Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д."

Транскрипт

1 цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова

2 цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная игра двух игроков (т.е. антагонистическая игра), причем, каждый из игроков имеет конечное множество В этой игре выш первого игрока равен прошу второго, другими словами это платеж, который первый игрок получает от второго. Матричная игра - игра с нулевой суммой.

3 цена. Пример 1. Две компании А и В продают два вида лекарств против гриппа. Компания А рекламирует продукцию на радио (А1), телевидении (А2) и в газетах (А3). Компания В, в дополнение к использованию радио (В1), телевидения (В2) и газет (В3), рассылает также по почте брошюры (В4). В зависимости от умения и интенсивности проведения рекламной кампании, каждая из компаний может привлечь на свою сторону часть клиентов конкурирующей компании. Как правильно вести рекламу каждой компании, чтобы максимально привлечь клиентов на свою сторону?

4 цена. Пример 2. На технологическую линию поступает сырье с малым или большим количеством примесей. Линия может работать в трех режимах. Доход предприятия на 1 ед. продукции, изготовленной из сырья с малым количеством примесей и из сырья с большим количеством примесей для первого, второго и третьего технологических режимов составляет 2 и 5, 5 и 3, 6 и 1 ден. ед. соответственно. В каких режимах и сколько времени должна работать технология, чтобы доход от выпущенной продукции был максимальным?

5 цена. Пусть первый игрок имеет m стратегий: A 1,..., A m. Второй игрок имеет n стратегий: B 1,..., B n. Тогда эта игра имеет m n возможных ситуаций вида (A i, B j ). И выш первого игрока будет зависеть именно от этой ситуации: v 1 = v 1 (A i, B j ) Поставим строки матрицы A в соответствие стратегиям первого игрока, а столбцы этой же матрицы - в соответствие стратегиям второго игрока. Тогда каждой ситуации (A i, B j ) будет соответствовать элемент матрицы с индексом (i, j), а выш первого игрока можно записать как элемент матрицы: a ij = v 1 (A i, B j ).

6 цена. Таким образом, получаем матрицу, или платежную матрицу: a 11 a a 1n A = a m1 a m2... a mn Эта платежная матрица и есть модель конфликтной ситуации. Так как игра антагонистическая, то выш второго игрока однозначно определяется через выш первого и будет равен a ij. Далее будем говорить только о выше первого игрока.

7 цена. цена. Пусть в примере 1 выш компании А - процент клиентов, привлеченных или потерянных этой компанией, зависит от ситуации (Ai,Bj): A =

8 цена. Первый игрок стремится максимизировать свой выш. Поэтому ему не могут быть интересны стратегии, при которых, независимо от выбора второго игрока, он выиграет меньше. Первый исключает стратегию A 3 (т.е. вычеркивает третью строку в платежной матрице), т.к. A 2 A 3. ( ) A =

9 цена. Второй игрок стремится минимизировать свой прош. Ему неинтересны стратегии, при которых он может потерять больше. Он исключает свою стратегию B 1 : ( ) A = Затем далее он исключает B 3 и B 4 : ( ) 2 A = 5 Теперь первый исключает еще и A 1 : A = ( 5 ) Таким образом, первый игрок считает возможным использование только стратегии A 2, а второй игрок оставил тоже только одну свою стратегию B 2.

10 цена. Следовательно, ситуация A 2, B 2 в одинаковой мере устраивает обоих игроков. Эту ситуацию (i, j ) = (2, 2) и примем в качестве решения : обе компании должны рекламироваться на телевидении, при этом компания А получит выш - 5% клиентов перейдут в число ее потребителей от компании В.

11 цена. Решение гарантирует, что ни одной компании невыгодно выбирать неоптимальную стратегию, т.к. это повлечет потери в выше. Если второй игрок выберет стратегию B 1, B 3 или B 4, то первый может сохранить свой выбор A 2, что повлечет б ольшие потери рынка компании В (6% или 8% вместо 5%). a ij a i j По тем же причинам нет резона первой компании не выбирать стратегию A 2, т.к., например, если она выберет A 3, то вторая может изменить свой выбор на B 3, что повлечет потерю 9% клиентов у первой компании. a i j a i j

12 цена. Такое понятие равновесия ввел Дж.Нэш (Nash). Ситуация (i, j ) в игре будет равновесной, если a ij a i j a i j i = 1, m, j = 1, n Это же двойное неравенство определяет элемент a i j как седловой элемент платежной матрицы. Как найти все ситуации равновесия?

13 цена. Цель первого игрока: Выбирать такую стратегию, которая при любом возможном выборе второго игрока обеспечит максимальный гарантированный выш. «Я должен выиграть не меньше, чем...» В соответствии с этой целью первый игрок оценивает свои стратегии минимальными возможными вышами, независимо от выбора второго игрока: min a ij j Тогда, выбрав максимальную из них, он укажет максимальный гарантированный выш для себя: ma i min a ij j Это значение называется нижняя цена.

14 цена. Цель второго игрока: Выбирать такую стратегию, которая при любом возможном выборе первого игрока обеспечит максимальный допустимый прош. «Максимум, что я могу себе позволить проиграть...» В соответствии с этой целью второй игрок оценивает свои стратегии максимальными возможными потерями, независимо от выбора первого игрока: ma a ij i Тогда, выбрав минимальную из них, он укажет максимально допустимый прош для себя: min j ma a ij i Это значение называется цена.

15 цена. Равенство нижней и верхней цены определяет решение - цену. Элементы матрицы, для которых выполняется равенство минимаксов ma min a ij = min ma a ij i j j i являются седловыми элементами платежной матрицы. Номера строк i и номера столбцов j, в которых расположены седловые элементы платежной матрицы, указывают на номера оптимальных стратегий первого и второго игроков соответственно.

16 цена. Платежная матрица может содержать несколько седловых элементов. При применении метода исключения стратегий из нескольких седловых элементов остается только один. Значение цены не меняется, но выбор каждого игрока теперь ограничен, т.к. для каждого из них указывается только одна оптимальная стратегия.

17 цена. Таким образом, решение состоит в нахождении всех седловых элементов элементов платежной матрицы. Значение седлового элемента является ценой, а номера строк и номера столбцов, в которых находятся седловые элементы, указывают на номера оптимальных стратегий первого и второго игрока соответственно. Решения (седловые точки) существуют тогда и только тогда, когда равны минимаксы ma i min j a ij = min j ma a ij. i Существование внутренних и внешних минимаксов здесь следует из конечности множеств номеров стратегий i и j.

18 Схема решения Определение. цена. 1. Оцениваем каждую стратегию каждого игрока: a 11 a a 1n min a 1j j a m1 a m2... a mn min a mj j ma i... a i1 ma a i2... ma i i 2. Находим значения ma i min j a in min a ij нижняя цена, j ma a ij цена. i 3. Если нижняя цена равна верхней цене, то их общее значение - цена, т.е. a i j - выш первого игрока в равновесной ситуации, номера i, j - указывают на номера оптимальных стратегий первого и второго игрока соответственно.

19 . Определение. цена. Рассмотрим платежную матрицу из примера 2: То есть нижняя цена : ma min a ij = 3 i j цена : min j ma i min j a ij < min j ma a ij = 5. i ma a ij, i следовательно, седлового элемента нет, а игра с этой платежной матрицей не имеет ситуаций равновесия. Как понимать то, что мы получили?

20 цена. Если игроки выберут стратегии, указывающие на нижнюю и верхнюю цену, получим ситуацию (A 2, B 1 ), в которой первый игрок получает больше, чем рассчитывал Устойчива ли ситуация (A 2, B 1 )? 1-й игрок, предполагая выбор 2-го, может увеличить свой выш с 5 на 6, отказываясь от стратегии A 2 в пользу A 3, т.е. переход к ситуации (A 3, B 1 ). В свою очередь, 2-й игрок, предполагая выбор A 3 1-ым игроком, откажется от B 1 в пользу B 2, ожидая проиграть только 1 в ситуации (A 3, B 2 ). Далее 1-й мог догадаться о таком поведении 2-го игрока и он, стремясь не потерять выш, выбирает A 1, т.е. имеем ситуацию (A 1, B 2 ). Далее аналогично рассуждая, попадаем в ситуацию (A 1, B 1 ), а затем снова в (A 3, B 1 ).

21 цена. Таким образом, мысленно провая эту игру многократно, каждый игрок будет отдавать свое предпочтение каким-то стратегиям чаще, а каким-то реже. Интересно, что частоту выбора игроками своих стратегий можно рассчитать и представить в виде набора вероятностей (у каждого игрока свой набор). В этом случае игра существенно меняется - у игроков расширяются их стратегические возможности: путем случайного применения игроками своих стратегий они обеспечивают наибольшую скрытость выбора стратегии. этой игре следует понимать уже по-другому.

22 цена. Смешанной стратегией игрока называется набор вероятностей применения его стратегий: = ( 1,..., m ), i = p(a i ), m i = 1, 0 i 1, i = 1, m. i=1 X множество всех смешанных стратегий первого игрока. = ( 1,..., n ), j = p(b j ), n j = 1, 0 j 1, j = 1, n. j=1 Y множество всех смешанных стратегий второго игрока.

23 цена. Пара смешанных стратегий (, ) называется ситуацией в смешанном расширении. Функция f : X Y R является вышем в смешанном расширении, который по сути представляет собой математическое ожидание выша: f (, ) = m i=1 j=1 n a ij i j = A T. Решить матричную игру в смешанном расширении означает найти пару смешанных стратегий (, ), которая будет седловой точкой функции выша f (, ), а также указать значение f (, ).

24 цена. Ситуация (, ) является ситуацией равновесия по Нэшу в смешанном расширении, если f (, ) f (, ) f (, ) или что то же самое: X, Y A T T A T A T. (1)

25 цена. Введем дополнительные обозначения: через a j обозначим j-й столбец матрицы A, а через a i - i-ю строку. Лемма 1. О переходе к смешанным стратегиям Если - произвольная стратегия первого игрока, a - некоторое число и a j a j = 1, n, (2) то для любой смешанной стратегии = ( 1, 2,..., n ) игрока 2 выполняется: A T a.

26 цена. Доказательство. Домножим неравенство (2) на j j = 1, n: a j j a j. Просуммируем полученные неравенства по j = 1, n: n a j T = A T a j=1 Лемма доказана. n j = a. j=1

27 цена. Аналогично осуществляются переходы к смешанным стратегиям в неравенствах a j a, j = 1, n, a i T a, i = 1, m, a i T a, i = 1, m,

28 цена. Теорема 1. Для того, чтобы ситуация (, ) была равновесной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства: a i T A T a j, i = 1, m, j = 1, n. (3)

29 цена. Доказательство. Необходимость. Пусть ситуация (, ) - равновесная, т.е. выполняется (1). Выберем в качестве и чистые стратегии i и j, т.е. = (0,..., 0, 1 i, 0,..., 0), = (0,..., 0, 1 j, 0,..., 0). Тогда неравенство (1) примет необходимый вид (3). Достаточность. Применим к обеим частям (3) лемму о переходе к смешанным стратегиям. Имеем: A T A T A T, т.е. (, ) - равновесная ситуация. Теорема доказана.

30 цена. Теорема 2. Если ситуация (k, l) является равновесной для с матрицей A, то она является равновесной и для ее смешанного расширения.

31 цена. Доказательство. Пусть (k, l) - равновесная ситуация в игре A, т.е. a il a kl a kj i = 1, m, j = 1, n. (4) В смешанных стратегиях ситуация (k, l) имеет вид ( k, l ), k = (0,..., 0, 1 k, 0,..., 0), l = (0,..., 0, 1 l, 0,..., 0). Тогда a il = a i lt, a kl = k A lt, a kj = k a j. (4) примет вид (3), т.е. ( k, l ) будет равновесной. Теорема доказана.

32 цена. Так как матричная игра частный случай антагонистической, для которой справедлива теорема Нэша (Nesh), т.е. ситуация равновесия в игре всегда существует в смешанных или в Чтобы это показать, достаточно показать существование и равенство минимаксов ma inf A T и min sup A T. Фактически докажем существование и равенство минимаксов ma min A T и min ma A T.

33 цена. Лемма 2. При любом 0 Y и при любом 0 X существуют (достигаются) ma A T 0 и min 0 A T.

34 цена. Доказательство. A T 0 = m i a i 0 T, 0 A T = i=1 n 0 a j j. j=1 Это означает, что A T 0, 0A T - линейные, а следовательно и непрерывные функции по своим переменным i, i = 1, m и j, j = 1, n соответственно. Множества X и Y - замкнутые и ограниченные (симплексы), т.е. компактные. Следовательно на них функции A T 0, 0A T достигают своих максимума и минимума. Лемма доказана.

35 цена. Лемма 3. При любом 0 X существует номер столбца l( 0 ) такой, что min 0 A T = 0 a l и при любом 0 Y существует номер строки k( 0 ) такой, что ma A T 0 = a k 0 T.

36 Доказательство. Положим l = arg min 0 a j. Тогда j=1,n Определение. цена. 0 a l 0 a j j = 1, n; Перейдем в полученном неравенстве к смешанным стратегиям (по лемме 1): 0 a l 0 A T Y. Переходя здесь к минимуму по Y, получим 0 a l = 0 A l T min 0 A T, l = (0,..., 0, 1 l, 0,..., 0). Тогда 0 a l = min 0 A T. Доказать самостоятельно, что k( 0 ), такое что Лемма доказана. ma A T 0 = a k 0.

37 цена. Лемма 4. о непрерывности функций ma A T и min A T Значение ma A T является непрерывной функцией, а значение min A T - непрерывной функцией.

38 Доказательство. Из предыдущей леммы следует, что Определение. цена. min A T = min a j. j a j - скалярное произведение, т.е. линейная функция, а следовательно и непрерывная по при любом j. Зафиксируем произвольное ε > 0. Тогда δ > 0 такое, что как только 1 2 < δ, выполняется неравенство 1 a j 2 a j < ε. Пусть Рассмотрим С одной стороны: min j 1 a j = 1 a k, min j 2 a j = 2 a l. min 2 a j = 2 a l j 2 a k > min 2 a j = 2 a l j

39 цена. 1 a k + ε > 2 a k > min j 2 a j = 2 a l min j 1 a j + ε = 1 a k + ε > 2 a k > min j 2 a j = 2 a l С другой стороны: То есть: 2 a l > 1 a l ε 2 a l > 1 a l ε > min j 1 a j ε. min j 1 a j + ε = 1 a k + ε > 2 a k > min j 2 a j = = 2 a l > 1 a l ε > min j 1 a j ε. min 1 a j min 2 a j < ε, j j что и означает непрерывность функции min a j = min A T по переменной. j Доказать самостоятельно непрерывность ma A T по переменной. Лемма доказана.

40 цена. Теорема 3. Минимаксы ma min A T и min ma A T существуют.

41 цена. Доказательство. Т.к. min A T - непрерывная по функция (Лемма 4), то по теореме Вейерштрасса на компактном множестве X она достигает своего максимума ma min A T. Аналогично существует min ma A T. Теорема доказана.

42 цена. Лемма 5. о двух альтернативах Какова бы ни была матрица A, имеет место одна из двух альтернатив: 1 существует X, такой что a j > 0 j = 1, n; 2 существует Y, такой что a i T 0 i = 1, m.

43 цена. Доказательство. Составим выпуклую оболочку симплекса 1, т.е. векторов e 1,..., e m, и всех векторов a j. Обозначим ее через C. Возможны два случая: 0 / C. Тогда точка 0 отделима от множества C гиперплоскостью Vz = 0, и z C Vz > 0. В частности, i = 1, m Ve i = v i > 0. Тогда и сумма m v i > 0. Выберем вектор Тогда, т.к. v > 0 i=1 = ( v 1 v,..., v m v ) X. z = 1 Vz > 0 z C, v в частности и для всех точек a j C : a j 0 j = 1, n.

44 цена. 0 C. Тогда точку 0 можно представить в виде выпуклой комбинации m i=1 α ie i + n j=1 β ja j = 0, α i 0, i = 1, m, (5) β j 0, j = 1, n, m i=1 α i + n j=1 β j = 1. Расписывая это равенство покоординатно, получаем: n α i + β j a ij = 0, i = 1, m. (6) j=1 Учтем, что α i 0. Тогда n β j a ij 0. (7) Кроме того, j=1 β = n β j 0. (8) j=1

45 цена. Предположим, β = 0. Тогда, т.к. все β j 0, то β j = 0, j = 1, n. Из (6) тогда следует, что α i = 0, i = 1, m, что противоречит заданию α i, β j. Следовательно, β > 0. Тогда можем составить вектор = ( 1,..., n ) = ( β 1 β,..., β n β ) Y. Разделим (7) на β > 0. Получим n j=1 β j β a ij = n j a ij = a i T 0, i = 1, m. j=1

46 цена. Theorem (о минимаксах) Какова бы ни была матрица A, ma min A T = min ma A T.

47 Воспользуемся леммой о двух альтернативах. Предположим, выполняется первая, т.е. 0 X : Определение. цена. 0 a j 0 j = 1, n. По лемме о смешанных стратегиях имеем: Тогда ma 0 A T 0 Y. min A T min 0 A T 0. (9) Пусть теперь выполняется вторая альтернатива, т.е. 0 2 : a i T 0 0 i = 1, m. Перейдем здесь к смешанным стратегиям, тогда A T 0 X.

48 Далее получим Определение. цена. min ma A T ma A T 0 0. (10) По лемме о двух альтернативах только одно из неравенств (9) или (10) выполняется, т.е. не может выполняться двойное неравенство ma min A T < 0 < min ma A T. (11) Покажем, что последнее неравенство НЕ МОЖЕТ ВЫПОЛНЯТЬСЯ, для этого рассмотрим матрицу вида a 11 t a 12 t... a 1n t A(t) = a 21 t a 22 t... a 2n t , a m1 t a m2 t... a mn t где t - произвольное вещественное число.

49 цена. Рассмотрим = m i=1 j=1 A(t) T = n i a ij j m i=1 j=1 m i=1 j=1 n i (a ij t) j n i t j = A T t. Запишем неравенство (11) для матрицы A(t): ma ma ma min min min ma A(t) T < 0 < min (A T t) < 0 < min A T t < 0 < min min A T < t < min ma A(t) T, ma(a T t), ma A T t, ma A T. Это неравенство не может выполняться для любого t R, т.е. не существует такого вещественного числа, которое находится между минимаксами ma min A T и min ma A T.

50 цена. Это означает, что ma min A T min Однако, для любой матрицы A также ma min A T min Это означает, что минимаксы равны. ma min A T = min ma A T. ma A T. ma A T.

51 цена. Таким образом, для матричных игр всегда существует седловая точка, т.е. такие разрешимы в смешанных В конспект добавить: Графический метод решения, в которой один из игроков имеет только 2 чистые стратегии. (Студенты разбирают на лабораторных занятиях) Студентам самостоятельно рассмотреть по Крушевскому итерационные методы решения матричных игр


Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр ы. е. ах Антагонистические ы. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова ы. Определение ы. е. ах Игра Γ =< I, {X i

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

Введение в матричные игры

Введение в матричные игры Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны.

Подробнее

Лекция 2. Антагонистические игры.

Лекция 2. Антагонистические игры. Лекция 2. Антагонистические игры. 11.09.2014 1 2.1 Определение антагонистической игры 2.2 Понятие матричной игры 2.3 Выбор оптимальной стратегии в матричной игре 2.4 Ситуация равновесия в матричной игре

Подробнее

Γ обозначение игры, N = { 1,

Γ обозначение игры, N = { 1, Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.. Понятие игры в нормальной форме... Игры в нормальной форме. Введем понятие игры в нормальной (стратегической) форме. Как

Подробнее

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание Контрольная работа Теория игр Оглавление Задание Задание 9 Задание 3 4 Задание 4 9 Задание 5 3 Задание Сельскохозяйственное предприятие планирует посеять на площади 000 га одну или две (в равной пропорции)

Подробнее

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр Введение в матричные игры «Семейный спор» Муж и жена решают куда пойти в субботу вечером на футбол или в театр. Им небезразлично куда пойдет другой но всё-таки каждому больше хотелось бы пойти на что-то

Подробнее

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13 Полезность ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность Полезность - мера удовлетворенности агента ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность

Подробнее

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

Теория принятия решений

Теория принятия решений Теория принятия решений Литература О.И. Ларичев «Теория и методы принятия решений» А.И. Орлов «Теория принятия решений» А.Т. Зуб «Принятие управленческих решений» А.Г. Мадера «Моделирование и принятие

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31 Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2013 1 / 31 Пример Рассмотрим игру, похожую на покер В данный момент есть две возможности

Подробнее

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. Лекция 7 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один

Подробнее

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку.

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку. торговец Пример из лекции Торговец на сумму у.е. может закупить зонтики по цене у.е. за штуку и солнечные очки по цене у.е. за штуку. Он продает зонтики по у.е. за штуку очки по у.е. за штуку. Если идет

Подробнее

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20 Домашнее задание 2 Оптимальные стратегии (x, y ) называются вполне смешанными, если x i > 0, y j > 0 для всех i, j Игра, у которой любые оптимальные стратегии игроков вполне смешанные, называется вполне

Подробнее

Тема 11. Матричные игры

Тема 11. Матричные игры Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между

Подробнее

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры к.ф.-м.н., доц. Павел Сергеевич Волегов Матричные игры Рассмотрим

Подробнее

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г.

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 14 апреля 2016 г. Аннотация. В докладе матричные игры анализируются с точки зрения линейного программирования. Приведены два

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

Инвестиционная политика

Инвестиционная политика УДК 336.051 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИНВЕСТОРА НА РОССИЙСКОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ИГР Н. А. КЛИТИНА, ассистент кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mal: kltnanna@yandex.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента»,

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ По выполнению контрольных работ По дисциплине «Теория игр» Для студентов заочного отделения специальности «Прикладная информатика в экономике» Хабаровск Задачи теории игр Если имеется

Подробнее

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике Часть II Модели оптимального управления в экономике К содержанию 7 Теория игр и игровое моделирование в экономике 7 Основные понятия теории игр Теория игр это раздел математики, в котором исследуются математические

Подробнее

определяется матрицей A.

определяется матрицей A. Задание.Мебельная фабрика планирует выпуск двух видов продукции А и Б. Спрос на продукцию не определен, однако можно предполагать, что он может принимать одно из трех состояний (I, II и III). В зависимости

Подробнее

Двойственность в линейном программировании

Двойственность в линейном программировании Двойственность в линейном программировании Двойственными называются пары следующих задач: z b b, k k,, r r, w, k k, b, r r, Принципы составления двойственных задач: Если исходная задача на максимум, то

Подробнее

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63)

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63) УДК 0 Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà 00 ¹ (6) ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ И ПРИНЦИПА ДОМИНИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 00 АИ Чегодаев Ключевые слова:

Подробнее

2.2. Смешанные стратегии

2.2. Смешанные стратегии 1 2.2. Смешанные стратегии Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший,

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАТЕГИИ ПОЛИТИЧЕСКИХ ПАРТИЙ В ХОДЕ ПРЕДВЫБОРНОЙ КАМПАНИИ

ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАТЕГИИ ПОЛИТИЧЕСКИХ ПАРТИЙ В ХОДЕ ПРЕДВЫБОРНОЙ КАМПАНИИ УДК 58 9 ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАТЕГИИ ПОЛИТИЧЕСКИХ ПАРТИЙ В ХОДЕ ПРЕДВЫБОРНОЙ КАМПАНИИ ВВ ОСТАПЕНКО ОС ОСТАПЕНКО ТВ ПОДЛАДЧИКОВА Предложена теоретико-игровая модель борьбы двух крупных партий за электорат в ходе

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) М.Л. ОВЕРЧУК ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи. Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок. Распространенность в

Подробнее

ВАРИАНТ 5. Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

ВАРИАНТ 5. Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей ВАРИАНТ 5 Для изготовления различных изделий А, В, С предприятие использует различных вида сырья. Используя данные таблицы: Вид сырья Нормы затрат сырья Кол-во сырья А В С I II III 18 6 5 15 4 12 8 540

Подробнее

Глава 3. Информационные аспекты и равновесие Позиционные игры.

Глава 3. Информационные аспекты и равновесие Позиционные игры. Глава 3. Информационные аспекты и равновесие. 3.. Позиционные игры. В главе 2 рассматривалась игра в нормальной форме. К такой форме в принципе может быть сведен динамический (т. е. протекающий в течение

Подробнее

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение Сделаем ваши задания на отлично. htts://www.matburo.ru/sub_subect.h?ti Теория игр Матричные игры. Игры с природой Задание Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение ma min a i } min

Подробнее

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов

Подробнее

Данный файл получен на сайте

Данный файл получен на сайте Добавить вопрос МАТЕМАТИКА 1 Суммой (объединением) нескольких событий называется 2 Произведением (пересечением) двух событий А и В называется 3 Сколько существует различных пятизначных номеров, в которых

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях.

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. 18.09.2014 1 3.1 Нахождение смешанных стратегий в играх 2 2 3.2 Упрощение матричных игр 3.3 Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2xn и mx2 2 Аналитический

Подробнее

Равновесие Нэша - определения

Равновесие Нэша - определения Равновесие Нэша Самый популярный принцип рационального поведения в теории некооперативных игр рекомендует в качестве рациональных исходов использовать ситуации равновесия Нэша. Они характеризуются тем,

Подробнее

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Илья Кацев 1 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН 2015 Конечное число стратегий Конечное число стратегий оптимальные стратегии

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 1 Аналитический метод Графический метод Аналитический метод решения игры 2х2 2 A 1) оптимальное решение в смешанных стратегиях: S A = p 1, p 2 и S

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Ýêîíîìèêà УДК 5985 ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 00 АИ Чегодаев* Ключевые слова: чистые

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской Академии Наук Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

Программа, вопросы и литература по с/курсу "Элементы теории игр" лектор проф. Чижонков Е.В. 0,5 года; 2-5 курсы; 2013/2014 уч.г.

Программа, вопросы и литература по с/курсу Элементы теории игр лектор проф. Чижонков Е.В. 0,5 года; 2-5 курсы; 2013/2014 уч.г. Программа вопросы и литература по с/курсу "Элементы теории игр" лектор проф. Чижонков Е.В. 5 года; -5 курсы; 13/14 уч.г. I. Основные определения и положения теории игр. 1. Участники игры игроки стратегии

Подробнее

Транспортные задачи. Случай конечных пространств.

Транспортные задачи. Случай конечных пространств. Тема 1 Транспортные задачи. Случай конечных пространств. Мы будем изучать задачи оптимальной транспортировки некоторым образом распределенной массы из заданного начального состояния в заданное конечное

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера x x n m x В решении игр используется следующая теорема: если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Часть 1. Бескоалиционные игры в нормальной форме. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Часть 1. Бескоалиционные игры в нормальной форме. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К В Григорьева Методические указания Часть Бескоалиционные игры в нормальной форме Факультет ПМ-ПУ СПбГУ г ОГЛАВЛЕНИЕ ЗАНЯТИЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ ИГР КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР ИГРА В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ РАВНОВЕСИЕ

Подробнее

1.1. Определение цепи Маркова. Свойства матриц перехода.

1.1. Определение цепи Маркова. Свойства матриц перехода. 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB» ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB». Введение Sclb - это система компьютерной математики, которая предназначена выполнения инженерных и научных вычислений, включающих в себя задачи принятия

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации

Подробнее

ТЕМА 7. Случайные процессы. Оглавление. 7.1 Случайные процессы

ТЕМА 7. Случайные процессы. Оглавление. 7.1 Случайные процессы ТЕМА 7. Случайные процессы. Цель контента темы 7 дать начальные понятия о случайных процессах и цепях Маркова в частности; очертить круг экономических задач, которые используют в своем решении модели,

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского И.А. Кузнецова, Н.В. Сергеева РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ Учебно-методическое пособие для студентов механико-математического

Подробнее

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 202 Т. 4 3 С. 475 482 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 59.833 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для

Подробнее

БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ

БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет К В ГРИГОРЬЕВА БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ Часть Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной

Подробнее

Просеминар по математической логике и теории алгоритмов

Просеминар по математической логике и теории алгоритмов Просеминар по математической логике и теории алгоритмов http://proseminar.math.ru Игры и стратегии - 2 Пусть задана игра в нормальной форме. Смешанной стратегией для игрока m называется распределение вероятностей

Подробнее

МАТРИЧНАЯ ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА СТРАТЕГИИ АУДИТА

МАТРИЧНАЯ ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА СТРАТЕГИИ АУДИТА ВА Родин, доктор физикоматематических наук, профессор ВС Струков МАТРИЧНАЯ ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА СТРАТЕГИИ АУДИТА Налоговые органы, получив налоговые декларации, прежде всего, должны решить задачу, какие

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТЬЮ

ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТЬЮ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТЬЮ -й игрок y y -й игрок y y y y -й игрок r y y y r y y r y y y -й игрок y y r y y r y y y r y y y Принцип максимального гарантированного результата Принцип максимального

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ТЕОРИЯ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ Е. Р. Даниловцева, В. Г. Фарафонов, Г. Н. Дьякова ТЕОРИЯ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А.

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А. Федеральное агентство по образованию Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им. П. А. Соловьева ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ ТЕОРИЯ ИГР Программа учебной дисциплины и методические указания

Подробнее

Системный анализ Решенная контрольная работа

Системный анализ Решенная контрольная работа Системный анализ Решенная контрольная работа Задача 1 В соответствии с теорией полезности оценить ожидаемую полезность действий Д1 (угадать вазу типа А) или Д2 (угадать вазу типа В) для задачи с вазами

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

Глава 10. Экстремумы функций нескольких переменных

Глава 10. Экстремумы функций нескольких переменных Глава Экстремумы функций нескольких переменных Локальные экстремумы функций двух переменных Условные экстремумы Функция z f ) имеет максимум минимум) в точке M если можно найти такую окрестность точки

Подробнее

Локальная теорема Коши Пикара.

Локальная теорема Коши Пикара. Локальная теорема Коши Пикара. Теорема (о существовании и единственности локального решения). Пусть дана задача Коши x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0, (1) где правая часть f(t, x) определена и непрерывна в прямоугольнике

Подробнее

Домашнее задание (1, 1) (0, 0) 12. Найти все ситуации равновесия в игре ( (0, 0) (2, 2) И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Динамические игры / 21

Домашнее задание (1, 1) (0, 0) 12. Найти все ситуации равновесия в игре ( (0, 0) (2, 2) И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Динамические игры / 21 Домашнее задание 12. Найти все ситуации равновесия в игре ( (0, 0) (2, 2) (1, 1) (0, 0) ). И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Динамические игры 2013 1 / 21 Домашнее задание 13. Найти все ситуации равновесия в игре (0,

Подробнее

Методы теории игр в задачах принятия решений

Методы теории игр в задачах принятия решений «Оптимизация и математические методы принятия решений» ст. преп. каф. СС и ПД Владимиров Сергей Александрович Лекция 11 Методы теории игр в задачах принятия решений Введение Учебные вопросы: С О Д Е Р

Подробнее

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Задача. Используя теорию игр проанализировать ситуацию и принять решение. Рассмотреть ситуацию, как антогонистическую игру и игру с природой.

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

ds N 2 ν ξ r N 2 ξ ;

ds N 2 ν ξ r N 2 ξ ; Лекция 7 ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТОГО СЛОЯ В этой лекции мы изучим свойства потенциала простого слоя при N 3.. План лекции. Потенциал простого слоя. 2. Теорема о непрерывности потенциала простого слоя. 3. Формулы

Подробнее

Динамические игры. Илья Кацев 1. 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН

Динамические игры. Илья Кацев 1. 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН Динамические игры Илья Кацев 1 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН 2015 Разбор д/з Приведите пример игры, где нет ситуаций сильного равновесия в смешанных стратегиях. Разбор д/з

Подробнее

Глава 2. Линейное программирование

Глава 2. Линейное программирование Глава 2 Линейное программирование В линейном программировании изучаются задачи об экстремуме линейной функции нескольких переменных при ограничениях типа равенств и неравенств, задаваемых также линейными

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания.

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. 1. Матричная игра с матрицей Вариант 1. 1 1 0 А = 0 0 2 имеет седловую

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение)

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение) ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 1. Базисно допустимые решения (продолжение) 2. Критерий разрешимости 3. Идея симплекс-метода 4. Элементарное преобразование б.д.р. 5. Симплекс-таблицы -1- ЛП: понятие

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

Пусть матричная игра задана матрицей, в которой все элементы положительны. Цена игры положительна: да. нет. нет однозначного ответа.

Пусть матричная игра задана матрицей, в которой все элементы положительны. Цена игры положительна: да. нет. нет однозначного ответа. Теория игр 2012-2013 уч. год Матричная игра это частный случай антагонистической игры, при котором обязательно выполняется одно из требований: один из игроков имеет бесконечное число стратегий. оба игрока

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2012-2013 гг. Мы заканчиваем обсуждать круг вопросов, связанных с класической задачей вариационного исчисления

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях:

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях: Задача. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4+y при следующих ограничениях: Решить задачу при дополнительном условии (ДУ): ДУ: Найти минимум целевой функции L=-y при

Подробнее

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» П. С. Гончарь Л. Э. Гончарь Д. С. Завалищин ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

4.7 Сопряженный конус

4.7 Сопряженный конус 4.7 Сопряженный конус 4.7.1 Определение сопряженного конуса Для наглядности представления будем рассматривать пространство R n. Определение. K конус в R n. Сопряженным конусом называется множество K :=

Подробнее