ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE"

Транскрипт

1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y = (y 1, y 2,..., y n ) пространства R n определяется следующим (каноническим) способом (X, Y ) = x 1 y 1 + x 2 y x n y n Отметим важнейшие свойства скалярного произведения: 1. (X, Y ) = (Y, X) коммутативность 2. (α X + β Z, Y ) = α (X, Y ) + β (Z, Y ) линейность 3. (X, X) 0, (X, X) = 0 X = 0 невырожденность В дальнейшем эти свойства будут использованы в качестве определения скалярного произведения в произвольном линейном пространстве. Определим длину вектора по правилу X = (X, X). Расстояние ρ(x, Y ) между векторами вводится равенством ρ(x, Y ) = X Y Пространство R n в котором определено расстояние с помощью скалярного называют евклидовым и обозначают через E n. Ненулевые векторы X, Y называем ортогональными, если (X, Y ) = 0. Упражнение 1 В пространстве R 4 задан треугольник (ABC) с вершинами 1. Найти длины сторон треугольника A = (1, 1, 0, 1), B = (7, 1, 3, 1), C = ( 4, 1, 1, 5) 2. Найти длину медианы AD треугольника (ABC) 3. На стороне BC найти такую точку P чтобы вектор AP был ортогонален вектору BC 1.2 Скалярное произведение в произвольном базисе. Матрица Грама Пусть F = f 1, f 2,..., f n некоторый базис евклидова пространства E n, координаты векторов X, Y в данном базисе,т.е. [X] F = (x 1, x 2, x n ), [Y ] F = (y 1, y 2, y n ) X = x 1 f 1 + x 2 f x n f n, Y = y 1 f 1 + y 2 f y n f n. Вычисляя скалярное произведение (X, Y ), получаем: n n (X, Y ) = x i f i, y j f j, = i=1 j=1 n i=1 j=1 n x i y j (f i, f j ) 1

2 Записывая скалярное произведение (X, Y ) в матричном виде, получаем: (f 1, f 1 ) (f 1, f 2 )... (f 1, f n ) (f 2, f 1 ) (f 2, f 2 )... (f 2, f n ) (X, Y ) = (x 1, x 2,... x n ).... (f n, f 1 ) (f n, f 2 )... (f n, f n ) Матрица составленная из скалярных произведений (f i, f j ), i = 1..n, j = 1..n называется матрицей Грама системы векторов f 1, f 2,..., f n. В дальнейшем матрицу Грама произвольной системы X 1, X 2,..., X k, k n векторов в евклидовом пространстве E n будем обозначать через Gr(X 1, X 2,..., X k ), а определитель данной матрицы через DetGr(X 1, X 2,..., X k ). Упражнение 2 В пространстве R 3 задан базис F = f 1, f 2, f 3 составленный из векторов 1. Построить матрицу Грама Gr(f 1, f 2, f 3 ) 2. Вычислить определитель DetGr(f 1, f 2, f 3 ) f 1 = (1, 1, 1), f 2 = (7, 3, 1), f 3 = (1, 1, 5). 3. Найти длины и скалярное произведение векторов X, Y, координаты которых заданы в базисе F, [X] F = (1, 0, 1), [Y ] F = (0, 1, 1) 1.3 Основное свойство определителя Грама Определитель матрицы Грама называется определителем Грама. Используя линейность скалярного произведения и свойства определителя матрицы, легко доказываем следующую теорему. Теорема 1 (Основное свойство определителя Грама) Определитель Грама системы векторов X 1, X 2,..., X k, k n, не изменится, если к одному их векторов прибавить линейную комбинацию остальных. y 1 y 2. y n Покажем, например, что Равенство DetG(X 1, X 2 + αx 1 ) = DetG(X 1, X 2 ). (X 1, X 1 ) (X 1, X 2 + αx 1 ) (X 2 + αx 1, X 1 ) (X 2 + αx 1, X 2 + αx 1 ) = (X 1, X 1 ) (X 1, X 2 + αx 1 ) (X 2, X 1 ) (X 2, X 2 + αx 1 ) получается, если из второй строку вычесть первую умноженную на α. Если теперь из второго столбца вычесть первый умноженный на α, то получим (X 1, X 1 ) (X 1, X 2 + αx 1 ) (X 2, X 1 ) (X 2, X 2 + αx 1 ) = (X 1, X 1 ) (X 1, X 2 ) (X 2, X 1 ) (X 2, X 2 ) 1.4 Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами Теорема 2 (Неравенство Коши-Буняковского) (X 1, X 2 ) X 1 X 2, и равенство достигается в том и только том случае, когда векторы X 1, X 2 линейно зависимы. 2

3 Итак, пусть X 1 0. Если в равенстве DetG(X 1, X 2 ) = DetG(X 1, X 2 + αx 1 ) положить α = (X2,X1) (X 1,X 1), то получим определитель вида DetG(X 1, X 2 ) = (X 1, X 1 ) 0 0 (X 2 + αx 1, X 2 + αx 1 ) который, очевидно больше нуля, если X 2 + αx 1 0. Следовательно, или DetG(X 1, X 2 ) = (X 1, X 1 ) (X 2, X 2 ) (X 1, X 2 ) (X 2, X 1 ) 0, (X 1, X 2 ) 2 X 1 2 X 2 2. Из неравенство Коши-Буняковского следует, что 1 (X 1, X 2 ) X 1 X Это позволяет определить угол (X, Y ) между векторами X, Y равенством (X, Y ) = arccos (X 1, X 2 ) X 1 X 2. Таким образом, ортогональность ненулевых векторов X, Y приобретает геометрический смысл - (X, Y ) = 0 (X, Y ) = π 2. Упражнение 3 Углом при вершине A треугольника (ABC) называем угол между векторами AB и AC В пространстве R 3 задан треугольник (ABC) с вершинами Найти углы треугольника. A = (1, 2, 1), B = (2, 3, 1), C = (3, 2, 1) 1.5 Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта Геометрический смысл метода Грамма-Шмидта Метод Грамма-Шмидта позволяет ортогонализировать произвольную систему линейно независимых векторов евклидова пространства E n. При этом выполняются следующие условия. Если -исходная система векторов, а X 1, X 2,..., X k Y 1, Y 2,..., Y k система полученная в результате процесса ортогонализации, то 1. L(Y 1, Y 2,..., Y s ) = L(X 1, X 2,..., X s ) линейные оболочки совпадают для любого s, 1 s k; 2. V (Y 1, Y 2,..., Y s ) = V (X 1, X 2,..., X s ) для любого s, 1 s k, где через V (X 1, X 2,..., X s ) s - мерный объем s-мерного параллелепипеда со сторонами X 1, X 2,..., X s Алгоритм Грамма-Шмидта Итак, полагаем Предположим, что векторы Y 1 = X 1. Y 1, Y 2,..., Y m, где m < k 3

4 уже построены. Построим вектор Положим Y m+1. Y m+1 = X m+1 α 1 Y 1 α 2 Y 2... α m Y m Числа α 1, α 2,, α m находим из условий (Y m+1, Y s ) = 0 для s = 1..m. Учитывая, что построенные векторы Y 1, Y 2,..., Y m попарно ортогональны, получаем Следовательно. Y m+1 = X m+1 (X m+1, Y 1 ) (Y 1, Y 1 ) α i = (X m+1, Y i ), для i = 1..m. (Y i, Y i ) Y 1 (X m+1, Y 2 ) (Y 2, Y 2 ) Упражнение 4 Ортогонализируйте систему векторов в E 4 и Y 2... (X m+1, Y m ) (Y m, Y m ) X 1 = (1, 1, 1, 2), X 2 = (1, 1, 1, 1), X 3 = (1, 1, 3, 7). Y m Геометрический смысл определителя Грама. Длина, площадь, объем Поскольку процесс ортогонализации Грамм-Шмидта системы векторов X 1, X 2,..., X k не изменяет определителя Грама, то мы с одной стороны получаем метод вычисления определителя Грама DetG(X 1, X 2,, X k ) в пространстве E n, когда число k n достаточно велико, а с другой, как следствие, устанавливаем геометрический смысл этого определителя. Теорема 3 В зависимости от числа векторов в определителе Грама, имеем DetG(X 1, X 2,..., X k ), 1. DetG(X) квадрат длины вектора X E n ; 2. DetG(X, Y ) квадрат площади параллелограмма построенного на векторах X, Y E n ; 3. DetG(X, Y, Z) квадрат объёма параллелепипеда построенного на векторах X, Y, Z E n дляn 3; 4. DetG(X 1, X 2,..., X s ) квадрат s-мерного объёма s-мерного параллелепипеда построенного на векторах X 1, X 2,..., X s E n для s n; Упражнение 5 В пространстве R 3 задан треугольник (ABC) с вершинами Вычислите площадь треугольника. A = (1, 2, 1), B = (2, 3, 1), C = (3, 2, 1) Теорема об ортонормированном базисе Теорема 4 Пусть L -линейное подпространство пространства E n. Тогда в L существует базис, составленный из попарно ортогональных и единичных векторов Доказательство. Пусть F = f 1, f 2,..., f m - некоторый базис линейного подпространства. Используя процесс ортогонализации Грама- Шмидта, ортогонализируем систему векторов F получим базис F = f 1, f 2,..., f m, составленный из попарно ортогональных векторов. Полагая e i = f i f i, i = 1..m, получим ортонормированный базис H = e 1, e 2,..., e m. Отметим здесь, что разложение вектора X L, по ортонормированному базису H имеет следующий вид X = (X, e 1 )e 1 + (X, e 2 )e (X, e m )e m. Упражнение 6 Постройте ортогональный базис линейной оболочки L(X 1, X 2, X 3 ), если X 1 = (1, 2, 1, 1), X 2 = ( 1, 1, 1, 0), X 3 = ( 1, 3, 2, 1). 4

5 1.5.5 Теорема об ортогональном дополнении Пусть L -линейное подпространство евклидова пространства E n Вектор X E n ортогонален L, X L, если для любого Y L выполняется равенство (X, Y ) = 0. Множество всех векторов X E n ортогональных подпространству L называется ортогональным дополнением подпространства L и обозначается так: L. Теорема 5 Множество L является подпространством пространства E n, при этом 1. L L = 0 общим вектором подпространств L, L является только нулевой вектор 2. dim(l) + dim(l ) = n сумма размерностей подпространств L, L равна размерности пространства E n. Доказательство. Из свойства линейности скалярного произведения следует, что L является подпространством пространства E n. Установим 1, 2. Пусть F 0 = f 1, f 2,..., f m некоторый базис подпространства L. Дополним его до базиса F всего пространства E n, F = f 1, f 2,..., f m, f m+1,..., f n. Применив к базису F процесс ортогонализации Грама-Шмидта получим базис пространства E n при этом, очевидно, базис подпространства L, Φ = E 1, E 2,..., E m, E m+1,..., E n, Φ 0 = E 1, E 2,..., E m, Φ 1 = E m+1,..., E n, базис подпространства L. Теорема доказана. Как следствие мы получаем, что любой вектор Z E n допускает однозначное представление в виде Z = X + Y где X L, Y L, при этом справедлива теорема Пифагора Пишем также Z 2 = X 2 + Y 2 E n = L L пространство E n является прямой суммой подпространств L и L. Упражнение 7 Постройте ортогональное дополнение линейной оболочки L(X 1, X2), в E 4, если X 1 = (1, 2, 1, 1), X 2 = ( 1, 1, 1, 0) 1.6 Векторное произведение в пространстве E n Векторным произведением упорядоченной системы X 1, X 2,..., X n 1 из n 1 векторов в E n называется вектор Z, значение которого совпадает со значением следующего определителя n-ого порядка e 1 e 2... e n det (X 1, e 1 ) (X 1, e 2 )... (X 1, e n ) , (X n 1, e 1 ) (X n 1, e 2 )... (X n 1, e n ) раскрытого по первой строке, где e 1, e 2,..., e n векторы, образующие правый единичный базис (не обязательно ортонормированный!) пространства, т.е. такие векторы, что если e 1 = (e 11, e 12,..., e 1n ), e 2 = (e 21, e 22,..., e 2n ),..., e 1 = (e n1, e n2,..., e nn ), 5

6 то det e 11 e e 1n e 21 e e 2n e n1 e n2... e nn = 1. Легко устанавливается, что данное определение не зависит от выбора правого единичного базиса e 1, e 2,..., e n. В следующей теореме приведем свойства характеризующие векторное произведение. Теорема 6 Пусть Z = X 1 X 2... X n 1. Тогда 1. (Z, X k ) = 0 для k = 0, 1,..., n 1 вектор Z равен 0, если векторы X 1, X 2,..., X n 1 линейно зависимы, а,иначе, ортогонален n 1 мерному подпространству L(X 1, X 2,..., X n 1 ); 2. (Z, Z) = detg(x 1, X 2,..., X n 1 ) длина вектора равна (n 1) -мерному объему параллелепипеда, со сторонами X 1, X 2,..., X n направление вектора Z подчинено условию det (Z, e 1 ) (Z, e 2 )... (Z, e n ) (X 1, e 1 ) (X 1, e 2 )... (X 1, e n ) (X n 1, e 1 ) (X n 1, e 2 )... (X n 1, e n ) > 0; 1. Действительно, умножая скалярно Z на X i получаем определитель с двумя одинаковыми строками. 2. Достаточно заметить, что данный определитель есть (Z, Z). 3. Пусть e 1, e 2,..., e n - ортонормированный базис и Тогда Следовательно, A = A A T = (Z, e 1 ) (Z, e 2 )... (Z, e n ) (X 1, e 1 ) (X 1, e 2 )... (X 1, e n )) (X n 1, e 1 ) (X n 1, e 2 )... (X n 1, e n ) (Z, Z) (X 1, X 1 )... (X 1, X n 1 )) (X n 1, X 1 )... (X n 1, X n 1 ) det(a A T ) = (Z, Z) GR(X 1, X 2,..., X n 1 ). Но det(a) = (Z, Z) поэтому (Z, Z) 2 = (Z, Z) detg(x 1, X 2,..., X n 1 ) и (Z, Z) = detg(x 1, X 2,..., X n 1 ). Отметим, что система векторов Z, X 1, X 2,..., X n 1 образует правый базис пространства E n. При вычислениях векторного произведения обычно в качестве базиса e 1, e 2,..., e n берут канонический базис e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1) Векторное произведение в пространстве E 3. Геометрический смысл В трехмерном евклидовом пространстве E 3 векторное произведение X Y векторов вычисляем, раскрывая определитель X Y = X = (x 1, x 2, x 3 ), Y = (y 1, y 2, y 3 ) i j k x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3, 6

7 по первой строке, где i, j, k единичные базисные векторы i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) пространства E 3. Если векторы i, j, k образуют правую тройку, то векторному произведению X Y можно дать следующее определение. Векторным произведением векторов X, Y называется вектор X Y обладающий свойствами 1. Вектор X Y ортогонален плоскости содержащей векторы X, Y (каждому из векторов X, Y ); 2. Направление вектора X Y определяется по правилу правой руки (правилу буравчика); 3. Длина вектора X Y равна площади параллелограмма со сторонами X, Y, Упражнение 8 Доказать 1. X Y = Y X 2. (X + Y ) Z = X Z + Y Z 3. (αx) (βy ) = αβ(x Y ) X Y = X Y sin( (X, Y )). Упражнение 9 Вычислить координаты вектора X 1 X 2 и найти его длину, если X 1 = (1, 2, 1), X 2 = ( 1, 1, 1). 1.7 Проекция вектора на подпространство О расстоянии от точки до подпространства Расстояние от точки Z до подпространства L определяется как точная нижняя грань всех расстояний между X и Z, где точка X L ρ(z, L) = inf X Z. X L Теорема 7 Существует единственная точка X 0 L, для которой ρ(z, L) = X 0 Z. При этом вектор Y = Z X 0 ортогонален каждому вектору X L. Доказательство. Пусть X 0 такая точка L, что вектор Z X 0 ортогонален каждому вектору из L. Возьмем произвольно точку Y L, Y X 0. Тогда Z Y = (Z X 0 ) + (Y X 0 ). Вектор Y X 0 L, так как Y L и X 0 L. Поскольку Z X 0 Y X 0, то Следовательно (Z Y, Z Y ) = (Z X 0, Z X 0 ) + (Y X 0, Y X 0 ). Z Y 2 > Z X 0 2. Поэтому точка X 0, является единственной точкой, на которой реализуется расстояние ρ(z, L). 7

8 1.7.2 Система нормальных уравнений Пусть Z вектор евклидова пространства E, L = L(X 1, X 2,, X k ) линейная оболочка системы векторов из E, подпространство пространства E. Для того, чтобы найти ортогональную проекцию вектора Z на L потупим так. Сдвигаем конец вектора Z параллельно подпространству L так, чтобы полученный вектор Y = Z k α i X i i=1 стал ортогонален подпространству L. Для этого числа α i, i = 1..k, подбираем так, чтобы выполнялась система равенств (Y, X i ) = 0, i = 1..k. Это приводит к системе уравнений α 1 (X 1, X 1 ) + α 2 (X 2, X 1 ) α k (X k, X 1 ) = (Z, X 1 ) α 1 (X 1, X 2 ) + α 2 (X 2, X 2 ) α k (X k, X 2 ) = (Z, X 2 )... α 1 (X 1, X k ) + α 2 (X 2, X k ) α k (X k, X k ) = (Z, X k ) Решив её, находим ортогональную проекцию pr L (Z) = k α i X i i=1 вектора Z на L. В результате получаем разложение Z = (Z pr L (Z)) + pr L (Z), где pr L (Z) L, а (Z pr L (Z)) L. Отметим здесь, что система уравнений для нахождения чисел α i, i = 1..k, называется системой нормальных уравнений. Система нормальных уравнений всегда имеет решение, которое однозначно определяет вектор pr L (Z). Однако, если система векторов X 1, X 2,, X k линейно зависима, то мы имеем не единственное решение для чисел α i, i = 1..k. В этом случае, полезно сначала построить базис подпространства L, а затем, составить систему нормальных уравнений, используя найденный базис. Для ортонормированного базиса подпространства L, где s k получаем, что e 1, e 2,..., e s, pr L (Z) = s (Z, e i )e i Упражнение 10 Найти проекцию вектора Y на подпространства P, если 1. Y = (1, 2, 1), P = L(X), где X = (1, 1, 1) 2. Y = (1, 2, 1), P = L(X 1, X 2 ), где X 1 = (1, 1, 1), X 2 = ( 1, 0, 1). i=1 Упражнение 11 Найти проекцию вектора Y на подпространства P, используя процесс ортогонализации Грама-Шмидта, если Y = (1, 2, 1), P = L(X 1, X 2 ), где X 1 = (1, 1, 1), X 2 = ( 1, 0, 1). 1.8 Теорема о ранге матрицы Столбцовым рангом матрицы A M m n называется количество линейно-независимых столбцов матрицы. Строчным рангом матрицы называется количество линейно-независимых строк матрицы. Теорема 8 (О ранге матрицы). Строчный и столбцовый ранги матрицы A M m n совпадают. (Ранг матрицы - число линейно независимых строк (столбцов) матрицы ) 8

9 Доказательство. Рассмотрим отображение заданное правилом ϕ A : R m R n, ϕ A (X) = X A. Образ этого отображения состоит из всевозможных линейных комбинаций строк матрицы А, следовательно, размерность образа равна строчному рангу матрицы А, Ядро отображения ϕ A представимо в виде dim(im(ϕ A )) = строчный ранг. Ker(ϕ A ) = { X R m (X, A i ) = 0, i = 1..n }, следовательно является ортогональным дополнением к подпространству L(A 1, A 2,, A n ) в R m, которое является линейной оболочкой столбцов матрицы A. Отсюда вытекает, что Поскольку то получаем, что Следовательно, Что и требовалось доказать. 1.9 Плоскости в пространстве R n dim(ker(ϕ A )) = m столбцовый ранг. dim(im(ϕ A ) + dim(ker(ϕ A ) = m, строчный ранг + m столбцовый ранг = m. строчный ранг = столбцовый ранг Параметрическое задание плоскости m-мерной плоскости Линейным многообразием размерности m или m-мерной плоскостью в линейном пространстве R n, называется множество P = {X 0 + M X 0 R n, M R n }, где M - мерное подпространство пространства R n, а через X 0 + M обозначаем множество всех векторов X 0 + X, где X M. Если в подпространстве M выбрать в базис F = f 1, f 2,..., f m, то множество точек плоскости можно описать параметрически: P = {X R n X = X 0 + α 1 f 1 + α 2 f α m f m }, где < α i < +, i = 1..m, параметры. Если m = 1, то плоскость P называется прямой, при m = 2 плоскость P является двумерной плоскостью. Если m = n 1, то плоскость P называется гиперплоскостью. Упражнение 12 Построить параметрическое уравнение плоскости в R 3 проходящей через точки A = (1, 2, 1), B = ( 1, 0, 7), C = (1, 1, 1) 9

10 1.9.2 Неявная форма уравнения гиперплоскости Пусть M - (n-1)-мерное подпространство пространства R n, его базис, F = f 1, f 2,..., f n 1 P = {X R n X = X 0 + α 1 f 1 + α 2 f α m f n 1 } гиперплоскость в пространстве R n. Если N M ненулевой вектор ортогонального дополнения подпространства M. то гиперплоскость P можно задать как множество всех решений уравнения Если то уравнение гиперплоскости P приобретает вид где b = (X 0, N). (X X 0, N) = 0. N = (a 1, a 2,..., a n ), a 1 x 1 + a 2 x x n a n b = 0, Упражнение 13 Построить неявное уравнение плоскости в R 3 проходящей через точки A = (1, 2, 1), B = ( 1, 0, 7), C = (1, 1, 1) Упражнение 14 Доказать что неявное уравнение плоскости в R 3, проходящей через точки X 0 = (x 0, y 0, z 0 ), X 1 = (x 1, y 1, z 1 ), X 2 = (x 2, y 2, z 2 ), не лежащие на одной прямой, можно задать в виде равенств 1. det x y z 1 x 0 y 0 z 0 1 x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 = 0 2. det x x 0 y y 0 z z 0 x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 x 2 x 0 y 2 y 0 z 2 z 0 = Расстояние от точки до гиперплоскости Расстояние от точки Y R n до гиперплоскости (X X 0, N) = 0 - это длина d проекции вектора Y X 0 на направление нормали N (Y X 0, N) d = (N, N) Используя уравнение в неявной форме, для точки Y = (y 1, y 2,..., y n ) получаем, что a 1 y 1 + a 2 y y n a n b d = a a a2 n 10

11 Заметим, что величина (X, N) (N, N) постоянна для всех точек X гиперплоскости P и равна расстоянию d = b a a a2 n от точки 0 (нулевой вектор) до гиперплоскости. Упражнение 15 Найти расстояние от точки A = (1, 7, 1) до плоскости в R 3, проходящей через точки X 0 = (1, 1, 1), X 1 = ( 1, 7, 0), X 2 = ( 3, 0, 1), Упражнение 16 Найти расстояние от точки A = (1, 7, 1) до плоскости в R 3 2 x + 4 y z + 13 = Система уравнений, определяющая n-k -мерную плоскость в n-мерном евклидовом пространстве. Касательное и нормальное пространства Аналогично гиперплоскости, (n-k)- мерная плоскость P = {X 0 + M X 0 R n, M R n }, в n-мерном евклидовом пространстве может быть задана системой из k уравнений: (X X 0, N 1 ) = 0 (X X 0, N 2 ) = (X X 0, N k ) = 0, где X 0 - некоторая точка, лежащая в плоскости P, а N 1, N 2,..., N k - некоторый базис подпространства M, ортогонального дополнения к M. Если N i = (a i1, a i2,..., a in ), b i = (X 0, N i ), i = 1..k, то система уравнений принимает вид: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 = a k1 x 1 + a k2 x a kn x n b k = 0 Подпространство M R n называется касательным пространством плоскости, а подпространство M R n - нормальным пространством (пространством нормалей) плоскости. P = {X 0 + M X 0 R n, M R n }, Упражнение 17 Найти базисы касательного и нормального подпространств плоскости в R 4, заданной системой уравнений { x + y + z + t = 1 x y + 2z + 2t = 1 11

12 1.10 Системы линейных уравнений Основные понятия Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными зто система уравнений вида: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m где x 1, x 2,, x n неизвестные, которые надо определить, a ij, i = 1..m, j = 1..n, коэффициенты системы и b 1, b 2,... b m свободные члены. Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю b 1 = b 2 = = b m = 0, иначе неоднородной. Систему можно записать в матричной форме: A X = B, a 11 a a 1n b 1 x 1 a 21 a a 2n где A =...., B = b 2., и X = x 2.. a m1 a m2 a mn b m x n Матрица A называется матрицей системы, а матрица a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 A B = , a m1 a m2 a mn b m расширенной матрицей системы Теорема Кронеккера-Капелли Используя столбцы матрицы A систему A X = B, можно записать в виде: Из данного представления вытекает Теорема 9 Система уравнений A 1 x 1 + A 2 x A n x n = B a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы данной системы Структура общего решения линейной неоднородной системы уравнений Предположим, что неоднородная системы уравнений A X = B имеет решение. Фиксируем некоторое решение этой системы, которое обозначим через X 0. Если Y произвольное решение системы A X = B, то, очевидно, что Z = Y X 0 решение однородной системы, A X = 0. Обратно, если Z некоторое решение однородной системы A X = 0, то Y = Z + X 0 решение неоднородной системы A X = B. Следовательно, справедлива 12

13 Теорема 10 (О структуре общего решения линейной неоднородной системы уравнений) Общее решение Y системы уравнений представляется в виде: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Y = Z + X 0, где X 0 - частное решение неоднородной системы, а Z - общее решение соответствующей однородной системы. Очевидно, что множество решений однородной системы является линейным подпространством пространства R n. Если X 1, X 2,, X k базис этого подпространства, то произвольное решение однородной системы можно записать в виде: Z = c 1 X 1 + c 2 X c k X k Система векторов X 1, X 2,, X k называется фундаментальной системой решений однородного уравнения. Следовательно, общее решение неоднородной системы приобретает вид: Y = c 1 X 1 + c 2 X c k X k + X 0. Теорема 11 Если ранг матрицы системы a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m равен рангу расширенной матрицы системы и равен r, то множество решений данной системы уравнений является (n r) мерной плоскостью в R n, нормальное пространство которой является линейной оболочкой векторов и имеет размерность r. A i = (a i1, a i2,, a in ), i = 1..m, Метод Гаусса решения системы линейных уравнений 1. Системе уравнений a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m поставим в соответствие матричную форму A X = B и рассмотрим расширенную матрицу A B. 2. Элементарными преобразованиями строк приводим матрицу A B к верхней треугольной форме, c единицами на "диагонали". Если ранг расширенной матрицы A B больше ранга матрицы A, то система не имеет решения. Предположим, что ранги матриц A и A B совпадают и равны r. Тогда столбцы с единицами назовем ведущими столбцами, а переменные, соответствующие этим столбцам зависимыми переменными системы. Переменные соответственно остальным столбцам матрицы A, назовем независимыми переменными системы. 3. Приведем матрицу обратным ходом метода Гаусса к виду, когда над единицами стоят нули и, следовательно, подматрица размерности r r, включающая столбцы с зависимыми переменными равна единичной. 4. Запишем теперь систему уравнений, соответствующую полученной матрице, перенося независимые переменные в правую часть. 13

14 5. Приравняем к нулю все независимые переменные, находим частное решение системы. 6. Положим теперь все числа, соответствующие правой части уравнения, равными нулю. Поочередно приравнивая одну из независимых переменных к единице, а остальные к нулю, и выражая через них зависимые переменные, находим систему из n r независимых решений однородной системы. 7. Общее решение системы уравнений записываем в векторной форме. Упражнение 18 Решить систему уравнений методом Гаусса { x + y + z + t = 1 x y + 2z + 2t = Метод Крамера решения системы n линейных уравнений c n неизвестными Правило Крамера (метод Крамера) позволяет найти значения неизвестных x i, i = 1..n в случае, если матрица A системы a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n невырождена ( det(a) 0 ) и, следовательно, система имеет единственное решение X 0 = (x 0 1, x 0 2,, x 0 n). В этом случае, используя столбцы матрицы A, можно записать тождество B x 0 1 A 1 + x 0 2 A x 0 n A 2. Запишем определитель матрицы в виде определителя матрицы, составленной из столбцов, det(a) = A 1 A 2... A n. Если, например, вместо второго столбца A 2, в матрицу A подставить столбец B, то получим A 1 B... A n = A 1 (x 0 1 A 1 + x 0 2 A x 0 n A n )... A n. Вычитая их второго столбца соответствующую линейную комбинацию остальных столбцов, получаем A 1 (x 0 1 A 1 + x 0 2 A x 0 n A n )... A n = A 1 x 0 2 A 2... A n. Следовательно, и A 1 B... A n = x 0 2 A 1 A 2... A n, x 2 = A1 B... A n A 1 A 2... A n. Аналогично вычисляем значения остальных переменных. Упражнение 19 Решить систему уравнений используя правило Крамера x + y + z = 1 x + 2y z = 0 x y + 2z = 1 14

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Группа АМ-12-06 Вопросы к экзамену 1Векторная алгебра 1 Определение вектора Равенство векторов Свободные вектора Линейные операции над векторами и их свойства

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n Е.М. Карчевский, И.Л. Александрова, К.Н. Стехина Семинары по линейной алгебре и аналитической геометрии Часть 2 Учебное пособие Казанский университет 2015 Оглавление Предисловие...................................

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики А.Д.Больбот Задачи по алгебре Часть 2 Последнее изменение: 5 мая

Подробнее

R. Геометрический смысл

R. Геометрический смысл Рабочий учебно-тематический план изучения дисциплины «Линейная алгебра» для профиля «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1 триместр, лектор -- профессор, д.ф.м.н. Тищенко А.В. Наименовани е Содержание

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Теория систем линейных уравнений

Теория систем линейных уравнений Глава Теория систем линейных уравнений Ранг матрицы Пусть A F m n Рассмотрим столбцы a,,a n матрицы A = (a,,a n ) как векторы пространства F m, а строки ã,,ã m как векторы пространства F n Базу (соответственно

Подробнее

Лекция 10 V V R, (αx,y) = α(x,y) (x,x) > 0.

Лекция 10 V V R, (αx,y) = α(x,y) (x,x) > 0. Лекция 10 1 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 11 Определение Пусть V (R) ЛП над полем вещественных чисел Скалярное произведение на V это произвольная функция V V R, ставящая в соответствие упорядоченной паре векторов

Подробнее

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия)

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия) УДК 5 (075) ББК К 7 Рецензенты: МВ Зайцев дф-мн проф (МГУ им МВ Ломоносова) ВВ Коннов кф-мн доц (Финакадемия) К7 Калачев НВ Линейная алгебра Ч : Линейные и евклидовы пространства: Учебное пособие для подготовки

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет «Утверждаю», зав каф высшей математики профессор КП Арефьев А М Сухотин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические

Подробнее

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица Матрицы и определители.. Матрицы и операции над ними. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица K A K m K m K K K n состоящая

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Аффинное преобразование Аффинным преобразованием аффинного пространства (V, L) в другое аффинное пространство (V, L ) называется пара отображений

Аффинное преобразование Аффинным преобразованием аффинного пространства (V, L) в другое аффинное пространство (V, L ) называется пара отображений 1 ГОУ ВПО РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ КАФЕДРА НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ГЛОССАРИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА" для направления подготовки 080100 "Экономика" Алгебраическое дополнение

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "Линейная алгебра и аналитическая

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины Линейная алгебра и аналитическая РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "Линейная алгебра и аналитическая УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет геометрия" Автоматики и вычислительной на осенний

Подробнее

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет Федеральное агентство по образованию Составитель Т.И. Качаева Красноярский государственный университет Высшая алгебра: рабочая программа / Красноярский государственный университет; составитель Т.И. Качаева.

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений:

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений: . ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ранее мы охарактеризовали подпространство конечномерного пространства как линейную оболочку. Но возможны и другие истолкования подпространства. Пусть, e, e2, K, en какой-либо

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Целями освоения дисциплины «Алгебра геометрия» являются:

Целями освоения дисциплины «Алгебра геометрия» являются: Аннотация рабочей программы дисциплины «Алгебра и геометрия» направления подготовки 01.03.02. «Прикладная математика и информатика» по профилю «Математическое и информационное обеспечение экономической

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

Собственные числа и собственные векторы

Собственные числа и собственные векторы Собственные числа и собственные векторы 1 Для понимания этой темы нужно знать тему «Ядро и образ линейного оператора» и уметь вычислять определители Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств

Подробнее

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1.

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Комплексные числа и действия с ними. 1. Сказать несколько вводных слов о матрице, как основном

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ КИ Лившиц ЛЮ Сухотина ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебно-методическое пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 7 ББК Л Рецензенты: д-р физ-мат наук профессор

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее