Оптимальная фильтрация случайных процессов

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Оптимальная фильтрация случайных процессов"

Транскрипт

1 Оптимальная фильтрация случайных процессов Олег Николаевич Граничин Санкт-Петербургский государственный университет, математико-механический факультет 13 марта 2013 О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

2 Оптимальная фильтрация Под оптимальной фильтрацией понимаются алгоритмы обработки реализаций случайных процессов, направленные на максимальное в смысле некоторого критерия подавление помех, зашумляющих (обычно аддитивно) полезный сигнал. В фундаменте теории оптимальной фильтрации лежит метод Винера Колмогорова и его рекуррентные модификации, известные под общим названием фильтра Калмана Бьюси. Теория Винера Колмогорова в существенной степени базируется на методе наименьших квадратов. Оценивание параметров в этой теории происходит на основе обработки последовательно поступающих входных данных, являющихся некоторой траекторией стохастического процесса. Это приводит к важным концепциям физической реализуемости и оптимальности синтезируемого фильтра. Здесь будет описываться только случай дискретного времени. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

3 Фильтр Винера Колмогорова Ограничимся рассмотрением следующей постановки задачи: последовательность наблюдений удовлетворяет уравнению y n = ϕ T x n +v n, n=..., 1,0,1,..., в котором {x n } и {v n } вещественные векторные процессы: x n R r, v n R p ; ϕ прямоугольная матрица размерности r p. Требуется получить оценку x n процесса x n в момент времени n по наблюдениям за процессом {y n } до момента времени n l, l заданное целое число. Оценка ищется с помощью линейного устойчивого стационарного фильтра, уравнение которого имеет вид x n = i=l где H(i) весовая функция фильтра. H(i l)y n i, О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

4 Передаточная функция фильтра Введём передаточную функцию фильтра H(λ)=λ l H(i)λ i. i=0 Для упрощения ограничимся рассмотрением фильтров с дробно рациональными передаточными функциями. Дробно рациональную функцию λ l H(λ) будем называть устойчивой, если у неё нет полюсов, которые по абсолютной величине меньше либо равны единице. Свойство устойчивости фильтра равносильно устойчивости функции λ l H(λ). Задача фильтрации называется по-разному в зависимости от числа l в уравнении фильтра. При l > 0 её называют задачей экстраполяции (прогноза) на l моментов времени, при l < 0 задачей интерполяции (сглаживания), при l = 0 собственно фильтрацией. Таким образом, при сглаживании оценка может зависеть от некоторого числа будущих наблюдений, а передаточная функция фильтра имеет полюс порядка l в начале координат. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

5 Функционал качества В классической постановке задачи рассматриваются стационарные случайные процессы {y n } и {x n }, которые вдобавок стационарно связаны, и их матрицы ковариаций вместе со спектральными плотностями: B yy (n), S yy (λ), B yx (n), S yx (λ), B xx (n), S xx (λ), существуют и известны. Оценка x n должна быть оптимальной в смысле минимума среднеквадратичного функционала f l = E{ x n x n 2 }(= f l (H(λ))). В силу стационарности процессов этот функционал не зависит от времени. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

6 Стационарные случайные процессы Последовательность {ξ n } случайных векторов ξ n называется стационарным (в широком смысле) процессом, если среднее значение и ковариация не зависят от сдвига по времени. Для стационарного в широком смысле случайного процесса справедливо представление в виде стохастического интеграла Ито ξ n = 1 2π e i µ n dζ µ + ξ, <n<, 2π 0 где ξ константа, а {ζ µ } случайный процесс с некоррелированными центрированными приращениями, т. е. при любых µ 1 µ 2 µ 3 µ 4 из интервала [0;2π] удовлетворяющий условиям: E(ζ µ1 ζ µ2 )(ζ µ3 ζ µ4 ) = 0,E(ζ µ1 ζ µ2 )(ζ µ2 ζ µ1 ) = U ξξ (µ 2 ) U ξξ (µ 1 ), с монотонно неубывающей (в смысле квадратичных форм) симметричной матричной функцией U ξξ ( ), называемой спектральной (структурной) функцией процесса {ξ n }. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

7 Спектральная плотность Будем рассматривать только регулярные стационарные процессы, для которых элементы матрицы U ξξ (µ) абсолютно непрерывные функции, т. е. при почти всех (по мере Лебега) µ [0;2π] существует производная S ξξ (µ)= du ξξ(µ). d µ Спектральную функцию U ξξ (µ) можно представить в виде U ξξ (µ)= µ 0 S ξξ (µ)d µ. Матрица S ξξ (µ) называется матрицей спектральных плотностей (или спектральной плотностью) процесса {ξ n }. S ξξ (µ) неотрицательно определённая матрица и: cov{ξ k,ξ l }=B ξξ (k l)= 1 2π e i µ(k l) du 2π ξξ (µ) = 1 2π e i µ(k l) Sξξ (µ) 0 2π 0 О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

8 Cтационарно связанные случайные процессы Стационарные процессы {ξ n } и {η n } называются стационарно связанными, если совокупный процесс {ξ n,η n } стационарный. Для стационарно связанных центрированных процессов {ξ n } и {η n }, имеющих спектральные плотности, справедливы соотношения 2π cov{ξ k,ξ l }=B ξξ (k l)= 1 e i µ(k l) Sξξ (µ)d µ 2π 0 cov{ξ k,η l }=B ξη (k l)= 1 2π e i µ(k l) S 2π ξη (µ)d µ, 0 где S ξη (µ) совместная спектральная плотность, B ξη (n) матрица ковариации процессов. Вводя λ = e i µ, имеем: B ξξ (n)= 1 λ n S 2πi ξξ (λ) dλ λ,b ξη(n)= 1 λ n S 2πi ξη (λ) dλ λ, где интеграл по единичной окружности: dλ/λ = 2πi, и S ξξ (λ)= S ξξ (µ), S ξη (λ)= S ξη (µ). О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

9 Минимизация функционала качества Перепишем на основании определений матриц ковариации функционал качества f l в виде: ( f l = Tr[E{( x n x n )( x n x n ) T }]=Tr[E{( j=l H(j l)y n j x n ) T }]=Tr[B xx (0)+ i=l H(i)B yx ( i l) i=l i=l i=l j=l H(i l)y n i x n ) H(i)B yy (j i)h(j) T B xy (i+l)h(j) T ]. Известно, что преобразование спектральной плотности в линейном фильтре позволяет записать функционал качества f l как квадратичную форму от передаточной функции фильтра: f l = Tr[B xx (0)+ + 1 (H(λ)S yy (λ)h(λ 1 ) T H(λ)S yx (λ) S xy (λ)h(λ 1 ) T ) dλ 2πi λ ]. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

10 Факторизация матричных функций Пусть S(λ) дробно рациональная (матричная) функция (д. р.ф.) с вещественными коэффициентами в матричных элементах, определенная и неотрицательная при всех λ = 1. Тогда существует устойчивая д. р.ф. Π(λ) такая, что справедливо представление S(λ)=Π(λ)Π(λ 1 ) T при всех комплексных значениях λ. При этом, если dets(λ) 0 при λ =1, то Π(λ) 1 устойчивая д. р.ф. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

11 Преобразование функционала качества Предположим, что матрица S yy (λ) положительно определенная при λ = 1. В этом случае можно выбрать такую матрицу Π(λ), чтобы Π(λ) 1 была устойчивой. С помощью формулы факторизации, учитывая выполнение при λ = 1 соотношения получаем формулу S xy (λ)=s yx (λ 1 ) T, f l = Tr[Q+ 1 (H(λ)Π(λ) R(λ))(H(λ)Π(λ) R(λ)) T dλ 2πi λ ], в которой использованы обозначения: R(λ)=S xy (λ)(π(λ 1 ) T ) 1, Q=B xx (0) 1 2πi R(λ)R(λ 1 ) T dλ λ. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

12 Оптимальный фильтр? Так как матрица Q не зависит от H(λ), а второе слагаемое в правой части полученной для f l формулы неотрицательная матрица, то минимум функционала качества f l достигается при H(λ)=R(λ)Π(λ) 1 = S xy (λ)s yy (λ) 1, причём минимальное значение функционала качества равно min {H(λ)} f l = Tr[Q]. Однако, найденное решение неудовлетворительно, поскольку, вообще говоря, не выполняется условие устойчивости фильтра, так как матрица S yy (λ) 1 может иметь особенности при λ 1 и это свойство передаётся H(λ). О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

13 Оптимальный устойчивый фильтр Для получения устойчивого фильтра надо произвести сепарацию функции R(λ), т. е. представить её в виде λ l R(λ)=R + (λ)+r (λ), в котором R + (λ),r (λ 1 ) устойчивые матричные функции и lim R (λ)=0. λ Основной результат теории оптимальной фильтрации Винера Колмогорова заключается в том, что при сделанных предположениях передаточная функция оптимального устойчивого фильтра, минимизирующего функционал качества f l, определяется по формуле H(λ)=λ l R + (λ)π(λ) 1, и соотв. минимальное значение функционала качества равно min f l = Tr[Q]+ 1 Tr[R (λ)r (λ 1 ) T ] dλ {H(λ)} 2πi λ. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

14 Скалярный случай В случае скалярного процесса y n c дробно рациональной спектральной плотностью процедура построения функции Π(λ) сводится, по существу, к нахождению корней и полюсов дробно рациональной функции S yy (λ), которые по абсолютной величине больше единицы. Сепарация функции λ l R(λ) в этом случае состоит в выделении целой части функции с последующим определением устойчивых и неустойчивых полюсов у полученной в результате дробно рациональной функции. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

15 Пример: оптимальный прогноз процесса Предположим, что наблюдается скалярный процесс {y n }: y n = ϕx n +v n, где {x n } и {v n } стохастически независимые стационарно связанные процессы: E{v n }=0, E{v 2 n}=σ 2 v, причём {x n } определяется уравнением x n+1 = ax n +w n+1, n=1,2,..., x 0 = 0, в котором 0< a <1, E{w n }=0, E{w i w j }=σ 2 wδ ij. В данном случае S vv = σ 2 v, S xx (λ)= σ 2 w (1 aλ)(1 aλ 1 ), S yy(λ)=s vv + ϕ 2 S xx (λ). О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

16 Факторизация спектральной плотности Для факторизации S yy (λ) найдём c 1 и c 2 из уравнения σ 2 v (1 aλ)(1 aλ 1 )+ϕ 2 σ 2 w =(c 1+c 2 λ)(c 1 +c 2 λ 1 ). Несложные расчёты дают c 1 = 1 2 (ρ 1+ ρ 2 ), c 2 = 1 2 (ρ 1 ρ 2 ), где ρ 1 = ϕ 2 σ 2 w + σ 2 v(1 a) 2, ρ 2 = ϕ 2 σ 2 w + σ 2 v(1+a) 2. Обозначив Π(λ)= c 1+c 2 λ 1 aλ, с учётом введенных обозначений, имеем S yy (λ)=π(λ)π(λ 1 ) T. При этом Π(λ) и Π(λ) 1 устойчивые из-за c 1 > c 2. Т. к. то S yx (λ)= R(λ)= ϕσ 2 w (1 aλ)(1 aλ 1 ), ϕσ 2 wλ (1 aλ)(c 1 λ +c 2 ). О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

17 Оптимальный прогноз на один шаг (l = 1) В результате сепарации функции получаем λ 1 R(λ)= R + (λ)= ϕσ2 w a c 1 +c 2 a ϕσ 2 w (1 aλ)(c 1 λ +c 2 ). 1 1 aλ, R (λ)= ϕσ2 w c 1 c 1 +c 2 a 1 c 1 λ +c 2. Следовательно, передаточная функция оптимального фильтра H(λ)= ϕσ2 w a c 1 +c 2 a λ c 1 +c 2 λ. T. е. x n+1 и x n связаны соотношением c 1 x n+1 +c 2 x n = ϕσ2 wa c 1 +c 2 a y n, или x n+1 = a x n aαϕ(ϕ x n y n ), ( ) σw где α = 2 c 1 (c 1 +c 2 a) 1 ( c aϕ 2 2 c 1 +a). О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

18 Фильтр Калмана Бьюси Предположим, что наблюдается случайный процесс y n = ϕ T n x n +v n, n=1,2,..., представляющий собой смесь преобразованного векторного процесса {x n } и векторной помехи {v n }. Прямоугольные матрицы ϕ n этого преобразования считаются известными и могут изменяться во времени. Векторный процесс {x n } порождается соотношением x n+1 = A n x n +w n+1, в котором x 0 = 0 и A n известная матричная функция времени, а {w n } последовательность центрированных независимых случайных векторов с известными матрицами ковариации: E{w n w jt }=Q w (n)δ nj. Обычно считают, что помеха {v n } также представляет собой последовательность центрированных независимых случайных векторов с известными матрицами ковариации E{v n vj T }=B v (n)δ nj, которые при всех n невырожденные, и {ϕ n } детерминированная последовательность матриц. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

19 Задача об оптимальном одношаговом прогнозе Ограничимся рассмотрением задачи об оптимальном одношаговом прогнозе. Для n=1,2,... требуется по наблюдениям y 1,y 2,..., y n найти линейные оценки x n+1 значений процесса {x n } в моменты времени n + 1, минимизирующие среднеквадратичные отклонения f n = E{ x n+1 x n+1 2 }. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

20 Необходимые и достаточные условия оптимальности Предположим, что оптимальная оценка имеет вид: x n+1 = n i=1 H n(i)y i. Если оценка x n+1 минимизирует функционал качества f n, то для любого j = 1,2,...,n выполнено условие или E{( x n+1 x n+1 )y T j }=0 E{x n+1 yj T }= n i=1 H n (i)e{y i y T j }. Последнее выражение представляет собой нестационарный вариант уравнения Винера Хопфа (в дискретном времени) относительно весовых функций H n (i). Это соотношение имеет простой геометрический смысл: случайная величина x n+1, являющаяся линейной комбинацией случайных величин y 1,..., y n, должна быть строго ортогональной проекцией вектора x n+1 на подпространство, натянутое на соответствующие векторы наблюдений. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

21 Вывод рекуррентного соотношения I Обозначив B ij = E{y i y T j } и K n = H n (n), из последнего уравнения, записанного для двух последовательных значений времени n и n+1, с одной стороны, получаем E{(x n+1 x n )yj T n 1 }= i=1 (H n (i) H n 1 (i))b ij +K n B nj. С другой стороны, учитывая вид фильтра, порождающего процесс {x n }, имеем E{(x n+1 x n )yj T n 1 }=(A n I) H n 1 (i)b ij. i=1 О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

22 Вывод рекуррентного соотношения II Из последних двух уравнений следует, что n 1( An H n 1 (i) K n ϕn T H n 1(i) H n (i) ) B ij = 0, j = 1,2,...,n 1, i=1 так как в силу уравнения наблюдений B nj = E{y n yj T }=ϕn T E{x n yj T }+E{v n yj T }=ϕn T n 1 А значит, оценка x n = n 1 i=1 (H n 1(i) D n (i))y i, где i=1 D n (i)=a n H n 1 (i) K n ϕ T n H n 1 (i) H n (i), H n 1 (i)b ij. также является оптимальной в среднеквадратичном смысле оценкой вектора x n по наблюдениям y 1,y 2,...,y n 1. Поэтому E{ x n x n 2 n 1 }=0или E{ D n (i)ϕi T x i 2 n 1 }+ D n (i) T B v (i)d n (i)=0. i=1 О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30 i=1

23 Вывод рекуррентного соотношения III Так как B v (i)> 0 при i = 1,2,...,n 1, то D n (i)=0, т. е. H n (i)=a n H n 1 (i) K n ϕ T n H n 1 (i). Это и есть искомое соотношение, которому должна удовлетворять весовая функция оптимального фильтра. Учитывая его, несложно найти разностное уравнение для последовательности оптимальных оценок { x n }: n 1 x n+1 = K n y n + i=1 H n (i)y i = K n y n + n 1 i=1 ( An H n 1 (i) K n ϕ T n H n 1 (i) ) y i = = K n y n +(A n K n ϕ T n ) x n = A n x n K n (ϕ T n x n y n ). Матричные функции K n называются калмановскими коэффициентами усиления. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

24 Рекуррентные формулы K n непосредственно связаны с ковариационными матрицами ошибок оценивания Γ n = E{( x n x n )( x n x n ) T }, так как из уравнения Винера Хопфа следует: 0=E{( x n+1 x n+1 )(y n ϕ T n x n) T }= (A n K n ϕ T n )Γ n ϕ n +K n B v (n). Сформулируем окончательный результат. Калмановский коэффициент усиления K n определяется по формуле K n = A n Γ n ϕ n (B v (n)+ϕ T n Γ nϕ n ) 1, где Γ n ковариационная матрица ошибки оценивания, последовательность которых удовлетворяет рекуррентному соотношению Γ n+1 =(A n K n ϕ T n )Γ n(a n K n ϕ T n )T +K n B v (n)k T n +Q w(n+1). Последняя формула легко выводится из разностного уравнения, связывающего две последовательные оценки. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

25 Фильтр Калмана Бьюси Используя матричное тождество рекуррентные соотношения для матриц Γ n можно переписать в виде или Γ n+1 = A n Γ n A T n K nϕ T n Γ na T n +Q w(n+1) Γ n+1 = A n (Γ n Γ n ϕ n (B v (n)+ϕ T n Γ nϕ n ) 1 ϕ T n Γ n)a T n +Q w(n+1). После задания начальных значений x 0 и Γ 0 вместе с формулой для последовательного пересчета оценок x n+1 = A n x n A n Γ n ϕ n (B v (n)+ϕ T n Γ n ϕ n ) 1 (ϕ T n x n y n ) эти соотношения, называемые фильтром Калмана Бьюси, определяют замкнутую систему для рекуррентного вычисления x n и Γ n во все моменты времени n. Такие же формулы можно получить и при рассмотрении не только детерминированной последовательности {ϕ n }, но и считая её реализацией некоторого матричного независимого случайного процесса, некоррелированного с помехами {v n } и с порождающим процессом {w n }. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

26 Упрощенный фильтр Калмана Бьюси Стоит заметить, что при A n I, Q w (n) 0 и выборе матрицы весовых коэффициентов R n = B v (n) 1 фильтр Калмана Бьюси в точности совпадает с обобщенным рекуррентным МНК, что и неудивительно. На практике полученные соотношения часто упрощают, используя для вычисления оценок формулу x n+1 = A n x n A n Γϕ n α(ϕ T n x n y n ) с заданными положительно определенными матрицами Γ и α. Дальнейшее упрощение возможно при выборе скалярного значения α > 0. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

27 Рандомизированный фильтр В случае вырожденных помех наблюдения {v n }, в частности, при задании их неизвестными детерминированными ограниченными функциями, о качестве оценок фильтра Калмана Бьюси трудно что либо утверждать. Если предположить, что {ϕ n } последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с известным средним значением и положительной ограниченной дисперсией, то для решения задачи о прогнозировании можно воспользоваться рандомизированным алгоритмом вида x n+1 = A n x n αa n Γ(ϕ n E{ϕ n })(ϕ T n x n y n ). В условиях скалярных наблюдений на фоне неизвестной, но ограниченной неслучайной помехи получаемые по этому алгоритму оценки могут давать достаточно хорошее качество предсказания при A n A: A 1. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

28 Пример: оптимальный прогноз процесса Предположим, что наблюдается скалярный процесс {y n } y n = ϕ n x n +v n, где {ϕ n }, {x n } и {v n } стохастически независимые процессы: E{v n }=0, E{v 2 n }=σ2 v > 0, {x n} определяется уравнением: x n+1 = ax n +w n+1, n=1,2,..., x 0 = 0, в котором 0< a 1, E{w n }=0, E{w n 2}=σ 2 w > 0. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

29 Фильтр Калмана Бьюси В данном случае B v (n) σ 2 v, Q w (n) σ 2 w и при задании x 0 = 0,Γ 0 = 0 оптимальная последовательность прогнозирующих оценок вычисляется по формулам Γ n x n+1 = a x n a σv 2 +Γ n ϕn 2 ϕ n (ϕ n x n y n ), Γ n+1 = σw 2 + a2 σv 2 a 2 σ 4 ( v ϕn 2 ( ϕn 2(σ2 v +Γ nϕn 2) a 2 Γ n Γ2 nϕn 2 ) ) σv 2+Γ nϕn 2 +σw 2. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

30 Стационарный случай При ϕ n ϕ или в той ситуации, когда {ϕ n } бернуллиевский процесс: ϕ n =±ϕ, E{ϕ n }=0, последовательность {Γ n } сходится к пределу Γ решение которого Γ = σw 2 + a2 σv 2 ϕ 2 a 2 σv 4 ϕ 2 (σv 2+Γ ϕ 2 ), Γ = ϕ2 σw 2 +(a2 1)σv 2+ (ϕ 2 σw 2 +(a2 1)σv 2)2 +4ϕ 2 σ 2 wσv 2 2ϕ 2. ( ) 1 ( c aϕ 2 2 c 1 +a), где Обозначив α = Γ σv 2+Γ = c2 ϕ 2 1 +c 1c 2 /a ϕ 2 c1 2 c 1 = 1 2 (ρ 1+ ρ 2 ), c 2 = 1 2 (ρ 1 ρ 2 ), ρ 1 = ϕ 2 σ 2 w + σ 2 v(1 a) 2, ρ 2 = ϕ 2 σ 2 w + σ 2 v(1+a) 2, в пределе при n получаем x n+1 a x n aαϕ n (ϕ n x n y n ). Заметим, что при a 1 и σ w << σ v имеем α σ w ϕσ v. О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование весна / 30

ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ.

ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ. УДК 63966 ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ Г Ф Савинов В работе получен алгоритм оптимального фильтра для случая когда входные воздействия и шумы представляют собой случайные гауссовы

Подробнее

ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ. II. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ

ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ. II. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ УДК 6-5:59 НС Демин СВ Рожкова ОВ Рожкова ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ II НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ В данной работе

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ УДК 681.5(07) ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ Д.Н. Вятченников, В.В. Кособуцкий, А.А. Носенко, Н.В. Плотникова Недостаточная информация об объектах при разработке их

Подробнее

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 3 Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция

Подробнее

Сведения из ТВ и теории оценивания

Сведения из ТВ и теории оценивания Сведения из ТВ и теории оценивания Олег Николаевич Граничин Санкт-Петербургский государственный университет, математико-механический факультет 20 февраля 2013 О. Н. Граничин (СПбГУ) стохастическое программирование

Подробнее

Лекция 9. Множественная линейная регрессия

Лекция 9. Множественная линейная регрессия Лекция 9. Множественная линейная регрессия Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Множественная регрессия... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39 Cодержание Содержание 1

Подробнее

Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, ноября 2008 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ , часть 4 МИРЭА

Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, ноября 2008 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ , часть 4 МИРЭА Материалы Международной научно-технической школы-конференции, 3 ноября 8 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ 8, часть 4 МИРЭА РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА ДВОИЧНЫХ

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 11

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 11 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 11 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ И ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ.15.Глава 1. Основные понятия теории управления... 15 1.1.Понятия об управлении и системах управления... 15 1.2.Объекты

Подробнее

52. Чем определяется потенциальная точность совместных оценок частоты и задержки сигнала? 53. В чём заключается идея оценивания параметров сигнала с

52. Чем определяется потенциальная точность совместных оценок частоты и задержки сигнала? 53. В чём заключается идея оценивания параметров сигнала с Контрольные вопросы 0. Вывод рекуррентного уравнения для АПВ дискретных марковских 1. Как преобразуются ПВ распределения случайных величин при их функциональном преобразовании? 2. Что такое корреляционная

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

ОЦЕНИВАНИЕ, ФИЛЬТРАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ КОВАРИАЦИЯХ СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ

ОЦЕНИВАНИЕ, ФИЛЬТРАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ КОВАРИАЦИЯХ СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ 1079 УДК 519.71 ОЦЕНИВАНИЕ, ФИЛЬТРАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ КОВАРИАЦИЯХ СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ М.М. Коган Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет Россия, 603950, Нижний

Подробнее

Линейное сглаживание экспериментальных данных

Линейное сглаживание экспериментальных данных Линейное сглаживание экспериментальных данных В. И. Полищук С.-Петербургский Государственный Политехнический Университет (polischook@ list.ru) 25 сентября 2005 г. Аннотация Вариант изложения указанной

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Методы идентификации систем управления

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Методы идентификации систем управления Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Рыбинский государственный авиационный технический университет имени П.А.Соловьева» УТВЕРЖДАЮ Проректор по науке и инновациям Т.Д. Кожина РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Подробнее

Матричные вычисления и нормальное распределение

Матричные вычисления и нормальное распределение Курс: Байесовские методы машинного обучения, Дата: 9 октября Матричные вычисления и нормальное распределение Дивергенция Кульбака-Лейблера 5 p(x) (x) 5 p(x) (x) 5 5 5 5 5 5-5 5 KL( p) min -5 5 KL(p ) min

Подробнее

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КОНЪЮНКТУРЫ РЫНКА НЕФТЕХИМИЧЕКСИХ ПРЕДПРИЯТИЙ. Кордунов Д.Ю., Битюцкий С.Я.

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КОНЪЮНКТУРЫ РЫНКА НЕФТЕХИМИЧЕКСИХ ПРЕДПРИЯТИЙ. Кордунов Д.Ю., Битюцкий С.Я. 1 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КОНЪЮНКТУРЫ РЫНКА НЕФТЕХИМИЧЕКСИХ ПРЕДПРИЯТИЙ Кордунов Д.Ю., Битюцкий С.Я. Введение. В современных условиях хозяйствования, которые характеризуются быстрым развитием мировых интеграционных

Подробнее

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ. В. В. Карелин ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ НАБЛЮДЕНИЯ )

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ. В. В. Карелин ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ НАБЛЮДЕНИЯ ) Сер. 0. 200. Вып. 4 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ УДК 539.3 В. В. Карелин ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ НАБЛЮДЕНИЯ. Введение. Статья посвящена проблеме

Подробнее

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

Подробнее

Идентификация параметров процесса аномальной диффузии на основе разностных уравнений

Идентификация параметров процесса аномальной диффузии на основе разностных уравнений Вычислительные технологии Том 18, 1, 2013 Идентификация параметров процесса аномальной диффузии на основе разностных уравнений А. С. Овсиенко Самарский государственный технический университет, Россия e-mail:

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

Метрика L 1 в задачах управления. Фильтрация

Метрика L 1 в задачах управления. Фильтрация Метрика L 1 в задачах управления. Фильтрация Б.Т. Поляк Семинар Институт проблем управления РАН, Москва 9 марта 2010 Примеры Содержание Временные ряды Общая задача фильтрации Обсуждение Обнаружение разладки

Подробнее

Серия: АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Серия: АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ Алгоритмы и программирование Серия: АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ Гельфанд А.М., Хмельник С.И. Цифровая фильтрация многомерных взаимосвязнных нестационарных процессов 6 Оглавление. Введение 2. Многосвязные

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А.

Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Соловьева» Факультет радиоэлектроники и информатики Кафедра МПО

Подробнее

Нейронные сети. Краткий курс

Нейронные сети. Краткий курс Нейронные сети Краткий курс Лекция 7 Модели на основе теории информации Рассмотрим информационно теоретические модели, которые приводят к самоорганизации В этих моделях синаптические связи многослойной

Подробнее

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение.

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. 6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ

Подробнее

ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. 1. Случайный анализ

ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. 1. Случайный анализ ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. Случайный анализ Часто при исследовании различных явлений природы, экономических и технических процессов приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися во времени.

Подробнее

АНАЛИЗ АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА И.П. Гуров, П.Г. Жиганов, А.М. Озерский

АНАЛИЗ АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА И.П. Гуров, П.Г. Жиганов, А.М. Озерский АНАЛИЗ АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА И.П. Гуров, П.Г. Жиганов, А.М. Озерский Рассматриваются особенности динамической обработки стохастических сигналов с использованием дискретных

Подробнее

Семинары по байесовским методам

Семинары по байесовским методам Семинары по байесовским методам Евгений Соколов sokolov.evg@gmail.com 5 декабря 2014 г. 2 Нормальный дискриминантный анализ Нормальный дискриминантный анализ это частный случай байесовской классификации,

Подробнее

А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург 2013 1. Линейная задача метода

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В квантовой механике существует небольшое число задач, которые имеют физический смысл и могут быть решены точно. Физический смысл имеют следующие основные задачи: Задача о движении

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 28 февраля 2013 г. В докладе на двух примерах показывается, чем различаются классические и неклассические

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это

Подробнее

ЛОКАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛОЖНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

ЛОКАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛОЖНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 4 Системный анализ УДК 68.58 А. А. ЛОБАТЫЙ, БНТУ ЛОКАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛОЖНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Аналитически получены выражения для векторов сноса и матриц диффузии подсистем сложной стохастической

Подробнее

Представление сигналов. Пространства сигналов

Представление сигналов. Пространства сигналов Представление. к.ф.-м.н., доцент Московский государственный университет факультет ВМК кафедра Математических методов прогнозирования Цифровые методы Лекция 1 Тула, 2014 План 1 2 3 по Норберту Винеру фильтрация

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Глава 3 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ 3 Метод наименьших квадратов Метод наименьших квадратов (часто называемый МНК) обычно упоминается

Подробнее

Материалы Международной научно-технической конференции, 3 7 декабря 2012 г.

Материалы Международной научно-технической конференции, 3 7 декабря 2012 г. Материалы Международной научно-технической конференции, 3 7 декабря 2012 г. МОСКВА INTERMATIC 2 0 1 2, часть 6 МИРЭА РЕАЛИЗАЦИЯ АДАПТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ НА ПРОГРАММИРУЕМЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СХЕМАХ 2012

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Тема 8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Тема 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Понятие дискретной системы Методы описания линейных дискретных систем: разностное уравнение, передаточная функция, импульсная характеристика, частотная передаточная функция

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:

Подробнее

Лекция 11. Прием непрерывных сообщений. Критерии помехоустойчивости

Лекция 11. Прием непрерывных сообщений. Критерии помехоустойчивости Лекция 11 Прием непрерывных сообщений. Критерии помехоустойчивости Сообщение в общем случае представляет собой некоторый непрерывный процесс bt, который можно рассматривать как реализацию общего случайного

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Заметки по матричным вычислениям и нормальному распределению

Заметки по матричным вычислениям и нормальному распределению Заметки по матричным вычислениям и нормальному распределению Матричные вычисления Здесь и далее вектора будут обозначаться жирным шрифтом x,y,, а матрицы заглавными буквами A,B, При этом под вектором всегда

Подробнее

41. Симметрические операторы

41. Симметрические операторы 41 Симметрические операторы Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают дополнительными свойствами по сравнению с линейными операторами в векторных пространствах без скалярного

Подробнее

О КОМПЛЕКСЕ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ

О КОМПЛЕКСЕ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ. 28. 4(54). 37 44 УДК 59.24 О КОМПЛЕКСЕ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ Г.В. ТРОШИНА Рассмотрен комплекс программ

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и инженеров

Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и инженеров Ивановский Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. СПб.: БХВ- Петербург, 2008. 528 с.: ил. + CD-ROM (Учебное пособие) В

Подробнее

К ПОСТРОЕНИЮ ЭТАЛОННОГО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

К ПОСТРОЕНИЮ ЭТАЛОННОГО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 93 УДК 5798 К ПОСТРОЕНИЮ ЭТАЛОННОГО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ АД Мижидон Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления Россия, 673, Улан-Удэ, Ключевская ул, В E-ail:

Подробнее

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции 1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции ( x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции ( x в произвольной точке x Для

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1.

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Постановка задачи Пусть в области D = {a x b, y i y i 0 b i } R n+1 Необходимо найти решение удовлетворяющее начальному

Подробнее

ТЕМА 7. Случайные процессы. Оглавление. 7.1 Случайные процессы

ТЕМА 7. Случайные процессы. Оглавление. 7.1 Случайные процессы ТЕМА 7. Случайные процессы. Цель контента темы 7 дать начальные понятия о случайных процессах и цепях Маркова в частности; очертить круг экономических задач, которые используют в своем решении модели,

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ ЛЕКЦИЯ 1. Постановка задачи оценивания параметров сигналов. Байесовские оценки случайных параметров сигналов при различных функциях потерь. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ 3.1.

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Задача 1. dx x. Найти экстремум функционала. f C. y y = + = 2 = + ~ +

Задача 1. dx x. Найти экстремум функционала. f C. y y = + = 2 = + ~ + Задача Найти экстремум функционала d d b a d d d ~ Задача Найти экстремум функционала d d b a d d ~ Задача Найти экстремум функционала d d b a d d ~ Задача Решить интегральное уравнение d d 6 d d 6 8 Найдём

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

УДК Г. А. Омарова. Построение траектории движения объекта

УДК Г. А. Омарова. Построение траектории движения объекта УДК 5979 + 5933 Г А Омарова Èíñòèòóò âû èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè åñêîé ãåîôèçèêè ÑÎ ÐÀÍ ïð Àêàä Ëàâðåíòüåâà, 6, Íîâîñèáèðñê, 630090, Ðîññèÿ E-mail: gulzira@ravccru Статистическая модель движения

Подробнее

Необходимо определить управляющий вектор U оп (t)

Необходимо определить управляющий вектор U оп (t) Лекция 2 3.5.2 Поиск оптимального управления непрерывными детерминированными процессами методами Лагранжа-Понтрягина В общем виде управляемая динамическая система описывается системой дифференциальных

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

Эргодические процессы Условие стационарности и алгебраическая система уравнений Пример... 16

Эргодические процессы Условие стационарности и алгебраическая система уравнений Пример... 16 Оглавление Глава Случайные процессы Простая однородная цепь Маркова Уравнение Маркова Простая однородная цепь Маркова 4 Свойства матрицы перехода 5 Численный эксперимент: стабилизация распределения вероятностей

Подробнее

Лекция 1. Вероятностное пространство

Лекция 1. Вероятностное пространство Лекция 1. Вероятностное пространство Введение (Б.Паскаль, П.Ферма, Х.Гюйгенс, Я.Бернулли, К.Гаусс, П-С.Лаплас, С.Пуассон, П.Л.Чебышев, А.Н.Колмогоров и другие корифеи). Случайные эксперименты. Пространство

Подробнее

Babilua Petre, Nadaraya Elizbar, Shatashvili Albert, Sokhadze Grigol. I. Javakhishvili Tbilisi State University. Donetsk State University

Babilua Petre, Nadaraya Elizbar, Shatashvili Albert, Sokhadze Grigol. I. Javakhishvili Tbilisi State University. Donetsk State University Обращение интеграла Винера и одно статистическое применение Babla Pere Naaraa lzbar Shaashvl Alber Sohaze Grol I Javahshvl Tbls Sae Uvers Does Sae Uvers ABSTRAT В работе доказана теорема об обращении интеграла

Подробнее

1. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

1. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ 1. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ 1.1. СИСТЕМА С АДАПТИВНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ Адаптивная система это система, которая помимо основной обратной связи содержит по крайней мере одну информационную обратную связь для настройки

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика () УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ УДК 59. М.Ю. Киселева, В.И. Смагин УПРАВЛЕНИЕ С ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛЬЮ

Подробнее

Фондовый рынок 37 (565) 2013

Фондовый рынок 37 (565) 2013 37 (565) 3 УДК 33649 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ПРИ ЗАДАННОМ УРОВНЕ ДОХОДНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА Н А КЛИТИНА, старший преподаватель кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mal:

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

Материалы к экзамену. Теоретический минимум

Материалы к экзамену. Теоретический минимум ФКН ВШЭ, 3 курс, 3 модуль Материалы к экзамену Вероятностные модели и статистика случайных процессов, весна 2017 Теоретический минимум 1. Сформулируйте определение случайного процесса как случайной функции.

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА 4 (20) 2010

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА 4 (20) 2010 4 (0) 00 Байесовский анализ когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом Рассмотрена задача байесовского оценивания последовательности неизвестных средних значений q q... q... по

Подробнее

[] - Гауссово обозначение суммы

[] - Гауссово обозначение суммы Принцип наименьших квадратов, задачи решаемые МНК Параметрический способ уравнивания, оценка точности Коррелатный способ уравнивания Пример уравнивания измеренных углов треугольника параметрическим и коррелатным

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция I

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция I МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция I Задачи диагностики и прогнозирования некоторой величины по доступным значениям переменных X,, 1 Xn часто возникают

Подробнее

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г.

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г. ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ М. В. Долгополик maxim.dolgopolik@gmail.com 10 ноября 2016 г. Аннотация. В докладе обсуждается в некотором смысле оптимальный градиентный метод

Подробнее

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ И СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ И СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 1, 2000 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipeno.stu.neva.ru Дифференциально-разностные уравнения

Подробнее

ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ М.С. Никольский ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ * Введение Задачам управления с неполной информацией о значениях начального состояния и текущего состояния фазового

Подробнее

Элементы теории поля

Элементы теории поля Элементы теории поля Пусть Ω некоторая область в R 3. Будем говорить, что в Ω задано скалярное поле, если каждой точке M Ω поставлено в соответствие некоторое число U(M). Примерами скалярных полей могут

Подробнее

2.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ

2.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ .4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ Достаточно простые способы оценки коэффициентов линейного тренда, приведённые в предыдущее параграфе, обладают среди прочих одним

Подробнее

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами которые будут рассмотрены в последующих разделах: с помощью

Подробнее

Линейные динамические системы. Фильтр Калмана.

Линейные динамические системы. Фильтр Калмана. Линейные динамические системы. Фильтр Калмана. Ликбез: некоторые свойства нормального распределения Плотность распределения.4.3.. -4 x b.5 x b =.7 5 p(x a x b =.7) - x p(x a,x b) p(x a) 4 3 - - -3 x.5

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методические

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

ЛЕКЦИЯ 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ ЛЕКЦИЯ 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ На прошлой лекции были рассмотрены основные итерационные методы решения СЛАУ, такие как метод простой итерации в широком и узком смыслах, метод Якоби, метод Зейделя

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6 СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

ЛЕКЦИЯ 6 СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЛЕКЦИЯ 6 СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. Методы спуска На прошлой лекции были рассмотрены итерационные методы вариационного типа. Для системы Au = f, для которой выполняется A = A, был введен функционал Φ( u, u)

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее