Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского Кафедра «Высшая математика» Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Составители: Заварзина И. Ф. Ионова А. С. Кулакова Р. Д. Москва 00

2 Содержание.. Введение.. Основные понятия векторной алгебры, примеры решения задач.. Теоретические вопросы к защите курсовой работы. Варианты курсовых работ. 5. Список литературы.

3 Введение. Методические указания по векторной алгебре предназначены для студентов курса всех специальностей дневного и вечернего отделений. Методические указания по векторной алгебре содержат примеры решения некоторых задач векторной алгебры с необходимыми теоретическими обоснованиями этих решений, а также варианты курсовых работ и теоретические вопросы к защите курсовых работ.. Основные понятия векторной алгебры; примеры решения задач. Основные понятия включают в себя: понятие вектора, разложение вектора по другим векторам, модуль вектора, скалярное произведение, векторное произведение и смешанное произведение, а также их приложения для решения задач. a =,,0 по векторам Пример. Задание. Разложить вектор { } {,,, } {,,, } {,7, 7. } p = = r = Прежде чем привести решение задачи напомним понятие линейной зависимости системы векторов. Рассмотрим систему векторов x, x, K, xn и составим равенство вида: c x, c x, K, c x = 0, где с, c, K, c постоянные величины. Если n n n это равенство выполняется только при одновременном равенстве нулю всех с i, n i =,, K, n, то есть cx i i = 0, тогда система векторов называется линейно i= независимой, в противном случае система векторов линейно зависима, то есть один вектор можно представить в виде линейной комбинации других векторов. c x, c x, K, c x = 0, и пусть с 0. Разделим левую и правую n n части равенства на с, получим: с сn x + x + K+ xn = 0; с c с с x = x K x n с c n,

4 то есть вектор x представлен в виде линейной комбинации x, x, K, xn. Решение. Разложить вектор a по векторам p,, r это значит представить его в виде линейной комбинации a = cp + c + cr, где с, c, c искомые числа. Представим линейную комбинацию в координатной форме = c + c + c И получим систему линейных уравнений = c + c + c = c + c + 7c 0 = c c 7c Решение системы имеет вид: c = ; c = ; c =. Следовательно: a = + r. a Пример. Напомним понятие длины вектора (модуля вектора) Если a xi yj zk = + +, то a = x + y + z ; a называется длиной вектора. Рассмотрим свойство скалярного произведения: a a = a a, то есть = a a. Задание. Найти длину вектора, если p = a b; = a + b; a = ; b = ; ( a b) =. Решение. Имеем

5 ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = a + b = a + b; p = a b = a + b = a + b + a + b = a + b; = a + b a + b = 9 a + b = 9 a + a b + b = = 9 + a b cos + 9 = = 9 ( + 9) = ; =. Пример. Напомним определение коллинеарности двух векторов a и b отличных от нуля: два вектора a и b называются коллинеарными, если a = λ b, где λ некоторый постоянный множитель. Задание. Найти вектор a, коллинеарный вектору x = {,, } и удовлетворяющий условию: скалярное произведение векторов x a = 7. Решение. Запишем условие коллинеарности двух векторов a = λ x и полученный вектор a подставим в условие x a = 7; x ( ) Следовательно a = x = {,, }. x λ = 7, λ = 7, λ + + = 7, 9λ = 7, λ =. Пример. Напомним определение скалярного произведения векторов: a b = a b cos ( a b) или a b = a a b = b np a b. Задание. Вычислить проекцию вектора a на направление вектора b + c, если a =,,, b =,,, c =,,. { } { } { } Решение. Обозначим b c d + =, тогда d = {,,} ( ) a d = a d cos a d = d np a, отсюда d

6 ( ) ( ) a d np a = ; np a= = = 5. d d d Ответ: 5. Пример 5. a = x, y, z и b = x, y, z. Напомним, что векторное Пусть { } { } произведение двух векторов a и b равно: i j k a b = x y z = x i + y j + z k, где: x y z x= yz yz; y= xz xz ; z = xy xy. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Задание. ABD, если A,, ; B,0, ; D,,-. Найти площадь треугольника ( ) ( ) ( ) Решение. Построим параллелограмм ABCD на векторах AB и AD (рис. ): B C A D рис. AB AC { } { } =,,0; = 0,,.

7 i j k AB AC = 0 = i + j + k 0 S = AB AC = + + = (кв.ед.) ABCD S ABD = SABCD = (кв.ед.) Пример. Задание. Найти вектор x, перпендикулярный векторам a {,, } и b {,0,} = = и образующий с осью OX тупой угол, если x =. Решение. Если c = a b, тогда вектор c перпендикулярен векторам a и b. i j k Найдем вектор c : с = = i + j k. 0 Так как x тоже перпендикулярен a и b, следовательно вектора x и c - коллинеарны. Запишем условие коллинеарности векторов: x = λc, x = λλ,, λ. { } По условию x =, то есть λ λ λ λ λ λ + + = ; =, отсюда = ; =. Так как вектор x образует с осью OX тупой угол, то его проекция на ось OX должна быть отрицательной. λ =, а x =,,. Отсюда { } Пример 7. Рассмотрим вектор a = { xyz,, }. Вектор a образует с осями координат углы α, β, γ, а cos α, cos β, cosγ называются направляющими косинусами, при этом cos α = x, cos β = y, cos γ = z. a a a Задание. Найти направляющие косинусы вектора силы {,,} точке B ( 5,,0), и момент этой силы относительно точки (,, ) F =, приложенной в A.

8 Решение. Найдем направляющие косинусы вектора силы: Fx cos α = = = ; F + + Fy - cos β = = =- ; F Fz cos γ = =. F Момент силы определим как векторное произведение вектора AB на вектор F. Имеем AB =,, F { } {,,} = m= AB F = = j k { } m = 0,,. i j k Пример 8. Напомним формулу смешанного произведения трех векторов a, b, c : { } { } { } a = x, y, z b = x, y, z c = x, y, z. x y z a b c = x y z x y z. Известно, что модуль смешанного произведения a b c равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Задача. Найти длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D (рис. ), если ее A,,, B,,, C,,7 и D 5,,8. вершины ( ) ( ) ( ) ( ) Решение.

9 D A B h C Найдем векторы: AB =,, ; AС = { } {,0,; } { } AD = 7, 7,7. рис. Объем пирамиды, построенной на векторах AB, AС и AD, равен одной шестой модуля смешанного произведения этих векторов. V = AB AС AD или V = S ABC h, где h высота пирамиды, а площадь прямоугольника, построенного на векторах AB и AС равна одной второй векторного произведения S ABC = AB AC. Вычислим смешанное произведение векторов AB AC AD = 0 = Отсюда V 5 пирамиды = 08 =. Вычислим векторное произведение векторов: i j k AB AC = = i + j + 8k S ABC 0 8 = + + = = 8 ;

10 Найдем высоту пирамиды: V 5 h = = = ; h =. S ABC

11 . Теоретические вопросы к защите курсовой работы.. Определение вектора. Линейные операции над векторами, свойства этих операций.. Разложение вектора по двум векторам на плоскости. Доказать возможность и единственность такого разложения.. Разложение вектора по трем векторам в пространстве.. Проекции вектора на ось. Свойства проекции. 5. Разложение вектора по координатным ортам. Координаты вектора. Направляющие векторы, вывод формулы cos γ + cos β + cos α =.. Условия коллинеарности и компланарности векторов в векторной и координатной форме. 7. Радиус-вектор точки. Модуль вектора. Расстояние между двумя точками. 8. Вывод формулы деления отрезка в данном отношении. 9. Скалярное произведение векторов, его физическое толкование. Свойства скалярного произведения. 0. Проекция вектора на вектор. Угол между векторами. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов.. Скалярное произведение векторов в координатной форме.. Векторное произведение двух векторов, его физическое толкование.. Векторное произведение векторов в координатной форме.. Геометрические приложения векторного произведения. 5. Свойства векторного произведения.. Смешанное произведение трех векторов в координатной форме. 7. Необходимое и достаточное условие компланарности векторов. 8. Смешанное произведение векторов в координатной форме. 9. Свойства смешанного произведения.

12 . Варианты курсовых работ. Задача. Написать разложение вектора x по векторам p,, r. п/п x p r. (-,, 7) (0,, ) (, 0, ) (-,, ). (,, -) (,, 0) (, -, ) (0, -, ). (, -, ) (,, -) (0,, ) (, -, ). (-9, 5, 5) (,, ) (, 0, -) (-,, ).5 (-5, -5, 5) (-, 0, ) (,, -) (0,, ). (,, 7) (5,, 0) (, -, ) (, 0, -).7 (-9, -, 7) (0,, ) (-, 0, ) (,, 0).8 (, -, ) (, 0, ) (0,, ) (, -, ).9 (,, -) (,, 0) (-,, ) (-, 0, ).0 (-, 7, -) (-,, ) (, 0, ) (,, -). (, 5, -) (,, ) (0, -, ) (,, -). (, -, 7) (, -, 0) (-,, ) (, 0, ). (5, -5,0) (, 0, 5) (-,, ) (0, -, ). (, -, ) (,, 0) (0,, -) (, 0, 8).5 (, 5, -) (, 0, ) (-, 0, ) (, 5, -). (8, 0, 5) (, 0, ) (,, 0) (,, ).7 (,, 8) (0,, ) (,, -) (, 0, -).8 (8,, ) (,, -) (, 0, ) (-,, ).9 (-9, -8, -) (,, ) (-,, ) (, -, ).0 (-5, 9, -) (0,, -) (, -, ) (,, 0). (-5, 5, ) (0, 5, ) (,, -) (-,, 0). (8, 9, ) (, 0, ) (0, -, ) (,, 0). (, -, -0) (,, 0) (, -, 0) (-,, 5). (,, ) (,, 0) (, 0, ) (,, ).5 (-, 7, 0) (0,, ) (, -, ) (, -, 0). (, -, ) (, -, ) (,, 0) (-,, 0).7 (-,, 8) (,, ) (-, 0, ) (,, -).8 (0, -8, 9) (0, -, ) (,, -) (, 0, ).9 (8, -7, -) (0,, 5) (, -, ) (-, 0, ).0 (, 7, 5) (, 0, ) (, -, 0) (0,, )

13 a и b. Задача. Определить коллинеарны ли векторы c и c, построенные на векторах п/п a b c c. (, -, ) (, 0, -) a+b b a. (, 0, -) (-,, 5) a+b a b. (-,, ) (, -, 7) 5 a+b a b. (,, -) (, -, -) a+b 8a b.5 (, 5, ) (5, 9, 7) a+ b a b. (,, -) (,, -) a+ b a + b.7 (, -, 5) (, -, 0) a b b a.8 (,, -) (, -, ) a b b a.9 (, -, -) (, 0, 5) a+9b a b.0 (-,, ) (, -, ) a b b a. (5, 0, -) (7,, ) a b b a. (0,, -) (, -, ) 5a b a+5b. (-, 7, -) (-, 5, ) a + b a+b. (, 7, 0) (, -, ) a b b a.5 (-,, -) (, -7, ) a b b a. (7, 9, -) (5,, ) a b b a.7 (5, 0, -) (,, ) 5a b b 0a.8 (8,, -) (,, ) a b b a.9 (, -, ) (5, 7, 0) a b a b.0 (, -, ) (7,, 5) a b b a. (, 7, 0) (,, -) a+b 5a 7b. (, -, ) (, -7, -) a b a b. (5, -, -) (, 0, 7) a b b a. (-9, 5, ) (7,, -) a b a+5b.5 (,, 9) (0, -, ) b a a b. (, -, ) (-,, 8) 5a b a 5b.7 (5, 0, 8) (-,, 7) a b b 9a.8 (-,, ) (, -, 0) a b b a.9 (,, -7) (5, 0, -) a b a b.0 (, 0, -5) (, -, ) a 5b a 5b

14 Задача. Найти косинус угла между векторами AB и AC. п/п A B C. (, 5, ) (0,, ) (,, 0). (5,, ) (,, ) (,, ). (, 0, ) (,, ) (,, ). (,, ) (, -, 0) (,, ).5 (, -, ) (5, -, ) (,, -). (, -, ) (-, -, 0) (5, 0, ).7 (,, ) (0,, 5) (,, 7).8 (, 0, ) (,, ) (, 7, ).9 (5, -, ) (, 0, ) (,, -).0 (0, 8, ) (,, ) (-,, 5). (, 0, ) (0,, ) (-,, 0). (,, ) (,, 5) (-, 5, ). (, -, ) (0, -, ) (, -, 5). (0, -, ) (-, -, -) (-9, -, -).5 (,, -) (5, 5, -) (,, ). (-,, -) (,, -) (,, -).7 (-, -, 0) (-, -, ) (, -, ).8 (5,, -) (5,, 0) (,, -).9 (-, -7, -) (0, -, -) (,, 0).0 (, -, ) (0, -, ) (, -8, 0). (0,, -) (,, ) (,, ). (,, -) (, 5, -) (,, ). (,, -) (, -, -) (,, ). (-, -, ) (-, -, 5) (-8, -, ).5 (,, -) (,, -) (7,, -). (0, 0, ) (-, -, ) (-5, -0, -).7 (, -8, -) (, -, 0) (-, -5, -).8 (, -, 9) (0,, ) (9, -, 5).9 (0,, -) (8,, ) (,, ).0 (,, -) (5,, -) (,, )

15 Задача. Определить направляющие косинусы вектора силы F. Найти момент силы F, приложенной в точке B, относительно точки A. п/п F B A. (,, ) (, -, 5) (, -, ). (,, ) (, -, 5) (5, -, ). (8, -8, 8) (0, -8, ) (9, -7, ). (-,, -) (, -9, ) (0, -8, ).5 (5, 5, 5) (5, -, 5) (, -, ). (-,, -) (, -0, ) (, -9, ).7 (,, ) (, -, 5) (7, -5, ).8 (-,, -) (, -, ) (, -0, ).9 (7, 7, 7) (7, -5, 5) (8, -, ).0 (-5, 5, -5) (, -, ) (, -, ). (-, -, ) (8, -, -5) (9, -7, ). (,, -) (0,, ) (, -, -). (-, -, -) (9, -7, 5) (0, -8, ). (,, -) (, 0, ) (,, -).5 (-, -, -) (0, -8, 5) (, -9, ). (5, 5, -5) (, -, ) (, -, ).7 (-, -, -) (, -9, 5) (, -0, ).8 (,, -) (, -, ) (5, -, -).9 (-5, -5, -5) (, -0, 5) (, -, ).0 (7, 7, -7) (, -, ) (, -5, -). (, -, ) (5, -, ) (, -, ). (8, 8, -8) (5, -, ) (7, -, -). (, -, ) (, -, ) (5, -, ). (-, -, ) (, -5, ) (8, -7, -).5 (5, -5, 5) (7, -5, ) (, -, ). (-, -, ) (7, -, ) (9, -8, ).7 (, -, ) (8, -, ) (7, -5, ).8 (-, -, ) (8, -7, ) (0, -9, -).9 (7, -7, 7) (9, -7, ) (8, -, ).0 (-5, -5, 5) (9, -8, ) (, -0, )

16 Задача 5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. п/п a b p p

17 p ,5 5

18 Задача. Определить компланарны ли вектора a, b и с. п/п a b с. (,,) (-, 0, -) (,, ). (,, ) (,, ) (,, -). (, 5, ) (-,, -) (,, ). (, -, -) (,, ) (,, ).5 (,, ) (, -, ) (,, ). (,, -) (-, -, 0) (5,, -).7 (,, ) (, -, ) (,, ).8 (,, ) (, 7, ) (, 0, -).9 (,, ) (, -, -7) (,, ).0 (, 7, ) (-, 0, -) (,, ). (, -, ) (, 0, ) (, -, 7). (,, ) (-, -, -) (,, ). (7,, ) (-, -, -) (,, ). (,, ) (, 7, 5) (, 0, -).5 (5,, ) (-, 0, -) (,, ). (, 0, 5) (-, -, -) (,, ).7 (-, -, -) (,, ) (, 7, ).8 (,, -) (, 0, -) (8,, -).9 (,, ) (-, -, -) (,, ).0 (,, ) (9,, 5) (,, -). (5,, ) (,, ) (9, 5, 8). (,, ) (,, 0) (8,, ). (, -, -) (, -, -7) (, -, -). (,, 0) (-5, -, -5) (,, ).5 (, 0, ) (8,, ) (,, -). (, -, ) (, 0, ) (, -, 8).7 (,, ) (-, -, -) (,, ).8 (,, ) (-9, -, -9) (,, ).9 (-,, ) (-, 7, ) (, 0, -).0 (-7, 0, -5) (0, -, -) (-,, -)

19 Задача 7. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках A, B, C и D и ее высоту, опущенную из вершины D на грань ABC. п/п A B C D 7. (0,, ) (,, 7) (, 7, ) (0, 0, ) 7. (,, ) (, 8, -) (0, 5, ) (, 9, ) 7. (,, ) (,, -) (, 0, ) (0,, -) 7. (, -, ) (0,, ) (, -, 0) (0,, ) 7.5 (,, ) (, -, 0) (,, -) (7, 5, ) 7. (-, 0, ) (,, -) (, -, ) (, 7, ) 7.7 (,, ) (0, 0, 0) (,, ) (, 8, -) 7.8 (-,, 0) (, 0, ) (0,, ) (, 8, ) 7.9 (, -, ) (,, ) (,, 0) (,, -) 7.0 (,, -) (-,, ) (0,, ) (-, 8, ) 7. (-,, ) (5, 5, ) (,, -) (,, ) 7. (0,, -) (, -, 5) (, 0, ) (, 5, 7) 7. (,, ) (-,, ) (, -, ) (-, 0, -) 7. (,, ) (,, -) (,, 7) (7, 5, -) 7.5 (,, -) (,, ) (,, ) (5, 9, -8) 7. (, 5, -7) (-, 5, ) (-, 7, ) (-, 8, -) 7.7 (-,, -7) (, 5, -) (-, -, 0) (, 5, ) 7.8 (-,, -) (, -, 0) (,, -) (,, 5) 7.9 (, -, ) (-,, 0) (0, -5, ) (,, -) 7.0 (, -, ) (-, 0, ) (,, -) (, -, -) 7. (,, 0) (, -, ) (0,, -) (-, 0, ) 7. (, 0, ) (,, -) (, -, ) (,, 0) 7. (,, -) (, 0, ) (-, -, ) (0, -5, -) 7. (, 0, -) (-,, -5) (-, 0, -) (, -, ) 7.5 (-,, ) (-, -, -) (, 0, -) (7, -, ) 7. (0, -, ) (-,, ) (, -, 5) (,, -) 7.7 (,, 0) (, -, ) (, 0, ) (-,, 5) 7.8 (-, -, -) (0,, ) (,, -) (-, 7, ) 7.9 (-, -5, ) (,, -) (0, -, -) (-5,, -8) 7.0 (, -, -) (5,, 0) (-,, -) (-0, -8, 7)

20 . Список литературы.. Я. С. Бугров, С. Н. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.. П. Е. Данко, А. Г. Попов, т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах.

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ПОСОБИЕ по выполнению практических работ и контрольных домашних заданий

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ПОСОБИЕ по выполнению практических работ и контрольных домашних заданий МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- ОГ Илларионова АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я. по дисциплине «Высшая математика»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я. по дисциплине «Высшая математика» 2 8 7 4 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я по дисциплине «Высшая математика» МОСКВА - 2008 М ОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ Й

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Практикум по высшей математике. Кафедра прикладной математики и информатики

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Практикум по высшей математике. Кафедра прикладной математики и информатики ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра прикладной математики и

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Система упражнений по векторной алгебре для студентов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее