ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II"

Транскрипт

1 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78 Часть I Конечные поля или поля Галуа. II

2 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого числа Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

3 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 3 / 78 Вычисление элементов в конечных полях Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

4 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 4 / 78 Линейная алгебра над конечным полем Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

5 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 5 / 78 Корни многочленов над конечным полем Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

6 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 6 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

7 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 7 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Вычисления в мультипликативной группе расширения поля Пример (построение поля F 4 2 ) Поле F 4 2 можно строить с помощью любого из трех неприводимых над F 2 многочленов (но пока не доказано): x 4 + x + 1, x 4 + x 3 + 1, x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 Сделаем это, взяв многочлен f(x) = x 4 + x + 1. Будем задавать элементы F 4 2 наборами коэффициентов многочлена-остатка при делении на f, записывая их в порядке возрастания степеней. Порождающим является элемент α = x, который записывается как (0, 1, 0, 0). Вычислим степени α, сведя результаты в таблицу.

8 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 8 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Мультипликативная группа поля F 4 2 = F 2 [x]/ ( x 4 + x + 1 ) α 4 = α + 1 степень α 1 x x 2 x 3 α = (0, 1, 0, 0) α 2 = (0, 0, 1, 0) α 3 = (0, 0, 0, 1) 1 + α = α 4 = (1, 1, 0, 0) α + α 2 = α 5 = (0, 1, 1, 0) α 2 + α 3 = α 6 = (0, 0, 1, 1) α 3 + α + 1 = α 3 + α 4 = α 7 = (1, 1, 0, 1) 1 + α 2 = α α 2 + α = α 8 = (1, 0, 1, 0) α + α 3 = α 9 = (0, 1, 0, 1) α α = α 2 + α 4 = α 10 = (1, 1, 1, 0) α + α 2 + α 3 = α 11 = (0, 1, 1, 1) 1 + α + α 2 + α 3 = α 2 + α 3 + α 4 = α 12 = (1, 1, 1, 1) 1 + α 2 + α 3 = α + α 2 + α 3 + α 4 = α 13 = (1, 0, 1, 1) 1 + α 3 = α + α 3 + α 4 = α 14 = (1, 0, 0, 1) 1 = α + α 4 = α 15 = (1, 0, 0, 0)

9 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 9 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Мультипликативная группа поля F 4 2 = F 2 [x]/ ( x 4 + x + 1 )... Имея такую таблицу, очень просто производить умножение. Пример: (x 3 + x + 1) (x 2 + x + 1) =? 1 Перемножить, учитывая x 4 = x + 1 можно, но сложно... 2 С помощью таблицы: представляем многочлены в векторной форме и по ней в виде степеней α = x: x 3 + x + 1 (1, 1, 0, 1) α 7, x 2 + x + 1 (1, 1, 1, 0) α 10 перемножая, получаем: α 7 α 10 = α 17 = α 2 = x 2. Таким образом: (x 3 + x + 1) (x 2 + x + 1) = x 2.

10 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 10 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Пути доказательства Теперь можно вернуться к вопросу о существовании а) конечного поля F q размера q, показав, что всегда q = p n ; б) неприводимого многочлена степени n над F p (везде p простое, n натуральное). Это можно сделать двумя способами. а) б) доказать существование поля из p n элементов, откуда вывести существование неприводимого многочлена степени n над F p ; б) а) установить существование неприводимого многочлена f степени n над F p, откуда уже следует существование поля из p n как факторкольца по идеалу (f). Мы пойдём вторым путём.

11 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 11 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Существование неприводимого многочлена Докажем существование нормированного неприводимого многочлена в полях Галуа. Для таких многочленов выполняется аналог основной теоремы арифметики: каждый нормированный многочлен однозначно разлагается на произведение степеней неприводимых многочленов. Действительно: разложение в евклидовом кольце однозначно (с точностью до умножения на обратимые элементы делители); в случае кольца многочленов над полем обратимые элементы ненулевые константы (многочлены степени 0); выбор старшего коэффициента 1 однозначно определяет сомножители.

12 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 12 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Количество неприводимых нормированных многочленов Лемма (о числе d n ) Если d n число неприводимых нормированных многочленов степени n над F p, то m d m = p n. Доказательство m n Занумеруем i = 1,..., d n все неприводимые нормированные многочлены степени n и сопоставим им формальную переменную f i,n произвольному такому многочлену однозначно сопоставлен моном (многочлен степени n j берётся в степени s j ): f s 1 i 1,n 1... f sr i r,n r, причем r n j s j = n. j=1

13 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 13 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Количество неприводимых нормированных многочленов... Доказательство (продолжение) Поэтому все нормированные многочлены перечисляются формальным бесконечным произведением ( ) fi,n k = f s 1 i 1,n 1... f sr i r,n r i,n k=0 ( ) (раскрыты скобки и бесконечное произведение записано в виде формального ряда). Сделаем замену переменных f i,n = t n, которая делает все многочлены одной степени неразличимыми.

14 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 14 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Количество неприводимых нормированных многочленов... Доказательство (продолжение) ( ) fi,n k = f s 1 i 1,n 1... f sr i r,n r i,n k=0 Приведение подобных приведёт к тому, что: в правой части ( ) будет ряд от переменной t. Коэффициент при t n в этом ряде равен числу нормированных многочленов степени n, т.е. p n : p n t n. n=0 ( )

15 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 15 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Количество неприводимых нормированных многочленов... Доказательство (продолжение) ( ) = i,n k=0 f k i,n p n t n n=0 в левой части все неприводимые многочлены степени n дадут одинаковый множитель (сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем t n ) и ( ) превращается в ( ) ( ) dn t nk = n k=0 p n t n. n=0

16 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 16 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Количество неприводимых нормированных многочленов... Доказательство (продолжение) По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии: n 1 (1 t n ) dn = 1 1 pt. Прологарифмируем ( в обеих частях равенства сокращаются, n m): d m ln(1 t m ) = ln(1 pt). m Продифференцируем по t ( в обеих частях равенства сокращаются): mt m 1 d m 1 t m = p 1 pt. m

17 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 17 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Количество неприводимых нормированных многочленов... Доказательство (продолжение) ( n d n nt n 1 1 t n = p 1 pt ) Снова воспользуемся формулой суммой геометрической прогрессии: p n+1 t n. m,k d m mt m 1 t mk = n Умножаем на t обе части равенства: m,k md m t m(k+1) = n p n t n. Равенство коэффициентов ( при одинаковых степенях t и есть утверждение леммы m d m = p ). n m n

18 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 18 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Важные замечания 1. Существование неприводимых многочленов Из данной леммы следует неравенство nd n p n. Простая оценка nd n = p n k n, k<n n 1 kd k p n k=0 p k = p n pn 1 p 1 > 0. доказывает, что d n > 0, а это означает, что существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n. 2. Среднее число неприводимых нормированных многочленов Из данной леммы вытекает, что при n имеем d n p n /n. Т.е. неприводимые нормированные многочлены составляют приблизительно 1/n-ю часть всех многочленов степени n над полем F p.

19 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 19 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Изоморфизм полей Галуа с одинаковым числом элементов Докажем вторую часть основной теоремы о конечных полях: любые два поля с одинаковым числом элементов изоморфны. Теорема Пусть m минимальный многочлен элемента α F n p и d её степень. Тогда поле F p [x]/(m) изоморфно подполю F d p, порожденному степенями α. Доказательство Степени α принадлежат d-мерному пространству с базисом 1, α, α 2,..., α d 1, которое является подполем поля F n p, поскольку замкнуто относительно сложения и умножения и содержит 0 и 1.

20 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 20 / 78 Циклические подпространства Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

21 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 21 / 78 Циклические подпространства Кольцо F p [x]/(f) В приложениях часто используется кольцо многочленов K(p, f) = F p [x]/(f) по модулю главного идеала (f) возможно приводимого многочлена f F p [x]. Если f неприводим, то K(p, f) поле и этот случай уже рассмотрен. В любом случае K(p, f) векторное пространство над F p т.е. совокупность многочленов степени меньшей deg f. F p [x] = { 0, 1,..., p 1, x, x + 1,..., f,... }; (f) = f = { t f }, t F p [x]; F p [x]/(f) = { f, g, h,... }, deg f, deg g,... deg f 1; g = { t f + g }; h = { t f + h };... g + f = g, g f = f.

22 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 22 / 78 Циклические подпространства Нормированный делитель порождающего элемента идеала Теорема Пусть ϕ неприводимый нормированный многочлен, который делит f. Тогда 1 совокупность всех вычетов, кратных ϕ, образует идеал в кольце классов вычетов по модулю f: def I ϕ = { t ϕ } F p [x]/(f). 2 ϕ единственный в I ϕ нормированный многочлен минимальной степени. Доказательство u, v, ϕ F p [x], k = deg ϕ deg f ϕ = a 0 + a 1 x a k 1 x k 1 + x k, f = ψϕ.

23 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 23 / 78 Циклические подпространства Нормированный делитель Проверим, что I ϕ идеал в кольце F p [x]/(f). 1 { g Iϕ h F p [x]/(f), h g { g = uϕ h = vg = vuϕ h I ϕ. 2 g, h I ϕ { g = uϕ h = vϕ g + h = (u + v)ϕ I ϕ.

24 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 24 / 78 Циклические подпространства Нормированный делитель Покажем, что в I ϕ нет других, кроме ϕ = a 0 + a 1 x a k 1 x k 1 + x k нормированных многочленов степени, меньшей k = deg ϕ. Пусть g = b 0 + b 1 x x m. Тогда: g I ϕ g = uϕ deg g = m deg ϕ = k.

25 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 25 / 78 Циклические подпространства Подыдеал как векторное пространство Теорема Пусть ϕ неприводимый нормированный делитель многочлена f F p [x] отличный от f, deg f = n, deg ϕ = k. Тогда идеал (ϕ) векторное пространство размерности n k. Доказательство Без доказательства.

26 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 26 / 78 Циклические подпространства Циклическое пространство: определение Пусть V n-мерное векторное пространство над некоторым полем F. Фиксируем некоторый базис V. Тогда V = F n = = { ( a 0,..., a n 1 ) a i F, i = 0, 1,..., n 1 } координатное пространство. Определение Подпространство координатного пространства F n называется циклическим, если вместе с набором (a 0,..., a n 1 ) оно содержит циклический сдвиг (вправо) этого набора, т.е. набор (a n 1, a 0,..., a n 2 ) (а следовательно и все циклические сдвиги на произвольное число позиций влево и вправо).

27 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 27 / 78 Циклические подпространства Кольцо классов вычетов по модулю многочлена x n 1 В кольце F p [x]/(x n 1), рассматриваемом { как векторное } пространство над полем F p имеется базис 1, x,..., x n 1. Циклический сдвиг координат в этом базисе равносилен умножению на x: (a 0 + a 1 x a n 2 x n 2 + a n 1 x n 1 ) x = = (a 0 x + a 1 x a n 2 x n 1 + a n 1 x n ) = т.к. в этом кольце x n = 1. = (a n 1 + a 0 x + a 1 x a n 2 x n 1 ),

28 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 28 / 78 Циклические подпространства Идеал в F p [x]/(x n 1) циклическое пространство Теорема Пусть I подпространство кольца F p [x]/(x n 1). Тогда I циклическое I F p /(x n 1). Доказательство Если подпространство I идеал, то оно замкнуто относительно умножения на x, а это умножение и есть циклический сдвиг I циклическое. Пусть I циклическое подпространство кольца F p /(x n 1) и g I. Тогда g x, g x 2,... циклические сдвиги, т.е. также принадлежат I. Значит, g f I для любого многочлена f, поэтому I идеал.

29 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 29 / 78 Циклические подпространства Примитивные корни Было показано: любой многочлен с коэффициентами из F p разлагается на линейные множители в некотором поле F q = F n p характеристики p. Пусть F q поле характеристики p, в котором разлагается многочлен x n 1. Справедливо: В F q выполняется равенство x kp 1 = (x k 1) p, поэтому интересен случай, когда n взаимно просто с p: тогда у многочлена x n 1 кратных корней нет (он взаимно прост со своей производной nx n 1 ). Равенство x n = 1 означает, что порядок элемента x в мультипликативной циклической группе F q делит n. Вывод: корни уравнения x n 1 = 0 образуют группу корней степени n из единицы подгруппу в F q. Эта подгруппа также циклическая; её порождающие элементы называются примитивными корнями степени n.

30 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 30 / 78 Циклические подпространства Количество и степени неприводимых делителей x n 1 Подгруппа в циклической группе существует iff её порядок делит порядок циклической группы поле F q содержит группу корней из единицы степени n iff n (q 1). Чтобы вернуться от разложения x n 1 на линейные множители в поле F q = F n p (корни из 1) к разложению на неприводимые множители в поле F p, нужно понять, какие корни из единицы будут входить в неприводимый делитель f(x). Если β корень f(x), то β p, β p2 и т.д. также его корни количество и степени неприводимых делителей x n 1 можно найти, разбив F p на орбиты отображения t pt mod n.

31 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 31 / 78 Циклические подпространства Разложение многочлена x 15 1 над полем F 2 Пример Рассмотрим ещё раз разложение многочлена x 15 1 над F 2. Относительно умножения на 2 вычеты по модулю 15 разбиваются на такие орбиты: { 0 }, { 1, 2, 4, 8 }, { 3, 6, 12, 9 }, { 5, 10 }, { 7, 14, 13, 11 } (12 2 = 24 = ) Поэтому x 15 1 разлагается в произведение одного неприводимого многочлена степени 1, одного неприводимого многочлена степени 2, трех неприводимых многочленов степени 4. Конкретно (разложение было раньше): x = = (x+1)(x 2 +x+1)(x 4 +x+1)(x 4 +x 3 +1)(x 4 +x 3 +x 2 +x+1).

32 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 32 / 78 Циклические подпространства Разложение многочлена x 23 1 над полем F 2 Пример Рассмотрим разложение многочлена x 23 1 над F 2. Относительно умножения на 2 вычеты по модулю 23 разбиваются на три орбиты: { 0 }, { 1, 2, 4, 8, 16, 9, 18, 13, 3, 6, 12 }, { 5, 10, 20, 17, 11, 22, 21, 19, 15, 7, 14 } (18 2 = ) Поэтому x 23 1 разлагается в произведение одного неприводимого многочлена степени 1 и двух неприводимых многочленов степени 11.

33 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 33 / 78 Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

34 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 34 / 78 Задача ПГ-1 (теорема Вильсона) Доказать, что (p 1)! p 1 для простого p. Решение p = 2: утверждение тривиально. p > 2: Степени всех элементов мультипликативной циклической группы F p = { 1,..., p 1 } делят её порядок p 1 x F p : ( x p 1 = 1 ) все они являются корнями уравнения x p 1 1 = 0. Других корней у этого уравнения нет (многочлен степени p 1 имеет не больше p 1 корней). По теореме Виета их произведение равно свободному члену, т.е. 1.

35 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 35 / 78 Задача ПГ-2 Найти x Решение Рассмотрим мультипликативную циклическую группу { 1, 2,..., 16 } поля F 17 ; G = { , ,..., } циклическая подгруппа порядка k (здесь только k несовпадающих элементов, k 16) этой группы. Элементы G корни уравнения x k 1 = 0 Их сумма по теореме Виета есть коэффициент при x k 1 в ( ), т.е. 0. ( )

36 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 36 / 78 Задача ПГ-3 Построить поле из 4-х элементов. Решение Это поле F 2 2, оно может быть построено как фактор-кольцо F 2 [x]/ (a(x)), где a(x) неприводимый многочлен из F 2 [x] степени 2. Но такой многочлен только один: x 2 + x + 1. Следовательно, F 2 2 = { 0, 1, x, x + 1 } Таблицы сложения и умножения в поле: + 1 x x x + 1 x x x x + 1 x x x x x + 1 x x x x + 1 x x

37 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 37 / 78 Задача ПГ-4 Производная многочлена f 0 над полем характеристики p тождественно равна 0. Доказать, что этот многочлен приводимый. Решение производная монома (x n ) = nx n 1 тождественно равна 0 iff n p 0 p n; f = 0 показатели степеней всех мономов многочлена f делятся на p; поэтому f(x) = g(x p ) = g p (x).

38 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 38 / 78 Задача ПГ-5 Доказать, что любая функция f : F n p F n p представлена многочленом. может быть Решение Можно, например, использовать интерполяционный многочлен Лагранжа: (x b) f(x) = a F n p f(a) b F n p {a} b F n p {a} (a b).

39 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 39 / 78 Задача ПГ-6 Многочлен x 5 + x 3 + x разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 2. Решение 1 f(x) = x 5 + x 3 + x 2 + 1, f(1) = 0 1 корень f. 2 Делим f(x) на x 1, получаем x 4 + x 3 + x + 1 = f 1 (x). 3 f 1 (1) = 0 1 корень f 1 ; 4 f 2 (1) = 0 1 корень f 2 ; 5 Многочлен x 2 + x + 1 неприводим. f 1 x+1 = x3 + 1 = f 2 (x). f 2 x+1 = x2 + x + 1. Ответ: x 5 + x 3 + x = (x + 1) 3 (x 2 + x + 1).

40 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 40 / 78 Задача ПГ-7 Многочлен f(x) = x 3 + 2x 2 + 4x + 1 F 5 [x] разложить на неприводимые множители. Решение 1 f(2) = = , (x 2) 5 (x + 3) 2 x 3 + 2x 2 + 4x + 1 x + 3 x 3 + 3x 2 x 2 + 4x + 2 4x 2 + 4x 4x 2 + 2x 2x + 1 2x многочлен f 1 = x 2 + 4x + 2 неприводим в F 5 Ответ: x 3 + 2x 2 + 4x + 1 = (x + 3)(x 2 + 4x + 2).

41 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 41 / 78 Задача ПГ-8 Многочлен f(x) = x 4 + x 3 + x + 2 F 3 [x] разложить на неприводимые множители. Решение 1 0, 1, 2 не корни f(x) f(x) линейных делителей не содержит. 2 Неприводимые многочлены над F 3 степени 2: x 2 + 1, x 2 + x + 2, x 2 + 2x Подбором получаем: f(x) = (x 2 + 1)(x 2 + x + 2). Ответ: (x 2 + 1)(x 2 + x + 2).

42 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 42 / 78 Задача ПГ-9 Многочлен x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x + 4 разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 5. Решение 1. Убеждаемся, что многочлен f(x) = x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x + 4 не имеет линейных делителей: f(x) 0 ни при одном x = 0, 1, 2, 3, Перебирая неприводимые многочлены степени 2 над F 5, получаем f(x) = (x 2 + x + 1)(x 2 + 2x + 4).

43 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 43 / 78 Задача ПГ-10 Разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 2 все нормированные многочлены второй степени от x. Решение f 1 (x) = x 2 = x x, f 2 (x) = x = (x + 1) 2, f 3 (x) = x 2 + x = x (x + 1), f 4 (x) = x 2 + x + 1 неприводим.

44 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 44 / 78 Задача ПГ-11 Разложить на неприводимые множители все нормированные многочлены третьей степени из F 2 [x]. Решение f 1 (x) = x 3, f 2 (x) = x = (x + 1)(x 2 + x + 1), f 3 (x) = x 3 + x = x(x + 1) 2, f 4 (x) = x 3 + x 2 = x 2 (x + 1), f 5 (x) = x 3 + x + 1 неприводим, f 6 (x) = x 3 + x неприводим, f 7 (x) = x 3 + x 2 + x = x(x 2 + x + 1), f 8 (x) = x 3 + x 2 + x + 1 = (x + 1) 3.

45 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 45 / 78 Задача ПГ-12 Найти все нормированные многочлены второй степени от x, неприводимые над полем вычетов по модулю 3. Решение Должно быть: f(0) 0, f(1) 0, f(2) 0. Перебором коэффициентов в выражении x 2 + bx + c, находим подходящие многочлены: f 1 (x) = x 2 + 1, f 2 (x) = x 2 + x + 2, f 3 (x) = x 2 + 2x + 2.

46 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 46 / 78 Задача ПГ-13 Найти все нормированные многочлены третьей степени от x, неприводимые над полем вычетов по модулю 3. Решение Должно быть: f(0) 0, f(1) 0, f(2) 0. f 1 (x) = x 3 + 2x + 1, f 2 (x) = x 3 + 2x + 2, f 3 (x) = x 3 + x 2 + 2, f 4 (x) = x 3 + 2x 2 + 1, f 5 (x) = x 3 + x 2 + x + 2, f 6 (x) = x 3 + x 2 + 2x + 1, f 7 (x) = x 3 + 2x 2 + x + 1, f 8 (x) = x 3 + 2x 2 + 2x + 2.

47 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 47 / 78 Задача ПГ-14 1 Проверить, что F = F 7 [x]/ ( x 2 + x 1 ) является полем. 2 Выразить обратный к 1 x в F в базисе { 1, x }. Решение ❶ a(x) = x 2 + x 1, a(0) = 6, a(1) = 1, a(2) = 5, a(3) = 4, a(4) = 6, a(5) = 1, a(6) = 6 многочлен a(x) неприводим в F 7 и F поле ( = F 2 7 ). ❷ F 2 7 = { ax + b a, b F 7, x 2 = 1 x = 6x + 1 } (ax + b) (6x + 1) =... = (2a + 6b)x + (6a + b) = 1 { { 6a + b = 1 a = 1 a + 3b = 0 b = 2 Проверка: (6x + 1)(x + 2) = 6x x + 2 = 1 + 7x = 1.

48 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 48 / 78 Задача ПГ-15 Найти порядок элемента x + x 2 в мультипликативной группе 1 поля F 2 [x]/ ( x 4 + x + 1 ) ; 2 поля F 2 [x]/ ( x 4 + x ). Решение x + x 2 = x(x + 1) ❶ x 4 = x + 1 (x 2 + x) 2 = x 4 + x 2 = x 2 + x + 1, (x 2 + x) 3 = x(x + 1)(x 2 + x + 1) = x(x 3 + 1) = = x 4 + x = x x = 1. Ответ: 3.

49 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 49 / 78 Задача ПГ Решение ❷ x 4 = x (x 2 + x) 2 = x 4 + x 2 = x 3 + x 2 + 1, (x 2 + x) 3 = x(x + 1)(x 3 + x 2 + 1) = x(x 4 + x 2 + x + 1) = = x(x 3 + x 2 + x) = x 4 + x 3 + x 2 = x 2 + 1, (x 2 + x) 4 = (x 2 + x)(x 2 + x) 3 = (x 2 + x)(x 2 + 1) =... = x 4 + x 2 + x 3 + x = x x 2 + x 3 + x = = x 2 + x + 1, долго и сложно

50 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 50 / 78 Задача ПГ α 4 = α 3 + 1, x = α, β = α 2 + α Решение α 4 = α α 5 = α 4 + α = α 3 + α + 1 α 6 = α 2 (α 3 + 1) = α 3 + α 2 + α + 1 α 7 = α 4 + α 3 + α 2 + α = α 2 + α + 1 α 8 = α 3 + α 2 + α α 9 = α 4 + α 3 + α 2 = α α 10 = α α 11 = α 4 + α 2 = α 3 + α α 12 = α 4 + α 3 + α = α + 1 α 13 = α 2 + α = β deg β = 15

51 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 51 / 78 Задача ПГ-16 Найти количество неприводимых многочленов 1 степени 7 над полем F 2 ; 2 степени 6 над полем F 5 ; 3 степени 24 над полем F 3. Решение 1 d 7 =? md m = p n m n md m = 2 7 = 1 d d 7 = 128. m 7 d 1 = 2 (x, x + 1) d 7 = (128 2)/7 = 126/7 = 18.

52 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 52 / 78 Задача ПГ-17 Чему равно произведение всех ненулевых элементов поля F 6 2? Решение Все ненулевые элементы поля F 6 2 x = x 63 1 = 0. являются корнями уравнения По теореме Виета их произведение равно свободному члену, т.е

53 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 53 / 78 Задача ПГ-18 Чему равна сумма всех элементов поля F 7 3? Решение Все элементы поля F 7 3 являются корнями уравнения x 37 x = x 2187 x = 0. ( ) По теореме Виета их сумма равна коэффициенту перед x 2186, т.е. 0.

54 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 54 / 78 Задача ПГ-19 Для поля F = F 3 [x]/ ( 2x 2 + x + 2 ) построить таблицу соответствий между полиномиальным и степенным представлением для ненулевых элементов. С помощью данной таблицы вычислить выражение 1 2x + 1 (2x)7 (2) (x) 9 (x + 2). Решение char F = 3, поэтому 2x 2 + x x 2 + x + 2 = a(x). F содержит = 8 элементов и все они могут быть представлены как степени α i, i = 1, 8 примитивного элемента α. Если элемент x окажется примитивным, то положим α = x и, поскольку вычисления в F 2 3 проводятся по mod a(x), будем иметь x 2 + x + 2 = 0 x 2 = x 2 = 2x + 1.

55 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 55 / 78 Задача ПГ x 2 = 2x + 1, F 3 [x] Решение Найдём порядок элемента x проверим степени, являющиеся делителями 8, т.е. 2 и 4: x 2 = 2x + 1 1, x 4 = 2 1 т.е. x примитивный элемент F. Повезло: a(x) = x 2 + x + 2 оказался примитивным многочленом над F 3 (т.е. a(x) x и a(x) x t + 1, t = 3,..., 7), иначе генератор F пришлось бы искать. Теперь вычислим значение выражения ( 2 8 = ): 1 2x + 1 (2x)7 (2) (x) 9 (x + 2) = 1 x 2 x7 x 9 x 6 = x8 x 2 x7 x 8 x 15 = = x 6 1 = x = x + 1.

56 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 56 / 78 Задача ПГ-20 Для поля F = F 3 [x]/ ( x ) = F 2 3 построить таблицу соответствий между полиномиальным и степенным представлением для всех ненулевых элементов поля. Решение В данном 9-элементном поле x = 0 x 2 = Найдём порядок элемента x проверим степени, являющиеся делителями 9 1 = 8, т.е. 2 и 4: x 2 = 2, x 4 = 1. Следовательно, элемент deg x = 4 и x не является генератором группы F ( x 4 1 = x = (x 2 + 1)(x 2 + 2) и x не есть примитивный многочлен над F 3 ). Также не являются примитивными все степени x: x 2 = 2, x 3 = 2x, x 4 = 1.

57 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 57 / 78 Задача ПГ x Найдём порядок элемента x + 1: (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 = 2x, (x + 1) 4 = (2x) 2 = 2, т.е. α = x + 1 оказался примитивным элементом. Его степени: α 1 = x + 1, α 5 = 2(x + 1) = 2x + 2, α 2 = 2x, α 6 = α 2 α 4 = x, α 3 = 2x(x + 1) = 2x + 1, α 7 = x(x + 1) = x + 2, α 4 = 2, α 8 = (α 4 ) 2 = 1. Заметим, что вычисление очередной степени α i+j часто бывает удобным провести как α i α j, а не как α α i+j 1.

58 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 58 / 78 Задача ПГ-21 В факторкольце F 3 [x]/ ( x ) найти все элементы главного идеала ( x 2 + x + 2 ). Решение 1. Сначала проверим, является ли многочлен f(x) = x 2 + x + 2 делителем x 4 + 1? x = (x 2 + x + 2) (x 2 + 2x + 2) да! Поэтому искомый идеал составят многочлены кольца (т.е. степени не выше 3), кратные f(x): ( x 2 + x + 2 ) = { (x 2 + x + 2)(ax + b) a, b F 3 }. Проведём умножение: (x 2 + x + 2) (ax + b) = ax 3 + (a + b)x 2 + (2a + b)x + 2b.

59 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 59 / 78 Задача ПГ Теперь, перебирая все возможные значения a, b F 3, найдём все элементы идеала ( x 2 + x + 2 ) : a b ax 3 + (a + b)x 2 + (2a + b)x + 2b x 2 + x x 2 + 2x x 3 + x 2 + 2x 1 1 x 3 + 2x x 3 + x x 3 + 2x 2 + x 2 1 2x 3 + 2x x 3 + x 2 + 1

60 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 60 / 78 Задача ПГ-22 В поле F 7 [x]/ ( x 4 + x 3 + x ) найти обратный к элемент. Решение Обратный элемент к x 2 + x + 3 находим, решая уравнение (x 4 + x 3 + x 2 + 3) χ(x) +(x 2 + x + 3) y(x) = 1 }{{} = 0 с помощью расширенного алгоритма Евклида: им будет y(x). Замечание: вычислять коэффициент при x 4 + x 3 + x (χ i (x)) нет необходимости. ( )

61 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 61 / 78 Задача ПГ-22 Шаг 0. Шаг 1. Шаг 2. r 2 (x) = x 4 + x 3 + x 2 + 3, // Инициализация r 1 (x) = x 2 + x + 3, y 2 (x) = 0, y 1 (x) = 1. r 2 (x) = r 1 (x)q 0 (x) + r 0 (x), // Делим r 2 (x) на r 1 (x) с остатком q 0 (x) = x 2 + 5, r 0 (x) = 2x + 2, y 0 (x) = y 2 (x) y 1 (x)q 0 (x) = q 0 (x) = x 2 5. r 1 (x) = r 0 (x)q 1 (x) + r 1 (x), // Делим r 1 (x) на r 0 (x) с остатком q 1 (x) = 4x, r 1 (x) = 3, y 1 (x) = y 1 (x) y 0 (x)q 1 (x) = 1 + 4x(x 2 + 5) = = 4x 3 + 6x + 1.

62 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 62 / 78 Задача ПГ-22 Алгоритм заканчивает свою работу на Шаге 2, т.к. степень 0 очередного остатка r 1 (x) = 3 равна степени многочлена в правой части ( ): 1 многочлен 0-й степени. В результате работы алгоритма получено: (x 2 + x + 3)(4x 3 + 6x + 1) = r 1 (x) = 3. Чтобы найти y(x), нужно домножить y 1 (x) на 3 1 = 5: y(x) = 5y 1 (x) = 5 (4x 3 + 6x + 1) = 6x 3 + 2x + 5. Проверка: y(x)(x 2 + x + 3) = (6x 3 + 2x + 5)(x 2 + x + 3) = = 6x 5 + 6x 4 + 6x 3 + 4x + 1 = = 6x( x 3 x 2 3) + 6x 4 + 6x 3 + 4x + 1 = 1.

63 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 63 / 78 Задача ПГ-23 В поле F = F 5 [x]/ ( x 2 + 3x + 3 ) найти обратную для матрицы ( ) 3x + 4 x + 2 M =. x + 3 3x + 2 Решение Для матриц размера 2 2 обратная матрица записывается в виде ( ) 1 ( ) a b 1 d b =. c d ad bc c a 1. Сначала вычислим det M = ad bc с учётом x 2 = 2x + 2: det M = (3x+4)(3x+2) (x+2)(x+3) = 4x 2 +3x+3 x 2 1 = = 3x 2 + 3x + 2 = 3(2x + 2) + 3x + 2 = 4x + 3.

64 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 64 / 78 Задача ПГ Найдём обратный к 4x + 3 элемент, решая уравнение (x 2 + 3x + 3) χ(x) + (4x + 3) y(x) = 1. с помощью расширенного алгоритма Евклида: Шаг 0. Шаг 1. r 2 (x) = x 2 + 3x + 3, // Инициализация r 1 (x) = 4x + 3, y 2 (x) = 0, y 1 (x) = 1. r 2 (x) = r 1 (x)q 0 (x) + r 0 (x), // Делим r 2 (x) на r 1 (x) с остатком q 0 (x) = 4x + 4, r 0 (x) = 1, y 0 (x) = y 2 (x) y 1 (x)q 0 (x) = q 0 (x) = = 4x 4 = x + 1. Т.е. (4x + 3) 1 = y 0 (x) = x + 1.

65 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 65 / 78 Задача ПГ x 2 5 2x Вычислим обратную матрицу ( M 1 3x + 2 4x + 3 = (x + 1) 4x + 2 3x + 4 ) = ( x x 3x ). Проверка: ( ) ( ) 3x + 4 x + 2 x = x + 3 3x + 2 4x 3x ( ) (3x + 4)(x + 3) + 4x(x + 2) 3x x(x + 2) = (x + 3) 2 = + 4x(3x + 2) x x(3x + 2) ( 2x = 2 + x + 2 3x 2 ) + 4x + 4 3x 2 + 4x + 4 4x 2 = + 2x + 3 ( ) ( ) 2(2x + 2) + x + 2 3(2x + 2) + 4x = =. 3(2x + 2) + 4x + 4 4(2x + 2) + 2x

66 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 66 / 78 Задача ПГ-24 Разложить на неприводимые множители многочлен f(x) = x 11 + x 9 + x 8 + x 4 + x 3 + x F 2 [x]. Решение 1. Сначала пытаемся найти корни f(x) в F 2 : f(0) = 1, f(1) = 1. Значит, f(x) не имеет корней в F 2 т.е. не имеет линейных множителей. 2. Далее ищем делители f(x) среди неприводимых многочленов степени 2. Таковых над F 2 только один x 2 + x + 1. При делении f(x) на x 2 + x + 1, получаем f(x) = (x 2 + x + 1)(x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1).

67 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 67 / 78 Задача ПГ Продолжаем дальше делить на x 2 + x + 1: g(x) = x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1)(x 7 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) + x, т.е. x 2 + x + 1 делитель f(x) кратности Неприводимых многочленов степени 3 над F 2 два: x 3 + x + 1 и x 3 + x Пробуем поделить g(x) на x 3 + x + 1: x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = делится! = (x 3 + x + 1)(x 6 + x 5 + x 3 + x 2 + 1)

68 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 68 / 78 Задача ПГ Производя далее попытки деления h(x) = x 6 + x 5 + x 3 + x на многочлены 3-й степени, получаем x 6 + x 5 + x 3 + x = (x 3 + x + 1)(x 3 + x 2 + x + 1) + x 2, x 6 + x 5 + x 3 + x = (x 3 + x 2 + 1)x 3 + x Т.к. как многочлен 6-ой степени h(x) не имеет делителей 3-й и меньших степеней, то он является неприводимым: если бы он имел делитель, скажем, степени 4, то у него был бы и делитель степени 6 4 = 2. В итоге в F 2 [x] имеем разложение f(x) = x 11 + x 9 + x 8 + x 4 + x 3 + x = = (x 2 + x + 1)(x 3 + x + 1)(x 6 + x 5 + x 3 + x 2 + 1).

69 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 69 / 78 Задача ПГ-25 Найти минимальное поле характеристики 3, в котором многочлен f(x) = x 3 + x + 2 F 3 [x] раскладывается на линейные множители. В данном поле найти все корни данного многочлена. Решение 1. Найдём разложение многочлена f(x) на неприводимые множители над F 3. Проверяем корни: f(0) = 2, f(1) = 1, f(2) = 0. Т.к. x 2 3 x + 1, то f(x) = (x + 1)(x 2 + 2x + 2). Найдём разложение многочлена g(x) = x 2 + 2x + 2 F 3 [x]. Он не имеет корней, его степень = 2 он неприводим. Окончательно: f(x) = (x + 1)(x 2 + 2x + 2).

70 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 70 / 78 Задача ПГ Известно, что если g(x) неприводимый многочлен степени n над конечным полем F p, то он: в поле своего расширения F = F p [x]/(g(x)) раскладывается на n линейных ( множителей g(x) = (x α) (x α p ) x α p2) (... x α pn 1), где α произвольный корень g(x) в F ; не имеет корней ни в каком конечном поле, содержащим менее, чем p n элементов. 3. Рассмотрим поле F 3 [x]/(g(x)) расширения многочлена g(x) = x 2 + 2x + 2. В этом поле если α корень g(x), то и α 3 тоже корень. Вычисляем: α 2 = 2α 2 = α + 1 и α 3 = α(α + 1) = α 2 + α = 2α + 1.

71 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 71 / 78 Задача ПГ α 2 = α + 1 F 3 Действительно (подчёркиваем слагаемые, дающие в сумме 0): (x α)(x 2α 1) = (x + 2α) (x + α + 2) = = x 2 + αx + 2x + 2αx + 2α 2 + 4α = = x 2 + 2x + 2α α = x 2 + 2x + 2. Построенное расширение поле F 3 [x]/ ( x 2 + 2x + 2 ) содержит найденный ранее корень 2, поэтому многочлен f(x) в этом поле раскладывается на следующие линейные множители: f(x) = x 3 + x + 2 = (x 2)(x α)(x 2α 1) = = (x + 1)(x + 2α)(x + α + 2).

72 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 72 / 78 Задача ПГ F 3 4. Определить корни многочлена g(x) = (x α)(x 2α 1) в поле F 3 [x]/ ( x 2 + 2x + 2 ) легко: всегда можно взять α = x, откуда второй корень α 3 = 2α + 1 = 2x Таким образом, в поле F 3 [x]/ ( x 2 + 2x + 2 ) многочлен f(x) = x 3 + x + 2 имеет корни 2, x и 2x + 1.

73 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 73 / 78 Задача ПГ Найти минимальный многочлен m(x) F 5 [x], который имеет корень α 3, где α примитивный элемент поля F = F 5 [x]/ ( x 2 + x + 2 ). Решение 1. Известно, что минимальный многочлен m(x) в поле характеристики 5 вместе с корнем α 3 содержит все смежные с ним (α 3 ) 5 = α 15, (α 3 ) 52 = α 75, (α 3 ) 53 = α 375 и т.д. 2. В поле F 2 5 будет α 52 1 = α 24 = 1 смежный класс, образованный α 3 содержит только два элемента α 3 и α 15 (т.к. α 75 = α = α 3 ) минимальный многочлен m(x) имеет степень 2 и может быть представлен как m(x) = (x α 3 )(x α 15 ) = x 2 (α 3 + α 15 )x + α 18.

74 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 74 / 78 Задача ПГ m(x) = x 2 (α 3 + α 15 )x + α Найдём коэффициенты многочлена m(x) учётом α 2 = α 2 = 4α + 3: α 3 = α α 2 = α(4α + 3) = 4α 2 + 3α = = 4(4α + 3) + 3α = 4α + 2, α 15 = (α 3 ) 5 = (4α + 2) 5 = 4α = = 4α 2 α = 4(4α + 3)(4α + 2) + 2 = = 4(α 2 + 1) + 2 = 4(4α + 4) + 2 = α + 3, α 3 + α 15 = 4α α + 3 = 0, α 18 = α 3 α 15 = (4α + 2)(α + 3) = = 4(4α + 3) + 4α + 1 = 3. В итоге: m(x) = x

75 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 75 / 78 Что надо знать Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

76 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 76 / 78 Что надо знать Конечное поле и его характеристика. Мультипликативная группа, примитивный элемент поля Галуа и его нахождение. Основная теорема алгебры. Алгоритм Евклида и его применение. Теорема Безу и расширенный алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены: существование и нахождение неприводимых многочленов в конечных полях. Построение конечных полей с помощью неприводимых многочленов (привести пример). Изоморфизм конечных полей. Векторное пространство многочленов. Базис в F n p. Поля Галуа как векторные пространства. Подполя конечного поля.

77 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 77 / 78 Что надо знать Минимальные многочлены над конечным полем: примеры и свойства. Корнями какого многочлена являются все элементы конечного поля? Делителями какого многочлена являются все неприводимые многочлены n-й степени? Теорема о степени любого неприводимого делителя многочлена x pn 1 1. Теорема о корнях неприводимого многочлена. Многочлены над конечным полем: решение уравнений. Как решать уравнения, когда корней нет (алгоритм нахождения всех корней многочлена f(x) над полем Галуа F p )? Мультипликативная группа расширения поля. Существование неприводимого многочлена степени n над полем F p.

78 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 78 / 78 Что надо знать Лемма о числе неприводимых нормированных многочленов из F n p. Среднее число неприводимых многочленов. Изоморфизм полей Галуа с одинаковым числом элементов. Теорема о неприводимом нормированном многочлене делителе порождающего элемента идеала. Циклическое пространство: определение и примеры. Количество и степени неприводимых делителей x n 1.


ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78 Часть I Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). I

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67 Часть I Конечные поля (поля Галуа). I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 2 / 67 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) I 1 / 88. Часть I. Конечные поля (поля Галуа) I

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) I 1 / 88. Часть I. Конечные поля (поля Галуа) I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) I 1 / 88 Часть I Конечные поля (поля Галуа) I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) I 2 / 88 Поля вычетов по модулю простого числа

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. I 1 / 71. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. I

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. I 1 / 71. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. I 1 / 71 Часть I Конечные поля или поля Галуа. I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. I 2 / 71 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

Разбор контрольной работы

Разбор контрольной работы Разбор контрольной работы Общие комментарии по результатам проверки контрольной: 1 В вычислениях присутствует большое количество арифметических ошибок Само по себе возникновение арифметических ошибок неизбежно

Подробнее

Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими,

Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими, 5 Конечные поля 5.1 Конечные поля Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими, что 1) R, + абелева группа; 2) операция ассоциативна, т. е. (a b) c = a

Подробнее

Прикладная алгебра 1 / 160. Прикладная алгебра. Лекции для групп (III поток) 5-й семестр 2013/2014 уч. года. Лектор Гуров Сергей Исаевич

Прикладная алгебра 1 / 160. Прикладная алгебра. Лекции для групп (III поток) 5-й семестр 2013/2014 уч. года. Лектор Гуров Сергей Исаевич Прикладная алгебра 1 / 160 Прикладная алгебра Лекции для групп 320 328 (III поток) 5-й семестр 2013/2014 уч. года Лектор Гуров Сергей Исаевич Ассистент Кропотов Дмитрий Александрович Факультет Вычислительной

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте Факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте   Факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 12. Число неприводимых многочленов над простым полем. Расширения полей. Существование и единственность поля с p n элементами, где p простое число, n 1. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.ru

Подробнее

Алгебра в Независимом, третий семестр

Алгебра в Независимом, третий семестр Алгебра в Независимом, третий семестр Е. Ю. Смирнов 1. Первая лекция, 11 сентября 2017 г. Пусть F поле, то есть коммутативное кольцо с единицей, в котором у каждого ненулевого элемента есть обратный по

Подробнее

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Приложение 1 ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Для криптографии алгебра является одним из основных инструментов в теоретических исследованиях и практических построениях криптографических преобразований Поэтому в этом

Подробнее

Экзамен по курсу «Основы высшей алгебры и теории кодирования»

Экзамен по курсу «Основы высшей алгебры и теории кодирования» Экзамен по курсу «Основы высшей алгебры и теории кодирования» 03.06.15 Вариант 1. 1. Порядок элемента g группы G равен 104. Чему равен порядок элемента g 39? Запишите подробное решение. Решение. Обозначим

Подробнее

2.5 Алгебраические структуры

2.5 Алгебраические структуры 5 Алгебраические структуры 6 Определение Бинарная операция на множестве S есть отображение S S в S То есть, является правилом, которое каждой упорядоченной паре элементов из S ставит в соответствие некоторый

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Неприводимые и приводимые многочлены. Теорема о построении полей из p n элементов, где p простое число, n 2. Вычисления в конечных полях, алгоритм Евклида. Расширения полей. Мультипликативная группа

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ ЛЕКЦИЯ 18 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ 1 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА Предложение 1. Пусть P (α) расширение поля P, полученное

Подробнее

обозначает операцию, определенную на группе.

обозначает операцию, определенную на группе. Лекция 4. СТАНДАРТ AES. АЛГОРИТМ RIJNDAEL. Стандарт AES (Advnced Encrypton Stndrd) представляет собой новый стандарт шифрования с одним ключом, который заменил стандарт DES. Алгоритм Rjndel (рейн-дал)

Подробнее

АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ

АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ ЛЕКЦИЯ 16 КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 1 КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ Лемма 1. Если поле F состоит из q элементов, то каждый элемент поля F является корнем многочлена

Подробнее

РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОЛЯ РАЗ- ЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА

РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОЛЯ РАЗ- ЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА ЛЕКЦИЯ 17 ПОЛЯ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОЛЯ РАЗ- ЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА 1 ПРИМЕРЫ ПОЛЕЙ Пример 1. Числовые поля Q, R, C являются основными примерами полей для нас. Пример 2. Для каждого простого числа

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 15 КОЛЬЦА ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ

ЛЕКЦИЯ 15 КОЛЬЦА ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ ЛЕКЦИЯ 15 КОЛЬЦА ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ 1 КОЛЬЦА Определение 1. Пусть K непустое множество, на котором заданы две бинарные операции + (сложение) и (умножение), удовлетворяющие следующим свойствам: (1)

Подробнее

12. Целые расширения колец

12. Целые расширения колец 12. Целые расширения колец В этом параграфе слово «кольцо» по умолчанию означает коммутативное кольцо с единицей, а гомоморфизмы колец предполагаются отображающими единицу в единицу. 12.1. Целые элементы.

Подробнее

1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования

1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования 1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования 1.1. Показать, что множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) является группой по операциям: а) обычного сложения

Подробнее

Вопросы к экзамену по алгебре, гр лектор Е.С.Голод уч.г.

Вопросы к экзамену по алгебре, гр лектор Е.С.Голод уч.г. Вопросы к экзамену по алгебре, гр. 101 106. лектор Е.С.Голод 2014-2015 уч.г. 1. Системы линейных алгебраических уравнений и связанные с ними матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому и сильно ступенчатому

Подробнее

Тема 1-9: Многочлены. Построение кольца многочленов. Теория делимости. Производная

Тема 1-9: Многочлены. Построение кольца многочленов. Теория делимости. Производная Тема 1-9: Многочлены. Построение кольца многочленов. Теория делимости. Производная А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Теория Галуа, лекция 2: расширения полей

Теория Галуа, лекция 2: расширения полей Теория Галуа, лекция 2: расширения полей Миша Вербицкий 25 января, 2013 матфак ВШЭ 1 Расширения полей ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расширение поля k есть поле K, содержащее k. Отношение «быть расширением» обозначается

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 11. Критерий неприводимости многочленов степени 2 или 3. Расширения полей. Вычисления в полях, алгоритм Евклида. Теорема о мультипликативной группе конечного поля. Лектор Селезнева Светлана Николаевна

Подробнее

1 Это трудная задача, она требует использования аксиомы выбора и знакомства с понятием базиса трансцендентности. 2 А это простая задача.

1 Это трудная задача, она требует использования аксиомы выбора и знакомства с понятием базиса трансцендентности. 2 А это простая задача. Решения задач пятой олимпиады Задача 010 1 Централизатор подстановки это множество подстановок которые с ней коммутируют. Какое наименьшее число элементов может быть в централизаторе подстановки из группы

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф Информационных Систем ВДКОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ «КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ (Алгебраическая теория блоковых кодов)»

Подробнее

Теория Галуа, лекция 8: циклические расширения и теорема Абеля

Теория Галуа, лекция 8: циклические расширения и теорема Абеля Теория Галуа, лекция 8: циклические расширения и теорема Абеля Миша Вербицкий 15 марта, 2013 матфак ВШЭ 1 Расширения полей (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расширение поля k есть поле K, содержащее k. ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Подробнее

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА В некоторых приложениях удобно выполнять арифметические операции над целыми числами, заданными в так называемом модульном представлении Это представление предполагает, что целое число

Подробнее

ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ

ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ ЛЕКЦИЯ 14 ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА 1 ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ Пусть M некоторый R-модуль. Для любого

Подробнее

Основы высшей алгебры и теории кодирования

Основы высшей алгебры и теории кодирования Основы высшей алгебры и теории кодирования Предварительная программа экзамена (МФТИ, весенний семестр 2017 года) Экзамен состоит из трёх частей: определения и формулировки основных теорем; доказательства

Подробнее

Раздел 1. Математические основы криптографии

Раздел 1. Математические основы криптографии Раздел 1. Математические основы криптографии 1 Определение поля Конечным полем GF q (или полем Галуа) называют конечное произвольное множество элементов с заданными между ними операциями сложения, умножения

Подробнее

Алгебра в Независимом, третий семестр 13

Алгебра в Независимом, третий семестр 13 Алгебра в Независимом, третий семестр 13 3. Третья лекция, 25сентября 2017 г. 3.1. Поле разложения многочлена. Впервойлекциимыуже выяснили, что для всякого многочлена f(x) 2 F [x] существует такое расширение

Подробнее

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов Везде в тексте все вычисления проводятся в двоичной арифметике. Рассмотрим задачу передачи потока битовой информации по каналу

Подробнее

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями 20. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Основная теорема алгебры В

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ, ТЕОРЕМА БЕЗУ

КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ, ТЕОРЕМА БЕЗУ ЛЕКЦИЯ 20 КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ, ТЕОРЕМА БЕЗУ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ ФОРМУЛЫ ВИЕТА 1 КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ Займемся тем, ради чего в прошлом изучали алгебру, корнями многочленов. Дело в том, что многие

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМЕ ДЛЯ КОЛЕЦ

ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМЕ ДЛЯ КОЛЕЦ ЛЕКЦИЯ 14 ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ ФАКТОР-КОЛЬЦА ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМЕ ДЛЯ КОЛЕЦ МАКСИМАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ 1 ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ Идеал в кольце это аналог нормальной подгруппы в группе. Определение 1. Идеалом кольца R

Подробнее

КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ. 18. Многочлены от одной переменной

КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ. 18. Многочлены от одной переменной Г л а в а 3 КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ 18. Многочлены от одной переменной 18.1. Определения и основные свойства. Многочленом от одной переменной над кольцом K называется выражение f = f(x) = a 0 + a 1 x +... +

Подробнее

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛО- ЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАН- НЫХ БАЗИСАХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛО- ЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАН- НЫХ БАЗИСАХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА ЛЕКЦИЯ 16 ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛО- ЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАН- НЫХ БАЗИСАХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА ПОЛЯ 1 ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ На прошлой лекции мы доказали,

Подробнее

Умножим (2.1) на λ k и вычтем из (2.2):

Умножим (2.1) на λ k и вычтем из (2.2): Билет 1.1. Инвариантные подпространства. Индуцированный оператор Определение 1.1 Линейное подпространство L V линейного пространства называется инвариантным относительно оператора A, если x L Ax L. Теорема

Подробнее

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра

Подробнее

Теория Галуа, лекция 7: группы Галуа конечных полей и другие применения основной теоремы

Теория Галуа, лекция 7: группы Галуа конечных полей и другие применения основной теоремы Теория Галуа, лекция 7: группы Галуа конечных полей и другие применения основной теоремы Миша Вербицкий 1 марта, 2013 матфак ВШЭ 1 Расширения полей (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расширение поля k есть поле

Подробнее

Алгебраические многочлены.

Алгебраические многочлены. Алгебраические многочлены. 1 Алгебраические многочлены степени n над полем K Определение 1.1 Многочленом степени n, n N {0}, от переменной z над числовым полем K называется выражение вида: fz = a n z n

Подробнее

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.

Подробнее

Раздел 4 Элементы коммутативной алгебры

Раздел 4 Элементы коммутативной алгебры Раздел 4 Элементы коммутативной алгебры 14. Целые расширения колец В этом параграфе слово «кольцо» по умолчанию означает коммутативное кольцо с единицей, а гомоморфизмы колец предполагаются отображающими

Подробнее

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных

Подробнее

ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 13 ГРУППЫ ИЗ 8 ЭЛЕМЕНТОВ ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУППЫ ИЗ 12 ЭЛЕМЕНТОВ ПОНЯТИЕ КОЛЬЦА 1 ГРУППЫ ИЗ 8 ЭЛЕМЕНТОВ Теорема 1 (классификация групп из 8 элементов). Любая группа из 8 элементов изоморфна

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Теория Галуа, лекция 5: расширения Галуа

Теория Галуа, лекция 5: расширения Галуа Теория Галуа, лекция 5: расширения Галуа Миша Вербицкий 8 февраля, 2013 матфак ВШЭ 1 Расширения полей (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расширение поля k есть поле K, содержащее k. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Конечное расширение

Подробнее

Многочлены и их корни

Многочлены и их корни Многочлены и их корни Определение: Многочленом степени n (n N) называется всякое выражение вида: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, где a n, a n 1, a 1, a 0 R, a n старший коэффициент, a

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 19 ЛЕММА ГАУССА И КРИТЕРИЙ ЭЙЗЕНШТЕЙНА РАЗЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ В СУММУ ПРОСТЕЙШИХ

ЛЕКЦИЯ 19 ЛЕММА ГАУССА И КРИТЕРИЙ ЭЙЗЕНШТЕЙНА РАЗЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ В СУММУ ПРОСТЕЙШИХ ЛЕКЦИЯ 19 ЛЕММА ГАУССА И КРИТЕРИЙ ЭЙЗЕНШТЕЙНА РАЗЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ В СУММУ ПРОСТЕЙШИХ 1 ЛЕММА ГАУССА И КРИТЕРИЙ ЭЙЗЕНШТЕЙНА Назовем содержанием многочлена f = a 0 + a 1 X +... a n X n R[X] наибольший общий

Подробнее

Группы. Кольца. Поля Методические указания и материалы для практических занятий по алгебре со студентами специальности Математика

Группы. Кольца. Поля Методические указания и материалы для практических занятий по алгебре со студентами специальности Математика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики Группы. Кольца. Поля Методические указания и материалы

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Решения задач первой олимпиады

Решения задач первой олимпиады Решения задач первой олимпиады Задача 2006 1 Элементов какого порядка в группе S n больше: четного или нечетного? (Предложил А. Э. Гутерман.) Решение. При n = 2, 3 легко убедиться, что подстановок четного

Подробнее

Семинар 4. 3) a+b=b+a 4)0+a=a+0 5) a +(-a)=(-a)+a=0 6) (a*b)*c=a*(b*c) Пример: Кольцо всех целых натуральных чисел < N, +,, 1 >

Семинар 4. 3) a+b=b+a 4)0+a=a+0 5) a +(-a)=(-a)+a=0 6) (a*b)*c=a*(b*c) Пример: Кольцо всех целых натуральных чисел < N, +,, 1 > Семинар 4 Вопросы: Группа, кольцо, поле. Порождающие элементы, примитивные полиномы Расширенный алгоритм Эвклида, обратный элемент. Операции в группах полях и кольцах. Китайская теорема об остатках. Функции

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА

ЛЕКЦИЯ 21 ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА ЛЕКЦИЯ 21 ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 1 ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ Пусть K поле, G группа. Рассмотрим множество K[G] всевозможных формальных сумм α, α K. По определению α = β α = β G. Введем операции над

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

ТРЕТИЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Евклидовы пространства Докажите, что для любых векторов a и b произвольного евклидова пространства справедливы

ТРЕТИЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Евклидовы пространства Докажите, что для любых векторов a и b произвольного евклидова пространства справедливы ТРЕТИЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Евклидовы пространства 1.1. Докажите, что для любых векторов a и b произвольного евклидова пространства справедливы утверждения a a b a b a + b ; b a b = (a, b векторы a и b линейно

Подробнее

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 =

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 = Лекция. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.. Числовое поле. Числовое поле множество чисел, в котором корректны арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевое число. Примеры числовых полей:

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Многочлены и их корни

Многочлены и их корни Многочлены и их корни 2018 г. Гущина Елена Николаевна Определение: Многочленом степени n n N называется всякое выражение вида: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., где a &, a &+,, a,, a. R, a &

Подробнее

10. Расширения коммутативных колец

10. Расширения коммутативных колец 10. Расширения коммутативных колец 10.1. Целые элементы. Всюду этом параграфе слово «кольцо» по умолчанию означает коммутативное кольцо с единицей, а все гомоморфизмы колец предполагаются отображающими

Подробнее

КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ (продолжение) 25. Результант. Исключение неизвестного. Дискриминант

КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ (продолжение) 25. Результант. Исключение неизвестного. Дискриминант Г л а в а 3 КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ (продолжение) 25. Результант. Исключение неизвестного. Дискриминант Даны два многочлена f(x) = a 0 x k + a 1 x k 1 +... + a k, a i P ; g(x) = b 0 x l + b 1 x l 1 +... + b

Подробнее

Глава VIII. Общая теория делимости

Глава VIII. Общая теория делимости Глава VIII. Общая теория делимости 1. Простые и неприводимые элементы области целостности 1. Основные понятия теории делимости в областях целостности. Напомним, что областью целостности называется коммутативное

Подробнее

Многочлены от одной переменной. Простейшие свойства в виде теоретических упражнений

Многочлены от одной переменной. Простейшие свойства в виде теоретических упражнений Многочлены от одной переменной. Простейшие свойства в виде теоретических упражнений Е. А. Максименко 1 марта 2008 г. Содержание 0. Введение...................................................... 2 1. Операции

Подробнее

Уравнения высших порядков

Уравнения высших порядков И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Уравнения высших порядков 1 Непосредственная группировка............................. 1 2 Подбор корня........................................

Подробнее

Задача 11. Деление с остатком

Задача 11. Деление с остатком XVIII Республиканский Турнир Юных Математиков Задача 11. Деление с остатком Лицей БГУ - 1 Автор: Пчелинцев Илья Научный руководитель: Шабан Светлана Аннотация Полностью решены пункты 1-3, 5 исходной постановки

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Поле. Расширения полей Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Поле. Расширения полей

Поле. Расширения полей Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Поле. Расширения полей Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп.

Подробнее

МНОГОЧЛЕНЫ ДЕЛЕНИЯ КРУГА. 1 порция. Неприводимые многочлены. Производная.

МНОГОЧЛЕНЫ ДЕЛЕНИЯ КРУГА. 1 порция. Неприводимые многочлены. Производная. МНОГОЧЛЕНЫ ДЕЛЕНИЯ КРУГА. 1 порция. Неприводимые многочлены. Производная. Определение. Z p множество всех остатков по модулю p. Определение. Z[x] множество всех многочленов с коэффициентами из Z. Q[x]

Подробнее

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональные выражения Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Комплексные аналитические пространства,

Комплексные аналитические пространства, Комплексные аналитические пространства, лекция 3: подготовительная теорема Веерштрасса НМУ/ВШЭ, Москва 4 марта 2017 1 Формула Коши в размерности 1 Напомню, что голоморфной функцией на M C с комплексной

Подробнее

Комплексная аналитические пространства,

Комплексная аналитические пространства, Комплексная аналитические пространства, лекция 4: Нетеровость кольца ростков НМУ/ВШЭ, Москва 8 марта 207 Кольцо ростков голоморфных функций (повторение) ЛЕММА: ( принцип аналитического продолжения ) Пусть

Подробнее

Алгебра, первый курс, четвертый модуль

Алгебра, первый курс, четвертый модуль Алгебра, первый курс, четвертый модуль Е. Ю. Смирнов Аннотация. Записки лекций по алгебре для первого курса факультета математики ВШЭ, весна 2013/14 учебного года 1. Первая лекция, 2 апреля 2014 г. В предыдущей

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

1 Показатели. Первообразные корни.

1 Показатели. Первообразные корни. 1 Показатели. Первообразные корни. 1.1 Понятие показателя. Простейшие свойства. Определение. Будем говорить, что число a, (a, n) = 1 принадлежит показателю N по модулю n, если - минимальное число, такое

Подробнее

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Многочлены Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail: melnikov@k66.ru,

Подробнее

Экзаменационные вопросы по алгебре. 2. Доказать, что операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции их объединения.

Экзаменационные вопросы по алгебре. 2. Доказать, что операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции их объединения. Экзаменационные вопросы по алгебре 1. Доказать, что число N An всех подмножеств конечного множества A n, состоящего из n элементов, равно N An = 2 n. 2. Доказать, что операция пересечения множеств дистрибутивна

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Евклидовы кольца. Идеалы и факторкольца. Кольца главных идеалов

Евклидовы кольца. Идеалы и факторкольца. Кольца главных идеалов 1 ЛЕКЦИЯ 2 Евклидовы кольца. Идеалы и факторкольца. Кольца главных идеалов Для того, чтобы доказать, что каждый неразложимый элемент является простым, надо ввести следующее определение. Наибольшим общим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОД- НЫЕ МОДУЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОД- НЫЕ МОДУЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ЛЕКЦИЯ 15 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОД- НЫЕ МОДУЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ На абелевы группы можно смотреть как на векторные пространства над Z. Аналогично

Подробнее

Тема 9. Неприводимые многочлены над F p и конечные поля Лектор: Н. И. Яцкин, 2014

Тема 9. Неприводимые многочлены над F p и конечные поля Лектор: Н. И. Яцкин, 2014 ИвГУ, ф-т МиКН, курс 2 "КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА" Тема 9. Неприводимые многочлены над F p и конечные поля Лектор: Н. И. Яцкин, 2014 2 F p = {0, 1, 2,, p 1} поле классов вычетов по простому модулю p; F [x]

Подробнее

Разложимые формы, решетки, единицы и число классов идеалов.

Разложимые формы, решетки, единицы и число классов идеалов. Разложимые формы, решетки, единицы и число классов идеалов. Задача (Теорема Блихфельда). Пусть k > 0 - натуральное число, X R n, Vol(X) > k. Докажите, что найдется k + различных точек s 0,..., s k X с

Подробнее

Теория Галуа, лекция 3: тензорные произведения полей

Теория Галуа, лекция 3: тензорные произведения полей Теория Галуа, лекция 3: тензорные произведения полей Миша Вербицкий 1 февраля, 2013 матфак ВШЭ 1 Расширения полей (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расширение поля k есть поле K, содержащее k. Отношение «быть

Подробнее

1.1. Многочлены от одной переменной. О п р е д е л е н и е. Многочленом f(x) от переменной x называется выражение

1.1. Многочлены от одной переменной. О п р е д е л е н и е. Многочленом f(x) от переменной x называется выражение 1. Многочлены 1.1. Многочлены от одной переменной О п р е д е л е н и е. Многочленом f(x) от переменной x называется выражение a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 + a n x n, (1) где a 0, a 1, a 2,...,

Подробнее

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов Курс: Прикладная алгебра, 3-й поток Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов В тексте все вычисления проводятся в двоичной арифметике. Задача помехоустойчивого кодирования

Подробнее

НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции)

НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции) ЛЕКЦИЯ 12 НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции) ПОНЯТИЕ КОЛЬЦА ПРИМЕРЫ КОЛЕЦ ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЬЦА Определение 1. Множество R с операциями сложения + и умножения называется

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Горбачев НЕ Многочлены от одной переменной. Решение уравнений n степени.

Горбачев НЕ Многочлены от одной переменной. Решение уравнений n степени. Горбачев НЕ Многочлены от одной переменной Решение уравнений степени Понятие многочлена Арифметические операции над многочленами Опр Многочленом (полиномом) -й степени относительно переменной величины

Подробнее

ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ экзаменационной работы по курсу Избранные вопросы дискретной математики

ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ экзаменационной работы по курсу Избранные вопросы дискретной математики ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ экзаменационной работы по курсу Избранные вопросы дискретной математики Задача 1 (3 балла. При помощи производящих функций доказать комбинаторное тождество ( C k 2 = C 2. Задача 2 (3

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова. Механико-математический факультет. Кафедра высшей геометрии и топологии

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова. Механико-математический факультет. Кафедра высшей геометрии и топологии Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра высшей геометрии и топологии Курсовая работа Об универсальной формальной группе Черных Георгий 303

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее