Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка
|
|
- Василий Бахметев
- 3 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины и противоположные направления (параллельны и направлены в разные стороны) Нулевой вектор: имеет нулевую длину, направление не определено, начало и конец совпадают Операции над векторами: сложение и умножение на число AB AC + CB B A Сложение векторов коммутативно и ассоциативно: C a + + a, (a + ) + c a + ( + c) a a + a a + + c c a + + c 11 Свойства операций над векторами Сложение векторов и умножение векторов на числа обладают следующими свойствами: (1) коммутативность сложения: a, a + + a; 1
2 2 (2) ассоциативность сложения: a,, c (3) свойство нулевого вектора: 0: (a + ) + c a + ( + c); a : a + 0 a; (4) существование противоположного вектора: (5) свойство единицы: a: a a : a + a 0; 1 a a; (6) ассоциативность умножения на число: a, α, β (7) дистрибутивность-1: a,, α (8) дистрибутивность-3: a, α, β (αβ) a α (βa) ; α (a + ) αa + α; (α + β)a αa + βa 12 Коллинеарные и компланарные векторы Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых Если коллинеарные векторы привести к общему началу, то они окажутся лежащими на одной прямой Векторы называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях Если компланарные векторы привести к общему началу, то они окажутся лежащими в одной плоскости (1) Для того, чтобы два вектора a, были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа α, β, не равные одновременно нулю, что αa + β 0 (2) Для того, чтобы три вектора a,,c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа α, β, γ не равные одновременно нулю, что αa + β + γc 0 1 Пусть векторы a,,c компланарны; тогда один из них можно выразить через два остальных, например, a x + yc Мы можем положить 2 Пусть в равенстве α 1, β x, γ y αa + β + γc 0 один из коэффициентов отличен от нуля, например, α 0 Тогда можно записать a β α γ α c,
3 и векторы оказываются компланарными (1) Для того, чтобы два вектора a, были неколлинеарны, необходимо и достаточно, чтобы равенство αa + β 0 было возможно лишь при α β 0 (2) Для того, чтобы три вектора a,,c были некомпланарны, необходимо и достаточно, чтобы равенство αa + β + γc 0 было возможно лишь при α β γ 0 13 Базис и координаты вектора Базис на плоскости упорядоченный набор двух неколлинеарных векторов a 1,a 2 Любой вектор на плоскости можно представить в виде комбинации x x 1 a 1 + x 2 a 2 ; это соотношение называется разложением вектора x по базису a 1,a 2, а числа x 1,x 2 координатами ( ) вектора x в базисе a 1,a 2 Координаты вектора записываем в виде столбца x 1 x 2 3 a 2 x a 1 Базис в пространстве упорядоченный набор трех некомпланарных векторов a 1,a 2,a 3 Любой вектор пространства можно представить в виде комбинации x x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 ; это соотношение называется разложением вектора x по базису a 1,a 2,a 3, а числа x 1,x 2,x 3 координатами вектора x в базисе a 1,a 2,a 3 Координаты вектора записываем в виде столбца x 1 x 2 x 3 a 3 x a 1 a 2
4 4 В аналитической геометрии используются преимущественно ортонормированные базисы, те базисы, состоящие из единичных попарно ортогональных векторов e 2 e 3 e 1 e 2 e 1 Разложение вектора по базису единственно, те набор координат векторов в данном базисе определен однозначно Предположим, что вектор x имеетвбазисе a 1,a 2,a 3 дваразличных набора координат: x x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 y 1 a 1 + y 2 a 2 + y 3 a 3 Вычитая второе разложение из первого, получим 0 (x 1 y 1 )a 1 + (x 2 y 2 )a 1 + (x 3 y 3 )a 3 Так как векторы базиса некомпланарны, то это равенство возможно лишь при нулевых коэффициентах, те x 1 y 1, x 2 y 2, x 3 y 3 Даже этих несложных средств достаточно для решения некоторых задач Пример Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины C B 1 O A 1 B C A 1 Рассмотрим базис на плоскости, образованный векторами AC и c AB Имеем BC c; BA 1 1 BC c; AA 1 AB + ( 1 BA 1 c ) 2 c c; BB 1 BA + AB 1 c Рассмотрим точку O, делящую отрезок AA 1 в отношении 2 : 1, считая от точки A; тогда AO 2 AA 1 2 ( ) 2 c c c
5 Найдем вектор BO: BO BA + AO c c 2 3 ( c + 12 ) 2 BB 1, 3 5 те точка O делит медиану BB 1 в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника Аналогичное утверждение легко получить и для медианы CC 1 2 СТОЛБЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 21 Арифметическое пространство столбцов Рассмотрим множество R n, состоящее из упорядоченных наборов n вещественных чисел, которые будем записывать в виде столбцов: x 1 x R n X 2,x 1,x 2,,x n R x n Нулевой столбец столбец, все элементы которого нули; обозначается O Два столбца называются равными, если они состоят из одинакового числа элементов и попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах: x 1 x для X 2, Y y 2 : X Y x 1 y 1,, x n y n x n y 1 y n Определим операции сложения столбцов и умножения столбцов на вещественные числа: x 1 y 1 x 1 + y 1 x 1 αx 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2, α x 2 αx 2 x n + y n x n αx n x n y n Операции сложения столбцов и умножения столбцов на числа обладают следующими свойствами: (1) коммутативность сложения: X,Y R n X + Y Y + X; (2) ассоциативность сложения: X,Y,Z R n (3) свойство нулевого столбца: (X + Y ) + Z X + (Y + Z); X R n : X + O X; (4) существование противоположного столбца: X R n X R n : X + X O;
6 6 (5) свойство единицы: X R n : 1 X X; (6) ассоциативность умножения на число: X R n, α,β R (αβ) X α (βx) ; (7) дистрибутивность-1: X,Y R n, α R α (X + Y ) αx + αy ; (8) дистрибутивность-2: X R n, α,β R (α + β) X αx + βx 22 Линейная комбинация, линейная оболочка Пусть даны столбцы X 1,X 2,,X k R n и числа α 1,α 2,,α k R Линейная комбинация это выражение вида α 1 X 1 + α 2 X α k X k Будем пользоваться сокращением ЛК ЛК называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю: α 1 α 2 α k 0 Очевидно, тривиальная ЛК любых столбцов равна нулевому столбцу Линейная оболочка столбцов X 1,X 2,,X k R n это множество { } L(X 1,X 2,,X k ) α 1 X 1 + α 2 X α k X k α1,α 2,,α n R Сокращение ЛО 23 Линейная зависимость и независимость Тривиальная ЛК любых столбцов равна нулевому столбцу Может ли быть равна нулевому столбцу нетривиальная ЛК, те такая, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой? Пример ( ) ( ) 1 2 X 1, X 2, 2X 1 X 2 O 2 4 Столбцы X 1,,X n называются линейно зависимыми (ЛЗ), если существует их нетривиальная ЛК, равная нулевому столбцу Столбцы X 1,,X n называются линейно независимыми (ЛН), если равенство нулевому столбцу их ЛК возможно лишь в случае, если эта ЛК тривиальна (1) Если в системе столбцов X 1,,X k имеется нулевой столбец, то эта система ЛЗ (2) Если система столбцов X 1,,X k ЛЗ, то один из этих столбцов можно представить в виде ЛК остальных (3) Если в системе столбцов X 1,,X k,x k+1,,x r столбцы X 1,,X k ЛЗ, то и вся система также ЛЗ
7 1 Пусть в системе столбцов X 1,,X k один столбец нулевой, например, X k O Нетривиальная ЛК 0 X X X k равна, очевидно, нулевому столбцу 2 Пусть столбцы X 1,,X k ЛЗ; тогда существует их нетривиальная ЛК, равная нулевому столбцу: α 1 X 1 + α 2 X α k X k O Для определенности будем считать, что α k 0; тогда X k α 1 α k X 1 α 2 α k X 2 α k 1 α k X k 1, что и требовалось 3 Если подсистема X 1,,X k ЛЗ, то существует ЛК α 1 X α k X k O, в которой имеется хотя бы один ненулевой коэффициент Если теперь к этой ЛК добавить тривиальную ЛК столбцов X k+1,,x r, то получится нетривиальная ЛК что и требовалось нетривиальная ЛК {}}{ α 1 X 1 + α 2 X α k X k } {{ } нетривиальная ЛК + 0 X k X r O, } {{ } тривиальная ЛК 24 Векторы и столбцы Пусть на плоскости (в пространстве) зафиксирован некоторый базис Тогда каждому вектору ставится единственным образом в соответствие столбец его координат Наоборот, если задан некоторый столбец, то существует единственный вектор, координаты которого совпадают с элементами этого столбца Таким образом, в случае, если базис зафиксирован, между векторами и столбцами существует взаимно однозначное соответствие x X Указанное соответствие обладает следующими свойствами: если x X, y Y, то x + y X + Y, αx αx Такое соответствие называется изоморфизмом 7 3 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА 31 Система двух уравнений с двумя неизвестными Рассмотрим систему уравнений { ax + y p, (1) cx + dy q, где a,, c, d, p, q заданные числа, x, y неизвестные Решим систему методом исключения неизвестных
8 8 Умножая первое уравнение на d, второе на и складывая полученные уравнения, найдем { ax + y p d (ad c)x pd q cx + dy q Аналогично, умножая первое уравнение на c, второе на a и складывая полученные уравнения, найдем { ax + y p, c cx + dy q, a (ad c)y qa pc Если ad c 0, то система имеет единственное решение x pd q ad c, qa pc y ad c 32 Определитель второго порядка Запишем коэффициенты системы в виде таблицы ( ) A ; c d она называется основной матрицей системы Поставим в соответствие этой матрице число ad c; оно называется определителем (детерминантом) матрицы A и обозначается ( deta det c d c d ) ad c Такой определитель называется определителем второго порядка (по количеству его строк и столбцов); сокращенно det-2 С помощью определителей формулы для решения системы могут быть записаны в виде p a p x q d c d deta x deta, y c q c d deta y deta, (2) где матрица A x (соответственно, A y ) получается из матрицы A заменой первого (соответственно, второго) столбца на столбец, состоящий из свободных членов уравнений Полученные формулы называются формулами Крамера Определитель det A обладает следующими свойствами: (1) линейность: a 1 + a 2 c 1 + c 2 d a 1 c 1 d + a 2 c 2 d ; αa αc d α c d ; (2) кососимметричность: det-2 с одинаковыми столбцами равен нулю, a a c c 0;
9 (3) нормировка: Из этих основных свойств определителя можно вывести ряд новых свойств, полезных при вычислениях 1 Кососимметричность-2: при перестановке столбцов det-2 меняет знак: c d a d c откуда a + a + a a + c + d c + d c c + d + a + d c + d a a + c c c d + a d c + d d }{{}}{{}}{{} c d a d c 2 Det-2 не изменится, если к любому из его столбцов прибавить другой столбец, умноженный на произвольное число a + α c + αd d c d + α d d c d }{{} 3 Определитель не изменится, если его строки и столбцы поменять ролями: c d a c d Это означает, что строки и столбцы det-2 равноправны: любое утверждение, справедливое для столбцов, будет справедливым и для строк 9 33 Примеры Пример cosα sin α sin α cos α cos2 α + sin 2 α 1 Пример Вычтем из второй строки удвоенную первую строку:
10 10 34 Критерий равенства нулю det-2 Det-2 равен нулю тогда и только тогда, когда его столбцы линейно зависимы 1 Пусть det-2 равен нулю Имеем: c d 0 ad c a c d α ( a ) α ( c d ) 2 Пусть столбцы det-2 ЛЗ; тогда ( ) ( ) α c d c d α αd d 0 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 41 Определение Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов: a 1 1 c 1 a 1 1 c 1 A,B,C, A a 2, B 2, C c 2 a 3 3 c 3 Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: a 3 A 1 + A 2,B,C A 1,B,C + A 2,B,C 3 c 3 αa,b,c α A,B,C, и аналогично для всех остальных столбцов; (2) кососимметричность: определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю, A,A,C 0 и аналогично для других столбцов; (3) нормировка: Отметим свойство кососимметричность-2: при перестановке любых двух столбцов det-3 меняет знак A + B, A + B, C A, A + B, C + B, A + B, C }{{} откуда A,A,C + A,B,C + B,A,C + B,B,C, }{{}}{{} A,B,C B,A,C
11 Из кососимметричности и линейности получается также следующее свойство: det-3 не изменится, если к любому его столбцу прибавить произвольную ЛК остальных столбцов A + βb + γc, B, C A, B, C + β B, B, C +γ C, B, C }{{}}{{} 42 Формулы Крамера Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: a 1 x + 1 y + c 1 z p 1, a 2 x + 2 y + c 2 z p 2, a 3 x + 3 y + c 3 z p 3 Таблицы коэффициентов a 1 1 c 1 a 3 3 c 3, a 1 1 c 1 p 1 p 2 a 3 3 c 3 p 3 называются основной и расширенной матрицами системы соответственно Введя столбцы A a 1 a 2, B 1 2, C c 1 c 2, P p 1 p 2, 11 a 3 систему можно записать в виде 3 c 3 p 3 Ax + By + Cz P Пусть (x, y, z) решение системы Это означает, что столбец P является ЛК столбцов A,B,C с коэффициентами x,y,z: P Ax + By + Cz Рассмотрим det-3 P, B, C : P,B,C Ax + By + Cz, B, C }{{} P Ax,B,C + By,B,C + Cz,B,C x A,B,C + y B,B,C +z C,B,C, }{{}}{{} откуда, при условии A,B,C 0, получаем Аналогично получаются формулы для y, z: x P,B,C A,B,C deta x deta y A,P,C A,B,C deta y deta, z A,B,P A,B,C deta z deta, где определители deta x, deta y, deta z получены из определителя deta заменой соответствующего столбца на столбец правых частей системы Формулы Крамера дают решение в случае, когда определитель A, B, C основной матрицы системы отличен от нуля, и при этом доказывают единственность этого решения Если же A,B,C 0, то формулы Крамера неприменимы; в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь более одного решения
12 12 43 Разложение det-3 по первому столбцу Рассмотрим столбцы I 1 0, I 2 1, I Очевидно, любой столбец из трех элементов можно представить в виде ЛК этих трех столбцов: A a 1 a 2 a 1 I 1 + a 2 I 2 + a 3 I 3 Преобразуем det-3: a 3 A, B, C a 1 I 1 + a 2 I 2 + a 3 I 3, B, C a 1 I 1, B, C + a 2 I 2, B, C + a 3 I 3, B, C Подчеркнутые det-3 называются алгебраическими дополнениями (АД) элементов a 1,a 2,a 3 ; обозначим их A 1,A 2,A 3 Очевидно, эти АД не зависят от элементов a 1,a 2,a 3 Вычислим АД элемента a 1 : A 1 I 1,B,C I 1, 1 I I I 3,C 1 I 1,I 1,C + }{{} 2 I 1,I 2,C + 3 I 1,I 3,C 2 I 1,I 2,c 1 I 1 + c 2 I 2 + c 3 I I 1,I 3,c 1 I 1 + c 2 I 2 + c 3 I 3 2 c 3 I 1,I 2,I c 2 I 1,I 3,I c 2 2 c c c 3 3 c c 3 }{{}}{{} 1 1 Отметим, что АД элемента a 1 равно det-2, который получается, если из исходного det-3 вычеркнуть строку и столбец, на пересечении которых стоит элемент a 1 Аналогичное вычисление АД элементов a 2 и a 3 дает: A 2 3 c 1 1 c 3 3 c 3 1 c 1 1 c 1 3 c 3, A 3 1 c 2 2 c 1 1 c 1 2 c 2 Обратите внимание на знак A 2 Итак, получена формула разложения det-3 по элементам первого столбца: a 1 1 c 1 2 c 2 a 1 a 3 3 c 3 3 c 3 1 c c c c 2 Det-2, фигурирующие в этой формуле, называются минорами этих элементов Они представляют собой det-2, получающиеся из исходного det-3 вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоят элементы a 1, a 2, a 3 соответственно
13 Аналогичные формулы могут быть получены и для разложения det-3 по элементам второго и третьего столбцов: a 1 1 c 1 a 2 c 2 1 a a 3 3 c 3 3 c 3 + a 1 c 1 2 a 3 c 3 a 1 c 1 3 a 2 c 2, a 1 1 c 1 a 2 2 c 1 a a 3 3 c c a a c a a 2 2 Анализ этих формул позволяет сделать следующий вывод: АД элемента равно минору этого элемента, взятому со знаком «+» или согласно следующей схеме: Итак, det-3 равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения: a 1 1 c 1 a 1 A 1 + a 2 A 2 + a 3 A 3 a 3 3 c 3 Рассмотрим сумму произведений элементов второго столбца на алгебраические дополнения элементов первого столбца: 1 1 c 1 1 A A A c c 3 Аналогично и для других столбцов Итак, сумма произведений элементов некоторого столбца на алгебраические дополнения элементов другого столбца равна нулю 44 Полное разложение det-3 Вычисляя АД, входящие в разложение det-3 по элементам какой-либо строки, получаем следующую формулу: a 1 1 c 1 a 1 2 c 3 + a 2 3 c 1 + a 3 1 c 2 a 1 3 c 2 a 2 1 c 3 a 3 2 c 1 a 3 3 c 3 Мнемонические правила для запоминания: 13 Сгруппируем иначе слагаемые в полном разложении det-3: a 1 1 c 1 a 1 2 c 3 + a 2 3 c 1 + a 3 1 c 2 a 1 3 c 2 a 2 1 c 3 a 3 2 c 1 a 3 3 c 3 a 1 ( 2 c 3 3 c 2 ) 1 (a 2 c 3 a 3 c 2 ) + c 1 (a 2 3 a 3 3 )
14 14 a c 2 c 3 1 a 2 a 3 c 2 c 3 + c 1 a 2 a a 1 a 2 a c 1 c 2 c 3 Это означает, что строки и столбцы det-3 равноправны: любое утверждение, сформулированное для столбцов, имеет аналог, справедливый для строк В частности, можно производить разложение det-3 не только по элементам столбцов, но и по элементам строк 45 Примеры Пример Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, а к четвертой строке прибавим первую, умноженную на 4, после чего разложим получившийся det-3 по элементам первого столбца: ( 13) 7 91 Пример Решить систему уравнений x + 2y + 3z 14, 2x + 4y z 7, 4x + 5y + z 9 Воспользуемся формулами Крамера, для чего вычислим нужные det-3: deta (см пример выше) deta x для вычисления этого det-3 прибавим к первой строке утроенную вторую строку, а к третьей строке прибавим вторую строку, после чего разложим полученный det-3 по третьему ;
15 столбцу: deta x ( 1) При вычислении deta y и deta z будем из второй строки вычитать удвоенную первую строку, а к третьей строке прибавлять первую строку, умноженную на 4, как это делалось при вычислении det A; после этого каждый из полученных det-3 разложим по элементам первого столбца: Решение системы: deta y deta z , 273 x deta x deta , y deta y deta , z deta z deta Критерий равенства нулю det-3 Det-3 равен нулю тогда и только тогда, когда его столбцы линейно зависимы 1 Пусть det-3 равен нулю Рассмотрим систему линейных уравнений a 1 x x 2 + c 1 x 3 0, a 2 x x 2 + c 2 x 3 0, a 3 x x 2 + c 3 x 3 0 Формулы Крамера к ней неприменимы, но она имеет очевидное решение x 1 x 2 x 3 0 Поэтому решение системы не единственно, и она имеет какое-либо другое решение, в котором хотя бы одна из неизвестных отлична от нуля Компоненты этого решения и являются коэффициентами нетривиальной линейной комбинации столбцов, равной нулевому столбцу 2 Пусть столбцы ЛЗ; тогда один из них можно представить в виде ЛК остальных, например, C αa + βb Тогда A,B,C A,B,C αa βb A,B,O 0
16 16 5 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Задача 1 Даны три точки O, A, B, не лежащие на одной прямой Принимая за базисные векторы OA и OB, найдите: (а) координаты вектора OM, если точка M лежит на отрезке AB и AM : BM a : ; (б) координаты вектора ON, если точка N лежит на прямой AB вне отрезка AB и AN : BN a : Ответ (а) OM a + a ; (б) ON a a a + a Задача 2 Даны две различные точки A(x 1,y 1,z 1 ) и B(x 2,y 2,z 2 ) Найдите координаты: (а) точки M, лежащей на отрезке AB и такой, что AM : BM a : ; (б) точки N, лежащей на прямой AB вне отрезка AB и такой, что AN : BN a : Ответ (а) M x 1 + ax 2 a + y 1 + ay 2 a + z 1 + az 2 a + ; (б) N x 1 ax 2 a y 1 ay 2 a z 1 az 2 a Задача 3 На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM : BM m 1 : n 1, AN : CN m 2 : n 2, O точка пересечения отрезков BN и CM Найдите отношения BO : ON и CO : OM Решить задачу, используя методы векторной алгебры Ответ BO ON (m 2 + n 2 )n 1 m 1 n 2 ; CO OM (m 1 + n 1 )n 2 m 2 n 1 Задача 4 Используя методы векторной алгебры, докажите, что четыре отрезка, соединяющие вершины произвольного тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 3 : 1, считая от вершины Задача 5 Используя методы векторной алгебры, докажите, что три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся ребер произвольного тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам Задача 6 На диагоналях AB 1 и CA 1 боковых граней треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 расположены соответственно точки E и F так, что прямые EF и BC 1 параллельны Найдите отношение EF : BC 1 Ответ 1 : 3 Задача 7 Докажите, что значение дроби ax +, где по крайней мере одно из чисел c, d cx + d отлично от нуля, не зависит от значения x тогда и только тогда, когда a c d 0 Задача 8 Вычислите определители второго порядка: a 2 a (a) a 2 ; (б) a 2 + a + 2 a 2 a + 2 a + a ;
17 (в) (д) sin α cos α sin β cos β ; (г) sin α + sinβ cos β + cos α cos β cos α sin α sin β ; 1 t 2 2t 1 + t t 2 2t 1 t t t 2 Ответ (а) 0; (б) 2 3 ; (в) sin(α β); (г) 0; (д) 1 17 Задача 9 Вычислите определители третьего порядка: sin 2 α cos 2α cos 2 α (а) sin 2 β cos 2β cos 2 β ; (б) sin 2 γ cos 2γ cos 2 γ 1 a 2 a 3 (в) ; (г) 1 c 2 c 3 1 a a ; 1 c c 3 c c a c Ответ (а) 0; (б) (c )(a c)(a )(a + + c); (в) (c )(a c)(a )(a + ca + c); (г) 3ac a 3 3 c 3 Задача 10 Не раскрывая определителей, докажите следующие тождества: a 1 1 a 1 x + 1 y + c 1 a 1 1 c 1 a 2 2 a 2 x + 2 y + c 2 ; a 3 3 a 3 x + 3 y + c 3 a 3 3 c 3 a x a 1 1 x c 1 a 1 1 c 1 a x a 2 2 x c 2 2x a x a 3 3 x c 3 a 3 3 c 3
Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);
Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины
Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:
Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:
1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).
Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется
Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ http://matematika.phys.msu.ru/ Лекция 1 Системы координат Представление линий и поверхностей 1. ОБ УЧЕБНОМ ПЛАНЕ Лекции 36 ч. Семинары
8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.
1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.
Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого
ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ
ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ
Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.
Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему
определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.
Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.
Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.
Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор
Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком
Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции Лекция Аффинные пространства. 1. Аффинный базис. 2. Аффинные координаты точек. 3. Векторное уравнение прямой. 4. Векторное уравнение плоскости. 5.
Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,
Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.
Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор
Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.
Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.
б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,
. Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:
Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K
Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =
6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов
Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В
Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве
Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа
Лекция 6. Геометрические векторы.
Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.
Введение в линейную алгебру
Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя
a b, a если векторы имеют противоположное направление, то
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические
Уравнения прямой и плоскости
Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется
Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:
Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим
Тема 1-12: Линейные операции над векторами
Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков
МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости
Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем
Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты
Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные
Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):
Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
0.5 setgray0 0.5 setgray1
5 setgry 5 setgry Лекция 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА План лекции Свойство определителей Определение транспонированной матрицы 2 Свойство : A t = A 3 Свойство 2: A, B, C = A, C, B 4 Свойство 3: тоже для перестановки
Элементы линейной алгебры
Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I
Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I План лекции Лекция Определители Определители второго порядка Система линейных уравнений; 2 Определение определителя второго порядка; 3 Запись через определители; 4 Свойства
Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка
Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина
Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n
Лекция 4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы, состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: 1 верхний индекс номер
Высшая математика для психологов
Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
А.Н. БУРОВ, Э.Г. СОСНИНА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для студентов курса технических и экономических специальностей высших учебных заведений Новосибирск 26 УДК 52.2 ББК 22.
называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис
Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения
Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)
С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,
Лекция 2: Линейные операции над векторами
Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению
Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр
Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество
Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр
Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая
Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по
a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn
Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация
Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность
Практическое занятие 3. Практикум (рекомендации к практической части) МОДУЛЬ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема: Линейные операции над векторами План. Понятие вектора. Основные отношения векторов.. Сложение векторов.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций
2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =
Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица
Глава 1. Элементы линейной алгебры.
Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,
Глава 1. Начала линейной алгебры
Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные
Глава II. Векторная алгебра.
Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный
Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год
Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год 1 ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 1 (a) Системы координат на плоскости и в пространстве: декартова прямоугольная, декартова косоугольная, полярная,
1. Векторные пространства и линейные операторы
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между
МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,
Лекция 2. Векторы. Определения.
Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике
МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра
Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса
Геометрические векторы
Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его
Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3
Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть
Коллоквиум по аналитической геометрии
Коллоквиум по аналитической геометрии Решения 07/11/2013 Напоминание некоторых обозначений. f : A B: f функция с областью определения A и областью значений B. Z, Q, R множества целых, рациональных, и действительных
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра
Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов
называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,
0.5 setgray0 0.5 setgray1
05 setgray0 05 setgray Лекция 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = a a2 a a a a 2 A =, A a 2 2 2 = a a2 = A,A 2,,A,,, A = a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом
Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции
Глава 6 Векторная алгебра 61 Линейные операции 1 Доказать, что векторы (1,2) и (2, 3) образуют базис на плоскости Найти в этом базисе координаты векторов (5,3) и ( 4,6) 2 Доказать, что векторы (1, 2, 3),
Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,
Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно
Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.
Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма
на множестве векторов Понятие линейного пространства
Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Векторы. Линейные операции на множестве векторов Понятие линейного пространства Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории
Базис. Координаты вектора в базисе
Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой
Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА
Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета
Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.
Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.
IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы
векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.
Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Руководство к решению задач для студентов механико-технологического
1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,
Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (
IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы
векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.
ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.
ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим
ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.
ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление
a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко
Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными
Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы
Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие
ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое
Лекция 6: Система координат. Координаты точки
Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация ВЕКТОРЫ. БАЗИС И КООРДИНАТЫ ЗАДАЧА 1. В некоторой системе координат {O,e 1,e,e } заданы координаты трех вершин треугольника ABC: A(x A,y A,z A, B(x B,y B,z B и
2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется
ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ
ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
И называется число находимое следующим образом:
Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий
ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"
ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?
Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского