1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,"

Транскрипт

1 Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) () a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( )

2 ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) Даны координаты точек B C D в правой прямоугольной системе координат Вычислить с точностью : а) проекцию вектора B на вектор D б) площадь треугольника BC в) объем тетраэдра BCD ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( )

3 ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ) ( ) B ( ) C ( ) D ( ) Дополнительные задачи Доказать что медианы треугольника пересекаются в одной точке Доказать что диагонали ромба взаимно перпендикулярны Дан параллелограмм BCD Показать что площадь параллелограмма построенного на векторах C и BD в два раза больше площади параллелограмма BCD Дан параллелепипед Показать что объем параллелепипеда построенного на выходящих из одной вершины диагоналях граней данного параллелепипеда равен удвоенному объему данного параллелепипеда Найти угол между векторами a и b если вектор a b перпендикулярен вектору a b а вектор a b перпендикулярен вектору a b (вектор a - ненулевой) Найти острый угол между медианами прямоугольного равнобедренного треугольника проведенными из вершин острых углов Доказать что для любых векторов a b c векторы a b b c и c a компланарны

4 Какому условию должен удовлетворять векторы a b c чтобы из них можно было составить треугольник? Доказать что можно построить треугольник стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника Найти отношение площадей этих треугольников Доказать равенство ( n ) cos cos cos n n n n Доказать что радиус-вектор центра правильного многоугольника есть среднее арифметическое радиусов-векторов его вершин Доказать что если диагонали выпуклого четырехугольника делят друг друга пополам то четырехугольник параллелограмм Найти координаты центра тяжести однородной пластины имеющей форму четырехугольника BCD с вершинами в точках ( ) B( ) C( ) D(- ) Из одной точки проведены векторы a и b Найти координаты единичного вектора c который делит пополам угол между a и b если a ( ) b ( ) Длины сторон параллелограмма относятся как : а угол между ними равен Найти острый угол между диагоналями параллелограмма Доказать что векторы a b c компланарны если a b b c c a Доказать тождества a b c b a c c a b a b c d a c b d a d b c a b c b c a c a b a b c b a c a b c a b c d c a b d d a b c

5 a b b c c a a b c a b c d a c d b a d b c a b c d a c b d a d b c a b a c a b a c a a b c a b c a d a b d a c a b a c d Прямая на плоскости Даны уравнения двух прямых Показать что один из образованных ими смежных углов острый и найти уравнение биссектрисы этого угла Сделать чертеж ) y = y+= ) +y+= +y = ) y = +y = ) +y+= +y+= ) y+= +y+= ) y+= +y+= ) +y= +y= ) y = y+= ) y+= y+= ) +y+= +y = ) y = y+= ) +y+= y+= ) y = y = ) +y = y = ) +y = y = ) +y+= +y = ) +y = +y = Даны координаты вершин и B треугольника BC и точки M пересечения его высот Найти координаты вершины C Сделать чертеж ) ( ) B ( ) M ( ) ) ( ) B ( ) M ( ) ) ( ) B ( ) M ( )

6 ) () B ( ) M ( ) ) ( ) B ( ) M ( ) ) ( ) B ( ) M (/ /) ) ( ) B ( ) M ( ) ) ( ) B ( ) M ( ) ) ( ) B ( ) M ( ) ) ( ) B ( ) M ( ) ) ( ) B ( ) M ( ) ) ( ) B ( ) M ( ) ) ( ) B ( ) M ( ) Даны координаты вершин треугольника BC Найти уравнение стороны BC а также уравнения биссектрисы медианы и высоты проведенных из вершины Все уравнения прямых дать в канонической форме ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( )

7 ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) ) ( ) B( ) С( ) Дополнительные задачи В треугольнике с вершинами ( ) B( ) и C( ) найти длину биссектрисы E Показать что точки ( ) B( ) C( ) и D( ) служат вершинами трапеции и найти ее высоту На оси O найти точку C сумма расстояний которой до точек ( ) и B( ) была бы наименьшей Точка ( ) является вершиной квадрата одна из сторон которого лежит на прямой y = Найти площадь этого квадрата Найти прямую которая проходит через точку P( ) и отсекает от координатного угла треугольник площадь которого равна квед Сколько имеется решений? Вершинами треугольника являются точки ( ) B( ) C( ) Найти радиусы и координаты центров вписанной и описанной окружностей Доказать что через точку P( ) можно провести две прямые так чтобы их расстояния от точки Q( ) были равны Составить уравнения этих прямых Доказать что через точку C( ) можно провести только одну прямую так чтобы ее расстояние от точки ( ) было равно Составить уравнение этой прямой Доказать что через точку B( ) невозможно провести прямую так чтобы расстояние ее от точки C( ) было равно Определить лежит начало координат внутри или вне треугольника стороны которого даны уравнениями y = +y+= +y =

8 Луч света направлен по прямой y+= Дойдя до прямой y+= луч от нее отразился Составить уравнение прямой на которой лежит отраженный луч Составить уравнения сторон треугольника если даны координаты одной из вершин ( ) и уравнения двух медиан y+= и y = Определить острый угол образованный при пересечении прямой y = и окружности ( ) y Плоскость и прямая в пространстве Даны координаты точки M и уравнение плоскости Найти координаты точки симметричной точке M относительно плоскости ) M ( ) +y+z = ) M ( ) +y z+= ) M ( ) +y = ) M ( ) y+z+= ) M ( ) y z = ) M ( ) y+z = ) M ( ) +y+z+= ) M ( ) +y+z = ) M ( ) +y+z = ) M ( ) y+z = ) M ( ) y z = ) M ( ) +y+= ) M ( ) y+z+= ) M ( ) +y = ) M ( ) +y+z = ) M ( ) y+z+= Даны координаты точки M и уравнения прямой Найти координаты точки симметричной точке M относительно прямой ) M ( ) y z ) M ( ) y z

9 ) M ( ) y z ) M ( ) y z ) M ( ) y z ) M ( ) y z ) M ( ) y z ) M ( ) y z ) M ( ) y z ) M ( ) y z ) M ( ) y z ) M ( ) y z ) M ( ) y z ) M ( ) y z Даны уравнения двух прямых Установить скрещиваются пересекаются или параллельны эти прямые если прямые параллельны или пересекаются написать уравнение содержащей их плоскости если прямые скрещиваются написать уравнение плоскости содержащей первую прямую и параллельной второй прямой ) y z y z

10 y z y z ) y z y z ) y z y z ) ) y z y z y z y z ) y z y z ) y z y z ) y z y z ) y z y z ) y z y z ) y z y z ) y z y z ) ) y z y z y z y z ) y z y z )

11 y z y z ) y z y z ) y z y z ) ) y z y z y z y z ) y z y z ) ) y z y z y z y z ) y z y z ) y z y z ) y z y z ) y z y z ) y z y z ) y z y z ) Дополнительные задачи Ребро куба равно Найти кратчайшее расстояние между диагональю куба и непересекающей ее диагональю грани Даны вершины тетраэдра ( ) B( ) C( )

12 D( ) Найти длину высоты опущенной из вершины D на грань BC y z Найти кратчайшее расстояние между прямыми и y z Вычислить кратчайшее расстояние от точки P( ) до точек y z прямой y z Найти кратчайшее расстояние между точками прямой y z и плоскости +y z = На плоскости Oy найти точку С сумма расстояний которой до точек ( ) и B( ) была бы наименьшей Боковые стороны равнобедренного треугольника имеют общую вершину ( ) две другие вершины лежат на осях O и Oy а плоскость треугольника параллельна оси Oz Найти углы треугольника Вершинами треугольника являются точки ( ) B( ) C( ) Найти радиусы и координаты центров вписанной и описанной окружностей Вершинами тетраэдра являются точки ( ) B( ) C( ) Найти радиусы и координаты центров вписанной и описанной сфер При каких значениях a плоскости +ay+z = и a a y z : ) пересекаются ) параллельны ) совпадают? y z При каких значениях a прямая : a ) пересекает плоскость a ay za ) параллельна этой плоскости ) лежит в этой плоскости?

13 Составить уравнения движения точки M( y z) которая имея начальное положение ) ( M движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора ) ( S со скоростью v= На сфере ) ( ) ( ) ( z y найти точку M ближайшую к плоскости z+= и вычислить расстояние от точки M до этой плоскости Определители Вычислить определители: а) разложением по строке или столбцу б) приведением к треугольному виду ) ) ) ) ) )

14 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

15 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

16 ) ) Дополнительные задачи Вычислить определители n ого порядка: n n b b b a n n b b a b n n а) б) n n n n b a b b a b b b а) n n n б) n а) б) y y y y y

17 b b b b b a b b b b a b а) aij min ( i j ) б) ( i j n) b b b b b b b a b b b b b b b b b b а) б) n n а) а) aij ma ( i j ) б) ( i j n) n n n n n n n n n n n n б) n n n n n n n n n n a a a a a a a an an

18 а) б) n n n n n n n n n n n n n n a b b b b b a b b b а) б) b b a b b n n а) n n б) b b b a b b b b b a

19 Матрицы Найти обратную матрицу ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

20 ) ) ) ) ) ) Найти ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров б) приведением к ступенчатому виду ) ) ) ) ) ) ) ) )

21 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

22 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

23 ) ) ) ) Решить матричное уравнение ) X ) X ) X ) X

24 ) X ) X ) X ) X ) X ) X ) X

25 ) X ) X ) X ) X ) X ) X ) X

26 ) X ) X ) X ) X ) X ) X ) X

27 ) X ) X ) X ) X ) X Системы линейных уравнений Решить системы линейных уравнений по правилу Крамера Сделать проверку ) )

28 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

29 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Решить системы линейных уравнений методом Гаусса Сделать проверку

30 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

31 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

32 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Найти фундаментальную систему решений и используя ее записать общее решение Сделать проверку

33 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

34 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

35 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Исследовать совместность системы с помощью теоремы Кронекера Если система совместна найти ее общее решение и представить его в виде суммы общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы Общее решение однородной системы представить в виде линейной комбинации фундаментальной системы решений

36 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

37 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

38 ) ) Линейные пространства Найти базис пересечения подпространств H H если H натянуть на векторы a a а H - на векторы b и b ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) ) a ( ) a ( ) b () b ( ) ) a ( ) a ( ) b () b ( ) ) a ( ) a ( ) b () b ( ) ) a ( ) a ( )

39 b () b ( ) ) a ( ) a ( ) b () b ( ) ) a ( ) a ( ) b () b ( ) ) a ( ) a ( ) b () b ( ) ) a ( ) a ( ) b () b ( ) ) a ( ) a () b () b ( ) ) a ( ) a ( ) b () b ( ) ) a ( ) a ( ) b () b () ) a ( ) a ( ) b () b () ) a ( ) a ( ) b ( ) b () ) a ( ) a ( ) b ( ) b () ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) ) a ( ) a ( )

40 b () b ( ) ) a ( ) a ( ) b () b ( ) ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) ) a ( ) a ( ) b () b ( ) ) a ( ) a () b ( ) b ( ) ) a ( ) a ( ) b () b ( ) Проверить являются ли следующие множества векторов линейными подпространствами ) Множество векторов концы которых лежат на данной прямой (начала векторов совпадают с началом системы координат) ) Множество векторов концы которых лежат в первой четверти системы координат (начала векторов совпадают с началом системы координат) ) Множество векторов концы которых лежат в первой или третьей четверти системы координат (начала векторов совпадают с началом системы координат) ) Множество векторов концы которых лежат в первой или второй четверти системы координат (начала векторов совпадают с началом системы координат) ) Множество n - мерных векторов ) у которых ( n ( n ) Множество n - мерных векторов ( n) у которых координаты с четными номерами равны нулю ) Множество n - мерных векторов ) у которых координаты с четными номерами делятся на ) Множество квадратных матриц у которых элементами главной диагонали являются нули

41 ) Множество квадратных матриц у которых элементы главной диагонали равны между собой ) Множество векторов плоскости L параллельных некоторой прямой l ) Множество векторов L L где L - множество векторов плоскости параллельных прямой l L - векторов параллельных прямой l ) Множество векторов образующих с данным ненулевым вектором a угол ) Множество всех многочленов (t) удовлетворяющих условию ()= относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число ) Множество всех многочленов (t) удовлетворяющих условию ()= относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число ) Множество всех многочленов (t) удовлетворяющих условию () ()= относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число ) Рассмотрим бесконечные последовательности действительных чисел ( n ) над которыми введены операции сложения и умножения на число: а) если ( n ) y ( n ) то y ) ( n n б) если - действительное число: ( n ) Из данного множества последовательностей выделено подмножество элементы которого удовлетворяют соотношению k k k k Является ли оно линейным под пространством? ) Пусть имеем многочлены n - ой степени n n n n n n P ( ) a a a a над которыми определены обычным образом операции сложения многочленов и умножения на число

42 Из множества многочленов степени не выше n выделено подмножество многочленов степени k n Является ли выделенное множество линейным над пространством? ) При условии задачи выделено множество многочленов степени не выше k Является ли выделенное множество линейным пространством? ) Пусть имеем множество непрерывных функций с обычными операциями сложения функций и умножения функций на число Из множества непрерывных функций выделено множество многочленов степени n Является ли выделенное множество линейным подпространством? ) При условии задачи выделено множество многочленов степени не выше k Является ли выделенное множество линейным пространством? ) Пусть имеем множество квадратных матриц n - го порядка над которыми определены операции: а) c i j n ij ij ij б) cij i j i j n Из множества выделены матрицы го порядка Является ли выделенное множество линейным подпространством? ) Множество всех многочленов () удовлетворяющих условию ( ) () ( k) относительно обычных операций сложения многочленов и умножения на число ) Множество векторов параллельных какой либо плоскости ) Является ли множество рациональных чисел подпространством линейного пространства вещественных чисел над полем вещественных чисел? ) Является ли множество рациональных чисел подпространством линейного пространства вещественных чисел над полем рациональных чисел? ) Дана однородная система m линейных уравнений с n неизвестными n Решение системы будем записывать в виде вектор столбца Является ли множество всех решений данной системы под подпространством пространства n мерных векторов?

43 ) Множество функций с обычными операциями сложения их элементов на вещественные числа n раз дифференцируемых на сегменте [a b] ) Множество многочленов степени не превосходящей n с неотрицательными коэффициентами ) Множество натуральных чисел для которых сумма чисел m и n определена как их произведение m n а произведение элемента n на вещественное число - как степень n ) Множество положительных вещественных чисел относительно операций сложения чисел и умножения на число как в задаче Даны векторы a v v v Доказать что векторы v v v образуют базис и найти координаты вектора a в базисе v v v ) a v v v ( ) ( ) ( ) ( ) ) a v v v ( ) ( ) ( ) ( ) ) a v v v ) a ( ) ) a () ) a v v v () () () v v v () () () v v v ) a ( ) ) a () ) a v ( ) v () v v ( ) v () v v ( ) v () v ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () () () ()

44 ) a v v v () () ( ) () ) a v v v () () () () ) a v v v ) a ( ) ) a ( ) ) a v v v ( ) ( ) ( ) v v v ( ) ( ) ( ) v v v ) a ( ) ) a ( ) ) a v () v ( ) v v ( ) v () v v ( ) v () v ) a v v v ( ) () () () ) a v v v ( ) () () () ) a v v v ) a ( ) ) a ( ) ) a v () v ( ) v v () v ( ) v v () v ( ) v ) a v v v ( ) ( ) () () ) a v v v ( ) ( ) ( ) ( ) ) a v v v ( ) () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

45 a v v v ( ) ( ) ( ) ( ) ) a v v v ( ) ( ) ( ) ( ) ) a v v v ( ) ( ) ( ) ( ) Линейные операторы (преобразования) Составить в базисе i j k матрицу оператора проектирования векторов пространства на плоскость заданную уравнением: ) +y+z= ) +y z= ) +y z= ) +y z= ) +y+z= ) +y+z= ) y+z= ) y+z= ) +y z= ) y z= Составить в базисе i j k матрицу оператора поворота векторов пространства вокруг вектора u на угол φ (направление положительное относительно вектора u ): ) u () ) u () ) u () ) u () ) u () ) u () ) u () ) u () ) u () ) u () Составить в базисе i j k матрицу оператора проектирования векторов пространства на вектор a заданный координатами в базисе i j k : ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) Проверить являются ли указанные ниже преобразования линейными операторами ) Оператор поворота плоскости на угол вокруг начала координат ) Оператор проектирования векторов плоскости на прямую лежащую в плоскости

46 ) Оператор ставящий в соответствие элементу линейного пространства нулевой элемент этого же пространства ) Оператор переводящий элементы линейного пространства в себя ) Оператор подобия P с коэффициентом подобия ставящий в соответствие каждому элементу линейного пространства элемент те P ) Оператор дифференцирования D в пространстве многочленов степени не выше n ) Интегральный оператор правилу: J=y где b J на отрезке функций действующий по b a y ( t) ( t ) ( ) d (t) непрерывная функция ) Оператор в линейном пространстве E =+a где a некоторый фиксированный элемент из E отличный от нулевого ) Преобразование ставящее в соответствие векторам трехмерного пространства фиксированный вектор этого же пространства ) Пусть V трехмерное пространство геометрических векторов Является ли линейным преобразованием оператор где - фиксированное число V? ) Пусть V трехмерное пространство геометрических векторов a - фиксированный вектор из V Является ли линейным преобразованием оператор : : a где V равно - скалярному произведению векторов и a? ) Пусть V трехмерное пространство геометрических векторов - произвольный вектор V a b - фиксированные вектора V Является ли линейным преобразованием оператор =( a) b где (a ) скалярное произведение векторов a и? ) Пусть V трехмерное пространство геометрических векторов - произвольный вектор V a - и фиксированный вектор V Является ли линейным преобразованием оператор =( a) где (a ) - скалярное произведение векторов a и?

47 ) Пусть V трехмерное пространство геометрических векторов - произвольный вектор V a - фиксированный вектор V Является ли линейным преобразованием оператор =[ a] где [ a] - векторное произведение векторов и a? ) Пусть V - трехмерное арифметическое пространство Является ли линейным оператор где - компоненты вектора? ) Пусть V - трехмерное арифметическое пространство Является ли линейным оператор где - компоненты вектора? ) Пусть V - трехмерное арифметическое пространство Является ли линейным оператор где - компоненты вектора? ) Пусть M n - пространство многочленов степени не выше n от действительного переменного t Является линейным оператор: ( t) ( t) где (t) - произвольный многочлен? ) Пусть M n - пространство многочленов степени не выше n от действительного переменного t и (t) произвольный многочлен Является ли линейным оператор ( t) ( t )? ) Пусть M n - пространство многочленов степени не выше n от действительного переменного t и (t) произвольный многочлен Является ли линейным оператор ( t) ( at b) a и b фиксированные числа причем a? ) Является ли проектирование трехмерного пространства на координатную ось вектора параллельно координатной плоскости векторов и линейным преобразованием? ) Является ли проектирование пространства на координатную плоскость векторов параллельно оси координат вектора линейным преобразованием? ) Является ли ортогональное проектирование трехмерного пространства на ось образующую равные углы с осями прямоугольной степени координат линейным преобразованием?

48 ) Пусть V - трехмерное арифметическое пространство Является ли линейным оператор где - компоненты вектора? ) Пусть V - трехмерное арифметическое пространство Является ли линейным оператор? ) Пусть V - трехмерное арифметическое пространство Является ли линейным оператор где - компоненты вектора? ) Пусть поворот трехмерного пространства на угол вокруг оси Oz Является ли преобразование линейным оператором? ) Является ли линейным оператор ставящий вектору трехмерного пространства геометрических векторов вектор симметричный относительно плоскости проходящий через начало координат? ) Пусть V - трехмерное арифметическое пространство Является ли линейным оператор? ) Пусть V - трехмерное арифметическое пространство Является ли линейным оператор? В линейном пространстве многочленов () степени не выше задан оператор Проверить что линейный оператор и найти его матрицы в двух базисах: а) и б) a a a ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a =

49 ) ( ) ( ) ( ) () a = ) ( ) ( ) () a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) () a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) ( ) a = ) ( ) ( ) () a = матрица оператора в базисе Найти матрицу этого оператора в базисе если известно разложение векторов в базисе )

50 ) ) ) ) ) ) ) )

51 ) ) ) ) ) ) ) )

52 ) ) ) ) ) ) ) )

53 ) ) ) ) )


ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

2. Решить систему линейных уравнений. Найти фундаментальную систему решений для соответствующей однородной системы 1,

2. Решить систему линейных уравнений. Найти фундаментальную систему решений для соответствующей однородной системы 1, Вариант 0 0 0 0 Решить систему линейных уравнений Найти фундаментальную систему решений для xx x xx x x x x x x xx e e e образует базис в пространстве составить матрицу перехода от канонического базиса

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Xətti cəbr (Rus) ümumi imtahahn sualları

Xətti cəbr (Rus) ümumi imtahahn sualları Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Показать, что вектора ;;) ;; ) ; ;) образуют базис вектора и написать линейную комбинацию вектора Если ;; ) на эти вектора найти Х из уравнения Показать, что вектора ; )

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Доказать тождество: а y y y y б Доказать что Даны ненулевой вектор и скаляр Найти любое решение уравнения Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6.

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

1. Найти значение матричного многочлена:

1. Найти значение матричного многочлена: 1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = ( 0 1 4 ) 5 1 A = ( 0 1 4 ) ( 0 1 4 ) = 5 1 5 1 + 0 5 + 1 ( ) ( ) + 4 1 = ( 0 + 1 0 + 4 5 0 + 1 1 + 4 ( ) 0 ( ) + 1 4 + 4 1)

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Дата. Ко л- во ча со в. Тема

Дата. Ко л- во ча со в. Тема Календарно- тематический план по математике для 0 класса 20 /20 учебный год 5 часов в неделю алгебра всего 70 часов 4 часа в неделю геометрия 36 часов всего 306 часов Преподаватель Тема I полугодие. Натуральные

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

n n a a Формулы n n n a a b Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( - = - + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( - = - + - Сумма кубов + = ( + ( - + Разность кубов

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

λ λ λ 2

λ λ λ 2 Вариант 7. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра λ λ 4 λ 4 λ. Решить систему линейных уравнений, написать фундаментальную систему решений для соответствующей x x + 6x + 4x 4 = x + x x 7x

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

3. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 4. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

3. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 4. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1. Укажите номера верных утверждений. 1)В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 2)В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. 3)Точка, лежащая на серединном перпендикуляре

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4.

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4. Найти общий член последовательности,,,, ) Найти b) lim ( ) c) 9 7 7 ) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Найти ( )!! lim ( )! ) b) c) Найти 6 si lim si d) ) b) c) d) d) ( ) Найти lim [ (l( ) l )] ) b) c) e d) l 6 Найти

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства. Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ Евклидовы и унитарные пространства Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения ( xy, ) и ( xy, ) Показать, что для любых чисел λ 0, µ 0, одновременно не равных

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

ЗАДАНИЯ 20 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ (ОТРЕЗКИ, ПРЯМЫЕ И УГЛЫ)

ЗАДАНИЯ 20 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ (ОТРЕЗКИ, ПРЯМЫЕ И УГЛЫ) ЗАДАНИЯ 20 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ (ОТРЕЗКИ, ПРЯМЫЕ И УГЛЫ) 1) Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. 2) Существуют три

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Является ли векторным пространством множество многочленов P (x) степени не выше 2, удовлетворяющих условию P (1) = 0? Если да, постройте какой-нибудь базис и найдите размерность этого

Подробнее

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости. Тема. Комплексные числа и многочлены. Вычислить ( ) 0 + i. Вычислить ( ) 6 i i. Вычислить i + 70 00 i. Вычислить i 5. Вычислить 6. Вычислить 7i 7. Решить уравнение z + i 0 8. Решить уравнение z + 6 0 9.

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (для заочной и заочно-сокращённой форм обучения) Студент должен выполнять контрольные задания по варианту номер которого совпадает с последней

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

МОДУЛЬ 10 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.»

МОДУЛЬ 10 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.» МОДУЛЬ 0 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.». Декартовы координаты и векторы в пространстве.. Многогранники. 3. Тела вращения. 4. Объемы многогранников 5. Объемы

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

Анализ геометрических высказываний

Анализ геометрических высказываний Анализ геометрических высказываний 1. Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Вертикальные углы

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ 1 1. Направленные отрезки и их равенство. 2. Линии и поверхности. Параметрическое задание линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. 3. К вершине куба приложены три

Подробнее

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0.

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0. Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ( 4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки ( ) 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Подробнее