Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство).

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство)."

Транскрипт

1 1 4 Выпуклый анализ Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа Выпуклые множества Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе: отрезок [a, b] = = {x X x = a + t(b a) = (1 t)a + tb, 0 t 1}; интервал (a, b) = {x X x = (1 t)a + tb, 0 < t < 1}; выпуклое множество A, если a, b A отрезок [a, b] A, т. е. a, b A точка (1 t)a + tb A 0 t 1; конус K (K ), если x K точка tx K t 0; аффинное множество A, если a, b A точка (1 t)a + tb A t R. Очевидно: аффинное множество выпукло. Возьмем фиксированные точки a 1,..., a m X. Пусть m t i a i комбинация этих точек, t i R. Дадим различные определения таких комбинаций и оболочек этих комбинаций: выпуклая комбинация, если t i 0, коническая комбинация, если t i 0; m t i = 1; аффинная комбинация, если m t i = 1;

2 2 { выпуклая оболочка conv{a 1,..., a m }:= a = m t i a i ti 0, } m t i = 1 совокупность всех выпуклых комбинаций; коническая выпуклая{ оболочка conev{a 1,..., a m } := a = m } t i a i ti 0 ; аффинная оболочка { aff{a 1,..., a m } := a = m m t i a i } t i = Выпуклые функции Пусть задана функция (функционал), отображающая линейное нормированное пространство в расширенную прямую: f : X R:= R { } {+ }. С каждой такой функцией f связываются два множества: dom f = {x X f(x) < + } эффективное множество и epi f = {(a, x) R X a f(x)} надграфик функции f. Функция f называется выпуклой, если надграфик f выпуклое множество. Функция f называется замкнутой, если надграфик f замкнутое множество. Функция f называется собственной, если f(x) > x и f +. Мы будем изучать выпуклые собственные функции. Для краткости будем называть их просто выпуклые функции. Из определения выпуклого множества сразу следует, что функция выпукла тогда и только тогда, когда выполнено неравенство Йенсена: f(tx 1 +(1 t)x 2 ) tf(x 1 )+(1 t)f(x 2 ) x 1, x 2 X, t (0, 1).

3 Ясно, что сумма двух выпуклых функций является функцией выпуклой. Но суперпозиция двух выпуклых функций не всегда является выпуклой функцией. Приведите пример. Выпуклость многих классических функций одной переменной сразу вытекает из следующей теоремы. Теорема 1 (Р, с. 44). Пусть функция f : R R дважды непрерывно дифференцируема (f D 2 (R)). Тогда она выпукла тогда и только тогда, когда ее вторая производная неотрицательна (f (x) 0 x R). Приведем несколько примеров выпуклых функций. 1. f(x) = e ax, a R. 2. f(x) = x p, p 1. Выпуклость функций из примеров 1-2 сразу следует из теоремы 1 и определения выпуклой функции. 3. Аффинная функция (в многомерном случае f : R n R, f(x) = a, x + b, a R n, b R). Аффинная функция является выпуклой по неравенству Йенсена. Модуль аффинной функции a, x + b также является выпуклой функцией, поскольку ее надграфик пересечение полупространств выпуклое множество. Выпуклость функций нескольких переменных можно определять также из следующего многомерного обобщения теоремы 1. Теорема 2 (Р, с. 44). Пусть функция f : R n R дважды непрерывно дифференцируема (f D 2 (R n )). Тогда она выпукла тогда и только тогда, когда ее матрица вторых производных (гессиан) ( всюду неотрицательно определена ( ) 2 n f f(x) (x) = 0 x R ). n x i x j i,j=1 4. Квадратичная функция Q(x) = Ax, x (A симметричная матрица), является выпуклой тогда и только тогда, когда матрица A неотрицательно определена. 3

4 4 Это сразу вытекает из теоремы 2. Выпуклыми функциями многих переменных (функционалами) являются также следующие функции: 5. Функция нормы ( n f(x) = x p := max { x 1,..., x n }, ) 1 x j p p, 1 p < +, j=1 p = Индикаторная { функция выпуклого множества A X 0, x A, δa(x) = +, x A. 7. Функция Минковского выпуклого множества A X 0, α 1 x A α > 0, µa(x) = +, α 1 x A α > 0, inf {α α > 0, α 1 x A}, иначе. Функция Минковского означает наименьшее число, в которое надо уменьшить вектор x, чтобы он попал в множество A. 8. Опорная функция непустого множества A X sa(x ) = max x A x, x (sa: X R).

5 5 Теорема 3. f : R R выпуклая ограниченная функция f(x) = const. Доказательство. Предположим противное, что f(x) const. Тогда существуют точки x 1, x 2 такие, что x 1 < x 2 и f(x 1 ) f(x 2 ). Поскольку f выпуклая ограниченная функция, то надграфик функции epi f выпуклое множество, следовательно, отрезок [ (x 1, f(x 1 )), (x 2, f(x 2 )) ] epi f. Значит, на промежутке [x 1, x 2 ] график функции f лежит ниже этого отрезка (или совпадает с ним). Не ограничивая общности, будем считать, что f(x 1 ) < f(x 2 ). Пусть l(x) прямая, проходящая через точки (x 1, f(x 1 )) и (x 2, f(x 2 )). Покажем, что f(x) l(x) x > x 2. ( ) Если это не так, то существует точка x > x 2 такая, что f(x) < l(x), т. е. точка (x, f(x)) лежит ниже прямой l. Так как функция f выпукла, то отрезок [ (x 1, f(x 1 )), (x, f(x)) ] epi f и лежит ниже прямой l, но это не так в точке x 2 (ниже точки (x 2, f(x 2 )) не может быть точек из epi f). Поэтому неравенство ( ) действительно выполняется. Так как l(x) + при x +, то f(x) + при x +. Получаем противоречие с ограниченностью функции f. Значит, предположение противного неверно и f(x) = const.

6 Субдифференциал выпуклой функции Дадим определение важного понятия выпуклого анализа субдифференциала функции, обобщающего для выпуклых функций понятие производной в гладком анализе. Субдифференциалом выпуклой функции f в точке ˆx называется следующее множество в сопряженном пространстве X : f(ˆx) = {x X x, x ˆx f(x) f(ˆx) x X}. Напомним, что сопряженным пространством X называется пространство линейных непрерывных функционалов на X. В случае X = R n сопряженное пространство (R n ) = R n. Из определения сразу вытекает, что субдифференциал выпуклое множество в X. Легко доказать, что оно замкнуто. Субдифференциал дифференцируемой функции совпадает с ее производной. Для функции одной переменной субдифференциал f(ˆx) это совокупность угловых коэффициентов k, при которых прямые y = kx + b, проходящие через точку (ˆx, f(ˆx)), лежат под графиком функции y = f(x). Пример. f(x) = x. y x x x = 0 { sign x, x 0, [ 1, 1], x = 0. Рис. 6

7 Для субдифференциала суммы функций имеет место теорема аналогичная теореме о производной суммы функций. Теорема (Моро Рокафеллар). [16, с. 49] Пусть f 1 и f 2 выпуклые функции на X. Существует точка x 0, в которой функция f 1 конечна ( f 1 (x 0 ) < ), а функция f 2 непрерывна (f C(x 0 )). Тогда (f 1 + f 2 )(x) = f 1 (x) + f 2 (x) x. При доказательстве необходимых условий экстремума в гладкой задаче с равенствами и неравенствами нам понадобится следующая теорема о субдифференциале максимума. Теорема (Дубовицкий Милютин). [16, с. 51] Пусть f 1 и f 2 выпуклые функции, непрерывные в точке ˆx, f 1 (ˆx) = f 2 (ˆx). Тогда max{f 1, f 2 }(ˆx) = conv ( f 1 (ˆx) f 2 (ˆx) ). Важным примером выпуклой функции является сублинейная функция. Функция p называется сублинейной, если ее надграфик является выпуклым конусом с вершиной в нуле. Из неравенства Йенсена следует, что собственная функция является сублинейной тогда и только тогда, когда a) p(λx) = λp(x) для любого λ > 0, для любого x X; b) p(x 1 + x 2 ) p(x 1 ) + p(x 2 ) для любых x 1, x 2 X. Если X нормированное пространство, то x x сублинейная функция. Сформулируем теорему Моро Рокафеллара и теорему Дубовицкого Милютина для сублинейных функций. Теорема (Моро Рокафеллар). Пусть p 1, p 2 сублинейные функции, функция p 1 непрерывна, функция p 2 замкнута. Тогда в точке ˆx = 0 (p 1 + p 2 ) = p 1 + p 2. Теорема (Дубовицкий Милютин). Пусть p 1, p 2 непрерывные сублинейные функции. Тогда max{p 1, p 2 }(0) = conv( p 1 (0) p 2 (0)). 7

8 8 Субдифференциал модуля функции Пусть f(x) дифференцируемая функция n переменных. Рассмотрим функцию f(x). Найдем ее субдифференциал. Если f(x) < 0, то f(x) = f(x) и f(x) = f (x). Если f(x) > 0, то f(x) = f (x) и f(x) = f(x). Если f(x) = 0, то запишем функцию f(x) в виде f(x) = max{ f(x), f(x)}. Тогда по теореме Дубовицкого Милютина f(x) = max{ f(x), f(x)} = conv { ( f)(x) f(x) } = = conv{ f (x), f (x)} = [ f (x); f (x)]. Субдифференциал является отрезком в пространстве R n. Таким образом, f (x), f(x) < 0, f = {αf (x), α [ 1; 1]}, f(x) = 0, f (x), f(x) > 0.

9 9 Субдифференциал нормы Пусть X линейное нормированное пространство, функционал f : X R, f(x) = x. Найдем субдифференциал нормы в нуле. По определению субдифференциала x f(ˆx) x, x ˆx f(x) f(ˆx) x X. У нас ˆx = 0, f(ˆx) = 0 = 0. Следовательно, x f(0) x, x x x X. ( ) Пусть x f(0). По лемме Банаха существует вектор x X такой, что x = 1, x, x = x. Подставляя этот вектор x в неравенство ( ), получим x = x, x ( ) x = 1 = x 1. Значит, f(0) B := { x X x X 1 } единичный шар сопряженного пространства. Докажем, что f(0) = B. Для этого надо доказать обратное включение f(0) B. Возьмем x B, тогда x 1. По неравенству Коши Буняковского x, x x x x 1 x x X. Неравенство ( ) выполняется, значит, x f(0). Таким образом, f(0) = B = {x X x X 1}.

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x 4.3 Выпуклые задачи 4.3.1 Задачи без ограничений Пусть f : X R выпуклая функция, отображающая нормированное пространство X в расширенную прямую. Выпуклой задачей без ограничений называется следующая экстремальная

Подробнее

4.4 Выпуклые, конические, аффинные множества

4.4 Выпуклые, конические, аффинные множества 4.4 Выпуклые, конические, аффинные множества 4.4.1 Свойства операций над множествами 1. Пересечение любого числа выпуклых (конических, аффинных) множеств является выпуклым (коническим, аффинным) множеством.

Подробнее

3 Обоснование симплекс-метода

3 Обоснование симплекс-метода 1 3 Обоснование симплекс-метода 3.1 Теоремы существования, двойственности, критерий решения Приведем три теоремы, играющие важную роль при обосновании симплекс-метода. Рассмотрим задачу линейного программирования

Подробнее

4.7 Сопряженный конус

4.7 Сопряженный конус 4.7 Сопряженный конус 4.7.1 Определение сопряженного конуса Для наглядности представления будем рассматривать пространство R n. Определение. K конус в R n. Сопряженным конусом называется множество K :=

Подробнее

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1 Постановка задачи Пусть

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 2017 Семинар 6: Выпуклые множества и функции 14 февраля 2017 г.

Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 2017 Семинар 6: Выпуклые множества и функции 14 февраля 2017 г. Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 2017 Семинар 6: Выпуклые множества и функции 14 февраля 2017 г. 1 Выпуклые множества 1.1 Определение и основные примеры Определение 1 (Выпуклые множества). Пусть U вещественное

Подробнее

4.5 Размерность множества

4.5 Размерность множества 1 4.5 Размерность множества Пусть X линейное нормированное пространство. Подпространство аффинное множество, проходящее через 0. Аффинные множества A и B параллельны, если c X : B = A + c. Размерность

Подробнее

ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. Л.Н. Полякова. 9 апреля 2015 г.

ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. Л.Н. Полякова. 9 апреля 2015 г. ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ Л.Н. Полякова lnpol07@mail.ru 9 апреля 015 г. 1. Введение. Некоторые определения и утверждения из выпуклого анализа. Выпуклый анализ является одним из наиболее глубоко

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

Элементы выпуклого анализа

Элементы выпуклого анализа Глава 1 Элементы выпуклого анализа Здесь мырассмотрим некоторые элементывыпуклого анализа, которые будут необходимы при описании методов анализа гибкости ТС. Детальное описание этого вопроса можно найти

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

Из леммы можно выводить свойства сопряженного конуса.

Из леммы можно выводить свойства сопряженного конуса. 4.7 Сопряженный конус 4.7.1 Определение сопряженного конуса Для простоты рассматриваем пространство R n. Определение K конус в R n. Сопряженным конусом называется множество K := {y R n inf y, x 0} или,

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

ВВЕДЕНИЕ В ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ Федеральное агентство по образованию РФ Иркутский государственный университет А. С. Стрекаловский ВВЕДЕНИЕ В ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие Иркутск 2009 УДК 517.218.244+517.982.252 C 84 Рецензенты: д-р

Подробнее

Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории.

Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории. Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 1 ноября 2012 г. Открытые отображения.

Подробнее

Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C 2 -гладкие функции.

Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C 2 -гладкие функции. Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C -гладкие функции. Определение 1 Функция называется выпуклой (вогнутой), если ее надграфик (подграфик) выпуклая область. Пример 1 x

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2012-2013 гг. Выпуклые функции. Сопряженные функции. X нормированное пространство (вообще говоря, бесконечномерное),

Подробнее

1 Аппроксимация в линейных нормированных пространствах. 1.1 Существование элемента наилучшего приближения

1 Аппроксимация в линейных нормированных пространствах. 1.1 Существование элемента наилучшего приближения Оглавление 1 Аппроксимация в линейных нормированных пространствах...................... 3 1.1 Существование элемента наилучшего приближения................... 3 1.2 Геометрическая интерпретация...... 5

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный ЛЕКЦИЯ 14 Численные методы нелинейного программирования 1. Градиентный метод 2. Теоремы сходимости 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный метод) -1- Численные методы НЛП Задача поиска безусловного минимума:

Подробнее

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА В этой лекции мы рассмотрим такие фундаментальные понятия современного нелинейного функционального анализа, как сильная, слабая и слабая

Подробнее

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ. Е. С. Половинкин. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ. Е. С. Половинкин. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский физико-технический институт (государственный университет) Е. С. Половинкин Учебно-методическое пособие ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ МОСКВА 2006 2 Курс является

Подробнее

4.5 Размерность множества

4.5 Размерность множества 4.5 Размерность множества Пусть X линейное нормированное пространство. Подпространство аффинное множество, проходящее через 0. Аффинные множества A и B параллельны, если c X : B = A + c. Размерность аффинного

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

Сопряжённая функция и двойственность по Фенхелю

Сопряжённая функция и двойственность по Фенхелю Сопряжённая функция и двойственность по Фенхелю Михаил Фигурнов, аспирант 25 марта 2014 1 / 34 1 Выпуклость 2 Сопряжённая функция 3 Двойственность по Лагранжу 4 Двойственность по Фенхелю 5 Двойственная

Подробнее

Предложение 1.2 co(b) есть наименьшее выпуклое множество, содержащее B. t k x k co(b) и y = n s k y k co(b) сумма (1 t)x +

Предложение 1.2 co(b) есть наименьшее выпуклое множество, содержащее B. t k x k co(b) и y = n s k y k co(b) сумма (1 t)x + Выпуклые оболочки. Лемма и теорема Каратеодори X линейное нормированное пространство. Определение.. Множество A X выпукло для любых точек x и x из A отрезок [x, x ] def = {( t)x + tx t [0, ]} принадлежит

Подробнее

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Линейные функционалы Напомним некоторые понятия линейной алгебры. Действительно, пусть L это линейное пространство над полем либо вещественных либо комплексных

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Модели Неймана - Гейла

Модели Неймана - Гейла Министерство образования Российской Федерации Дальневосточный государственный университет А.И. Абакумов Модели Неймана - Гейла Владивосток 2004 УДК 519.95 с. Абакумов А.И. Модели Неймана - Гейла. Владивосток:

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 9 Считается, что классический функциональный анализ стоит на «трех китах» на трех фундаментальных теоремах. Это теорема Хана Банаха, теорема Банаха об обратном

Подробнее

Конечномерные задачи

Конечномерные задачи Глава 1 Конечномерные задачи 1 Конечномерные гладкие задачи без ограничений В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума функций одной и нескольких переменных. 1.1 Постановка задачи

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 25 25.1. Непрерывные линейные операторы Напомним (см. теорему 1.2), что линейный оператор между нормированными пространствами непрерывен тогда и только тогда,

Подробнее

Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости.

Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости. Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Определения Итак, напомним, что действие линейного функционала

Подробнее

Лекция 7 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение и примеры

Лекция 7 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение и примеры Лекция 7 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 1. Определение и примеры Определение 1. Нормой называется неотрицательная вещественная функция на линейном пространстве L над полем K (где K = R или K = C), удовлетворяющая

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

2 Качественная теория ЗЛП

2 Качественная теория ЗЛП 2 Качественная теория ЗЛП 2.1 Выпуклость в линейном программировании По графическим изображениям 1.3 1.5 явно видно, что для допустимых областей X рассматриваемых ЗЛП характерна многогранная структура.

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Условия второго порядка в вариационном исчислении

Условия второго порядка в вариационном исчислении Глава 5 Условия второго порядка в вариационном исчислении В этой главе даны необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления и задаче Больца. Это классические условия

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 24 24.1. Локально выпуклые пространства В процессе изучения функционального анализа вы, вероятно, заметили, что не все естественно возникающие векторные пространства

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ КУРС

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ КУРС СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ 03 КУРС. При каких n 3 можно утверждать, что для всякой пирамиды с выпуклым n-угольником в основании и всякой точки X внутри неё сумма расстояний от

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

1 Скорости сходимости

1 Скорости сходимости Методы оптимизации в машинном обучении, ВМК+Физтех, осень 2017 Семинар 1: Скорости сходимости. Матрично-векторные скалярные произведения и нормы 1 Скорости сходимости Ключевой характеристикой сходящейся

Подробнее

ЛЕКЦИЯ Метод внутренних штрафов. 4. Метод покоординатного спуска

ЛЕКЦИЯ Метод внутренних штрафов. 4. Метод покоординатного спуска ЛЕКЦИЯ 15 1. Метод Ньютона (метод второго порядка) 2. Метод внешних штрафов 3. Метод внутренних штрафов 4. Метод покоординатного спуска -1- МЕТОД НЬЮТОНА Пусть f дважды непрерывно дифференцируемая функция

Подробнее

Лекция 7. Банаховы пространства

Лекция 7. Банаховы пространства Лекция 7. Банаховы пространства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 17 декабря 2012 г. Определение. Определение 1. Банаховым пространством

Подробнее

Семинар Лекция 6 СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ, ДАЛЬНЕЙШИЕ ФАКТЫ. 1. Примеры и контрпримеры

Семинар Лекция 6 СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ, ДАЛЬНЕЙШИЕ ФАКТЫ. 1. Примеры и контрпримеры Семинар Лекция 6 СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ, ДАЛЬНЕЙШИЕ ФАКТЫ. Примеры и контрпримеры Определение. Множество M в банаховом пространстве B называется слабо замкнутым, если из x x, {x } M следует x M. (Иными словами,

Подробнее

Лекция 6а Векторные топологические пространства. 1. Выпуклые множества

Лекция 6а Векторные топологические пространства. 1. Выпуклые множества Лекция 6а Векторные топологические пространства 1. Выпуклые множества Докажем некоторые свойства выпуклых множеств, непосредственно следующее из их определения. 1) Пересечение любого семейства выпуклых

Подробнее

F 1 (x) := F 2 (x) = (f 1 (x), f 2 (x)) I f (u) :=

F 1 (x) := F 2 (x) = (f 1 (x), f 2 (x)) I f (u) := Владикавказский математический журнал октябрь декабрь, 2006, Том 8, Выпуск 4 УДК 517.98 О СУБДИФФЕРЕНЦИАЛАХ НЕ ВСЮДУ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫПУКЛЫХ ОПЕРАТОРОВ 1 Е. К. Басаева Светлой памяти А. М. Рубинова Рассматриваются

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Лекции 5-6. Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах

Лекции 5-6. Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах Лекции 5-6 Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах Применим изложенную теорию сходимости по распределению к случайным процессам. Как известно, случайный процесс

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 22.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Теория двойственности Линейная алгебра (лекция 15) 22.12.2012 2 / 28 Линейное программирование Каждой задаче линейного

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

Свойства фейеровских отображений 1

Свойства фейеровских отображений 1 Еремин ИИ ИММ УРО РАН Рудаков СА Рудакова ТН Челябинский государственный университет Введение Операция проектирования элемента на выпуклое замкнутое множество часто используется в математике особенно в

Подробнее

Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО

Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО 0. План лекции 1. Предварительные условия. 2. Теорема типа Жиро. 3. Контрпример к теореме Жиро в случае области с угловой точкой на границе. 4. Принцип максимума модуля. 5. Единственность

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6. Методы решения конечномерных задач оптимизации (Задачи безусловной оптимизации) 1. Метод покоординатного спуска

ЛЕКЦИЯ 6. Методы решения конечномерных задач оптимизации (Задачи безусловной оптимизации) 1. Метод покоординатного спуска ЛЕКЦИЯ 6 1. Метод покоординатного спуска 2. Градиентный метод 3. Метод Ньютона Методы решения конечномерных задач оптимизации (Задачи безусловной оптимизации) -1- Численные методы НЛП Задача поиска безусловного

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 11 11.1. Каноническое вложение во второе сопряженное. Рефлексивные пространства Пусть X нормированное пространство над полем K = R или K = C. Для каждого x

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи Лекция 0 4 Задачи на условный экстремум Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала V [ ] = F(,,,,,, где = (, = (, с граничными условиями ( = 0, ( = 0; ( =, ( = Кроме того, предположим, что функции

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г.

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г. ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ М. В. Долгополик maxim.dolgopolik@gmail.com 10 ноября 2016 г. Аннотация. В докладе обсуждается в некотором смысле оптимальный градиентный метод

Подробнее

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Подробнее

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

Подробнее

Лекция 11. Гильбертовы пространства. Общая теория.

Лекция 11. Гильбертовы пространства. Общая теория. Лекция 11. Гильбертовы пространства. Общая теория. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 22 января 2012 г. Определение гильбертова пространства.

Подробнее

Локальная теорема Коши Пикара.

Локальная теорема Коши Пикара. Локальная теорема Коши Пикара. Теорема (о существовании и единственности локального решения). Пусть дана задача Коши x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0, (1) где правая часть f(t, x) определена и непрерывна в прямоугольнике

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

1 Метрические пространства

1 Метрические пространства 1 Метрические пространства Многие важные понятия и утверждения математического анализа, в частности, связанные с пределами и непрерывностью, опираются на понятие расстояния. Причем сами определения этих

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Рассмотрим эллиптическое уравнение с переменными коэффициентами следующего вида: Lu(x) def a ij (x)u xi x j

Подробнее

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ В ПРОСТЕЙШЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. В. Н.

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ В ПРОСТЕЙШЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. В. Н. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ В ПРОСТЕЙШЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В. Н. Малозёмов v.mlozemov@spbu.ru 8 декабря 206 г. Аннотация. Рассматривается простейшая

Подробнее

Лекция 11. Оптимальное управление

Лекция 11. Оптимальное управление Лекция 11. Оптимальное управление 11.1 Постановка задачи Задана динамическая система с управлением, описываемая системой дифференциальных уравнений в форме Коши { ẋi = f i (x, u(t)), (11.1) (i = 1,...,

Подробнее

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача 1 Задача Лагранжа Все задачи, изученные нами в предыдущих пунктах, являются частными случаями или могут быть сведены к задаче (мы сформулируем ее чуть позже), поставленной Лагранжем в сочинении Аналитическая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. 1. Примеры и контрпримеры

ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. 1. Примеры и контрпримеры ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. Примеры и контрпримеры Определение. Множество M в банаховом пространстве B называется слабо замкнутым, если из x x, {x } M следует x M. (Иными словами, речь

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Г. Г. Магарил-Ильяев, К. Ю. Осипенко

Г. Г. Магарил-Ильяев, К. Ю. Осипенко УДК 575 О НАИЛУЧШЕМ ВЫБОРЕ ИНФОРМАЦИИ В ЗАДАЧЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПО СПЕКТРУ Г Г Магарил-Ильяев, К Ю Осипенко В работе рассматривается следующая задача Пусть имеется возможность измерить (вообще говоря,

Подробнее

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ А. В. Лазарев lazarev_av@sampo.ru 17 мая 2008 г. 1. Рассмотрим в R n задачу математического программирования f(x) inf, g i (x) 0, i 1:s ;

Подробнее

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г.

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г. ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ А. В. Фоминых alexfomser@mail.ru октября 15 г. Аннотация. В докладе рассматривается дифференциальное включение с заданными многозначным отображением

Подробнее

Элементы дифференциального исчисления векторных функций векторного аргумента

Элементы дифференциального исчисления векторных функций векторного аргумента ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Элементы дифференциального исчисления векторных функций векторного аргумента Учебно-методическое пособие для вузов Составители: С.П. Зубова, И.Н. Гурова, М.И. Каменский,

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

3. Непрерывность функции многих переменных

3. Непрерывность функции многих переменных 3 Непрерывность функции многих переменных 31 Непрерывность в точке Локальные свойства Определение 31 Пусть y = f(x), x X R n, f(x) R m, x 0 X Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0, если или O(f(x

Подробнее

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа.

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Тема 1 Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Мы будем изучать множества, наделенные функцией расстояния, сопоставляющей каждой неупорядоченной паре точек неотрицательное вещественное

Подробнее