I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка"

Транскрипт

1 Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого и высших порядков. В каждом разделе приводится решение типовых задач. Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовое задание по рассматриваемым темам. Настоящие методические указания могут использоваться студентами на всех факультетах и специальностях. I. Дифференциальные уравнения -го порядка Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F (,, ) 0, () связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Частным решением такого уравнения является любая функция f (), которая при подстановке в уравнение () обращает его в тождество для всех допустимых значений переменной. Множество всех решений уравнения () называется его общим решением, или общим интегралом. Оно имеет вид f (, С), () такой, что любое частное решение получается из формулы () при некотором значении произвольной постоянной С, и наоборот, любое фиксированное значение С дает функцию, являющуюся решением уравнения (). Задача нахождения частного решения уравнения (), удовлетворяющего начальному условию 0 f ( 0 ), называется задачей Коши для уравнения первого порядка. Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений первого порядка, для которых можно найти аналитическое решение.. Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение первого порядка вида f ( ) g( ) () называется уравнением с разделяющимися переменными. Его можно привести d d к равенству f ( ) d, откуда g( ) f ( ) d. Если существуют g( ) первообразные F () и G ( ) функций f () и, общее решение уравнения () имеет вид: G ( ) F( ) + C. g( ) PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion

2 Пример. Найти общее решение уравнения +. Решение. Разделим переменные: d d d d d +,,, ln( + ) ln + ln C. d + + Обратите внимание на форму записи произвольной постоянной: если вид общего интеграла можно упростить потенцированием, удобно представить произвольную постоянную как логарифм другой произвольной постоянной. Тогда общий интеграл можно записать так: + C. К уравнению с разделяющимися переменными можно привести и уравнение вида f ( a + b + c), (4) где a, b, c постоянные. Для этого вводится новая функция z a + b + c. dz d( a + b + c) z a Поскольку a + b,, и для z получаем d d b уравнение с разделяющимися переменными: z a + bf (z). +, удовлетворяю- Пример. Найти частное решение уравнения щее условию у(4). Решение. Пусть z +, z +, z. Решим уравнение для z: dz dz t z z, d, d, t z, + C, z + z + t C, t 4ln t + + C, + ln( + + ) + C. t + При х 4, у получаем: 6 4 ln C, откуда С 4 ln 5. Следовательно, частное решение имеет вид: 4 + ln( + + ) + 4ln5.. Однородные уравнения Уравнение, которое можно записать в форме f, (5) называется однородным дифференциальным уравнением. Оно тоже может быть сведено к уравнению с разделяющимися переменными для функции PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 4

3 t. При этом t, t + t, и уравнение для t примет вид: d t + t f ( t), уравнение с разделяющимися переменными. f ( t) t Пример. Найти общий интеграл уравнения +. Решение. Разделим обе части равенства на х: у + и сделаем замену: х d C t общий интеграл уравнения. Тогда t + t t + t,, t ln + C, ln + t. К однородному уравнению, в свою очередь, можно привести уравнение вида a + b + c f (6) a + b + c a b при условии. При этом производится параллельный перенос в a b плоскости (х, у) такой, чтобы начало координат совместилось с точкой ( 0 ; 0 ) пересечения прямых a + b + c 0 и a + b + c 0. Тогда в новых координатах ~ х ~ d ~ a ~ + b ~, у уравнение будет выглядеть так: f d ~ a ~ + b ~, или ~ a + b d ~ ~ f d ~ ~ - однородное уравнение. a + b ~ Пример 4. Найти общее решение уравнения + 4. PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 5

4 Решение. Решим систему уравнений Тогда ~ 0 0 ~, и в d ~ d новых переменных (с учетом того, что d ~ ) получаем уравнение ~ d d ~ 5 ~ + ~ + ~ ~ d ~ ~. Замена t ~ ~ приводит к уравнению ~ + + ~ ~ t + ~ t t t t d t t, t t, ~, t t t t t d +, ln + ln + ln ~ + ln. + ~ t t C После t t упрощения и обратной замены получаем общее решение в виде: ( ( + ) ) C.. Уравнения в полных дифференциалах Если в дифференциальном уравнении M (, ) d + N(, ) d 0 (7) функции М (х, у) и N (, ) удовлетворяют условию M N, такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Смысл названия объясняется тем, что при этом существует функция U (, ) такая, что U U M (, ), N(, ). Тогда из уравнения (7) следует, что U U d + d 0 du 0 u(, ) C, что является общим интегралом исходного уравнения. Таким образом, задача сводится к отысканию функции ~ U. Ее можно найти в виде: U M (, ) d + N( 0, ) d + C, где х 0, у 0 0 любые числа, входящие в область определения функций М и N, а С ~ - произвольная постоянная. 0 PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 6

5 Пример 5. Решить задачу Коши для уравнения ( + ) d + ( ) d 0, если у(). Решение. Проверим, действительно ли перед нами уравнение в полных M N дифференциалах:, условие выполнено. Для поиска U (, ) зададим х 0 у 0 0, тогда 0 0 U ( + ) d + (0 ) d При х у найдем С из равенства е х + ху е у С: е + е С, С. Следовательно, искомое частное решение имеет вид: е х + ху е у. 4. Линейные уравнения первого порядка Уравнение вида + a( ) b( ) (8) называется линейным неоднородным уравнением первого порядка, поскольку искомая функция и ее производная входят в него в виде линейной комбинации. Если b () 0, уравнение является однородным, причем однородное линейное уравнение это уравнение с разделяющимися переменными. На этом основан способ решения неоднородных линейных уравнений метод вариации постоянной. Получив решение однородного уравнения + a( ) 0 в виде f (, C), считают, что решение уравнения (8) имеет такой же вид, но С С (х) не постоянная, а функция от х, вид которой можно определить, подставив f (, C (х)) в уравнение (8). Пример 6. Найти общее решение уравнения +. Решение. Решим однородное уравнение: d + 0, d, ln + ln C, C. Теперь будем искать решение неоднородного уравнения в виде: у С (х) е -х. C ( ) C( ). Подставим и в исходное уравнение: ~ С C + C, C, C d + C, где C ~ - произвольная постоянная. Следовательно, общее решение неоднородного уравнения: + C + C. PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 7

6 К линейному можно привести и уравнение вида n + a( ) b( ), (9) называемое уравнением Бернулли. Для этого вводится новая функция z n, для которой n ( n) z ( n) n. Разделим обе части уравнения (9) на у п : + a( ) b( ), n n или z + a( ) z b( ) n линейное уравнение для z. Пример 7. Найти общий интеграл уравнения. Решение. Разделим обе части равенства на у : и сделаем замену: z, z. Решим уравнение для z: z z, z + z. Однородное уравнение: z + z 0, dz d, z ln z ln + ln C, z C C( ) C C одн, zнеодн, zнеодн. Подставим полученные выра- C C ~ жения в неоднородное уравнение: C +, C d + C, C C z +,. z C II. Уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка Дифференциальное уравнение ( n) F (,,,,..., ) 0 (0) PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 8

7 называется уравнением п-го порядка. Его общее решение содержит п произвольных постоянных: f (, C, C,..., Cn ), а решение задачи Коши требует задания при х х 0 значений функции у и ее производных до (п )-го порядка включительно: ( 0) 0, ( 0),..., ( 0) n. Если в дифференциальное уравнение не входит явным образом искомая ( n) функция у, то есть уравнение имеет вид: ( k ) ( k + ) ( n) F (,,,..., ) 0, () (k ) то можно понизить его порядок на k единиц, сделав замену: p ( ). ( k+ ) ( n) ( nk ) Тогда p,..., p. (4) Пример 8. Найти общее решение уравнения ctg 0. Решение. (4) Пусть p ( ), p. Тогда dp p ctg p 0, ctgd, ln p ln sin + ln C, C sin. p Теперь трижды проинтегрируем полученное равенство по х: C sin d C cos + C; ( C cos + C ) d C sin + C + C; C ( C sin + C + C) d C cos + + C + C4. Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимую переменную х: ( n) F (,,,..., ) 0, () то можно понизить его порядок на единицу, считая, что p( ). Тогда d dp dp d p p, то есть вторая производная у выражается d d d d через первую производную р и т.д. Пример 9. Решить задачу Коши для уравнения, если у(), у (). Решение. Замена p ( ), pp приводит к уравнению p p p, откуда: а) р 0, у 0, у С, но у () 0, значит, в этом случае решения нет; б) p, dp d, p + C, p() + C C 0 p. 9 PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion

8 Тогда d d, d Следовательно, искомое частное решение имеет вид:. d, + C, () + C C. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим дифференциальное уравнение вида. ( n) + a ( n) a n 0, () где а,, а п постоянные. Общее решение этого уравнения можно получить, решив характеристическое уравнение n n λ + a λ an 0. (4) Каждый действительный корень λ i этого уравнения кратности k соответствует линейной комбинации фундаментальных решений уравнения () в форме (С + С х + + С k k- k ) λ. Пара комплексно сопряженных корней ( λ ), j α ± βi кратности т дает комбинацию фундаментальных решений α m ~ ~ ~ m вида ( C + C Cm ) sin β + ( C + C Cm ) cos β). В частности, характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка + a + a 0 (5) является квадратным: λ + aλ + a 0. Поэтому общее решение уравнения (5) может иметь один из трех видов: а) если дискриминант характеристического уравнения D a a 0, а 4 > λ, λ ( λ λ ) его различные действительные корни, то решение уравнения (5) выглядит так: λ λ C + C ; (6) б) если D 0, характеристическое уравнение имеет один корень λ 0, и общее решение уравнения (5) имеет вид: λ0 ( C + C) ; (7) в) при D < 0 характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни λ, α ± βi, а общее решение уравнения (5) записывается в форме: α C sin β + C cos β ). (8) ( PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 0

9 Пример 0. Найти общее решение уравнения Решение. Составим и решим характеристическое уравнение: λ λ + 6 0, λ, λ. Значит, общее решение записывается в виде (6): 5 C + C. (5) (4) Пример. Найти общее решение уравнения Решение. 5 4 Характеристическое уравнение λ + 4λ + λ 0 имеет один действительный корень λ 0 кратности и два комплексно сопряженных корня: - ± i. Поэтому, так как е 0 х, общее решение записывается в форме (7) и (8): C + C + C + ( C4 sin + C5 cos ).. Решение неоднородных линейных уравнений методом подбора частного решения Пусть требуется найти общее решение неоднородного линейного уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами ( n) ( n) + a an f ( ). (9) Его решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. При некоторых специальных видах неоднородности это частное решение можно подобрать по известной схеме. k ) Если f ( ) Pn ( ), где Р п (х) многочлен степени п, то частное решение уравнения (9) n n k ч ( A0 + A An ), (0) если число k не является корнем характеристического уравнения, или s n n k ч ( A0 + A An ), () если k корень характеристического уравнения кратности s. Коэффициенты А 0, А,, А п можно найти методом неопределенных коэффициентов, подставив у ч и его производные нужных порядков в уравнение (9). a ) При f ( ) ( Pn ( ) sinb + Qm( ) cosb), если числа a±bi не являются корнями характеристического уравнения, частное решение имеет вид: ч ~ ~ ( P ( ) sin b + Q ( ) cos b) a, () l l PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion

10 ~ где P l, Q ~ l многочлены с неопределенными коэффициентами одной и той же степени l ma(m, n). Если же a±bi корни характеристического уравнения кратности s, ч ~ ~ ( P ( ) sin b + Q ( ) cosb) a s. () l Если правая часть уравнения (9) представляет собой сумму функций, для каждой из которых можно подбором найти частное решение: ( n) ( n) + a an f( ) + f( ), то частное решение такого уравнения является суммой частных решений ( n) ( n) уравнений a... a f ( ( n) ( n) ) и + a a f ( ). n Пример. Найти общее решение уравнения +. Решение. Найдем общее решение однородного уравнения + 0. Характеристическое уравнение λ λ + λ 0 имеет корни 0 (кратности ) и (кратности ). Следовательно, одн C + ( C + C). Перейдем к поиску частного решения. Поскольку число коэффициент при х в показателе степени правой части уравнения является корнем характеристического уравнения кратности, ищем у ч в виде () при s, n 0: ч A. Тогда A( + ) A ( + ); A ( + ) + A ( + ) ч A ( ); ч A ( ) + A (4 + ) A ( Подставим полученные выражения в исходное неоднородное уравнение: A ( ) A ( ) + A ( + ), A ( ), A, A, ч Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид: C + C + C + ч ( ). Пример. Найти общее решение уравнения + sin. Решение. Характеристическое уравнение: λ λ, λ 0, λ. Общее решение l 0 однородного уравнения: одн C + C. Найдем частное решение, соответствующее неоднородности f (). Так как λ 0 корень характеристического уравнения, частное решение имеет вид (): ч (A + B) A + B. Поскольку A + B,, при подстановке в уравнение ч ч A n. ). PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion

11 получаем: A A B, откуда A B 0, - A. Решая полученную систему, находим: A, B, ч. Для f () sin ч задаем по формуле () при a 0, b, l 0: ч A sin + B cos, ч Acos B sin, ч 4Asin 4B cos. Подставим в уравнение: 4A sin 4Bcos Acos + Bsin sin, 4 A + B, 4B A 0. Отсюда В 0,, А - 0,, у ч - 0, sin + 0, cos. Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения: одн + + уч + уч C + C 0,sin 0,cos. 4. Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Если неоднородность в правой части уравнения (9) не позволяет использовать формулы (0)-() для подбора частного решения, можно воспользоваться методом вариации постоянных. Пусть решение однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (5) записано в виде: у одн С у + С у, где у, у фундаментальная система решений. Будем считать, что при этом решение неоднородного уравнения + a + a f ( ) имеет вид: C ( ) + C ( ). Функции С (х) и С (х) можно определить из системы уравнений для их производных: С + C 0. ( 4) C + C f ( ) Пример 4. Найти общее решение уравнения + 64 tg8. Решение. Решим однородное уравнение: λ , λ ± 8i, одн С cos 8 + C sin 8, неодн С (х) cos 8 + C (х) sin 8. Составим вариационную систему: С cos8 + C sin 8 0. Получена линейная система для С 8C sin C cos8 tg8 и С. Для ее решения умножим первое уравнение на 8sin 8, а второе на cos 8 и сложим левые и правые части полученных равенств: 8C + (sin 8 cos 8) cos8 tg8, C sin8, C( ) sin8d 8 8 PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion

12 ~ cos8 + C, ~ где C const. 64 Теперь исключим из системы С. Для этого умножим первое уравнение на 8 cos 8, а второе на sin 8: sin 8 8C (sin 8 + cos 8) sin8 tg8, C, 8cos8 sin 8 cos 8 C d d cos8d d 8 cos8 8 cos8 8 cos8 cos8d d sin8 + sin8 sin cos 8 64 sin 8 64 sin8 Ĉ const. Итак, общее решение исходного уравнения: + sin8 C cos8 sin8 + sin8 + ln + C cos sin8 + sin8 C cos8 + C sin8 + ln. 8 sin8 sin8 sin8 + ln + C ˆ, III. Системы однородных линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами Для решения системы уравнений d a + b, d (5) a + b где (t), (t) искомые функции, а,, b, const, нужно решить характеристическое уравнение a λ b 0. (6) a b λ Если корни этого уравнения λ λ действительные, то решением системы λt λt λt λt (5) будут функции вида C + C, C + C4, причем произвольные постоянные С и С 4 можно выразить через С и С, подставив полученные функции в систему. d + 4 Пример 5. Решить задачу Коши для системы, d если х (0), + у(0) - 5. PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 4

13 Решение. λ 4 Составим характеристическое уравнение: 0, λ t 6t λ 5λ 6 0, λ, λ 6. Следовательно, C + C, t 6t d t 6t C + C4. Тогда C + 6C. Подставим полученные выражения в первое уравнение системы: t 6t t 6t t 6t t 6t C + 6C C + C + 4C + 4C, C + C 4 6 6t С + 4С) + (C 4C4 ) ( +, откуда C 6C C C + 4C + 4C 4, C 4 C, C 4 C. t 6t C. + C t 6t Итак, общее решение системы: C + C, При 4 t 0 получаем: C + C, C + C 5, откуда С 4 4, С -, и частное решение системы: х 4 -t 6t, - -t - 6t. При совпадении корней характеристического уравнения (6) решением λt t системы (5) будут функции ( C + Ct) и λ ( C + C4t), где λ корень уравнения (6). Связь между С, С и С, С 4 определяется аналогично предыдущему случаю. Если корни характеристического уравнения комплексно сопряженные числа α + βi и α βi, решение системы (5) ищется в виде: αt ( 4 αt C cos βt + C sin βt), ( C cos βt + C sin βt). Задания для курсовой работы включают по 0 задач. В -5 требуется решить задачу Коши или найти общее решение дифференциального уравнения -го порядка, в 6-9 решить уравнения высших порядков, в 0 найти общее или частное решение однородной линейной системы. PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 5

14 ВАРИАНТЫ КУРСОВЫХ ЗАДАНИЙ Вариант ) ( + ) d + ( ) d 0 ) + ) d d ( + + ) d 4) +, (0). ) (5) (4 5) ctg sin ( ) 0 6) 0 7) ( ) 8) + sin 9) d 4 + 0), sin d + (0), (0) 0. Вариант ) tg + ) ( + ) d + ( ) d 0 ) d + d ) sin + cos 5) ( + ) d d 0 6) + ( ) ( ) 7) ( + ) + ( ) + 0 8) + + cos d 6 9) + 5 ctg5 0), d + (0), (0). PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 6

15 Вариант ) ) ln ) ( cos sin ) d + ( cos sin ) d 0 4) ctg sin 5) d + d d 6) + 7) 4 (4) 8) + + 4sin d 9 9) + ln 0), d + 8 (0), (0). Вариант 4 ) 4 ) + 4 ( ) ) d + + d 0 ( + ) + 4) ) + 0 6) ctg ctg 7) 6 5( ) 0 8) + 4 sin 9) d 6 + 0), d 4 (0) 0, (0). 7 PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion

16 Вариант 5 ) ( + ) d + ( ) d 0 ) + + ) ( ) d + ( ) d 0 4) + 5) 7) + 6) (4) 8) + cos ( ) 9) d 4 + 0), d + (0) 0, (0). Вариант 6 ) tg d ctg d 0 ) ( ) + 0 ) d d 0 4) + 5) ln + 0 6) + + (4) 7) ( ) ( ) 8) cos d + 9) + 4 tg 0), d 6 (0), (0). PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 8

17 Вариант 7 ) ( + ) ) + 7 ) d + d 4) + sin 5) + 0 6) ln + 8) ( ) 7) + ( ) 9) d ), cos d (0), (0) 0. Вариант 8 ) ( ) 0 ) (ln ln ) d d 0 ) d + ln d 0 4) + 5) + 0 6) ctg sin 7) 5( ) tg5 0 8) 5 6 sin d + 9) + 6 sin 0), d (0), (0). 9 PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion

18 Вариант 9 ) ( + ) d d 0 ) + ) cos d ( ) sin d 0 4) 0 + 5) + ln 6) ln 0 7) ( ) (6) (4) + 0 8) d 9) + 0), d 9 4 (0), (0) 0. Вариант 0 ) + + ) cos ln ) ( + ) d + d 0 4) tg cos 5) ( ) + 0 6) + 7) ( ) (4) + 0 8) sin cos 9) + + d 0) d 4, + (0), (0) 0. 0 PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion

19 Вариант ) ) ( ) d d 0 ) d + ( ) d 0 4) ( + sin ) 5) d + ( ) d 0 6) 7) + ( ) 8) (4) 6 d + 9) + ctg 0), d + 4 (0) 0, (0). Вариант ) d + ( ) d 0 ) хsin ctg ) d + ( + 6 ) d 0 4) ( cos ) 5) + 6) + ( ) ( ) 7) 8) 4 ( + ) ( ) ( ) 9) d х 0), е + d (0), (0). PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion

20 Вариант ) cos ) ( ) d d 0 ) + d + d 0 4) + 5) 6) + 0 7) ( ) + 0 8) + 9 sin 9) + tg d 0) d, + 4 (0), (0) 0. Вариант 4 ) ( + ) + +, (0). ) ) 4 d + d 0 4) cos sin sin 5) 6) 7) tg ( ) 8) (4) 8 7 9) d ), cos d + (0), (0) 0. PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion

21 Вариант 5 ) ln, ( ). ) cos cos ) d + ( ) d 0 4) + ln + 5) + + 6) ln 7) + ( ) 8) d + 9) ), d 5 (0), (0) 0. Вариант 6 ) + tg ) 4 ) 4) 0 + 5) d + (ln + cos ) d 0 6) + ( ) 0 7) ( + ) + ( ) + 0 8) sin 9) d + + ctg 0) 4 4 d + PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion

22 Вариант 7 ) + ) cos ( ) + sin ) 4) + 0 5) d + d 0 6) ( ), (), () 7) 0 8) d + 9) + 4 ctg 0) d + Вариант 8 ) ) sin( ) ) + 4) 5) d d 0 6) 4 0, (), () 4 7) 8) d ) ) d + 4 PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 4

23 Вариант 9 ) ( + ) ctg ) ln ) + tg cos 4) 5) ( + ) d + d 0 6) + ( ) 0 7) 8) + 9) d + + 0) cos d + 4 Вариант 0 sin cos ( + ) + ) ) 5 ) 4 + 4) 5) d d 0 6) 8, (5), (5). 7) 0 8) cos 9) d ) sin d 4 + PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 5

24 Вариант ) ln tg ) + ln ) tg sin 4) 5) d + ( + cos ) d 0 6) + ( ) 7) ctg 0 8) 4 + sin 9) + d 0) d Вариант ) ( + 9) ) sin ( ) ) + 4) 5) d d 0 6) 7) 0 8) d 5 4 9) + ctg 0) d PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 6

25 Вариант ) + cos( ) ) + ) + 4) + 5) d + d 0 6) ( ) 7) ln 8) + + 9) d ) sin 4 d Вариант 4 ) ) 6 + ctg ) 4) 5) d + d 0 6) ( ) 0 7) ( ) 8) + d ) ) + d 5 + PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 7

26 ) Вариант 5 ln 9 + ( + cos ( ) ) ) ) + 4) 0 5) d + ( + ) d 0 6) 0, (0) 6, (0) 9 7) ( + ) + 0 8) + + 9) d + ctg 0) 4 4 d + Вариант 6 ) cos sin ) + + ) 4) 0 5) ( + ) d + d 0 6) 4( ) + 0 7) + 8) cos + sin 9) + + 0) + d d PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion

27 Вариант 7 ) ln ) + + ) + 4) + 0 5) d + d 0 4 6) ( ) ln 0 4 7) 8) 7 + ( + ) d 9 + 9) 0) + d + Вариант 8 ) sin ( 4) 6 + ( + ) ) ) 4) + 0 5) ( + ) d + ( + ) d 0 6) ( ) + 0 7) 8) 4 + cos sin d 9) + 0) + d + PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion 9

28 Вариант 9 ) ) ) + + 4) + 0 5) cos d + sin d 0 6) 7), (), () 0 8) + 4 ( + ) 9) d π + π 0) sinπ d + Вариант 0 ) ctg 4 ) + ) 4) ) d d 6) ( ) + 0 7) + 0 8) cos 9) + π π cos π d 0) d PDF cratd with FinPrint pdffactor trial vrsion

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

y неоднородного уравнения:

y неоднородного уравнения: 1 Найти общее решение дифференциального уравнения ( 4 + + = 1 6 - это линейное неоднородное ДУ 4-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального неоднородного уравнения: = ˆ +. ( 4

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения»

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения» Министерство образования и науки Республики Казахстан Каспийский государственный университет технологий и инжиниринга имени ШЕсенова Кафедра «Физика и математика» Государственный экзамен по профилирующей

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

Витебский государственный технологический университет

Витебский государственный технологический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные интегралы Дифференциальные уравнения Ряды Методические указания к практическим занятиям для студентов второго

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия Нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка n называется система вида n dk akj j k n d j () где a cons kj Вводя

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Однородные линейные дифференциальные уравнения

Однородные линейные дифференциальные уравнения 1 Семинар 6 по теме Дифференциальные уравнения Однородные линейные дифференциальные уравнения Линейными дифференциальными уравнениями назвыаются уравнения вида: a k (x) y (k) (x) = 0 Такие уравнения называются

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции Контрольная работа 1 Задание 1 Показать, что функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка Р е ш е н и е Найдем первую производную от заданной функции ( После подстановки

Подробнее

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Семинар 8 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Функционалы ( ) ( ) зависящие от одной функции ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее