Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Модуль 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ"

Транскрипт

1 Модуль. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 1 План: 1.1 Основные определения 1. Допущения (гипотезы) в сопротивлении материалов 1.3 Внешние силы 1.4 Внутренние силы. Метод сечений. 1.1 Основные определения Сопротивление материалов - Наука о методах расчетов на прочность, жесткость и устойчивость элементов машин и сооружений. Рассмотрим понятия прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций. Прочность это способность сопротивляться разрушению под нагрузкой. Жесткость это способность элемента конструкции сопротивляться деформациям. Устойчивость это способность элемента конструкции сопротивляться воздействию больших отклонений от равновесия при малых изменениях нагрузки. Элементы конструкций часто имеют весьма сложную форму. При всем многообразии геометрических форм конструкций их можно разделить на элементы, которые условно относят к нескольким видам, приведенным на рисунке 1. Брус (рис.1, а - в) представляет собой тело, размеры перечного сечения которого малы по сравнению с длиной. Ось бруса, это линия, соединяющая центры тяжести его поперечных сечений. Различают брусья постоянного или переменного поперечного сечения. Брус может иметь прямолинейную или криволинейную ось. Брус с прямолинейной осью называется стержнем (рис.1, а, б). Тонкостенные элементы конструкции разделяют на пластины и оболоч- 15

2 ки. Оболочка (рис.1, г) это тело, один из размеров которого (толщина) намного меньше остальных. Если поверхность оболочки представляет собой плоскость, то объект называют пластиной (рис.1, д). Массивами называются тела, у которых все размеры одного порядка (рис.1, е). К ним относятся фундаменты сооружений, подпорные стены и др. а б в г д е. Рис. 1. Основные виды элементов конструкций: а прямолинейный брус постоянного сечения; б прямолинейный брус переменного сечения; в криволинейный брус; г оболочка; д пластина; е массив Эти элементы в сопротивлении материалов используются для составления расчетной схемы реального объекта и проведения ее инженерного анализа. Под расчетной схемой понимается некоторая идеализированная модель реальной конструкции, в которой отброшены все малосущественные факторы, влияющие на ее поведение под нагрузкой. 1. Допущения (гипотезы) в сопротивлении материалов 1-е допущение. Материал тела имеет сплошное (непрерывное) строение, т.е. не принимается во внимание дискретная, атомистическая структура вещества. -е допущение. Материал детали однороден, т. е. обладает во всех точках одинаковыми свойствами. Металлы обладают высокой однородностью. Менее однородными являются дерево, бетон, камень, пластмассы с наполнителем. Тем не менее, как показывает опыт, расчеты, основанные на допущении об однородности материала детали, дают удовлетворительные результаты для всех основных конструкционных материалов. 3-е допущение. Материал детали изотропен, т. е. обладает во всех на- 16

3 правлениях одинаковыми свойствами. Материалы, свойства которых в разных направлениях различны, называются анизотропными. Исследования показывают, что материалы с кристаллической структурой - анизотропны. Например, для меди прочность кристаллов в разных направлениях различается более чем в 3 раза. Но у материалов, имеющих мелкозернистую структуру, благодаря большому количеству кристаллов, расположенных в беспорядке, свойства в разных направлениях выравниваются, «усредняются», и можно считать эти материалы практически изотропными. Для таких же материалов, как дерево, железобетон, пластмассы, указанное допущение выполняется лишь приблизительно. 4-е допущение. В теле до приложения нагрузки нет внутренних (начальных) усилий. То есть в расчетах не принимаются во внимание те молекулярные силы, и силы сцепления между частицами, которые уже имеются в ненагруженном теле. 5-е допущение, или принцип независимости действия сил. Результат воздействия на тело системы сил равен сумме результатов воздействия тех же сил, прилагаемых к телу последовательно и в любом порядке. Принцип независимости действия сил, широко применяемый для абсолютно твердых тел в теоретической механике, в сопротивлении материалов может быть применим к деформируемым телам лишь при двух определенных условиях: 1) перемещения точек приложения сил малы по сравнению с размерами тела; ) деформации тела, линейно зависят от действующих сил. Такие тела называют линейно деформируемыми, т.е. подчиняющимися закону Гука. В обычных конструкциях оба эти условия выполняются, и поэтому принцип независимости действия сил при силовом расчете конструкций используется широко. 6-е допущение, или принцип Сен-Венана. В точках тела, удаленных от мест приложения нагрузок, внутренние силы мало зависят от конкретного способа приложения этих нагрузок. Этот принцип позволяет производить замену одной системы сил другой системой, статически эквивалентной, что может упростить расчет. Например, при расчете стержня, можно фактическую нагрузку, распределенную по некоторому закону (определить который довольно сложно), за- 17

4 менить сосредоточенной (равнодействующей) силой Внешние силы Действие на конструкцию окружающих тел заменяют силами, которые называют внешними силами или нагрузками. Рассмотрим их классификацию. К нагрузкам относятся активные силы (для восприятия которых создана конструкция), и реактивные (реакции связей) - уравновешивающие конструкцию силы о которых подробно рассказывается в разделе «Статика» модуля «Теоретическая механика». По способу приложения внешние силы можно разделить на сосредоточенные и распределенные. Распределенные нагрузки характеризуются интенсивностью, и могут быть линейно, поверхностно или объемно распределенными. По характеру воздействия нагрузки внешние силы бывают статические и динамические. К статическим силам относят нагрузки, изменения которых во времени малы, т.е. ускорениями точек элементов конструкций (силами инерции) можно пренебречь. Динамические нагрузки вызывают в конструкции или отдельных ее элементах такие ускорения, которыми при расчетах пренебрегать нельзя. 1.4 Внутренние силы. Метод сечений. Действие на тело внешних сил приводит к его деформации (меняется взаимное расположение частиц тела). Вследствие этого между частицами возникают дополнительные силы взаимодействия. Это силы сопротивления изменению формы и размеров тела под действием нагрузки, называют внутренними силами (усилиями). С увеличением нагрузки внутренние усилия возрастают. Выход из строя элемента конструкции наступает при превышении внешних сил некоторого предельного для данной конструкции уровня внутренних усилий. Поэтому оценка прочности нагруженной конструкции требует знания величины и направления возникающих внутренних усилий. Значения и направления внутренних сил в нагруженном теле определяют при за- 18

5 данных внешних нагрузках методом сечений. Метод сечений (см. рис. ) состоит в том, что брус, находящийся в равновесии под действием системы внешних сил, мысленно рассекают на две части (рис., а), и рассматривают равновесие одной из них, заменяя действие отброшенной части бруса системой внутренних сил, распределенных по сечению (рис., б). Заметим, что внутренние силы для бруса в целом, становятся внешними для одной из его частей. Причем во всех случаях внутренние усилия уравновешивают внешние силы, действующие на отсеченную часть бруса. а б в Рис.. Метод сечений В соответствии с правилом параллельного переноса сил статики приведем все распределенные внутренние силы к центру тяжести сечения. В результате получим их главный вектор R и главный момент M системы внутренних сил (рис., в). Выбрав систему координат Oxyz так, чтобы ось z являлась продольной осью бруса и проецируя главный вектор R и главный момент M внутренних сил на оси, получим шесть внутренних силовых факторов (ВСФ) в сечении бруса: продольную силу N, поперечные силы Q x и Q y, изгибающие моменты М х и M y, а также крутящий момент Т. По виду внутренних силовых факторов можно определить характер нагружения бруса. Если в поперечных сечениях бруса возникает только продольная сила N, а другие силовые факторы отсутствуют, то имеет место «растяжение» или «сжатие» бруса (в зависимости от направления силы N). Если в сечениях действуют только поперечная сила Q x или Q y - это случай «чистого сдвига». При «кручении» в сечениях бруса действуют только крутящие моменты Т. При «чистом изгибе» - только изгибающие моменты М. Возможны 19

6 также комбинированные виды нагружения (изгиб с растяжением, кручение с изгибом и др.) это случаи «сложного сопротивления». Для наглядного представления характера изменения внутренних силовых факторов вдоль оси бруса строят их графики, называемые эпюрами. Эпюры позволяют определить наиболее нагруженные участки бруса и установить опасные сечения. Построение эпюр внутренних силовых факторовошибка! Закладка не определена. проводится в следующей последовательности: 1. Вычерчивают схему нагружения стержня.. Определяют реакции связей, составляя уравнения равновесия (для консольных стержней этот пункт не выполняют). 3. Выявляют все «характерные участки» стержня (участки с неизменным характером нагрузки. 4. Применяя метод сечений на каждом характерном участке, составляют уравнения зависимости внутренних силовых факторов по длине участка и вычисляют их значения на границах участка. 5. Проводят «базу эпюры», т. е. линию, параллельную оси стержня. 6. Строят на каждом характерном участке графики зависимостей внутренних силовых факторов (эпюры), для чего откладывают от базы эпюры перпендикулярно к ней в выбранном масштабе значения внутренних силовых факторов с учетом их знаков. 7. Указывают по границам участков численные значения внутренних силовых факторов, а на поле эпюры - их знак и штрихуют эпюру линиями перпендикулярными базе эпюры. Для консольного бруса построение эпюры следует начинать с незакрепленного (свободного) конца. Для двухопорных брусьев выбор начального участка роли не играет. ЛЕКЦИЯ План:.1. Напряжения...Перемещения и деформации..3. Закон Гука..4.Условия прочности и жесткости в общем виде 130

7 .1. Напряжения Внутренние силы распределены по площади поперечного сечения бруса (см. рис., б). Интенсивность их распределения может быть различной в разных точках сечения. Мерой интенсивности внутренних сил являются напряженияошибка! Закладка не определена. усилия, приходящиеся на единицу площади сечения. Выделим на поперечном сечении нагруженного бруса в окрестности точки К площадку ΔА (рис. 3, а). Обозначим равнодействующую внутренних сил на этой площадке - ΔR. Тогда ΔR dr lim = = ΔΑ da ΔΑ 0 р, где р полное напряжение в данной точке сечения а б Рис. 3. К определению понятия напряжений в сечении бруса Силу ΔR можно разложить на две составляющие нормальную к плоскости сечения ΔN и касательную ΔQ, по которым определяют нормальное напряжение σ, направленное по нормали к плоскости сечения и касательное напряжение τ, лежащее в плоскости сечения: σ = ΔN lim = ΔΑ ΔΑ 0 dn da ; τ = ΔQ lim = ΔΑ ΔΑ 0 dq da. (1) Нормальное напряжение возникает тогда, когда частицы материала стремят- 131

8 ся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц материала по плоскости рассматриваемого сечения. Касательное напряжение τ может иметь составляющие по двум взаимно перпендикулярным направлениям x и y в плоскости сечения (τ zx и τ zy на рис. 3, б). В обозначении касательного напряжения первый индекс показывает, к какой оси координат перпендикулярна площадка действия этого напряжения, а второй индекс - какой оси параллелен вектор напряжения. Нормальные и касательные напряжения в любой точке сечения (например, в точке К) связаны с внутренними силовыми факторами следующими соотношениями: Ν = σ A da; Τ = ( τ τ x) A zx y da, Qx = τzxda; Μ x = σ y da; () Qy = τzyda; Μ y = σ x da, где x и y координаты точки К. В международной системе единиц для измерения напряжения принят паскаль (1 Па = 1 Н/м ). В практических расчетах удобно учитывать напряжения в мегапаскалях (1 МПа = 10 6 Па = 10 6 Н/м =1 Н/мм )...Перемещения и деформации A A zy Под действием внешних сил реальное тело деформируется, т.е. изменяет свои первоначальные размеры и форму. При этом изменяется первоначальное положение его сечений. Перемещения сечений вдоль прямой линии называются линейными, а перемещения, вызывающие поворот линий и плоскостей, - угловыми. Для характеристики интенсивности изменения линейных и угловых перемещений введено понятие деформации. Если на поверхности тела вблизи исследуемой точки нанести малый прямоугольник 134 (рис. 4, а), то, в результате деформации в общем случае прямоугольник примет вид параллелограмма 1''3'4'. При этом длины сторон прямоугольника изменятся. Например, длина стороны 3 изменится на величину Δl, а сами стороны повернутся по отношению к первоначальному положению на углы α и β (рис. 4, б). 13

9 Рис. 4. К определению понятия деформации бруса Величина Δl - это абсолютная линейная деформация. Она имеет размерность длины и зависит не только от свойств материала, но и от первоначальных линейных размеров конструкции. Безразмерной величиной, характеризующей изменение линейных размеров, является относительная линейная деформация ε - отношение абсолютной линейной деформации Δl к первоначальной длине l: ε = Δl / l. (3) Угловая деформация γ (угол сдвига) в данной точке это изменение первоначального прямого угла между сторонами прямоугольника: γ = α + β. Опыт показывает, что деформации, как линейные, так и угловые, могут после снятия нагрузки исчезать или оставаться. Деформации исчезающие после разгрузки называют упругимиошибка! Закладка не определена., а неисчезающие деформации называют остаточными или пластическимиошибка! Закладка не определена.. В конструкции в процессе ее нагружения возникают как упругие, так и пластические деформации. Для нормальной эксплуатации конструкций деформации его элементов должны быть, как правило, упругими..3. Закон Гука. Опыты показывают, что для многих материалов их деформации в определенных пределах пропорциональны напряжениям. Впервые эта законо- 133

10 мерность была отмечена английским ученым Р. Гуком и поэтому носит его имя. Закон Гука определяет линейную зависимость между напряжениями и деформациями и записывается в виде: σ = E ε ; τ = G γ ; (4) где Е - модуль Юнга (модуль продольной упругости), G - модуль сдвига. Эти величины являются физическими константми материала..4.условия прочности и жесткости в общем виде В первой лекции было дано определение понятий прочности и жесткости. Теперь можно дать математическое выражение условий прочности и жесткости тела, т.е. таких условий, когда обеспечивается требуемая прочность и жесткость. Условия прочности. Прочность элемента конструкции будет обеспечена, если максимальные расчётные напряжения в нем не превышают некоторых допускаемых напряжений, т.е. max σ [ σ ]; [ τ ] max расч. τ, (5) расч где max σ расч. и max τ расч - максимальные расчётные нормальные и касательные напряжения; [ σ ] и [ ] τ - допускаемые нормальные и касательные напряжения. Условия жесткости. Условия жесткости выражаются через линейные или угловые деформации и формулируются следующим образом: жесткость элемента конструкции будет обеспечена, если деформации не будут превышать некоторых допускаемых значений, т.е. max max ε [ ε ] ; [ γ ] расч γ. расч Для определения «допускаемых» напряжений или деформаций экспериментально находят предельные для данной конструкции и ее материала величины напряжений или деформаций и уменьшают их с учетом коэффици- 134

11 ента запаса n, т.е. например, для допускаемых напряжений σ τэксп σ =. n n эксп [ ] =, [] τ Коэффициент запаса n вводят в расчеты с целью обезопасить работу элемента конструкции в случае воздействия неучтенных при проектировании внешних факторов Для общего машиностроения в среднем принимают n = 1,5..3,5. Экспериментальные величины σ эксп, τ эксп, ε эксп, γ эксп определяются путем лабораторных механических испытаний образцов из данного материала при соответствующих способах нагружения. Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определения прочности и жесткости конструкции.. Сформулируйте допущения о свойствах материалов в сопротивлении материалов. 3. Какие силы называют внешними и внутренними? 4. Перечислите виды внутренних силовых факторов. 5. В чем заключается сущность метода сечений? 6. Что такое эпюра внутренних усилий и как ее построить? 7. Что такое напряжение в деформируемом теле? 8. Какие напряжения называются нормальными, касательными, полными? 9. Что понимают под деформацией тела? 10. Что называют относительной линейной деформацией? 11. Что понимают под углом сдвига? 1. Какие деформации называются упругими, а какие - остаточными? 13. Запишите выражения закона Гука по нормальным и по касательным напряжениям. Что они означают? 14. В чем смысл условий прочности и условий жесткости конструкции? 135

12 ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ЛЕКЦИЯ 3 План 3.1. Внутренние усилия при растяжении-сжатии 3.. Напряжения при растяжении-сжатии 3.3. Деформации при растяжении-сжатии 3.4. Условия прочности и жесткости при растяжении и сжатии 3.1. Внутренние усилия при растяжении-сжатии Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих - продольные силы N отрицательны (рис. 5). Рис.5. Правило знаков продольных сил Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в лекции

13 3.. Напряжения при растяжении-сжатии Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис., б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы: Ν = σda, A где σ нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня. Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации. а б Рис. 6. К определению напряжений при центральном растяжении: а механизм деформации растяжении (сжатия); б - эпюра распределения напряжений в поперечном сечении растянутого бруса. Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то 137

14 и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид Ν σ =. (6) Α Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии Деформации при растяжении-сжатии Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l 1 и его длины до деформации l Δl = l1 l Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией Δl ε =. l При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависи- 138

15 мость между напряжениями и деформациями: σ = Еε, где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1). Таблица 1. Модуль продольной упругости для различных материалов Материал Е, МПа Сталь 10 5 Медь Дерево Алюминий 0, Чугун 1, Мрамор 0, Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации: Δb = b1 b Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле: Δb ε = b При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε ' имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε ' к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом 139

16 Пуассона μ: μ = ε ε Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. ). Коэффициент Пуассона Таблица. Материал μ Сталь 0,5-0,33 Медь 0,31-0,34 Бронза 0,3 0,35 Алюминий 0,3-0,36 Чугун 0,3-0,7 Камень 0,16-0,34 Бетон 0,08-0,18 Фанера 0,07 Пробка 0 Подставив в закон Гука (4) выражения (6) σ = Ν Α и (3) ε = Δl l полу- Νl Δ l =, ΕΑ (7) чим т. е. абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N. Формулой (7) можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка 140

17 Δl l N dl = E A 0. Произведение (Е А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии) Условия прочности и жесткости при растяжении и сжатии Конечной целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость. Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии) с учетом формул (5) и (6): σ max = N max /A [σ]. С использованием условия прочности можно проводить проверочный или проектный расчеты стержней, а также определять допустимую нагрузку на конструкцию. При проектном расчёте сначала определяют требуемую площадь «опасного» (самого нагруженного) поперечного сечения элемента конструкции при заданных нагрузке и материале конструкции, а затем вычисляют размеры поперечного сечения. При проверочном расчёте находят наибольшее напряжение в опасном сечении, которое сравнивают с допускаемым напряжением. В некоторых случаях необходимо определять допустимую нагрузку при известных поперечных размерах элемента и характеристиках материала. При расчётах на жёсткость работоспособность стержня оценивают по её абсолютному удлинению Δl под нагрузкой. Условие жесткости имеет вид Δl [Δl], 141

18 где [Δl] - предельно допустимая деформация, при которой гарантированы нормальные условия работы; Δl - в зависимости от нагрузок, жесткости сечения и длины стержня рассчитывают по формуле (7). МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ ЛЕКЦИЯ 4 План: 4.1. Диаграммы растяжения 4.. Пластическое и хрупкое разрушение материала 4.3. Испытание на сжатие 4.4. Испытание на твердость 4.5. Ползучесть, релаксация и длительная прочность материала 4.6. Допускаемые напряжения. Коэффициент запаса прочности 4.1. Диаграммы растяжения Основные прочностные и деформационные характеристики конструкционных материалов, необходимые для расчетов деталей на прочность и жесткость конструкций, определяют экспериментально путем проведения испытаний образцов на растяжение, сжатие, срез, кручение и изгиб. Наиболее распространенным является испытание на растяжение статической нагрузкой, позволяющее определить большинство механических характеристик материала. Для испытаний используют стандартные по форме и размерам образцы (рис.7). Рис. 7. Образец для испытаний материалов на растяжение 14

19 Растяжение образцов из испытуемого материала проводят на испытательных машинах, автоматически записывающих диаграмму зависимости растягивающей силы и удлинения образца F = f(δl). Чтобы исключить влияние размеров образца, диаграмму растяжения образца рассматривают в координатных осях (σ; ε). При этом на горизонтальной оси откладывается относительное удлинение образца ε = Δl / l 0, а на вертикальной - условное напряжение в образце σ = F/A 0. Напряжение называют «условным», так как силу (нагрузку) делят на первоначальную площадь поперечного сечения образца, а не на действительную его площадь. Типичная «условная диаграмма» растяжения образца из малоуглеродистой стали, показана на рисунке 8 сплошной линией АВСDEN. Рис.8. Диаграмма растяжения пластичных материалов Область диаграммы можно условно разделить на четыре участка. На участке ОА наблюдается линейная зависимость между нагрузкой и удлинением образца (зона упругости материала). Здесь свойства материала подчиняются закону Гука. На участке CD удлинение образца растет без заметного увеличения нагрузки (зона текучести), а сам горизонтальный участок диаграммы растяжения называется площадкой текучести. Участок DE - зона упрочнения, где зависимость между нагрузкой и удлинением нелинейная. Участок EN - зона локальной пластической деформации стали, когда на образце образуется местное сужение (шейка). Образец в этой зоне удлиняется за счет локальной пластической деформаций материала в шейке. 143

20 В точке N происходит разрушение образца, а пластическая деформация к этому моменту соответствует точке R на оси удлинений ε (линия NR параллельна упругому участку ОА диаграммы) Анализ диаграммы растяжения позволяет определить механические характеристики материала. Предел пропорциональности σ пц - наибольшее напряжение на диаграмме, до которого справедлив закон Гука (4). Оно соответствует для материала точке А; Предел упругости σ у - наибольшее напряжение, до достижения которого материал не получает заметных остаточных деформаций, соответствует точке В; Модуль продольной упругости (модуль Юнга) Е коэффициент пропорциональности в уравнении закона Гука (4). Е имеет размерность напряжения (МПа) и по величине соответствует тангенсу угла наклона β упругого участка ОА диаграммы к оси удлинений ε; Предел текучести σ т - напряжение, при котором происходит рост пластических деформаций материала без заметного увеличения нагрузки, соответствует участку СD на диаграмме. Пределом прочности или временным сопротивлением σ в (рис. 8) называют отношение максимальной силы к первоначальной площади его поперечного сечения. Следует заметить, что величина σ в не является истинным напряжением, при котором образец разрушается в точке N. Если рассматривать отношение максимальной растягивающей силы не к первоначальной его площади, а к истинной площади сечения А ист, то при образовании шейки, в наиболее узком ее сечении, истинное напряжение σ ист.=f/а ист. перед разрывом образца на самом деле растет. Кривая OS на рис. 8 является «истинной диаграммой» растяжения, где напряжение σ ист.=f/а ист. Таким образом, истинное напряжение разрыва в точке S существенно больше σ в, а предел прочности пластичных материалов - величина «условная». Пластические свойства материала характеризуют две величины: относительное удлинение при разрыве l1 l δ = 100%; l относительное остаточное сужение при разрыве 144

21 Α1 Α ψ = Α %; где l 1 расчетная длина образца в момент его разрыва; l - первоначальная расчетная длина образца; A 1 площадь поперечного сечения в наиболее тонком месте шейки в момент разрыва образца; А 0 первоначальная площадь поперечного сечения образца. Чем больше δ и ψ, тем пластичнее материал. Напряжения σ пц, σ у, σ т, σ в являются характеристиками прочности материала, а величины δ и ψ характеристиками его пластичности. Для материалов, не имеющих на диаграмме растяжения явно выраженной площадки текучести (см. рис. 9), вводят понятие условного предела текучести σ 0,, под которым имеют в виду напряжение, вызывающее остаточную (пластическую) деформацию, составляющую 0, % от первоначальной длины образца. Рис.9. Диаграмма растяжения без выраженной площадки текучести Точку на диаграмме соответствующую σ 0, находят при проведении линии, параллельной упругому участку ОА, отступая вдоль оси ε отрезок равный ε ост =0, %. Если образец при растяжении нагрузить до напряжения, превышающего предел упругости материала например, до точки К на рис. 8, и снять нагрузку, то процесс его разгрузки пойдет по прямой KL параллельно упругому участку ОА диаграммы. При повторном нагружении образца диаграмма пойдет по линии LKЕN. Следовательно, при повторном нагружении предварительно пластически деформированного образца, повышается предел про- 145

22 порциональности, но при этом снизится пластичность материала. Явление повышения предела пропорциональности и снижения пластичности материала при повторных нагружениях называют наклепом. В некоторых случаях наклеп нежелателен, например, при штамповке тонкостенных деталей, холодной прокатке металла и др. В отдельных случаях наклеп создают специально (при упрочнении поверхностного слоя детали, повышении упругих свойств проволоки и др.) 4.. Пластическое и хрупкое разрушение материала В зависимости от характера разрушения материалы разделяют на пластичные или хрупкие. Пластическое разрушение происходит путем сдвига частиц материала в плоскостях действия наибольших касательных напряжений. При этом в результате сдвига частиц увеличивается длина образца (рис.10, а). При хрупком разрушении частицы материала отрываются внезапно в плоскости поперечного сечения. В этом случае не наблюдается образования шейки, отсутствуют явления текучести и упрочнения материала (рис.10, б). а б Рис.10. Характерное разрушение материалов: а - пластическое разрушение; б - хрупкое разрушение Пластичные материалы разрушаются при больших остаточных деформациях (δ > 10%). Хрупкими называют материалы, разрушающиеся при малых остаточных деформациях, не превышающих 1-5%. Деление материалов на пластичные и хрупкие является условным, так как их свойства зависят от вида и скорости нагружения, температуры среды, продолжительности нагружения и т. д. Например, при длительном воздействии нагрузок проявляется свойство пластичности, а при быстром нагружении - свойство хрупкости материалов. 146

23 4.3. Испытания на сжатие При испытании на сжатие образцы обычно имеют форму кубиков или цилиндров высотой h < 3d (d - диаметр цилиндра). Диаграмма сжатия образца из малоуглеродистой стали приведена на рис.11, а. Видно, что в начальной стадии его нагружения линия диаграммы совпадает с диаграммой растяжения (рис. 8). После достижения точки С на диаграмме образец сплющивается, но не разрушается (рис.11, б), хотя напряжение растет. Поэтому для пластичных материалов отсутствует понятие предела прочности при сжатии. Пределы текучести при растяжении и сжатии для таких материалов одинаковы. а б. Рис.11. Испытания на сжатие пластичного материала: а диаграмма сжатия; б образец после испытания Образцы из хрупких материалов при сжатии разрушаются внезапно, причем разрушение происходит обычно за счет сдвигов по наклонным плоскостям (рис.1, а). Это плоскости действия максимальных касательных напряжений. а б. Рис.1. Испытания на сжатие хрупкого материала а образец после испытания; б диаграмма сжатия 147

24 в р в сж Диаграмма сжатия хрупких материалов, как правило, не имеет площадки текучести. На такой диаграмме с самого начала обнаруживается криволинейность, а предел упругости близок к пределу прочности материала. Диаграмма сжатия хрупких материалов подобна диаграмме их растяжения (рис.1, б), однако сравнение величины пределов прочности показывает, что σ < σ, т.е. хрупкие материалы значительно хуже работают на растяжение, нежели на сжатие Испытание на твердость В случае невозможности изготовления образцов необходимой формы и размеров для определения механических характеристик материала в производственных условиях часто используют неразрушающие косвенные способы оценки его прочности, к которым относят твердость. Твердостью материала называют его способность оказывать сопротивление механическому внедрению в него другого более твердого тела (индентора). Наиболее распространены пробы твердости по Бринеллю, Роквеллу и Виккерсу. Твердость по Бринеллю, обозначаемая НВ, определяется по диаметру отпечатка при вдавливании в испытуемый материал стального закаленного шарика. Число твердости НВ по Бринеллю равно отношению силы, вдавливающей шарик, к площади поверхности полученного отпечатка. Экспериментально установлено, что между числом твердости по Бринеллю и пределом прочности σ B существует определенная зависимость. Например, для малоуглеродистой стали σ B 0,36НВ. Твердость по Роквеллу имеет три шкалы А, В и С. Шкалу С чаще используют для определения твердости конструкционных материалов. При этом твердость обозначают HRC и определяют как разность глубин внедрения в материал алмазного конуса в результате действия предварительной и основной нагрузок. Измерение твердости по Виккерсу HV основано на вдавливании в образец индентора в форме четырехгранной алмазной пирамиды. Числа твердости, полученные разными методами, коррелируют между собой. Например, с некоторым приближением НВ HV (в области до

25 HV), а HB HRC. Как правило, для относительно мягких материалов определяют твердость по Бринеллю HB, а для материалов повышенной твердости используют метод Роквелла для определения HRC Ползучесть, релаксация и длительная прочность материала Изменение деформаций и напряжений, возникающих в нагруженной конструкции с течением времени в условиях не изменяющейся нагрузки называется ползучестью материала. Частными случаями ползучести являются последействие и релаксация. Последействие - это рост пластических деформаций материала при постоянном напряжении. Релаксация напряжений, представляет собой процесс уменьшения напряжений при постоянной величине деформации материала. Например, растягивающее усилие в затянутых болтах со временем уменьшается. Предел длительной прочности материала - это условное напряжение, воздействие которого при постоянной температуре в течение определенного промежутка времени приводит к разрушению образца. В его обозначении указывают два индекса: сверху температуру испытания, град, снизу заданную продолжительность испытания до разрушения в часах. Например, σ предел 1000 часовой прочности при С Допускаемые напряжения. Коэффициент запаса прочности Механические характеристики материалов позволяют определить величину допускаемых напряжений [σ], входящих в выражения условий прочности (5) Рассмотрим понятие допускаемы Допускаемое напряжение - это наибольшее напряжение для материала конструкции, при котором в данных условиях нагружения гарантированы необходимая прочность и надежность работы. Его определяют по формуле [σ]=σ np / n, 149

26 где σ пр - предельные напряжения, при достижении которых появляются признаки разрушения конструкции или возникают недопустимые пластические деформации материала. Для деталей из хрупких материалов предельными являются напряжения, близкие к пределу их прочности (σ пр = σ в ), для пластичных материалов - это предел текучести (σ пр = σ т ); n коэффициент запаса прочности, который зависит от свойств материала, характера действующих нагрузок, условий эксплуатации конструкции и др. При расчетах деталей машин требуемый коэффициент запаса прочности принимают равным: для пластичных материалов n =...4, для хрупких n = Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение гипотезы плоских сечений.. Что такое абсолютная и относительная продольная (поперечная) деформации? 3. Что связывает относительную продольную и относительную поперечную деформации? 4. Какие внутренние силовые факторы возникают при растяжении и сжатии? Сформулируйте для них правило знаков. 5. Как определяется напряжение при растяжении и сжатии? 6. Как записать закон Гука для абсолютного удлинения? 7. Что такое жесткость поперечного сечения при растяжении - сжатии? 8. Запишите условия прочности и жесткости при растяжении-сжатии. 9. Какие задачи можно решать с помощью условий прочности? 10. Как строится условная диаграмма растяжения? 11. Какие характерные участки имеет диаграмма растяжения малоуглеродистой стали? 1. Дайте определения пределов пропорциональности, упругости, текучести и прочности. 13. Как по диаграмме растяжения определить величину модуля Юнга? 14. Назовите величины, характеризующие пластичность материала. 15. Что называют условным пределом текучести? 150

27 16. Что такое наклеп? 17. Какие напряжения опасны для пластичного и какие - для хрупкого материала? 18. Что такое ползучесть, последействие и релаксация? 19. Как обозначается предел длительной прочности? 0. Что такое длительная прочность материала? 1. Как вычисляют допускаемые напряжения для хрупких и как - для пластичных материалов? ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ ЛЕКЦИЯ 5 План: 5.1. Статический момент сечения 5.. Моменты инерции 5.3. Моменты инерции при параллельном переносе и повороте осей 5.4. Главные оси и главные моменты инерции Сопротивление элементов конструкции различным видам деформаций зависит не только от площади поперечного сечения, но также от формы сечения и его ориентации по отношению к направлению приложенных нагрузок. В расчётах на прочность и жесткость влияние этих параметров определяется геометрическими характеристиками плоских сечений. Рассмотрим некоторые из них Статический момент сечения. Рассмотрим сечение, лежащее в плоскости произвольно выбранных осей x и y (рис. 13). Статическим моментом сечения относительно выбранной оси называют интеграл по всей площади сечения от произведения элементарной площадки dа на ее расстояние до этой оси: 151

28 S y = x da; S x = y da, A A где x, y координаты элементарной площадки dа. Рис. 13. К определению геометрических характеристик сечения Если известно положение центра тяжести С, то статические моменты сечения можно найти, как S y = x c A, S x = y c A, где x c, y c координаты центра тяжести сечения. Оси, проходящие через центр тяжести, называют центральными осями. Статические моменты сечения относительно центральных осей равны нулю S xc= 0, S yc = 0. Единица измерения статических моментов сечения м Моменты инерции Различают осевые, полярные и центробежные моменты инерции. Осевым моментом инерции сечения относительно оси называется интеграл по всей площади от произведения элементарной площадки dа на квадрат расстояния от элементарной площадки до этой оси 15

29 I x = A y da; I = x da. Полярный момент инерции сечения определяют по формуле y A I ρ = ρ da, где ρ расстояние от площадки dа до полюса, относительно которого вычисляется полярный момент инерции сечения (точка О на рис.13). Т.к. из рис.1 видно, что ρ = x + y, поэтому полярный и осевые моменты инерции сечения связаны соотношением I ρ = I x + I y. A Следует заметить, что и осевые и полярный моменты инерции сечения всегда положительны. Центробежный момент инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей определяется интегралом I xy = y x da Центробежный момент инерции в зависимости от положения осей может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Если обе оси или одна из них являются осями симметрии, то центробежный момент инерции относительно таких осей равен нулю. Единица измерения моментов инерции сечения м Моменты инерции при параллельном переносе и повороте осей A Если известны моменты инерции I xс и I yс относительно центральных осей x c и y c для сечения с площадью А, то моменты инерции относительно осей x и y, параллельных центральным (рис. 14), можно вычислить по формулам I x = I xс + a A, I y = I yс + b A, где а и b расстояния между параллельными осями. 153

30 Рис.14. К определению моментов инерции относительно параллельных осей Из вышеприведенных формул видно, что осевой момент инерции сечения относительно центральной оси всегда имеет меньшее значение, чем относительно любой другой параллельной ей оси. Рассмотрим, как меняются моменты инерции сечений при повороте осей координат (рис.14). Рис.14. К определению моментов инерции при повороте осей Если известны моменты инерции I x и I y относительно осей x и y, то относительно осей ν и u, повернутых на угол α, моменты инерции осевые и центробежный вычисляют по формулам І u = I x cos α + I y sin α - I xy sinα, I ν = I x sin α + I y cos α + I xy sinα, I uν = I x I y sin α + I uν cos α. 154

31 Из приведенных формул видно, что І u + I ν = I x + I y. Т.е. сумма осевых моментов инерции при повороте взаимно перпендикулярных осей не меняется, т.е Главные оси и главные моменты инерции Оси u и v, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, а осевые моменты инерции І u и I ν имеют экстремальные значения max или min, называют главными осями сечения. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями сечения. Для симметричных сечений оси их симметрии всегда являются главными центральными осями. Положение главных осей сечения относительно других осей определяют, используя соотношение I xy tgα 0 =, I x I y где α 0 угол, на который надо развернуть оси x и y, чтобы они стали главными (положительный угол принято откладывать против хода часовой стрелки, отрицательный по ходу часовой стрелки). Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции : I x + I y 1 I max = ± ( I x I y ) + 4I xy. min Знак плюс перед вторым слагаемым относится к максимальному моменту инерции, знак минус к минимальному. Контрольные вопросы и задания 1. Что называют статическим моментом сечения относительно оси? 155

32 . Какова размерность статического момента? 3. Чему равен статический момент сечения относительно центральной оси? 4. Что называется осевым, полярным и центробежным моментами инерции сечения? 5. Какова размерность моментов инерции? 6. Как изменится осевой момент инерции при параллельном переносе оси на некоторое расстояние? 7. Как изменится осевой момент инерции при повороте оси на некоторый угол α? 8. Как изменяется сумма осевых моментов инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей при их повороте? 9. Какие оси называют главными, и какие - главными центральными? 10. Как определяют положение главных осей? 11. По каким формулам находят главные моменты инерции? ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ КРУГЛОГО ВАЛА ЛЕКЦИЯ 6 План: 6.1. Чистый сдвиг 6.. Кручение. Построение эпюр крутящих моментов 6.3. Напряжения при кручении 6.4. Деформации при кручении 6.5. Расчёт вала на прочность и на жёсткость Рассмотрим простейшие виды нагружения, при которых в конструкции возникают только сдвиговые, касательные напряжения. Это сдвиг и кручение Чистый сдвиг Напряженное состояние, при котором на гранях элемента конструкции возникают только касательные напряжения, называют чистым сдвигом. 156

33 Такую деформацию наблюдают при скручивании тонкостенной трубы (рис.16, а). Прямоугольные элементы стенок трубы (рис.16, б) становятся параллелограммами за счёт того, что прямые углы элемента исказятся и изменятся на угол сдвига γ. а б Рис.16. Явление чистого сдвига: а сдвиг при скручивании тонкостенной трубы; б деформация прямоугольного элемента при сдвиге В пределах малых упругих деформаций материала закон Гука при сдвиге можно записать в виде выражения (4) τ = Gγ где G модуль сдвига или модуль упругости второго рода, который характеризует жесткость материала при сдвиге. При расчетах для стали принимают G = МПа. Для изотропных материалов существует зависимость между константами упругости: G = E / [(1 + μ)],. где G - модуль сдвига, Е - модуль продольной упругости и μ - коэффициент Пуассона. 6.. Кручение. Построение эпюр крутящих моментов Рассмотрим кручение на примере бруса круглого сечения. Брус, испытывающий кручение, называют валом. Кручение имеет место при нагружении вала парами сил (вращающими моментами М), расположенными в плоскостях перпендикулярных к оси вала (рис.17). 157

34 Рис.17. Нагрузки, вызывающие деформацию кручения При кручении в поперечных сечениях вала возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент Т. Крутящие моменты в различных поперечных сечениях вала определяют методом сечений: вал рассекают воображаемой плоскостью, перпендикулярной к продольной оси вала, (рис. 18, а) мысленно отбрасывают одну часть вала, а действие отброшенной части на оставшуюся заменяют крутящим моментом Т (рис. 18, б). а б Рис. 18. К определению крутящих моментов Рассматривая равновесие оставшейся части, определяют значение Т. Крутящий момент Т в сечении вала равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси вала. Правило знаков крутящих моментов: крутящий момент в сечении считать положительным, если, глядя на проведенное сечение со стороны отброшенной части видно, что внешний момент действует против хода часовой стрелки. Так, для вала на рис. 17, б от момента М 6 возникает положительный крутящий момент, а от моментов М 4 и М 5 отрицательный. Зависимость изменения крутящих моментов по длине вала изображают в виде, т.е. эпюры крутящих моментов Т, которую строят применяя метод сечений, подробно рассмотренный в лекции

35 6.3. Напряжения при кручении При кручении вала в его поперечном сечении на бесконечно малых площадках da действуют элементарные внутренние поперечные силы dq (рис.19). распределенные по плоскости поперечного сечения и равные, согласно выражению (1) dq = τ da. Рис. 19. К определению напряжений при кручении Момент одной такой элементарной силы dq относительно оси вала dq ρ = τ da ρ. где τ полное касательное напряжение в точке сечения; ρ плечо элементарной поперечной силы dq. Тогда крутящий момент в поперечном сечении: T = τρda (8) При деформации вала под действием внешнего момента каждое его поперечное сечение поворачивается в своей плоскости вокруг продольной оси вала на некоторый угол ϕ. Этот угол для разных сечений будет различным. В результате, прямоугольная сетка, нанесенная на поверхность вала (рис.0, а) превратится в сетку параллелограммов (рис.0, б), что свидетельствует о сдвиговом характере деформации и наличии касательных напряжений τ в поперечных сечениях вала. A а б Рис.0. Характер деформации вала при кручении а до приложения нагрузки; б во время приложения нагрузки. 159

36 Выделим из вала, как показано на рис.0, б двумя секущими плоскостями 1 и элементарный цилиндр длиной dz и рассмотрим механизм его деформации. Будем считать условно, что выделенный фрагмент вала защемлен в левом сечении (рис. 1, а). Под действием момента М правое сечение повернется относительно левого на угол dϕ. При этом бесконечно малая площадка К в правом сечении сдвинется на расстояние КК 1. Волокно СК повернется, а прямой угол вблизи точки С исказится на угол γ. а б Рис. 1. Механизм деформации вала при кручении а поворот поперечного сечения; б сдвиг в прямоугольном элементе вала. Если рассмотреть прямоугольный элемент вблизи точек С и К, то по его деформации видно (рис. 1, б) находится в условиях чистого сдвига, так как по его граням действуют только касательные напряжения τ, а угол γ представляет собой угол сдвига. Из рис.1, а следует, что К К = γ dz = ρ dϕ, откуда dϕ γ = ρ. dz Используя закон Гука при сдвиге (4), получаем зависимость, отражающую закон распределения касательных напряжений при кручении: 160

37 d τ = Gρ ϕ. (9) dz Учитывая формулу (8), получим выражение крутящего момента в сечении вала dϕ dϕ Τ = G ρ da = G Iρ, dz dz где I ρ = ρ A da A - полярный момент инерции сечения. Мерой деформации при кручении является относительный угол закручивания, dϕ θ =, dz где dϕ - абсолютный угол закручивания (угол поворота одного сечения относительно другого); dz - расстояние между этими сечениями. Относительный угол закручивания может быть выражен через крутящий момент dϕ T θ = =. (10) dz GIρ Тогда формула (9) примет вид τ = T ρ. (11) I ρ Из формулы (11) видно, что касательные напряжения зависят от расстояния вдоль радиусов поперечного сечения вала по линейному закону. Это отражено на рис.. Рис.. Эпюры касательных напряжений по сечению вала при кручении 161

38 Видно, что касательные напряжения τ равны нулю в центре сечения и достигают значения τ max на его контуре (при ρ = ρ max = R). Поэтому рациональной формой поперечного сечения вала является кольцо. Для определения максимального касательного напряжения можно использовать выражение T T τmax = ρmax =, I W где W ρ полярный момент сопротивления круглого сечения: W ρ ρ = Iρ / ρmax = Iρ / R = Iρ / d. ρ Для круглого сечения W ρ = π d 3 /16 0, d 3, где d диаметр сечения. Для сечения в виде кольца W ρ = 0, D 3 (1- с 4 ), где D наружный диаметр кольца; с отношение внутреннего диаметра кольца к наружному Деформации при кручении Вернемся к схеме деформации кручения, приведенной на рис. 0. При небольших упругих деформациях в области действия закона Гука угол закручивания элемента длиной dz, согласно формуле (10), равен T dϕ = dz. GI ρ Угол закручивания участка вала длиной l ϕ = l T GI ρ dz. Если вал имеет несколько участков, то суммарный угол закручивания для всего вала определяется по формуле T ϕ = dz. l GIρ В частном случае, когда крутящий момент постоянен на участке дли- 16

39 ной l, T ϕ = l. GI Произведение GI ρ называют жесткостью сечения вала при кручении Расчёт вала на прочность и на жёсткость ρ Прочность вала при кручении считается обеспеченной, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в опасном поперечном сечении τ max, не превышают допускаемых [τ]. Условие прочности вала имеет вид τ max [ τ] и может быть использовано для выполнения проверочного и проектного расчетов вала, а также для определения допускаемого крутящего момента. При проверочном расчете находят значение τ max, сравнивают с допускаемым напряжением и делают вывод о прочности вала: τ max T = max W ρ [ τ]. При проектном расчёте определяют требуемый диаметр вала при известных значениях Т и допускаемого напряжения [τ]. Учитывая, что для круглого сечения вала W ρ = π d 3 /16 0, d 3, получим выражение T 0, [ τ] 3 max d. Допускаемый крутящий момент при известных [τ] и диаметре вала d определяют по выражению [ T ] [ τ] W. ρ 163

40 Экспериментально установлена зависимость между допускаемыми напряжениями при кручении [τ] и при растяжении [σ]. Для пластичных материалов обычно [τ] = (0,5-0,6) [σ]. Во многих случаях вал должен удовлетворять условию не только прочности, но и жесткости. Условие жесткости вала при кручении состоит в том, чтобы максимальный относительный угол закручивания не превышал некоторого заданного допускаемого [Θ]: T θmax = [ θ] GI ρ По условию жесткости бруса при кручении можно проверять достаточность жесткости вала, подбирать размеры сечения, а также устанавливать допускаемый крутящий момент. Контрольные вопросы и задания 1. Что такое чистый сдвиг?. Запишите закон Гука при сдвиге. 3. Как определяют крутящий момент в сечении вала? 4. Сформулируйте правило знаков для крутящих моментов. 5. Как построить эпюру крутящих моментов? 6. Запишите формулу для определения касательных напряжений в любой точке сечения круглого вала. 7. Сформулируйте условие прочности при кручении. 8. Что такое момент сопротивления сечения при кручении? 9. Как найти диаметр сечения вала, удовлетворяющего условиям прочности? 10. Какая форма сечения при кручении является наиболее рациональной? 11. Запишите формулу для определения абсолютного угла закручивания вала. 1. В чем заключается условие жесткости при кручении вала? 13. По какому закону изменяется величина напряжений вдоль радиуса вала? 164

41 ИЗГИБ. ЛЕКЦИЯ 7 План: 7.1. Общие сведения 7.. Внутренние силовые факторы при изгибе балки 7.3. Дифференциальные зависимости Журавского 7.4. Внутренние силовые факторы в сечениях рам 7.1. Общие сведения Изгибом называют вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса, а стержень, работающий преимущественно на изгиб, называют балка. Системы, состоящие из стержней, соединенных жесткими узлами называют - рамы. Принято считать, что при деформации углы между осями стержней в узловых точках рамы остаются неизменными. Плоскость действия нагрузки, приложенной к балке, называют силовой плоскостью (рис.3.). Линию пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения балки называют силовой линией. Рис.3. Деформация изгиба В зависимости от характера и способа приложения нагрузки к брусу можно выделить различные виды изгиба. Если в поперечных сечениях балки действует только изгибающий момент М, она испытывает чистый изгиб. Ес- 165

42 ли же, кроме изгибающего момента М, в сечениях бруса возникает и поперечная сила Q, то изгиб называют поперечным. Плоский изгиб это изгиб, при котором все внешние силы, действующие на балку лежат в одной силовой плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей поперечного сечения балки (рис. 3). При косом изгибе силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных центральных осей в сечении балки. 7.. Внутренние силовые факторы при изгибе балки При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Схема, раскрывающая правило знаков для поперечных сил Q показано на рис. 4. Рис.4. Правило знаков для поперечных сил Q Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Правило знаков для изгибающих моментов М показано на рис.5. Рис.5. Правило знаков для изгибающих моментов М Для построения эпюр Q и М используют метод сечений, для которого 166

43 общие правила и методические рекомендации, рассматривались в лекции Дифференциальные зависимости Журавского Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости: dm Q =, dz dq q =, dz d M q = dz На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М (рис. 6): а б в г Рис.6. Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе 1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q пред- 167

44 ставлена прямой линией, параллельной базе эпюре, а эпюра М наклонной прямой (рис. 6, а).. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть скачок, равный значению этой силы, а на эпюре М - точка перелома (рис. 6, а). 3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента, (рис. 6, б). 4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. 6, в, г). 5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение M max или M min (рис. 6, г) Внутренние силовые факторы в сечениях рам. Ось рамы представляет собой ломаную линию, при этом каждый ее участок можно рассматривать как балку. Однако в отличие от прямых балок в сечениях стержней рамы кроме изгибающих моментов M и поперечных сил Q, обычно действуют еще и продольные силы N. Границами характерных участков для рамы являются не только границы участков с неизменным характером распределенной нагрузки или точки приложения сосредоточенных нагрузок, но также места изменения направления оси рамы. Значения внутренних силовых факторов M, Q и N для рамы определяют по тем же правилам, что были изложены ранее (см. лекцию 1). При определении знаков внутренних силовых факторов наблюдателю удобно располагать взгляд как бы изнутри контура рамы. Таким образом, для рам необходимо строить эпюры трех внутренних силовых факторов M, Q и N. При построении этих эпюр положительные ординаты M, Q и N откладывают с внешней стороны, а отрицательные внутрь контура рамы. 168

45 ЛЕКЦИЯ 8 План: 8.1. Напряжения при чистом изгибе 8.. Напряжения при плоском поперечном изгибе 8.1. Напряжения при чистом изгибе Рассмотрим случай чистого изгиба балки, когда поперечная сила Q равна нулю, а изгибающий момент М остается постоянным. На рис. 6 показаны примеры чистого изгиба консольной балки (рис. 7, а) и балки на двух опорах (рис. 7, б), у которой зона чистого изгиба находится между опорами А и В. а б Рис.7. Примеры деформации изгиба: а- изгиб консольной балки; б - изгиб балки на двух опорах При чистом изгибе под действием нагрузки балка прогибается таким образом, что на вогнутой стороне волокна укорачиваются, а на выпуклой удлиняются. Таким образом, изгиб сопровождается только сжатием и растяжением волокон балки, т.е. возникновением нормальных напряжений σ в сечениях. Очевидно, что по высоте сечения балки существует такой продольный слой волокон, который, искривляясь, не испытывает ни растяжения, ни сжатия, это так называемый нейтральный слой. Деформированная ось балки называется упругой линией, которая, будучи частью нейтрального слоя, длину не меняет. 169

46 Линию пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называют нейтральной линией или нейтральной осью. Она делит сечение на две части, в одной из которых действуют растягивающие внутренние силы, в другой - сжимающие. Исходя из характера деформации балки при чистом изгибе, считают справедливой гипотезу плоских сечений, т.е. поперечные сечения балки при чистом изгибе, оставаясь плоскими, только поворачиваются вокруг нейтральной оси. Мысленно разрежем балку (рис. 7, а) сечением I на две части и рассмотрим поперечное сечение левой части, показанной на рис. 8. Рис. 8. К определению напряжений при чистом изгибе Внутренние силы распределены по проведённому сечению. Они представляют собой элементарные нормальные силы dn = σda, возникающие на элементарных площадках da поперечного сечения балки. Их направления соответствуют растяжению или сжатию волокон. Изгибающий момент в этом сечении представляет собой сумму моментов элементарных сил dn относительно нейтральной оси x и равен : M x = σyda Выделим из балки на рис. 6, а двумя поперечными сечениями I и II элемент балки длиной dz, действие левой и правой отброшенных частей заменим изгибающими моментами, приложенными по торцам выделенного элемента. Рассмотрим механизм деформации этого элемента (рис. 9). A 170

47 Рис. 9. Механизм деформации при чистом изгибе После приложения нагрузки нейтральная ось балки искривляется (ρ - радиус кривизны), а сечения I и II выделенного элемента поворачиваются относительно своих нейтральных линий на угол dθ. Длина волокон нейтрального слоя СД при этом останется неизменной и равна dz = ρ dθ. Относительное удлинение волокна АВ, находящегося на расстоянии y от нейтрального слоя СД ε = y/ρ. Видно, что деформация продольных волокон ε по высоте сечения изменяется по линейному закону. В соответствии с законом Гука (4) получим σ =E y /ρ. (11) Таким образом, напряжения σ по высоте сечения изменяются линейно, а условие σ = 0, соответствует нейтральной линии сечения (рис.30). Рис.30. Распределение напряжений по сечению балки пи чистом изгибе 171

48 Рассмотрим равновесие части балки, показанной на рис. 8. Условия равновесия для действующей пространственной системы элементарных сил dn и пары сил М имеют вид: n Fkz = σ da = 0, k= 1 n mx ( Fk ) = σ da y M = 0, k= 1 A n k= 1 my ( Fk ) = σ da x = 0. A С учетом выражения (11) из первого уравнения равновесия E σ da = y da = 0, ρ E а так как 0, ρ то A A y da = S y = 0. A Статический момент сечения равен нулю, следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Рассмотрим третье из уравнений равновесия E σ da x = y x da = 0. ρ E Так как 0, ρ то A A y x da = I xy = 0. A Центробежный момент инерции сечения равен нулю, следовательно, нейтральная линия совпадает с главной центральной осью поперечного сечения балки. Рассмотрим второе из уравнений равновесия E σ da y = y da = M. ρ Так как y da = I x,. то A A A 17

49 1 M =. (1) ρ EI x Уравнение (1) называют уравнением упругой линии, а произведение EI x называется жесткостью сечения балки. Подставив (1) в выражение (11), получим M y σ =. I x Видно, что напряжение σ в поперечном сечении балки зависит от y, т.е. от расстояния между нейтральной осью и слоем, в котором определяют напряжение. Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. σ = σ max при y = y max (рис.30): M ymax σ max =. I x Если применить отношение I x = W x ymax То максимальное напряжение при чистом изгибе будет равно M σ max =, (13) Wx где W x называют осевым моментом сопротивления сечения при изгибе. 8.. Напряжения при плоском поперечном изгибе При поперечном изгибе внутренними силовыми факторами являются изгибающие моменты и поперечные силы, поэтому в поперечных сечениях возникают не только нормальные σ, но и касательные τ напряжения. Возникновение касательных напряжений τ сопровождается появлением сдвиговых деформаций γ, поэтому, в отличие от чистого изгиба, при поперечном изгибе сечения не остаются плоскими, а депланируются (см. крайнее правое сечение на рис. 31). Однако эти искажения плоскостей поперечных сечений очень малы, что дает основание принять гипотезу плоских сечений. Поэтому формулы нормальных напряжений, выведенные для случая чистого изгиба, примени- 173

50 мы и для поперечного изгиба. Рис.31. Сдвиговые деформации при поперечном изгибе Касательные напряжения τ вызываются действием поперечных сил. Их величину в любой точке сечения (например в точке К на рис.3) определяют по формуле Q Sx τ =, Ix b где Q - поперечная сила в рассматриваемом сечении; I x - момент инерции сечения относительно нейтральной оси; b - ширина сечения на уровне отс исследуемой точки К; S x = А отс у отс С - статический момент части сечения, отсеченной на уровне точки К относительно нейтральной оси х (заштрихованная область на рис.3); отс Рис. 3. К определению величины касательных напряжений при поперечном изгибе Практический интерес представляют наибольшие касательные напряжения. Распределение касательных напряжений по высоте прямоугольного сечения показано на рис

51 Рис. 33. Эпюра τ по высоте прямоугольного сечения Видно, что касательные напряжения равны нулю в крайних волокнах поперечного сечения балки и максимальны в волокнах нейтрального слоя, а распределение напряжений по высоте сечения носит параболический характер. ЛЕКЦИЯ 9. План: 9.1. Условие прочности при изгибе 9.. Перемещения при изгибе 9.1. Условие прочности при изгибе Прочность балки считается обеспеченной, если максимальные напряжения не превышают допустимых напряжений для материала балки (5): σ max [ σ], τ max [ τ]. Как правило, на практике расчеты на прочность балок проводят по нормальным напряжениям σ, т.к. величина σ >> τ. Расчет на прочность по касательным напряжениям необходим в тех случаях, когда изгибающий момент М в рассматриваемом сечении относительно невелик, а поперечная сила Q значительна. Условие прочности при изгибе с учетом формулы (13) имеет вид M x σmax = [ σ], (14) Wx где W x = I x / у max - момент сопротивления сечения при изгибе; для прямоугольного сечения высотой h и шириной b 175

52 W x = bh /6, для круглого сечения диаметром d W x = πd 3 /3 = 0,1d 3, для стандартных прокатных профилей (швеллер, двутавр, уголок) значения W x, W y приведены в таблицах сортамента прокатных профилей. Используя формулу (14), можно выполнять проверочный и проектный расчеты балки, определять допускаемую нагрузку. При проверочном расчете находят значение σ max, сравнивают с допускаемым напряжением [σ] и делают вывод о прочности балки. При проектном расчёте определяют момент сопротивления сечения при известных значениях М и допускаемого напряжения [σ]: M max W x. [ σ] Допускаемую нагрузку при известных [σ] и моменте сопротивления сечения W x определяют по выражению [ М ] [ σ] W x. О рациональной форме поперечного сечения балки при изгибе можно судить по эпюрам напряжений (рис.30, 33). Материал, расположенный вблизи нейтрального слоя, нагружен незначительно. Поэтому в целях экономии материала и снижения веса конструкции в деталях, работающих на изгиб, следует выбирать такие формы сечения, чтобы большая часть материала была удалена от нейтральной линии. Идеальным с этой точки зрения является сечение в виде двутавра или сечений в виде швеллера. 9.. Перемещения при изгибе. Под действием нагрузки при изгибе ось балки искривляется (рис. 34). При этом наблюдается растяжение волокон на выпуклой и сжатие - на вогнутой частях балки. Кроме того, происходит вертикальное перемещение центров тяжести поперечных сечений и их поворот относительно нейтральной оси. Для характеристики деформации при изгибе используют следующие понятия: Прогиб балки у - перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси. 176

53 Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z). Рис. 34. Механизм деформации балки при изгибе Угол поворота сечения - угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота считают положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки. Величина угла поворота меняется по длине балки, являясь функцией θ = θ (z). Из рис. 34 видно, что прогибы у и углы поворота θ связаны между собой: dy tg θ = = у ' θ. dz Упругая линия балки при плоском изгибе по своей форме плоская кривая. В системе координат y и z любая плоская кривая описывается известным в математике уравнением 1 = ρ y [ 1+ ( y ) ] Уравнение упругой линии (1) имеет вид 1 М =. ρ ЕI x Приравняв правые части этих уравнений, получим впервые выведенное

54 Л. Эйлером дифференциальное уравнение упругой линии,: y M = y EI [ ( ) ] x При малых деформациях ( ) y по сравнению с единицей можно пренебречь. Тогда M y =, (15) EI x Это приближенное дифференциальное уравнение упругой линии. Рассмотрим консольную балку с комбинацией различных нагрузок (рис. 35). Начало координат балки совместим с левым концом и покажем расстояния от начала координат. до нагрузок на каждом участке a, b, c и d. Рис. 35. К расчету деформаций при изгибе Взяв произвольное сечение на расстоянии z 1 от начала координат, составим дифференциальное уравнение типа (15) в виде EI x y = M для левой части балки и проинтегрируем его Получим ( z1 b ) ( z1 c ) ЕI x y1 = C + М( z1 a ) + F + q,! 3! где y1 = θ1- угол поворота сечения; С = ЕI x θ 0 произвольная постоян

55 ная, численно равная углу поворота в начале координат, умноженному на жёсткость сечения балки. Интегрируя полученное уравнение ещё раз, получим: ( z1 a ) ( z1 b ) ( z1 c ) ЕIx y1 = D + EIxθ0z1+ М + F + q! 3! 4! где постоянная D = ЕI x y 0. Для того чтобы воспользоваться полученными уравнениями, необходимо определить начальные параметры: прогиб y 0 и угол поворота θ 0 в начале координат. Начальные параметры находят из условий закрепления балки. - для консольной балки прогиб и угол поворота в заделке равны нулю, т.е. y 0 = 0, θ 0 = 0, - для балки на шарнирных опорах прогибы в опорных точках A и B равны нулю, т.е. y A = 0, y B = 0. В общем виде универсальные уравнения для углов поворота и для прогибов имеют следующий вид: EI θ = EI θ x x 0 + ( z l M 1! M ) + 3 ( z l F! F ) + 4 ( z l q 3! q ) 3 EI x у = EI x y 0 + EJ x θ z + 0 M ( z l! M ) + ( z l F 3! F ) 3 + ( z l q 4! q ) 4 В этих уравнениях знаки слагаемых совпадают со знаками изгибающих моментов от приложенных нагрузок; l M, l F, l q расстояния от начала координат до приложенных нагрузок (аналогично расстояниям a, b и c на рис. 35). Следует отметить, что для сечений, проведённых правее приложенных к балке распределённых нагрузок q (например для сечения К на рис. 35) необходимо продлить действие нагрузки q до исследуемого сечения К и уравновесить достроенную часть q нагрузкой q', противоположно направленной с той же интенсивностью, т.е. q = - q'. Нагрузку q' записывают в универсальные уравнения прогибов и углов поворота с соответствующим знаком. Например, для сечения в точке К (рис.35) достраиваем q до точки К, уравновешиваем её нагрузкой q = - q'. Тогда уравнения углов поворота и прогибов в сечении можно записать в виде 179

56 ЕI ЕI x x θ y = ЕI θ = EI x x y 0 0 ( z a) ( z + М + F 1! + ЕJ θ x 0 z ( z + М b)! a)! ( z + q c) 3! 3 ( z b) + F 3! 3 ( z q d ) 3! 4 ( z c) + q 4! 3 ( z q 4 d ) 4! Перемещение при изгибе может быть определено и другими способами методом Мора или по правилу Верещагина.. Метод Мора Общие формулы для определения перемещений легко получить, пользуясь принципом возможных перемещений (см. модуль. 1, лекция 3). Для этого в точке, перемещение которой нас интересует, конструкцию нагружают единичной силой, которая совершает работу на возможном (искомом) перемещении. Приведем порядок определения перемещений по методу Мора: 1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений единичный момент.. Для каждого участка системы записываются выражения изгибающих моментов М f от приложенной нагрузки и М 1 - от единичной нагрузки. 3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение: M f M1 Δ = dz. EI x 4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы. Правило Верещагина Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки 180

57 имеет произвольное, а от единичной нагрузки прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина. Af yc Δ =, EI x где A f площадь эпюры изгибающего момента М f от заданной нагрузки; y c ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М f ; EI x жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (A f y c ) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра М f должна быть разбита на простые фигуры, для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести. Контрольные вопросы и задания 1. Что такое чистый и поперечный (плоский) изгибы?. Как определить поперечную силу и изгибающий момент в сечении? Сформулируйте правила знаков для них? 3. Какова дифференциальная зависимость между поперечной силой, изгибающим моментом и внешней распределенной нагрузкой? 4. Назовите особенности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. 5. Как вычислить величину нормальных напряжений при изгибе? 6. Что такое нейтральная ось балки? 7. В каких точках сечения балки возникают максимальные по величине нормальные напряжения? 8. Каково условие прочности балок по нормальным напряжениям? 9. Как вычислить касательные напряжения при изгибе? 10. Как проверить прочность балок по касательным напряжениям? 11. Какая форма сечения балки при изгибе считается оптимальной? 181

58 1. Как подобрать размеры балки прямоугольного, круглого и двутаврового сечений? 13. Запишите уравнение упругой линий балки. 14. Приведите приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. 15. Какими способами можно определить перемещения при изгибе? 16. Какие понятия используют для характеристики деформации при изгибе? 17. Как можно по эпюре изгибающих моментов с помощью правила знаков определить форму упругой линии? СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЛЕКЦИЯ 10 План: Напряженное состояние в точке 10.. Обобщенный закон Гука Теории прочности Напряженное состояние в точке Известно, что напряжения на площадке, проходящей через заданную точку нагруженного тела, зависят от ее ориентации. Совокупность напряжений на множестве площадок, которые можно провести через какую-либо точку тела, называется напряженным состоянием в данной точке. Если мысленно вырезать вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечно малого параллелепипеда, то в общем случае на каждой его грани будет действовать напряжение, которое может быть разложено на три составляющие: одну σ, направленную по нормали к грани и две τ - в плоскости грани (рис. 36, а). 18

59 а б Рис. 36. Напряженное состояние в точке а- общий случай напряжений; б главные напряжения. В итоге получим совокупность напряжений на площадках параллелепипеда: σ x ; τ xy ; τ xz ; τ yx ; σ y ; τ yz ; τ zy ; τ zx ; σ z. Нормальное напряжение σ обозначают индексом, соответствующим осям параллелепипеда x, y, z. Касательное напряжение τ обозначают двумя индексами: первый соответствует оси, перпендикулярной к площадке, второй оси, вдоль которой направлен вектор τ. Из девяти компонентов напряженного состояния только шесть являются независимыми. На самом деле, согласно условиям равновесия, из-за равенства нулю суммы моментов всех сил, например, вокруг оси z, получается, что τ xy = τ yx. Эта формула выражает суть закона парности касательных напряжений. Полностью этот закон выглядит так τ xy = τ yx, τ xz = τ zx, τ zy = τ yz. Можно найти такое положение параллелепипеда, когда по его граням будут действовать только нормальные напряжения (рис. 36, б). Эти грани принято называть главными площадками, а нормальные напряжения σ 1, σ, σ 3, на этих площадках - главными напряжениями, при этом с учетом знаков: 183

60 σ 1 σ σ 3 Максимальное касательное напряжение равно: σ1 σ3 τ max =. В зависимости от числа главных напряжений, отличных от нуля, различают напряженное состояние трех видов: - одноосное, или линейное; - двухосное, или плоское; - трехосное, или объемное. Линейное напряженное состояние это случай, когда одно главное напряжение отлично от нуля, т.е. σ 1 0, σ = 0, σ 3 = 0, Линейное напряженное состояние считают простым напряженным состоянием. Его примерами являются растяжение, сжатие и чистый изгиб. Максимальные нормальные напряжения равны σ max = σ 1 (рис. 37, а), а максимальные касательные напряжения, равные τ max = σ 1 /, что соответствует наклону площадки их действия α = 45 (рис. 37, б); а б Рис. 37. Линейное напряженное состояние а- главные напряжения; б - напряжения в наклонной площадке Следовательно, при линейном напряженном состоянии наибольшие нормальные напряжения возникают по нормальным площадкам, а наибольшие касательные напряжения - по площадкам, расположенным под углом 45 к ним. Плоское напряженное состояние - это случай, когда два главных напряжения отличны от нуля: 184

61 σ 1 0, σ 0, а σ 3 = 0 В инженерной практике часто элементы конструкций работают в условиях плоского напряженного состояния (рис. 38), когда известны нормальные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам σ x и σ y (σ 1 = σ x ; σ = σ y ; σ 3 = 0), а также касательные напряжения τ, действующие на тех же площадках Рис.38. Плоское напряженное состояние Главные напряжения можно вычислить как 1 σmax = ( σx + σ y ) ± ( σx σ y ) + 4τ min В формуле знак «плюс» перед радикалом соответствует максимальному главному напряжению σ max, знак «минус» - минимальному σ min. Определив главные напряжения, их обозначают σ 1, σ, σ 3, учитывая, что σ 1 σ σ 3, при этом одно из напряжений равно нулю. Положение главных площадок находят, определив угол ψ 0 : τ tgψ0 =. σx σ y Если значение угла положительное, поворачивают оси против хода часовой стрелки, и наоборот - по ходу часовой стрелки, если значение угла отрицательное. Объемное напряженное состояние, это случай, когда σ 1 0, σ 0, σ xy 185

62 Максимальное касательное напряжение действует по площадке, наклоненной под углом 45 к σ 1 и σ 3 и параллельной σ. Значение этого напряжения равно: 1 τ max = ( σmax σmin ) Плоское и объемное напряженные состояния относят к сложным напряженным состояниям. Зная напряженное состояние в любой точке конструкции можно оценить ее прочность Обобщенный закон Гука Рассмотрим общий случай объемного напряженного состояния. В пределах малых деформаций, когда справедлив закон Гука, между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость (4). В направлении действия каждого нормального напряжения (рис. 36) возникает продольная деформация ε = E σ, при этом в двух поперечных направлениях появляются противоположные по знаку поперечные деформации ε' = - μ ε. Продольные и поперечные деформации во всех направлениях сведены в табл.3. Таблица 3. Деформации, возникающие от действия нормальных напряжений Направление деформации Относительные деформации ε от действия нормальных напряжений σ x σ y σ z x σ x E σ y μ E μ σ z E y μ σ x E σ y E μ σ z E z μ σ x E μ σ y E σ z E Складывая все деформации одного направления, получают суммарные относительные деформации в направлении напряжений σ x, σ y, σ z : 186

63 [ σ μ( σ + σ )] 1 ε x = x y z ; E 1 ε y = [ σ y μ( σ x + σ z )]; E 1 ε z = [ σ z μ( σ x + σ y )]. E Эти уравнения выражают обобщенный закон Гука при объемном напряженном состоянии. Зная относительные удлинения ε, можно вычислить относительное изменение объема при деформации v = ε + ε + ε = ( 1 μ )( σ + σ + σ ) / E. x y z x y z Из этой формулы видно, что коэффициент Пуассона μ не может быть больше значения 0,5, т.к. только в этом случае объем при деформировании не изменяется Теории прочности Предельное напряженное состояние тела характеризуется началом текучести материала, значительными остаточными деформациями или появлением трещин, свидетельствующих о начале его разрушения. При простом виде нагружения оценку прочности детали осуществляют сравнением действующих в ней максимальных напряжений с экспериментально установленными напряжениями при предельном напряженном состоянии. При сложном напряженном состоянии, из-за неограниченности вариаций соотношения главных напряжений экспериментальное изучение каждого предельного состояния детали для установления эквивалентного предельного напряжения практически невозможно. Эквивалентным напряжением называется напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию (рис. 39). Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным растяжением, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии 187

64 условие прочности для простого растяжения: σ экв [ σ] Для определения эквивалентного напряжения при сложном напряженном состоянии и оценки прочности материала используют теории (гипотезы) предельных состояний. Рис. 39. К определению эквивалентного напряжения Оценка прочности материала заключается в сравнении эквивалентного (расчетного) напряжения при сложном напряженном состоянии σ экв с допускаемым напряжением при простом растяжении (сжатии) [σ р ]. 1. Теория наибольших нормальных напряжений (первая гипотеза прочности). Опасное состояние материала возникает, когда наибольшее по модулю нормальное напряжение достигает предельного значения соответствующего простому растяжению или сжатию. Условие прочности σ = σ x [ σ p ], экв ma где [σ p ] -допускаемое напряжение при простом растяжении. Эта теория дает удовлетворительные результаты лишь для некоторых хрупких материалов (бетона, камня, кирпича) и неприменима для пластичных материалов.. Теория наибольших относительных удлинений (вторая гипотеза прочности). В этой теории в качестве критерия разрушения принято наибольшее по 188

65 модулю относительное удлинение ε. Опасное состояние материала создается, когда наибольшая по модулю относительная линейная деформация ε max достигает значения, равного предельному для простого растяжения или сжатия. Экспериментально эта теория не подтверждается. 3. Теория наибольших касательных напряжений (третья гипотеза прочности). Причиной разрушения материала считается сдвиг, вызываемый касательными напряжениями. Полагают, что материал разрушается, когда наибольшее касательное напряжение достигает значения, предельного для данного материала. Условие прочности σ экв = z ) ( σ + τ [ σ]. 4 zy Теория наибольших касательных напряжений хорошо согласуется с экспериментами для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. 4. Теория энергии формоизменения (энергетическая теория). Эта теория предполагает, что пластичный материал находится в опасном состоянии, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает предельного для данного материала значения. Условие прочности σэкв = ( σz ) + 3τ [ σ] Теория подтверждается для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. 5. Теория прочности Мора (пятая гипотеза прочности). Теория прочности Мора позволяет учесть различное сопротивление материалов растяжению и сжатию. В соответствии с этой теорией условие прочности σ = σ σ [ σ] экв k 1 3, где k = обозначено отношение σ пр при растяжении к σ пр при сжатии. В частном случае, если материал имеет при растяжении и сжатии одинаковые σ пр, k = 1. Тогда теория прочности Мора совпадает с теорией наибольших касательных напряжений. 189

66 Анализ многочисленных теорий прочности показывает, что совершенных теорий нет. Каждая из них справедлива только в определенных условиях и для определенных материалов. При выборе теории прочности в случае плоского напряженного состояния и объемного напряженного состояния с главными напряжениями разных знаков необходимо учитывать свойства материала. Если материал пластичен и одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то следует пользоваться третьей или четвертой гипотезами прочности. Если же пластичный материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то следует применять пятую теорию прочности. Расчет хрупких материалов также целесообразно проводить по пятой теории прочности. Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение главных площадок и главных напряжений.. Какие виды напряженного состояния вы знаете? 3. Как определить нормальные и касательные напряжения по наклонным площадкам при плоском напряженном состоянии? 4. Как соотносятся между собой главные напряжения? 5. Запишите формулу для определения главных площадок при плоском напряженном состоянии. 6. Как вычисляются главные нормальные напряжения, если известны напряжения по произвольным площадкам? 7. Напишите формулы, выражающие обобщенный закон Гука. 8. Что такое предельное состояние материала? 9. Что такое эквивалентное напряжение? 10. Для чего нужны теории прочности? 11. Сформулируйте первую гипотезу прочности. Приведите случаи ее применения. 1. Каковы условия прочности по второй, третьей и четвертой гипотезам прочности, их недостатки и области применения? 13. Почему существует множество теорий прочности? 190

67 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ БРУСА. ЛЕКЦИЯ 11 План: Понятие сложного сопротивления 11.. Косой изгиб Понятие сложного сопротивления Сложным сопротивлением называют такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов. Сложное сопротивление можно условно разделить на две группы: - случаи сложного сопротивления, когда в опасных точках бруса напряженное состояние является одноосным или приближенным к нему, (косой изгиб, внецентренное растяжение и сжатие, изгиб с растяжением); - случаи сложного сопротивления, когда в опасных точках бруса возникает плоское напряженное состояние, например, изгиб с кручением, растяжение (сжатие) с кручением или с изгибом. При расчетах на прочность бруса, находящегося в состоянии сложного сопротивления необходимо использовать теории (гипотезы) прочности. Рассмотрим некоторые виды сложного напряженного состояния Косой изгиб Косой изгиб имеет место, когда плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса. В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Q x, Q y и изгибающие моменты M X, M y. Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают. Рассмотрим консольную балку прямоугольного сечения, в плоскости 191

68 торца которой приложена сила F, составляющая угол φ с осью у (рис.40, а). а б в Рис.40. К расчету на прочность бруса при косом изгибе: а- нагружение бруса; б внутренние силовые факторы в поперечном сечении; в - напряжения в поперечном сечении Разложим силу F на две составляющие: F x = F sin φ; F y = Fcos φ. Изгибающие моменты от этих сил в поперечном сечении на расстоянии z от торца бруса (рис.40, а) равны М x = F y z = (F cos φ) z; M y =F x z =(F sin φ) z. На основе принципа независимости действия сил нормальное напряжение σ в любой точке рассматриваемого поперечного сечения определяется как алгебраическая сумма нормальных напряжений вследствие прямого изгиба балки в двух плоскостях. Знак перед каждым слагаемым назначают, ориентируясь на характер деформации балки. Например, для точки Д напряжение от М х положительное (растягивающее напряжение), а от M y отрицательное - сжимающее напряжение (рис.40, б): M M x y σ = y x, Д I Д I Д x где x Д,, y Д координаты точки Д. Для всех точек сечения, лежащих на нейтральной линии σ = 0. Ней- y 19

69 тральная линия делит сечение на две части, в одной из которых действуют растягивающие, а в другой сжимающие напряжения. Так, для точки О, лежащей на нейтральной линии (рис. 39, в), напряжение равно нулю, поэтому M I x x y о M I y y x о = 0, где x O, y O координаты точки О. Отсюда следует, что нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения. Определим положение нейтральной линии. Тангенс угла наклона нейтральной линии к оси х (рис.40, в) tgα = y x o o = M M y x I I x y = Fsinϕ z I Fcosϕ z I x y = I I x y tgϕ. Из этого уравнения следует, что: - так как φ α, то нейтральная линия не перпендикулярна к силовой линии и силовая плоскость не совпадает с плоскостью изгиба балки; - в симметричных сечениях, для которых I х = I у, нейтральная и силовая линии пересекаются под углом 90. Зная положение нейтральной линии в сечении балки, можно определить точки, где возникают наибольшие напряжения. Это точки наиболее удалены от нейтральной линии, т.е. точки А и В на рис.40, в. По координатам этих точек в системе главных центральных осей сечения находят напряжения и их знаки. Отложив значения напряжений на базисной линии, перпендикулярной к нейтральной линии, получают эпюру нормальных напряжений в сечении (рис.40, в). Условие прочности при косом изгибе имеет вид σ max = M I x x y max + M I y y x max [ σ] где y mах, x mах координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси. 193

70 Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности σ max = M W x x + M W y y [ σ] где W x, W y осевые моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей. Если материал бруса не одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, проверку его прочности выполняют по допускаемым и растягивающим и сжимающим напряжениям. Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей: y = y x + y y. Для случая косого изгиба определенный практический интерес представляет задача о выборе такой формы поперечного сечения, при которой расход материала будет минимальным. Этому условию удовлетворяют коробчатые тонкостенные сечения. ЛЕКЦИЯ 1 План: 1.1. Изгиб с растяжением (сжатием) 1.. Внецентренное растяжение или сжатие 1.3. Кручение с изгибом 1.1. Изгиб с растяжением (сжатием) При таком виде сложного сопротивления внутренние усилия в сечении приводятся только к продольной силе N и изгибающему моменту М, вызывающему либо плоский, либо косой изгиб. 194

71 Рассмотрим случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консольный брус действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса (рис. 41, а). а б Рис.41. К расчету на прочность бруса при изгибе с растяжением: а- нагружение бруса; б внутренние силовые факторы в поперечном сечении; Разложим силу F на три составляющие. Внутренние силовые факторы в сечении, отстоящем на расстоянии z от торца балки, равны N= F z, Q x = F x, М х = F y z, Q y = F y, M y = F x z Напряжение в произвольно выбранной точке Д, имеющей координаты (х Д, у Д ), если пренебречь действием поперечных сил, определяют по формуле N M M x y σ = + yд + x д, A I x I y где А площадь поперечного сечения. Если сечение имеет две оси симметрии (двутавр, прямоугольник, круг), наибольшее напряжение определяют по формуле N M M x y σ max = + +. A W W x y 195

72 Так как напряженное состояние в любой точке этого бруса можно считать линейным (влиянием касательных напряжений пренебрегают), условие прочности имеет следующий вид: σ max σ. [ ] Также как и в случае косого изгиба, если материал бруса не одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, проверку прочности следует проводить как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям. 1.. Внецентренное растяжение или сжатие В некоторых случаях продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса (рис.4, а). а б Рис.4. К расчету на прочность бруса при внецентренном растяжении: а- нагружение бруса; б внутренние силовые факторы в поперечном сечении; Приводя приложенную силу F к центру тяжести сечения и применяя метод сечений, находим, что в любом поперечном сечении бруса действуют три внутренних силовых фактора (рис. 41, б): N = F; М х = F y F ; М у = F x F, где у F, x F координаты точки приложения силы F. 196

73 В произвольной точке Д, имеющей координаты (х Д, у Д ), нормальное напряжение определяется по формуле N M M σ = +. A I x y yд + x д x I y Условие прочности для бруса, изготовленного из материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие, имеет вид N M M x y σmax = + + [ σ]. A Wx Wy Для бруса, изготовленного из материала, неодинаково работающего на растяжение и сжатие, проверка прочности должна производиться и по растягивающим, и по сжимающим напряжениям Кручение с изгибом Характерным примером деталей, работающих одновременно на кручение и изгиб, являются валы различных машин и механизмов. Рассмотрим вал круглого сечения, нагруженный силой F, лежащей в плоскости поперечного сечения вала, и парой сил, создающей момент М относительно оси вала (рис. 43). Рис.43. К расчету на прочность бруса при кручении с изгибом: 197

74 Для расчета вала, в первую очередь, необходимо установить опасные сечения. Для этого строят эпюры изгибающих и крутящих моментов. Из анализа эпюр М x, М y видно, что опасным является сечение вала в его заделке. Напряжения в сечениях вала возникают от кручения и от изгиба. При изгибе появляются нормальные и касательные напряжения (рис.44). Рис.44. Эпюры напряжений в сечении бруса при кручении с изгибом: Нормальные напряжения возникают от действия изгибающих моментов и достигают наибольшего значения в точках, лежащих на поверхности вала. Касательные напряжения, возникающие за счет поперечных сил - не учитываются из-за их малости. Касательные напряжения от крутящих моментов достигают максимального значения в точках контура сечения. Из рис. 44 видно, что сечение вала находится в плоском напряженном состоянии. По третьей гипотезе прочности, т.е. по теории наибольших касательных напряжений, σ экв = σ + 4τ или сечения; σ экв М = W экв = М Σ x W x где М экв эквивалентный момент; W x осевой момент сопротивления + Т М Σ = М х + М у - суммарный изгибающий момент в опасном сечении. По четвертой гипотезе прочности, т.е. по теории наибольшей удельной, 198

75 потенциальной энергии, или σ экв = σ + 3τ σ экв = М W экв = М Σ x W x + 0, 75Т. Контрольные вопросы и задания 1. Какой случай нагружения называют косым изгибом?. Какие внутренние силовые факторы возникают при косом изгибе? 3. Как находят положение нейтральной линии при косом изгибе? 4. Запишите условие прочности для бруса, испытывающего косой изгиб. 5. Как определяют деформации при косом изгибе? 6. Какие внутренние силовые факторы возникают при внецентренном сжатии? 7. Запишите условия прочности при внецентренном сжатии. 8. Какой вид напряженного состояния имеет место при внецентренном сжатии? 9. Какие напряжения возникают при совместном действии кручения и изгиба? 10. Запишите условия прочности при изгибе с кручением для круглого вала. 11. Какие теории прочности используют при расчете брусьев на прочность при кручении с изгибом? ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ И ДИНАМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ ЛЕКЦИЯ 13 План: Явление усталости 199

76 13.. Кривая усталости при симметричном цикле Явление усталости Многие детали машин в процессе эксплуатации подвергаются действию переменных напряжений, т. е. напряжений, которые могут изменяться как по величине, так и по направлению. В таких условиях работают, например, рельсы железных дорог, оси вагонов, зубья колес передач, валы, рессоры, штоки поршней и др. Опыт показывает, что действие переменных напряжений часто является причиной усталостного разрушения материала. Усталостное разрушение это разрушение которое происходит при напряжениях, значительно меньших предела прочности σ В, а иногда даже и предела пропорциональности σ пц. Усталостью называют процесс постепенного накопления повреждений в материале под действием переменных напряжений, приводящий к изменению его свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению. Усталостное разрушение материала начинается с образования в наиболее слабом месте детали микротрещины, которая при переменной нагрузке имеет тенденцию прогрессирующе развиваться. Чаще всего усталостные трещины возникают у поверхности детали, но иногда и в толще материала. Характер их развития зависит от степени неоднородности материалов, наличия дефектов обработки поверхности детали (волосовин, раковин, царапин, следов резца и др.) и концентраторов напряжений. С образованием и развитием усталостной трещины постепенно уменьшается рабочая площадь сечения детали вплоть до внезапного ее разрушения. Усталостное разрушение происходит, как правило, без заметной пластической деформации детали. Поверхность усталостного излома детали имеет две зоны (рис. 45). Первая - зона А, это область распространения трещины. В результате взаимного трения и наклепа от повторяющегося нажатия поверхностей трещины друг на друга, стороны этой зоны имеют гладкую притертую поверхность. Вторая зона Б, это зона разрыва, она имеет крупнозернистую структуру. В общем случае переменные напряжения могут изменяться во времени по очень сложным законам. При этом различают установившийся и неустановившийся режимы. При неустановившемся режиме закон изменения напряжений во вре- 00

77 мени может быть любым. Рис. 45. Внешний вид усталостного излома При установившемся режиме изменение напряжений во времени носит повторяющийся характер. Через определенный промежуток времени (период) происходит точное повторение напряжений. Совокупность последовательных значений напряжений за один период нагружения при установившемся режиме называют циклом напряжений Характеристиками цикла напряжений являются (рис.46, а): - максимальное (наибольшее по модулю) напряжение σ max ; - минимальное (наименьшее по модулю) напряжение σ min ; σmax + σmin - среднее напряжение σ m = ; σmax σ - амплитудное напряжение σ = min а ; σmin - коэффициент асимметрии цикла r =. σ max а б Рис. 46. К расчету на прочность бруса при внецентренном растяжении: а- нагружение бруса; б внутренние силовые факторы в поперечном сечении; 01

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 2.1 Сопротивление материалов как научная дисциплина. 2.2 Схематизация элементов конструкций и внешних нагрузок. 2.3 Допущения о свойствах материала элементов конструкций.

Подробнее

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» (часть 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ 2014-2015 уч. год 1. Какие допущения о свойствах материалов приняты в курсе "Сопротивление материалов

Подробнее

Рассмотрим стержень упруго растянутый центрально приложенными сосредоточенными

Рассмотрим стержень упруго растянутый центрально приложенными сосредоточенными Растяжение (сжатие) элементов конструкций. Определение внутренних усилий, напряжений, деформаций (продольных и поперечных). Коэффициент поперечных деформаций (коэффициент Пуассона). Гипотеза Бернулли и

Подробнее

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Л. Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Под прочностью понимают способность конструкции, ее частей и деталей выдерживать определенную нагрузку без разрушений. Под жесткостью подразумевают

Подробнее

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Осевое растяжение-сжатие.

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Осевое растяжение-сжатие. 3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 3.2. Осевое растяжение-сжатие. Растяжением или сжатием называют такой вид деформации бруса (стержня), при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний

Подробнее

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 3.1. Сопротивление материалов. Задачи и определения. Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Первая задача сопротивления

Подробнее

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013 1 ЛЕКЦИЯ 10 Опытное изучение механических свойств материалов в целях оценки прочности инженерных конструкций Основная цель получить предельные для испытуемого

Подробнее

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня.

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня. Кручение стержней с круглым поперечным сечением. Внутренние усилия при кручении, напряжения и деформации. Напряженное состояние и разрушение при кручении. Расчет на прочность и жесткость вала круглого

Подробнее

Тычина К.А. В в е д е н и е.

Тычина К.А. В в е д е н и е. www.tchina.pro Тычина К.А. I В в е д е н и е. «Теоретическая механика» разработала уравнения равновесия тел, считая их абсолютно твёрдыми и неразрушимыми. Курс «Сопротивление материалов», следующий шаг

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Page 1 of 15 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 170105.65 Взрыватели и системы управления средствами поражения Дисциплина: Механика (Сопротивление материалов)

Подробнее

Лабораторная работа 1 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ

Лабораторная работа 1 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ Лабораторная работа 1 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСВА МЕАЛЛОВ Цель работы: 1. Ознакомиться с оборудованием и методикой определения твердости и показателей механических свойств при испытании на растяжение. 2. Установить

Подробнее

Вопросы по дисциплине "Сопротивление материалов". Поток С-II. Часть 1 ( уч.г.).

Вопросы по дисциплине Сопротивление материалов. Поток С-II. Часть 1 ( уч.г.). Вопросы по дисциплине "Сопротивление материалов". Поток С-II. Часть 1 (2014 2015 уч.г.). ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ с подробным ответом. 1) Закрепление стержня на плоскости и в пространстве. Простейшие стержневые

Подробнее

Итоговый тест, Прикладная механика (сопромат) (2579) 9. (70c.) Под прочностью элемента конструкции понимается (несколько ответов) 1)

Итоговый тест, Прикладная механика (сопромат) (2579) 9. (70c.) Под прочностью элемента конструкции понимается (несколько ответов) 1) Итоговый тест, Прикладная механика (сопромат) (2579) 9. (70c.) Под прочностью элемента конструкции понимается 1) сопротивление 2) внешнему воздействию 3) вплоть до 4) возникновения больших деформаций 5)

Подробнее

7. СОДЕРЖАНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА» (СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ) Вопрос Ответ Правильный

7. СОДЕРЖАНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА» (СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ) Вопрос Ответ Правильный . Прочность это. Жесткость это. Устойчивость это 4. К допущениям о свойствах материала элементов конструкций не относится 5. Пластина это способность материала сопротивляться действию нагрузок, не разрушаясь

Подробнее

ТЕСТЫ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ТЕСТЫ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ ТЕСТЫ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, МЕТОД СЕЧЕНИЙ, НАПРЯЖЕНИЯ Вариант 1.1 1. Прямой брус нагружается внешней силой F. После снятия нагрузки его форма и размеры полностью восстанавливаются.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

Подробнее

Кроме деформации растяжения или сжатия (см. лекцию 3) материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига.

Кроме деформации растяжения или сжатия (см. лекцию 3) материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига. Сдвиг элементов конструкций Определение внутренних усилий напряжений и деформаций при сдвиге Понятие о чистом сдвиге Закон Гука для сдвига Удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге Расчеты

Подробнее

Контрольные вопросы по сопротивлению материалов

Контрольные вопросы по сопротивлению материалов Контрольные вопросы по сопротивлению материалов 1. Основные положения 2. Каковы основные гипотезы, допущения и предпосылки положены в основу науки о сопротивлении материалов? 3. Какие основные задачи решает

Подробнее

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е Тычина К.А. tychina@mail.ru К р у ч е н и е Крутящим называют момент, вектор которого направлен вдоль оси стержня. Кручением называется такое нагружение стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает

Подробнее

Тезисы курса сопротивления материалов Часть 1

Тезисы курса сопротивления материалов Часть 1 Тезисы курса сопротивления материалов Часть 1 1 Глава 1. Введение 1.1.Основные понятия Прочность- способность материала конструкции сопротивляться внешним воздействиям. Жесткость- способность элементов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 к практическому занятию по «Прикладной механике» для студентов II курса медико-биологического факультета.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 к практическому занятию по «Прикладной механике» для студентов II курса медико-биологического факультета. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 ТЕМА Введение. Инструктаж по технике безопасности. Входной контроль. ВВЕДЕНИЕ В ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО КУРСУ «ПРИКЛАДНАЯ МЕХЕНИКА». ИНСТРУКТАЖ ПО ПОЖАРО- И ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТИ.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 Определение внутренних силовых факторов, действующих в поперечном сечении бруса (продолжение темы)

ЛЕКЦИЯ 4 Определение внутренних силовых факторов, действующих в поперечном сечении бруса (продолжение темы) В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013 1 ЛЕКЦИЯ 4 Определение внутренних силовых факторов, действующих в поперечном сечении бруса (продолжение темы) 1 Классификация внутренних силовых факторов

Подробнее

Основные понятия сопромата

Основные понятия сопромата Основные понятия сопромата Прикладная наука об инженерных методах расчёта на прочность, жесткость и устойчивость деталей машин и конструкций, называется сопротивлением материалов. Деталь или конструкция

Подробнее

ОГБОУ «Кораблинский агротехнологический техникум» РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по учебной дисциплине. ОП.02. Техническая механика.

ОГБОУ «Кораблинский агротехнологический техникум» РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по учебной дисциплине. ОП.02. Техническая механика. ОГБОУ «Кораблинский агротехнологический техникум» РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по учебной дисциплине ОП.02. Техническая механика по специальности 23.02.03 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Реальный объект и расчетная схема. Силы внешние и внутренние. Метод сечений. Основные виды нагружения бруса. 2. Понятие об усталостной прочности. Экзаменационный билет 2 1. Растяжение

Подробнее

Тема 4. Лекция 4. Основные понятия.

Тема 4. Лекция 4. Основные понятия. Тема 4 Механические характеристики материалов. Лекция 4 Основные понятия. Предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести, временное сопротивление, предел прочности, истинное напряжение разрыву,

Подробнее

(шифр и наименование направления)

(шифр и наименование направления) Дисциплина Направление Сопротивление материалов 270800 - Строительство (шифр и наименование направления) Специальность 270800 62 00 01 Промышленное и гражданское строительство 270800 62 00 03 Городское

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТЫ по дисциплине «Сопротивление материалов»

КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТЫ по дисциплине «Сопротивление материалов» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Тольяттинский государственный университет Кафедра «Материаловедение и механика материалов» КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТЫ по дисциплине «Сопротивление материалов» Часть Модульная

Подробнее

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный. Лекция 10 Плоский поперечный изгиб балок. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Правила проверки эпюр внутренних усилий при изгибе. Нормальные и касательные напряжения

Подробнее

7. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ Введение в механику деформируемых тел. Задачи расчетов на прочность Основные понятия, гипотезы и принципы

7. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ Введение в механику деформируемых тел. Задачи расчетов на прочность Основные понятия, гипотезы и принципы 7. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ 7.1. Введение в механику деформируемых тел. Задачи расчетов на прочность 7.1.1. Основные понятия, гипотезы и принципы Внутренние силы упругости, возникающие в звеньях и элементах

Подробнее

Механические свойства и механические характеристики материалов

Механические свойства и механические характеристики материалов 1. Механические свойства и механические характеристики материалов На диаграмме напряжений пределу прочности материала соответствует точка ОТВЕТ: 1) B; 2) D; 3) E; 4) A. 2. Максимальное напряжение в детали

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 3. НАПРЯЖЕНИЯ В БРУСЬЯХ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ- СЖАТИИ, КРУЧЕНИИ,

Подробнее

ВОПРОСЫ к экзамену по курсу «Сопротивление материалов»

ВОПРОСЫ к экзамену по курсу «Сопротивление материалов» ВОПРОСЫ к экзамену по курсу «Сопротивление материалов» 1. Историческое развитие учения о сопротивлении материалов. Диаграмма стального образца Ст 3. 2. Диаграмма Ф.Ясинского. 3. Основные понятия курса

Подробнее

дов деформаций может быть сведено к двум основным: растяжение (или сжатие) и сдвиг.

дов деформаций может быть сведено к двум основным: растяжение (или сжатие) и сдвиг. Лекция 16 Силы упругости. Упругие свойства твердых тел. Закон Гука для разных деформаций. Модули упругости, коэффициент Пуассона. Диаграмма напряжений. Упругий гистерезис. Потенциальная энергия упругой

Подробнее

7.8. Упругие силы. Закон Гука

7.8. Упругие силы. Закон Гука 78 Упругие силы Закон Гука Все твердые тела в результате внешнего механического воздействия в той или иной мере изменяют свою форму, так как под действием внешних сил в этих телах изменяется расположение

Подробнее

Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 5: «Закон Гука. Диаграмма растяжений. Момент инерции сечения» Лектор: д.т.н., доцент И.Е.

Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 5: «Закон Гука. Диаграмма растяжений. Момент инерции сечения» Лектор: д.т.н., доцент И.Е. Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 5: «Закон Гука. Диаграмма растяжений. Момент инерции Лектор: д.т.н., доцент И.Е.Лысенко Английский ученый Роберт Гук открыл фундаментальную закономерность между

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА. Часть I

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА. Часть I МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Часть I Методические указания и контрольные задания Пенза 00 УДК 5. (075) И85 Методические указания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса

ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013 1 ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса 1 Эпюры и основные правила их построения Определение Эпюрами

Подробнее

1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КУРСА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» 1.1. Основные определения сопротивления материалов

1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КУРСА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» 1.1. Основные определения сопротивления материалов Введение. Общие понятия и принципы дисциплины «Сопротивление материалов». Реальный объект и расчетная схема. Внешние силовые факторы (классификация). Определение внутренних усилий методом мысленных сечений.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ. 1-700402 Общие методические указания Сопротивление материалов одна из сложных

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра сопротивления материалов и теоретической механики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра сопротивления материалов и теоретической механики ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра сопротивления материалов и теоретической механики И. В. Коцюба С. А. Одинцева Л.Т.Раевская ТЕСТЫ для студентов

Подробнее

6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 6.1. Деформированное состояние в точке. Главные деформации

6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 6.1. Деформированное состояние в точке. Главные деформации Теория деформированного состояния Понятие о тензоре деформаций, главные деформации Обобщенный закон Гука для изотропного тела Деформация объема при трехосном напряженном состоянии Потенциальная энергия

Подробнее

N, кн ,4 а. б Рис. П1.1. Схема нагружения стержня (а), эпюра внутренних усилий (б), эпюра напряжений (в), эпюра перемещения сечений (г)

N, кн ,4 а. б Рис. П1.1. Схема нагружения стержня (а), эпюра внутренних усилий (б), эпюра напряжений (в), эпюра перемещения сечений (г) ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1 Ступенчатый брус из стали Ст нагружен, как показано на рис. П.1.1, а. Из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения. Построить эпюру перемещения

Подробнее

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки Теория напряженного состояния Понятие о тензоре напряжений, главные напряжения Линейное, плоское и объемное напряженное состояние Определение напряжений при линейном и плоском напряженном состоянии Решения

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ Цель работы: определение модуля сдвига и момента инерции диска методом крутильных колебаний. Приборы и принадлежности:

Подробнее

Курс лекций на тему: "Сложное сопротивление" В.В Зернов

Курс лекций на тему: Сложное сопротивление В.В Зернов Курс лекций на тему: "Сложное сопротивление" В.В Зернов Лекция на тему: Косой изгиб. При плоском поперечном изгибе балки плоскость действия сил (силовая плоскость) и плоскость прогиба совпадали с одной

Подробнее

Сопротивление материалов. Основные понятия и определения

Сопротивление материалов. Основные понятия и определения Сопротивление материалов Основные понятия и определения Сопротивление материалов это наука о надежности и экономичности элементов конструкций, деталей машин, приборов и механизмов. Задачи раздела: а) экспериментальное

Подробнее

Оглавление Введение... 3

Оглавление Введение... 3 Оглавление Введение... 3 Глава 1. Основные предпосылки, понятия и определения, используемые в курсе сопротивления материалов - механике материалов и конструкций... 4 1.1. Модель материала. Основные гипотезы

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. Тычина К.А. tchina@mail.ru V И з г и б. Изгиб вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают внутренние изгибающие моменты и (или) : упругая ось стержня стержень Рис. V.1. М изг М

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ. Сопротивление материалов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ. Сопротивление материалов ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Проектирование и управление в технических системах» МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

Следующим шагом является отыскание x наиболее напряженного сечения. Для этого A

Следующим шагом является отыскание x наиболее напряженного сечения. Для этого A Лекция 05 Изгиб Проверка прочности балок Опыт показывает, что при нагружении призматического стержня с прямой осью силами и парами сил, расположенными в плоскости симметрии, наблюдаются деформации изгиба

Подробнее

РАСЧЁТНАЯ СХЕМА КОНСТРУКЦИИ. Модель нагружения АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ РАСЧЁТНОЙ МОДЕЛИ КОНСТРУКЦИИ. ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ. ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ

РАСЧЁТНАЯ СХЕМА КОНСТРУКЦИИ. Модель нагружения АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ РАСЧЁТНОЙ МОДЕЛИ КОНСТРУКЦИИ. ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ. ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ 1. В В Е Д Е Н И Е 1.1. З а д а ч и и м е т о д ы с о п р о т и в л е н и я м а т е р и а л о в Сопротивление материалов наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Методами

Подробнее

Тест: "Техническая механика "Сопротивление материалов ". Задание #1. Выберите один из 3 вариантов ответа: 1) - Высоте a.

Тест: Техническая механика Сопротивление материалов . Задание #1. Выберите один из 3 вариантов ответа: 1) - Высоте a. Тест: "Техническая механика "Сопротивление материалов ". Задание #1 Деформация l пропорциональна Выберите один из 3 вариантов ответа: 1) - Высоте a 2) - Ширине b 3) + Длине l Задание #2 Для какой части

Подробнее

Задачи к экзамену Задача 1. Задача 2.

Задачи к экзамену Задача 1. Задача 2. Вопросы к экзамену 1. Модель упругого тела, основные гипотезы и допущения. Механика твердого тела, основные разделы. 2. Внешние и внутренние силы, напряжения и деформации. Принцип независимого действия

Подробнее

Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 24а ГОСТ ) и швеллера 24 (ГОСТ ), требуется: 1.

Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 24а ГОСТ ) и швеллера 24 (ГОСТ ), требуется: 1. Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 4а ГОСТ 8509-86) и швеллера 4 (ГОСТ 840-89), требуется: 1. Вычертить сечение в масштабе 1: и указать на нем все оси и

Подробнее

Лекция 01. Предмет сопротивления материалов. Понятия о деформациях и напряжении. Закон Гука Диаграмма растяжения Сопротивление материалов наука,

Лекция 01. Предмет сопротивления материалов. Понятия о деформациях и напряжении. Закон Гука Диаграмма растяжения Сопротивление материалов наука, Лекция 01. Предмет сопротивления материалов. Понятия о деформациях и напряжении. Закон Гука Диаграмма растяжения Сопротивление материалов наука, изучающая состояние различных элементов неподвижной или

Подробнее

Прикладная механика. Учебное пособие. Санкт-Петербург

Прикладная механика. Учебное пособие. Санкт-Петербург Прикладная механика Учебное пособие Санкт-Петербург 2015 Министерство образования и науки Российской Федерации УНИВЕРСИТЕТ ИТМО А.С. Алышев, А.Г. Кривошеев, К.С. Малых, В.Г. Мельников, Г.И. Мельников ПРИКЛАДНАЯ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ. Кафедра физики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ. Кафедра физики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ Кафедра физики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО ФИЗИКЕ для студентов специальностей

Подробнее

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е Тычина К.А. tychina@mail.ru III К р у ч е н и е Крутящим называют момент, вектор которого направлен вдоль оси стержня. Кручением называется такое нагружение стержня, при котором в его поперечных сечениях

Подробнее

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны Лекция 9. Теорема о разгрузке. Итак, рассмотрен ряд теорий о поведении материала за пределами упругости. Теперь обратимся к другому вопросу: что будет, если начать разгружать образец, который уже находится

Подробнее

Указания к выполнению контрольной работы 3

Указания к выполнению контрольной работы 3 Указания к выполнению контрольной работы Пример решения задачи 7 Для стального стержня (рис..) круглого поперечного сечения, находящегося под действием осевых сил F и F и F, требуется: ) построить в масштабе

Подробнее

Предельная нагрузка для стержневой системы

Предельная нагрузка для стержневой системы Л е к ц и я 18 НЕУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ Ранее, в первом семестре, в основном, использовался метод расчета по допускаемым напряжениям. Прочность изделия считалась обеспеченной, если напряжение в опасной

Подробнее

Дисциплина «Сопротивление материалов»

Дисциплина «Сопротивление материалов» Дисциплина «Сопротивление материалов» 1. Цель и задачи дисциплины Место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы Дисциплина «Сопротивление материалов» относится к вариативной

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»

Аннотация рабочей программы дисциплины «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» Аннотация рабочей программы дисциплины «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» 1. Цель и задачи освоения дисциплины Для студентов направления подготовки 08.03.01. «Строительство» сопротивление материалов является одной

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МАТЕРИАЛА ИЗ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МАТЕРИАЛА ИЗ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МАТЕРИАЛА ИЗ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Методические указания

Подробнее

Предисловие Часть I ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ Лекция 1 Основные понятия Простейшие типы конструкций Нагрузки Гипотезы, принимаемые в сопротивлении материалов

Предисловие Часть I ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ Лекция 1 Основные понятия Простейшие типы конструкций Нагрузки Гипотезы, принимаемые в сопротивлении материалов Предисловие Часть I ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ Лекция 1 Основные понятия Простейшие типы конструкций Нагрузки Гипотезы, принимаемые в сопротивлении материалов Деформации и перемещения Метод сечений Частные случаи нагружения

Подробнее

Лабораторная работа 5.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ ДЕФОРМАЦИИ ИЗГИБА

Лабораторная работа 5.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ ДЕФОРМАЦИИ ИЗГИБА Глава 5. Упругие деформации Лабораторная работа 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ ДЕФОРМАЦИИ ИЗГИБА Цель работы Определение модуля Юнга материала равнопрочной балки и радиуса кривизны изгиба из измерений стрелы

Подробнее

ОТ АВТОРОВ... 3 ВВЕДЕНИЕ... 5 Вопросы и задания для самоконтроля к введению... 8

ОТ АВТОРОВ... 3 ВВЕДЕНИЕ... 5 Вопросы и задания для самоконтроля к введению... 8 Допущено Министерством сельского хозяйства Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 280100 «Природоустройство и водопользование» Сопротивление

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. ПОСОБИЕ по проведению практических занятий

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. ПОСОБИЕ по проведению практических занятий ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ

17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ Лекция 17 Энергетические методы расчета упругих систем. Потенциальная энергия деформации. Обобщенные силы и обобщенные перемещения. Основные энергетические уравнения механики (теорема Кастильяно). Метод

Подробнее

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет»

Подробнее

Основные соотношения, полученные для них, приведены в таблице 7.1. Таблица 7.1 Виды нагружения Напряжения Деформации. . Условие прочности:

Основные соотношения, полученные для них, приведены в таблице 7.1. Таблица 7.1 Виды нагружения Напряжения Деформации. . Условие прочности: Лекция 11 Сложное сопротивление 1 Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу 2 Определение внутренних усилий при косом изгибе 3 Определение напряжений при косом изгибе 4 Определение

Подробнее

Расчеты на прочность

Расчеты на прочность Расчеты на прочность Различают два вида расчетов: проектный (проектировочный) и проверочный (поверочный). Проектирование детали можно вести в следующей последовательности: 1. Составляют расчетную схему

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ - Российский государственный технологический

Подробнее

Основные понятия, определения

Основные понятия, определения Основные понятия, определения 1. Тело, один размер которого намного превышает два других, называется 2. Сопротивление материалов это наука о элементов конструкций Ответ: 1) прочности, жесткости и однородности;

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ"

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ" ВВЕДЕНИЕ Сопротивление материалов - есть наука о расчете элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Основными задачами сопротивления

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И МОДУЛЯ СДВИГА ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И МОДУЛЯ СДВИГА ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И МОДУЛЯ СДВИГА ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы: 1. Изучить динамику и кинематику крутильных колебаний.. Измерить моменты инерции твердых

Подробнее

3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ

3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ 3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ 3.. Напряжения Уровень оценки прочности по нагрузке отличают простота и доступность. Расчеты при этом чаще всего минимальны - требуется определить только саму нагрузку. Для

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 4. ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ И ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Подробнее

ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ПО ДИСЦИПЛИНЕ УТВЕРЖДАЮ Декан факультета сервиса к.т.н., доцент Сумзина Л.В ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Материаловедение основной образовательной программы высшего образования программы специалитета по направлению

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

КРАТКИЙ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный

Подробнее

условия прочности для опасного сечения - сечения, в котором нормальные напряжения достигают максимального абсолютного значения: - на сжатие

условия прочности для опасного сечения - сечения, в котором нормальные напряжения достигают максимального абсолютного значения: - на сжатие Задача 1 Для бруса прямоугольного сечения (рис. 1) определить несущую способность и вычислить перемещение свободного конца бруса. Дано: (шифр 312312) схема 2; l=0,5м; b=15см; h=14см; R p =80МПа; R c =120МПа;

Подробнее

Курс лекций: «Прикладная механика»

Курс лекций: «Прикладная механика» Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 4: «Основные виды микромеханических элементов. Механические свойства материалов. Тензоры механического Лектор: д.т.н., доцент И.Е.Лысенко К основным видам конструкций

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ Государственное автономное образовательное учреждение Астраханской области высшего профессионального образования «АСТРАХАНСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

С. М. ВЕДИЩЕВ, А. А. ОСИПОВ, С. В. ПЕРШИНА, В. Ф. ПЕРШИН СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

С. М. ВЕДИЩЕВ, А. А. ОСИПОВ, С. В. ПЕРШИНА, В. Ф. ПЕРШИН СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ С. М. ВЕДИЩЕВ, А. А. ОСИПОВ, С. В. ПЕРШИНА, В. Ф. ПЕРШИН СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Тамбов Издательство ФГБОУ ВПО «ТГТУ» 014 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное

Подробнее

А.Л. Суркаев, Т.А. Сухова ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА ГУКА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА

А.Л. Суркаев, Т.А. Сухова ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА ГУКА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ НАГРУЖЕНИЯ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ НАГРУЖЕНИЯ Глава 4 ОСНОВЫ ТЕОРИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ НАГРУЖЕНИЯ Как уже говорилось выше, железобетон это анизотропный материал сложной структуры, характеризующийся нелинейной

Подробнее

Вопросы к экзамену по прикладной механике

Вопросы к экзамену по прикладной механике Вопросы к экзамену по прикладной механике Основные понятия и определения сопротивления материалов - Задачи науки о сопротивлении материалов, последовательность решения их применительно к тому или иному

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 3 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ Глава первая Растяжение и сжатие......6 1.1. Продольная сила...6 1.2. Нормальные напряжения, абсолютное удлинение и потенциальная энергия...8 1.3. Поперечная деформация

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. www.tchina.pro Тычина К.А. V И з г и б. Изгибом называется такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях остаётся не равным нулю только внутренний изгибающий момент. Прямым изгибом

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Ивановский государственный химико-технологический университет. А.Э.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Ивановский государственный химико-технологический университет. А.Э. Министерство образования и науки Российской Федерации Ивановский государственный химико-технологический университет А.Э. Козловский Р А С Ч Ё Т Э Л Е М Е Н Т О В К О Н С Т Р У К Ц И Й Н А С Д В И Г И К

Подробнее

Часть 1 Сопротивление материалов

Часть 1 Сопротивление материалов Часть Сопротивление материалов Рисунок Правило знаков Проверки построения эпюр: Эпюра поперечных сил: Если на балке имеются сосредоточенные силы, то на эпюре, должен быть скачок на величину и по направлению

Подробнее

Упругие свойства твердых тел

Упругие свойства твердых тел Упругие свойства твердых тел 1. Введение Механические свойства тел основные свойства конструкционных материалов, которые, с одной стороны, определяют их применение, а с другой являются теми конкретными

Подробнее

Расчет прочности тонкостенного стержня открытого профиля

Расчет прочности тонкостенного стержня открытого профиля НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.Алексеева Кафедра «Аэро-гидродинамика, прочность машин и сопротивление материалов» Расчет прочности тонкостенного стержня открытого профиля

Подробнее

ОПД.Ф СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

ОПД.Ф СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ОГЛАВЛЕНИЕ ОПДФ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ПРОСТЕЙШИХ ФОРМ Методические указания к решению задач и выполнению расчетно-графической работы Предисловие

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ОПД.Ф.2.2 Сопротивление материалов

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ОПД.Ф.2.2 Сопротивление материалов ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Проектирование механизмов и машин» РАБОЧАЯ

Подробнее

Тестовые задания по учебной дисциплине «Техническая механика» а) статика б) кинематика в) динамика

Тестовые задания по учебной дисциплине «Техническая механика» а) статика б) кинематика в) динамика Тестовые задания по учебной дисциплине «Техническая механика» ТЗ Формулировка и содержание ТЗ 1 Выбрать правильные ответы. Теоретическая механика состоит из разделов: а) статика б) кинематика в) динамика

Подробнее

Лабораторная работа 5. Краткая теория

Лабораторная работа 5. Краткая теория Лабораторная работа 5 Определение модуля сдвига по крутильным колебаниям Целью работы является изучение деформации сдвига и кручения, определение модуля сдвига металлического стержня. Краткая теория Модуль

Подробнее