А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета по теме «Дифференциальные уравнения» (для студентов всех специальностей) Москва 04 PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

2 ВВЕДЕНИЕ Методические указания подготовлены в соответствии с новым образовательным стандартом математических дисциплин, в котором типовой расчет рекомендован в качестве основной формы циклического задания для обучения студентов с целью развития навыков самостоятельной работы с новым материалом. Кроме того, данные указания будут полезны студентам альтернативных форм обучения, в том числе овладевающим знаниями по системе дистанционного образования. Методические указания посвящены освоению техники решения дифференциальных уравнений различных типов и порядков. Задачи в каждом варианте подобраны в основном так, что при их решении требуется приложить некоторые усилия при сохранении доступного уровня сложности. Перед решением каждого варианта студенту желательно дать ответы на теоретические вопросы, что, в конечном счете, приведет к более глубокому и прочному усвоению темы «Дифференциальные уравнения». В данных методических указаниях предложено подробное решение типового варианта, что позволит студентам самостоятельно справиться с решением своего задания. PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

3 . ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ. Дайте определения следующих понятий: дифференциальное уравнение, порядок дифференциального уравнения, его решение.. При каких условиях решение дифференциального уравнения первого порядка существует и единственно?. Какие вы знаете типы уравнений первого порядка? Расскажите о методах их решения. 4. Какие уравнения второго и высших порядков допускают понижение порядка? Приведите примеры таких уравнений и их решения. 5. Напишите общий вид однородного линейного уравнения n го порядка. Докажите, что линейная комбинация его решений также есть решение этого уравнения. 6. Сформулируйте теорему о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка. 7. Напишите характеристическое уравнение для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрите три возможных случая для корней характеристического уравнения и выпишите соответствующие формулы общего решения данного дифференциального уравнения. 8. Сформулируйте теорему о структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка. 9. Напишите вид частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с правой частью f Φ, Φ ( х) многочлен n ой степени, в случаях: А) λ не является корнем характеристического уравнения; В) λ является его корнем кратности k. 0. Запишите вид частного решения для правой части а [ ] f Φ ( х)cos b+ Q sin b ; Φ ( х), Q( х) многочлены n ой степени. λ PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

4 . Как найти частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, если его первая часть является суммой двух или более функций?. Изложите метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.. УПРАЖНЕНИЯ. Как называется уравнение вида +Φ Q? Обоснуйте метод вариации произвольной постоянной для решения такого уравнения.. Дайте определение однородной функции двух переменных порядка k. Приведите примеры. d α. Определите тип уравнения Φ ( ) + Q и опишите метод его d решения. 4. При каких условиях уравнение вида M( d, ) + N( d, ) является уравнением в полных дифференциалах? Как найти его общее решение? 5. Как понизить порядок уравнения F(,, )? 6. Найдите общее решение уравнения А) p w; В) p w. + w Asin pt в случаях 7. Докажите, что общее решение уравнения + w cos pt является периодическим тогда и только тогда, когда w 0 и p рациональное w число, отличное от. 8. При каких условиях все решения однородного линейного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами являются периодическими? PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 4

5 В качестве теоретического материала приведем способ решения дифференциальных уравнений, который присутствует не во всех лекционных курсах. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ МЕТОДА ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Этот метод является универсальным для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Обычно применяется в случае, когда правая часть уравнения не является функцией специального вида [ ]. Изложение теоретического материала проведем для случая обыкновенного линейного д.у. -го порядка: + P + Q R, () где P, Q, R( ) произвольные непрерывные функции аргумента. Рассмотрим однородное уравнение ( R( ) ), соответствующее неоднородному уравнению () + P + Q () Следует напомнить важные свойства решений уравнения (): а) если Y и Y два каких-либо решения (), то и Y CY + CY тоже решение () C C (, const); б) два решения Y уравнения () называются линейнонезависимыми, если Y Y и х Y const х Пусть известны два каких-либо линейно-независимых решения Y и Y однородного уравнения (). Тогда: в) общее решение однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка представляется в виде: Y C Y +, () CY PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 5

6 где C и C - произвольные постоянные; г) общее решение неоднородного уравнения () равно сумме общего решения () однородного д.у. () и некоторого частного решения неоднородного уравнения () Y + : Y C Y + CY + (4) Наиболее сложную задачу представляет собой нахождение частного решения.укажем теперь метод, позволяющий находить сразу общее решение (4) без промежуточного отыскания. Итак, пусть Y и х однородного уравнения (). Y два любых линейно-независимых решения х Решение неоднородного уравнения () будем искать в виде аналогичном (),но уже считая C и C независимыми функциями переменной C ) Y + C Y. (5) ( Тогда CY CY CY CY Положим CY + CY. (6) +, Тогда CY CY CY CY C Y CY (7) Подставляя (5), (7) в () и группируя члены, получим: ( ) ( ) C C Y + PY + QY + C Y + PY + QY + Y + CY R. Первые две скобки равны нулю, поскольку однородного д.у. (). Остается соотношение Y и х Y решения +. (8) CY CY R Условия (6) и (8) образуют линейную алгебраическую систему для нахождения производных неизвестных функций CY CY 0 C и C +, CY + CY R. (9) х PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 6

7 Определитель этой системы является определителем Вронского, составленным для линейно-независимых решений д.у. () и поэтому нигде не обращается в нуль Y Y 0 Y Y. Откуда следует, что решение (9) существует и единственно: 0 Y R Y C, R Y Y R Y 0 C. Y R (0) После того как правые части (0) найдены, простым интегрированием находятся функции C и C, а значит и общее решение (5). Изложенный метод называется методом вариации произвольных постоянных. Пример. Решить уравнение Решение. Соответствующее однородное уравнение есть. Делаем замену p,. p : dp d p p ln p ln + ln C ln C p C C C+ C. p Общее решение однородного уравнения: 0 C+ C. Таким образом, за линейно-независимые решения можно взять Y, Y. Так как Y Y,, R, то система (9) примет вид: C C +, C + C 0 Из второго уравнения системы имеем C C + A (Aconst). Подставляя в первое уравнение C, получим 8 4 C 0 C C B + + (Bconst). Следовательно, общее решение неоднородного уравнения есть PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 7

8 4 Y C + C + A + + B 8 4 Y A + B+. 8 Заметим, что структура полученного решения полностью соответствует, виду (4). Действительно, 0 A B + представляет собой общее решение 8 4 однородного уравнения, а частное решение неоднородного уравнения ( в чем легко убедиться подстановкой ). Замечание. Особую наглядность и эффективность метод вариации произвольных постоянных приобретает для линейных д.у. с постоянными коэффициентами ( P(), Q()const в уравнении () ), поскольку в этом случае после решения соответствующего характеристического уравнения входящие в систему (9) линейно-независимые решения однородного уравнения () легко находятся. Пример. Решить задачу Коши для д.у. -го порядка: + tg ( 0) ; ( 0). Решение. Правая часть данного уравнения не принадлежит ни к одному из специальных видов [], поэтому для решения воспользуемся методом вариации. Решаем однородное уравнение +. Характеристическое уравне- ние: λ +, корни которого λ, ± i, а общее решение однородного уравнения: 0 + C sin C cos. Легко проверить, что линейно-независимыми решениями будут следующие функции: Y, Y cos. Подставляя их в систему (9) с учетом того, что R tg, получим sin sin C + cos C, cos C sin C tg. PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 8

9 Откуда, следуя (0), sin cos cos sin, C tg cos sin, C tg sin. Интегрируя по х последние два соотношения, находим C ( ) sin d cos + A, C и C : sin cos d π C tg sin d d d cos d sin ln tg + + B. cos cos cos 4 При этом, общее решение исходного д.у. имеет вид: π Y C( Y ) + C( Y ) ( A cos )sin+ sin ln tg + + B cos, 4 или, после приведения подобных, Y Asin+ Bcos cos ln tg +. π 4 Видно, что первые два слагаемых отвечают за общее решение однородного уравнения (A, Bconst), а третий член представляет собой частное решение неоднородного уравнения. Ясно, что угадать каким-либо образом структуру частного решения априори было невозможно. Подставляя в общее решение начальное условие (0), получим В. Чтобы найти вторую константу, продифференцируем общее решение по переменной х: π Y Acos Bsin+ sin ln tg +. 4 Учитывая, что В, а (0), имеем А. Таким образом, частное решение найдено и имеет вид π Y sin+ cos ln tg + 4 Задачи для самостоятельной работы Методом вариации произвольных постоянных решить следующие д.у. - го порядка: ) ( + ). PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 9

10 +. cos ) ) 4) +. sin cos ) ( sin ) ) tg. 7) ( ) 4 8) ) + ctg. 0) sin ) ) cos. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ВАРИАНТА ТИПОВОГО РАСЧЕТА. Решить уравнение с разделяющимися переменными: ( + ) ( ). Решение: ; + d d d d ; ; + + d( ) d( + ) ; + ln ln + + ln ; ( + ); C C ± C + +. Получили общее решение дифференциального уравнения.. Решить однородное уравнение: sin + sin. Решение: PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 0

11 ; sin Замена : u; u + u; u + u u ; u ; sinu sinu d sin udu ;cosu ln + C; u arccos(ln + C); arccos(ln + C) Получили общее решение дифференциального уравнения.. Решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения -го порядка: Решение: Замена : uv; uv + uv,, + (). uv v uv + uv ; uv + u v ; ( + ) + v dv d а) v ; ; ( + ) v + dv d( + 0,5) + 0,5 0,5 ;ln v ln ; v ; v ( + 0,5) 0,5 + 0,5+ 0,5 + б) u ; u d; u + ln + C; + + ( + ln + C). + Получили общее решение дифференциального уравнения. Подставим начальные условия и получим частное решение: 0 ( + C); C ; ( + ln. ) + 4. Решить уравнение Бернулли:. Решение: PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

12 Замена : uv; uv + uv, uv v uv + uv u v ; uv + u v u v; v dv d а) v ; ; v ; v du C б) u u ; u d; u ; u C ;. C Получили общее решение дифференциального уравнения. 5. Решить уравнение: d+ + d. Проверим выполнение условий Коши-Римана: ( ) +. Выполнено. Можно решать как уравнение в полных дифференциалах: u u, + ( ),, u + ϕ; + ϕ, u d что по условию должно быть равно +. Отсюда ϕ ; ϕ C +. Таким образом, общий интеграл уравнения есть C Решить дифференциальное уравнение: + +. В уравнение явно не входит функция, поэтому сделаем замену: ;. Получим два уравнения -го порядка и последовательно p p решим их. p + p + p + ; p + ; p uv; p uv + uv ; v + uv + u v + ; PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

13 v dv v dv d av ) + ; ; ; v ; d v + bu ) ; u ( + d ) ; u + + C; C p C ; ; C + + d + + C + C 4 ; ln. Окончательно получили общее решение. 7. Решить задачу Коши:, ( 0) ; ( 0). В уравнение явно не входит переменная, поэтому сделаем замену: p p p ;. Решим два уравнения первого порядка. Сначала первое: p d pp ; dp ; p C; + + C. Затем найдем константу C, подставив начальные условия: + C ; C. Решаем теперь второе уравнение: d ; d; + C ; + C. Найдем вторую константу из начальных условий: ( 0 + C ) ; C. Итак, получили частное решение уравнения в виде ( ) Решить задачу Коши для д.у. -го порядка с постоянными коэффициентами: +, ( 0) ; ( 0). Составим характеристическое уравнение: λ +. Его корни: λ, ± i. Общее решение имеет вид: 0 Ccos+ Csin. Найдем константы, подставив начальные условия: PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

14 C cos0+ C sin0; C, C sin0+ C cos0; C. Окончательно частное решение имеет вид: cos+ sin. 9. Решить однородное дифференциальное уравнение 4-го порядка: 4. Составляем и решаем характеристическое уравнение:, 4 4 λ 4λ ; λ λ 4, λ ; λ ; λ. Общее решение: C C C C Решить неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка: + +. а) Решаем однородное уравнение: + + 0; λ λ 0; λ 0; λ ; C + C 0. б) Правая часть неоднородного уравнения f + многочлен - го порядка. Частное решение ищем в аналогичном виде: A B C + + s, где s-число совпадений корня правой части с корнями характеристического уравнения. В нашем случае s. Теперь найдем неопределенные коэффици- енты A,B,C. Подставим A + B + C; A + B+ C; 6A+ B в ис- ходное уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях уравнения: ; A B A B C 9A + 6A+ 6B + B+ C + ; 9A A ; 9 6A+ 6B B ; 9 0 B+ C C ; 7 ( + 0 ). 7 PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 4

15 Общее решение неоднородного уравнения состоит из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: ( + 0 ). 7 Y 0 C C. Решить неоднородное уравнение: 4 4 sin а) Решаем сначала однородное уравнение: ; λ 4λ 4 0; λ,, C + C 0. б) Решаем неоднородное уравнение: s Asin+ Bcos ; s ; Acos Bsin ; Asin Bcos ; + +. ( A 4B+ 4A) sin+ ( B+ 4A+ 4B) cos sin. Asin Bcos+ 4 Acos Bsin + 4 Asin+ Bcos sin ; A A 4B 5 ; B+ 4A 0 4 B 5 ( sin 4cos ) sin 4cos. 5 Общее решение неоднородного уравнения: Y ( C C) ( ). Решить неоднородное уравнение: + 4 8sin. а) Решаем однородное уравнение: + + ± i 4 0; λ 4 0; λ,, C cos+ C sin. 0 б) Решаем неоднородное уравнение: s ( cos sin ) ; Acos+ Bsin ; s ; A + B Asin + Bcos + Acos + Bsin ; ( A B ) + ( A + B ) + ( A + B ) ( ) + ( + ) + ( + ) 4 cos 4 sin sin cos sin cos ; 4Acos 4Bsin 4Asin 4Bcos 4 Acos Bsin 8sin ; 4Asin+ 4Bcos 8sin ; PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 5

16 4A 8 A ; 4B B sin. Общее решение неоднородного уравнения:. Решить уравнение: а) Решаем однородное уравнение: cos. + λ λ + λ λ 5 6 0; 5 6 0; ; ; C + C 0. Y C cos+ C sin sin. б) Решаем неоднородное уравнение в два этапа, учитывая, что правая часть состоит из двух слагаемых разного типа: ) Решение для первого слагаемого: ( ) ; A+ B ; s ; A + B ; s A + B + A + B + ( + ) + ( + ) + 4 ( + ) ; + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) + ( A B) + 4( + ) + 4( + ) 5 ( + ) 0( B) 6( A B) A A B A B A B A 4 A B 4 A B 5A B 0 A B ; A A B A B A B A 4 ; A+ 8A+ 4B+ 4A + 4B 0A 5B 0A 0B+ 6A + 6B 4 ; A B A 4 ; A 4 A ; A B B 4 4. ) Решение для второго слагаемого: s M cos+ Nsin ; s ; Msin + Ncos ; ( M cos Nsin ) ; ( M 5N + 6M) cos+ ( N + 5M + 6N) sin 6cos ; M cos Nsin 5 Msin+ Ncos + 6 M cos+ Nsin 6cos ; 5M 5N 6 M,6 ; 5N + 5M N 0,6,6cos 0,6sin. PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 6

17 Общее решение имеет вид: Y C + C ,6cos 0,6sin 4. Решить уравнение методом вариации произвольных постоянных: + +. а) Решаем однородное уравнение: + + λ + λ + λ 0; 0;, ; C + C 0. б) Решаем неоднородное уравнение: Y C + C ( 4) ; C + C ; C ( ) + C ( ) C + C C C d ln C4 ; + ; ; C + C C C C d + C Y + C + ln + C. Следовательно, общее решение можно записать в виде: Y C + C +. 4 ln 5. Решить неоднородное уравнение 5-го порядка: 5 а) Решаем однородное уравнение: V III ; + ; λ ; λ ; λ ;,, 4 5 λ λ λ C + C+ C + C + C б) Решаем неоднородное уравнение: A ; s ; A A + A ; A + A + A A + A ; A + A ; 4 A + A ; 5 A + A ; 5A + A 4A + A + A + A 5 ; 5A+ A A A+ 6A+ A 5; A 5; A 5; 5. s III V Общее решение имеет вид:. Y C + C+ C + C + C V III +. PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 7

18 ЗАДАНИЯ К ТИПОВОМУ РАСЧЕТУ. Уравнение с разделяющимися переменными.. Однородное уравнение первого порядка (подстановка u).. Линейное уравнение первого порядка (подстановка uv, или uv ). 4. Уравнение Бернулли (та же подстановка, что и в п. ). 5. Уравнение в полных дифференциалах. 6. Уравнение второго порядка, не содержащее явно (подстановка p, p ). 7. Уравнение второго порядка, не содержащее явно (подстановка p, pp ). 8, 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (решение является суммой общего решения однородного уравнения в частного решения неоднородного уравнения); в п. 4 решить методом вариации постоянных. Если заданы начальные условия (поставлена задача Коши ), то необходимо найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее этим условиям. PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 8

19 ВАРИАНТ ВАРИАНТ..( ) arctg 4., () Cos 5.( + ) d + ( + ) d 6., (), () 7. + Cos Sin 8. +, (0), (0) Sin Cos Cos ( V ) ( ) Sin.( + ) + ( + ). + Sin.(+ ) 4, (0) ( Cos+ Sin) d+ Cosd 6. ( ) 7., () () , (0), (0) Cos Sin Sin ВАРИАНТ ВАРИАНТ 4.( + ).. + ln+, () ( Sin+ ) d+ ( Cos ) d 6. 7., (0) 0, (0) , (0) 6, (0) Sin. + 4 Sin Cos. + 4 ( Sin + ) ( ) 5. 4 Sin Cos. ln.( d ) + ( + d ). Cos Sin Sin, (0) 4. + d d 5.( + ) + ( + ) ( ) ( ), (), () 8. +, (0), (0) Cos. + 4 Cos Sin ( + ) PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 9

20 ВАРИАНТ 5 ВАРИАНТ 6.( + ) + ( )( ) d d. tg + +. ( ), () ln Sin Sin 5.( ) d+ ( + d ) ( + ), (0), (0) , (0), (0) Cos. + 9 Sin + + Sin ( + ) d d., (0) 4. + Cos Sin d+ + d 6. ln 7.( ) ( ), (0), (0) 8., (0), (0) Sin. + 9 Cos 4 + Cos ВАРИАНТ 7 ВАРИАНТ , () d d + Cos tg 5. ( + a ) d+ ( + + a ) d ( ) 6.( ), () () , (0), (0) Cos. + Sin + Cos Sin tg Cos. SinCosd CosSind. +. +, (0) d+ + d 5. ( ) 0 6. (+ ln ) + + ln, (), () 7. ( ) 8. 8, (0), (0) Cos. + 4 Cos + Sin ctg PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 0

21 ВАРИАНТ 9 ВАРИАНТ d+ d. ln. +, (0) ( + + ) d d 7. +, () () 8., (0), (0) Sin. + 4 Cos + + Cos Cos 5.. ln. +. 4, (0) d+ d ( ), (0), (0) 8., (0), (0) Sin5. + Cos Sin Sin 5. + ВАРИАНТ ВАРИАНТ.( + ) d d.., (0) d+ ( d ) 6. ctg Sin 7., (), () , (0), (0) Sin. + 4 Cos Sin е + d + d.. Sin + Sin., () d+ d 5. ln , (), () 8. +, (0), (0) Sin. + 4 Sin Cos VI 5. + е PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

22 ВАРИАНТ ВАРИАНТ 4. Cos ln., () +.( ) d+ d 6. +, (), () + 7. ctg ( ) , (), (0) Sin. + 9 Cos. + + ( + ) + Sin VI.( )., () d 5. ( ) d ( + ), () 5, () 8 7. ( ) 8., (0), (0) Cos. + 9 Sin. + + Cos tg V ВАРИАНТ 5 ВАРИАНТ 6. Sin ln + d+ d.( ) 0 4. tg Cos , (0) 5.( + ) d ( ) d + 6., (), () , (0), (0) Cos+ Sin. + 5Sin Cos tg V d ( + ) d. + Cos. ( ) + 4., () 0 d 4 d (+ ln ), () (0) 7. ( + ) 5( ) 8. +, (0), (0) Sin. + Cos Sin+ Cos 4. + ctg 5. + PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

23 ВАРИАНТ 7 ВАРИАНТ 8.( ) +, (0) +. ( + )ln.( ) ( ) 4. d + d d d 5.( + ) + ( + ) 6. +, (), () 7. ( + ) , ( + ) ctg +, 0. d+ d d+ + d, , (), () , (0), (0) cos cos. + 4 sin. + 4 cos sin cos ВАРИАНТ 9 ВАРИАНТ 0. +, d+ d 6.( + ) +, (), () , (0), (0) sin. + cos. + + ( ). + sin , (). 4.( + ) + 5.( + ) d+ ( + d ), 6.( + ), (0), (0) ( ) + 7. π 8. +, (), () cos. + 4sin π sin cos tg ctg PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

24 ВАРИАНТ ВАРИАНТ ( )sin ( ).( + d ) d+ 4ln d π 4. sind d d, () 4.(ln ), () 5.(+ sin d ) cos d 5. ( + sind ) + ( ) d 6.( + ) ( + ), (0), (0) 6. ( + ) +, (0), (0) 7. + ( ) 7. ( ) , (0), (0) , (0), (0) sin5. cos cos sin ( cos+ sin ) sin + ( + )cos sin ВАРИАНТ ВАРИАНТ 4 d +. d d d. + ctg, ().( + ) d d 4. 5.( + ) d d 6. 0, (0) (0) , (0), (0) cos sin cos PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 4. ( ). (ln + ), (). (sin + ctg) 4. 7 ( + )cos 5. + d d 0 sin + cos 6. ( + ), (0), (0) , (0), (0) sin. + 4 tg +. cos cos 5. 4

25 ВАРИАНТ 5 ВАРИАНТ , (). + tg cos d + ( ) d 4. 0, d d 6. ln 7.( ) ( ), (), () 8., (0), (0) cos cos +, (). ( cos) 4. ( + + ) 5. ( + ) 6. d d 7., (0), (0) , (0), (0) sin. + cos. + 4 cos sin sin. + + cos 4. + cos sin ВАРИАНТ 7 ВАРИАНТ 8. d ( + ) d.. cos d+ cos d.. ( + ). ( )ln , (8) 47 4., (0) 5.( 9 ) d+ (4 6 ) d 5. d ( + ) d ( ), (0), (0) 7. + ( ), (0) (0) , (0), (0) , (0), (0) cos. + 5sin. + 7sin. + 4 cos sin sin PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion

26 ВАРИАНТ 9 ВАРИАНТ 0 +., (0). 0 d d. ( ) 4. (4 ) sin d + + d 6. tg + 5. ( ln ) 0 7., (0) 0, (0) , (0), (0) sin. 9 cos (sin cos ) 4. + ctg , () ( + ) + d+ d π ctg , 0 5, 0 7., 0, cos sin. + 5 sin 4. + tg sin Содержание Введение Теоретические вопросы 4 Упражнения 5 Метод вариации произвольных постоянных 6 Решение типового варианта Задания к типовому расчету 9 PDF cratd with pdffactor Pro trial vrsion 6

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Т е м а 4 Неопределенный интеграл

Т е м а 4 Неопределенный интеграл 17 Т е м а 4 Неопределенный интеграл Интегральное исчисление является составной частью математического анализа, и применяется при решении множества задач из области физики, химии, биологии, а именно в

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка 1 Дифференциальные уравнения 1 порядка Дифференциальным уравнением (ДУ) 1 порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение d dx = F (x, ), где = (x) искомая функция; функция F задана

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

СПЕЦИФИКА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ УНИВЕРСИТЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

СПЕЦИФИКА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ УНИВЕРСИТЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. УДК 378 СПЕЦИФИКА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ УНИВЕРСИТЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 6 ИВ Детушев, Л В Детушева, ВП Добрица 3 канд пед наук, преподаватель математики Центра довузовской

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее