Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Пределы. Производные. Функции нескольких переменных"

Транскрипт

1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных работ Составители: Выск НД, Гуторина ТА Москва 07

2 Данное методическое пособие предназначено для студентов вечернего отделения, изучающих в курсе математики теорию пределов и основы дифференциального исчисления Пособие содержит краткую теоретическую информацию, примеры решения задач и варианты заданий, которые могут быть использованы для проведения аудиторных или домашних контрольных работ Пределы функций Пусть функция у = f() определена в некоторой окрестности точки х 0 Число А называется пределом функции у = f() при х, стремящемся к х 0, если 0 ( ) 0 такое, что f() - A < ε при - 0 < δ Обозначение: lim f ( ) A 0 Функция у = f() имеет бесконечный предел при х, стремящемуся к х 0 (стремится к бесконечности, является бесконечно большой), если M 0 0 такое, что f() > M при - 0 < δ Обозначение: lim f ( ) 0 Число А называется пределом функции = f() на бесконечности, если 0 X 0 : f ( ) A при > X ( lim f ( ) A), при < -X ( lim f ( ) A), при > X ( lim f ( ) A) Функция у=α(х) называется бесконечно малой при х х 0, если lim ( ) 0 Сравнение бесконечно малых: ( ) Если lim A, A, то α(х) и β(х )называются бесконечно малыми 0 ( ) одного порядка В частности, если А=, говорят, что α(х) и β(х) эквивалентные бесконечно малые ( ) Если lim 0, то α(х) называется бесконечно малой более высокого 0 ( ) порядка по сравнению с β(х) ( ) Если lim A, A, то α(х) есть бесконечно малая порядка n по n 0 ( ) сравнению с β(х) 0

3 Для бесконечно больших можно ввести такую же систему классификации, как и для бесконечно малых, а именно: Бесконечно большие f() и g() считаются величинами одного порядка, если f ( ) lim A, A 0 g( ) f ( ) lim 0 g( ) Если, то f() считается бесконечно большой более высокого порядка, чем g() Бесконечно большая f() называется величиной k-го порядка относительно бесконечно большой g(), если f ( ) lim A, A k g ( ) Отметим, что а х бесконечно большая (при а> и х ) более высокого порядка, чем k для любого k, а log a бесконечно большая низшего порядка, чем любая степень х k Если α(х) бесконечно малая при х х 0, то /α(х) бесконечно большая при х х 0 sin Первый замечательный предел: lim 0 Cледствия из первого замечательного предела sin k sin k 0 k0 k tgk sin k lim lim k k 0 0 cos k sin k sin k k lim lim k sin m 0 sin m m tgk tgk k lim lim 0 tgm 0 tgm m arcsin lim lim 0 0 sin arctg lim lim 0 0 tg lim k lim k k 0 m 4 5, 6, где = arcsin где = arctg sin sin cos 7 lim lim lim ( ) Второй замечательный предел: х lim ( ) e Следствия из второго замечательного предела 0 ln( ) lim 0 lim ln( ) lim ln( ) 0 0 ln(lim( ) 0 ) ln e

4 ( ) ln( ) lim lim ln a lim ln a, где a > 0, = a - 0 a 0 log ln e lim 0 e a 0 Используя -й и -й замечательные пределы и их следствия, можно указать бесконечно малые функции при х 0, эквивалентные х: sin, tg, arcsin, arctg, ln(+), e - При раскрытии неопределенности вида 0, то есть предела отношения 0 двух бесконечно малых, можно каждую из них заменять на эквивалентную эта операция не влияет на существование и величину предела Примеры решения задач Проблемы при вычислении пределов связаны с так называемым 0,, 0,, 0 раскрытием неопределенностей вида и других (имеется в виду, что под знаком предела стоит отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших, произведение бесконечно большой на бесконечно малую и тд) Пример Вычислить предел: 56 Перед нами так называемая неопределенность типа 0, 0 так как при х = и числитель, и знаменатель дроби равны нулю Следовательно, х = является корнем и числителя, и знаменателя Поэтому можно разложить обе части дроби на множители и сократить общий множитель (х ): ( )( ) lim lim lim ( )( ) Пример 5 Вычислить предел: 8 На этот раз перед нами неопределенность вида обе части дроби при х, стремящемся к бесконечности, неограниченно возрастают Для того чтобы избавиться от этой неопределенности, разделим каждое слагаемое числителя

5 и знаменателя на х старшую степень знаменателя: 5 5 lim lim 8 8 Учитывая, что Пример lim 0 npu a 0, a получим: 5 0 lim 0 8 Вычислить предел: 7 Домножим числитель и знаменатель на выражения u ( ) 4 и применим формулы разности квадратов и разности кубов: lim Пример 4 ( )( )( ( ) 4) lim ( )( ( ) 4)( ) 7 7 lim ( 9)( ( ) 4) lim 7 ( 8)( ) ( 7)( ( ) 4) lim 7 ( 7)( ) 7 ( ) Вычислить предел: lim 5 7 Домножим и разделим данное выражение на 5 7 : lim 5 7 lim 5 7 ( 5 7) lim

6 Теперь разделим обе части дроби на = - (при этом подкоренные выражения нужно разделить на х ): Пример 5 lim lim Вычислить предел cos 5 cos7 0 sin Преобразуем в числителе разность косинусов в произведение: cos 5 cos7 sin 6 sin lim 0 sin 0 sin Теперь разделим обе части дроби на х предел: и используем -й замечательный sin 6 sin sin 6sin 6 lim lim 4 0 sin 0 sin Пример 6 Вычислить предел sin tg4 Сделаем замену переменной: t = - Тогда, используя периодичность тригонометрических функций и формулы приведения, получим: t, sin sin( t) sin( t) sin t, tg4 tg(4 4 t) tg( 4 t) tg4 t, t 0 npu Подставим эти результаты в выражение, стоящее под знаком предела: sin tg4 sin t tg4t sin t tg4t lim lim lim t t t t t Пример 7 Вычислить предел 4 4

7 ( ) ( ) lim lim lim Пример lim 8 lim e e Вычислить предел ln( sin ) 0 sin 4 Умножим обе части дроби на sin: ln( sin ) ln( sin ) sin lim lim 0 sin 4 0 sin sin 4 Пример 9 Вычислить предел e e 0 tg Вынесем за скобки в числителе е х и разделим обе части дроби на х: e e e lim lim e 0 tg 0 tg 4 Дифференцирование функций одной переменной Рассмотрим функцию =f(), заданную в окрестности точки х 0 f 0 Если существует конечный предел ( ) f lim ( ), то он называется 0 0 производной функции f в точке х 0 f 0 Обозначение: f ( 0 ) ( lim ) f ( ) 0 0 Правила дифференцирования Пусть при рассматриваемых значениях х существуют производные функций f() и g(), то есть эти функции являются дифференцируемыми при данных значениях аргумента Сформулируем некоторые свойства производных ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) ( kf( )) kf ( ), где k=const

8 ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) g ( ) 4 Если g() 0, то 5 Если функция u = φ() имеет при некотором значении х производную u =φ (), а функция = f(u) имеет при соответствующем значении u производную u = f (u), то сложная функция = f(φ()) тоже имеет при данном значении х производную, равную () = f (u) u () Таблица основных производных: f() f () f() f () C 0 9 ctg sin α α α- 0 sh ch a a lna ch sh 4 e e th 5 ln cth 6 sin cos 4 arcsin 7 cos -sin 5 arccos 8 tg cos 6 arctg 7 arcctg сh sh х х х Иногда полезно использовать так называемую формулу логарифмического дифференцирования Пусть f()>0 на некотором множестве значений аргумента и дифференцируема на этом множестве Тогда по формуле производной сложной функции (ln f ( )) f ( ), f ( ) откуда f ( ) f ( ) (ln f ( )) Производной n-го порядка (или n-й производной) от функции f() называется производная (первого порядка) от ее (n-)-й производной Обозначение: у (n) =( (n-) ) =f (n) () Производные -го и -го порядка обозначаются соответственно и

9 Производные параметрически заданных функций Если функция задана как t t функции, то производная первого порядка второго порядка, где (t) и (t) - дважды дифференцируемые t t t t t Примеры решения задач e Пример Вычислить производную функции cos, t t а производная ( e ) cos ( e )( cos ) ( cos ) ( e ) cos ( e )(cos ( sin )) cos cos e cos cos e cos sin ( e ) cos e cos ( ) ( e ) sin cos Пример Вычислить производную функции cosln( ) sin ln( ) (ln( )) sin ln( ) ( ) 6 sin ln( ) Пример Вычислить производную функции cos (arcsin ) Применим формулу логарифмического дифференцирования: f ( ) f ( ) ln f ( )

10 cos cos cos (arcsin ) ln(arcsin ) (arcsin ) cos ln(arcsin ) cos (arcsin ) sin ln(arcsin ) cos arcsin Пример 4 Найти вторую производную от функции ; ( ) Пример 5 Найти производную 4-го порядка от функции 5 ln (9 4 )ln ( 5) 5 (9 4 )ln ; 5 (8 4)ln (9 4 ) (8 4)ln (8 4)ln 5 ; ln (8 4) 5 8 ln ; (4) (9 5) 4 4 Применение производных к исследованию функций Функция = f() называется возрастающей (убывающей) на [ab], если, [ ab] таких, что <, f( ) < f( ) ( f( ) > f( ) ) Если функция f(), дифференцируемая на [ab], возрастает на этом отрезке, то f ( ) 0 на [ab] Если f() непрерывна на [ab] и дифференцируема на (ab), причем f ( ) 0 для a < < b, то эта функция возрастает на отрезке [ab]

11 Если f() убывает на [ab], то f ( ) 0 на [ab] Если f ( ) 0 на (ab), то f() убывает на [ab] Точка х 0 называется точкой максимума (минимума) функции = =f(), если f() f( 0 ) (f() f( 0 )) для всех х из некоторой δ-окрестности точки х 0 Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума Необходимое условие экстремума: пусть функция f() задана в некоторой окрестности точки х 0 Если х 0 является точкой экстремума функции, то f ( 0 ) 0 или не существует Если функция определена в некоторой окрестности точки х 0 и ее производная в этой точке равна нулю или не существует, точка х 0 называется критической точкой функции Достаточные условия экстремума Пусть функция f() непрерывна в некоторой окрестности точки х 0, дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и с каждой стороны от данной точки f () сохраняет постоянный знак Тогда: ) если f () > 0 при < 0 и f () < 0 при > 0, точка х 0 является точкой максимума; ) если f () < 0 при < 0 и f () > 0 при > 0, точка х 0 является точкой минимума; ) если f () не меняет знак в точке х 0, эта точка не является точкой экстремума Пусть f ( 0 ) = 0 и у рассматриваемой функции существует непрерывная вторая производная в некоторой окрестности точки х 0 Тогда х 0 является точкой максимума, если f ( 0 ) < 0, или точкой минимума, если f ( 0 ) > 0 Пусть функция = f() n раз дифференцируема в точке х 0 и f (k) ( 0 ) = 0 при k =,,, n-, а f (n) ( 0 ) 0 Тогда, если n четное число (n = m), функция f() имеет в точке х 0 экстремум, а именно максимум при f (m) ( 0 ) < 0 и минимум при f (m) ( 0 ) > 0 Если же n нечетное число (n = m ), то точка х 0 не является точкой экстремума Кривая называется обращенной выпуклостью вверх на интервале (ab), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале

12 Кривая называется обращенной выпуклостью вниз на интервале (ab), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале Если f () < 0 во всех точках интервала (ab), то кривая = f() обращена выпуклостью вверх на этом интервале Если f () > 0 во всех точках интервала (ab), то кривая = f() обращена выпуклостью вниз на этом интервале Точка, отделяющая часть непрерывной кривой, обращенную выпуклостью вверх, от части, обращенной выпуклостью вниз, называется точкой перегиба Если в точке перегиба существует касательная к кривой, то в этой точке она пересекает кривую, потому что по одну сторону от данной точки кривая проходит выше касательной, а по другую ниже Необходимое условие точки перегиба: если в точке 0 перегиба кривой, являющейся графиком функции = f(), существует вторая производная f (), то f ( 0 ) = 0 Примеры решения задач Пример Найти интервалы возрастания функции Область определения функции:,,, Найдем производную и исследуем ее знак ( ) ( )( ) 4 ( ) ( ) у 0 при > 0, поэтому с учетом области определения интервалы возрастания: 0,, Пример Найти точку максимума функции 4 5 Область определения функции:, Найдем критические точки функции: 6 4 ( 8), , критические точки

13 Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками: + ma min + -4 Точка максимума: х = -4 Пример Найти интервалы выпуклости вниз функции 9 Границами интервалов выпуклости вверх и вниз могут быть не только точки, в которых вторая производная равна нулю, но и точки, в которых она не существует Область определения функции:, 5 5 ( ), ( ) ( ) Представим вторую производную в виде: 5 ( ) ( ) ( ) и исследуем знак полученного выражения Корень знаменателя: х = Найдем корень числителя Знак второй производной: 5 5 ( ), ( ), + + Следовательно, интервалы выпуклости вниз:,,, Пример 4 Найти точки перегиба функции ln( )

14 Область определения функции:, 0 0,, Проверим, меняется ли знак второй производной в найденных точках + - Значит, х = + точки перегиба Дифференцирование функций нескольких переменных Рассмотрим изменение функции f M) f (,,, ) при задании ( n приращения только одному из ее аргументов х i, и назовем его f Частной производной функции f M) f (,,, ) по аргументу х i называется lim Обозначения: i 0 i i f lim i 0 f i (,,, n ), i ( n f (,,,,, ) f i i n i f (,,,,, ) Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется фактически как производная функции одной переменной х i Поэтому для нее справедливы все свойства производных, доказанные для функции одной переменной При практическом вычислении частных производных пользуемся обычными правилами дифференцирования функции одной переменной, полагая аргумент, по которому ведется дифференцирование, переменным, а остальные аргументы постоянными Дифференцирование сложных функций Пусть аргументы функции z = f (, ) являются, в свою очередь, функциями переменных u и v: = (u, v), = (u, v) Тогда функция f тоже есть функция от u и v При этом можно найти ее частные производные по аргументам u и v, не делая непосредственной подстановки z = f ( (u, v), (u, v)) (будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам): i n i

15 z u z z z, u u v z z v v Рассмотрим некоторые частные случаи Пусть = (t), = (t) Тогда функция f (,) является фактически функцией одной переменной t, и можно, заменяя в предыдущих формулах частные производные х и у по u и v на обычные производные по t (разумеется, при условии дифференцируемости функций (t) и (t) ), получить выражение для df : dt df dt f d dt f d dt Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х, то есть х и у связаны соотношением у = у (х) При этом, как и в предыдущем случае, функция f является функцией одной переменной х Используя формулу при t d d = и учитывая, что, получим, что df d f f d d Частные производные высших порядков Частные производные функции z = f (,) являются, в свою очередь, функциями переменных х и у Следовательно, можно найти их частные производные по этим переменным Обозначим их так: z z f (, ) ( f (, )) ; z f (, ) ( f (, )) ; f (, ) ( f (, )) ; z f (, ) ( f (, )) Таким образом, получены четыре частные производные -го порядка Каждую из них можно вновь продифференцировать по х и по у и получить восемь частных производных -го порядка и тд Определим производные высших порядков так: Частной производной n-го порядка функции нескольких переменных называется первая производная от производной (n )-го порядка Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например, f ) f Производная по направлению Градиент

16 Пусть функция u = f (,, z) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные Выберем в рассматриваемой области точку M(,,z) и проведем из нее вектор S, направляющие косинусы которого cosα, cosβ, cosγ На векторе S на расстоянии Δs от его начала найдем точку М (х+δх, у+δу, z+δz), где s Предел отношения u s z при s 0 называется производной от функции u = f (,, z) по направлению вектора S и обозначается что u f f f cos cos cos s z u s Можно показать, Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (,, z) в этой точке, называется градиентом функции u = f (,, z) Обозначение: grad u = f f f,, z Экстремумы функций нескольких переменных Необходимое условие экстремума Точка М 0 (х 0, у 0 ) называется точкой максимума функции z = f (, ), если f ( o, o ) > f (, ) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М 0 Точка М 0 (х 0, у 0 ) называется точкой минимума функции z = f (, ), если f ( o, o ) < f (, ) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М 0 Необходимые условия экстремума: если М 0 (х 0, у 0 ) точка экстремума функции z = f (, ), то в этой точке частные производные первого порядка данной функции равны нулю или не существуют Точки, принадлежащие области определения функции нескольких переменных, в которых частные производные функции равны нулю или не существуют, называются стационарными точками этой функции Таким образом, экстремум может достигаться только в стационарных точках, но не обязательно он наблюдается в каждой из них Примеры решения задач Пример Найти частные производные функции z 5 6 в точке (,)

17 z 5 6; z(, ) 5 6 ; z 5 6 ; z(, ) 5 6 Пример Найти частные производные функции u ln z При дифференцировании функции нескольких переменных по одному из аргументов остальные аргументы выступают как параметры u z, z z u z, z z uz z z z z z v Пример Найти, если z ln,, u 5 v v u z Найдем частные производные, которые используются при вычислении : v z z ln,,, 5 v u v Тогда z ln 5 v u Остается подставить в эту формулу выражения для х и у через u и v: z v v v 5v ln( u 5 v) 5 ln( u 5 v) v u u u u 5 v u u ( u 5 v) dz Пример 4 Найти, dt v 5v ln( u 5 v) u u 5v если z arctg( ), 5cos t, 5sin t z z ; ; d d 5sin t, 5cos t dt dt dz 5sin t( 5sin t) 5cost 5cost ( 5sin t) 5cost dt Пример 5 z Воспользуемся формулой 5(cos t sin t) 00 cos t 5 cos t 5 sin t 65 sin t 4 z ln Найти z z

18 z Упростим полученное выражение: Теперь найдем частную производную этой функции по у: z z Пример 6 Найти производную функции z и точке М(,-4) по направлению вектора MN, если N(-,-8) Производная функции z = f (, ) в точке (х 0, у 0 ) по направлению l, заданному z вектором а = (х а, у а, z a ), имеет вид: f ( 0, 0)cos f( 0, 0)cos, l a a a a где cos, cos направляющие косинусы направления l z 6, z(, 4) 8 ; uuuur z 6, z(, 4) 4 4 8; MN (, 8 4) (, 4), uuuur 4 MN ( ) ( 4) 5, cos, cos 5 5 z , l Пример 7 Найти градиент функции u z 4 4 в точке А(6,0,-5)

19 u z 4 4z u 4 4 (6, 0, 5) ; u u 0 5, (6,0, 5) ; 4 4z 6 u 4z u 0 5, (6,0, 5) z 4 4z 5 5 grad u,, 6 Пример 8 Найти стационарную точку функции, z В стационарной точке z z 0 z 8 4 6, z Следовательно, координаты стационарной точки можно найти как решение системы Координаты стационарной точки: (,-) Вычислить предел Вычислить предел ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Вариант Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел lim cos5 0 sin sin 6 4 lim e e 6 Вычислить предел 0 arcsin sin ln( 6sin ) 7 Вычислить предел 0 sin5 8 Вычислить производную функции e 7

20 9 Вычислить производную функции tg 5 0 Вычислить производную функции log Вычислить производную функции d ln, ;? t t d Определить промежутки возрастания функции 4 Найти экстремумы функции Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции 5 5 z z, : sin 6 Найти z 7 Найти z z z,, : z 8 Найти градиент функции u z 9 Найти производную функции направлению вектора а = {;-;-} 0 Найти стационарные точки функции ln u z в точке М(;4;0) по z 4 Вычислить предел Вычислить предел Вариант Вычислить предел lim 5 cos5 4 Вычислить предел 0 sin tg 5 Вычислить предел lim e e 6 Вычислить предел 0 arcsin ln( 6 ) 7 Вычислить предел 0 sin

21 8 Вычислить производную функции e sin 9 Вычислить производную функции 0 Вычислить производную функции ln Вычислить производную функции d cos t, sin t;? d Определить промежутки возрастания и убывания функции 4 Найти экстремумы функции 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика 4 функции z z, : cos 6 Найти z 7 Найти z z z 4,, : z 5 8 Найти градиент функции u z ln 9 Найти производную функции u z в точке М(-;;) по направлению вектора а = {;-4;-} 0 Найти стационарные точки функции z 5 Вычислить предел Вычислить предел Вариант Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел lim tg tg 0 cos4 4 lim

22 4 e e 6 Вычислить предел 0 sin ln( arctg ) 7 Вычислить предел 0 sin 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции tg ctg 0 Вычислить производную функции e Вычислить производную функции sin d cos, sin ;? t t d Определить промежутки возрастания и убывания функции 4 Найти экстремумы функции 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции 4 e z z, : ln 6 Найти z 7 Найти z z z,, : z Найти градиент функции u z 9 Найти производную функции направлению вектора а = {;-;} 0 Найти стационарные точки функции sin 4 u z в точке М(;0;-) по z 4 5 Вычислить предел Вычислить предел Вариант Вычислить предел lim

23 tg sin 4 Вычислить предел 0 cos8 5 Вычислить предел 4 lim 4 e e 6 Вычислить предел 0 arcsin ln( tg ) 7 Вычислить предел 0 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции 0 Вычислить производную функции Вычислить производную функции t t d arctg, ln ;? d ctg 4 sin 0 Определить промежутки возрастания и убывания функции 4 Найти экстремумы функции e 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции 4 6 z z, : sin 6 Найти z 7 Найти z z z 5,, : z 6 8 Найти градиент функции u z 9 Найти производную функции направлению вектора а = {4;0;-} 0 Найти стационарные точки функции ln u z в точке М(;-;0) по z Вычислить предел Вариант 5 4 6

24 Вычислить предел 7 7 Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел lim ( ) arcsin 0 arctg 4 9 lim 4 e e 6 Вычислить предел 0 sin tg5 7 Вычислить предел 0 ln( sin 4 ) 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции 4 ln 0 Вычислить производную функции Вычислить производную функции at t a t d sin 4 cos sin, cos ;? d Определить промежутки возрастания и убывания функции 4 Найти экстремумы функции ln 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции ln z z, : cos 6 Найти z 7 Найти z z z,, : z 7 8 Найти градиент функции u z 9 Найти производную функции направлению вектора а = {;-;} 0 Найти стационарные точки функции ln u z 7 в точке М(;;) по z 4 4

25 Вычислить предел 4 6 Вычислить предел Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел Вариант 6 lim ( 5) 4arcsin 0 arctg lim e e 6 Вычислить предел 0 sin sin 7 Вычислить предел 0 ln( tg ) 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции 0 Вычислить производную функции Вычислить производную функции a t t t a t t t arcsin ln sin d sin cos, cos sin ;? d Определить промежутки возрастания и убывания функции 4 Найти экстремумы функции ln 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции z z, : ln 6 Найти z 7 Найти z z z 4,, : z 4 8 Найти градиент функции u z cos

26 9 Найти производную функции u z в точке М(-;4;) по направлению вектора а = {0;-;-4} 0 Найти стационарные точки функции z 4 Вычислить предел Вычислить предел Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел 7 Вариант 7 lim ( 5 5) cos cos 0 arctg lim 6 Вычислить предел 0 sin5 sin 4 7 Вычислить предел 0 ln( ) 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции 0 Вычислить производную функции Вычислить производную функции d cos, sin ;? tg e ln 4 5 t t d Определить промежутки возрастания и убывания функции 6 4 Найти экстремумы функции 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции

27 z z 6 Найти, : z tg 7 Найти z z z,, : z 5 8 Найти градиент функции u z 9 Найти производную функции направлению вектора а = {;;-} 0 Найти стационарные точки функции ln u z в точке М(-;4;) по z 5 Вычислить предел 0 0 Вычислить предел Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел 6 Вычислить предел 7 Вычислить предел 6 6 Вариант 8 lim ( 6 ) sin 4 0 cos cos5 lim tg arcsin 5 0 ln( ) 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции cos 0 Вычислить производную функции Вычислить производную функции t t d e, e ;? d e Определить промежутки возрастания и убывания функции 4 Найти экстремумы функции sin cos на интервале 0;

28 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции х z z, : sin 4 6 Найти z 7 Найти z z z,, : z 8 Найти градиент функции u z 9 Найти производную функции направлению вектора а = {6;-;-} 0 Найти стационарные точки функции cos u z в точке М(;-;) по z 5 Вычислить предел Вычислить предел Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел 6 Вычислить предел 7 Вычислить предел Вариант lim ( 4 ) tg 0 cos cos 4 8 lim tg arcsin 0 ln( sin5 ) 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции cos cos 0 Вычислить производную функции sin e Вычислить производную функции cos d arctg, ;? sin t t d Определить промежутки возрастания и убывания функции sin

29 4 Найти экстремумы функции sin 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции e 6 Найти z 7 Найти z z, : cos 5 z z z 4,, : z 4 8 Найти градиент функции u z 9 Найти производную функции направлению вектора а = {;-6;-} 0 Найти стационарные точки функции ln u z в точке М(;-4;) по z 4 Вычислить предел Вычислить предел Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел 6 Вычислить предел 7 Вычислить предел Вариант lim ( 5 ) arctg 0 cos cos lim sin 4 tg sin 4 0 ln( arcsin ) 8 Вычислить производную функции 4 9 Вычислить производную функции cos sin 0 Вычислить производную функции log sin Вычислить производную функции sin

30 d ln t, ;? t d Определить промежутки возрастания и убывания функции ln 4 Найти экстремумы функции e 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции ln z z, : ln 6 Найти z 7 Найти z z z,, : z 8 Найти градиент функции u z sin 9 Найти производную функции u z в точке М(;-;) по направлению вектора а = {;-;-4} 0 Найти стационарные точки функции z 5 7 Вариант Вычислить предел 4 0 Вычислить предел 5 Вычислить предел tg6 4 Вычислить предел 0 cos cos Вычислить предел lim e e 6 Вычислить предел Вычислить предел 0 ln( sin ) lim ( 4 8) 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции tg

31 0 Вычислить производную функции e Вычислить производную функции t t d ln 5 e cos t, e sin t;? d Определить промежутки возрастания и убывания функции arcsin 4 Найти экстремумы функции ln 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции ln z z 6 Найти, : z sin4 7 Найти z z z,, : z Найти градиент функции u 9 Найти производную функции направлению вектора а = {;-;-} 0 Найти стационарные точки функции ln 5 u z 4 в точке М(-;-;) по z 4 7 Вариант Вычислить предел Вычислить предел lim ( 5 х) Вычислить предел tg 4 Вычислить предел 0 cos cos 5 5 Вычислить предел lim х е е 6 Вычислить предел 0

32 arcsin 7 Вычислить предел 0 ln( ) 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции 0 Вычислить производную функции Вычислить производную функции d ln, ;? t t d sin sin tg 0 ln Определить промежутки возрастания и убывания функции 6 e 4 Найти экстремумы функции 4 e 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика 5 функции z z, : cos 6 Найти z 7 Найти z z z,, : z 8 Найти градиент функции u z sin 9 Найти производную функции u z в точке М(;4;-) по направлению вектора а = {;-;-} 0 Найти стационарные точки функции z 5 Вычислить предел Вычислить предел Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел Вариант lim ( ) 0 cos cos 4 lim

33 sin 6 Вычислить предел 0 e e sin 7 Вычислить предел 0 ln( 5 ) 8 Вычислить производную функции 4 9 Вычислить производную функции tg 0 Вычислить производную функции cos cos Вычислить производную функции d, tg ;? t cost d ln Определить промежутки возрастания и убывания функции 4 Найти экстремумы функции 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции e arctg z z, : ln 4 6 Найти z 7 Найти z z z 4,, : z 5 8 Найти градиент функции u z 9 Найти производную функции направлению вектора а = {;-;-6} 0 Найти стационарные точки функции cos u z в точке М(0;-;) по z Вычислить предел Вычислить предел Вычислить предел 4 Вычислить предел Вариант lim ( 5) cos cos5 0 cos cos 4

34 7 5 Вычислить предел lim 6 6 Вычислить предел 7 Вычислить предел 7 0 sin5 tg 0 ln( arcsin 4 ) 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции ctg ln 0 Вычислить производную функции Вычислить производную функции t d, ;? e t d e sin e Определить промежутки возрастания и убывания функции 4 Найти экстремумы функции 5 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции 4 ln 7 z z, : sin 6 Найти z 7 Найти z z z,, : z 8 Найти градиент функции u z 9 Найти производную функции направлению вектора а = {;;-} 0 Найти стационарные точки функции ln 7 u z в точке М(;4;-) по z 4 Вычислить предел Вычислить предел Вариант

35 Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел 6 Вычислить предел 7 Вычислить предел lim ( 8) 0 cos cos 4 57 lim e 0 tg sin 0 ln( ) 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции 0 Вычислить производную функции Вычислить производную функции d ln, ;? 4 tg e tg e t t d Определить промежутки возрастания и убывания функции ln 4 Найти экстремумы функции 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции e z z, : cos 6 Найти z 7 Найти z z z 4,, : z Найти градиент функции u z 9 Найти производную функции вектора а = {;-;} 0 Найти стационарные точки функции u ln 4 z в точке М(;-;) по направлению z 4

36 Вариант 6 Вычислить предел Вычислить предел 4 8 Вычислить предел lim ( 5 ) arcsin 4 Вычислить предел 0 cos cos5 5 Вычислить предел lim e e 6 Вычислить предел 0 sin 4 sin7 7 Вычислить предел 0 ln( 5 ) 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции 4 sin 0 Вычислить производную функции ln tg Вычислить производную функции d t cos t, tsin t;? d Определить промежутки возрастания и убывания функции 4 Найти экстремумы функции ln 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции ln z z, : tg 6 Найти z 7 Найти z z z,, : z 8 Найти градиент функции u z sin

37 9 Найти производную функции направлению вектора а = {-;;} 0 Найти стационарные точки функции u z в точке М(4;;0) по z 4 5 Вычислить предел Вычислить предел Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел 6 Вычислить предел 7 Вычислить предел Вариант lim ( 4 6) arctg 0 sin sin 4 5 lim 4 0 tg5 tg7 0 ln( arcsin ) 8 Вычислить производную функции 4 9 Вычислить производную функции 0 Вычислить производную функции cos e ln Вычислить производную функции sin d 4, 5 ;? t t d cos Определить промежутки возрастания и убывания функции 44 4 Найти экстремумы функции 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции 4 z z, : z ln 6 Найти

38 z z z 7 Найти,, : z 4 8 Найти градиент функции u z cos 9 Найти производную функции u z в точке М(;4;-) по направлению вектора а = {;-;-6} 0 Найти стационарные точки функции z 5 4 Вычислить предел Вычислить предел Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел Вариант lim ( 6 ) 5 0 cos cos 4 5 lim 6 Вычислить предел 0 sin6 sin8 7 Вычислить предел 0 ln( sin 7 ) 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции 0 Вычислить производную функции sin arctg Вычислить производную функции d, ;? t t t d arctg Определить промежутки возрастания и убывания функции 4 Найти экстремумы функции e 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции e

39 z z 6 Найти, : z sin 7 Найти z z z,, : z Найти градиент функции u z 9 Найти производную функции направлению вектора а = {0;-4;-} 0 Найти стационарные точки функции ln u z в точке М(-;4;) по z 4 Вычислить предел Вычислить предел Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел 8 56 Вариант lim ( 4 5) arctg 5 0 cos cos 4 5 lim Вычислить предел 0 sin 7 Вычислить предел 0 ln( ) 8 Вычислить производную функции 9 9 Вычислить производную функции cos4 sin4 0 Вычислить производную функции sin cos Вычислить производную функции t t d tg, ;? t t d Определить промежутки возрастания и убывания функции

40 4 Найти экстремумы функции 8 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции z z, : cos 6 Найти z 7 Найти z z z,, : z 4 8 Найти градиент функции u z 9 Найти производную функции вектора а = {;;-} 0 Найти стационарные точки функции u ln 5 z в точке М(;-;) по направлению z 5 Вычислить предел Вычислить предел Вычислить предел 4 Вычислить предел 5 Вычислить предел 6 Вычислить предел 7 Вычислить предел 8 56 Вариант lim ( ) tg 0 cos7 cos 5 lim e 0 sin5 sin 0 ln( tg ) 9 8 Вычислить производную функции 9 Вычислить производную функции sin cos 0 Вычислить производную функции sin e Вычислить производную функции sin t t t t d, ;? d ln

41 Определить промежутки возрастания и убывания функции Найти экстремумы функции 5 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функции e z z, : ln 6 Найти z 7 Найти z z z,, : z 5 8 Найти градиент функции u z 9 Найти производную функции направлению вектора а = {;-;6} 0 Найти стационарные точки функции cos u z в точке М(5;4;) по z 4

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Методические указания и оптимальные

Подробнее

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам и по математическому анализу (для студентов I курса математического факультета заочного отделения ) Витебск

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

7. Общий план исследования функции и построение её графика

7. Общий план исследования функции и построение её графика 7 Общий план исследования функции и построение её графика Нижеследующий план-схема исследования функции обобщает результаты, изложенные в предыдущих параграфах Исследование функции по этому плану позволит

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

Практикум по дифференциальному исчислению

Практикум по дифференциальному исчислению Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников А.Л. Магазинников Практикум по дифференциальному исчислению Учебное пособие

Подробнее

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Санкт-Петербургский государственный университет А. В. О С И П О В К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Часть II (-й курс, -й семестр) Санкт-Петеpбуpг 0 0 Конспект лекций по высшей

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0,

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0, Пределы Предел функции Определение предела Пусть a точка числовой прямой, a b c) Пусть функция f) опре- делена на множестве E : { b c)\{a}} Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к a обо-

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем. + e pt f(t)dt. (4.1) f(t) = = lim. = lim p

Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем. + e pt f(t)dt. (4.1) f(t) = = lim. = lim p 1 Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем 4.1 Преобразование Лапласа Оригиналом называется любая функция f(t) действительного переменного t, удовлетворяющая следующим

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Клюшина Л.В. зав. отделом практического обучения ГАОУ СПО АО АМК

Клюшина Л.В. зав. отделом практического обучения ГАОУ СПО АО АМК Министерство здравоохранения и социального развития Архангельской области Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Архангельской области «Архангельский

Подробнее

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО ГАОУ СПО ЛО Киришский политехнический техникум Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся курса СПО Методическая разработка по дисциплине «Математика» Разработала преподаватель

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

3568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

3568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ 568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Методические указания

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

2011 год. Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции.

2011 год. Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции. 20 год Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции viosagmir@gmail.com Предел функции Введение Ну что же Я приветствую Вас в своей первой книге, посвященной пределам функции.

Подробнее

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Лекция 1 Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция 1 Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Лекция 1 Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 1. Производная функции Количественное описание сложных изменяющихся процессов жизнедеятельности с помощью элементарной

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ. Методические рекомендации для выполнения практических работ по дисциплине «Математика»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ. Методические рекомендации для выполнения практических работ по дисциплине «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БРАТСКИЙ ЦЕЛЛЮЛОЗНО БУМАЖНЫЙ КОЛЛЕДЖ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БРАТСКИЙ

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) А. А. Пожарский Занятие. Принцип математической индукции. Задачи по []: 0. Задачи по [2]: 27. Занятие 2. Основные понятия комбинаторики: факториал,

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Ларин Александр Александрович Курс высшей математики. Часть 2.

Ларин Александр Александрович Курс высшей математики. Часть 2. Содержание: Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой. Односторонние производные функции

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов»

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов» Государственное бюджетное профессиональное учреждение Московской области «Авиационный техникум имени В.А. Казакова» Рассмотрено на заседании предметной цикловой комиссии «Общеобразовательных, математических

Подробнее

Системы тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы тригонометрических уравнений В данной статье мы рассматриваем тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Условия Коши-Римана.

Условия Коши-Римана. Условия Коши-Римана. ) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w zi e. Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. Условия Коши - Римана (Даламбера -

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Тема 37 «Пределы функций»

Тема 37 «Пределы функций» Тема 37 «Пределы функций» «Математический анализ» - серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова ЕГЭ Математика Задача B8 Содержание (виды заданий В8) 1 2 3 4 5 Найдите значение производной функции в точке х 0

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

Ю.Ж. Пчелкина. Курс лекций по математическому анализу

Ю.Ж. Пчелкина. Курс лекций по математическому анализу МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Ю. В. Сидоров МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Ю. В. Сидоров МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Ю. В. Сидоров МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Ю. В. Сидоров. Лекции по теории функций комплексного переменного. Многозначные аналитические функции. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

МБОШИ «Кадетская школа-интернат» 2010 г г.

МБОШИ «Кадетская школа-интернат» 2010 г г. МБОШИ «Кадетская школа-интернат» Согласовано Руководитель МО учителей математики /Булатова Ф.А. Утверждаю Директор МБОШИ КШИ /Таипова А.Р. 2010 г. 2010 г. Рабочая программа по алгебре и началам анализа

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 11. Асимптоты. Общий план исследования функции

С.А. Лавренченко. Лекция 11. Асимптоты. Общий план исследования функции 1 С.А. Лавренченко Лекция 11 Асимптоты. Общий план исследования функции 1. Горизонтальные асимптоты Определение 1.1. Прямая или. зывается горизонтальной асимптотой, если Пример 1.2. Нетрудно йти, что.

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 10 класс (профильный уровень)

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 10 класс (профильный уровень) РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 0 класс (профильный уровень) п/п РАЗДЕЛ / ТЕМА Колво час. Планируемые результаты Примечание ПОВТОРЕНИЕ КУРСА 9 КЛАССА 4 Упрощение рациональных выражений Решение

Подробнее

24-е занятие. Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

24-е занятие. Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 24-е занятие Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем анализ, прикл матем, 3-й семестр Определения гамма-функции и бета-функции: Γ(x) = t x 1 e t dt B(x, y) = t x 1 (1 t) y 1 dt Д 3841 Доказать, что функция

Подробнее

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx;

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx; Список задач для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2 I. Неопределённый интеграл. Вычислить интеграл: 1. 1 sin 2x (0 x π); 2. 3. x 2 + 1 x 4 + 1 ; 3 sin 2 x 8 sin

Подробнее

Составитель: преподаватель высшей квалификационной категории Курасова Л. А. Одобрена методической комиссией Протокол От 20 г

Составитель: преподаватель высшей квалификационной категории Курасова Л. А. Одобрена методической комиссией Протокол От 20 г Главное управление образования и молодёжной политики Алтайского края Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Тальменский технологический техникум»

Подробнее

УДК (072)(075.8)

УДК (072)(075.8) БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Геворкян Павел Самвелович «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для подготовки бакалавров по направлению 080100

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Методические указания к решению задач на интегралы с параметром Учебно-методическое пособие

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Интеграл Римана Лекция k1-s1-21. Определенный интеграл... 17

Интеграл Римана Лекция k1-s1-21. Определенный интеграл... 17 Физический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yande.ru Московский государственный университет Физический факультет Кафедра математики План лекций по курсу «Математический анализ» Версия

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее