А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета по теме «Дифференциальные уравнения» (для студентов всех специальностей) Москва 04 PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

2 ВВЕДЕНИЕ Методические указания подготовлены в соответствии с новым образовательным стандартом математических дисциплин, в котором типовой расчет рекомендован в качестве основной формы циклического задания для обучения студентов с целью развития навыков самостоятельной работы с новым материалом. Кроме того, данные указания будут полезны студентам альтернативных форм обучения, в том числе овладевающим знаниями по системе дистанционного образования. Методические указания посвящены освоению техники решения дифференциальных уравнений различных типов и порядков. Задачи в каждом варианте подобраны в основном так, что при их решении требуется приложить некоторые усилия при сохранении доступного уровня сложности. Перед решением каждого варианта студенту желательно дать ответы на теоретические вопросы, что, в конечном счете, приведет к более глубокому и прочному усвоению темы «Дифференциальные уравнения». В данных методических указаниях предложено подробное решение типового варианта, что позволит студентам самостоятельно справиться с решением своего задания. PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

3 . ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ. Дайте определения следующих понятий: дифференциальное уравнение, порядок дифференциального уравнения, его решение.. При каких условиях решение дифференциального уравнения первого порядка существует и единственно?. Какие вы знаете типы уравнений первого порядка? Расскажите о методах их решения. 4. Какие уравнения второго и высших порядков допускают понижение порядка? Приведите примеры таких уравнений и их решения. 5. Напишите общий вид однородного линейного уравнения n го порядка. Докажите, что линейная комбинация его решений также есть решение этого уравнения. 6. Сформулируйте теорему о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка. 7. Напишите характеристическое уравнение для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрите три возможных случая для корней характеристического уравнения и выпишите соответствующие формулы общего решения данного дифференциального уравнения. 8. Сформулируйте теорему о структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка. 9. Напишите вид частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с правой частью f Φ, Φ ( х) многочлен n ой степени, в случаях: А) λ не является корнем характеристического уравнения; В) λ является его корнем кратности k. 0. Запишите вид частного решения для правой части а [ ] f Φ ( х)cos b+ Q sin b ; Φ ( х), Q( х) многочлены n ой степени. λ PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

4 . Как найти частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, если его первая часть является суммой двух или более функций?. Изложите метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.. УПРАЖНЕНИЯ. Как называется уравнение вида +Φ Q? Обоснуйте метод вариации произвольной постоянной для решения такого уравнения.. Дайте определение однородной функции двух переменных порядка k. Приведите примеры. d α. Определите тип уравнения Φ ( ) + Q и опишите метод его d решения. 4. При каких условиях уравнение вида M( d, ) + N( d, ) является уравнением в полных дифференциалах? Как найти его общее решение? 5. Как понизить порядок уравнения F(,, )? 6. Найдите общее решение уравнения А) p w; В) p w. + w Asin pt в случаях 7. Докажите, что общее решение уравнения + w cos pt является периодическим тогда и только тогда, когда w 0 и p рациональное w число, отличное от. 8. При каких условиях все решения однородного линейного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами являются периодическими? PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 4

5 В качестве теоретического материала приведем способ решения дифференциальных уравнений, который присутствует не во всех лекционных курсах. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ МЕТОДА ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Этот метод является универсальным для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Обычно применяется в случае, когда правая часть уравнения не является функцией специального вида [ ]. Изложение теоретического материала проведем для случая обыкновенного линейного д.у. -го порядка: + P + Q R, () где P, Q, R( ) произвольные непрерывные функции аргумента. Рассмотрим однородное уравнение ( R( ) ), соответствующее неоднородному уравнению () + P + Q () Следует напомнить важные свойства решений уравнения (): а) если Y и Y два каких-либо решения (), то и Y CY + CY тоже решение () C C (, const); б) два решения Y уравнения () называются линейнонезависимыми, если Y Y и х Y const х Пусть известны два каких-либо линейно-независимых решения Y и Y однородного уравнения (). Тогда: в) общее решение однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка представляется в виде: Y C Y +, () CY PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 5

6 где C и C - произвольные постоянные; г) общее решение неоднородного уравнения () равно сумме общего решения () однородного д.у. () и некоторого частного решения неоднородного уравнения () Y + : Y C Y + CY + (4) Наиболее сложную задачу представляет собой нахождение частного решения.укажем теперь метод, позволяющий находить сразу общее решение (4) без промежуточного отыскания. Итак, пусть Y и х однородного уравнения (). Y два любых линейно-независимых решения х Решение неоднородного уравнения () будем искать в виде аналогичном (),но уже считая C и C независимыми функциями переменной C ) Y + C Y. (5) ( Тогда CY CY CY CY Положим CY + CY. (6) +, Тогда CY CY CY CY C Y CY (7) Подставляя (5), (7) в () и группируя члены, получим: ( ) ( ) C C Y + PY + QY + C Y + PY + QY + Y + CY R. Первые две скобки равны нулю, поскольку однородного д.у. (). Остается соотношение Y и х Y решения +. (8) CY CY R Условия (6) и (8) образуют линейную алгебраическую систему для нахождения производных неизвестных функций CY CY 0 C и C +, CY + CY R. (9) х PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 6

7 Определитель этой системы является определителем Вронского, составленным для линейно-независимых решений д.у. () и поэтому нигде не обращается в нуль Y Y 0 Y Y. Откуда следует, что решение (9) существует и единственно: 0 Y R Y C, R Y Y R Y 0 C. Y R (0) После того как правые части (0) найдены, простым интегрированием находятся функции C и C, а значит и общее решение (5). Изложенный метод называется методом вариации произвольных постоянных. Пример. Решить уравнение Решение. Соответствующее однородное уравнение есть. Делаем замену p,. p : dp d p p ln p ln + ln C ln C p C C C+ C. p Общее решение однородного уравнения: 0 C+ C. Таким образом, за линейно-независимые решения можно взять Y, Y. Так как Y Y,, R, то система (9) примет вид: C C +, C + C 0 Из второго уравнения системы имеем C C + A (Aconst). Подставляя в первое уравнение C, получим 8 4 C 0 C C B + + (Bconst). Следовательно, общее решение неоднородного уравнения есть PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 7

8 4 Y C + C + A + + B 8 4 Y A + B+. 8 Заметим, что структура полученного решения полностью соответствует, виду (4). Действительно, 0 A B + представляет собой общее решение 8 4 однородного уравнения, а частное решение неоднородного уравнения ( в чем легко убедиться подстановкой ). Замечание. Особую наглядность и эффективность метод вариации произвольных постоянных приобретает для линейных д.у. с постоянными коэффициентами ( P(), Q()const в уравнении () ), поскольку в этом случае после решения соответствующего характеристического уравнения входящие в систему (9) линейно-независимые решения однородного уравнения () легко находятся. Пример. Решить задачу Коши для д.у. -го порядка: + tg ( 0) ; ( 0). Решение. Правая часть данного уравнения не принадлежит ни к одному из специальных видов [], поэтому для решения воспользуемся методом вариации. Решаем однородное уравнение +. Характеристическое уравне- ние: λ +, корни которого λ, ± i, а общее решение однородного уравнения: 0 + C sin C cos. Легко проверить, что линейно-независимыми решениями будут следующие функции: Y, Y cos. Подставляя их в систему (9) с учетом того, что R tg, получим sin sin C + cos C, cos C sin C tg. PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 8

9 Откуда, следуя (0), sin cos cos sin, C tg cos sin, C tg sin. Интегрируя по х последние два соотношения, находим C ( ) sin d cos + A, C и C : sin cos d π C tg sin d d d cos d sin ln tg + + B. cos cos cos 4 При этом, общее решение исходного д.у. имеет вид: π Y C( Y ) + C( Y ) ( A cos )sin+ sin ln tg + + B cos, 4 или, после приведения подобных, Y Asin+ Bcos cos ln tg +. π 4 Видно, что первые два слагаемых отвечают за общее решение однородного уравнения (A, Bconst), а третий член представляет собой частное решение неоднородного уравнения. Ясно, что угадать каким-либо образом структуру частного решения априори было невозможно. Подставляя в общее решение начальное условие (0), получим В. Чтобы найти вторую константу, продифференцируем общее решение по переменной х: π Y Acos Bsin+ sin ln tg +. 4 Учитывая, что В, а (0), имеем А. Таким образом, частное решение найдено и имеет вид π Y sin+ cos ln tg + 4 Задачи для самостоятельной работы Методом вариации произвольных постоянных решить следующие д.у. - го порядка: ) ( + ). PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 9

10 +. cos ) ) 4) +. sin cos ) ( sin ) ) tg. 7) ( ) 4 8) ) + ctg. 0) sin ) ) cos. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ВАРИАНТА ТИПОВОГО РАСЧЕТА. Решить уравнение с разделяющимися переменными: ( + ) ( ). Решение: ; + d d d d ; ; + + d( ) d( + ) ; + ln ln + + ln ; ( + ); C C ± C + +. Получили общее решение дифференциального уравнения.. Решить однородное уравнение: sin + sin. Решение: PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 0

11 ; sin Замена : u; u + u; u + u u ; u ; sinu sinu d sin udu ;cosu ln + C; u arccos(ln + C); arccos(ln + C) Получили общее решение дифференциального уравнения.. Решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения -го порядка: Решение: Замена : uv; uv + uv,, + (). uv v uv + uv ; uv + u v ; ( + ) + v dv d а) v ; ; ( + ) v + dv d( + 0,5) + 0,5 0,5 ;ln v ln ; v ; v ( + 0,5) 0,5 + 0,5+ 0,5 + б) u ; u d; u + ln + C; + + ( + ln + C). + Получили общее решение дифференциального уравнения. Подставим начальные условия и получим частное решение: 0 ( + C); C ; ( + ln. ) + 4. Решить уравнение Бернулли:. Решение: PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

12 Замена : uv; uv + uv, uv v uv + uv u v ; uv + u v u v; v dv d а) v ; ; v ; v du C б) u u ; u d; u ; u C ;. C Получили общее решение дифференциального уравнения. 5. Решить уравнение: d+ + d. Проверим выполнение условий Коши-Римана: ( ) +. Выполнено. Можно решать как уравнение в полных дифференциалах: u u, + ( ),, u + ϕ; + ϕ, u d что по условию должно быть равно +. Отсюда ϕ ; ϕ C +. Таким образом, общий интеграл уравнения есть C Решить дифференциальное уравнение: + +. В уравнение явно не входит функция, поэтому сделаем замену: ;. Получим два уравнения -го порядка и последовательно p p решим их. p + p + p + ; p + ; p uv; p uv + uv ; v + uv + u v + ; PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

13 v dv v dv d av ) + ; ; ; v ; d v + bu ) ; u ( + d ) ; u + + C; C p C ; ; C + + d + + C + C 4 ; ln. Окончательно получили общее решение. 7. Решить задачу Коши:, ( 0) ; ( 0). В уравнение явно не входит переменная, поэтому сделаем замену: p p p ;. Решим два уравнения первого порядка. Сначала первое: p d pp ; dp ; p C; + + C. Затем найдем константу C, подставив начальные условия: + C ; C. Решаем теперь второе уравнение: d ; d; + C ; + C. Найдем вторую константу из начальных условий: ( 0 + C ) ; C. Итак, получили частное решение уравнения в виде ( ) Решить задачу Коши для д.у. -го порядка с постоянными коэффициентами: +, ( 0) ; ( 0). Составим характеристическое уравнение: λ +. Его корни: λ, ± i. Общее решение имеет вид: 0 Ccos+ Csin. Найдем константы, подставив начальные условия: PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

14 C cos0+ C sin0; C, C sin0+ C cos0; C. Окончательно частное решение имеет вид: cos+ sin. 9. Решить однородное дифференциальное уравнение 4-го порядка: 4. Составляем и решаем характеристическое уравнение:, 4 4 λ 4λ ; λ λ 4, λ ; λ ; λ. Общее решение: C C C C Решить неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка: + +. а) Решаем однородное уравнение: + + 0; λ λ 0; λ 0; λ ; C + C 0. б) Правая часть неоднородного уравнения f + многочлен - го порядка. Частное решение ищем в аналогичном виде: A B C + + s, где s-число совпадений корня правой части с корнями характеристического уравнения. В нашем случае s. Теперь найдем неопределенные коэффици- енты A,B,C. Подставим A + B + C; A + B+ C; 6A+ B в ис- ходное уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях уравнения: ; A B A B C 9A + 6A+ 6B + B+ C + ; 9A A ; 9 6A+ 6B B ; 9 0 B+ C C ; 7 ( + 0 ). 7 PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 4

15 Общее решение неоднородного уравнения состоит из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: ( + 0 ). 7 Y 0 C C. Решить неоднородное уравнение: 4 4 sin а) Решаем сначала однородное уравнение: ; λ 4λ 4 0; λ,, C + C 0. б) Решаем неоднородное уравнение: s Asin+ Bcos ; s ; Acos Bsin ; Asin Bcos ; + +. ( A 4B+ 4A) sin+ ( B+ 4A+ 4B) cos sin. Asin Bcos+ 4 Acos Bsin + 4 Asin+ Bcos sin ; A A 4B 5 ; B+ 4A 0 4 B 5 ( sin 4cos ) sin 4cos. 5 Общее решение неоднородного уравнения: Y ( C C) ( ). Решить неоднородное уравнение: + 4 8sin. а) Решаем однородное уравнение: + + ± i 4 0; λ 4 0; λ,, C cos+ C sin. 0 б) Решаем неоднородное уравнение: s ( cos sin ) ; Acos+ Bsin ; s ; A + B Asin + Bcos + Acos + Bsin ; ( A B ) + ( A + B ) + ( A + B ) ( ) + ( + ) + ( + ) 4 cos 4 sin sin cos sin cos ; 4Acos 4Bsin 4Asin 4Bcos 4 Acos Bsin 8sin ; 4Asin+ 4Bcos 8sin ; PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 5

16 4A 8 A ; 4B B sin. Общее решение неоднородного уравнения:. Решить уравнение: а) Решаем однородное уравнение: cos. + λ λ + λ λ 5 6 0; 5 6 0; ; ; C + C 0. Y C cos+ C sin sin. б) Решаем неоднородное уравнение в два этапа, учитывая, что правая часть состоит из двух слагаемых разного типа: ) Решение для первого слагаемого: ( ) ; A+ B ; s ; A + B ; s A + B + A + B + ( + ) + ( + ) + 4 ( + ) ; + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) + ( A B) + 4( + ) + 4( + ) 5 ( + ) 0( B) 6( A B) A A B A B A B A 4 A B 4 A B 5A B 0 A B ; A A B A B A B A 4 ; A+ 8A+ 4B+ 4A + 4B 0A 5B 0A 0B+ 6A + 6B 4 ; A B A 4 ; A 4 A ; A B B 4 4. ) Решение для второго слагаемого: s M cos+ Nsin ; s ; Msin + Ncos ; ( M cos Nsin ) ; ( M 5N + 6M) cos+ ( N + 5M + 6N) sin 6cos ; M cos Nsin 5 Msin+ Ncos + 6 M cos+ Nsin 6cos ; 5M 5N 6 M,6 ; 5N + 5M N 0,6,6cos 0,6sin. PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 6

17 Общее решение имеет вид: Y C + C ,6cos 0,6sin 4. Решить уравнение методом вариации произвольных постоянных: + +. а) Решаем однородное уравнение: + + λ + λ + λ 0; 0;, ; C + C 0. б) Решаем неоднородное уравнение: Y C + C ( 4) ; C + C ; C ( ) + C ( ) C + C C C d ln C4 ; + ; ; C + C C C C d + C Y + C + ln + C. Следовательно, общее решение можно записать в виде: Y C + C +. 4 ln 5. Решить неоднородное уравнение 5-го порядка: 5 а) Решаем однородное уравнение: V III ; + ; λ ; λ ; λ ;,, 4 5 λ λ λ C + C+ C + C + C б) Решаем неоднородное уравнение: A ; s ; A A + A ; A + A + A A + A ; A + A ; 4 A + A ; 5 A + A ; 5A + A 4A + A + A + A 5 ; 5A+ A A A+ 6A+ A 5; A 5; A 5; 5. s III V Общее решение имеет вид:. Y C + C+ C + C + C V III +. PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 7

18 ЗАДАНИЯ К ТИПОВОМУ РАСЧЕТУ. Уравнение с разделяющимися переменными.. Однородное уравнение первого порядка (подстановка u).. Линейное уравнение первого порядка (подстановка uv, или uv ). 4. Уравнение Бернулли (та же подстановка, что и в п. ). 5. Уравнение в полных дифференциалах. 6. Уравнение второго порядка, не содержащее явно (подстановка p, p ). 7. Уравнение второго порядка, не содержащее явно (подстановка p, pp ). 8, 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (решение является суммой общего решения однородного уравнения в частного решения неоднородного уравнения); в п. 4 решить методом вариации постоянных. Если заданы начальные условия (поставлена задача Коши ), то необходимо найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее этим условиям. PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 8

19 ВАРИАНТ ВАРИАНТ..( ) arctg 4., () Cos 5.( + ) d + ( + ) d 6., (), () 7. + Cos Sin 8. +, (0), (0) Sin Cos Cos ( V ) ( ) Sin.( + ) + ( + ). + Sin.(+ ) 4, (0) ( Cos+ Sin) d+ Cosd 6. ( ) 7., () () , (0), (0) Cos Sin Sin ВАРИАНТ ВАРИАНТ 4.( + ).. + ln+, () ( Sin+ ) d+ ( Cos ) d 6. 7., (0) 0, (0) , (0) 6, (0) Sin. + 4 Sin Cos. + 4 ( Sin + ) ( ) 5. 4 Sin Cos. ln.( d ) + ( + d ). Cos Sin Sin, (0) 4. + d d 5.( + ) + ( + ) ( ) ( ), (), () 8. +, (0), (0) Cos. + 4 Cos Sin ( + ) PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 9

20 ВАРИАНТ 5 ВАРИАНТ 6.( + ) + ( )( ) d d. tg + +. ( ), () ln Sin Sin 5.( ) d+ ( + d ) ( + ), (0), (0) , (0), (0) Cos. + 9 Sin + + Sin ( + ) d d., (0) 4. + Cos Sin d+ + d 6. ln 7.( ) ( ), (0), (0) 8., (0), (0) Sin. + 9 Cos 4 + Cos ВАРИАНТ 7 ВАРИАНТ , () d d + Cos tg 5. ( + a ) d+ ( + + a ) d ( ) 6.( ), () () , (0), (0) Cos. + Sin + Cos Sin tg Cos. SinCosd CosSind. +. +, (0) d+ + d 5. ( ) 0 6. (+ ln ) + + ln, (), () 7. ( ) 8. 8, (0), (0) Cos. + 4 Cos + Sin ctg PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 0

21 ВАРИАНТ 9 ВАРИАНТ d+ d. ln. +, (0) ( + + ) d d 7. +, () () 8., (0), (0) Sin. + 4 Cos + + Cos Cos 5.. ln. +. 4, (0) d+ d ( ), (0), (0) 8., (0), (0) Sin5. + Cos Sin Sin 5. + ВАРИАНТ ВАРИАНТ.( + ) d d.., (0) d+ ( d ) 6. ctg Sin 7., (), () , (0), (0) Sin. + 4 Cos Sin е + d + d.. Sin + Sin., () d+ d 5. ln , (), () 8. +, (0), (0) Sin. + 4 Sin Cos VI 5. + е PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

22 ВАРИАНТ ВАРИАНТ 4. Cos ln., () +.( ) d+ d 6. +, (), () + 7. ctg ( ) , (), (0) Sin. + 9 Cos. + + ( + ) + Sin VI.( )., () d 5. ( ) d ( + ), () 5, () 8 7. ( ) 8., (0), (0) Cos. + 9 Sin. + + Cos tg V ВАРИАНТ 5 ВАРИАНТ 6. Sin ln + d+ d.( ) 0 4. tg Cos , (0) 5.( + ) d ( ) d + 6., (), () , (0), (0) Cos+ Sin. + 5Sin Cos tg V d ( + ) d. + Cos. ( ) + 4., () 0 d 4 d (+ ln ), () (0) 7. ( + ) 5( ) 8. +, (0), (0) Sin. + Cos Sin+ Cos 4. + ctg 5. + PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

23 ВАРИАНТ 7 ВАРИАНТ 8.( ) +, (0) +. ( + )ln.( ) ( ) 4. d + d d d 5.( + ) + ( + ) 6. +, (), () 7. ( + ) , ( + ) ctg +, 0. d+ d d+ + d, , (), () , (0), (0) cos cos. + 4 sin. + 4 cos sin cos ВАРИАНТ 9 ВАРИАНТ 0. +, d+ d 6.( + ) +, (), () , (0), (0) sin. + cos. + + ( ). + sin , (). 4.( + ) + 5.( + ) d+ ( + d ), 6.( + ), (0), (0) ( ) + 7. π 8. +, (), () cos. + 4sin π sin cos tg ctg PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

24 ВАРИАНТ ВАРИАНТ ( )sin ( ).( + d ) d+ 4ln d π 4. sind d d, () 4.(ln ), () 5.(+ sin d ) cos d 5. ( + sind ) + ( ) d 6.( + ) ( + ), (0), (0) 6. ( + ) +, (0), (0) 7. + ( ) 7. ( ) , (0), (0) , (0), (0) sin5. cos cos sin ( cos+ sin ) sin + ( + )cos sin ВАРИАНТ ВАРИАНТ 4 d +. d d d. + ctg, ().( + ) d d 4. 5.( + ) d d 6. 0, (0) (0) , (0), (0) cos sin cos PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 4. ( ). (ln + ), (). (sin + ctg) 4. 7 ( + )cos 5. + d d 0 sin + cos 6. ( + ), (0), (0) , (0), (0) sin. + 4 tg +. cos cos 5. 4

25 ВАРИАНТ 5 ВАРИАНТ , (). + tg cos d + ( ) d 4. 0, d d 6. ln 7.( ) ( ), (), () 8., (0), (0) cos cos +, (). ( cos) 4. ( + + ) 5. ( + ) 6. d d 7., (0), (0) , (0), (0) sin. + cos. + 4 cos sin sin. + + cos 4. + cos sin ВАРИАНТ 7 ВАРИАНТ 8. d ( + ) d.. cos d+ cos d.. ( + ). ( )ln , (8) 47 4., (0) 5.( 9 ) d+ (4 6 ) d 5. d ( + ) d ( ), (0), (0) 7. + ( ), (0) (0) , (0), (0) , (0), (0) cos. + 5sin. + 7sin. + 4 cos sin sin PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

26 ВАРИАНТ 9 ВАРИАНТ 0 +., (0). 0 d d. ( ) 4. (4 ) sin d + + d 6. tg + 5. ( ln ) 0 7., (0) 0, (0) , (0), (0) sin. 9 cos (sin cos ) 4. + ctg , () ( + ) + d+ d π ctg , 0 5, 0 7., 0, cos sin. + 5 sin 4. + tg sin Содержание Введение Теоретические вопросы 4 Упражнения 5 Метод вариации произвольных постоянных 6 Решение типового варианта Задания к типовому расчету 9 PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 6