Обыкновенные дифференциальные уравнения

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Обыкновенные дифференциальные уравнения"

Транскрипт

1 КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу 57 Л УДК 579 Лелевкина ЛГ Шемякина ТА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: Учебное пособие по математическому анализу /Кыргызско-Российский Славянский университет Бишкек с Кратко изложены теоретические основы по разделу математического анализа «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Приведены многочисленные примеры с методическими рекомендациями по их решению Для проведения контрольных работ и для выполнения студентами индивидуальных типовых заданий приведено около 500 задач скомпонованных в вариант Для студентов естественно-технического и экономического факультетов дневной и заочной форм обучения а также для преподавателей ведущих практические занятия Рецензент: дф-мн СНАлексеенко Печатается по решению кафедры математики КРСУ и РИСО КРСУ Издательство Кыргызско-Российского Славянского университета Бишкек 00 КРСУ Бишкек 00 г ЛГЛелевкина ТАШемякина

2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 I ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными6 Однородные уравнения7 Линейные уравнения8 4 Уравнение Бернулли 9 5 Уравнения в полных дифференциалах0 II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Уравнения допускающие понижение порядка Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами5 Уравнения второго порядка со специальной правой частью5 Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)8 III СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 0 IV КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ 4 4 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения порядка»4 4 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения высших порядков» 4 4 Типовой расчет по теме «Системы линейных дифференциальных уравнений» 4 Литература 4 ВВЕДЕНИЕ В курсе обыкновенных дифференциальных уравнений изучаются уравнения и системы уравнений в которых неизвестными являются функции одного действительного переменного а в сами уравнения входят производные от неизвестных функций Определение : Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида F( (n) )=0 () где искомая функция аргумент функции n наивысший порядок производных Если его можно разрешить относительно n-производной то оно имеет вид (n) =f( (n-) ) ( ) Определение : Общим решением (интегралом) дифференциального уравнения n-порядка () называется функция = ϕ( c cn ) ( Ф ( c c c n ) ) () если она является его решением при любых значениях постоянных c c n Определение : Частным решением (интегралом) уравнения () называется функция = ϕ( c cn ) ( Ф ( c c c n ) ) () которая получается из общего решения (интеграла) () при определенных значениях постоянных вычисленных с использованием заданных начальных условий ( n ) ( n ) = 0 = = 0 = 0 = 0 0 График частного решения называется интегральной кривой Определение 4: Особым решением уравнения () называется решение уравнения () которое не может быть получено из общего решения (ин- ЛГЛелевкина ТАШемякина ЛГЛелевкина ТАШемякина 4

3 теграла) () ни при каких частных значениях произвольных постоянных c c n Решить дифференциальное уравнение n-го порядка значит: ) найти его общее решение ) найти то частное решение которое удовлетворяет заданным начальным условиям I ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Определение : Уравнение вида M ( ) d + N( ) d называется уравнением с разделенными переменными а интеграл M ( ) d = N( ) d общим интегралом этого уравнения Определение : Уравнение вида M ( ) N( ) d + M ( ) N( ) d называется уравнением с разделяющимися переменными Это уравнение сводится к уравнению с разделенными переменными M ) N ( ) d = M ( ) N ( ) d ( ( )/ M ( ) d = N( )/ N( ( ) / M ( ) d N ( ) / N M ) d M = ( ) d общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными Пример : = / d / d = / d / = d / ln = ln + ln c = c = c / Пример : Задача о скорости охлаждения тела d / dt = K( 0) d /( 0) = Kdt ln 0 = Kt + lnc kt + ce с? K? =00 = 60 t=0 t=0 ЛГЛелевкина ТАШемякина 5 ЛГЛелевкина ТАШемякина 6

4 K ce c = 80 K 0 0K 60 + ce e = 40/80 = / (/ 0) t + 80(/ ) K / 0 е = (/ ) Находя интеграл и возвращаясь к исходным переменным получим общее решение дифференциального уравнения Линейные уравнения Однородные уравнения Определение : Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным если его можно записать в виде: = ϕ( / ) где правая часть есть функция только относительно / Примеры: d / d = ( / ) + sin( / ) + / d / d = ln( / ) + e Определение : Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным если f() является отношением однородных многочленов одной и той же степени Определение : Однородным многочленом степени «n» называется многочлен сумма показателей переменных в каждом члене которого равна «n» Примеры: f ( ) = + + f ( ) = = ( + )/() = (( + )/( ))/( / ) = ( + ( / ) ) /( / ) В однородном уравнении переменные не разделены но их можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой: z ( ) = / = z = z + z тогда уравнение запишется в виде: z + z = ϕ(z) ( dz / d) = ϕ ( z) z dz /( ϕ ( z) z) = d / полагая ϕ ( z) z 0 ln = dz /( ϕ ( z) z) + c ЛГЛелевкина ТАШемякина 7 Определение: Линейным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной : d / d + P( ) = Q( ) где P ( ) Q( ) заданные непрерывные функции от х; функции первой степени Примеры: = + e = + sin Решение линейного уравнения ищется в виде произведения двух функций от х Одна из них произвольная другая определяемая из линейного уравнения = u( ) v( ) d / d = vdu / d + udv / d vdu / d + udv / d + Puv = Q vdu / d + u( dv / d + Pv) = Q Выбираем функцию v так чтобы выполнялось уравнение: dv / d + Pv dv / v = Pd P( d + ln v = ) c v = e e p( ) d+ c = p ( v e ) d полагая c Теперь найдем функцию u подставляя значение v в уравнение: p( ) d du = e du / d = Q( ) P( ) d Q( ) d u e P( ) d = Q( ) d + c P( ) d = e [ e P( ) d Q( ) d + c] ЛГЛелевкина ТАШемякина 8

5 / = P = / Q = = uv = u v + uv u v + u( v v / ) = v v / dv / d = v / ln v = ln v = du / d = du = d u = / + c = ( / + c) 4 Уравнение Бернулли Определение: Уравнение вида n d / d + P( ) = Q( ) называется уравнением Бернулли где n 0 n ) n + P( ) = Q( ) линейное уравнение ) n = + [ P( ) Q( )] уравнение с разделяющимися переменными Эти уравнения рассматривались в п п Уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению Разделим все члены уравнения на n n n : + P = Q n Сделаем замену: z = z = ( n)( n ) z /( n) + Pz = Q Получим z + ( n) Pz = ( n) Q линейное уравнение + = + = z = z = z /( ) + z = z z = Полученное уравнение решается заменой z = uv 5 Уравнения в полных дифференциалах Определение: Уравнение вида M ( ) d + N( ) d называется уравнением в полных дифференциалах где M ( ) N( ) непрерывные дифференцируемые функции для которых выполнено: M / = N / это равенство является необходимым и достаточным условием чтобы левая часть уравнения была полным дифференциалом du ( ) u ( ) = c общий интеграл Действительно M ( ) d + N( ) d = du = ( u / ) d + ( u / ) d M = u / N = u / M / = u /( ) N / = u /( ) M / = N / Из условия u / = M ( ) находим u M ( ) d + ϕ ( ) Учитывая = 0 N = u / находим u / = M / d + ϕ ( ) = N( ) Подберем ϕ () таким образом чтобы выполнялось соотношение M / = N / : 0 N / d + ϕ ( ) = N N( ) +ϕ ( ) = N( ) 0 N ( ) N( 0 ) + ϕ ( ) = N( ) ϕ ( ) = N( 0 ) ϕ ( ) N( d + c = 0 0 ) = u M ( ) d + N( d + c 0 ) 0 Приравниваем u = c тогда получим общий интеграл: 0 M ( ) d + N( 0 ) d = ( ) d + ( + M ( ) = ) d c N ( ) = + M / = N / = M / = N / 0 ЛГЛелевкина ТАШемякина 9 ЛГЛелевкина ТАШемякина 0

6 u = ( ) d = + ϕ( ) u / = + ϕ ( ) = + ϕ ( ) = ϕ ( ) = + c u = + + c + = c u = ( ) d = + ϕ( ) u = ( + ) d = + u = + = c + ψ ( ) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Уравнения допускающие понижение порядка Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений n-го порядка допускающие понижение порядка ( ) а) Уравнение вида n = f ( ) Его можно записать в следующем виде: ( n ) d( ) / d = f ( ) ( n ) f ( ) d в результате понизим по- d( ) = f ( ) d Интегрируя уравнение рядок уравнения: ( ) n = f ( ) d + c ( n ) d( ) / d = f ( ) d + c ( ) n = f ( ) d + c] d + [ c ( n ) d( ) = Интегрируя n-раз найдем общее решение дифференциального уравнения = sin 4 = sin 4d = cos4 / 4 + c = [ cos4 / 4 + c] d = sin 4 / 6 + c + c / = cos4 / 64 + c + c + c б) Уравнение вида = f ( ) Это уравнение явно не содержит Для понижения порядка вводим новую функцию P () полагая = P() = P = dp( ( ))/ d = ( dp / d)( d / d) = P P тогда уравнение примет вид: ( dp / d) P = f ( P) Это дифференциальное уравнение первого порядка относительно Р Его общее решение равно P ) = ϕ( c ) Зная это решение получаем ( d / d = ϕ( c) уравнение с разделенными переменными Решая его получаем d / ϕ ( c ) = + c общий интеграл первоначального уравнения + = Полагая = p() = p получим дифференциальное уравнение относительно р: + p = ( dp / d) p d / = pdp /( + ln = ln+ p + = c d p ln c / p p = ( c ) / / d = ( c ) / c = ( c ) / c ) + общий интеграл в) Уравнение вида = f ( ) Это дифференциальное уравнение которое не содержит явно Заменяя = p() = p () получим: ЛГЛелевкина ТАШемякина ЛГЛелевкина ТАШемякина

7 p = f ( p) уравнение первого порядка относительно р p = p( c) общее решение последнего уравнения Зная это решение можно решить уравнение: d d = p( c ) / ( + ) = p( ) = p ( + ) p p dp / p = d /( + ) ln p = ln( + ) + lnc p = c ( + ) d / d = c ( + ) d = c ( + ) d = c ( + /) + c общее решение Выделим частное решение Пусть даны начальные условия = = = 0 = 4c / + c c = / = c c = / = /6 + / / частное решение Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами Определение: Дифференциальное уравнение n-го порядка называется ( n) линейным если оно первой степени относительно те имеет вид ( n) ( n ) a0 + a + + an = F( ) () Предполагается что a0 a an F непрерывные функции от или постоянные a 0 = F () правая часть уравнения Если F ( ) 0 то уравнение неоднородное Если F ( ) то уравнение однородное Рассмотрим метод решения на уравнениях второго порядка: + a + a = F( ) () Пусть дано линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами + a + a 0 () = a a const Чтобы найти общий интеграл этого уравнения достаточно найти два линейно независимых решения Общее решение имеет вид: = c + c k Частные решения будем искать в виде = e k = const тогда k k = ke = k e Подставляя полученные выражения в уравнение () находим e k ( k + a k + a ) k Тк e 0 то k + ak + a характеристическое уравнение / / Его корни k = a / + ( a / 4 a) k = a / ( a / 4 a) Возможны следующие случаи: а) Если корни k k действительные не равные между собой k числа D > 0 Частными решениями будут = e k = e Следовательно общий интеграл имеет вид: k k = c e c e + k + k k = k = 00 = c e + c e 00 + б) Если корни k = k = k действительные D тогда положим = e = e k k k 00 ce + c k = e общий интеграл k 4k + 4 k = k 00 ce + = c e = ЛГЛелевкина ТАШемякина ЛГЛелевкина ТАШемякина 4

8 k в) Если корни k k комплексно сопряженные D < 0 = α ± β α = a / i α 00 [ β = / / 4) ( a a = e c cos β + c sin β ] общий интеграл k + k + 5 k = + i k = i 00 e ( c cos + c sin = ) Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим уравнение a 0( ) + a( ) + a( ) = F( ) () Это уравнение можно записать в следующем виде: + p + q = f () ( ) p q постоянные f () известная функция Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид: oн = oo + чн где 00 общее решение соответствующего однородного уравнения чн частное решение неоднородного уравнения Метод нахождения 00 был изложен Для нахождения чн применяют метод вариации произвольных постоянных Уравнения второго порядка со специальной правой частью Для уравнений с постоянными коэффициентами правые части которых имеют специальный вид существует более простой способ нахождения чн Он называется методом неопределенных коэффициентов или методом подбора формы частного решения Рассмотрим несколько таких случаев α Первый случай: f ( ) = Pn ( ) e n n где P n ( ) = a0 + a + + an + an Составим характеристическое уравнение k + pk + q а) Если α не является корнем характеристического уравнения Тогда нужно чн искать в виде: чн n n = A0 + A + + An n α = Q ( ) e Q n ( ) + An многочлен той же степени «n» с неизвестными коэффициентами A 0 A A n An Действительно подставляя в неоднородное дифференциальное уравнение частное решение и сокращая на e α будем иметь: Q ( ) + (α + p) Q ( ) + ( α + pα + q) Q ( ) P ( ) n n n = где Q n () многочлен степени «n» Q n () многочлен степени «n-» Q n () многочлен степени «n-» Для нахождения коэффициентов A 0 A A n A n приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х б) Если α простой корень характеристического уравнения α = k или α = k Тогда решение чн надо искать в виде чн n α = Q ( ) e в) Если α двукратный корень характеристического уравнения те α = k = k Тогда решение чн надо искать в виде Пример : + + = k + k + k = k + чн = n α = Q ( ) e 00 = ce ce Так как правая часть есть многочлен второй степени и ни один корень характеристического уравнения не совпадает с α то частное решение ищем в виде 0 чн = ( A + B + C) e = A + B + C A? B? C? Находим = A + B = A и подставляя в дифференциальное уравнение получим: A + ( A + B) + ( A + B + C) = n ЛГЛелевкина ТАШемякина 5 ЛГЛелевкина ТАШемякина 6

9 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях найдем коэффициенты A B C и этим самым частное решение чн = / / + 7 / 4 Общее решение неоднородного уравнения имеет вид: = / / + 7 / 4 + c e + c e oн Второй случай: α f ( ) = ( M cos β + N sin β ) e где α M N β заданные числа Следует искать чн в виде: α а) чн = ( A cos β + B sin β ) e если α ± β i не является корнем характеристического уравнения A B неизвестные коэффициенты которые находят путем подстановки в дифференциальное уравнение и приравнивая коэффициенты при чн cos β sin β б) чн = ( Acos β + Bsin β) e если α ± β i является корнем характеристического уравнения + 9 = cose ± 00 = c cos + c sin k + 9 k = i α Частное решение ищем в виде: чн = ( Acos + Bsin) e Подставляя в дифференциальное уравнение значения производной и функции находим A = /7 B = 6/ 7 и частное решение будет: чн = (cos + sin) e /7 Общее неоднородного уравнения будет: oн = (cos + sin) e /7 + c cos + c sin Пример : = ( + ) e k k k = k 00 = ce + чн c e = ( A + B) e = A = /8 B = 7 /6 oн = ( / /6) e + c e + c e Третий случай: f ( ) = ( Pn ( )cos β + Qm ( )sin β) e где P n () многочлен степени «n» Q m () многочлен степени «m» Следует искать чн в виде: α а) чн = ( A( ) cos β + B( ) sin β ) e если α ± β i не является корнем характеристического уравнения A ( ) B( ) многочлены степень которых равна наивысшей степени многочленов Pn ( ) Qm ( ) ; α б) чн = ( A( ) cos β + B( ) sin β ) e если α ± β i является корнем характеристического уравнения + = ( 4sin ) ± 00 = c cos + c sin k + k = i чн = [( A + B)cos + ( A + B )sin ] Подставляя в дифференциальное уравнение значение производной и функции находим A = B A B = и частное решение неоднородного уравнения: чн = (sin cos) Общее решение неоднородного уравнения имеет вид: oн = (sin cos ) + c cos + c sin Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) Мы показали что для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения достаточно найти общее решение соответствующего однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения oн = oo + чн Укажем общий метод нахождения общего решения неоднородного уравнения Напишем общее решение однородного уравнения oo : 00 = c + c (5) где частные решения образующие фундаментальную систему α ЛГЛелевкина ТАШемякина 7 ЛГЛелевкина ТАШемякина 8

10 Будем искать частное решение неоднородного уравнения ( ) в форме (5) рассматривая c c как некоторые пока неизвестные функции от х Продифференцируем равенство (5) Подберем c c так чтобы выполнялась система уравнений: c + c c + c = f ( ) Определитель системы уравнений есть определитель Вронского и для линейно независимых функций выполняется: w = 0 Решая систему уравнений найдем c c как функции от те c = ϕ ) c = ϕ ( ) Тогда c ( ) ϕ ( d + c c ( ) ϕ ( d + c ( = ) = ) где c c постоянные интегрирования Подставляя полученные выражения c c в (5) найдем интеграл зависящий от произвольных постоянных c c те общее решение неоднородного уравнения + 4 = / cos ± 00 = c sin + c cos k + 4 k = i c sin + c cos c cos c sin = / cos c = / c = tg / c / + c = c = ln cos / 4 + c Общее решение неоднородного уравнения будет: oн = / + c )sin + (ln cos / 4 c )cos ( + III СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Во многих задачах математики физики техники требуется определить сразу несколько функций связанных между собой дифференциальными уравнениями Совокупность таких уравнений называется системой дифференциальных уравнений Определение : Системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка называется совокупность уравнений в каждое из которых входят независимые переменные искомых функций и их первые производные d / dt = 5 + d / dt = Определение : Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка представленная в виде d / d = f( n ) () dn / d = fn ( n ) называется системой в нормальной форме или нормальной системой Определение : Общее решение нормальной системы () имеет вид = ϕ( c cn) n = ϕn( c cn) где c c cn произвольные постоянные Начальные условия: = 0 = = 0 0 = n = n0 0 = 0 С помощью начальных условий из общего решения выделяют частное Подставляя начальные условия в общее решение получаем систему для определения произвольных постоянных ЛГЛелевкина ТАШемякина 9 ЛГЛелевкина ТАШемякина 0

11 = ϕ( 0 c cn ) = ϕ ( c c ) 0 n0 n Определение 4: Совокупность функций ( ) ( ) n ( ) обращающих каждое из уравнений системы () в тождество называется решением системы () Определение 5: Порядком системы () дифференциальных уравнений называется наивысший из порядков уравнений входящих в эту систему Следовательно нормальная система () первого порядка Наиболее распространенным методом решения нормальных систем является сведение их к дифференциальным уравнениям высших порядков Для простоты изложения эту методику покажем на примере Пусть дана система d / dt = 7 + d / dt = 5 Одно из уравнений системы (например первое уравнение; в этом случае стремятся получит дифференциальное уравнение относительно ) продифференцируем почленно по t и получим уравнение второго порядка = 7 + Выразим из первоначальной системы уравнений через те = + 7 = 5 = 5( + 7) = 5 7 и подставим в уравнение второго порядка относительно х: = 7 + = 7 Мы получили уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Общее решение этого уравнения будет: 6t 6t = ce cost + ce sint Находим производную и подставляя в значение для получим: 6t = ce (cost sint) + ce (sint + cost) Другим методом решения систем линейных дифференциальных уравнений будет метод с использованием характеристического уравнения 0 6t n Определение 6: Система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид: d / dt = a + + an n dn / dt = an + + ann n ( ) где a i j ( i = n j = n) постоянные t аргумент ( t) ( t) n ( t) искомые функции Будем искать частное решение в виде kt kt kt = α e = α e n = αne () Подставляя в ( ) выражения () получим: ( a k) α + aα + + anα aα + ( a k) + + anα n anα + anα + + ( ann k) () Выберем α α α n и k таким чтобы удовлетворить системе () Составим определитель системы () a k a an ( k) = a a k an an an ann k Если k таково что 0 то () имеет только тривиальное решение α = α = = α n а значит () дают тривиальное решение ( t) = ( t) = = n ( t) Нетривиальное решение получаем при таких k при которых Получим: a k a an a a k an a a a k n n характеристическое уравнение где k k kn корни характеристического уравнения nn ЛГЛелевкина ТАШемякина ЛГЛелевкина ТАШемякина

12 ( i) Для каждого k i напишем систему () и определим коэффициенты ( i) ( i) n α α α Если корни k k kn действительные различные Для k k kn решение () для уравнения ( ) имеет вид: () () kt () () kt () () kt = α e = α e n = αn e () () kt () () kt () ( n) kt = α e = α e n = αn e ( n) ( n) knt ( n) ( n) knt ( n) knt = α e n = α e n = αne Тогда общее решение системы ( ) будет иметь вид: () kt () kt ( n) knt = cα e + cα e + + cnα e () kt () kt ( n) knt = cα e + cα e + + cnα e () knt () kt ( n) knt n = cα n e + cα n e + + cnα n e Если корни характеристического уравнения различные но среди них есть комплексные k = α ± β i () Этим корням будут соответствовать решения: () ( α+ iβ ) t j = α j e ( j = n) () () ( α iβ ) t j = α j e ( j = n) () j () j = e αt αt ( λ () j () cos β + λ () j () sin β) = e ( λ j sin β + λ j cos β) () () () () где λ λ λ λ действительные числа определяемые через α j () () j α j j j j () () j j Коэффициенты α α определяются из системы уравнений () Общее решение представляется комбинацией из этих равенств d / dt = + d / dt = + Составим характеристическое уравнение k k 5k + 4 k = k = 4 k Решение ищется в виде () () t () () t () () 4t () () 4t = α e = α e = α e = α e () () Составим систему () для k = и определяем α j α j () () ( ) α + α () () α + ( ) α () () те α = α / () () () t () t Полагая α = получим α = / = e = e / () () Составим систему () для k = 4 и определяем α j α j () () α + α () () α α () () те α = α () () () 4t () 4t Полагая α = получим α = и = e = e Тогда общее решение системы ( ) имеет вид: t 4t t 4t = c e c e = c e / + c e + IV КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ 4 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения порядка» Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения (Ответ представить в виде ( ψ ( ) = С )) 4d d = d d / / ( + ) + ( + ) ( 4 + ) / d d = d 4 ( + ) / d d = d ЛГЛелевкина ТАШемякина ЛГЛелевкина ТАШемякина 4

13 5 6d 6d = d d / 6 ( + ) d + ( + ) d 7 ( e + 5) d + e d / 8 ( ) + / 9 6d 6d = d d / 0 (5 + ) d + (4 + ) d ( 4 + e ) d e d / / (4 ) + + d d = d d / 4 (4 + ) d + ( + ) d 5 ( 8 + e ) d e d / / / 6 (5 + ) + ( ) d 7 6d d = d d 8 ln + 9 ( + e ) = e / 0 ( ) + + 6d d = d d ( + ln ) + ( + e ) = e / 4 ( + ) + ( ) / 5 d d = d d / 6 (5 + ) d + 4( + ) d 7 ( + e ) = e 8 ( + ) d + ( + ) d / 9 d d = d d ( ) / 0d d = d 5 d Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения + = = + + / = 4 = ( + ) + 5 = = 9 = = + / 8 = ( + ) = + + / = = ( + ) + = = / = 6 = ( + ) + 7 = = / = 0 = ( + ) + = = / = 4 = ( + ) = = / = 8 = 4 ( + ) + 6 ЛГЛелевкина ТАШемякина 5 ЛГЛелевкина ТАШемякина 6

14 / 9 = = 4 ( + ) = 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения + + = = 4 = 4 = = 6 = = 8 = = 0 = = = = = = = = + + = = = = = + = = = 4 4 = = + = = = + 4 Задача 4 Найти решение задачи Коши 4 / = ( ) 4 ctg = sin ( π / ) + cos = sin ( 0) 4 ( ) 44 + tg = cos ( π / 4) = / 45 = + ( ) = / + 46 = e ( + ) ( 0) = + 47 = sin ( π / ) = 48 + = sin ( π ) = / π 49 + = ( ) = 40 + = ( 0) = / = 5 ( ) = = e ( ) = e ln 4 = ( ) = 44 = ( ) = = ( ) = 5/ = ( ) = = 8 7 ЛГЛелевкина ТАШемякина 7 ЛГЛелевкина ТАШемякина 8

15 47 = + ( ) = = ( ) = 49 + = ( ) = 40 + = () = e 4 + = ( 0) = / ( ) 4 + = ( 0) = 4 = e ( + ) + ( 0) = 44 + = e sin ( 0) = 45 = ( + ) ( 0) = / + 46 cos = sin ( 0) = 47 4 = 4 ( 0) = / ln 48 = ( ) = 49 = ( + )/ ( 0) 40 cos = sin ( 0) = 4 = ( ) = Задача 5 Решить задачу Коши / 5 d + ( + e ) d ( e) = 5 ( 4 e + ) = ( 0) = 5 d + ( ) d ( ) = e 54 (4 + 4 ) = ( 0) π 55 (cos cos ) = sin cos ( ) = 4 π 56 ( cos ) = cos ( π ) = 4 57 e ( d d) = d ( 0) 58 (04 ) = 4 ( 8) = 59 d + ( ) d ( ) π 50 ( cos sin ) = (6) = 4 5 8(4 + ) = ( 0) 5 (ln ln ) d = d d = e 4 5 ( + ) = ( ) = 54 ( ) d + ( ) d = ( + ) d ( ) = 4 / 55 d + ( + e ) d ( e) = / 56 ( + ) d + d ( ) = 4 π 57 sin d = (sin sin + ) d ( ) = 4 58 ( + ) = ( ) / / 59 d (6 + 7) d ( 4) = 50 d = (sin + cos + ) d ( π e ) = 5π 5 (cos cos ) = sin ( ) = 4 5 chd = ( + sh) d ( ) = ln 5 ( ) = 4 ( 5) = π 54 (4 + ) d + (4 + ) d = d ( ) = 8 55 ( + ln ln ) = / ( ) = / 56 ( + ) d + d ( ) = π 57 d + ( sin sin ) d ( ) = 4 π ЛГЛелевкина ТАШемякина 9 ЛГЛелевкина ТАШемякина 0

16 58 ( + ) d = d ( ) 59 ( + tg tg) d = d ( 0) = π 50 4 d + ( e + ) d ( e) = 5 d + ( + sin cos ) d ( ) Задача 6 Найти решение задачи Коши 6 + = ( + ) e ( 0) = 6 + = ln ( ) = / 6 ( + ) = ( ) = = 4( + ) e ( 0) = 65 = (ln + )ln ( ) = 66 ( + ) = e ( + ) ( 0) = 67 ( + ) = ln ( ) = 68 + cos = cos ( + sin ) ( 0) = = 4 e ( ) ( 0) = 60 + = e ( 0) = / 6 = (5 + ) () = / = (4 5) ( ) = 6 + cos = e ( + cos ) ( 0) = / 64 ( + ) = ( ) = 65 = ( 0) = / / 66 = (0 + ) () = / 67 / + = (0) = 68 + = ln ( ) = 69 + cos = (8 + cos ) e ( 0) = = ( + 8) e ( 0) = / 6 8 = (5 + ) () = 6 ( + ) = ( 0) = 6 + = e ( ) ( 0) = 64 cos = e ( + cos ) 65 = ( 0) = 66 ( + ) = ln ( ) = 67 + = ( 0) = 68 + cth = ch ( ) = / sh 69 ( + ) = ( ) e ( 0) = 60 tg = (/) sin ( 0) = 6 + = ( ) = 4 ( 0) = Задача 7 Найти общий интеграл дифференциального уравнения 7 e d + ( e ) d 7 ( + cos ) d cos d 7 ( + 4 ) d + (8 + e ) d 74 ( ) d ( ) d 75 ( + sec ) d + ( + tg) d 76 ( + + ) d + ( + + ) d 77 ( + + ) d + ( + ) d / / ( + ) ( + ) 78 (sin cos( + )) d cos( + ) d 79 ( + ) d + ( ) d 70 ( + ) d d 4 7 cos d ( cos + ) d ЛГЛелевкина ТАШемякина ЛГЛелевкина ТАШемякина

17 7 ( + ) d + ( + ) d / / ( + ) ( + ) + 7 d + d + 74 d d + 75 d d 76 ( e + ) d d cos 77 (0 ) d + (5 + sin ) d sin sin 78 ( + e ) d d e d + (cos + e ) d 70 ( + cos ) d + ( + e ) d 7 e d + ( e + tg ) d 7 (5 ) d + (5 ) d 7 (cos( + ) + sin ) d + cos( + ) d 74 ( 4 ) d + ( 4 ) d 75 (sin + sin + ) d + ( cos cos + ) d / / 76 ( + e ) d + ( e ) d ( ) d + ( + ) d ( + ) d + ( + ) d 79 ( ) d + ( + ) d 70 d + ( + ) d 7 d + d + ( d d)/( + ) 4 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения высших порядков» Задача 8 Найти общее решение дифференциального уравнения 8 ln = 8 + = 8 = 84 + = + 85 tg = sin 87 ctg = 89 tg = 80 cth = = ( + ) + = = th = / 88 + = 89 tg = + 80 tg5 = 5 8 th7 = 7 / 8 + = 8 cth + ch 84 ( + ) + = + 85 ( + sin ) = cos 86 + = / 87 + = 88 cth + = ch = = + 8 ( + ) + = Задача 9 Найти решение задачи Коши 4 / / 9 4 = (0) = (0) = /( ) 9 = 8 ( 0) = ( 0) = ( 0) = 4 ( 0) = 94 + sin cos ( 0) ( 0) = ЛГЛелевкина ТАШемякина ЛГЛелевкина ТАШемякина 4

18 95 = sin cos ( ) = π / ( ) = 4 96 = 98 ( ) = ( ) = ( ) = 7 ( ) = 4 / / 98 4 = 6 (0) = (0) = sin cos ( 0) ( 0) = 90 = 7 ( ) = ( ) = ( 0) = ( 0) = 9 = 8sin cos ( ) = π / ( ) = 4 / / 9 4 = 6 (0) = (0) = 94 = 50 ( ) = ( ) = ( ) = 5 ( ) = sin cos ( 0) ( 0) = 97 = 8sin cos ( ) = π / ( ) = 98 = ( 4) = ( 4) = ( ) = ( ) = 90 + sin cos ( 0) ( 0) = 4 9 = 50sin cos ( ) = π / ( ) = 5 9 = 8 ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = 4 / / 94 = 4( ) (0) = (0) = sin cos ( 0) ( 0) = 5 96 = ( 0) = ( 0) = ( 0) = ( 0) = 98 = sin cos ( ) = π / ( ) = 4 / / 99 = 6 (0) = (0) = 90 = ( ) = ( ) = 9 + ( ) = ( ) = Задача 0 Найти общее решение дифференциального уравнения = 0 = = = 05 = 5( + ) 06 + = ( ) = + 08 = = = = = 0 7 = = + 05 = + 06 = = = = = 0 + = = = 04 + = 05 = = = ( ) = 09 + = = = Задача Найти общее решение дифференциального уравнения = (6 ) e + = ( ) e + = ( + 7) e 4 + = ( + 5) e = (8 ) e = ( 5) e = ( ) e = (8 + ) e 9 + = (8 + 4) e (5) ЛГЛелевкина ТАШемякина 5 ЛГЛелевкина ТАШемякина 6

19 0 = 4e + = (4 + 9) e = ( + 6) e = (6 ) e 4 + = (6 + 5) e = (9 + 5) e 6 + = (4 8) e = (7 6) e = ( ) e = (0 6) e = 4e = ( ) e = 4e = (8 ) e 4 5 = (8 + 4) e = (6 + 0) e 6 = (8 4) e 7 + = (8 + 6) e = (6 + 4) e = ( 6) e = 4( ) e + 6 = (0 + 4) e Задача Найти общее решение дифференциального уравнения + = 4e (sin + cos ) = e sin 6 + = e (sin + cos ) 4 + = sin 7 + cos = sin = e (5sin cos ) 7 + = e (sin + cos ) = e sin = e cos4 0 + = cos sin = sin = e ( sin + 4cos ) + = 0e (sin + cos ) = e sin5 5 + = sin5 + cos = 7sin = e cos = e (sin + 5cos ) 9 + = 6e (sin + cos ) = e sin = e cos5 + = cos7 sin = cos = e (sin cos ) 5 + = e (sin + cos ) = e sin = e cos = 0cos 9 + = sin 4 + cos = e ( sin + cos ) = e sin 6 ЛГЛелевкина ТАШемякина 7 ЛГЛелевкина ТАШемякина 8

20 Задача Найти общее решение дифференциального уравнения = ch + = sin 6cos + e + = e cos 4 = ch = 8sin + cos + 4e 6 = 0sin + 6cos + 4e 7 4 = 6ch = 8sin 8e 9 4 = 4e 4cos + 8sin 0 5 = 50ch5 + 6 = 6cos 4 6e 9 = 8sin 9cos 9e = ch = 0sin 5 + 0cos5 + 50e = 48e + 64cos 4 64sin = sh = 4sin 6 cos6 + 6e 8 5 = 5(sin 5 + cos5) 50e 9 + = sh = 4sin 7 + 7cos7 98e 6 6 = 6e 7(cos6 + sin 6) + 4 = 6sh = 6sin8 6cos8 64e 4 49 = 49(sin 7 + cos7) + 4e = 50sh = 9sin9 + cos9 + 6e 7 64 = 8cos8 64e 8 + = sh sin0 0cos0 00e = 8sin 9 + 6e 0 00 e + 00cos0 Задача 4 Найти решение задачи Коши 4 + π = π / cosπ ( 0) = ( 0) 4 + = 9e /( + e ) ( 0) = ln 4 ( 0) = ( ln ) π = 8ctg ( ) = ( π ) = = 4/( + e ) ( 0) = + ln ( 0) = 6ln = 9e /( + e ) ( 0) ( 0) π 46 +π = π /sinπ ( ) = ( ) = 47 + = ( π cos( π )) ( 0) = ( 0) π 48 = 9e /( + e ) ( 0) = 4ln 4 ( 0) = (ln 4 ) π 49 + = 4ctg ( ) = ( π ) = = 4/( + e ) ( 0) = + ln ( 0) = 0ln = 4e /( + e ) ( 0) ( 0) = 9/sin ( π / 6) = 4 ( π / 6) = π / = 9/ cos ( 0) = ( 0) 44 = e /( + e ) ( 0) = ln 7 ( 0) = ln = 4ctg ( π / 4) = ( π / 4) = 46 + = /( + e ) ( 0) = + 8ln ( 0) = 4ln = 4e /( + e ) ( 0) ( 0) = 6/sin 4 ( π /8) = ( π /8) = π = 6/ cos4 ( 0) = ( 0) 40 = 4e /( + e ) ( 0) = ln 4 ( 0) = ln / 4 = ctg( / ) / 4 ( π ) = ( π ) = / ЛГЛелевкина ТАШемякина 9 ЛГЛелевкина ТАШемякина 40

21 4 + = /( + e ) ( 0) = + ln ( 0) = 5ln = e /( + e ) ( 0) ( 0) = 4/sin ( π / 4) = ( π / 4) = π = 4/cos ( 0) = ( 0) 46 + = e /( + e ) ( 0) = ln 7 ( 0) = ln = ctg ( π / ) = ( π / ) = 48 + = /( + e ) ( 0) = + ln ( 0) = ln 49 + = e /( + e ) ( 0) ( 0) 40 + = /sin ( π / ) = ( π / ) = π / 4 + = / cos ( 0) = ( 0) 4 Типовой расчет по теме: «Системы линейных дифференциальных уравнений -го порядка» Задача 5 Найти частное решение системы дифференциальных уравнений удовлетворяющих заданным начальным условиям: t d / dt = + + e (0) 5 d / dt = + (0) = d / dt = d / dt = + + t d / dt = + e 5 d / dt = + d / dt = + 54 d / dt = + + e t t (0) = (0) (0) = (0) = (0) = (0) d / dt = 4 t (0) 55 d / dt = + 6 (0) = d / dt = + (0) = 56 d / dt = 5 (0) d / dt = + e 57 d / dt = t (0) (0) = d / dt = + 58 d / dt = d / dt = + e 59 d / dt = (0) = (0) t (0) = (0) d / dt = 6 (0) = 50 d / dt = + (0) d / dt = + (0) = 5 t d / dt = e (0) d / dt = + e 5 d / dt = + t d / dt = + e 5 d / dt = 4 t (0) (0) = (0) (0) = t d / dt = + + e (0) 54 d / dt = + (0) = d / dt = + t (0) 55 d / dt = 4 + (0) = d / dt = (0) = 5 6 t d / dt = e (0) d / dt = + t (0) = 57 d / dt = + (0) d / dt = + sint (0) 58 d / dt = + (0) d / dt = + + cost (0) 59 d / dt = (0) d / dt = + te 50 d / dt = + d / dt = + e 5 d / dt = + t t (0) (0) (0) (0) = ЛГЛелевкина ТАШемякина 4 ЛГЛелевкина ТАШемякина 4

22 d / dt = + e 5 d / dt = + t (0) (0) = d / dt = + t (0) 5 d / dt = + (0) = d / dt = + + t (0) 54 d / dt = + t (0) = d / dt = + sint (0) 55 d / dt = + (0) d / dt = + + (0) = 56 d / dt = + (0) = d / dt = + (0) 57 d / dt = + + (0) = d / dt = 4 + e 58 d / dt = + d / dt = d / dt = + d / dt = e 50 d / dt = + d / dt = e 5 d / dt = + 8 t t t (0) = (0) = (0) = (0) = (0) (0) = (0) (0) = Литература Тихонов АН Васильева АБ Свешников АГ Дифференциальные уравнения Учебн М: Наука 985 с Петровский ИГ Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений Учебн М: Изд-во Москов ун-та с Картошов АП Рождественский БЛ Обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационные исчисления Учеб пособие М: с 4 Смирнов ВИ Курс высшей математики Учебн Т 4 М: Наука 98 5 с ЛГЛелевкина ТАШемякина 4 5 Эльсгольц ЛЭ Дифференциальные уравнения и вариационные исчисления Учебн М: Наука с 6 Пискунов НС Дифференциальное и интегральное исчисления М: Наука Т 97 7 с 7 Минорский ВП Сборник задач по высшей математике М: Наука с 8 Сборник задач по математике для втузов Ч /Под ред Ефимова АВ Демидовича БП М: Наука с 9 Берман ГН Сборник задач по курсу математического анализа М: Наука с 0 Филиппов АФ Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям М: Наука 97 8 с Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (Типовые расчеты): Учебное пособие для втузов М: Высш школа с Камке Э Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям М: Наука с Лелевкина ЛГ Шемякина ТА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие по математическому анализу Редактор ИС Волоскова Технический редактор ЭК Гаврина Корректор ОА Матвеева Компьютерная верстка ДР Зайнулина Подписано к печати 00 Формат 60х84 / 6 Офсетная печать Объем 75 пл Тираж 50 экз Заказ Издательство Кыргызско-Российского Славянского университета Бишкек Киевская 44 Отпечатано в типографии КРСУ Бишкек Шопокова 68 ЛГЛелевкина ТАШемякина 44


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y +, ) Найти решение ДУ ( ) удовлетворяющее начальным условиям,. Данное уравнение не содержит в явном виде независимой переменной x ; интегрируем его методом понижения порядка. Суть метода заключается в

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова. Метод Коши для линейного неоднородного уравнения. учебно-методическая разработка

О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова. Метод Коши для линейного неоднородного уравнения. учебно-методическая разработка Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение ( n ) ( n) F (, y,,, y, y ) = 0, () где

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 6 часов. Во втором семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Методические указания к самостоятельной подготовке за второй семестр по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 09 Содержание.

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова. Учебно-методическая разработка

О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова. Учебно-методическая разработка Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О А Кононова, Н И Ильинкова, Н К Филиппова Линейные

Подробнее

Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия.

Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. Практическая работа 8 Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. 1 Дифференциальные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://elibrarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

9 Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) 0, то уравнение неоднородное

9 Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) 0, то уравнение неоднородное Практическая работа 19 Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Цель работы: закрепить навыки решения дифференциальных уравнений первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. 1 Дифференциальные

Подробнее

О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова. Метод Лагранжа для линейного неоднородного уравнения. учебно-методическая разработка

О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова. Метод Лагранжа для линейного неоднородного уравнения. учебно-методическая разработка Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее