КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ"

Транскрипт

1 КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

2 Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует программе по курсу «Математический анализ» экзамен по которому предусмотрены в большинстве высших учебных заведений России Программа помогает быстро и без лишних трудностей найти необходимый ответ на поставленный вопрос Вопросы составлены автором на основе личного опыта с учетом требований преподавателей

3 ЛЕКЦИЯ Математический анализ функций одной переменной Множества Понятие множества относится к числу первоначальных понятий которые не определяются через другие более простые Вместо слова «множество» иногда говорят «совокупность некоторых предметов объединенных по какому-нибудь признаку» Объекты из которых состоит множество называют его элементами или точками Множества часто обозначают большими а их элементы малыми буквами Если элемент множества X то пишут X точка принадлежит множеству X Если не является элементом множества X то пишут X не принадлежит X Если множество X состоит из элементов 3 записывают X{ 3 } Пусть X и Y два множества Если X и Y состоят из одних и тех же элементов то пишут X Y Если в Х нет элементов не принадлежащих Y то пишут что X Если X не содержится в Y то пишут X В математике часто используется пустое множество Оно не содержит ни одного элемента и обозначается символом O Пустое множество является подмножеством любого множества Множество ; называется числовой прямой а любое число точкой этой прямой Пусть произвольная точка числовой прямой и δ положительное число Интервал δ ; δ называется δ-окрестностью точки Проколотой δ-окрестностью точки называется ее δ-окрестность из которой удалена сама точка Точка называется внутренней точкой множества X если существует δ-окрестность точки в которой содержатся только точки множества X Точка называется граничной точкой множества X если в любой δ-окрестности точки содержатся точки принадлежащие и не принадлежащие множеству X 3

4 Говорят что множество X ограничено сверху снизу если существует такое число c что для любого X выполнено неравенство < c > c Число c в этом случае называется верхней нижней гранью множества X Множество ограниченное и сверху и снизу называется ограниченным Наименьшая наибольшая из верхних нижних граней ограниченного сверху снизу множества называется точной верхней нижней гранью этого множества Теорема о вложенных отрезках Определение Пусть дана последовательность таких отрезков [ ] [ ] [ ] что каждый последующий содержится в предыдущем: [ ] [ ] [ ] т е для всех и пусть lim < < < Такая последовательность называется последовательностью вложенных отрезков Теорема о вложенных отрезках Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка принадлежащая всем отрезкам этой последовательности Доказательство Из неравенства следует что левые концы отрезков образуют неубывающую последовательность 3 а правые концы образуют невозрастающую последовательность 3 3 при этом последовательность ограничена сверху а последовательность 3 ограничена снизу так как < а > для любого Следовательно на основании признака сходимости монотонной последовательности эти последовательности имеют пределы Пусть lim c а lim c Тогда из условия lim lim lim c c 4

5 следует что c c т е последовательности { } и { } имеют общий предел Обозначая этот предел буквой C получаем что для любого справедливы неравенства < c < т е точка c принадлежит всем отрезкам последовательности Докажем теперь что такая точка только одна Допустим что существует еще одна точка c c c принадлежащая всем отрезкам последовательности Тогда для любого должно выполняться неравенство > c c и следовательно lim c c что противоречит условию теоремы Таким образом теорема доказана полностью Замечание Теорема неверна если вместо отрезков рассматривать интервалы Например для последовательности вложенных интервалов / /4 / 4 не существует точки принадлежащей всем интервалам В самом деле какую бы точку C на интервале ни взять всегда найдется такой номер N что при > N будет и следовательно < c точка C не будет принадлежать интервалам последовательности 4 начиная с интервала N 3 Числовые последовательности Определение Если каждому числу из натурального ряда чисел 3 поставлено в соответствие вещественное число то множество вещественных чисел 3 называют числовой последовательностью или просто последовательностью Числа 3 называются элементами или членами последовательности символ общим элементом последовательности а число его номером Сокращенно последовательность обозначается символом { } 5

6 Последовательность задана если указан способ получения любого ее элемента Например формула задает последовательность: Определение Последовательность { } называется ограниченной сверху снизу если существует такое число M число m что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству < M > m Определение 3 Последовательность { } называется ограниченной если она ограничена и сверху и снизу т е существуют числа m и M такие что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству m < < M Определение 4 Последовательность { } называется неограниченной если для любого положительного числа A существует элемент этой последовательности удовлетворяющий неравенству > Aт е > A либо < A Примеры Последовательность 3 ограничена снизу но неограничена сверху Последовательность 3 ограничена сверху но неограничена снизу 3 Последовательность ограничена так как любой 3 элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам: < < m M 4 Последовательность 3 4 б неограниченная В самом деле каково бы ни было число A среди элементов этой последовательности найдутся элементы для которых будет выполняться неравенство Определение 5 Последовательность { } называется бесконечно большой если она становится и остается начиная с некоторого номера N по абсолютной величине больше любого наперед заданного сколь угодно большого положительного числа A Символическая запись определения бесконечно большой последовательности: A> N > N : > A 6

7 ε N > N : < ε > Определение 6 Последовательность { } называется бесконечно малой если она становится и остается начиная с некоторого номера N по абсолютной величине меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа ε Символическая запись определения бесконечно малой последовательности: Теорема Если { } бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля то последовательность бесконечно малая и наоборот если { } бесконечно малая последовательность и то последовательность бесконечно большая Доказательство Пусть { } бесконечно большая последовательность т е ε > N > N : A > A или ε > N > N : A < A т е бесконечно малая Доказательство второй части проводится аналогично 4 Сходящиеся и расходящиеся последовательности Критерий Коши Определение Число называется пределом последовательности { } если для любого ε > существует такой номер N что при > N выполняется неравенство < ε 7

8 С помощью логических символов это определение можно записать в виде: ε > N > N : < ε Последовательность имеющая предел называется сходящейся Если последовательность { } сходится и имеет своим пределом число то символически это записывается так: lim или при Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся Определение Говорят что последовательность { } удовлетворяет условию Коши если для любого ε > существует такой номер N что для всех номеров и m удовлетворяющих условию > N и m > N справедливо неравенство: < ε 3 m Условие 3 можно сформулировать и таким образом: для любого ε > существует такой номер N что для всех номеров > N и всех целых неотрицательных p < ε 4 p Для того чтобы убедиться в равносильности условий 3 и 4 достаточно положить p m если > m и p m если < m Последовательности которые удовлетворяют условию Коши называют также фундаментальными Определение 3 Последовательность { } k подпоследовательность последовательности { } если k N : k N причем k < kk Последовательность { k } обозначается в этом случае так же { k } 8

9 Теорема Больцано Вейерштрасса Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность Теорема критерий Коши Для того чтобы последовательность сходилась необходимо и достаточно чтобы она удовлетворяла условию Коши Доказательство Докажем необходимое условие Пусть последовательность { } сходится и lim Зададим ε > тогда согласно определению предела последовательности существует ε такой номер N что < при > N Пусть теперь > N и m > N тогда N N т е выполняется условие Коши Докажем достаточное условие Пусть последовательность { } удовлетворяет условию Коши т е для любого ε > существует такой номер N что для всех номеров и m удовлетворяющих условию > N и m > N справедливо неравенство m < ε Возьмем ε тогда существует такое N что m < при > N и m > N В частности если > N m N то N < т е < при > N Это и значит что последовательность { } при N N ограничена А это значит что по теореме Больцано-Вейерштрасса существует ее сходящаяся подпоследовательность { } k Пусть lim Покажем что и lim k m < ε m k Зададим некоторое ε > Тогда во-первых по определению последовательности существует такое K что ε ε m k < ε 5 для всех k > K 9

10 Причем согласно определению последовательности неравенство 5 выполняется для всех k > K Во-вторых так как последовательность { } удовлетворяет ε условию Коши то существует такое N что m < для всех > N и всех m > N Положим N ε m{n k } и зафиксируем некоторое k >N ε Тогда для любого k >N ε получим: < k k k k ε ε < ε а это и доказывает что Теорема доказана lim 5 Определение и признак сходимости монотонной последовательности Определение Последовательность { } называется возрастающей если < для всех ; неубывающей если < для всех ; убывающей если > для всех ; невозрастающей если > для всех Все такие последовательности объединяются одним общим названием: монотонные последовательности Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными Примеры Последовательность убывающая и ограниченная 3 Последовательность 3 невозрастающая и ограниченная 3 3 Последовательность 3 возрастающая и неограниченная 4 Последовательность 3 3 неубывающая и неограниченная

11 3 5 Последовательность возрастающая и ограниченная 3 4 Монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны: неубывающие последовательности снизу > для всех невозрастающие сверху < для всех Оказывается что если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон т е просто ограничена то она сходится Немонотонные последовательности этим свойством не обладают Например немонотонная последовательность { } ограничена но не сходится Определение Верхняя нижняя грань множества значений элементов последовательности { } называется верхней нижней гранью этой последовательности и обозначается sup{ } или sup и соответственно i{ } или i Если верхняя нижняя грань является числом то это определение можно сформулировать следующим образом Число является верхним нижним пределом последовательности { } при если: < соответственно > для всех ; для любого ε > существует такой номер ε что > ε ε соответственно > ε ε Теорема Всякая ограниченная сверху снизу монотонно возрастающая монотонно убывающая последовательность имеет предел причем lim sup{} соответственно lim i{ } lim i{ } Доказательство Пусть последовательность { } монотонно возрастает и ограничена сверху В силу последнего условия она имеет конечную верхнюю грань sup{ } Покажем что lim ε зафиксируем произвольное ε > Из того что sup{ } следует что < для всех номеров и существует такой номер ε что > ε Тогда в силу монотонности заданной последовательности для всех номеров > ε имеем ε > ε

12 Поэтому ε < для всех > ε что и означает что lim ε Теорема доказана полностью Аналогично доказывается существование предела для ограниченной снизу монотонно убывающей последовательности Следствие Для того чтобы монотонно возрастающая последовательность сходилась необходимо и достаточно чтобы она была ограничена сверху Аналогичное утверждение справедливо для монотонно убывающей последовательности

13 ЛЕКЦИЯ Функции одной переменной Функции ε > ε Пусть X {} и Y {} два числовых множества Определение Если каждому значению X по некоторому правилу закону поставлено в соответствие одно определенное число из множества Y то говорят что на множестве X задана функция Множество X называется областью определения функции а множество Y Y всех ее значений областью изменения функции Переменная называется независимой переменной или аргументом а переменная зависимой переменной Наряду с термином «функция» используют однозначный термин «отображение» а вместо записи пишут : Способы задания функции Задать функцию значит указать как по каждому значению аргумента находить соответствующее ему значение Существует три основных способа задания функций: аналитический табличный и графический Аналитический способ Если функция определена одной или несколькими формулами на различных промежутках изменения аргумента то говорят что функция задана аналитическим способом При таком задании функции в формулах указывается какие операции действия и в каком порядке надо произвести над значением и постоянными величинами чтобы получить соответствующее значение Табличный способ Функцию можно задать с помощью таблицы содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции С помощью таблицы можно задать функцию только при конечном числе значений аргумента Таблицы часто используют для задания функций Так хорошо известны например таблицы тригонометрических функций таблицы логарифмов и многие другие 3

14 3 Графический способ Графиком функции называется множество точек плоскости прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению Функция называется заданной графически если построен ее график Такой способ задания функции дает возможность определять значение функции только приближенно так как построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями Из трех рассмотренных способов задания функции основным является аналитический способ Классификация функций Постоянная функция C C cost степенная функция α α любое число показательная функция < логарифмическая функция log < > тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции называются простейшими элементарными функциями Все функции получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями а также суперпозицией или наложением этих функций составляют класс элементарных функций Имеет место следующая классификация элементарных функций Функция вида P m m где m > целое число; коэффициенты m любые числа называется целой рациональной функцией или алгебраическим многочленом степени m Многочлен первой степени называется также линейной функцией Функция представляющая собой отношение двух целых рациональных функций R m m m m m m называется дробно-рациональной функцией Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных функций образует класс рациональных функций 3 Функция полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми так и с дробными показателями и не являющаяся рациональной называется иррациональной функцией 4

15 Например / Всякая функция не являющаяся рациональной или иррациональной называется трансцендентной функцией например si si и т д Предел функции Пусть функция определена на некотором множестве X и пусть точка X или X Возьмем из X последовательность точек отличных от : сходящуюся к Значения функции в точках этой последовательности тоже образуют последовательность: 3 и можно ставить вопрос о существовании ее предела Определение предела по Гейне Число A называется пределом функции в точке или при если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента отличных от соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A Символически это записывается так: lim A Из этого определения следует что функция в данной точке может иметь лишь одно значение предела Определение предела по Коши Число A называется пределом функции в точке если для любого числа ε > существует такое число δ > что для всех X удовлетворяющих неравенству < δ выполняется неравенство A < ε Определение частичного предела Число A называется правым левым пределом функции в точке если для любой сходя- 5

16 щейся к последовательности элементы которой больше меньше соответствующая последовательность сходится к A Символическая запись: lim A lim A Пределы слева и справа функции также называются односторонними Теорема Функция имеет в точке предел тогда и только тогда когда в этой точке существуют как правый так и левый пределы и они равны В этом случае их общее значение и является двусторонним пределом функции в точке Теорема Пусть функции g и h определены в некоторой окрестности точки и функции h имеют в точке предел равный А т е lim lim h Пусть кроме того выполняются неравенства < g < h Тогда lim g Доказательство Пусть { } произвольная сходящаяся к последовательность значений аргумента функций и h Соответствующие последовательности { } и {h } значений этих функций имеют предел равный A т е A h A при Используя неравенства данные в условии теоремы можно записать: < g < h Отсюда по теореме о предельном переходе в неравенствах следует что g A Согласно определению предела функции это означает что lim g A A A Теорема полностью доказана 6

17 3 Два замечательных предела si Первый замечательный предел Докажем что lim M T O K A Рис Рассмотрим дугу окружности радиуса R с центральным π углом радианная мера которого равна < < Точка O центр окружности прямые OM и OA образуют стороны угла точки M и A лежат на единичной окружности MK перпендикуляр опущенный из точки M на прямую OA точка T принадлежит прямой OM и лежит за пределами окружности рис Тогда OA si MK tg AT Очевидно что площадь треугольника OAM меньше площади сектора OAM которая меньше площади треугольника OAT или что то же самое OA MK < OA AM < OA AT Принимая во внимание равенства последнее соотношение можно записать в виде / si < / < / tg откуда получаем: si < < tg Разделив эти неравенства на si получим > si / > cos откуда находим: > si / > cos Так как si/ < то si / < si/ Поэтому учитывая первое неравенство для всех удовлетворяющих неравенствам < < π / получаем cos si / < si/ < / Итак при < < π / > si / > 7

18 Возьмем любое ε > и положим δ mi ε π / Тогда для всех удовлетворяющих неравенствам < < δ будет выполняться неравенство < ε поэтому < si / < ε откуда si / < ε si Это означает что является правым пределом функции в точке т е si Заметим теперь что функция четная так как si si Поэтому и левый предел функции si lim si в точке равен а значит { } si lim Второй замечательный предел Докажем что lim Как известно lim Пусть > Положим []; тогда α где натуральное число а α удовлетворяет условию < α < Так как < < / < < / то / < / < / 8

19 При lim / lim / lim / e e и lim / Отсюда по теореме о двух пределах получаем lim e lim / lim / e e Пусть теперь < ; положим Тогда lim lim lim lim lim e e Объединяя два случая окончательно имеем: lim e 4 Критерий Коши существования предела функции Определение Пусть функция х определена в некоторой окрестности точки а кроме быть может х а Будем говорить что х при удовлетворяет условию Коши если для любого числа ε > существует такое число δε > что х х < ε для любых < δ < δ и 9

20 Теорема критерий Коши Для того чтобы функция имела конечный предел при где либо число либо один из символов необходимо и достаточно чтобы оно удовлетворяло условию Коши при Доказательство Необходимость Пусть lim где A число Это означает что для любого ε > существует такое чиcло δ ε что < δ при верно A < ε > Пусть < δ < δ при тогда в силу предыдущего неравенства т е условие Коши выполняется Достаточность Пусть последовательность { } такая что lim и 3 A A A ε ε A < ε Покажем что последовательность { } при 3 сходится Пусть фиксировано ε > Согласно условию Коши существует такое δ ε > что для всех < δ < δ и выполняется неравенство < ε A В силу того что lim 3 для окрестности существует такой номер что < δ при > поэтому ε при любых > и m > < δ и m < δ а следовательно получаем х х < ε т е последовательность { } удовлетворяет условию Коши для последовательностей и поэтому B сходится к некоторому числу B lim ε ε ε

21 Покажем теперь что lim какова бы ни была другая такая последовательность { } что lim 3 B Действительно образуем новую последовательность: если k k если k k Очевидно что lim для всех 3 Поэтому по доказанному существует а так как предел любой сходящейся последовательности совпадает с пределом ее подпоследовательности то lim lim lim Таким образом согласно определению предела функции lim B Критерий Коши доказан 5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции Бесконечно малые функции Определение Функция называется бесконечно малой в точке или при если lim Определение Функция называется бесконечно малой в точке если для любого ε > существует такое δ > что для всех X удовлетворяющих неравенству < δ выполняется равенство < ε Теорема Для выполнения равенства необходимо и достаточно чтобы функция α A была бесконечно малой при Доказательство Необходимость Пусть lim A Рассмот- рим разность α A и покажем что α бесконечно ма- lim lim A

22 лая функция при Действительно пределы каждой из функций и A при равны A поэтому верно следующее: lim α Достаточность Пусть α A где α бесконечно малая функция при Покажем что lim Так как A α то lim lim [ A] lim [ α A] A A A A Теорема доказана Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами что и бесконечно малые последовательности Справедлива следующая теорема Теорема Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при а также произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции являются бесконечно малыми функциями при Все сказанное о бесконечно малых функциях при справедливо и для бесконечно малых функций при Бесконечно большие функции Определение 3 Функция называется бесконечно большой в точке если для любого ε > существует такое δ > что для всех X удовлетворяющих неравенству < δ выполняется неравенство < ε В этом случае пишут: lim и говорят что функция lim α lim стремится к бесконечности при или что она имеет предел в точке Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций Пусть при функции αиβ являются бесконечно малыми Тогда: α если lim то α бесконечно малая более высокого порядка чем β говорят также что α имеет более β высокий порядок малости чем β при ; lim lim A A A

23 α если lim A A число то α и β бесконечно малые одного порядка; β α 3 если lim то α и β эквивалентные бесконечно малые Эквивалентность обозначается так: α β β В некоторых случаях недостаточно знать что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка чем другая Нужно еще оценить как высок этот порядок Поэтому вводится следующее правило; α 4 если lim A то α бесконечно малая -го β порядка относительно β Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения Рассмотрим несколько примеров Функции α / и β / являются при эквивалентными бесконечно большими так как α lim lim β В этом случае говорят также что α и β имеют одинаковый порядок роста при Функция α 4 является при бесконечно большой более низкого порядка чем β 3 имеет менее высокий порядок роста так как α lim lim β / lim / lim 3 Бесконечно большие при функции α и β 3 имеют одинаковый порядок роста так как lim / lim / 3

24 4 Функция α 4 является при бесконечно большой второго порядка по отношению к бесконечно большой β так как 4 lim lim 6 Непрерывность в точке 4 4 / lim / / / Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Определение Функция называется непрерывной в точке если предел функции и ее значение в этой точке равны т е lim Определение Функция называется непрерывной в точке если для любого ε > существует такое δ > что для всех удовлетворяющих неравенству < δ выполняется неравенство: < ε Теорема об устойчивости знака непрерывной функции Пусть функция непрерывна в точке и Тогда существует такое δ > что для всех δ δ функция имеет тот же знак что и Доказательство Пусть > Тогда в силу второго определения непрерывности функции для любого ε > существует такое δ > что неравенство < ε выполняется для всех удовлетворяющих условию < δ или что то же самое выполняются неравенства: ε < < ε для всех δ δ Возьмем ε Тогда из левого неравенства получаем > для всех δ δ что и требовалось доказать Если же < то рассмотрим функцию Так как > то по доказанному существует δ -окрестность точки в которой > и следовательно < Теорема доказано полностью Определение 3 Точка называется точкой разрыва функции если в точке не является непрерывной Разрывы функций классифицируются следующим образом

25 Разрыв первого рода Точка называется точкой разрыва первого рода функции если в этой точке функция имеет конечные но не равные друг другу правый и левый пределы: lim lim Пример Для функции sg точка является точкой разрыва первого рода так как lim sg lim sg Разрыв второго рода Точка называется точкой разрыва второго рода функции если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности Пример Для функции точка является точкой разрыва второго рода так как lim / lim / Устранимый разрыв Точка называется устранимой точкой разрыва функции если в этой точке lim lim Пример Для функции точка является точкой устранимого разрыва так как si lim si lim 5 si

26 Сложная функция Определение 4 Если на некотором промежутке X определена функция z ϕ с множеством значений Z а на множестве значений z определена функция [ ϕ ] то функция называется сложной функцией от а переменная z промежуточной переменной сложной функции Пример Функция si сложная функция определенная на всей числовой прямой так как z si z z ϕ Теорема о непрерывности сложной функции Пусть функция z ϕ непрерывна в точке а функция z непрерывна в точке z ϕ Тогда сложная функция [ ϕ ] непрерывна в точке Доказательство Возьмем из X любую последовательность точек 3 сходящуюся к точке Тогда в силу непрерывности функции z ϕ в точке имеем lim z lim ϕ ϕ z т е соответствующая последовательность точек z z z 3 z сходится к точке z В силу же непрерывности функции z в точке z получаем lim z z т е lim [ ϕ ] [ ϕ ] Следовательно предел функции [ ϕ ] в точке равен ее значению в этой точке что и доказывает непрерывность сложной функции [ ϕ ] в точке Теорема доказана Определение 5 Пусть функция определена на полуинтервале ] на полуинтервале [ и ] [ Функция называется непрерывной слева справа в точке если lim если lim 7 Непрерывность на промежутке Определение Функция определенная на отрезке [ ] и непрерывная в каждой его точке называется функцией непрерывной на отрезке 6

27 При этом под «непрерывностью в точке» понимается непрерывность справа а под «непрерывностью в точке» непрерывность слева Теорема первая теорема Больцано Коши Пусть функция непрерывна на отрезке [ ] и на концах отрезка имеет значения разных знаков Тогда существует точка c в которой c Теорема вторая теорема Больцано Коши Пусть функция непрерывна на отрезке [ ] причем A B Далее пусть C любое число заключенное между A и B Тогда на отрезке [ ] найдется такая точка C что c C Другими словами непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения Теорема первая теорема Вейерштрасса Если функция определена и непрерывна на отрезке [ ] то она является ограниченной на этом отрезке Предварительно докажем следующую лемму Лемма Функция непрерывная в точке является ограниченной в некоторой ее окрестности Доказательство Пусть ε ; тогда согласно второму определению непрерывности в точке для данного ε существует такое δ > что для всех δ δ выполняется неравенство: < Используя это неравенство получаем: < т е < M где M Отсюда заключаем что функция ограниченна в δ -окрестности точки Доказательство теоремы Предположим обратное т е допустим что функция является неограниченной на отрезке [ ] Разделим отрезок [ ] пополам тогда по крайней мере на одном из двух полученных отрезков функция неограниченна в противном случае она была бы ограниченна на [ ] Обозначим этот отрезок через [ ] Разделим отрезок [ ] пополам и обозначим через [ ] тот отрезок на котором функция неограниченна Продолжая этот процесс неограниченно получаем по 7

28 следовательность [ ] [ ] [ ] [ ] вложенных отрезков на каждом из которых неограниченна причем По теореме о вложенных отрезках существует точка C принадлежащая всем отрезкам Функция по условию определена и непрерывна в точке C следовательно согласно доказанной лемме в некоторой окрестности точки C она является ограниченной При достаточно большом в эту окрестность попадает отрезок [ ] на котором функция также ограниченна Но это противоречит тому что является неограниченной на каждом из вложенных отрезков Полученное противоречие доказывает теорему Теорема вторая теорема Вейерштрасса Если функция непрерывна на отрезке [ ] то она достигает на этом отрезке своих точных граней т е существуют такие точки [ ] что M sup m sup [ ] [ ] Доказательство Так как функция непрерывна на отрезке [ ] то по предыдущей теореме она ограниченна на этом отрезке Следовательно существует точная верхняя M и точная нижняя m грани функции на отрезке [ ] Покажем что функция достигает M т е существует такая точка [ ] что M Будем рассуждать от противного Пусть функция не принимает ни в одной точке [ ] значения равного M Тогда для всех [ ] справедливо неравенство < M Рассмотрим на отрезке [ ] вспомогательную повсюду положительную функцию F M Функция F непрерывна как частное двух непрерывных функций В этом случае согласно предыдущей теореме функция 8

29 F является ограниченной т е найдется положительное число μ такое что для всех [ ] откуда F M μ M μ Таким образом число M μ меньшее чем M является верхней гранью на отрезке [ ] Но это противоречит тому что число M является точной верхней т е наименьшей верхней гранью функции на отрезке [ ] Это противоречие и доказывает что существует точка [ ] что M Аналогично доказывается что функция достигает на отрезке [ ] своей точной нижней грани m К числу других свойств функции непрерывной на отрезке относится очень важное свойство называемое равномерной непрерывностью Пусть функция непрерывная на некотором промежутке X и пусть X Так как функция непрерывна в точке то согласно второму определению непрерывности для любого ε > существует такое δ > что < ε при < δ Ясно что δ зависит от ε но δ зависит также и от При изменении в пределах рассматриваемого промежутка при постоянном ε число δ будет различным для разных Возникает вопрос существуют ли непрерывные функции определенные на некоторых промежутках для которых по любому ε > находилось бы δ > не зависящее от т е δ было бы общим для всех из рассматриваемого промежутка Это приводит к понятию равномерной непрерывной функции Определение Функция называется равномерно-непрерывной на промежутке X если для любого ε > существует такое δ > что для любых двух точек X удовлетворяющих неравенству < δ выполняется неравенство: < ε Из определения следует что равномерно-непрерывная функция на X является непрерывной на этом промежутке 9

30 Теорема Кантора Если функция непрерывна на отрезке [ ] значит она равномерно-непрерывна на этом отрезке Замечание Теорема неверна если отрезок [ ] заменить интервалом или полуинтервалом Функция определенная на числовом множестве E называется строго монотонно возрастающей убывающей если для таких любых двух чисел E что < выполняется неравенство < соответственно > Определение 3 Пусть X и Y некоторые множества и пусть задана функция т е множество пар чисел X Y в котором каждое число входит в одну и только одну пару а каждое число по крайней мере в одну пару Если в каждой паре этого множества числа и поменять местами то получим множество пар чисел которое называется обратной функцией к функции Обратную функцию будем обозначать символом ϕ Теорема о непрерывности обратной функции Пусть функция определена строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке X и пусть Y множество ее значений Тогда на множестве Y обратная функция ϕ однозначна строго монотонна и непрерывна 8 Производная и дифференциал Определение Пусть функция определена в промежутке X возьмем точку X и дадим аргументу этой точки приращение X получим приращение функции Разделим приращение функции на приращение аргумента и перейдем к пределу при : lim lim Если предел существует то он называется производной данной функции в точке и обозначается Если для некоторого значения существует бесконечный предел то говорят что при существует бесконечная производная Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции 3

31 Определение Правой левой производной функции в точке называется правый левый предел отношения при при условии что этот предел существует Теорема Пусть функции и g имеют производные в точке Тогда функции g g 3 g 4 при g также имеют производные в точке которые выражаются следующим образом: 3 g g g 4 g g g g g g g g Теорема Пусть функция имеет производную в точке а функция z F имеет производную в точке тогда функция GF имеет производную при равную: G F Определение 3 Функция определенная в некоторой окрестности точки называется дифференцируемой в точке если ее приращение в этой точке можно представить в виде A α где A некоторое число не зависящее от ; α функция аргумента являющаяся бесконечно малой при т е lim α Свойства дифференцируемых функций Теорема 3 Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке необходимо и достаточно чтобы она имела в этой точке конечную производную Теорема 4 Если функция дифференцируема в данной точке то она и непрерывна в этой точке Определение 4 Дифференциалом функции в точке называется главная линейная относительно часть приращения функции в этой точке и обозначается d или d т е d A 3

32 Следствие из теоремы Теорема переносится и на дифференциалы функций при условии их дифференцируемости в точке : d g d dg d g d dg d g g d dg d g g d dg g Следствие из теоремы инвариантность дифференциала Произведение производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной не зависит от того является эта переменная независимой переменной или функцией dz F d G d Теорема Ферма Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке c принимает наибольшее наименьшее значение Если в точке c существует конечная производная то она равна нулю Теорема Ролля Если функция : непрерывна на отрезке [ ]; имеет конечную производную хотя бы на интервале ; 3 на концах отрезка принимает равные значения т е то в интервале найдется по крайней мере одна точка c в которой c Доказательство Непрерывная на отрезке [ ] функция принимает на нем наибольшее M и наименьшее m значения m < < M Рассмотрим два случая Пусть M m Отсюда при любых значениях [ ] m т е cost на отрезке [ ] Следовательно на этом отрезке Поэтому в качестве точки c в которой производная функции будет равна нулю можно взять любую точку лежащую между и Пусть M > m тогда функция на концах отрезка оба значения принимать не может так как по условию теоремы значения функции на концах отрезка [ ] равные Следовательно хотя бы 3

33 одно из значений m или M функция принимает внутри отрезка в некоторой точке c лежащей между и Например пусть в точке c функция имеет наибольшее значение c M Таким образом функция m в точке c принимает наибольшее наименьшее значение и в этой точке по условию существует конечная производная c следовательно по теореме Ферма c Теорема доказана полностью Теорема Лагранжа Если функция непрерывна на отрезке [ ] и имеет конечную производную хотя бы в интервале то в этом интервале найдется по крайней мере одна такая точка c что c < c < 3 Доказательство Введем вспомогательную функцию определив ее равенством: ϕ ϕ 4 Рассмотрим ее свойства Функция ϕ непрерывна на отрезке [ ] как алгебраическая сумма непрерывных функций Действительно функция непрерывна по условию а функция есть линейная функция вида A B поэтому она непрерывна Функция имеет конечную производную хотя бы в интервале найдем ее: ϕ 5 3 На концах отрезка функция принимает равные значения Действительно если подставим в равенство 4 и то получим ϕ ϕ Таким образом вспомогательная функция ϕ удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля следовательно в интервале 33

34 существует по крайней мере одна точка c в которой производная функции ϕ c Подставим в равенство 5 c получим: отсюда c c < c < Теорема доказана Теорема Коши Если функции и g: непрерывны на отрезке [ ]; имеет производные в каждой точке интервала ; 3 g Тогда существует точка c c такая что g g c g c 9 Производные и дифференциалы высших порядков Назовем производной первого порядка функции Определение Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка или второй производной этой функции Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и т д Производные начиная со второй называются производными высших порядков Вспоминая определение производной определение -ой производной в точке можно записать в виде предела: lim 3 Отметим: когда говорится что функция имеет в точке производную порядка т е существует то отсюда следует 34

35 в силу определения производной что в некоторой окрестности точки у функции существуют все производные низших порядков k < в частности сама функция определена в некоторой окрестности точки Определение Функция называется раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке если на этом промежутке существует производная порядка функции и эта производная непрерывна Формула Лейбница Пусть uv где u и v некоторые функции от переменной имеющие производные любого порядка Тогда u v uv u v u v uv u v u v u v uv Правые части равенств похожи на разложения различных степеней бинома u v по формуле Ньютона вместо показателей степени стоят числа определяющие порядок производных а сами u и v для полной аналогии с формулой Ньютона нужно рассматривать как производные нулевого порядка: u и v Учитывая это запишем общий вид -й производной произведения двух функций: uv u v u v u v! k k k k! u v uv Эта формула называется формулой Лейбница Рассмотрим дифференциалы высших порядков Для удобства будем наряду с обозначениями дифференциалов символами d и d использовать обозначения δ и δ Определение Пусть функция дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка тогда ее дифференциал d d который назовем дифференциалом первого порядка является функцией двух переменных аргумента и его дифференциала d Пусть функция в свою очередь дифференци- 35

36 руема в некоторой точке Будем рассматривать d в выражении для d как постоянный множитель Тогда функция d представляет собой функцию только аргумента а ее дифференциал в точке имеет вид: δ d δ[ d][ d] δ dδ Дифференциал δd от дифференциала d в точке взятый при δ d называется дифференциалом второго порядка функции в точке и обозначается d т е d d В свою очередь дифференциал δd от дифференциала d взятый при δ d называется дифференциалом третьего порядка функции и обозначается d 3 и т д Дифференциал δd - от дифференциала d - взятый при δ d называется дифференциалом -го порядка функции и обозначается d Докажем что для -го дифференциала функции справедлива формула: d d 3 Доказательство проведем по индукции Для и формула доказана Пусть она верна для дифференциалов порядка : d - - d - а функция - в свою очередь дифференцируема в некоторой точке Тогда d δ d [ d δ[ ] δ d ] δ d Полагая δ d получаем d δ d δ d d что и требовалось доказать 36

37 Признаки монотонности экстремумы максимумы минимумы выпуклость вогнутость и точки перегиба Асимптоты графика функции Определение Функция называется монотонно возрастаю-щей убывающей на некотором множестве X если для любой пары чисел и принадлежащих этому множеству из неравенства < следует < > Теорема Пусть функция непрерывна на интервале и имеет на нем конечную производную тогда: если производная > на интервале то функция возрастает в этом интервале; если производная < на интервале то функция убывает в этом интервале Доказательство Для случая возьмем на интервале любые два значения и < и применим теорему Лагранжа получим: c < c < Так как > и по условию c > c то > т е < Это и означает что функция возрастает на интервале Для случая теорема доказывается аналогично Теорема Пусть функция в точке имеет производную Если > то функция в точке возрастает если < то функция в точке убывает Доказательство По определению производной имеем: lim Если то для достаточно близких к значений будет выполняться равенство: > Отсюда следует что если < то < и если > то > т е функция в точке возрастает Аналогич- 37

38 ными рассуждениями доказывается что если < то в точке убывает Теорема доказана Определение Говорят что функция имеет в точке максимум если в некоторой окрестности этой точки при выполняется неравенство: < Функция имеет в точке минимум если в некоторой окрестности этой точки при выполняется неравенство: > Таким образом поведение функции рассматривается в окрестности точки и при выполнении условия говорят что функция в точке имеет локальный местный максимум а при выполнении локальный минимум Максимум и минимум функции называются экстремумами функции Точка в которой функция имеет минимум или максимум называется точкой экстремума функции Теорема необходимое условие экстремума Если функция в точке имеет экстремум и в этой точке существует конечная производная то она равна нулю Доказательство По условию функция в точке имеет максимум минимум т е на интервале ε ε в точке функция принимает наибольшее наименьшее значение и в этой точке существует конечная производная следовательно по теореме Ферма Теорема доказана Достаточные условия экстремума Первое правило Если при переходе слева направо через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус то в точке функция имеет максимум; если с минуса на плюс то минимум; если знака не меняет то экстремума нет Второе правило Пусть есть стационарная точка функции т е и существует вторая производная в этой точке тогда: если вторая производная > то в точке функция имеет минимум; 38

39 если < то максимум; 3 если то вопрос остается открытым и для его решения надо применить первое правило Доказательство Пусть > тогда в точке есть функция возрастающая по теореме т е если < то < если > то > Итак при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс следовательно в точке функция имеет минимум Пусть < тогда в точке есть функция убывающая т е в окрестности точки выполняются условия: если < то > если > то < Производная меняет знак с плюса на минус значит в точке функция имеет максимум Определение 3 Кривая обращена вогнутостью вверх вогнутость на интервале если все точки кривой лежат выше ее касательной на этом интервале Кривая обращена вогнутостью вниз выпуклость на интервале если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале Определение 4 Точка M называется точкой перегиба если в некоторой окрестности точки при < вогнутость кривой направлена в одну сторону а при > в другую сторону Иначе говоря точка M отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой называется точкой перегиба Заметим что кривая пересекает касательную в точке перегиба и переходит с одной ее стороны на другую Теорема Если функция на интервале имеет вторую производную > то кривая вогнута Теорема Если функция на интервале имеет вторую производную < то кривая выпукла Теорема 3 Если при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак то точка M есть точка перегиба кривой Доказательство Если вторая производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус то на кривой совершается переход от точек вогнутости к точкам выпуклости и наоборот если вторая производная меняет знак с минуса на плюс то на кривой переходим от точек выпуклости к точкам вогнутости Следовательно точка M есть точка перегиба графика функции 39

40 Горизонтальные асимптоты Если расстояние от точки M кривой до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки M от начала координат вправо или влево то прямая есть горизонтальная асимптота этой кривой Если d при то Итак чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции надо отыскать пределы: Если пределы 3 конечные и различные то прямые и будут горизонтальными асимптотами Может оказаться что только один из этих двух пределов конечен тогда будет одна горизонтальная асимптота Если же конечных пределов 3 нет то нет и горизонтальных асимптот Вертикальные асимптоты Если при слева или справа расстояние d от точки M кривой до прямой стремится к нулю а точка M неограниченно удаляется от начала координат вверх или вниз то прямая есть вертикальная асимптота этой кривой Следовательно если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке равен бесконечности: lim и lim 3 lim и lim 4 то прямая есть вертикальная асимптота графика этой функции Очевидно что если выполняется хотя бы один из односторонних пределов 4 то точка является точкой разрыва функции второго рода Наклонные асимптоты Прямая k называется наклонной асимптотой графика функции при если: некоторый луч целиком принадлежит D lim k lim k [ ] [ ] 4

41 Неопределенности вида и Правило Лопиталя Раскрытие неопределенностей вида Будем говорить что отношение двух функций при g есть неопределенность вида если lim lim g Раскрыть эту неопределенность значит вычислить lim g если он существует или установить что он не существует Следующая теорема устанавливает правило для раскрытия неопределенности вида Теорема Лопиталя Пусть функции и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки за исключением быть может самой точки Пусть далее l im lim g и g в указанной окрестности точки Тогда если существует предел отношения производных lim конечный или беско- g нечный то существует и предел формула: lim g причем справедлива g Доказательство Пусть { } произвольная последовательность значений аргумента сходящаяся к точке причем а Доопределим функции и g в точке положив их равными нулю т е g Тогда очевидно функции и g непрерывны на отрезке [ ] дифференцируемы на интервале и по условию g Таким образом для и g выполнены все условия теоремы Коши на [ ] т е внутри [ ] существует такая точка что ξ lim lim g g g ξ ξ g ξ 4

42 По доопределению g следовательно g ξ ξ g ξ Пусть теперь в формуле Тогда очевидно что ξ при Так как lim существует то правая часть форму- g лы имеет при предел равный lim Следовательно при существует предел и левой части формулы g причем lim g lim g Так как { } произвольная последовательность значений аргумента сходящаяся к точке то отсюда заключаем что lim g существует и lim g lim g Теорема доказана полностью Доказанную теорему обычно называют правилом Лопиталя Замечание Теорема остается верной и в случае когда Замечание Если производные и g удовлетворяют тем же требованиям что и сами функции и g то правило Лопиталя можно применить повторно При этом получаем: lim g lim g lim g 4

43 Рассмотрим примеры cos si si lim lim lim e e lim lim lim e Раскрытие неопределенности вида Будем говорить что отношение двух функций при есть неопределенность g вида если lim lim g или Для этой неопределенности справедливо утверждение аналогичное предыдущей теореме а именно: если в формулировке теоремы заменить требование l im lim g условием lim lim Рассмотрим примеры Формула Тейлора g то теорема останется справедливой l / im lim lim! l im lim lim lim e e e e Теорема Тейлора Пусть функция имеет в точке и некоторой ее окрестности производные порядка Пусть любое значение аргумента из указанной окрестности Тогда между точками и найдется такая точка ξ что справедлива следующая формула: l!! ξ!! 43

44 Доказательство Обозначим через ϕ многочлен относительно степени стоящий в правой части формулы т е положим!!! Он называется многочленом Тейлора степени для функции Далее обозначим через R разность: R ϕ Теорема будет доказана если установить что R ξ < ξ <! Фиксируем любое значение из указанной окрестности Для определенности считаем > Обозначим через t переменную величину изменяющуюся на отрезке [ ] и рассмотрим на отрезке вспомогательную функцию F t t R ϕ t Функция Ft удовлетворяет на отрезке [ ] всем условиям теоремы Ролля: из формулы и из условий наложенных на функцию вытекает что Ft непрерывна и дифференцируема на [ ] так как t и ее производные до порядка непрерывны и дифференцируемы на [ ]; полагая в t имеем: F ϕ R R R 44

45 Полагая в t получаем: Таким образом условие F F выполнено На основании теоремы Ролля внутри отрезка [ ] существует такая точка что Вычислим производную F t Дифференцируя равенство по t получаем: Нетрудно заметить что все члены в правой части равенства за исключением двух последних взаимно уничтожаются Таким образом Полагая в 4 t и используя равенство 3 получаем: R! F ξ ξ ξ ξ ξ 4! R t t t t F!!!!! R t t t t t t t t t t t t F 3 F ξ ξ!!! R F 45

46 откуда R ξ < ξ <! Теорема полностью доказана Формула называется формулой Тейлора а выражение для R остаточным членом в форме Лагранжа Формула Маклорена Формула Маклорена получается из формулы Тейлора при : R!!! Существуют различные формы остаточного члена в формуле Тейлора например: R O остаточный член в форме Пеано < θ < остаточный член в форме Коши Пример Запишем многочлен Тейлора при для функции e Производные любого порядка для этой функции совпадают с самой функцией e Поэтому формула Тейлора для функции e с остатком в форме Лагранжа имеет следующий вид: e [ θ ] R θ! R!! θ R e < θ <! Если положить то получим приближенное выражение для e: e!! 46

47 Остаточный член можно оценить следующим образом: R 3 e <!! Пример Запишем многочлен Тейлора при для функции si π π si si Значит формула Тейлора для функции si с остатком в форме Лагранжа имеет следующий вид: k si Rk 3! k! R 3 k k k < π si θ k < θ k! Для любого остаток стремится к нулю при k 3 Первообразная функция и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении мы находили производную и дифференциал данной функции F: F lim F F и df F d Обозначим производную F через тогда F и df d В интегральном исчислении решается обратная задача отыскание функции F по заданной ее производной или дифференциалу d т е для заданной функции надо найти такую функцию F производная которой F или дифференциал ее df d 47

48 Определение Функция F называется первообразной функцией для функции на множестве X если производная ее F или дифференциал ее df d на этом множестве Теорема Если две различные функции F и Фх являются первообразными функциями для функции то они отличаются одна от другой на произвольную постоянную Определение Совокупность всех первообразных функций F C для функции называется неопределенным интегралом функции и обозначается символом d в котором неявным образом содержится произвольная постоянная Из определения неопределенного интеграла вытекают его свойства d т е производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции Действительно [ F C] d d d d т е дифференциал неопределенного интеграла равен подъинтегральному выражению Иначе говоря знаки дифференциала и интеграла когда первый предшествует второму взаимно сокращаются Действительно d [ F C] [ F C] d d d d 3 df F C т е неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и произвольного постоянного Действительно df F d d F C 48

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий АННОТАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Направление подготовки 10.03.01 «Информационная безопасность» направленность (профиль) программы Организация

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Детали курса учебного года можно найти здесь:

Детали курса учебного года можно найти здесь: "Математический анализ-1" Составитель: А. Б. Шаповал Аннотация В последнее время математика активно расширяет сферу своих приложений, вторгаясь в смежные науки. Математики стали успешно решать не только

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Подробнее

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Кафедра Высшей математики ММФ Автор программы: доцент М.П.Вишневский Лектор: 1-й семестр 1. Введение. Множества и операции над ними. Отображения множеств. Счетные множества. Действительные

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

«Математический анализ»

«Математический анализ» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени НЭ БАУМАНА Билеты для сдачи экзамена по курсу «Математический анализ» МГТУ имени НЭ Баумана МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика Аннотация рабочей программы дисциплины Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика», «Физика атомного ядра и частиц»

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика» ГАПостовалова

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по дисциплине: по направлению подготовки: факультеты: кафедра: курс: Трудоёмкость: семестры: лекции: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Весенний семестр год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ.

Весенний семестр год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ. Весенний семестр. 2016 год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ. Последовательности. 1. Определение последовательности. 2. Последовательность как функция, область определения последовательности.

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ''Оренбургский государственный

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики статистики и информатики Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Геворкян

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович

док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович Автор: док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович Наименование дисциплины: Математический анализ и дифференциальные уравнения 1. Аннотация Аннотация: в курсе излагаются: теория пределов

Подробнее

Числовые функции одной действительной переменной

Числовые функции одной действительной переменной Множества. Числовые множества. Логические символы 1. Какие разделы математики входят в предмет «математический анализ»? Что входит в основы математического анализа? Что изучает математический анализ?.

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УЧЕБНИК В 2 частях Часть 1 3-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Конспект лекций по математике-2

Конспект лекций по математике-2 КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского А.С.Шкуро Конспект лекций по математике-2 для студентов Химического института Учебное пособие Казань

Подробнее

Глава II. Производная

Глава II. Производная Глава II Производная Производная функции в точке Геометрический и механический смысл производной Рассмотрим сначала два примера ) Пусть материальное тело совершает прямолинейное движение За время t тело

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ ВЛ Клюшин, ЮС Коршунов ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ КРАТКИЙ КУРС

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление,

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины дифференциальное исчисление, Номер недели РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление, УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет линейная алгебра и аналитическая геометрия"

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

1. Модуль 1 (7 лекций, 7 семинаров, 28 часов)

1. Модуль 1 (7 лекций, 7 семинаров, 28 часов) Министерство экономического Министерство развития и торговли образования Российской Федерации Российской Федерации Государственный университет - Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Рабочий

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

3. Планируемые результаты обучения дисциплине (учебному курсу) соотнесенные с планируемыми результатами освоения образовательной программы

3. Планируемые результаты обучения дисциплине (учебному курсу) соотнесенные с планируемыми результатами освоения образовательной программы АННОТАЦИЯ дисциплины (учебного курса) Б1.Б.11.1 Математический анализ 1 1. Цель и задачи изучения дисциплины (учебного курса) Цель формирование представлений о понятиях и методах математического анализа,

Подробнее