Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство).

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство)."

Транскрипт

1 1 4 Выпуклый анализ Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа Выпуклые множества Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе: отрезок [a, b] = = {x X x = a + t(b a) = (1 t)a + tb, 0 t 1}; интервал (a, b) = {x X x = (1 t)a + tb, 0 < t < 1}; выпуклое множество A, если a, b A отрезок [a, b] A, т. е. a, b A точка (1 t)a + tb A 0 t 1; конус K (K ), если x K точка tx K t 0; аффинное множество A, если a, b A точка (1 t)a + tb A t R. Очевидно: аффинное множество выпукло. Возьмем фиксированные точки a 1,..., a m X. Пусть m t i a i комбинация этих точек, t i R. Дадим различные определения таких комбинаций и оболочек этих комбинаций: выпуклая комбинация, если t i 0, коническая комбинация, если t i 0; m t i = 1; аффинная комбинация, если m t i = 1;

2 2 { выпуклая оболочка conv{a 1,..., a m }:= a = m t i a i ti 0, } m t i = 1 совокупность всех выпуклых комбинаций; коническая выпуклая{ оболочка conev{a 1,..., a m } := a = m } t i a i ti 0 ; аффинная оболочка { aff{a 1,..., a m } := a = m m t i a i } t i = Выпуклые функции Пусть задана функция (функционал), отображающая линейное нормированное пространство в расширенную прямую: f : X R:= R { } {+ }. С каждой такой функцией f связываются два множества: dom f = {x X f(x) < + } эффективное множество и epi f = {(a, x) R X a f(x)} надграфик функции f. Функция f называется выпуклой, если надграфик f выпуклое множество. Функция f называется замкнутой, если надграфик f замкнутое множество. Функция f называется собственной, если f(x) > x и f +. Мы будем изучать выпуклые собственные функции. Для краткости будем называть их просто выпуклые функции. Из определения выпуклого множества сразу следует, что функция выпукла тогда и только тогда, когда выполнено неравенство Йенсена: f(tx 1 +(1 t)x 2 ) tf(x 1 )+(1 t)f(x 2 ) x 1, x 2 X, t (0, 1).

3 Ясно, что сумма двух выпуклых функций является функцией выпуклой. Но суперпозиция двух выпуклых функций не всегда является выпуклой функцией. Приведите пример. Выпуклость многих классических функций одной переменной сразу вытекает из следующей теоремы. Теорема 1 (Р, с. 44). Пусть функция f : R R дважды непрерывно дифференцируема (f D 2 (R)). Тогда она выпукла тогда и только тогда, когда ее вторая производная неотрицательна (f (x) 0 x R). Приведем несколько примеров выпуклых функций. 1. f(x) = e ax, a R. 2. f(x) = x p, p 1. Выпуклость функций из примеров 1-2 сразу следует из теоремы 1 и определения выпуклой функции. 3. Аффинная функция (в многомерном случае f : R n R, f(x) = a, x + b, a R n, b R). Аффинная функция является выпуклой по неравенству Йенсена. Модуль аффинной функции a, x + b также является выпуклой функцией, поскольку ее надграфик пересечение полупространств выпуклое множество. Выпуклость функций нескольких переменных можно определять также из следующего многомерного обобщения теоремы 1. Теорема 2 (Р, с. 44). Пусть функция f : R n R дважды непрерывно дифференцируема (f D 2 (R n )). Тогда она выпукла тогда и только тогда, когда ее матрица вторых производных (гессиан) ( всюду неотрицательно определена ( ) 2 n f f(x) (x) = 0 x R ). n x i x j i,j=1 4. Квадратичная функция Q(x) = Ax, x (A симметричная матрица), является выпуклой тогда и только тогда, когда матрица A неотрицательно определена. 3

4 4 Это сразу вытекает из теоремы 2. Выпуклыми функциями многих переменных (функционалами) являются также следующие функции: 5. Функция нормы ( n f(x) = x p := max { x 1,..., x n }, ) 1 x j p p, 1 p < +, j=1 p = Индикаторная { функция выпуклого множества A X 0, x A, δa(x) = +, x A. 7. Функция Минковского выпуклого множества A X 0, α 1 x A α > 0, µa(x) = +, α 1 x A α > 0, inf {α α > 0, α 1 x A}, иначе. Функция Минковского означает наименьшее число, в которое надо уменьшить вектор x, чтобы он попал в множество A. 8. Опорная функция непустого множества A X sa(x ) = max x A x, x (sa: X R).

5 5 Теорема 3. f : R R выпуклая ограниченная функция f(x) = const. Доказательство. Предположим противное, что f(x) const. Тогда существуют точки x 1, x 2 такие, что x 1 < x 2 и f(x 1 ) f(x 2 ). Поскольку f выпуклая ограниченная функция, то надграфик функции epi f выпуклое множество, следовательно, отрезок [ (x 1, f(x 1 )), (x 2, f(x 2 )) ] epi f. Значит, на промежутке [x 1, x 2 ] график функции f лежит ниже этого отрезка (или совпадает с ним). Не ограничивая общности, будем считать, что f(x 1 ) < f(x 2 ). Пусть l(x) прямая, проходящая через точки (x 1, f(x 1 )) и (x 2, f(x 2 )). Покажем, что f(x) l(x) x > x 2. ( ) Если это не так, то существует точка x > x 2 такая, что f(x) < l(x), т. е. точка (x, f(x)) лежит ниже прямой l. Так как функция f выпукла, то отрезок [ (x 1, f(x 1 )), (x, f(x)) ] epi f и лежит ниже прямой l, но это не так в точке x 2 (ниже точки (x 2, f(x 2 )) не может быть точек из epi f). Поэтому неравенство ( ) действительно выполняется. Так как l(x) + при x +, то f(x) + при x +. Получаем противоречие с ограниченностью функции f. Значит, предположение противного неверно и f(x) = const.

6 Субдифференциал выпуклой функции Дадим определение важного понятия выпуклого анализа субдифференциала функции, обобщающего для выпуклых функций понятие производной в гладком анализе. Субдифференциалом выпуклой функции f в точке ˆx называется следующее множество в сопряженном пространстве X : f(ˆx) = {x X x, x ˆx f(x) f(ˆx) x X}. Напомним, что сопряженным пространством X называется пространство линейных непрерывных функционалов на X. В случае X = R n сопряженное пространство (R n ) = R n. Из определения сразу вытекает, что субдифференциал выпуклое множество в X. Легко доказать, что оно замкнуто. Субдифференциал дифференцируемой функции совпадает с ее производной. Для функции одной переменной субдифференциал f(ˆx) это совокупность угловых коэффициентов k, при которых прямые y = kx + b, проходящие через точку (ˆx, f(ˆx)), лежат под графиком функции y = f(x). Пример. f(x) = x. y x x x = 0 { sign x, x 0, [ 1, 1], x = 0. Рис. 6

7 Для субдифференциала суммы функций имеет место теорема аналогичная теореме о производной суммы функций. Теорема (Моро Рокафеллар). [16, с. 49] Пусть f 1 и f 2 выпуклые функции на X. Существует точка x 0, в которой функция f 1 конечна ( f 1 (x 0 ) < ), а функция f 2 непрерывна (f C(x 0 )). Тогда (f 1 + f 2 )(x) = f 1 (x) + f 2 (x) x. При доказательстве необходимых условий экстремума в гладкой задаче с равенствами и неравенствами нам понадобится следующая теорема о субдифференциале максимума. Теорема (Дубовицкий Милютин). [16, с. 51] Пусть f 1 и f 2 выпуклые функции, непрерывные в точке ˆx, f 1 (ˆx) = f 2 (ˆx). Тогда max{f 1, f 2 }(ˆx) = conv ( f 1 (ˆx) f 2 (ˆx) ). Важным примером выпуклой функции является сублинейная функция. Функция p называется сублинейной, если ее надграфик является выпуклым конусом с вершиной в нуле. Из неравенства Йенсена следует, что собственная функция является сублинейной тогда и только тогда, когда a) p(λx) = λp(x) для любого λ > 0, для любого x X; b) p(x 1 + x 2 ) p(x 1 ) + p(x 2 ) для любых x 1, x 2 X. Если X нормированное пространство, то x x сублинейная функция. Сформулируем теорему Моро Рокафеллара и теорему Дубовицкого Милютина для сублинейных функций. Теорема (Моро Рокафеллар). Пусть p 1, p 2 сублинейные функции, функция p 1 непрерывна, функция p 2 замкнута. Тогда в точке ˆx = 0 (p 1 + p 2 ) = p 1 + p 2. Теорема (Дубовицкий Милютин). Пусть p 1, p 2 непрерывные сублинейные функции. Тогда max{p 1, p 2 }(0) = conv( p 1 (0) p 2 (0)). 7

8 8 Субдифференциал модуля функции Пусть f(x) дифференцируемая функция n переменных. Рассмотрим функцию f(x). Найдем ее субдифференциал. Если f(x) < 0, то f(x) = f(x) и f(x) = f (x). Если f(x) > 0, то f(x) = f (x) и f(x) = f(x). Если f(x) = 0, то запишем функцию f(x) в виде f(x) = max{ f(x), f(x)}. Тогда по теореме Дубовицкого Милютина f(x) = max{ f(x), f(x)} = conv { ( f)(x) f(x) } = = conv{ f (x), f (x)} = [ f (x); f (x)]. Субдифференциал является отрезком в пространстве R n. Таким образом, f (x), f(x) < 0, f = {αf (x), α [ 1; 1]}, f(x) = 0, f (x), f(x) > 0.

9 9 Субдифференциал нормы Пусть X линейное нормированное пространство, функционал f : X R, f(x) = x. Найдем субдифференциал нормы в нуле. По определению субдифференциала x f(ˆx) x, x ˆx f(x) f(ˆx) x X. У нас ˆx = 0, f(ˆx) = 0 = 0. Следовательно, x f(0) x, x x x X. ( ) Пусть x f(0). По лемме Банаха существует вектор x X такой, что x = 1, x, x = x. Подставляя этот вектор x в неравенство ( ), получим x = x, x ( ) x = 1 = x 1. Значит, f(0) B := { x X x X 1 } единичный шар сопряженного пространства. Докажем, что f(0) = B. Для этого надо доказать обратное включение f(0) B. Возьмем x B, тогда x 1. По неравенству Коши Буняковского x, x x x x 1 x x X. Неравенство ( ) выполняется, значит, x f(0). Таким образом, f(0) = B = {x X x X 1}.


4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества. Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе:

4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества. Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе: 4 Выпуклые задачи Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества

Подробнее

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x 4.3 Выпуклые задачи 4.3.1 Задачи без ограничений Пусть f : X R выпуклая функция, отображающая нормированное пространство X в расширенную прямую. Выпуклой задачей без ограничений называется следующая экстремальная

Подробнее

4.4 Выпуклые, конические, аффинные множества

4.4 Выпуклые, конические, аффинные множества 4.4 Выпуклые, конические, аффинные множества 4.4.1 Свойства операций над множествами 1. Пересечение любого числа выпуклых (конических, аффинных) множеств является выпуклым (коническим, аффинным) множеством.

Подробнее

4.4 Выпуклые, конические, аффинные множества

4.4 Выпуклые, конические, аффинные множества 4.4 Выпуклые, конические, аффинные множества 4.4.1 Свойства операций над множествами 1. Пересечение любого числа выпуклых (конических, аффинных) множеств является выпуклым (коническим, аффинным) множеством.

Подробнее

УДИВИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. В. Н. Малозёмов. 5 сентября 2017 г.

УДИВИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. В. Н. Малозёмов. 5 сентября 2017 г. УДИВИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ В. Н. Малозёмов v.malozemov@spbu.ru 5 сентября 2017 г. 1. Будем изучать свойства конечных выпуклых функций, заданных наr n. Напомним, что функция f(x называется выпуклой,

Подробнее

4.7 Сопряженный конус

4.7 Сопряженный конус 4.7 Сопряженный конус 4.7.1 Определение сопряженного конуса Для наглядности представления будем рассматривать пространство R n. Определение. K конус в R n. Сопряженным конусом называется множество K :=

Подробнее

3 Обоснование симплекс-метода

3 Обоснование симплекс-метода 1 3 Обоснование симплекс-метода 3.1 Теоремы существования, двойственности, критерий решения Приведем три теоремы, играющие важную роль при обосновании симплекс-метода. Рассмотрим задачу линейного программирования

Подробнее

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1 Постановка задачи Пусть

Подробнее

Двойственность по Канторовичу и теорема существования

Двойственность по Канторовичу и теорема существования Тема 9 Двойственность по Канторовичу и теорема существования Двойственность по Канторовичу это далеко идущее обобщение теорем о двойственности из линейного программирования. 9.1 Формулировка теоремы и

Подробнее

Теоремы Хана Банаха о продолжении и отделимости

Теоремы Хана Банаха о продолжении и отделимости Тема 8 Теоремы Хана Банаха о продолжении и отделимости Нам понадобится несколько технических результатов из геометрии линейных пространств общего вида. 8.1 Теоремы Хана Банаха о продолжении Есть несколько

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

4.5 Размерность множества

4.5 Размерность множества 1 4.5 Размерность множества Пусть X линейное нормированное пространство. Подпространство аффинное множество, проходящее через 0. Аффинные множества A и B параллельны, если c X : B = A + c. Размерность

Подробнее

Двойственность в задаче Канторовича.

Двойственность в задаче Канторовича. Тема 3 Двойственность в задаче Канторовича. Запишем задачу Канторовича в виде задачи линейного программирования из правой части формулы в теореме 2.1. Будем рассматривать ρ и π как векторы: ρ t = (ρ 12,...,

Подробнее

ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. Л.Н. Полякова. 9 апреля 2015 г.

ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. Л.Н. Полякова. 9 апреля 2015 г. ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ Л.Н. Полякова lnpol07@mail.ru 9 апреля 015 г. 1. Введение. Некоторые определения и утверждения из выпуклого анализа. Выпуклый анализ является одним из наиболее глубоко

Подробнее

Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 2017 Семинар 6: Выпуклые множества и функции 14 февраля 2017 г.

Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 2017 Семинар 6: Выпуклые множества и функции 14 февраля 2017 г. Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 2017 Семинар 6: Выпуклые множества и функции 14 февраля 2017 г. 1 Выпуклые множества 1.1 Определение и основные примеры Определение 1 (Выпуклые множества). Пусть U вещественное

Подробнее

Лекциии по математическому анализу, семестр 2

Лекциии по математическому анализу, семестр 2 Лекциии по математическому анализу, семестр 2 Р. В. Бессонов Литература: В. А. Зорич, Математический анализ, часть 1, МЦНМО, Москва 2002. 1. Лекция 1 1.1. Предварительные сведения из линейной алгебры.

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

Элементы выпуклого анализа

Элементы выпуклого анализа Глава 1 Элементы выпуклого анализа Здесь мырассмотрим некоторые элементывыпуклого анализа, которые будут необходимы при описании методов анализа гибкости ТС. Детальное описание этого вопроса можно найти

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Открытые отображения

Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Открытые отображения Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ 1. Открытые отображения Пусть (B 1, 1 ) и (B 2, 2 ) банаховы пространства. Определение 1. Отображение T : B 1 B 2 называется открытым, если образ всякого открытого

Подробнее

Из леммы можно выводить свойства сопряженного конуса.

Из леммы можно выводить свойства сопряженного конуса. 4.7 Сопряженный конус 4.7.1 Определение сопряженного конуса Для простоты рассматриваем пространство R n. Определение K конус в R n. Сопряженным конусом называется множество K := {y R n inf y, x 0} или,

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

ВВЕДЕНИЕ В ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ Федеральное агентство по образованию РФ Иркутский государственный университет А. С. Стрекаловский ВВЕДЕНИЕ В ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие Иркутск 2009 УДК 517.218.244+517.982.252 C 84 Рецензенты: д-р

Подробнее

Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства

Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 3 октября 2011 г. Линейные функционалы.

Подробнее

Вариационное исчисление и оптимальное управление (конспект лекций 2012 г.)

Вариационное исчисление и оптимальное управление (конспект лекций 2012 г.) Вариационное исчисление и оптимальное управление (конспект лекций 2012 г.) Е. Р. Аваков Содержание Глава 1. Аппарат теории экстремальных задач. 4 1.1. Элементы функционального анализа. 4 п. 1.1.1. Нормированные

Подробнее

Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C 2 -гладкие функции.

Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C 2 -гладкие функции. Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C -гладкие функции. Определение 1 Функция называется выпуклой (вогнутой), если ее надграфик (подграфик) выпуклая область. Пример 1 x

Подробнее

Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории.

Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории. Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 1 ноября 2012 г. Открытые отображения.

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2012-2013 гг. Выпуклые функции. Сопряженные функции. X нормированное пространство (вообще говоря, бесконечномерное),

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

Семинар Лекция 9 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

Семинар Лекция 9 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств Семинар Лекция 9 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N,N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово. 2. (Следствие.) Для любого нормированного

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный ЛЕКЦИЯ 14 Численные методы нелинейного программирования 1. Градиентный метод 2. Теоремы сходимости 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный метод) -1- Численные методы НЛП Задача поиска безусловного минимума:

Подробнее

1 Аппроксимация в линейных нормированных пространствах. 1.1 Существование элемента наилучшего приближения

1 Аппроксимация в линейных нормированных пространствах. 1.1 Существование элемента наилучшего приближения Оглавление 1 Аппроксимация в линейных нормированных пространствах...................... 3 1.1 Существование элемента наилучшего приближения................... 3 1.2 Геометрическая интерпретация...... 5

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ. Е. С. Половинкин. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ. Е. С. Половинкин. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский физико-технический институт (государственный университет) Е. С. Половинкин Учебно-методическое пособие ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ МОСКВА 2006 2 Курс является

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

4.5 Размерность множества

4.5 Размерность множества 4.5 Размерность множества Пусть X линейное нормированное пространство. Подпространство аффинное множество, проходящее через 0. Аффинные множества A и B параллельны, если c X : B = A + c. Размерность аффинного

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 3.4

Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 3.4 Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 3.4 Аннотация Условия существования экстремума. Выпуклость функции. Точки перегиба. Схема полного исследования

Подробнее

Сопряжённая функция и двойственность по Фенхелю

Сопряжённая функция и двойственность по Фенхелю Сопряжённая функция и двойственность по Фенхелю Михаил Фигурнов, аспирант 25 марта 2014 1 / 34 1 Выпуклость 2 Сопряжённая функция 3 Двойственность по Лагранжу 4 Двойственность по Фенхелю 5 Двойственная

Подробнее

Предложение 1.2 co(b) есть наименьшее выпуклое множество, содержащее B. t k x k co(b) и y = n s k y k co(b) сумма (1 t)x +

Предложение 1.2 co(b) есть наименьшее выпуклое множество, содержащее B. t k x k co(b) и y = n s k y k co(b) сумма (1 t)x + Выпуклые оболочки. Лемма и теорема Каратеодори X линейное нормированное пространство. Определение.. Множество A X выпукло для любых точек x и x из A отрезок [x, x ] def = {( t)x + tx t [0, ]} принадлежит

Подробнее

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА В этой лекции мы рассмотрим такие фундаментальные понятия современного нелинейного функционального анализа, как сильная, слабая и слабая

Подробнее

ТИПИЧНЫЕ ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА Е. М. Бронштейн

ТИПИЧНЫЕ ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА Е. М. Бронштейн Сибирский математический журнал Январь февраль, 2000. Том 41, 1 УДК 513.88 ТИПИЧНЫЕ ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА Е. М. Бронштейн Аннотация: Пусть K выпуклое компактное подмножество гильбертова пространства B, V(K)

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Лекция 12. Задачи классического вариационного исчисления

Лекция 12. Задачи классического вариационного исчисления Лекция Задачи классического вариационного исчисления Постановка задачи J u infsup G u G u & r u U R 3 Γ 4 Граничные условия 4 закрепленные когда значения траектории закреплены на обоих концах отрезка [

Подробнее

Модели Неймана - Гейла

Модели Неймана - Гейла Министерство образования Российской Федерации Дальневосточный государственный университет А.И. Абакумов Модели Неймана - Гейла Владивосток 2004 УДК 519.95 с. Абакумов А.И. Модели Неймана - Гейла. Владивосток:

Подробнее

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Линейные функционалы Напомним некоторые понятия линейной алгебры. Пусть L это линейное пространство над полем K вещественных либо комплексных чисел. Рассмотрим

Подробнее

Наглядно понятие выпуклого множества можно пояснить так: выпуклое множество это множество, которое не имеет вмятин и дыр. x 1

Наглядно понятие выпуклого множества можно пояснить так: выпуклое множество это множество, которое не имеет вмятин и дыр. x 1 Глава 4 ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА Понятие выпуклого множества играет важную роль в задачах оптимизации, в частности, в задачах линейного программирования, которым будет посвящено отдельное пособие. Определение.

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 9 Считается, что классический функциональный анализ стоит на «трех китах» на трех фундаментальных теоремах. Это теорема Хана Банаха, теорема Банаха об обратном

Подробнее

Конечномерные задачи

Конечномерные задачи Глава 1 Конечномерные задачи 1 Конечномерные гладкие задачи без ограничений В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума функций одной и нескольких переменных. 1.1 Постановка задачи

Подробнее

ТЕОРЕМА ХЕЛЛИ ДЛЯ КОНУСОВ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ НАИЛУЧШЕГО ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

ТЕОРЕМА ХЕЛЛИ ДЛЯ КОНУСОВ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ НАИЛУЧШЕГО ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ТЕОРЕМА ХЕЛЛИ ДЛЯ КОНУСОВ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ НАИЛУЧШЕГО ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ М. М. Гхашим mohgh110@yahoo.com В. Н. Малозёмов v.malozemov@spbu.ru Аннотация. В докладе приводится доказательство

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 25 25.1. Непрерывные линейные операторы Напомним (см. теорему 1.2), что линейный оператор между нормированными пространствами непрерывен тогда и только тогда,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ Метод покоординатного спуска. 2. Метод Ньютона (продолжение)

ЛЕКЦИЯ Метод покоординатного спуска. 2. Метод Ньютона (продолжение) ЛЕКЦИЯ 16 1. Метод покоординатного спуска 2. Метод Ньютона (продолжение) -1- МЕТОД ПОКООРДИНАТНОГО СПУСКА Область применения: минимизируемая функция либо не обладает нужной гладкостью, либо является гладкой,

Подробнее

Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости.

Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости. Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Определения Итак, напомним, что действие линейного функционала

Подробнее

Транспортные задачи. Случай конечных пространств.

Транспортные задачи. Случай конечных пространств. Тема 1 Транспортные задачи. Случай конечных пространств. Мы будем изучать задачи оптимальной транспортировки некоторым образом распределенной массы из заданного начального состояния в заданное конечное

Подробнее

Лекция 7 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение и примеры

Лекция 7 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение и примеры Лекция 7 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 1. Определение и примеры Определение 1. Нормой называется неотрицательная вещественная функция на линейном пространстве L над полем K (где K = R или K = C), удовлетворяющая

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

2 Качественная теория ЗЛП

2 Качественная теория ЗЛП 2 Качественная теория ЗЛП 2.1 Выпуклость в линейном программировании По графическим изображениям 1.3 1.5 явно видно, что для допустимых областей X рассматриваемых ЗЛП характерна многогранная структура.

Подробнее

Условия второго порядка в вариационном исчислении

Условия второго порядка в вариационном исчислении Глава 5 Условия второго порядка в вариационном исчислении В этой главе даны необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления и задаче Больца. Это классические условия

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10. Численные методы НЛП 3. Методы спуска и градиентные методы 4. Метод Ньютона 5. Метод покоординатного спуска

ЛЕКЦИЯ 10. Численные методы НЛП 3. Методы спуска и градиентные методы 4. Метод Ньютона 5. Метод покоординатного спуска ЛЕКЦИЯ 10 Методы штрафов 1. Метод внешних штрафов 2. Метод внутренних штрафов Численные методы НЛП 3. Методы спуска и градиентные методы 4. Метод Ньютона 5. Метод покоординатного спуска -1- МЕТОД ШТРАФОВ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5. Необходимые условия экстремума. 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай)

ЛЕКЦИЯ 5. Необходимые условия экстремума. 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай) ЛЕКЦИЯ 5 Необходимые условия экстремума 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай) -1- Лекция 4: Теорема 7 (Фаркаша Минковского). Система уравнений Ax

Подробнее

М.С. Никольский О СВОЙСТВЕ РЕГУЛЯРНОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЯ *

М.С. Никольский О СВОЙСТВЕ РЕГУЛЯРНОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЯ * М.С. Никольский О СВОЙСТВЕ РЕГУЛЯРНОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЯ * В задачах оптимального управления поиск оптимального управления обычно начинают с процедуры применения принципа максимума

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 24 24.1. Локально выпуклые пространства В процессе изучения функционального анализа вы, вероятно, заметили, что не все естественно возникающие векторные пространства

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7. Необходимые условия экстремума. 2. Необходимые условия оптимальности Фритца Джона. 3. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера

ЛЕКЦИЯ 7. Необходимые условия экстремума. 2. Необходимые условия оптимальности Фритца Джона. 3. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера ЛЕКЦИЯ 7 Необходимые условия экстремума 1. Геометрическая форма необходимых условий оптимальности 2. Необходимые условия оптимальности Фритца Джона 3. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера -1-

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1)

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1) Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

Подробнее

Известия НАН Армении, Математика, том 52, н. 2, 2017, стр О РЕГУЛЯРНЫХ КАСАТЕЛЬНЫХ КОНУСАХ

Известия НАН Армении, Математика, том 52, н. 2, 2017, стр О РЕГУЛЯРНЫХ КАСАТЕЛЬНЫХ КОНУСАХ Известия НАН Армении, Математика, том 52, н. 2, 2017, стр. 65-77. О РЕГУЛЯРНЫХ КАСАТЕЛЬНЫХ КОНУСАХ Р. А. ХАЧАТРЯН Ереванский государственный университет E-mail: khachatryan.rafik@gmail.com Аннотация. B

Подробнее

Лекция 6. Условия сходимости по распределению случайных процессов с траекториями без разрывов второго рода

Лекция 6. Условия сходимости по распределению случайных процессов с траекториями без разрывов второго рода Лекция 6 Условия сходимости по распределению случайных процессов с траекториями без разрывов второго рода Рассмотрим пространство [0, 1] числовых функций, имеющих пределы слева и непрерывных справа на

Подробнее

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ КУРС

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ КУРС СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ 03 КУРС. При каких n 3 можно утверждать, что для всякой пирамиды с выпуклым n-угольником в основании и всякой точки X внутри неё сумма расстояний от

Подробнее

ЛЕКЦИЯ Метод внутренних штрафов. 4. Метод покоординатного спуска

ЛЕКЦИЯ Метод внутренних штрафов. 4. Метод покоординатного спуска ЛЕКЦИЯ 15 1. Метод Ньютона (метод второго порядка) 2. Метод внешних штрафов 3. Метод внутренних штрафов 4. Метод покоординатного спуска -1- МЕТОД НЬЮТОНА Пусть f дважды непрерывно дифференцируемая функция

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Линейные функционалы Напомним некоторые понятия линейной алгебры. Действительно, пусть L это линейное пространство над полем либо вещественных либо комплексных

Подробнее

1 Скорости сходимости

1 Скорости сходимости Методы оптимизации в машинном обучении, ВМК+Физтех, осень 2017 Семинар 1: Скорости сходимости. Матрично-векторные скалярные произведения и нормы 1 Скорости сходимости Ключевой характеристикой сходящейся

Подробнее

Лекция 7. Банаховы пространства

Лекция 7. Банаховы пространства Лекция 7. Банаховы пространства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 17 декабря 2012 г. Определение. Определение 1. Банаховым пространством

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 22 АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАМКНУТОСТЬ ПОЛЯ C РАЗЛОЖЕНИЕ НА НЕПРИВОДИМЫЕ В R[X]

ЛЕКЦИЯ 22 АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАМКНУТОСТЬ ПОЛЯ C РАЗЛОЖЕНИЕ НА НЕПРИВОДИМЫЕ В R[X] ЛЕКЦИЯ 22 АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАМКНУТОСТЬ ПОЛЯ C РАЗЛОЖЕНИЕ НА НЕПРИВОДИМЫЕ В R[X] 1 Итак, мы доказываем основную теорему алгебры. Повторим последние два утверждения, сформулированные на последней лекции: (1)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Теория двойственности ЛП (продолжение) 1. Теоремы Фаркаша Минковского и Гордана

ЛЕКЦИЯ 4. Теория двойственности ЛП (продолжение) 1. Теоремы Фаркаша Минковского и Гордана ЛЕКЦИЯ 4 Теория двойственности ЛП (продолжение) 1. Теоремы Фаркаша Минковского и Гордана Необходимые условия экстремума 2. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 3. Критерий оптимальности (выпуклый

Подробнее

Математический анализ. Лекция 3.4

Математический анализ. Лекция 3.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Подробнее

Лекции 5-6. Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах

Лекции 5-6. Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах Лекции 5-6 Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах Применим изложенную теорию сходимости по распределению к случайным процессам. Как известно, случайный процесс

Подробнее

Лекция 9. Движение по цилиндрической трубе среды Бингама: задача минимизации, величина предельной нагрузки.

Лекция 9. Движение по цилиндрической трубе среды Бингама: задача минимизации, величина предельной нагрузки. Лекция 9. Движение по цилиндрической трубе среды Бингама: задача минимизации, величина предельной нагрузки. Рассмотрим течение вязкопластической среды по трубе под действием постоянного градиента давлений.

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 11 11.1. Каноническое вложение во второе сопряженное. Рефлексивные пространства Пусть X нормированное пространство над полем K = R или K = C. Для каждого x

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

Свойства фейеровских отображений 1

Свойства фейеровских отображений 1 Еремин ИИ ИММ УРО РАН Рудаков СА Рудакова ТН Челябинский государственный университет Введение Операция проектирования элемента на выпуклое замкнутое множество часто используется в математике особенно в

Подробнее

Задачи оптимального управления: 1. Доказательство принципа максимума для линейной задачи быстродействия. 2. Достаточность принципа максимума

Задачи оптимального управления: 1. Доказательство принципа максимума для линейной задачи быстродействия. 2. Достаточность принципа максимума Лекция 14 Задачи оптимального управления: 1. Доказательство принципа максимума для линейной задачи быстродействия 2. Достаточность принципа максимума Принцип максимума для линейной задачи быстродействия:

Подробнее

Семинар Лекция 6 СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ, ДАЛЬНЕЙШИЕ ФАКТЫ. 1. Примеры и контрпримеры

Семинар Лекция 6 СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ, ДАЛЬНЕЙШИЕ ФАКТЫ. 1. Примеры и контрпримеры Семинар Лекция 6 СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ, ДАЛЬНЕЙШИЕ ФАКТЫ. Примеры и контрпримеры Определение. Множество M в банаховом пространстве B называется слабо замкнутым, если из x x, {x } M следует x M. (Иными словами,

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

F 1 (x) := F 2 (x) = (f 1 (x), f 2 (x)) I f (u) :=

F 1 (x) := F 2 (x) = (f 1 (x), f 2 (x)) I f (u) := Владикавказский математический журнал октябрь декабрь, 2006, Том 8, Выпуск 4 УДК 517.98 О СУБДИФФЕРЕНЦИАЛАХ НЕ ВСЮДУ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫПУКЛЫХ ОПЕРАТОРОВ 1 Е. К. Басаева Светлой памяти А. М. Рубинова Рассматриваются

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Применение дифференциального исчисления в исследовании функции. Монотонность функции Локальный экстремум Выпуклость

Применение дифференциального исчисления в исследовании функции. Монотонность функции Локальный экстремум Выпуклость Применение дифференциального исчисления в исследовании функции Монотонность функции Локальный экстремум Выпуклость Монотонность функции Опр. Функция f x возрастает на интервале (a, b), если x 1, x 2 a,

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6. Методы решения конечномерных задач оптимизации (Задачи безусловной оптимизации) 1. Метод покоординатного спуска

ЛЕКЦИЯ 6. Методы решения конечномерных задач оптимизации (Задачи безусловной оптимизации) 1. Метод покоординатного спуска ЛЕКЦИЯ 6 1. Метод покоординатного спуска 2. Градиентный метод 3. Метод Ньютона Методы решения конечномерных задач оптимизации (Задачи безусловной оптимизации) -1- Численные методы НЛП Задача поиска безусловного

Подробнее

Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО

Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО 0. План лекции 1. Предварительные условия. 2. Теорема типа Жиро. 3. Контрпример к теореме Жиро в случае области с угловой точкой на границе. 4. Принцип максимума модуля. 5. Единственность

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи Лекция 0 4 Задачи на условный экстремум Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала V [ ] = F(,,,,,, где = (, = (, с граничными условиями ( = 0, ( = 0; ( =, ( = Кроме того, предположим, что функции

Подробнее