чтобы найти замену переменных, которая переводит форму f в форму g, положим z 1 = u 1, z 2 = u 2, z 3 = u 3. Получаем систему равенств x 1 + 2x 2 x 3 = y 1 y 2 y 3, x 2 x 3 = y 2 + 2y 3, x 3 = y 3, откуда x 1 = y 1 3y 2 6y 3, x 2 = y 2 + 3y 3, x 3 = y 3 замена переменных, которая переводит форму f в форму g.

27 Положительно определенные квадратичной формы Пусть f (x 1,..., x n) квадратичная форма над полем R. Она определяет функцию от нескольких переменных, которую будем обозначать так же. Определение Форма f (x 1,..., x n) называется положительно определенной, если для любых γ 1,..., γ n R из γ γ 2 n > 0 следует f (γ 1,..., γ n) > 0. Теорема Следующие условия эквивалентны для квадратичной формы f (x 1,..., x n) над полем R: (1) f (x 1,..., x n) является положительно определенной; (2) в любом каноническом виде формы f (x 1,..., x n) коэффициенты при квадратах всех переменных положительны; (3) в некотором каноническом виде формы f (x 1,..., x n) коэффициенты при квадратах всех переменных положительны; (4) y y 2 n нормальный вид формы f (x 1,..., x n) над полем R. Доказательство. (1) (2). Пусть α 1y α ny 2 n канонический вид формы f (x 1,..., x n) и X = T Y соответствующая замена переменных. Положим y j = 1 и y i = 0 при i j. Тогда соответствующие значения x i не все равны нулю, поэтому f (x 1,..., x n) > 0 и α j > 0. Импликации (2) (3), (3) (4) и (4) (1) справедливы очевидным образом.

28 Критерий Сильвестра Пусть A R n n. Минор матрицы A, стоящий в ее первых m строках и первых m столбцах, называется угловым главным минором матрицы A. Обозначение: m. Теорема Пусть f (x 1,..., x n) = X A X квадратичная форма над полем R с матрицей A. Форма f (x 1,..., x n) является положительно определенной тогда и только тогда, когда у матрицы A все угловые главные миноры m (m = 1,..., n) положительны. Доказательство. Представим форму f (x 1,..., x n) в виде n 1 f (x 1,..., x n) = f 1(x 1,..., x n 1) + 2 α 1j x j x n + α nnxn 2, (9) где f 1(x 1,..., x n 1) форма, содержащая все слагаемые из f (x 1,..., x n), не содержащие x n. Доказательство проведем индукцией по n. При n = 1 имеем f (x 1) = α 11x 2 1, и утверждение теоремы очевидно. Предположим, что оно доказано для всех квадратичных форм от 1 k < n переменных. Пусть f (x 1,..., x n) положительно определенная квадратичная форма. j=1

29 Окончание доказательства теоремы Тогда очевидно, что f 1(x 1,..., x n 1) также положительно определенная квадратичная форма. Ее матрица является подматрицей матрицы A, стоящей в первых n 1 строках и первых n 1 столбцах матрицы A, поэтому в силу предположения индукции m > 0 (m = 1,..., n 1). Сделаем замену X = T Y, которая приводит форму f (x 1,..., x n) к нормальному виду. В силу формулы (6) (сл. 11) получаем E n = T A T. Взяв определители левой и правой части, получаем 1 = E n = T A T = T A T = T 2 n, откуда n > 0. Пусть теперь f (x 1,..., x n) квадратичная форма, в матрице которой m > 0 (m = 1,..., n). По предположению индукции форма f 1(x 1,..., x n 1) из равенства (9) положительно определенная. Пусть (x 1,..., x n 1) = T 1 (y 1,..., y n 1) невырожденная замена переменных, которая приводит форму f 1(x 1,..., x n 1) к нормальному виду. Сделав эту подстановку в форму f (x 1,..., x n), получим f (x 1,..., x n) = y y 2 n n 1 j=1 β 1jy j x n + α nnx 2 n = n 1 j=1 (y j + β 1j x n) 2 + (α nn n 1 j=1 β2 1j)x 2 n. Положим β nn = α nn n 1 j=1 β2 1j Сделаем замену z j = y j + β 1j x n (j = 1,..., n 1), z n = x n и обозначим через T матрицу этой замены. Форма f (x 1,..., x n) переходит в z z 2 n 1 + β nnz 2 n. Эта форма имеет диагональную матрицу D, у которой на главной диагонали все элементы, кроме последнего, равны 1. Так как D = T A T, взяв определители левой и правой части, получим β nn = T 2 A = T 2 n > 0. Следовательно, форма f (x 1,..., x n) положительно определенная. Теорема доказана.

30 Пример Найти все значения параметра α, при которых квадратичная форма f = 2x x x αx 1x 2 + 2x 1x 3 2αx 2x 3 является положительно определенной. Запишем матрицу квадратичной формы f : A = 2 2α 1 2α 3 α 1 α 5 Найдем ее угловые главные миноры 1 = 2, 2 = 2 2α 2α 3 = 6 4α2, 2 2α 1 3 = 2α 3 α 1 α 5 = 27 26α2. Согласно критерию Сильвестра, форма f будет положительно определенной при условии j > 0, j = 1, 2, 3, т.е. при значениях α таких что 6 4α 2 > 0 и 27 26α 2 > 0. Решая 27 полученную систему неравенств, получаем α <. 26.

31 Пары форм Теорема Пусть f (x 1,..., x n) положительно определенная, g(x 1,..., x n) произвольная квадратичные формы над полем R. Тогда существует невырожденная замена переменных, которая приводит форму f (x 1,..., x n) к нормальному, а форму g(x 1,..., x n) к каноническому виду. Доказательство. Пусть X = T Y невырожденная замена переменных, которая приводит форму f (x 1,..., x n) к нормальному виду y y 2 n. Сделав эту замену в форме g(x 1,..., x n), получим квадратичную форму g 1(y 1,..., y n). Приведем полученную форму к главным осям с помощью ортогональной замены Y = S Z. Форма y y 2 n при этом перейдет в z z 2 n, так как ее матрица согласно формуле (6) сл.11 превратится в S E n S = S S = E n. Таким образом, невырожденная замена X = (T S) Z приводит форму f (x 1,..., x n) к нормальному, а форму g(x 1,..., x n) к каноническому виду.

32 Пример Найти среди квадратичных форм f = x x x4 2 4x 2x 3 4x 3x 4 и g = x1 2 2x 1x 2 + 2x2 2 2x 2x 3 + 2x3 2 2x 3x 4 + 2x4 2 положительно определенную и найти невырожденную замену переменных, которая приводит положительно определенную форму к нормальному, а другую к каноническому виду. Запишем матрицу квадратичной формы f : A = Так как 2 = 0, форма f не является положительно определенной. Для формы g имеем g = (x 1 x 2) 2 + (x 2 x 3) 2 + (x 3 x 4) 2 + x4 2, т.е. замена y 1 = x 1 x 2, y 2 = x 2 x 3, y 3 = x 3 x 4, y 4 = x 4 приводит форму g к нормальному виду y1 2 + y2 2 + y3 2 + y4 2. Выразив x через y, получим x 1 = y 1 + y 2 + y 3 + y 4, x 2 = y 2 + y 3 + y 4, x 3 = y 3 + y 4, x 4 = y 4. Эта замена имеет матрицу T = Сделаем указанную замену в форме f, используя формулу (6) сл.11. Получим форму f 1(y 1, y 2, y 3, y 4) с матрицей B = T A T..

33 Пример (1) Вычислив произведение матриц, получим B = Приведем форму f 1(y 1, y 2, y 3, y 4) к главным осям. Сначала найдем 1 x x 2 x 0 0 χ B = 1 1 x x 1 = 0 2 x x x x 2 = x x (x 2) = (x 2) = x x (x 2) = (x 2) x x = (x 2) x = (x 2)3 (x + 2). Собственные значения λ 1 = 2, λ 2 = 2. Ищем собственные векторы для λ 1 = 2:

34 Пример (2) Получаем собственные векторы a 1 = (1, 1, 0, 0), a 2 = (1, 0, 1, 0), a 3 = (1, 0, 0, 1) для значения λ 1 = 2 и собственный вектор a 4 = ( 1, 1, 1, 1) для значения λ 2 = 2. Применяем к векторам a 1, a 2, a 3 процесс ортогонализации (сл.5-7 т.2-15). Полагаем b 1 = a 1, b 2 = a 2 + γb 1, где γ = (a 2,b 1 ) = 1. Имеем (b 1,b 1 ) 2 b2 = ( 1, 1, 1, 0). Умножив b2 на 2, получим 2 2 b 2 = (1, 1, 2, 0). Найдем b 3 = a 3 + γ 1b 1 + γ 2b 2. Вычислим γ 1 = (a 3,b 1 ) = 1 и (b 1,b 1 ) 2 γ2 = (a 3,b 2 ) = 1, тогда (b 2,b 2 ) 6 b3 = ( 1, 1, 1, 1) Умножив b 3 на 3, получим b 3 = (1, 1, 1, 3). Нормируем полученные векторы b 1, b 2, b 3 и a 4, получаем ортонормированный базис e 1 = 1 2 (1, 1, 0, 0), e 2 = 1 6 (1, 1, 2, 0), e 3 = 1 2 (1, 1, 1, 3), 3 e 4 = 1 ( 1, 1, 1, 1). Запишем ортогональную матрицу замены Y = S Z: 2 S = Замена X = (T S) Z приводит 0 0 форму f к каноническому виду 2z z z3 2 2z4 2, а форму g к нормальному виду z1 2 + z2 2 + z3 2 + z4 2.

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ СВОЙСТВА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ СВОЙСТВА Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А И МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ СВОЙСТВА Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

Квадратичные формы. Линейная алгебра (лекция 9) / 30

Квадратичные формы. Линейная алгебра (лекция 9) / 30 Линейная алгебра (лекция 9) 10.11.2012 2 / 30 Определение Квадратичной формой F (x 1, x 2,..., x n ) от n неизвестных x 1, x 2,..., x n называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом

Подробнее

АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы

АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы 1 Квадратичные формы Мы рассматриваем конечномерные векторные пространства над полем k, где 0. Определение 1.1 Функция f : V k на векторном пространстве

Подробнее

Билинейные и квадратичные формы

Билинейные и квадратичные формы Если вдруг ошибку лектор На доске нарисовал, В знак протеста, хлопнув дверью, Уходи домой скорее, И читай, ища ошибки, Эту книжку на диване. Д.Н.Булгаков, А.М.Попов Билинейные и квадратичные формы Учебное

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Билинейные и квадратичные формы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

В. Д. Кряквин, Е. А. Максименко. Квадратичные формы. Часть I. Приведение к каноническому виду

В. Д. Кряквин, Е. А. Максименко. Квадратичные формы. Часть I. Приведение к каноническому виду ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В. Д. Кряквин, Е. А. Максименко Квадратичные

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

О.В.Пугач ев, Г.П.Стась, А.В.Чередниченко. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Методические указания к домашнему заданию

О.В.Пугач ев, Г.П.Стась, А.В.Чередниченко. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Методические указания к домашнему заданию Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана О.В.Пугач ев, Г.П.Стась, А.В.Чередниченко КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Методические указания к домашнему заданию

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович d.shimanchuk@spbu.ru Санкт-Петербургский государственный

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу Тензоры Тензоры объединяют целый ряд понятий, находящих применение в физике и математике, в частности, в аналитической геометрии Частными случаями тензоров являются векторы, линейные операторы, квадратичные

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

Тема 1-2: Элементы комбинаторики

Тема 1-2: Элементы комбинаторики Тема 1-2: Элементы комбинаторики А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

9. Крамеровские системы линейных уравнений

9. Крамеровские системы линейных уравнений 9. Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение крамеровской системы Определение

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

41. Симметрические операторы

41. Симметрические операторы 41 Симметрические операторы Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают дополнительными свойствами по сравнению с линейными операторами в векторных пространствах без скалярного

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

R. Геометрический смысл

R. Геометрический смысл Рабочий учебно-тематический план изучения дисциплины «Линейная алгебра» для профиля «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1 триместр, лектор -- профессор, д.ф.м.н. Тищенко А.В. Наименовани е Содержание

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Т В БОРОДИЧ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра»

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» 2 Содержание 1. Матрицы и определители 4 1.1. Матрицы и действия над ними 4 1.2. Определители 7 1.3. Обратная матрица 10 1.4.

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная лекция

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики А.Д.Больбот Задачи по алгебре Часть 2 Последнее изменение: 5 мая

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Тема 1-4: Алгебраические операции

Тема 1-4: Алгебраические операции Тема 1-4: Алгебраические операции А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Линейная алгебра 2 Тензоры Билинейные и квадратичные функционалы

Линейная алгебра 2 Тензоры Билинейные и квадратичные функционалы Линейная алгебра Тензоры Билинейные и квадратичные функционалы ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ Пусть V K ЛП над ЧП K, dim V = n, e,,e n старый базис в V, e,,e n новый базис в V Так как e k V k =,,n, его можно разложить

Подробнее

Тема 2-7: Линейные отображения

Тема 2-7: Линейные отображения Тема 2-7: Линейные отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Белгород, 2017 ББК 22.144 З 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета НИУ «БелГУ» от

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Занятие 1 Основные алгебраические структуры 11 Является ли операция на множестве A ассоциативной если a A = N x y = x y b A = N x y = НОДx y c A = N x y = 2xy d A = Z x y = x 2 + y 2 e A

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

x 2, X = x n одноэлементная матрица, единственным элементом которой является квадратичная (a ij + a ji )x i x j.

x 2, X = x n одноэлементная матрица, единственным элементом которой является квадратичная (a ij + a ji )x i x j. Глава VI Квадратичные формы 1 Квадратичные формы над произвольным полем 1 Матрица квадратичной формы Напомним (см 7 главы II), что формой (или однородным многочленом) степени r над полем k от переменных

Подробнее

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A).

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A). ГЛАВА 10. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ Одна из основных задач линейной алгебры задача решения линейного уравнения Ax = y. Здесь A : X n Y m есть линейный оператор, y заданный

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее