ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II"

Транскрипт

1 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78 Часть I Конечные поля или поля Галуа. II

2 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого числа Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

3 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 3 / 78 Вычисление элементов в конечных полях Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

4 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 4 / 78 Линейная алгебра над конечным полем Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

5 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 5 / 78 Корни многочленов над конечным полем Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

6 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 6 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

7 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 7 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Вычисления в мультипликативной группе расширения поля Пример (построение поля F 4 2 ) Поле F 4 2 можно строить с помощью любого из трех неприводимых над F 2 многочленов (но пока не доказано): x 4 + x + 1, x 4 + x 3 + 1, x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 Сделаем это, взяв многочлен f(x) = x 4 + x + 1. Будем задавать элементы F 4 2 наборами коэффициентов многочлена-остатка при делении на f, записывая их в порядке возрастания степеней. Порождающим является элемент α = x, который записывается как (0, 1, 0, 0). Вычислим степени α, сведя результаты в таблицу.

8 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 8 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Мультипликативная группа поля F 4 2 = F 2 [x]/ ( x 4 + x + 1 ) α 4 = α + 1 степень α 1 x x 2 x 3 α = (0, 1, 0, 0) α 2 = (0, 0, 1, 0) α 3 = (0, 0, 0, 1) 1 + α = α 4 = (1, 1, 0, 0) α + α 2 = α 5 = (0, 1, 1, 0) α 2 + α 3 = α 6 = (0, 0, 1, 1) α 3 + α + 1 = α 3 + α 4 = α 7 = (1, 1, 0, 1) 1 + α 2 = α α 2 + α = α 8 = (1, 0, 1, 0) α + α 3 = α 9 = (0, 1, 0, 1) α α = α 2 + α 4 = α 10 = (1, 1, 1, 0) α + α 2 + α 3 = α 11 = (0, 1, 1, 1) 1 + α + α 2 + α 3 = α 2 + α 3 + α 4 = α 12 = (1, 1, 1, 1) 1 + α 2 + α 3 = α + α 2 + α 3 + α 4 = α 13 = (1, 0, 1, 1) 1 + α 3 = α + α 3 + α 4 = α 14 = (1, 0, 0, 1) 1 = α + α 4 = α 15 = (1, 0, 0, 0)

9 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 9 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Мультипликативная группа поля F 4 2 = F 2 [x]/ ( x 4 + x + 1 )... Имея такую таблицу, очень просто производить умножение. Пример: (x 3 + x + 1) (x 2 + x + 1) =? 1 Перемножить, учитывая x 4 = x + 1 можно, но сложно... 2 С помощью таблицы: представляем многочлены в векторной форме и по ней в виде степеней α = x: x 3 + x + 1 (1, 1, 0, 1) α 7, x 2 + x + 1 (1, 1, 1, 0) α 10 перемножая, получаем: α 7 α 10 = α 17 = α 2 = x 2. Таким образом: (x 3 + x + 1) (x 2 + x + 1) = x 2.

10 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 10 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Пути доказательства Теперь можно вернуться к вопросу о существовании а) конечного поля F q размера q, показав, что всегда q = p n ; б) неприводимого многочлена степени n над F p (везде p простое, n натуральное). Это можно сделать двумя способами. а) б) доказать существование поля из p n элементов, откуда вывести существование неприводимого многочлена степени n над F p ; б) а) установить существование неприводимого многочлена f степени n над F p, откуда уже следует существование поля из p n как факторкольца по идеалу (f). Мы пойдём вторым путём.

11 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 11 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Существование неприводимого многочлена Докажем существование нормированного неприводимого многочлена в полях Галуа. Для таких многочленов выполняется аналог основной теоремы арифметики: каждый нормированный многочлен однозначно разлагается на произведение степеней неприводимых многочленов. Действительно: разложение в евклидовом кольце однозначно (с точностью до умножения на обратимые элементы делители); в случае кольца многочленов над полем обратимые элементы ненулевые константы (многочлены степени 0); выбор старшего коэффициента 1 однозначно определяет сомножители.

12 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 12 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Количество неприводимых нормированных многочленов Лемма (о числе d n ) Если d n число неприводимых нормированных многочленов степени n над F p, то m d m = p n. Доказательство m n Занумеруем i = 1,..., d n все неприводимые нормированные многочлены степени n и сопоставим им формальную переменную f i,n произвольному такому многочлену однозначно сопоставлен моном (многочлен степени n j берётся в степени s j ): f s 1 i 1,n 1... f sr i r,n r, причем r n j s j = n. j=1

13 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 13 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Количество неприводимых нормированных многочленов... Доказательство (продолжение) Поэтому все нормированные многочлены перечисляются формальным бесконечным произведением ( ) fi,n k = f s 1 i 1,n 1... f sr i r,n r i,n k=0 ( ) (раскрыты скобки и бесконечное произведение записано в виде формального ряда). Сделаем замену переменных f i,n = t n, которая делает все многочлены одной степени неразличимыми.

14 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 14 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Количество неприводимых нормированных многочленов... Доказательство (продолжение) ( ) fi,n k = f s 1 i 1,n 1... f sr i r,n r i,n k=0 Приведение подобных приведёт к тому, что: в правой части ( ) будет ряд от переменной t. Коэффициент при t n в этом ряде равен числу нормированных многочленов степени n, т.е. p n : p n t n. n=0 ( )

15 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 15 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Количество неприводимых нормированных многочленов... Доказательство (продолжение) ( ) = i,n k=0 f k i,n p n t n n=0 в левой части все неприводимые многочлены степени n дадут одинаковый множитель (сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем t n ) и ( ) превращается в ( ) ( ) dn t nk = n k=0 p n t n. n=0

16 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 16 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Количество неприводимых нормированных многочленов... Доказательство (продолжение) По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии: n 1 (1 t n ) dn = 1 1 pt. Прологарифмируем ( в обеих частях равенства сокращаются, n m): d m ln(1 t m ) = ln(1 pt). m Продифференцируем по t ( в обеих частях равенства сокращаются): mt m 1 d m 1 t m = p 1 pt. m

17 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 17 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Количество неприводимых нормированных многочленов... Доказательство (продолжение) ( n d n nt n 1 1 t n = p 1 pt ) Снова воспользуемся формулой суммой геометрической прогрессии: p n+1 t n. m,k d m mt m 1 t mk = n Умножаем на t обе части равенства: m,k md m t m(k+1) = n p n t n. Равенство коэффициентов ( при одинаковых степенях t и есть утверждение леммы m d m = p ). n m n

18 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 18 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Важные замечания 1. Существование неприводимых многочленов Из данной леммы следует неравенство nd n p n. Простая оценка nd n = p n k n, k<n n 1 kd k p n k=0 p k = p n pn 1 p 1 > 0. доказывает, что d n > 0, а это означает, что существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n. 2. Среднее число неприводимых нормированных многочленов Из данной леммы вытекает, что при n имеем d n p n /n. Т.е. неприводимые нормированные многочлены составляют приблизительно 1/n-ю часть всех многочленов степени n над полем F p.

19 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 19 / 78 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов Изоморфизм полей Галуа с одинаковым числом элементов Докажем вторую часть основной теоремы о конечных полях: любые два поля с одинаковым числом элементов изоморфны. Теорема Пусть m минимальный многочлен элемента α F n p и d её степень. Тогда поле F p [x]/(m) изоморфно подполю F d p, порожденному степенями α. Доказательство Степени α принадлежат d-мерному пространству с базисом 1, α, α 2,..., α d 1, которое является подполем поля F n p, поскольку замкнуто относительно сложения и умножения и содержит 0 и 1.

20 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 20 / 78 Циклические подпространства Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

21 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 21 / 78 Циклические подпространства Кольцо F p [x]/(f) В приложениях часто используется кольцо многочленов K(p, f) = F p [x]/(f) по модулю главного идеала (f) возможно приводимого многочлена f F p [x]. Если f неприводим, то K(p, f) поле и этот случай уже рассмотрен. В любом случае K(p, f) векторное пространство над F p т.е. совокупность многочленов степени меньшей deg f. F p [x] = { 0, 1,..., p 1, x, x + 1,..., f,... }; (f) = f = { t f }, t F p [x]; F p [x]/(f) = { f, g, h,... }, deg f, deg g,... deg f 1; g = { t f + g }; h = { t f + h };... g + f = g, g f = f.

22 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 22 / 78 Циклические подпространства Нормированный делитель порождающего элемента идеала Теорема Пусть ϕ неприводимый нормированный многочлен, который делит f. Тогда 1 совокупность всех вычетов, кратных ϕ, образует идеал в кольце классов вычетов по модулю f: def I ϕ = { t ϕ } F p [x]/(f). 2 ϕ единственный в I ϕ нормированный многочлен минимальной степени. Доказательство u, v, ϕ F p [x], k = deg ϕ deg f ϕ = a 0 + a 1 x a k 1 x k 1 + x k, f = ψϕ.

23 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 23 / 78 Циклические подпространства Нормированный делитель Проверим, что I ϕ идеал в кольце F p [x]/(f). 1 { g Iϕ h F p [x]/(f), h g { g = uϕ h = vg = vuϕ h I ϕ. 2 g, h I ϕ { g = uϕ h = vϕ g + h = (u + v)ϕ I ϕ.

24 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 24 / 78 Циклические подпространства Нормированный делитель Покажем, что в I ϕ нет других, кроме ϕ = a 0 + a 1 x a k 1 x k 1 + x k нормированных многочленов степени, меньшей k = deg ϕ. Пусть g = b 0 + b 1 x x m. Тогда: g I ϕ g = uϕ deg g = m deg ϕ = k.

25 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 25 / 78 Циклические подпространства Подыдеал как векторное пространство Теорема Пусть ϕ неприводимый нормированный делитель многочлена f F p [x] отличный от f, deg f = n, deg ϕ = k. Тогда идеал (ϕ) векторное пространство размерности n k. Доказательство Без доказательства.

26 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 26 / 78 Циклические подпространства Циклическое пространство: определение Пусть V n-мерное векторное пространство над некоторым полем F. Фиксируем некоторый базис V. Тогда V = F n = = { ( a 0,..., a n 1 ) a i F, i = 0, 1,..., n 1 } координатное пространство. Определение Подпространство координатного пространства F n называется циклическим, если вместе с набором (a 0,..., a n 1 ) оно содержит циклический сдвиг (вправо) этого набора, т.е. набор (a n 1, a 0,..., a n 2 ) (а следовательно и все циклические сдвиги на произвольное число позиций влево и вправо).

27 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 27 / 78 Циклические подпространства Кольцо классов вычетов по модулю многочлена x n 1 В кольце F p [x]/(x n 1), рассматриваемом { как векторное } пространство над полем F p имеется базис 1, x,..., x n 1. Циклический сдвиг координат в этом базисе равносилен умножению на x: (a 0 + a 1 x a n 2 x n 2 + a n 1 x n 1 ) x = = (a 0 x + a 1 x a n 2 x n 1 + a n 1 x n ) = т.к. в этом кольце x n = 1. = (a n 1 + a 0 x + a 1 x a n 2 x n 1 ),

28 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 28 / 78 Циклические подпространства Идеал в F p [x]/(x n 1) циклическое пространство Теорема Пусть I подпространство кольца F p [x]/(x n 1). Тогда I циклическое I F p /(x n 1). Доказательство Если подпространство I идеал, то оно замкнуто относительно умножения на x, а это умножение и есть циклический сдвиг I циклическое. Пусть I циклическое подпространство кольца F p /(x n 1) и g I. Тогда g x, g x 2,... циклические сдвиги, т.е. также принадлежат I. Значит, g f I для любого многочлена f, поэтому I идеал.

29 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 29 / 78 Циклические подпространства Примитивные корни Было показано: любой многочлен с коэффициентами из F p разлагается на линейные множители в некотором поле F q = F n p характеристики p. Пусть F q поле характеристики p, в котором разлагается многочлен x n 1. Справедливо: В F q выполняется равенство x kp 1 = (x k 1) p, поэтому интересен случай, когда n взаимно просто с p: тогда у многочлена x n 1 кратных корней нет (он взаимно прост со своей производной nx n 1 ). Равенство x n = 1 означает, что порядок элемента x в мультипликативной циклической группе F q делит n. Вывод: корни уравнения x n 1 = 0 образуют группу корней степени n из единицы подгруппу в F q. Эта подгруппа также циклическая; её порождающие элементы называются примитивными корнями степени n.

30 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 30 / 78 Циклические подпространства Количество и степени неприводимых делителей x n 1 Подгруппа в циклической группе существует iff её порядок делит порядок циклической группы поле F q содержит группу корней из единицы степени n iff n (q 1). Чтобы вернуться от разложения x n 1 на линейные множители в поле F q = F n p (корни из 1) к разложению на неприводимые множители в поле F p, нужно понять, какие корни из единицы будут входить в неприводимый делитель f(x). Если β корень f(x), то β p, β p2 и т.д. также его корни количество и степени неприводимых делителей x n 1 можно найти, разбив F p на орбиты отображения t pt mod n.

31 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 31 / 78 Циклические подпространства Разложение многочлена x 15 1 над полем F 2 Пример Рассмотрим ещё раз разложение многочлена x 15 1 над F 2. Относительно умножения на 2 вычеты по модулю 15 разбиваются на такие орбиты: { 0 }, { 1, 2, 4, 8 }, { 3, 6, 12, 9 }, { 5, 10 }, { 7, 14, 13, 11 } (12 2 = 24 = ) Поэтому x 15 1 разлагается в произведение одного неприводимого многочлена степени 1, одного неприводимого многочлена степени 2, трех неприводимых многочленов степени 4. Конкретно (разложение было раньше): x = = (x+1)(x 2 +x+1)(x 4 +x+1)(x 4 +x 3 +1)(x 4 +x 3 +x 2 +x+1).

32 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 32 / 78 Циклические подпространства Разложение многочлена x 23 1 над полем F 2 Пример Рассмотрим разложение многочлена x 23 1 над F 2. Относительно умножения на 2 вычеты по модулю 23 разбиваются на три орбиты: { 0 }, { 1, 2, 4, 8, 16, 9, 18, 13, 3, 6, 12 }, { 5, 10, 20, 17, 11, 22, 21, 19, 15, 7, 14 } (18 2 = ) Поэтому x 23 1 разлагается в произведение одного неприводимого многочлена степени 1 и двух неприводимых многочленов степени 11.

33 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 33 / 78 Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

34 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 34 / 78 Задача ПГ-1 (теорема Вильсона) Доказать, что (p 1)! p 1 для простого p. Решение p = 2: утверждение тривиально. p > 2: Степени всех элементов мультипликативной циклической группы F p = { 1,..., p 1 } делят её порядок p 1 x F p : ( x p 1 = 1 ) все они являются корнями уравнения x p 1 1 = 0. Других корней у этого уравнения нет (многочлен степени p 1 имеет не больше p 1 корней). По теореме Виета их произведение равно свободному члену, т.е. 1.

35 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 35 / 78 Задача ПГ-2 Найти x Решение Рассмотрим мультипликативную циклическую группу { 1, 2,..., 16 } поля F 17 ; G = { , ,..., } циклическая подгруппа порядка k (здесь только k несовпадающих элементов, k 16) этой группы. Элементы G корни уравнения x k 1 = 0 Их сумма по теореме Виета есть коэффициент при x k 1 в ( ), т.е. 0. ( )

36 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 36 / 78 Задача ПГ-3 Построить поле из 4-х элементов. Решение Это поле F 2 2, оно может быть построено как фактор-кольцо F 2 [x]/ (a(x)), где a(x) неприводимый многочлен из F 2 [x] степени 2. Но такой многочлен только один: x 2 + x + 1. Следовательно, F 2 2 = { 0, 1, x, x + 1 } Таблицы сложения и умножения в поле: + 1 x x x + 1 x x x x + 1 x x x x x + 1 x x x x + 1 x x

37 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 37 / 78 Задача ПГ-4 Производная многочлена f 0 над полем характеристики p тождественно равна 0. Доказать, что этот многочлен приводимый. Решение производная монома (x n ) = nx n 1 тождественно равна 0 iff n p 0 p n; f = 0 показатели степеней всех мономов многочлена f делятся на p; поэтому f(x) = g(x p ) = g p (x).

38 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 38 / 78 Задача ПГ-5 Доказать, что любая функция f : F n p F n p представлена многочленом. может быть Решение Можно, например, использовать интерполяционный многочлен Лагранжа: (x b) f(x) = a F n p f(a) b F n p {a} b F n p {a} (a b).

39 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 39 / 78 Задача ПГ-6 Многочлен x 5 + x 3 + x разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 2. Решение 1 f(x) = x 5 + x 3 + x 2 + 1, f(1) = 0 1 корень f. 2 Делим f(x) на x 1, получаем x 4 + x 3 + x + 1 = f 1 (x). 3 f 1 (1) = 0 1 корень f 1 ; 4 f 2 (1) = 0 1 корень f 2 ; 5 Многочлен x 2 + x + 1 неприводим. f 1 x+1 = x3 + 1 = f 2 (x). f 2 x+1 = x2 + x + 1. Ответ: x 5 + x 3 + x = (x + 1) 3 (x 2 + x + 1).

40 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 40 / 78 Задача ПГ-7 Многочлен f(x) = x 3 + 2x 2 + 4x + 1 F 5 [x] разложить на неприводимые множители. Решение 1 f(2) = = , (x 2) 5 (x + 3) 2 x 3 + 2x 2 + 4x + 1 x + 3 x 3 + 3x 2 x 2 + 4x + 2 4x 2 + 4x 4x 2 + 2x 2x + 1 2x многочлен f 1 = x 2 + 4x + 2 неприводим в F 5 Ответ: x 3 + 2x 2 + 4x + 1 = (x + 3)(x 2 + 4x + 2).

41 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 41 / 78 Задача ПГ-8 Многочлен f(x) = x 4 + x 3 + x + 2 F 3 [x] разложить на неприводимые множители. Решение 1 0, 1, 2 не корни f(x) f(x) линейных делителей не содержит. 2 Неприводимые многочлены над F 3 степени 2: x 2 + 1, x 2 + x + 2, x 2 + 2x Подбором получаем: f(x) = (x 2 + 1)(x 2 + x + 2). Ответ: (x 2 + 1)(x 2 + x + 2).

42 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 42 / 78 Задача ПГ-9 Многочлен x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x + 4 разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 5. Решение 1. Убеждаемся, что многочлен f(x) = x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x + 4 не имеет линейных делителей: f(x) 0 ни при одном x = 0, 1, 2, 3, Перебирая неприводимые многочлены степени 2 над F 5, получаем f(x) = (x 2 + x + 1)(x 2 + 2x + 4).

43 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 43 / 78 Задача ПГ-10 Разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 2 все нормированные многочлены второй степени от x. Решение f 1 (x) = x 2 = x x, f 2 (x) = x = (x + 1) 2, f 3 (x) = x 2 + x = x (x + 1), f 4 (x) = x 2 + x + 1 неприводим.

44 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 44 / 78 Задача ПГ-11 Разложить на неприводимые множители все нормированные многочлены третьей степени из F 2 [x]. Решение f 1 (x) = x 3, f 2 (x) = x = (x + 1)(x 2 + x + 1), f 3 (x) = x 3 + x = x(x + 1) 2, f 4 (x) = x 3 + x 2 = x 2 (x + 1), f 5 (x) = x 3 + x + 1 неприводим, f 6 (x) = x 3 + x неприводим, f 7 (x) = x 3 + x 2 + x = x(x 2 + x + 1), f 8 (x) = x 3 + x 2 + x + 1 = (x + 1) 3.

45 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 45 / 78 Задача ПГ-12 Найти все нормированные многочлены второй степени от x, неприводимые над полем вычетов по модулю 3. Решение Должно быть: f(0) 0, f(1) 0, f(2) 0. Перебором коэффициентов в выражении x 2 + bx + c, находим подходящие многочлены: f 1 (x) = x 2 + 1, f 2 (x) = x 2 + x + 2, f 3 (x) = x 2 + 2x + 2.

46 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 46 / 78 Задача ПГ-13 Найти все нормированные многочлены третьей степени от x, неприводимые над полем вычетов по модулю 3. Решение Должно быть: f(0) 0, f(1) 0, f(2) 0. f 1 (x) = x 3 + 2x + 1, f 2 (x) = x 3 + 2x + 2, f 3 (x) = x 3 + x 2 + 2, f 4 (x) = x 3 + 2x 2 + 1, f 5 (x) = x 3 + x 2 + x + 2, f 6 (x) = x 3 + x 2 + 2x + 1, f 7 (x) = x 3 + 2x 2 + x + 1, f 8 (x) = x 3 + 2x 2 + 2x + 2.

47 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 47 / 78 Задача ПГ-14 1 Проверить, что F = F 7 [x]/ ( x 2 + x 1 ) является полем. 2 Выразить обратный к 1 x в F в базисе { 1, x }. Решение ❶ a(x) = x 2 + x 1, a(0) = 6, a(1) = 1, a(2) = 5, a(3) = 4, a(4) = 6, a(5) = 1, a(6) = 6 многочлен a(x) неприводим в F 7 и F поле ( = F 2 7 ). ❷ F 2 7 = { ax + b a, b F 7, x 2 = 1 x = 6x + 1 } (ax + b) (6x + 1) =... = (2a + 6b)x + (6a + b) = 1 { { 6a + b = 1 a = 1 a + 3b = 0 b = 2 Проверка: (6x + 1)(x + 2) = 6x x + 2 = 1 + 7x = 1.

48 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 48 / 78 Задача ПГ-15 Найти порядок элемента x + x 2 в мультипликативной группе 1 поля F 2 [x]/ ( x 4 + x + 1 ) ; 2 поля F 2 [x]/ ( x 4 + x ). Решение x + x 2 = x(x + 1) ❶ x 4 = x + 1 (x 2 + x) 2 = x 4 + x 2 = x 2 + x + 1, (x 2 + x) 3 = x(x + 1)(x 2 + x + 1) = x(x 3 + 1) = = x 4 + x = x x = 1. Ответ: 3.

49 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 49 / 78 Задача ПГ Решение ❷ x 4 = x (x 2 + x) 2 = x 4 + x 2 = x 3 + x 2 + 1, (x 2 + x) 3 = x(x + 1)(x 3 + x 2 + 1) = x(x 4 + x 2 + x + 1) = = x(x 3 + x 2 + x) = x 4 + x 3 + x 2 = x 2 + 1, (x 2 + x) 4 = (x 2 + x)(x 2 + x) 3 = (x 2 + x)(x 2 + 1) =... = x 4 + x 2 + x 3 + x = x x 2 + x 3 + x = = x 2 + x + 1, долго и сложно

50 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 50 / 78 Задача ПГ α 4 = α 3 + 1, x = α, β = α 2 + α Решение α 4 = α α 5 = α 4 + α = α 3 + α + 1 α 6 = α 2 (α 3 + 1) = α 3 + α 2 + α + 1 α 7 = α 4 + α 3 + α 2 + α = α 2 + α + 1 α 8 = α 3 + α 2 + α α 9 = α 4 + α 3 + α 2 = α α 10 = α α 11 = α 4 + α 2 = α 3 + α α 12 = α 4 + α 3 + α = α + 1 α 13 = α 2 + α = β deg β = 15

51 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 51 / 78 Задача ПГ-16 Найти количество неприводимых многочленов 1 степени 7 над полем F 2 ; 2 степени 6 над полем F 5 ; 3 степени 24 над полем F 3. Решение 1 d 7 =? md m = p n m n md m = 2 7 = 1 d d 7 = 128. m 7 d 1 = 2 (x, x + 1) d 7 = (128 2)/7 = 126/7 = 18.

52 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 52 / 78 Задача ПГ-17 Чему равно произведение всех ненулевых элементов поля F 6 2? Решение Все ненулевые элементы поля F 6 2 x = x 63 1 = 0. являются корнями уравнения По теореме Виета их произведение равно свободному члену, т.е

53 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 53 / 78 Задача ПГ-18 Чему равна сумма всех элементов поля F 7 3? Решение Все элементы поля F 7 3 являются корнями уравнения x 37 x = x 2187 x = 0. ( ) По теореме Виета их сумма равна коэффициенту перед x 2186, т.е. 0.

54 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 54 / 78 Задача ПГ-19 Для поля F = F 3 [x]/ ( 2x 2 + x + 2 ) построить таблицу соответствий между полиномиальным и степенным представлением для ненулевых элементов. С помощью данной таблицы вычислить выражение 1 2x + 1 (2x)7 (2) (x) 9 (x + 2). Решение char F = 3, поэтому 2x 2 + x x 2 + x + 2 = a(x). F содержит = 8 элементов и все они могут быть представлены как степени α i, i = 1, 8 примитивного элемента α. Если элемент x окажется примитивным, то положим α = x и, поскольку вычисления в F 2 3 проводятся по mod a(x), будем иметь x 2 + x + 2 = 0 x 2 = x 2 = 2x + 1.

55 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 55 / 78 Задача ПГ x 2 = 2x + 1, F 3 [x] Решение Найдём порядок элемента x проверим степени, являющиеся делителями 8, т.е. 2 и 4: x 2 = 2x + 1 1, x 4 = 2 1 т.е. x примитивный элемент F. Повезло: a(x) = x 2 + x + 2 оказался примитивным многочленом над F 3 (т.е. a(x) x и a(x) x t + 1, t = 3,..., 7), иначе генератор F пришлось бы искать. Теперь вычислим значение выражения ( 2 8 = ): 1 2x + 1 (2x)7 (2) (x) 9 (x + 2) = 1 x 2 x7 x 9 x 6 = x8 x 2 x7 x 8 x 15 = = x 6 1 = x = x + 1.

56 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 56 / 78 Задача ПГ-20 Для поля F = F 3 [x]/ ( x ) = F 2 3 построить таблицу соответствий между полиномиальным и степенным представлением для всех ненулевых элементов поля. Решение В данном 9-элементном поле x = 0 x 2 = Найдём порядок элемента x проверим степени, являющиеся делителями 9 1 = 8, т.е. 2 и 4: x 2 = 2, x 4 = 1. Следовательно, элемент deg x = 4 и x не является генератором группы F ( x 4 1 = x = (x 2 + 1)(x 2 + 2) и x не есть примитивный многочлен над F 3 ). Также не являются примитивными все степени x: x 2 = 2, x 3 = 2x, x 4 = 1.

57 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 57 / 78 Задача ПГ x Найдём порядок элемента x + 1: (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 = 2x, (x + 1) 4 = (2x) 2 = 2, т.е. α = x + 1 оказался примитивным элементом. Его степени: α 1 = x + 1, α 5 = 2(x + 1) = 2x + 2, α 2 = 2x, α 6 = α 2 α 4 = x, α 3 = 2x(x + 1) = 2x + 1, α 7 = x(x + 1) = x + 2, α 4 = 2, α 8 = (α 4 ) 2 = 1. Заметим, что вычисление очередной степени α i+j часто бывает удобным провести как α i α j, а не как α α i+j 1.

58 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 58 / 78 Задача ПГ-21 В факторкольце F 3 [x]/ ( x ) найти все элементы главного идеала ( x 2 + x + 2 ). Решение 1. Сначала проверим, является ли многочлен f(x) = x 2 + x + 2 делителем x 4 + 1? x = (x 2 + x + 2) (x 2 + 2x + 2) да! Поэтому искомый идеал составят многочлены кольца (т.е. степени не выше 3), кратные f(x): ( x 2 + x + 2 ) = { (x 2 + x + 2)(ax + b) a, b F 3 }. Проведём умножение: (x 2 + x + 2) (ax + b) = ax 3 + (a + b)x 2 + (2a + b)x + 2b.

59 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 59 / 78 Задача ПГ Теперь, перебирая все возможные значения a, b F 3, найдём все элементы идеала ( x 2 + x + 2 ) : a b ax 3 + (a + b)x 2 + (2a + b)x + 2b x 2 + x x 2 + 2x x 3 + x 2 + 2x 1 1 x 3 + 2x x 3 + x x 3 + 2x 2 + x 2 1 2x 3 + 2x x 3 + x 2 + 1

60 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 60 / 78 Задача ПГ-22 В поле F 7 [x]/ ( x 4 + x 3 + x ) найти обратный к элемент. Решение Обратный элемент к x 2 + x + 3 находим, решая уравнение (x 4 + x 3 + x 2 + 3) χ(x) +(x 2 + x + 3) y(x) = 1 }{{} = 0 с помощью расширенного алгоритма Евклида: им будет y(x). Замечание: вычислять коэффициент при x 4 + x 3 + x (χ i (x)) нет необходимости. ( )

61 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 61 / 78 Задача ПГ-22 Шаг 0. Шаг 1. Шаг 2. r 2 (x) = x 4 + x 3 + x 2 + 3, // Инициализация r 1 (x) = x 2 + x + 3, y 2 (x) = 0, y 1 (x) = 1. r 2 (x) = r 1 (x)q 0 (x) + r 0 (x), // Делим r 2 (x) на r 1 (x) с остатком q 0 (x) = x 2 + 5, r 0 (x) = 2x + 2, y 0 (x) = y 2 (x) y 1 (x)q 0 (x) = q 0 (x) = x 2 5. r 1 (x) = r 0 (x)q 1 (x) + r 1 (x), // Делим r 1 (x) на r 0 (x) с остатком q 1 (x) = 4x, r 1 (x) = 3, y 1 (x) = y 1 (x) y 0 (x)q 1 (x) = 1 + 4x(x 2 + 5) = = 4x 3 + 6x + 1.

62 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 62 / 78 Задача ПГ-22 Алгоритм заканчивает свою работу на Шаге 2, т.к. степень 0 очередного остатка r 1 (x) = 3 равна степени многочлена в правой части ( ): 1 многочлен 0-й степени. В результате работы алгоритма получено: (x 2 + x + 3)(4x 3 + 6x + 1) = r 1 (x) = 3. Чтобы найти y(x), нужно домножить y 1 (x) на 3 1 = 5: y(x) = 5y 1 (x) = 5 (4x 3 + 6x + 1) = 6x 3 + 2x + 5. Проверка: y(x)(x 2 + x + 3) = (6x 3 + 2x + 5)(x 2 + x + 3) = = 6x 5 + 6x 4 + 6x 3 + 4x + 1 = = 6x( x 3 x 2 3) + 6x 4 + 6x 3 + 4x + 1 = 1.

63 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 63 / 78 Задача ПГ-23 В поле F = F 5 [x]/ ( x 2 + 3x + 3 ) найти обратную для матрицы ( ) 3x + 4 x + 2 M =. x + 3 3x + 2 Решение Для матриц размера 2 2 обратная матрица записывается в виде ( ) 1 ( ) a b 1 d b =. c d ad bc c a 1. Сначала вычислим det M = ad bc с учётом x 2 = 2x + 2: det M = (3x+4)(3x+2) (x+2)(x+3) = 4x 2 +3x+3 x 2 1 = = 3x 2 + 3x + 2 = 3(2x + 2) + 3x + 2 = 4x + 3.

64 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 64 / 78 Задача ПГ Найдём обратный к 4x + 3 элемент, решая уравнение (x 2 + 3x + 3) χ(x) + (4x + 3) y(x) = 1. с помощью расширенного алгоритма Евклида: Шаг 0. Шаг 1. r 2 (x) = x 2 + 3x + 3, // Инициализация r 1 (x) = 4x + 3, y 2 (x) = 0, y 1 (x) = 1. r 2 (x) = r 1 (x)q 0 (x) + r 0 (x), // Делим r 2 (x) на r 1 (x) с остатком q 0 (x) = 4x + 4, r 0 (x) = 1, y 0 (x) = y 2 (x) y 1 (x)q 0 (x) = q 0 (x) = = 4x 4 = x + 1. Т.е. (4x + 3) 1 = y 0 (x) = x + 1.

65 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 65 / 78 Задача ПГ x 2 5 2x Вычислим обратную матрицу ( M 1 3x + 2 4x + 3 = (x + 1) 4x + 2 3x + 4 ) = ( x x 3x ). Проверка: ( ) ( ) 3x + 4 x + 2 x = x + 3 3x + 2 4x 3x ( ) (3x + 4)(x + 3) + 4x(x + 2) 3x x(x + 2) = (x + 3) 2 = + 4x(3x + 2) x x(3x + 2) ( 2x = 2 + x + 2 3x 2 ) + 4x + 4 3x 2 + 4x + 4 4x 2 = + 2x + 3 ( ) ( ) 2(2x + 2) + x + 2 3(2x + 2) + 4x = =. 3(2x + 2) + 4x + 4 4(2x + 2) + 2x

66 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 66 / 78 Задача ПГ-24 Разложить на неприводимые множители многочлен f(x) = x 11 + x 9 + x 8 + x 4 + x 3 + x F 2 [x]. Решение 1. Сначала пытаемся найти корни f(x) в F 2 : f(0) = 1, f(1) = 1. Значит, f(x) не имеет корней в F 2 т.е. не имеет линейных множителей. 2. Далее ищем делители f(x) среди неприводимых многочленов степени 2. Таковых над F 2 только один x 2 + x + 1. При делении f(x) на x 2 + x + 1, получаем f(x) = (x 2 + x + 1)(x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1).

67 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 67 / 78 Задача ПГ Продолжаем дальше делить на x 2 + x + 1: g(x) = x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1)(x 7 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) + x, т.е. x 2 + x + 1 делитель f(x) кратности Неприводимых многочленов степени 3 над F 2 два: x 3 + x + 1 и x 3 + x Пробуем поделить g(x) на x 3 + x + 1: x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = делится! = (x 3 + x + 1)(x 6 + x 5 + x 3 + x 2 + 1)

68 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 68 / 78 Задача ПГ Производя далее попытки деления h(x) = x 6 + x 5 + x 3 + x на многочлены 3-й степени, получаем x 6 + x 5 + x 3 + x = (x 3 + x + 1)(x 3 + x 2 + x + 1) + x 2, x 6 + x 5 + x 3 + x = (x 3 + x 2 + 1)x 3 + x Т.к. как многочлен 6-ой степени h(x) не имеет делителей 3-й и меньших степеней, то он является неприводимым: если бы он имел делитель, скажем, степени 4, то у него был бы и делитель степени 6 4 = 2. В итоге в F 2 [x] имеем разложение f(x) = x 11 + x 9 + x 8 + x 4 + x 3 + x = = (x 2 + x + 1)(x 3 + x + 1)(x 6 + x 5 + x 3 + x 2 + 1).

69 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 69 / 78 Задача ПГ-25 Найти минимальное поле характеристики 3, в котором многочлен f(x) = x 3 + x + 2 F 3 [x] раскладывается на линейные множители. В данном поле найти все корни данного многочлена. Решение 1. Найдём разложение многочлена f(x) на неприводимые множители над F 3. Проверяем корни: f(0) = 2, f(1) = 1, f(2) = 0. Т.к. x 2 3 x + 1, то f(x) = (x + 1)(x 2 + 2x + 2). Найдём разложение многочлена g(x) = x 2 + 2x + 2 F 3 [x]. Он не имеет корней, его степень = 2 он неприводим. Окончательно: f(x) = (x + 1)(x 2 + 2x + 2).

70 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 70 / 78 Задача ПГ Известно, что если g(x) неприводимый многочлен степени n над конечным полем F p, то он: в поле своего расширения F = F p [x]/(g(x)) раскладывается на n линейных ( множителей g(x) = (x α) (x α p ) x α p2) (... x α pn 1), где α произвольный корень g(x) в F ; не имеет корней ни в каком конечном поле, содержащим менее, чем p n элементов. 3. Рассмотрим поле F 3 [x]/(g(x)) расширения многочлена g(x) = x 2 + 2x + 2. В этом поле если α корень g(x), то и α 3 тоже корень. Вычисляем: α 2 = 2α 2 = α + 1 и α 3 = α(α + 1) = α 2 + α = 2α + 1.

71 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 71 / 78 Задача ПГ α 2 = α + 1 F 3 Действительно (подчёркиваем слагаемые, дающие в сумме 0): (x α)(x 2α 1) = (x + 2α) (x + α + 2) = = x 2 + αx + 2x + 2αx + 2α 2 + 4α = = x 2 + 2x + 2α α = x 2 + 2x + 2. Построенное расширение поле F 3 [x]/ ( x 2 + 2x + 2 ) содержит найденный ранее корень 2, поэтому многочлен f(x) в этом поле раскладывается на следующие линейные множители: f(x) = x 3 + x + 2 = (x 2)(x α)(x 2α 1) = = (x + 1)(x + 2α)(x + α + 2).

72 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 72 / 78 Задача ПГ F 3 4. Определить корни многочлена g(x) = (x α)(x 2α 1) в поле F 3 [x]/ ( x 2 + 2x + 2 ) легко: всегда можно взять α = x, откуда второй корень α 3 = 2α + 1 = 2x Таким образом, в поле F 3 [x]/ ( x 2 + 2x + 2 ) многочлен f(x) = x 3 + x + 2 имеет корни 2, x и 2x + 1.

73 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 73 / 78 Задача ПГ Найти минимальный многочлен m(x) F 5 [x], который имеет корень α 3, где α примитивный элемент поля F = F 5 [x]/ ( x 2 + x + 2 ). Решение 1. Известно, что минимальный многочлен m(x) в поле характеристики 5 вместе с корнем α 3 содержит все смежные с ним (α 3 ) 5 = α 15, (α 3 ) 52 = α 75, (α 3 ) 53 = α 375 и т.д. 2. В поле F 2 5 будет α 52 1 = α 24 = 1 смежный класс, образованный α 3 содержит только два элемента α 3 и α 15 (т.к. α 75 = α = α 3 ) минимальный многочлен m(x) имеет степень 2 и может быть представлен как m(x) = (x α 3 )(x α 15 ) = x 2 (α 3 + α 15 )x + α 18.

74 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 74 / 78 Задача ПГ m(x) = x 2 (α 3 + α 15 )x + α Найдём коэффициенты многочлена m(x) учётом α 2 = α 2 = 4α + 3: α 3 = α α 2 = α(4α + 3) = 4α 2 + 3α = = 4(4α + 3) + 3α = 4α + 2, α 15 = (α 3 ) 5 = (4α + 2) 5 = 4α = = 4α 2 α = 4(4α + 3)(4α + 2) + 2 = = 4(α 2 + 1) + 2 = 4(4α + 4) + 2 = α + 3, α 3 + α 15 = 4α α + 3 = 0, α 18 = α 3 α 15 = (4α + 2)(α + 3) = = 4(4α + 3) + 4α + 1 = 3. В итоге: m(x) = x

75 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 75 / 78 Что надо знать Разделы 1 Поля вычетов по модулю простого числа 2 Вычисление элементов в конечных полях 3 Линейная алгебра над конечным полем 4 Корни многочленов над конечным полем 5 Существование и единственность поля Галуа из p n элементов 6 Циклические подпространства 7 8 Что надо знать

76 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 76 / 78 Что надо знать Конечное поле и его характеристика. Мультипликативная группа, примитивный элемент поля Галуа и его нахождение. Основная теорема алгебры. Алгоритм Евклида и его применение. Теорема Безу и расширенный алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены: существование и нахождение неприводимых многочленов в конечных полях. Построение конечных полей с помощью неприводимых многочленов (привести пример). Изоморфизм конечных полей. Векторное пространство многочленов. Базис в F n p. Поля Галуа как векторные пространства. Подполя конечного поля.

77 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 77 / 78 Что надо знать Минимальные многочлены над конечным полем: примеры и свойства. Корнями какого многочлена являются все элементы конечного поля? Делителями какого многочлена являются все неприводимые многочлены n-й степени? Теорема о степени любого неприводимого делителя многочлена x pn 1 1. Теорема о корнях неприводимого многочлена. Многочлены над конечным полем: решение уравнений. Как решать уравнения, когда корней нет (алгоритм нахождения всех корней многочлена f(x) над полем Галуа F p )? Мультипликативная группа расширения поля. Существование неприводимого многочлена степени n над полем F p.

78 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 78 / 78 Что надо знать Лемма о числе неприводимых нормированных многочленов из F n p. Среднее число неприводимых многочленов. Изоморфизм полей Галуа с одинаковым числом элементов. Теорема о неприводимом нормированном многочлене делителе порождающего элемента идеала. Циклическое пространство: определение и примеры. Количество и степени неприводимых делителей x n 1.

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Приложение 1 ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Для криптографии алгебра является одним из основных инструментов в теоретических исследованиях и практических построениях криптографических преобразований Поэтому в этом

Подробнее

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями 20. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Основная теорема алгебры В

Подробнее

Тема 9. Неприводимые многочлены над F p и конечные поля Лектор: Н. И. Яцкин, 2014

Тема 9. Неприводимые многочлены над F p и конечные поля Лектор: Н. И. Яцкин, 2014 ИвГУ, ф-т МиКН, курс 2 "КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА" Тема 9. Неприводимые многочлены над F p и конечные поля Лектор: Н. И. Яцкин, 2014 2 F p = {0, 1, 2,, p 1} поле классов вычетов по простому модулю p; F [x]

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Разложение многочлена на неприводимые множители

Разложение многочлена на неприводимые множители Разложение многочлена на неприводимые множители Рассмотрим самый общий случай. Пусть дано некоторое поле многочленов GF(q), где q = p n, n степень модуля q, а p характеристика. Обозначим через g 1 (x),

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА Методические указания для практических занятий по "Теории

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Компьютерная алгебра. (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев

Компьютерная алгебра. (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев Компьютерная алгебра (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев Computer.Algebra@yandex.ru (С) Кафедра «Компьютерные системы и программные технологии», Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ Возьмем натуральное целое число m, которое будем называть модулем. Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если разность (a b) делится на m (m a

Подробнее

Решение задач по теории чисел

Решение задач по теории чисел Решение задач по теории чисел 1 Сравнения первой степени с одним неизвестным ax b (mod m) Пример 1. Решите сравнение О.В. Митина 1287x 447 (mod 516). (1) Решение: 1) Заменим коэффициенты сравнения (1)

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

Целые, рациональные и вещественные числа

Целые, рациональные и вещественные числа Глава 2 Целые, рациональные и вещественные числа 2.. Целые числа Числа, 2, 3,... называются натуральными. Множество всех натуральных чисел обозначается N, т.е. N = {,2,3,...}. Числа..., 3, 2,,0,,2,3,...

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

Алгебраические структуры. Электронный комплект экзаменационных билетов

Алгебраические структуры. Электронный комплект экзаменационных билетов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СПКОРОЛЕВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

В. Б. АЛЕКСЕЕВ. ТЕОРЕМА АБЕЛЯ в задачах и решениях

В. Б. АЛЕКСЕЕВ. ТЕОРЕМА АБЕЛЯ в задачах и решениях В. Б. АЛЕКСЕЕВ ТЕОРЕМА АБЕЛЯ в задачах и решениях МЦНМО, 2001 УДК 517.545, 512.54 А 47 ББК 22.144 Алексеев В. Б. А 47 Теорема Абеля в задачах и решениях М.: МЦНМО, 2001. 192 с. 115 илл. ISBN 5 900916 86

Подробнее

Простые и составные числа

Простые и составные числа А. Шень Простые и составные числа 183 182 181 180 179 178 177 176 175 174 173 172 171 170 225 184 133 132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 169 224 185 134 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 121 168 223

Подробнее

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП ЛЕКЦИЯ 17 ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 1 ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА Предложение 1. В ассоциативной алгебре A с единицей размерности n над полем

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

Комплексная алгебраическая геометрия,

Комплексная алгебраическая геометрия, Комплексная алгебраическая геометрия, лекция 13: ростки многообразий НМУ/ВШЭ, Москва 23 мая 2014 1 Кольцо ростков комплексно-аналитических функций УПРАЖНЕНИЕ: Пусть U U открытые, связные подмножества комплексного

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

m (V ) = dim V = dim U ;

m (V ) = dim V = dim U ; 9. Линейные представления конечных групп Если специально не оговаривается противное, всюду в этой лекции через G обозначается конечная группа, а через k алгебраически замкнутое поле, причём char(k) G.

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

Линейная алгебра и функции многих переменных

Линейная алгебра и функции многих переменных Линейная алгебра и функции многих переменных В. С. Булдырев Б. С. Павлов 9 февраля 22 г. 2 Часть I Линейная алгебра 3 Глава 1 Линейное пространство Эта глава служит введением в теорию линейных пространств.

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов

Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов Авдошин С.М., Савельева А.А. Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов Разработан эффективный алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов [], эквивалентный по сложности

Подробнее

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ ЛЕКЦИЯ 20 КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ ПРИМЕРЫ 1 КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Лемма 1. Пусть Γ центральная функция на конечной группе G, φ : G GL (V ) неприводимое

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ. Группы, кольца, поля: Методические указания по дисциплине Геометрия и алгебра / И. Г. Зельвенский; СПбГЭТУ.

ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ. Группы, кольца, поля: Методические указания по дисциплине Геометрия и алгебра / И. Г. Зельвенский; СПбГЭТУ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Группы, кольца, поля: Методические указания по дисциплине Геометрия и алгебра / И. Г. Зельвенский; СПбГЭТУ. In Galois fields, full of flowers primitive elements dance for hours climbing

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 9 Считается, что классический функциональный анализ стоит на «трех китах» на трех фундаментальных теоремах. Это теорема Хана Банаха, теорема Банаха об обратном

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

Лекции по группам и алгебрам Ли Инвариантные тензоры на группе Ли.

Лекции по группам и алгебрам Ли Инвариантные тензоры на группе Ли. Лекции по группам и алгебрам Ли 9-1. Инвариантные тензоры на группе Ли. 1. Аннотация. Обсуждаются приложения конструкции разнесения тензоров по группе Ли к теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта и к вычислению

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие Летняя школа специализированного учебно-научного центра Методическое пособие Екатеринбург 2014 ЛЕТНЯЯ ШКОЛА (2014г) П р о г р а м м а Алгебра 1. Метод интервалов на прямой. 2. Метод областей на плоскости.

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Функции конечнозначных логик. Элементарные функции k-значной логики. Способы задания функций k-значной логики: таблицы, формулы, I-я и II-я формы, полиномы. Полнота. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Лекция 1. Алгебраическое доказательство. Пусть это не так, т.е.

Лекция 1. Алгебраическое доказательство. Пусть это не так, т.е. Лекция Почему мы не можем обойтись целыми и рациональными числами? Потому что в самых естественных ситуациях нам встречаются числа, не являющиеся ни целыми, ни рациональными. Рассмотрим единичный квадрат.

Подробнее

ЛЕММА БЕРНСАЙДА И ЗАДАЧИ О РАСКРАСКАХ

ЛЕММА БЕРНСАЙДА И ЗАДАЧИ О РАСКРАСКАХ ЛЕММА БЕРНСАЙДА И ЗАДАЧИ О РАСКРАСКАХ А.В.СТЕПАНОВ Предисловие Комбинаторные задачи о количестве объектов, не совмещаемых друг с другом определенными преобразованиями, которые решаются с помощью Леммы

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ. Лекции. I семестр

Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ. Лекции. I семестр Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ 2004-2006 уч. гг. Лектор: к.ф.-м.н. А. В. Васильев Лекции I семестр 1. Метод математической индукции (2 часа). Описание метода. Примеры применения:

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 2 5 УДК 517.91 ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА y = f(x, y) Л. В. Овсянников Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090

Подробнее

15 Степень отображения. Определение Говорят, что на многообразии М n задана ориентация, если оно разбито на области действия локальных координат

15 Степень отображения. Определение Говорят, что на многообразии М n задана ориентация, если оно разбито на области действия локальных координат 87 Теорема Фундаментальная группа окружности S является бесконечной циклической группой с образующей α, где α - гомотопический класс петли l: I S, где l () t = ( os πt,sin π t ), t [ 0 ; ] 5 Степень отображения

Подробнее

Перевод на «язык равенств и неравенств»

Перевод на «язык равенств и неравенств» Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Перевод на «язык равенств и неравенств» Раздел электронного пособия «Элементарная математика» e-mail:

Подробнее

Линейные векторные пространства. Конспект лекций

Линейные векторные пространства. Конспект лекций Матвеева ТА, Светличная ВБ, Агишева ДК, Зотова СА Линейные векторные пространства Конспект лекций Волгоград г Министерство образования и науки РФ Волжский политехнический институт (филиал) федерального

Подробнее

7. Подпространства линейного пространства Линейные оболочки Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов.

7. Подпространства линейного пространства Линейные оболочки Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов. Содержание Гл.. Основные понятия. 3. Что такое линейная алгебра?...................... 3 2. Числовые поля.............................. 3 3. Линейная зависимость столбцов и строк................ 4 4. Ранг

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

15. Гильбертовы пространства

15. Гильбертовы пространства 5 Гильбертовы пространства Гильбертово пространство линейное нормированное пространство, со скалярным произведением из или, полное относительно нормы, порожденным скалярным произведением Рассмотрим случай

Подробнее

Дата проведения урока Тема Примечание

Дата проведения урока Тема Примечание урока Дата проведения урока Тема Примечание 1 четверть (32 ч) 1 Повторение.Числовые и алгебраические выражения. Графики функций 2 Повторение. Линейные уравнения и системы. 3 Срезовая контрольная работа

Подробнее

Численный анализ. Содержание. А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций)

Численный анализ. Содержание. А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций) Численный анализ А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций) Содержание 1. Алгебраические методы интерполирования................ 3 1.1. Интерполяционный полином в форме Лагранжа..........

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

Теория пределов: упражнения и примеры

Теория пределов: упражнения и примеры Теория пределов: упражнения и примеры Методическое пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии П.А.Панов Государственный Университет Высшая школа экономики Январь 00 Что такое предел

Подробнее

Рабочая учебная программа по математике в 6 А классе

Рабочая учебная программа по математике в 6 А классе Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 29» города Чебоксары Рассмотрено на заседании ШМО Протокол от 20 г. Руководитель ШМО В.В. Морушкина «Утверждаю»

Подробнее

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР ЛЕКЦИЯ 2 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ПОДГРУППЫ ГРУППЫ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР 1 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Лекция 22. Линейные отображения.

Лекция 22. Линейные отображения. Лекция 22. Линейные отображения. 1 Определение Созданная нами «вселенная», векторное пространство, оснащено двумя структурами: алгебраической и геометрической. Здесь под геометрической структурой мы понимаем

Подробнее

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать Лекция 2 Тема: Понятие проективного репера и проективных координат точки Построение точки по ее координатам на модели проективной прямой и плоскости Преобразование проективных координат План лекции 1 Понятие

Подробнее

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

5. Линейные коды (продолжение)

5. Линейные коды (продолжение) 17 5. Линейные коды (продолжение) Проверочная матрица кода. Другой способ задания линейного подпространства C F n размерности k состоит в указании n k линейных уравнений, которым удовлетворяют координаты

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби Определение Дроби вида, называются обыкновенными дробями Обыкновенные дроби, правильные и неправильные Определение Дробь, правильной, если < при, где Z, N Z, N Z,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА Натуральное число p, больше единицы называется простым, если оно делится нацело только на 1 и на себя. Теорема (Эвклид). Множество простых чисел бесконечно. Обозначим через π(x)

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 класса)

Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 класса) Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 класса) Предисловие для учителей Перед вами курс по делимости чисел и простым числам, предназначенный школьникам 7-8 классов. Большинство заданий взято

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии НОРМАЛЬНАЯ ЖОРДАНОВА ФОРМА Методические указания для практических занятий

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее