Дифференциальное исчисление. Часть 2. "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ". Составитель В.П.Белкин

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Дифференциальное исчисление. Часть 2. "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ". Составитель В.П.Белкин"

Транскрипт

1 Дифференциальное исчисление Часть "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ" Составитель ВПБелкин Приращение функции Пусть функция y f () определена в некоторой окрестности точки Изменим это значение аргумента на новое Δ Скажем, что значению дадим приращение Δ ("дэльта икс") Функция f () при этом получит некоторое приращение, равное Δ y f ( Δ) f ( ) Приращение функции Δ y Δf ( ) это величина, на которую изменяется значение функции, когда аргумент получает приращение Δ Поясним смысл сказанного на чертеже Y f ( Δ) f ( ) Δ y f () Δ Пример Вычислить приращение функции y и пояснить схематически на чертеже Решение "Старое " значение функции равно f ( ), "новое" значение возникает, если аргумент принимает значение, равное Δ Это значит выражение f ( Δ) получается из формулы f ( ) подстановкой вместо выражения Δ Итак, получаем f ( Δ) ( Δ), Находим приращение функции y f ( Δ) f ( ) Δ Δ ( ) ( ) Упрощаем Δ, Δ Укажем приращение функции на чертеже Построим параболу и выберем случайную точку, например, и произвольное приращение Δ Построим приращение Δ y AB

2 B M Δ A Δ Определение производной Пусть функция y f () определена в некоторой окрестности точки Производной функции f () в точке называется предел отношения приращения функции Δ y к приращению аргумента Δ при условии, что Δ Производная - это число, обозначаемое f ( ) и равное f ( ) lim Δ Δ ( ) f ( Δ) f ( ) f lim Δ Δ Если не акцентировать внимание на точке, то определение производной запишется так f ( ) ( Δ) f ( ) f lim Δ Δ Производная функции y f () по переменной также обозначается y, y, dy df, d d dy - "дэ игрэк по дэ икс" Читаем y - "игрэк штрих", y "игрэк штрих по икс", d В частности, производная зависит от точки и поэтому является функцией этого аргумента Пример Найти производную функции y f ( ) Решение Находим f ( Δ) ( Δ), приращение Δ y f ( Δ) f ( ) ( Δ) Δ Δ f ( ) lim ( ) Δ Δ Δ Δ lim Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ lim lim ( Δ) Δ

3 Геометрический смысл производной Проведем касательную к графику функции y f () в точке M, образующую угол α с положительным направлением оси абсцисс Y y f () M α С геометрической точки зрения производная f ( ) равна тангенсу угла наклона касательной коси абсцисс, те верно равенство f ( ) tgα Объединим геометрический смысл производной f ( ) tgα и геометрический смысл углового коэффициента прямой, k tgα Следовательно, угловой коэффициент касательной к графику равен k f ( ) Поясним Отметим на графике функции y f () две точки M и M с абсциссами и Δ соответственно Прямая M M, называемая секущей, образует с осью абсцисс угол β Y M M Δ A α β Δ Построим прямоугольный треугольник AM M с катетами AM Δ, AM параллельными координатным осям Из этого треугольника находим тангенс AM угла, tgβ AM Δ Определение Касательной к кривой в точке M называется предельное положение секущей M M при условии, что точка M, двигаясь по кривой, приближается к точке M Согласно определению имеем, что Δ и β α Переходим к пределу tgβ lim tgβ lim, lim tgβ lim, f ( ) tgα Δ Δ Δ Δ β α Δ Δ

4 Функция y f () называется дифференцируемой в некоторой области, если она имеет производную f ( ) Продифференцировать функцию означает найти ее производную Если производная непрерывна, то график функции y f () называют гладкой линией График дифференцируемой функции в каждой точке имеет касательную У гладкого графика касательная плавно меняет свое положение при перемещении точки касания Теорема Дифференцируемая функция y f () является непрерывной функцией Поясним: если бы функция имеет точку разрыва, то график функции не имеет касательной при этом значении Что противоречит дифференцируемости функции Пример Исследовать на непрерывность функцию Построим график этой функции Y y при при y < 4 Производная существует при Заметим, что при график не имеет касательной, так как при левостороння касательная не совпадает с правосторонней касательной при Поэтому в точке производная не существует Свойства и формулы Приведем основные свойства производной Производная константы равна нулю, ( C ) C u v u Константу можно выносить за знак производной, ( u) C u Производная суммы равна сумме производных, ( ) v Формула для разности ( u v) u v вытекает из предыдущих свойств, 4 Производная произведения, ( u v) u v u v u u v u v 5 Производная частного, v v 6 Производная произведения, ( u v s) u v s u v s u v s Последнее свойство вытекает из свойства 4 Все остальные заявленные свойства вытекают из определения производной Например, для константы C приращение ΔC, поэтому ( ) ΔC C lim Δ Δ

5 В случае свойств и легко проверить равенства для приращений Δ ( C u) C Δu, Δ ( u v) Δu Δv Затем применяем предельный переход при Δ Приведем доказательство свойства 4 Пусть u u(), v v() - дифференцируемые функции в окрестности точки,тогда их произведение u v также дифференцируемая функция в окрестности точки, при этом справедливо равенство ( u v) u v u v Запишем равенства u( Δ) u( ) Δu, v( Δ) v( ) Δv или кратко u( Δ) u Δu, v( Δ) v Δv Находим приращение Δ ( u v) u( Δ) v( Δ) u v ( u Δu) ( v Δv) u v Δ u v u Δv Δu Δv / Находим производную ( u v) ( u v) Δ Δu v u Δv Δu Δv Δu v u Δv Δu Δv lim lim lim Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δu v u Δv Δu Δv Δu Δv Δu Δv lim lim lim v lim u lim lim Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δv v u u v lim Δu lim v u u v v u v u v Δ Δ Δ Δu Δv Обратим внимание, пределы u lim, v lim существуют, так как Δ Δ Δ Δ функции u, v дифференцируемые ; равенство lim Δu верно, так как Δ дифференцируемая функция обязательно непрерывна Самостоятельно Доказать свойство 5 5 Таблица производных Приведем производные основных элементарных функций n ) ( ) n n ; ) ( ln ), ( log a ) ; ln a ) ( e ) e, ( a ) a ln a ; 4) ( sin ) cos, ( cos ) sin ; 5) ( tg), ( ctg) ; cos sin 6) ( arcsin ), ( arccos ) ; 7) ( arctg), ( arcctg) Приведенные производные можно найти, применив определение производной или свойства производной sin cos Например, проверим равенство ( )

6 6 ( ) ( ) Δ Δ Δ sin lim sin ( ) Δ Δ Δ sin sin lim Δ Δ Δ Δ cos sin lim Δ Δ Δ Δ cos sin lim Δ Δ Δ Δ Δ cos lim sin lim Применим -ый замечательный предел sin lim u u u и получим ( ) cos cos sin Получим формулу ( ) tg cos Преобразуем ( ) ( ) ( ) tg cos cos sin cos sin cos sin ( ) cos sin sin cos cos cos cos sin cos Пример Найти значение производной ) ( f, если ) ( f Находим производную, применяя ее свойства и табличную производную степенной функции: ( ) ) ( f ( ) ( ) ( ) Значение производной ) ( f 4 Пример Найти производные: ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 ) ) ( ) e sin ( ) ( ) e e sin sin e e cos sin 4) ln ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln ln ln ln

7 Производная сложной функции Функция y f () называется сложной, если она зависит от аргумента через промежуточную переменную u u(),те функция задана так y y(u), где u u() Производная сложной функции находится по формуле y yu u Эту формулу можно прочитать так: производная равна производной по вспомогательной переменной u, помноженной на поправку u Доказательство Применим определение производной Δu Δu Δu y lim lim lim lim lim lim y yu u Δ Δ Δ Δu Δ Δ Δu Δ Δ Δu Δu Δ Δ Заметим, что при Δ верно Δu, так как дифференцируемая функция u u() непрерывна и поэтому lim Δu Δ Перепишем основную таблицу производных в виде таблицы производных сложной функции n ) ( u ) n n u u ; ) ( u ) ln u u, ( u) log a u ; u ln a u u u u ) ( e ) e u, ( a ) a ln a u ; 4) ( sin u ) cosu u, ( cos u ) sin u u ; 5) ( tgu ) u, ( ctgu ) u ; cos u sin u 6) ( u ) arcsin u, ( u ) arccos u ; u u 7) ( arctgu ) u, ( arcctgu ) u u u Пример Найдем производные ) ( sin ) ( sin u ) cosu u cos ( ) cos cos, где u ) ( ln ) ) ( u ) u u ( ln ) ( ln ) ( ln ), где u ln ) ( ) ( ) arcsin ( ) 5 4 4) ( ) ( ) 4 tg 4 5 tg 4 tg4 5 tg 4 ( 4) 4 5 tg 4 4 cos 4 cos 4 5) cos Находим производную Применим формулы : производная сложной функции ( n u ) n n u uv uv u u и "производную частного" : v v 7

8 cos cos cos ( cos ) ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) sin ( ) cos cos cos cos ( sin ) ( ) ( ) cos cos 8 Производная параметрически заданной функции Функция y f () задана параметрически, если она задана парой функций () t,те аргумент и функция y являются функциями параметра t В этом y y() t случае график y f () возникает как траектория точки M (, y) при изменении параметра Производная параметрически заданной функции находится по формуле yt y и сама является параметрически заданной функцией t Доказательство Применим определение производной Δ t lim Δt Δt Δt Δ y lim lim lim lim y yt lim y ( ) t t Δ Δ Δ Δt Δ Δ Δt Δ Δ Δt Δ Δt yt t Заметим, что при Δ верно Δt, так как дифференцируемая функция (t) непрерывна и поэтому обратная функция t t() также непрерывна,те lim Δt Δ sin t Пример Найти производную y,если y cost t sin t cos yt sin t Отсюда y tgt, где sin t cost Находим производные по параметру ( ) t, ( cost) sin t t Производная обратной функции Можно доказать формулу производная обратной функции y, применив y определение производной или правило дифференцирования параметрически заданной функции ( y) y y y y y y y y t

9 Производная неявно заданной функции Функция y y() называется неявно заданной уравнением f (, y), если верно тождество f (, y( ) ) Другими словами график функции y y() принадлежит геометрическому образу этого уравнения Правило дифференцирования неявно заданной функции таково: следует продифференцировать по обе части уравнения, опредляющего функцию, а затем выразить производную y Пример Найти производную y функции, заданной уравнением e y cos y Функция задана неявно Дифференцируем обе части равенства y cos y e, y y ( ) cos y ( cos y) e ( ) ( ) ( ) y cos y sin y y e y Разрешим это уравнение относительно y Собираем слагаемые, содержащие производную: ( y sin y) y cos y e, cos y e y y sin y Пример Найти производную функции y ( cos ) Особенность этой функции состоит в том, что она не является ни сложной степенной функцией, ни сложной показательной, так как ее основание и показатель переменные Прологарифмируем обе части ln y ln( cos ) ln y ln( cos ) Теперь функция задана неявно Продифференцируем обе части ( ln y) ( ln( cos ) ), y ln( cos ) ( ln( cos ) ) y ln y cos Выразим производную y y cos tg y, y cos ( cos ) ( cos ), y ln( cos ) sin ( ln ( ) ), y ( cos ) ( ln( cos ) tg) Физический смысл производной Приведем сведения из теоретической механики Будем трактовать функцию f (t) как закон движения материальной точки M (), те это функция, значение которой есть абсцисса движущейся точки M () по оси абсцисс в момент времени t Δ Отношение называется средней скоростью движения точки Устремив Δt d Δ приращение времени Δ t к нулю, получаем предел lim, который dt Δt Δt называется мгновенной скоростью движения точки в момент времени t С точки зрения механики справедливы формулы : d v - скорость равна производной абсциссы по времени; dt dv a - ускорение равно производной скорости по времени dt 9

10 Вышесказанное сформулируем как физический смысл производной Производная f ( ) есть скорость изменения функции f ( ) в точке Пример Найти скорость движения точки M () в момент времени t с, если закон движения задан функцией t м Решение Найдем производную абсциссы по времени v ( t ) t Подставим t с, получаем скорость равна v м/с Уравнение касательной и нормали к графику Запишем уравнение касательной к графику как уравнение прямой с угловым коэффициентом k f ( ), проходящей через точку M ( ; y ): y y k ( ) y y f ( ) ( ) Y нормаль y f () касательная α M Нормалью к графику в точке M называется прямая, проходящая через эту точку, перпендикулярно касательной в точке M Угловой коэффициент нормали k н находим из условия перпендикулярности двух прямых, те k н f ( ) Уравнение нормали y y kн ( ) y y ( ) ( ) f Пример Составить уравнения касательной к параболе y в точке с абсциссой Решение Определим функцию f ( ), координаты точки касания, y f ( ), производная f ( ) ( ) Угловой коэффициент касательной k f ( ) Уравнение касательной y y k ( ) y ( ), y Угловой коэффициент нормали k н f ( ) Уравнение нормали y y kн ( ) y ( ), Сделаем чертеж y

11 y y y Пример Найти угол, под которым пересекаются линии y и y в точке M ( ;4) Решение Угол ϕ между линиями - это угол между их касательными в точке пересечения M ϕ y Производная ( ) Угловой коэффициент касательной к параболе: k 4 при

12 Угловой коэффициент прямой y равен k Применим формулу угла между двумя прямыми k k 4 tgϕ tg ϕ, ϕ arctg k k Пример Составить уравнение касательной к графику у х х х, параллельной оси абсцисс Если касательная параллельна оси O, то угловой коэффициент ее равен нулю, те производная в точке должна быть равна нулю Найдем производную у х х х х 4 х Поэтому угловой коэффициент касательной равен k х 4 х Находим значения из условия, что угловой коэффициент равен нулю, те решаем уравнение х 4 х или 5 Рассмотрим случай у х х х 5 Горизонтальной касательная - проходит через точку ;, параллельно 5 осиo, поэтому имеет уравнение y Во втором случае у 5 Ответ y, y Пример Составить уравнение касательной к графику у х х х, параллельной прямой y 5 y 5 Решение Преобразуем уравнение прямой y 5 y 5 Угловой коэффициент прямой k Угловой коэффициент найден ранее пр k х 4 х Приравняем его к угловому коэффициенту прямой, которой параллельна касательная Решаем уравнение 4 х, 4 х, или 4 5 Находим значения функции в этих точках y y(), y y(4) M ; таково Уравнение касательной в точке ( ) y y k ( ) ( ) y y, 5 Для второй точки M 4; 5 y y k ( ) y ( 4), 9 y 4 Пример Линеаризовать функцию у sin в окрестности точки

13 С геометрической точки зрения линеаризация графика в точке M ( ; y ) означает спрямление графика в окрестности этой точки с помощью касательной к графику, проходящей через эту точку Производная ( sin ) cos Угловой коэффициент касательной k f ( ) касания ( ;) Уравнение касательной y y k ( ) cos при Точка y ( ), y Из чертежа видно, что в окрестности точки выполнено приближенное равенство sin y у sin Дифференциал функции Дифференциалом функции y f () называется произведение производной функции на приращение аргумента Δ и обозначается dy или df (), те dy f ( ) Δ Для независимой переменной выполнено равенство d Δ Достаточно положить y и найти дифференциал dy d Δ Δ Поэтому формулу дифференциала записывают в виде dy f ( ) d dy Отсюда f ( ), те производная есть отношение дифференциалов d функции и аргумента Иногда удобно пользоваться именно таким определением» производной Например, формула производной сложной функции становится очевидной, если применить дифференциалы dy dy du d du d Инвариантность формы записи дифференциала состоит в том, что равенство dy f ( ) d верно даже в случае, если переменная является зависимой, например, (t),где t - независимый аргумент Проверим этот факт Находим дифференциал dy yt Δt dy y t Δt y d Свойства дифференциала в основном наследуют через свойства производной ) дифференциал суммы d ( u v) du dv ; ) d( C u) C du, константу C можно выносить из под знака дифференциала;

14 ) d ( C), дифференциал константы равен нулю 4) дифференциал произведения d( u v) v du u dv ; Самостоятельно Записать формулу для дифференциала частного Пример Найти дифференциалы: ) y dy ( ) Δ, dy Δ Инвариантная форма записи dy d ) d( ) ( ) ln ln d d ) r sin ϕ dr ( sin ϕ) dϕ, dr cos ϕ dϕ Пример Проверить равенство d( a b) a d,где a, b константы u d v 4 Геометрический смысл дифференциала Изобразим на чертеже график функции y f (), проведем касательную к этому графику в точке M, укажем приращения Δ, Δ y Y M M B α dy Δ A α Δ Проверим, что дифференциал dy на чертеже изображается отрезком AB Из треугольника M AB находим отрезок AB Δ tgα, где α - угол наклона касательной к оси абсцисс Согласно геометрическому смыслу производной имеем tg α f ( ) Поэтому AB f ( ) Δ dy С геометрической точки зрения дифференциал dy - это приближенное значение приращения функции Δ y, найденное по касательной к графику В частности, верно приближенное равенство точней условие Δ Δ y dy, которое тем точней, чем Применение дифференциала в приближенных вычислениях Дифференциал можно применить для экстраполяции ( прогноза) значений функции в окрестности точки Значение f () можно приближенно вычислить по формуле линеаризации f ( ) f ( ) f ( ) ( ) Поясним Применим равенство f ( ) f ( ) Δf, в котором приращение Δ f заменим на дифференциал,те Δf df f ( ) Δ при Δ Получаем f ( ) f ( ) Δf f ( ) df f ( ) f ( ) Δ f ( ) f ( ) ( ) Пример Вычислить приближенно 64, 4, сравнить результат с табличным

15 Решение Введем функцию y f ( ), начальную точку 64 и конечную точку 64, 4 Приращение аргумента Δ 64,4 64, 4 Производная f ( ) f ( 64) ( ), Применим приближенную формулу f ( ) f ( ) f ( )( ) 64,4 64, ,9 4, 97 При применении калькулятора получаем результат 64, 4 4,95 Результаты совпадают до пятого знака после запятой Производные высших порядков Производной функции y f () второго порядка называется производная от производной и обозначается y ( читаем: "игрэк два штриха" ) или y, f (), d y или ( "дэ два игрэк по дэ икс дважды") d Согласно определению выполнено равенство f ( ) ( f ( ) ) Эту производую можно называть второй производной В общем производная порядка n (n) ( n ) обозначается y или f ( ) и равна производной от производной порядка ( ) ( ) n, те справедлива рекурсивная ( возвратная) формула f n n ( ) ( f ( ) ) Следует отметить, что при n получаем производную первого порядка f (), а при n - функцию f () При записи производных малых порядков обычно используют штрихи и IV V VI римские цифры, y, y, y, y, y, y и так далее Пример Найти производную порядка n функции y sin π Находим y ( sin ) cos sin, y ( y ) π π π π π sin cos sin sin Мы видим, что при каждом дифференцировании в аргументе синуса прибавляется слагаемое π столько раз, сколько раз находили производную 5 Поэтому верно равенство ( ) y n π sin n Дифференциалы высших порядков Дифференциал порядка n функции y f () обозначается d n y и равен ( n ) n n n n произведению производной f ( ) на степень Δ,те d y f ( ) ( ) Δ Дифференциалы можно определить рекурсивно так же, как производные высших порядков Например, дифференциал второго порядка - это

16 дифференциал от дифференциала, те d y d( dy) d( f ( ) Δ) ( f ( ) Δ) Δ ( f ( ) ) Δ Δ f ( ) Δ Дифференциалы высших порядков n инвариантностью формы записи не обладают, это означает, что, вообще говоря, d Δ 6 Теоремы дифференциального исчисления Скажем, что функция f () дифференцируема на границе b отрезка [ a, b], если существует левосторонняя производная, равная пределу f ( Δ) f ( ) f ( ) lim Δ Δ Аналогично определяем правостороннюю производную в граничной точке a Теорема Лагранжа Пусть функция f () определена, непрерывна и дифференцируема на отрезке [ a, b] Тогда найдется некоторая точка c ( a, b) f ( b) f ( a) такая, что выполнено равенство f () c b a Поясним графически этот факт Изобразим схематически график f () Проведем секущую AB и прямые AC, BC, параллельные координатным осям Y y f () B M α A a α c b C Находим из прямоугольного треугольно треугольника ABC тангенс, BC f ( b) f ( a) tgα AC b a Далее перенесем секущую AB параллельно самой себе так, чтобы она соприкоснулась с графиком функции в точке M, имеющей абсциссу c Согласно геометрическому смыслу производной f ( c) tgα Поэтому верно f равенство () ( b) f ( a) f c tgα b a Теорема Ролля ( о корне производной) Пусть функция f () определена, непрерывна и дифференцируема на отрезке [ a, b] Если выполнены f ( a) f ( b) Тогда найдется некоторая точка c ( a, b) такая, что выполнено равенство f () c Эта теорем является следствием теоремы Лагранжа Теорема Коши Пусть функции f (), g () определены, непрерывны и дифференцируемы на отрезке [ a, b], причем g ( ) не обращается в нуль на этом

17 отрезке Тогда найдется некоторая точка c ( a, b) такая, что выполнено f ( b) f ( a) f () c равенство g( b) g( a) g () c Теорема Коши является следствием теоремы Ролля Обозначим константу f ( b) f ( a) k g( b) g( a) Введем функцию F( ) f ( ) f ( a) k ( g( ) g( a) ) Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля Поэтому для некоторой точки c ( a, b) производная F ( ) обращается в нуль, те F ( ) ( f ( ) f ( a) k ( g( ) g( a) )) f ( ) k g ( ) f ( b) f ( a) f ( c) Находим F () c f () c k g ( c), k g( b) g( a) g () c Теорема Лагранжа является следствием теоремы Коши при g ( ) Вывод Все три теоремы равносильны между собой 7 Правило Лопиталя С помощью производных вычисляются пределы, приводящие к неопределенностям или Теорема (Правило Лопиталя) Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний предел существует f ( ) f ( ) lim или lim g( ) g ( ) Заметим, что речь идет о дифференцируемых функциях, во-первых, и вовторых, предел отношения производных вычисляется при том же условии, что и данный предел Доказательство произведем для простейшего случая при предположениях, что f ( ) g( ) Применим теорему Коши на отрезке с концами, для частного f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( c ) для некоторой точки c, лежащей между, g( ) g( ) g( ) g( ) g () c Заметим, что c при Находим предел f ( ) f () c f ( c) f ( ) lim lim lim lim g( ) g () c c g () c g ( ) В последнем равенстве произвели перобозначение величины c на привычное 4 Пример Найти предел, пользуясь правилом Лопиталя lim Решение Предел имеет неопределенность вида Применим правило Лопиталя

18 f lim ( ) a g ( ) или lim f ( ) a g ( ) Итак, предел отношения функций можно вычислить как предел отношения их производных 4 lim ( 4 ) ( ) lim lim lim ( ) lim 4 Иногда правило Лопиталя применяют многократно e e e e e e Пример lim lim lim Иногда правило Лопиталя не приводит к положительному результату ( sin ) sin cos Пример lim lim lim ( sin cos ) Предел справа не существует, так как величина sin cos может принимать бесконечно много значений, равных нулю при, и может принимать значения как угодно большие Следовательно, правило Лопиталя не применимо Рассмотрим случай, когда правило Лопиталя не приводит к желаемому результату Пример lim lim lim Применение правила Лопиталя не позволяет раскрыть эту неопределенность, так как выкладки приводят к тому же пределу lim, существование которого нами не доказано Однако предел легко вычисляется, если числитель и знаменатель дроби одновременно разделить на х lim lim, тк lim Правило Лопиталя помогает раскрыть неопределенности вида, ln Пример lim ( ln ) lim lim lim 4 ( ) Пример lim lim lim, 8

19 Монотонность функции Функция называется возрастающей на отрезке [ ab,, ] если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а именно :, [ a, b] ( < f ( ) < f ( ) ) Если же верно, [ a, b] ( < f ( ) > f ( ) ), то функция называется убывающей Возрастающие или убывающие функции называются монотонными Приведем типичные графики монотонных функций Y f ( ) f ( ) yf() Y f ( ) f ( ) yf() 9 Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функций Теорема (необходимые условия возрастания и убывания функции) ) Пусть функция f ( ) непрерывна и дифференцируема на отрезке [ ab ; ] и возрастает Тогда на отрезке [ ab ; ] верно f ( ) ) Пусть функция f ( ) непрерывна и дифференцируема на отрезке [ ab ; ] и убывает Тогда на отрезке [ ab ; ] верно f ( ) Доказательство Пусть f ( ) возрастает на отрезке [ ab ; ] Тогда при Δ > верно f ( Δ) f ( ) >, а при Δ < верно f ( Δ) f ( ) < Поэтому для f ( Δ) f ( ) на отрезке [ ab ; ] имеем > Находим предел Δ f ( Δ) f ( ) f ( ) lim Δ Δ Аналогично доказывается теорема и в случае, когда функция убывает Теорема (достаточные условия возрастания и убывания функции) Пусть функция f ( ) непрерывна и дифференцируема на отрезке [ ab ; ] ) Если [ a, b] f ( ) > Тогда функция f ( ) возрастает на отрезке [ ab ; ] ) Если [ a, b] f ( ) < Тогда функция f ( ) убывает на отрезке [ ab ; ] Доказательство Пусть верно [ a, b] f ( ) > Возьмем произвольные значения,, которые принадлежат отрезку [ ab ; ], причем < По теореме Лагранжа существует точка c (, ), такая, что f ( ) f ( ) f ( c) ( ) Осталось заметить, что множители f ( c), ( ) положительны и поэтому верно f ( ) f ( ) > Следовательно, функция возрастает Аналогично доказывается вторая часть теоремы

20 Нахождение промежутков монотонности функции Приведем план нахождения промежутков монотонности функции f ( ) Найти производную f ( ) Определить критические точки k функции f ( ) Это точки, в которых производная равна нулю или не существует Нанести критические точки k на ось абсцисс в порядке возрастания, можно без масштаба Область определения функция разбивается на промежутки знакопостоянства производной Это промежутки, в которых производная принимает значения одного знака Определим знаки производной с помощью контрольной точки в каждом из полученных промежутков Получаем диаграмму знаков производной 4Пометим промежуток восходящей линией, если производная f ( ) > На этом промежутке функция f ( ) возрастает Если же на промежутке верно f ( ) <, то функция в этом случае убывающая, что отмечаем нисходящей линией Типичная диаграмма такова Знаки f ( ) 5С диаграммы считываем ответ Пример Найти промежутки монотонности функции y Область определения функции- вся числовая ось Находим производную y ( ) Критические точки: производная существует при всех Приравняем производную к нулю :, - Убывает Убывает Возрастает Следовательно, функция монотонно возрастает при < < Убывает на ; ; промежутках ( ), ( )

21 Экстремум функции Исследование функции на экстремум одно из важнейших приложений производных Рассмотрим определение минимумов и максимумов, и способы их отыскания Пусть функция f ( ) определена и дифференцируема на некотором множестве, содержащем точку Определение Функция f ( ) в точке имеет (строгий) максимум, если существует такая окрестность точки, что для всех из этой окрестности верно неравенство f ( ) f ( ) при Если же в окрестности точки верно f ( ) f ( ) при, то, говорят, функция имеет в точке минимум (строгий) Точка называется тогда точкой максимума или минимума функции Y yf() На рисунке показан график функции, которая имеет две точки максимума ( и ) и две точки минимума ( и ), причем максимальное значение может оказаться меньше минимального ( f ( ) < f ( ) ) Это подчеркивает тот факт, что мы характеризуем особенность функции только вблизи некоторой точки Значения функции в точках максимума и минимума называют экстремальными значениями или экстремумами На приведенном графике видно, что точки экстремума (,,, ) определяют интервалы монотонности функции, в каждом из которых производная сохраняет определенный знак Сформулируем теорему о необходимом условии существования экстремума имеет экстремум, Теорема Если дифференцируемая функция f ( ) в точке то производная функции в этой точке равна нулю, те f ( ) Заметим сразу, что условие это не является достаточным, те обратное утверждение не всегда верно Из равенства f ( ) не обязательно следует, что в точке существует экстремум Подтверждением тому пример с функцией f ( ) кубической параболы Приведем график

22 Y Найдем f ( ) В точке находим значение f ( ) Но в точке нечетная функция не может иметь экстремума, так как слева и справа от нуля функция принимает значения разных знаков, те в окрестности точки не может быть выполнено никакое неравенство: f ( ) f ( ), f ( ) f ( ) Можно рассуждать иначе Функция f ( ) возрастает и поэтому экстремумов не имеет Определение Точки, в которых производная f ( ) равна нулю или не существует, называются критическими Следствие Точка экстремума функции является критической Достаточное условие экстремума дается в следующих теоремах Теорема Пусть функция f ( ) определена в окрестности критической точки и при переходе через производная f ( ) меняет знак, то точка экстремума, а именно, если производная меняет знак с плюса на минус точка максимума, если с минуса на плюс точка минимума Заметим, что экстремума в точке нет, если производная не меняет знака Приведем для пояснения сказанному диаграмму знаков производной в окрестности критической точки Ниже оси абсцисс указан характер монотонности функции f ( ) ma min Правило исследования на экстремум с помощью первой производной известно из школьного курса Достаточное условие экстремума иногда удобнее формулировать с помощью второй производной Пусть функция f ( ) дважды дифференцируема в некоторой области (т е f ( ) имеет первую и вторую производные) Теорема Пусть функция f ( ) определена и дважды дифференцируема в окрестности критической точки Если f ( ) >, то точка минимума, в случае f ( ) <, то точка максимума

23 С помощью второй производной определяется выпуклость или вогнутость графика функции Для запоминания смысла теоремы можно применять правило «дождя» Дождь Дождь f ( ) f ( ) min ma Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке При решении некоторых задач метода оптимизации важно уметь находить наименьшее или наибольшее значения функции на некотором отрезке Эти значения функция достигает либо в критических точках, либо на концах отрезка Схема отыскания наименьшего и наибольшего значений функции f ( ) на отрезке [ ab, ] Найти производную функции f ( ) Найти критические точки, это такие значения, что f ( ) или f ( ) не существует Выбрать те критические точки, которые принадлежат данному отрезку [ ab, ] и найти значение функции f ( ) в каждой такой точке 4Вычислить значения функции f ( ) на концах отрезка: f ( a ) и f ( b ) 5Из полученных значений функции выбрать самое большое (наибольшее) и самое малое (наименьшее) Их обозначают ma f ( ), min f ( ) [ ab, ] [ ab, соответственно ] Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( ) на отрезке [ ;] Решение Находим производную f ( ) ( ) Итак, f ( ) Определим критические точки функции f ( ), принадлежащие заданному отрезку Это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует Решим уравнение f ( ) Отсюда получаем В заданный отрезок [ ; ] попадает критическая точка

24 Глобальный экстремум функции f ( ) достигается на концах отрезка или в критических точках, лежащих внутри отрезка Вычислим значения f ( ) на концах отрезка и в критических точке (которые внутри отрезка ): f ( ) ; f ( ) 5; f ( ) Выбираем из этого списка значений функции наибольшее и наименьшее Получаем: M ma f( ) f ( ) ; m min f( ) f ( ) 5 [ ;] [ ;] 4 Асимптоты графика функции Прямая называется асимптотой графика y f (), если расстояние произвольной точки M ( y, ) этого графика стремится к нулю, если точка M ( y, ) стремится по графику в бесконечность В частности, ограниченный график не имеет асимптот Асимптоты могут быть вертикальными и наклонными Наклонные асимптоты возникают при или при Схематический чертеж Приведенный график имеет горизонтальную асимптоту на, наклонную асимптоту на и вертикальную асимптоту Y yf() Вертикальная прямая является вертикальной асимптотой графика функции y f (), если эта функция определена слева или справа в окрестности этой точки и один из односторонних пределов lim f ( ), lim f ( ) равен бесконечности Уравнение наклонной асимптоты y k b, где k ± f lim ( ), b lim ( f ( ) k) Пример Найти асимптоты графика функции f ( ) ( ) У графика f ( ) имеется вертикальная асимптота, так как бесконечности Находим пределы k f lim ( ) lim ± Применили эквивалентность ± ( ) ~ при lim ± ( ) ± lim f( ) равен lim ±

25 lim ( ) b lim f ( ) k ± ( ) lim lim ± ( ) lim ± 4 4 ( ) lim 4 ± y ± ( ) ± Уравнение наклонной асимптоты 4 ( ) ( ) 5 Выпуклость, вогнутость Точка перегиба Линия y f ( ) называется выпуклой на интервале, если все точки линии лежат ниже любой ее касательной на этом интервале Линия y f ( ) называется вогнутой на интервале, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале Типичные выпуклые и вогнутые графики Y Y yf() вогнутый график выпуклый график yf() Мож но проверить необходимые условия выпуклости и вогнутости кривой: )если график выпуклый, то верно неравенство f ( ) < на промежутке выпуклости графика; )если график вогнутый, то f ( ) > на промежутке вогнутости Определение Точкой перегиба кривой называется точка, по одну сторону от которой кривая выпукла, по другую вогнута В окрестности точки перегиба M ( ; y ) график функции расположен по обе стороны касательной к графику в точке M ( ; y ) yf() Y M Необходимое условие В точке перегиба f ( ) или f ( ) не существует Достаточное условие Точка определяет на графике y f ( ) точку перегиба, если в окрестности этой точки вторая производная существует и меняет знак

26 Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости графика функции Приведем план нахождения промежутков монотонности функции f ( ) Найти производную f ( ) второго порядка Определить точки k производной f ( ), в которых она равна нулю или не существует Нанести точки k на ось абсцисс в порядке возрастания, можно без масштаба Область определения функция разбивается на промежутки знакопостоянства производной f ( ) Определим знаки производной с помощью контрольной точки в каждом из полученных промежутков Получаем диаграмму знаков производной второго порядка 4Пометим промежуток вогнутой линией, если производная f ( ) > На этом промежутке график функция f ( ) вогнут Если же на промежутке верно f ( ) <, то график функция в этом случае выпуклый Типичная диаграмма такова Знаки f ( ) 6 5С диаграммы считываем ответ Схема исследования функции, построение графика Для исследования функции f ( ) и построения графика y f ( ) следует найти: )область определения функции и точки пересечения графика с осями координат; )интервалы монотонности; )точки экстремумов и значения функции в этих точках; 4)интервалы выпуклости и вогнутости графика; 5)точки перегиба графика; 6)построить в декартовой системе координат все полученные точки (иногда, для уточнения графика, получают дополнительные точки) и сам график Пример Исследовать функцию и построить график 4 4 y 8 Решение Функция определена при всех значениях Определим промежутки монотонности функции Для этого находим производную dy ( ) ( ) ( ) ( ) d 8 Критические точки: ) производная существует всюду ;

27 ) производная равна нулю dy ( ) d, если или Составим диаграмму знаков первой производной и по ним определим характер монотонности исследуемой функции y возрастает ma возрастает убывает Определим промежутки выпуклости и вогнутости графика функции Вторая производная d y ( ) ( d 6 ) ( ) ( 6 ) Вторая производная обращается в нуль, те d y ( d 6 ) Решаем это уравнение, получим, Составим диаграмму знаков второй производной и по ним определим характер выпуклости и вогнутости 7 Выпуклость Выпуклость Вогнутость Составим таблицу частных значений функции y график График не имеет асимптот и построим 4 4 y 8 Пример Исследовать функцию и построить график y e Функция определена всюду Промежутки монотонности находим с помощью знаков первой производной y ( ) e ( e ), y e e, y ( ) e, - критические точки

28 Знаки y 8 - ma min Промежутки выпуклости и вогнутости определяем с помощью второй производной (( ) ), y (( )) e ( ) ( e ) y e ( ) e ( 4 ) ( ) e ( ) e e 4 Знаки y, ± Имеется горизонтальная асимптота y, так как lim ( ) lim f e y e Пример Исследовать функцию y и построить график Решение Произведем простейшее исследование функции Эта функция элементарная, она определена и непрерывна во всех точках, кроме Находим промежутки монотонности функции Для этого найдем производную ( )( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) Находим критические точки: y, а также точки, в которых производная не ( ) существует Построим эти точки на числовой прямой, которая разбивается на промежутки монотонности функции Составим диаграмму знаков производной По этим знакам определим характер монотонности и

29 9 отметим возрастание восходящей линией А убывание - нисходящей Заметим, что эта же диаграмма содержит информацию о точках разрыва - - Находим промежутки выпуклости и вогнутости графика Найдем вторую производную y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4, y ( ) ; не существует при Знак y определяется знаком знаменателя Составим диаграмму знаков y - По знакам второй производной определяем характер выпуклости или вогнутости Строим график функции y y У графика имеется вертикальная асимптота и наклонная асимптота y Для этого составим уравнение наклонной асимптоты y k b, где k ± f lim ( ), b lim ( f ( ) k) ± находим пределы k lim ± f ( ) lim ± lim ( ) ± ;

30 b lim ( f ( ) k) lim ± ± lim ± lim ± Простейший анализ графика функции Итак, знаки функции, первой и второй производной свидетельствуют об особенностях графика функции Интересна обратная задача: по особенностям графика высказать суждения о знаках функции и ее производных Приведем пример, который позволяет охарактеризовать функцию по этим особенностям графика Пример Какие знаки имеют функции f ( ), f ( ), f ( ) Область определения функции [ ; ] Область значений [ ;] получается проекцией графика на ось ординат Функция f ( ) в области определения меняет знак График функции пересекает ось абсцисс в единственной точке Поэтому уравнение f ( ) определяет единственный «нуль», те уравнение имеет единственный корень, лежащий в отрезке изоляции [ ; ] Функция возрастает, поэтому f ( ) Локальные экстремумы отсутствуют Так как график вогнутая линия, то f ( ) Точки перегиба отсутствуют Вопросы для самоконтроля Что называют модулем вещественного числа? Может ли модуль числа принимать отрицательные значения? Может ли модуль числа превзойти само число или равняться самому числу? Что называется окрестностью точки? Как изображается окрестность на оси? Какие величины называются постоянными, какие переменными? Примеры их 4 Дайте определение функции, области ее определения и множества значений

31 5 Какие способы задания функции Вам известны? Каковы преимущества и недостатки каждого способа? 6 Что называют графиком функции? 7 Какая функция называется возрастающей (убывающей) на отрезке? Особенности графика монотонной на отрезке функции 8 Какая функция называется периодической? Особенности ее графика 9 Какая функция называется четной (нечетной)? Особенности графика четной (нечетной) функции Какими будут: ) произведение четной и нечетной функций; ) произведение двух четных или произведение двух нечетных функций? Какова область определения: ) многочлена; ) линейной функции; ) квадратного трехчлена; 4) показательной функции; 5) логарифмической функции? Когда число А называется пределом функции ƒ(х) при х х? Что называется левосторонним (правосторонним) пределом функции в точке? Какова связь между пределом и односторонними пределами? Какая функция называется бесконечно малой при х х? 4 Если функции α(х) и β(х) бесконечно малые при х х, что можно сказать о функциях при х х : α(х) β(х); α(х)±β(х); 5 Укажите, при каком значении х будет бесконечно малой при х х функция: ) sin ; ) cos ; ) lg 6 Какая функция называется непрерывной в точке? Как исследовать функцию на непрерывность в данной точке? 7 Какие выражения называются неопределенными? Что значит раскрыть α β ( х) ; ( х) неопределенность? Каковы правила раскрытия неопределенностей 8 Когда х называют точкой разрыва? Дайте определение точки разрыва первого рода (второго рода) 9 Что называется производной функции в точке? У какой функции производная постоянна (не зависит от точки, в которой она вычисляется)? Как ведет себя функция на промежутке, где ее производная только положительна (отрицательна)? Дать определение касательной к кривой? Каково ее уравнение? Каков физический смысл производной? 4 Записать сложную функцию уƒ(х), если: ) и ) y arctg z, z,? α( х) у, u v, v sin t, t, 5 Записать в виде цепочки простейших функций сложную функцию: ) у arccos( ), ) y 4 lg 6 Как найти производную сложной функции? 7 Дайте определение максимума (минимума) функции в точке Что можно сказать о знаке приращения функции в достаточно малой окрестности точки максимума (минимума)??

32 8 Каковы необходимые условия существования экстремума функции? Каков их геометрический смысл? 9 Каково правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке? Дайте определение выпуклости (вогнутости) кривой на промежутке Каково правило отыскания интервалов выпуклости и вогнутости кривой? Точка перегиба кривой Как ее найти? Правило Лопиталя, когда и как его применяют?


Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

ЧАСТЬ 2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ.

ЧАСТЬ 2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ. ЧАСТЬ. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ. Тема 4. Производная и дифференциал. Непрерывность функции. Точки разрыва. В реальной жизни, в том числе и в политической, большинство

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление ФГОУ СПО ЛТК МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Дифференциальное исчисление Ст Ленинградская 00г Предисловие Настоящее пособие написано в соответствии с программой по математике для студентов средни профессиональны

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ для модуля ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Харьков

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Приложение производных к исследованию функций

Приложение производных к исследованию функций Приложение производных к исследованию функций Лекции 1 6 Л.И. Терехина, И.И. Фикс Курс: Высшая математика Семестр 1, 2009 год portal.tpu.ru Теорема 1 (Ферма) Если функция y = f (x): 1) непрерывна в замкнутом

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену Содержание

Материалы для подготовки к экзамену Содержание Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство». Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для подготовки к экзамену... Содержание...

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО ОВ Сильванович, ГВ Тимофеева ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (МОДУЛЬ ) ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Подробнее

Производная и ее вычисление. Понятие производной. Механический смысл производной Пусть ф-ция y f ( x) определена в т. x

Производная и ее вычисление. Понятие производной. Механический смысл производной Пусть ф-ция y f ( x) определена в т. x Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная и ее вычисление Понятие производной Механический смысл производной Пусть ф-ция y f ( ) определена в т и в некоторой ее окрестности Дадим

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Величина называется функцией переменных величин n если каждой точке М n принадлежащей некоторому множеству X поставлено

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

Решение задач на тему "Производная"

Решение задач на тему Производная МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций 5 Производная

Подробнее

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x Лекция: Основы дифференциального исчисления Конспект лекции. Производная Рассмотрим график непрерывной функции на отрезке b M M секущая графика. Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений.

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений. Вариант Найти область определения функции : si + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и si Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π (k+ π,

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки Вариант Найти область определения функции : y lg Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > и lg или Достаточно рассмотреть второе неравенство так как первое неравенство перекрывается

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС РАЗДЕЛ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» Теоретические основы ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Пусть материальная точка (некоторое тело)

Подробнее

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Производная. Основные определения Определение. Производной функции y = f (x) в точке x 0 называется предел отношения приращения этой функции y в точке

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ''Оренбургский государственный

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел:

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел: Алгебра 0 класс Тема Тригонометрические функции и преобразования Основные понятия Буквой Z обозначается множество целы чисел: Z {0; ; ; ;} Арксинусом числа а, принадлежащего промежутку [- ; ], называется

Подробнее

Глава II. Производная

Глава II. Производная Глава II Производная Производная функции в точке Геометрический и механический смысл производной Рассмотрим сначала два примера ) Пусть материальное тело совершает прямолинейное движение За время t тело

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач 0. Исследование функций 0.. Основные формулы и определения для решения задач Правилом Лопиталя называют теоремы, сводящие вычисление предела отношения двух функций в случае неопределённости 00 или к вычислению

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Глава Множества Последовательности Функции Элементы теории множеств Понятие множества является в математике неопределяемым Интуитивно, множество это совокупность объектов любой природы,

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Глава 4 Элементарные функции и их графики.

Глава 4 Элементарные функции и их графики. Глава Элементарные функции и их графики Построение графиков функции с помощью геометрических преобразований Построить график функции y f () по известному графику y f () При одном и том же значении ординаты

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной»

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее