МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для самостоятельной работы студентов второго курса бакалавриата дневного отделения направлений подготовки 5 «Профессиональное обучение» 8 «Менеджмент» 9 «Наземные транспортно-технологические комплексы» 97 «Технология транспортных процессов» 4 «Информационные системы и технологии» 78 «Строительство» 87 «Техносферная безопасность» Семенов Иван Петрович Шабалин Павел Леонидович Казанский государственный архитектурно-строительный университет Семенов ИП Шабалин ПЛ 554r 554r

2 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Сумма ряда Необходимый признак сходимости числового ряда Пусть задана бесконечная последовательность чисел () Это означает что задана формула f () по которой можно вычислить любое число из этой последовательности по его порядковому номеру Например ( ) следовательно Числовым рядом называется формальная сумма () бесконечного числа слагаемых членов последовательности () Теперь числа будем называть членами ряда () Для практической реализации бесконечной операции сложения предложена следующая процедура то число S называют суммой ряда () а сам ряд () называют сходящимся Обозначим символом S сумму первых слагаемых ряда () те Величина S называется Если существует конечный предел S i i ой частичной суммой ряда () S lim S () Если S при расходящимся не имеет конечного предела то ряд () называют Таким образом процесс «бесконечного суммирования» заменен нахождением конечной суммы S (правда для любого натурального ) и предельным переходом в формуле () Известным примером сходящегося числового ряда является геометрическая прогрессия со знаменателем q q < те числовой ряд вида α q i α некоторое число Для ой ча r

3 стичной суммы доказана формула S α ( q ) ( q) из которой следует что в случае когда q < предел () существует и равен S α ( q) те геометрическая прогрессия со знаменателем q q < сходится и её суммой является число α ( q) если же q > то предел в формуле () не существует значит при q > геометрическая прогрессия - расходящийся ряд Отметим что при нахождении суммы ряда ключевую роль играет нахождение предела в правой части формулы () Очень часто этот предел вычислить не удается поэтому важным является вопрос о том существует для исследуемого ряда указанный предел или нет те сходится или расходится этот ряд Если мы точно знаем что ряд сходится то его точную сумму можно заменить на приближенную взяв несколько первых слагаемых ряда (чем больше тем ответ точнее) Если же ряд расходится то у такого ряда суммы не существует значит и приближенное значение этой суммы находить нельзя Поэтому весьма важными являются признаки сходимости ряда по которым было бы нетрудно определить сходится данный ряд или нет Теорема (необходимый признак сходимости) Если числовой ряд () сходится то lim (4) Практически применяется следствие из теоремы Следствие Если lim то ряд () расходится Следствие из теоремы дает достаточный признак расходимости числового ряда Именно если для некоторого числового ряда условие (4) не выполнено то этот ряд расходится Пример На основании следствия из теоремы легко установить что геометрическая прогрессия α q в случае q является расходящимся ря- дом Действительно lim lim aq a lim q те lim следовательно в этом случае геометрическая прогрессия является расходящимся рядом r

4 Подчеркнем что при помощи необходимого признака сходимости можно установить лишь расходимость ряда: если lim то ряд расходится Если же оказалось что lim то эта информация нам ничего не дает: ряд может оказаться как сходящимся так и расходящимся Ряды с положительными членами Признаки сравнения Будем рассматривать ряд () все члены которого положительны те > Такие ряды называются знакоположительными Для исследования сходимости знакоположительного ряда часто оказываются полезными следующие признаки Теорема (первый признак сравнения) Даны два знакоположительных ряда i α q v причем для каждого порядкового номера выполнено неравенство < v Тогда если ряд v сходится то и ряд сходится если ряд расходится то и ряд v расходится Теорема (второй признак сравнения) Даны два знакоположительных ряда v Если существует предел < a < то оба ряда или сходятся или оба расходятся lim v a Для того чтобы применять признаки сравнения для исследования сходимости числового ряда нужно иметь некоторый набор числовых рядов сходимость или расходимость которых известна Кроме геометрической прогрессии можно использовать ряд вида (5) который сходится при > и расходится если Частный случай ряда (5) который получается из (5) при называется гармоническим рядом Примеры ) Исследуем сходимость ряда π π π π + si + si + + si + si r

5 те те si( π ) В качестве второго ряда выберем гармонический v С использованием первого замечательного предела учитывая что при число π вычислим предел a lim i v si( π ) si( π ) lim π lim π < π < i π Следовательно по второму признаку сравнения оба ряда ведут себя одинаково а так как гармонический ряд расходится то и исследуемый ряд si( π ) так же расходится ) Исследуем сходимость ряда v ) Здесь ) ( + ) + v ( ) ( + выберем ( является геометрической прогрессией с Ряд с общим членом α и знаменателем q < те является сходящимся рядом Поскольку для справедливо неравенство + > то < + < v + Итак доказали что для всех целых положительных выполнено неравенство < v По первому признаку сравнения (теорема ) ряд ( + ) сходится Теорема 4 (признак Даламбера) Пусть существует конечный предел Признаки Даламбера и Коши Рассмотрим ряд с положительными членами l lim + Тогда при l < ряд сходится при l > ряд расходится Пример Исследуем ряд + ( + ) + Вычислим предел l lim Здесь следовательно + lim lim lim ( + ) + + > r

6 Следовательно исследуемый ряд расходится Теорема 5 (радикальный признак Коши) Пусть существует конечный предел l ряд сходится при l > ряд расходится Пример l lim Тогда при < Ряд сходится + l lim lim lim < + + Теорема 6 (интегральный признак Коши) Дан знакоположительный ряд что Пусть причем (6) + f () непрерывная монотонно убывающая функция такая f ) f () f ( ) ( Тогда если несобственный интеграл a f ) d ( сходится то и ряд сходится если несобственный интеграл a f ) d ( расходится то и ряд расходится (здесь выбранное нами положительное число) Пример При помощи этого признака исследуем ряд (5) в котором > Очевидно что > > > > > те условие (6) выполнено Определим функцию f () формулой f ( ) Очевидно что функция () f непрерывна и монотонно убывает на интервале [ + ) Рассмотрим теперь в случае несобственный интеграл d lim M M d lim M M M lim M Теперь ясно что если > то M при M и несобственный интеграл d те сходится По теореме 6 ряд (5) при > сходится Если < то M при M следовательно несобственный интеграл d r

7 расходится согласно интегральному признаку Коши ряд (5) так же расходится Наконец в случае имеем d M d lim lim l M M M lim M [ l M l] Те интеграл а значит по теореме 6 и гармонический ряд расходятся Итак ряд (5) сходится при > и расходится при Знакочередующиеся ряды теорема Лейбница Рассмотрим теперь числовой ряд знаки членов которого чередуются ( ) + + ( ) (7) Такой ряд называется знакочередующимся Можно показать что если ряд составленный из абсолютных величин членов рядя (7) те ряд сходится то и сам знакочередующийся ряд (7) сходится В этом случае говорят что ряд (7) сходится абсолютно Если ряд составленный из абсолютных величин членов ряда (7) расходится а сам знакочередующийся ряд (7) все же сходится то говорят что ряд (7) сходится условно Условная сходимость ряда (7) может быть установлена при помощи следующего достаточного признака сходимости знакочередующихся рядов Теорема 7 (Лейбниц) Если для знакочередующегося ряда (7) выполнены условия (8) + lim (9) то ряд (7) сходится и сумма ряда будет положительным числом меньшим Пример Дан знакочередующийся ряд те ( ) + 4 Проверим для этого ряда выполнение условий теоремы 7 Очевидно что > > > > > те условие (8) выполнено; так как lim то условие (9) выполнено следовательно ис r

8 следуемый ряд сходится причем условно Последнее вытекает из того что ряд составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда является гармоническим те расходящимся ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 4 Степенные ряды область сходимости степенного ряда Ряд ( ) ( ) ( ) ( ) члены которого являются функциями переменной называются функциональным При каждом значении этот ряд будет представлять собой числовой ряд который либо сходится либо расходится Множество всех значений для которых получившийся из функционального ряда числовой ряд сходится называется областью сходимости данного функционального ряда Очевидно что для всех значений из области сходимости сумма функционального ряда существует и является некоторой функцией переменной и имеет вид Степенной ряд является частным случаем функционального ряда + a + a + + a + a () a (это степенной ряд по степеням ) или a + a( ) + a( ) + + a( ) + a ( ) () (степенной ряд по степеням )) Здесь a a a a за- данные числа ряда ( a a a a называются коэффициентами степенного Положительное число R называется радиусом сходимости степенного ряда () если этот ряд абсолютно сходится для всех < R и расходится для всех > R r

9 Положительное число R называется радиусом сходимости степенного ряда лиэтот ряд абсолютно сходится для всех < R и расходится для всех > R Областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости Для ряда () это интервал ( R R) а для степенного ряда () интервал ( R R + ) На концах интервала сходимости (в точках R R ряда () и в точках R + R для для ряда ()) степенной ряд может сходиться а может и расходиться Этот вопрос исследуется отдельно a L lim a Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле Примеры L R где a L lim + a или L lim a Найти интервал сходимости следующих степенных рядов ) ( ) lim ( ) + здесь a a a + + R Для данного ряда интервал сходимости ( ) ( + ) ) здесь + a a + ( + ) L lim lim ( + ) ( + ) следовательно R так как то интервал сходимости ( + ) те ( ) 5 Ряды Тейлора и Маклорена Дана функция y f () которая имеет непрерывные производные любого порядка в некоторой окрестности точки Найдем числа f ( ( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) с использованием которых образуем степенной ряд по степеням ) вида ( r

10 ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) +!!! () Этот ряд y f () и её производных в точке называется рядом Тейлора функции () построенный с использованием значений функции a f ( ) f Поскольку мы знаем коэффициенты этого ряда ( )! то можем вычислить радиус сходимости данного ряда R L и записать ( R интервал сходимости R + ) Ряд () в каждой точке своего интервала сходимости будет сходиться к функции f () по которой этот ряд был построен (те иметь своей суммой функцию f () ) если выполнено условие ( + ) f ( ζ ) lim ( ) ( + )! + для всех из интервала сходимости Здесь ζ некоторая точка разделяющая и Итак если выполнено условие R + ) имеет место условное равенство ( R Здесь () () то для всех ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) +!!! R радиус сходимости ряда () В этом случае говорят что функция y f () представима своим рядом Тейлора Если же условие () не выполнено то внутри своего интервала сходимости ряд () будет сходиться но его суммой будет не функция f () При ряд Тейлора для функции y f ( ) принимает вид f () f () f () + +!! ( ) f () + + +! и называется рядом Маклорена Этот ряд в каждой точке своего интервала сходимости ( R R) где R радиус сходимости ряда будет сходиться к функции f () те будет иметь место условное равенство ( ) f () f () f () f ( ) f () !!! если выполнено соотношение где ( + ) f ( ζ ) lim ( + )! + (4) ζ некоторая точка разделяющая и начало координат r

11 6 Разложение в ряд Маклорена некоторых функций ) Для функции f ( ) e найдем производные ( ) f ( ) e f ( ) f ( ) Вычислим значения функции и всех её производных при получим одинаковые значения образом ряд Маклорена для функции () f () f () f () f () f ( ) e имеет вид !!! Таким Легко вычислить радиус сходимости этого ряда Поскольку a то L lim (! ( + )! ) lim ( ( + ) ) R те a! ( )! + + ряд сходится для любого значения ( + ) Поэтому согласно необходимого признака сходимости (теорема ) для любого фиксированного + справедливо соотношение ( + )! при следовательно lim e ς + ( + )! те условие (4) выполнено для любого ς разделяющего начало координат и точку Последнее доказывает справедливость формулы разложения функции e ( + )!!! (5) e в ряд Маклорена ) Для функции f ( ) si можно доказать справедливость следующей f ( ) cos то аналогично можно доказать формулу разложения формулы разложения в ряд Маклорена Если взять 5 si + + ( )! 5! + ( )! ( + ) 4 cos + + ( ) + ( + )! 4! ()! a ) Для функции f ( ) ( + ) где a любое число справедливо разложение в ряд a a a( a ) a( a ) ( a + ) ( + )!!! ( ) который называется биноминальным r

12 4) Для функции f ( ) l( + ) справедливо следующее разложение в ряд + + ( + ) + + ( ) + ( ] l 5) Для функции f ( ) arctg справедлива формула разложения в ряд Маклорена 6) Для функции ряд 5 arctg + + ( ) + [ ] 5 f + l + ) l ( справедливо следующее разложение в ( ) 5 7 Применение рядов к приближенным вычислениям Разложение функции вряд применяется при приближенном вычислении значений функций Для этого берется несколько первых членов разложения функции в ряд Тейлора остальные слагаемые (их бесконечно много) отбрасываются Погрешность вычисления равна сумме отброшенного ряда Если этот ряд знакочередующийся то согласно теореме Лейбница погрешность меньше абсолютной величины первого отброшенного слагаемого Если же отброшенный ряд не является знакочередующимся то оценка погрешности приближенного вычисления проводится на основе формулы Тейлора Эта формула справедлива для функций имеющих непрерывные производные до + порядка включительно и имеет вид f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ) f ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + R ( ) (6)!!! ( в которой член R () можно взять в виде число целое положительное число а остаточный R ( ) ( + ) f ( ζ ) ( ( + )! ) + ς некоторое число между и Теперь ясно что если взять ровно членов разложения функции в ряд Тейлора то абсолютная величина по r

13 грешности вычисления равна R () следовательно для оценки погрешности достаточно оценить сверху выражение для R () в виде Пример С точностью до вычислить 4 7 Для этого число перепишем Применим формулу разложения в биноминальный ряд полагая 6 a 4 получим Для приближенного вычисления с заданной точностью достаточно взять три первых члена разложения в ряд поскольку для знакочередующихся рядов погрешность оценивается первым отброшенным слагаемым Таким образом причем погрешность приближенного вычисления не превосходит величины что меньше требуемой точности Разложение в ряд применяется также при приближенном вычислении определенных интегралов Пример С точностью до 5 вычислить Нам понадобится разложение в ряд функции которое получится если в формуле (5) заме- нить на Получим e e 5 e d ( + )!!!! Поскольку ряд знакоположительный то оценка погрешности приближенного вычисления определится оценкой R () в формуле Тейлора (6) которая для функции e e примет вид 4 6 ς R ( ) e + R ( ) ( )!!!! ( + )! На основании этой формулы запишем r

14 5 e d R d ( )!!! R ( ) d (+ )! Возьмем и оценим погрешность 5 ς 5 7 e 6 e (5) R ( ) d d! Таким образом если мы возьмем только три первых члена разложения в ряд (возьмем ) то погрешность приближенного вычисления данного интеграла будет меньше чем Следовательно 5 e 5 d ! d Задания для самостоятельной работы + Доказать расходимость ряда при помощи признаков Даламбера или Коши исследовать сходимость ряда + при помощи признаков сравнения или интегрального признака Коши исследовать сходимость ряда + 4 применяя теорему Лейбница доказать сходимость ряда ( + ) + ( ) ( + ) 5 найти интервал сходимости степенного ряда 6 Разложить в ряд Маклорена функцию y 9 7 С точностью до вычислить значение С точностью до вычислить интеграл e d разлагая подынтегральную функцию в ряд r


Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Ряды Задание. Найти сумму числового ряда ) ) = + + ( )( 5) + ) ( ) = 5 = Решение ) 5 ( ) + + = = = = + + 5 + + 5 + + 5 + + 5

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными {основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами признак Даламбера, признак Коши, интегральный

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a 1 a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S 1 Необходимое условие сходимости:

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Пусть дана числовая последовательность. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: ... a n

Пусть дана числовая последовательность. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: ... a n Тема 9 Пусть дана числовая последовательность { } {, 2,..., 1...}. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: 1 2 3...... 1 Упрощенно : ряд это «бесконечная» сумма. { } Вместе с последовательностью

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд Теорема.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim a, то при ряд сходится, а при ряд расходится. ( ) Пример 4. Исследуем на сходимость ряд. 4 Первая мысль при рассмотрении данного

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Функциональные и степенные ряды

Функциональные и степенные ряды Глава 4. Функциональные и степенные ряды 4.1. Занятие 1 4.1.1. Функциональные ряды. Область сходимости ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1.1. Пусть u (x) функции, определенные в некоторой области D при N. Тогда ряд u (x)

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ПЛАН ЛЕКЦИИ Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВОЙ РЯД Бесконечная сумма чисел вида: а а а... а... 3 называется числовым

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

n =1,2, K. Ряд называют

n =1,2, K. Ряд называют 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов Ряд u называют знакоположительным, если все его члены неотрицательны, т.е. если u 0 для любого,2, K. Ряд называют знакоотрицательным, если все его члены

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;...

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;... ЛЕКЦИЯ N25. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости рядов с положительными членами. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов..числовые ряды 2.Основные теоремы....

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8, 9 ПО РЯДАМ

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8, 9 ПО РЯДАМ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8 9 ПО РЯДАМ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл Например Вы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия и свойства.. Определение числового ряда и его суммы. Пусть задана бесконечная последовательность чисел ) u, u, K, u,k. (.) (Напомним, что

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция. Определение ряда, свойства, критерий Коши сходимости ряда. Сравнение положительных рядов. Достаточные признаки сходимости Даламбера, Коши, Коши-Адамара, Раабе,

Подробнее

Задача Первая теорема сравнения

Задача Первая теорема сравнения Первая теорема сравнения Постановка задачи: Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами где = f(, u (), u 2 (),...) и u (), u 2 (),...- функции с известными наименьшими и наибольшими значениями,

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Сходимость произвольных рядов. Ниже будут рассматриваться ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов. Такие ряды называют знакопеременными.

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1 Разберите предложенные ниже задачи с решениями Найдите принципиальные ошибки Для ошибочно решенных задач объясните, почему используемые методы не работают или работают неправильно, и предложите собственное

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова

РЯДЫ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее