Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность*

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность*"

Транскрипт

1 Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* В. Н. РАЗЖЕВАЙКИН Аннотация. Доказывается теорема о положительной определенности ленточных матриц широко используемых в задачах математической биологии. Ключевые слова: ленточная матрица задающая функция положительно определенная матрица.. Ленточные матрицы * Ленточной будем называть квадратную матрицу A = a такую что a = f ( i j для некоторой невозрастающей функции f ( x определенной на отрезке [0 ]. Каждую такую подходящую функцию будем называть задающей для ленточной матрицы. Если при этом можно подобрать гладкую задающую функцию так чтобы выполнялось неравенство f ''( x 0 то такую ленточную матрицу мы будем называть выпуклой. Выполнение дополнительных неравенств f ( f ( 0 сужает множество выпуклых ленточных матриц до некоторого множества неотрицательных невозрастающих выпуклых ленточных матриц (ибо в этом случае можно выбрать функцию f ( x так чтобы в дополнение к ее выпуклости выполнялись также и неравенства f '( x 0 f ( x 0 которое мы будем называть множеством -матриц. В случае когда все три неравенства для задающей функции выполняются строго на всем отрезке [0 ] мы будем говорить о множестве строгих -матриц. Матрицы указанного типа появляются вполне естественным образом при построении и исследовании математических моделей конкурирующих биологических популяций описываемых посредством учета их экологических ниш см. например [] гл. VI и библиографию там же. В работе [] было предложено доказательство того факта что строгая -матрица является положительно определенной. В предлагаемой статье указанный результат обобщается на случай всех -матриц за исключением матрицы все элементы которой одинаковы. * Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Технически методика доказательства положительной определенности сходна с предложенной в [] базисными составляющими которой явились вложение ленточной матрицы в циклическую и выпуклое разложение циклической матрицы по циклическим же матрицам специального вида. Перестановка этих двух действий местами позволяет получить более точные результаты причиной чего служит появляющаяся при этом дополнительная возможность вложения ленточных матриц входящих в базис неотрицательного разложения (так называемых реперных матриц в ленточные же матрицы большей размерности.. Предварительные сведения В этом разделе излагаются некоторые формулировки и относящиеся к ним общеизвестные результаты необходимые для дальнейшего. Пусть A и B симметричные матрицы причем. Будем говорить что матрица B вложена в A и писать B A если существует главный минор матрицы A совпадающий с матрицей B. Если λ ± ( A обозначают соответственно верхнее и нижнее собственные значения симметричной матрицы A то следствием теоремы отделения Штурма (см. [3] 7.8 является импликация ( B A ( λ ( A λ ( B λ + ( B λ + ( A ( легко проверяемая также на основе экстремальных свойств границ спектра. Последнее соображение позволяет кроме того установить для симметричных матриц A и B одинаковой размерности неравенства ( ± ± ± ± λ ( A + B ± λ ( A + λ ( B. ( 84 Труды ИСА РАН. Том 64. /04

2 Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность В частности для неотрицательного разложения из ( получаем A = ρ A ρ 0 = = ( A λ ( A ρ λ (3 так что для положительной определенности симметричной матрицы A достаточно подобрать такое ее неотрицательное разложение что реперные симметричные матрицы A окажутся неотрицательно определенными причем по крайней мере одна из них входящая в разложение с ненулевым коэффициентом будет положительно определенной. Иногда ( это делалось в [] оказывается более удобным рассматривать не ограничивающие общности выпуклые разложения с дополнительным нормирующим условием = ρ =. матрица A = a называется циркулянтом (см. [3].4 если a = c( i j для некоторой периодической функции c( x + = c( x. Все собственные значения циркулянта вычисляются = 0 λ = c( ε где ε = cos + isi = 0 корень скалярного уравнения ε = (для проверки этого достаточно убедиться в том что такому собственному значению соответствует собственный век- тор ( λ λ T. В частном случае симметричного циркулянта c( = c( (являющегося очевидно ленточной матрицей его корни вычисляются λ = c( cos. = 0 В частных случаях нечетного а также четного при c = 0 λ = c(0 + c( cos (4 = (здесь [ x ] целая часть x. 3. Неотрицательные разложения выпуклых матриц Поскольку множество ленточных матриц фиксированной размерности инвариантно по отношению к линейным преобразованиям то разложение любой матрицы A = f ( i j из этого множества по некоторому базису реперных ленточных матриц A = f ( i j однозначно определяется разложе- нием вектора ( f (0 f ( f ( по базису состоящему из векторов ( f (0 f ( f ( ( f (0 f ( f (. В частности неотрицательным разложениям векторов и только им соответствуют неотрицательные разложения матриц. В настоящем разделе доказывается что множество -матриц фиксированной размерности образует выпуклый конус в линейном пространстве той же размерности. Для формулировки результата нам потребуется описание базиса этого конуса. Определение. Пусть. B( матрицей назовем ленточную матрицу с задающей функцией b ( x для = x и b ( x = ax 0 для. Теорема. Для любой -матрицы A размерности существует единственное разложение A = ρb( ρ 0 = причем каждая сумма такого вида представляет собой -матрицу. При этом строгим -матрицам соответствует случай ρ > 0 =. Доказательство. Положим для задающей функции f ( x индуктивно по убывающему = 0 f ( x = f ( x + f ( x = f+ ( x b + ( x b + f ( ( для x [0 ]. Если f ( x задающая функция -матрицы A размерности то нетрудно видеть свойства выпуклости (нестрогого монотонного убывания и неотрицательности сохраняются при итерациях причем на каждой из них длина носителя (т. е. интервала на котором f ( x > 0 сокращается на единицу так что f ( x 0. Коэффициенты 0 Труды ИСА РАН. Том 64. /04 85

3 Численные методы В. Н. Разжевайкин ρ = f ( 0 b ( = определяют разложение задающей функции f ( x единственность которого следует из невырожденности матрицы b ( = = 0. Обратное утверждение вытекает из его выполнимости для реперных матриц B( и инвариантности по отношению к неотрицательным линейным комбинациям. Строгая положительность задающей функции f ( x -матрицы соответствует неравенству ρ = f ( > 0 строгая монотонность с учетом выпуклости неравенству ρ f ( f ( = > 0 b ( строгая выпуклость равномерному (т. е. каждый раз ровно на единицу сокращению носителей функций f ( x при определяющих их итерациях что эквивалентно положительности ρ для =. Положительная определенность реперных матриц Теорема. Реперные матрицы B( при < являются положительно определенными. Доказательство. Пусть. Обозначим через C ( симметричный циркулянт с задающей функцией λ ( C( λ (( B(. (6 Поскольку в указанном случае для четного выполнено [ ] так что c = 0 то в силу (4 и равенства c ( = 0 для вычисления λ ( C( можно воспользоваться формулой λ ( C ( = i + cos. = 0 = В силу тождества cos ( x ( x = ( cos x + cos = выполненного для всех x π q q Z и в частности для x = = с учетом того что минимум не может достигаться при = 0 находим из (6 для случая < нижнюю оценку λ ( B( λ ( для ( λ ( = sup i + = cos. (7 cos В случае взаимно простых и все выражений под знаком минимума в (7 положитель- 0 < что обеспечивает положи- ны так что ( λ тельную определенность каждой из матриц B( при выполнении неравенства <. Более того если и не являются взаимно x x простыми то минимум в (7 достигает нулевого значения так что все такие исключаются из рас- c ( x = ax 0 + смотрения при нахождении супремума. При взаимно для 0 x. Поскольку при x [ ] выполнено тождество простых и минимум числителя в (7 достигается при некотором целом [ ] таком что c ( x 0 то B( C ( при π ± ( od и равен si. Поскольку знаменатель не превосходит то в качестве нижней < + (5 так что в соответствии с ( в этом случае λ можно взять также величину оценки для ( ˆ λ ( = si (8 3 + ибо согласно (5 должно выполняться i = + а на интервале длины + 86 Труды ИСА РАН. Том 64. /04

4 Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность всегда найдется число взаимно простое с. В данном случае рассматривается интервал с левым концом. С учетом первого неравенства в (5 i можно воспользоваться еще более грубой оценкой заменив в (8 на. При + она дает асимптотику ˆ C λ ( > 3 представляющуюся чрезвычайно заниженной поскольку непосредственные расчеты при обозримых значениях размерности матрицы указывают на вторую степень вместо третьей. Здесь следует отметить также что построенная оценка ˆ λ ( для B( в рамках использованной конструкции (т. е. с использованием циркулянтов неулучшаема по крайней мере для нечетных. Это связано с тем обстоятельством что в таком случае и = ( + (здесь выбирается из условия чтобы взаимно просты так что i минимум в (7 достигается при ( = + что обеспечивает значение знаменателя близкое к двум. Следствие. Для оценки нижней границы собственных значений матриц B( при < можно использовать величины (7 или (8. Доказательство. См. доказательство теоремы. Следствие. Любая -матрица отличная от матрицы с постоянными коэффициентами является положительно определенной. Доказательство. Поскольку матрица B ( является неотрицательно определенной то в силу (3 отсюда с учетом теоремы получаем утверждение следствия. Литература. Свирежев Ю. М. Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М. Наука с.. Логофет Д. О. Об устойчивости одного класса матриц возникающих в математической теории биологических сообществ // Доклады АН СССР 975 т. 6 с Беллман Р. Введение в теорию матриц. М. Наука с. Разжевайкин Валерий Николаевич. Гл. н. с. ВЦ РАН Д. ф.-м. н профессор. Окончил МФТИ в 978г. Количество печатных работ: более 30.Область научных интересов: математическое моделирование биология экономика опт. управление. E-ai: Труды ИСА РАН. Том 64. /04 87

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ В. А. Шарафутдинов Как отмечалось в начале первой главы, на топологическом пространстве возможно рассмотрение непрерывных функций и других понятий, связанных с непрерывностью. В Анализе, наряду с непрерывностью, изучаются производные, дифференциалы и другие понятия, связанные с дифференцируемостью. Гладкое многообразие естественный объект, на котором можно определить подобные понятия. 1. Определение гладкого многообразия Сначала введем вспомогательное понятие топологического многообразия (Предупреждение: не путать его с понятием гладкого многообразия). Топологическое пространство M называется топологическим многообразием размерности n, если (1) M локально гомеоморфно пространству R n, т.е. у каждой точки пространства M имеется окрестность, гомеоморфная некоторому открытому множеству в R n ; (2) M хаусдорфово; (3) M удовлетворяет второй аксиоме счетности, т.е. имеет счетную базу топологии. Дифференцируемая структура на топологическом многообразии вводится путем цепочки определений, вводимых в нескольких следующих абзацах. Пусть M топологическое многообразие размерности n. Картой на M называется пара (U, ϕ), где U открытое множество в M и ϕ : U V R n гомеоморфизм на некоторое открытое множество из R n. Пусть 0 r целое число. Две карты (U 1, ϕ 1 ) и (U 2, ϕ 2 ) на топологическом многообразии M называются C r -согласованными, если ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (U 1 U 2 ) ϕ 2 (U 1 U 2 ) (1.1) отображение класса C r, т.е. все частные производные порядка r этого отображения существуют и непрерывны. Отметим, что ϕ i (U 1 U 2 ) (i = 1, 2) открытые множества в R n (см. Рисунок 1), так что определено понятие частных производных для отображения между этими множествами. При r = требуется существование и непрерывность всех частных производных. Семейство карт A = {(U α, ϕ α )} α A на топологическом многообразии M называется C r -атласом, если M = α A U α и любые две карты этого семейства C r -согласованы. Два C r -атласа A и A на M называются эквивалентными, если A A тоже C r -атлас. Как легко видеть, это эквивалентно требованию: любая карта из A C r - согласована с любой картой из A. Теперь, наконец, мы можем привести основное Определение 1.1. Дифференцируемой структурой D класса C r на топологическом многообразии M называется класс эквивалентности C r -атласов. Топологическое многообразие вместе с зафиксированной на нем дифференцируемой структурой класса C r называется дифференцируемым многообразием класса C r (или короче C r - многообразием). Дифференцируемое многообразие обозначается (M, D) или просто M, если из контекста ясно, о какой дифференцируемой структуре идет речь. Date: октябрь 2012, Кольцово. 1

Подробнее

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА В. А. Шарафутдинов В этой главе, если не оговорено противное, многообразие означает многообразие без края. Марстон Морс первый обратил внимание на важные связи между топологией

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.. Линейное пространство Определение. Говорят, что на множестве R определена операция сложения элементов, если каждой упорядоченной паре элементов х, у R ставится в соответствие

Подробнее

Линейные разностные уравнения и их приложения

Линейные разностные уравнения и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ЦЕПОЧКИ ВОЛЬТЕРРА С АСИМПТОТИЧЕСКИ ПЕРИОДИЧЕСКИМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ Аг. Х. Ханмамедов

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ЦЕПОЧКИ ВОЛЬТЕРРА С АСИМПТОТИЧЕСКИ ПЕРИОДИЧЕСКИМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ Аг. Х. Ханмамедов Сибирский математический журнал Март апрель, 010. Том 51, УДК 517.957 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ЦЕПОЧКИ ВОЛЬТЕРРА С АСИМПТОТИЧЕСКИ ПЕРИОДИЧЕСКИМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ Аг. Х. Ханмамедов Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Ветвящиеся процессы и их применения

Ветвящиеся процессы и их применения Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 8 Издание выходит с 26 года В. А. Ватутин Ветвящиеся процессы и их применения Москва 28 УДК 519.218.23 ББК

Подробнее

Глава 4. Задача коммивояжера

Глава 4. Задача коммивояжера Глава 4. Задача коммивояжера В задаче коммивояжера рассматривается городов и матрица попарных расстояний между ними. Требуется найти такой порядок посещения городов, чтобы суммарное пройденное расстояние

Подробнее

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными Цель работы Часто на практике необходимо исследовать, как изменение одной переменной величины X влияет на другую величину Y Например, как количество цемента X влияет на прочность бетона Y Такое влияние

Подробнее

МОЖЕТ ЛИ (ИНДИВИДУАЛЬНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ БЫТЬ СЛУЧАЙНОЙ? В. А. Успенский, А. Л. Семенов, А. X. Шень

МОЖЕТ ЛИ (ИНДИВИДУАЛЬНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ БЫТЬ СЛУЧАЙНОЙ? В. А. Успенский, А. Л. Семенов, А. X. Шень 1990 г. январь февраль т. 45, вып. 1 (271) УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК УДК 517.11 МОЖЕТ ЛИ (ИНДИВИДУАЛЬНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ БЫТЬ СЛУЧАЙНОЙ? В. А. Успенский, А. Л. Семенов, А. X. Шень СОДЕРЖАНИЕ

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

1. Задача финансирования инвестиционных проектов

1. Задача финансирования инвестиционных проектов ' В.Н.Бурков, Л.А.Цитович МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ ФИНАНСИРОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ Введение В статье рассматриваются механизмы финансирования инвестиционных проектов и программ в рыночной

Подробнее

Министерство Российской Федерации по связи и информации. Санкт Петербургский Государственный Университет

Министерство Российской Федерации по связи и информации. Санкт Петербургский Государственный Университет Министерство Российской Федерации по связи и информации Санкт Петербургский Государственный Университет телекоммуникаций им.проф. М. А. Бонч Бруевича Факультет заочного обучения О.М. Дмитриева И.С. Перфилова

Подробнее

Принятие решений при многих критериях

Принятие решений при многих критериях ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ- ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ В.Д. Ногин Принятие решений при многих критериях Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2007 УДК 658.012.41 В.Д. Ногин.

Подробнее

Задача распределения инвестиций в развитие отраслей наземного космического комплекса 1

Задача распределения инвестиций в развитие отраслей наземного космического комплекса 1 Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 50 www.mai.ru/science/trudy/ УДК: 330.45 Задача распределения инвестиций в развитие отраслей наземного космического комплекса 1 Наумов А.В., Иванов С.В. Аннотация

Подробнее

Расслоения, характеристические классы и кобордизмы

Расслоения, характеристические классы и кобордизмы Расслоения, характеристические классы и кобордизмы (записки лекций) М. Э. Казарян Содержание 1 Понятие характеристического класса 1 2 Двойственность Пуанкаре, гомоморфизм Гизина и изоморфизм Тома 4 3 Характеристические

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Учебное пособие Рекомендовано

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Применение генетических алгоритмов к решению задач дискретной оптимизации

Применение генетических алгоритмов к решению задач дискретной оптимизации Федеральное агентство по образованию Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный проект «Образование» Инновационная образовательная программа ННГУ. Образовательно-научный

Подробнее