Математический анализ Конспект лекций

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Математический анализ Конспект лекций"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Математический анализ Конспект лекций для направления Бизнес-информатика В.М. Мухина, С.С. Рублева 4

2 Содержание.Функция, предел, непрерывность Дифференциальное исчисление функции одной переменной (ФОП) Приложения дифференциального исчисления ФОП Интегральное исчисление ФОП Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных ФНП Интегральное исчисление ФНП Ряды... 3

3 .Функция, предел, непрерывность (лекции 4 ч., практические занятия 6 ч.) Содержание раздела рабочей программы Множества и операции над ними. Отображения: определения, основные свойства. Определение предела на языке кванторов,,. Предел функции в точке и на бесконечности. Непрерывность функции. Точки разрыва. Пространство непрерывных функций. ФУНКЦИЯ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА y f ( ), независимая переменная или аргумент; y зависимая переменная или функция. Четная функция y( ) y( ) График функции симметричен относительно оси Oy. Нечетная функция y( ) y( ) График функции симметричен относительно начала координат. Периодические функции f ( T ) f ( ), где T период функции. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ окрестность точки интервал ;,. Предел функции f( ) при Число A называется пределом функции f( ) при, если по любому сколь угодно малому положительному найдется такое положительное число ( ), что для всех, удовлетворяющих неравенству и, выполняется неравенство f () A. 3

4 lim f ( ) A Предел функции f( ) при Число A называется пределом функции f( ) при, если по любому сколь угодно малому положительному найдется такое положительное, что для всех N, выполняется неравенство f () A. число N lim f ( ) A Односторонние пределы Число A называется пределом функции f( ) в точке справа (слева), если по любому находится такое ( ), что для всех,,, выполняется неравенство f () A. lim f ( ) A lim f ( ) A Бесконечно малые и бесконечно большие функции Функция f( ) бесконечно малая при ( ), если lim f( ) lim f( ). Функция f( ) бесконечно большая при ( ), если lim f( ) lim f( ). 4

5 si lim Первый замечательный предел lim tg lim si si lim si Второй замечательный предел lim e lim e lim e l( ) lim Непрерывность функции и точки разрыва Функция f( ) непрерывна в точке, если lim f ( ) f ( ). Классификация точек разрыва точка разрыва -го рода, если а) существуют пределы слева и справа, но они не равны между собой (функция меняет свое значение скачком); 5

6 б) существует предел функции при, но lim f ( ) f ( ) или f( ) не определена в точке (устранимый разрыв). точка разрыва -го рода, если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует. Асимптоты Если Вертикальные lim f( ), то прямая асимптота Наклонные y k уравнение асимптоты f( ) k lim, lim f ( ) k 6

7 . Дифференциальное исчисление функции одной переменной (ФОП) (лекции 4 ч., практические занятия 8 ч.) Содержание раздела рабочей программы Производная функции в точке, ее геометрический, механический, экономический смысл. Дифференцируемость функции. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Дифференциал и его свойства. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Производная функции f( ) в точке предел отношения приращения функции f () f f к приращению аргумента при. f f f lim c Правила дифференцирования u u( ), v v( ), c cost u v u v uv u v uv, cu cu u uv uv ( ) v v v Производная сложной функции f u f u u 7

8 Таблица производных u log u u u l u u u u l u lu u u u u e e u rcsi u u u cosu siu u rccos u u siu cosu u u tgu u rctgu u u cos u ctgu u rcctgu u u si u (sh u) chu u (th u) u ch u (ch u) shu u (cth u) u sh u Производная функции, заданной параметрически () t y, t y y y() t t Производные высших порядков y ( ) производная -го порядка, y ( y) производная -го порядка, ( ) ( ) y y производная -го порядка. Дифференциал функции y f ( ) f ( ) приращение функции dy f ( ) дифференциал, dy f ( ) d, d. Приближенные вычисления с помощью дифференциала y dy, f ( ) f ( ) f ( ). 8

9 3. Приложения дифференциального исчисления ФОП (лекции 4 ч., практические занятия 6 ч.) Содержание раздела рабочей программы Основные теоремы математического анализа. Правило Лопиталя. Условия монотонности функций. Экстремумы функций. Достаточные условия экстремума. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба. Разложение функции в ряд Тейлора. Правило Лопиталя. Интерпретация понятия производной lim f f lim g g f f lim lim g g f ( ) k угловой коэффициент касательной Неопределенность вида Неопределенность вида Уравнение касательной: y f f Уравнение нормали: y f f s s t закон движения материальной точки Производственной называется функция f( ), которая определяет соответствие между переменными величинами, характеризующими ход конкретного процесса в экономике. ds st () t скорость движения точки dt в момент времени t t s ( t) w( t) ускорение точки в момент времени t Если y объем произведенной продукции, а время, затраченное на производство продукции, то y f ( ). y f ( ) предельная эффективность (производительность) труда. 9

10 Экстремум. Монотонность функции Точки перегиба. Выпуклость (вогнутость) графика функции

11 4. Интегральное исчисление ФОП (лекции 4 ч., практические занятия 6 ч.) Содержание раздела рабочей программы Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Методы интегрирования.определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства. Формула Ньютона Лейбница. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Приближенное интегрирование. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Функция F( ) называется первообразной для функции f( ) на некотором промежутке, если для всех из этого промежутка F( ) f ( ). Множество всех первообразных для функции f( ) неопределенным интегралом и обозначается f ( ) d. f ( ) d F( ) C, где F( ) - любая первообразная для f( ), C u u du C, du l u u C u u du C l u u e du e C siu du cosu C cosu du siu C Таблица основных интегралов du ctgu C si u du tgu C cos u du u l u u du u rcsi u u называется C C du u rctg C du R. l u u C u

12 Правила интегрирования Постоянный множитель можно выносить за знак неопределѐнного интеграла: k f ( ) d k f ( ) d ( k R). Неопределѐнный интеграл алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов этих f ( ) g( ) h( ) d f ( ) d g( ) d h( ) d. функций: 3 Замена переменной. Пусть f ( ) d F( ) C и y() t. Тогда d y'( t) dt, f ( y( t)) y( t) dt f ( ) d F( ) C F( y( t)) C. 4 Интегрирование по частям применяется в случае, если подынтегральное выражение представлено в виде: f()d = u()v'()d = udv, тогда u dv uv vdu. Интегрирование рациональных функций Если подынтегральная дробь неправильная, то она представляется в виде суммы целой части (многочлена некоторой степени) и правильной рациональной дроби. Знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида k s и p q, а правильная дробь - на сумму простейших дробей: P( ) A A Ak k s p q M N M N M s Ns p q p q p q Р(х) многочлен степени ниже степени знаменателя. s, k

13 Интегрирование тригонометрических функций si cos m d Если: а) нечѐтное положительное, то применяется замена t = cos; б) m нечѐтное положительное, то применяется замена t = si; в) если m, чѐтные положительные, то формулы cos cos si si ; cos ; si cos приводят интеграл к предыдущим случаям; si si d (cos( ) cos( ) ) d si cos d (si( ) si( ) ) d cos cos d (cos( ) cos( ) ) d,,. 3 R(si,cos ) d, с помощью универсальной подстановки t tg и еѐ t t dt следствий: si ; cos ; d t t t рациональной функции. сводится к интегралу от 3

14 m Интегрирование иррациональных функций m k (,,, k ) R d, сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены t ( d t dt ), где наименьшее общее кратное чисел,,, k. Тригонометрические подстановки: R (, ) - подстановка si R (, ) - подстановка tgt R(, y ) - рациональная функция. t ;. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Пусть функция f() определена на отрезке [;] (<). Разобьѐм [;] на отрезков точками,,,, : = < < < < i- < i < < =. На каждом отрезке [ i- ; i ] выберем точку c i ( i ci i, i=,,, ) и вычислим f( c i ). Пусть i i i длина i го отрезка, m i. Число f ( ci) i - интегральной сумма для функции f() на отрезке [;]. i Определѐнным интегралом от функции f() на отрезке [;] называется предел интегральной суммы при условии, что λ стремится к нулю. f ( ) d lim f ( ci) i, i где нижний, верхний пределы интегрирования. Теорема существования определѐнного интеграла. Если функция f() непрерывна на отрезке [;], то определѐнный интеграл существует и не зависит от выбора точек i и c i i 4

15 Свойства определѐнного интеграла f ( ) d. f ( ) d f ( ) d 3, c постоянные (свойство линейности). c c. ( c f ( ) c q( )) d c f ( ) d c q( ) d, где (свойство аддитивности). 4 f ( ) d f ( ) d f ( ) d c 5 f ( ) d, если f() на отрезке [;]. 6 m f d M ( ) ( ), если m и M наименьшее и наибольшее значения функции f() на отрезке [;] (теорема об оценке определѐнного интеграла). 7 f ( ) d f ( c) ( ), c, где f(c) среднее значение функции f() на [;] (теорема о среднем). а f ( ) d, если f ( ) чётная функция, 8 f ( ) d, если f( ) нечётная функция. Формула Ньютона-Лейбница f ( ) d F( ) F( ) F( ), где F() первообразная функции f() на отрезке [;]. Замена переменной ( t), ( ), ( ) : f ( ) d f ( t) ( t) dt 5

16 Интегрирование по частям ud u du Несобственные интегралы с бесконечными пределами f ( ) d lim f ( ) d. f ( ) d lim f ( ) d c. f ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) d ( cr). c d сходится при расходится при. Интегралы от неограниченных функций Пусть функция f() непрерывна на [;), где = точка разрыва второго рода. f ( ) d lim f ( ) d. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА f ( ),, S f ( ) d Площади плоских фигур 6

17 f ( ) g( ),, S f ( ) g( ) d c S f ( ) d g( ) d c Площадь сектора OAB, ограниченного ( ), радиусами OA и OB ( ) S d Объемы тел вращения Криволинейная трапеция вращается вокруг оси O V f ( ) d Криволинейная трапеция вращается вокруг оси Oy d V g ( y) dy c 7

18 Длина дуги кривой ( ),, ( ) y f l f d y y () t, t t, t () t t t l ( ) ( y ) dt t t ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Формулы прямоугольников Средние Левые прямоугольники прямоугольники Правые прямоугольники 3 h 3 3 f ( ) d h( y y y ) 3 h f ( ) d 3 3 h( y( c ) y( c ) y( c )) 3 3 h 3 3 f ( ) d h( y y y ) 3 Формула трапеций y y f ( ) d i y i 8

19 Формула парабол (Симпсона) f ( ) d y ym 4( y y3... ym ) ( y y4... ym) 6m m 5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных ФНП (лекции 4 ч., практические занятия 4 ч.) Содержание раздела рабочей программы Функция нескольких переменных. Частные производные, дифференцируемость. Частные производные высших порядков. Экстремум. Достаточные условия. Условный экстремум. Экономический смысл множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов. Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Частные производные функции z f (, y) первого порядка f z = по переменной f (, y) f (, y) lim по переменной y f zy y f (, y y) f (, y) lim y y Частные производные второго порядка функции z f (, y) f f z f f z y y y f f z yy y y y f f z y y y 9

20 Уравнения линий уровня функции z f (, y) f (, y) C, C cost Уравнения поверхностей уровня функции u f (, y, z) f (, y, z) C, C cost ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Необходимое условие экстремума функции z f (, y) M (, y ) точка экстремума дифференцируемой функции z f (, y) z. z y z M A AC B при A mi при A m Достаточное условие экстремума функции z f (, y) z y z y M M B C экстремума нет нужны дополнительные исследования Производная функции u f (, y, z) в направлении вектора l в точке M (, y, z ) u f f f cos cos cos l M y z M M cos, cos, cos направляющие косинусы вектора l

21 Градиент функции u f (, y, z) в точке M (, y, z ) f f f grd u i j k M y z M M Метод наименьших квадратов, y y y y i Y = f(), F(, ) Y y mi. i i Y = +, F(, ) y, i i i i i i i i i i y, i yi. i i

22 6. Интегральное исчисление ФНП (лекции ч., практические занятия 4 ч.) Содержание раздела рабочей программы Двойной интеграл. Теорема существования. Вычисление двойного интеграла двукратным интегрированием. Геометрические приложения. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА g( ) f (, y) ddy d f (, y) dy D h( ) ( y) f (, y) ddy dy f (, y) d D c ( y) d rcos, y rsi Двойной интеграл в полярных координатах f (, y) ddy f ( r cos, r si ) r dr d D ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ G Объем цилиндрического тела V f (, y) ddy, D где z f (, y) уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху Площадь плоской фигуры D S D ddy

23 7. Ряды (лекции ч., практические занятия 6 ч.) Содержание раздела рабочей программы Числовые последовательности и ряды: основные понятия. Признаки сходимости числовых рядов. Функциональные ряды. Степенные ряды, область сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды (ряды Тейлора, Маклорена). ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовой ряд: u u u3... u... u. Частичная сумма ряда: S u u u3... u. Ряд сходится, если существует конечный предел S lim S, в противном случае ряд расходится. Число S называется суммой ряда S u знакоположительный, если u. u знакопеременный, если u u разных знаков. знакочередующийся, если u. Свойства рядов u. Если ряд u сходится, то ряд u тоже сходится, m N m. Если ряды u и v сходятся, и их суммы соответственно равны u Lu Mv Lu Mv L Su M Sv, S v, то сходится ряд и где L и M постоянные числа. S и 3

24 Необходимый признак сходимости Достаточный признак расходимости Если ряд сходится, то limu. Если limu, то ряд расходится ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ Признак сравнения: Пусть u v для рядов ) Если ряд v сходится, то и ряд ) если ряд u расходится, то и ряд u и u сходится; v расходится. v. Тогда: u Предельный признак сравнения: Если A lim ( A ), то v ряды u, v сходятся или расходятся одновременно. 3 Радикальный признак Коши: Пусть l lim u, сходится при l ; тогда ряд u расходится при l ; неизвестно при l. u 4 Признак Даламбера: Пусть lim l, u тогда ряд u сходится при l ; расходится при l ; неизвестно при l. 5 Интегральный признак Коши: Пусть ряд Если u f ( ), где f( ) убывающая функция, и A, то ряд сходится; f ( ) d, то ряд расходится. u с убывающими членами. 4

25 Ряд из членов геометрической прогрессии Обобщенный гармонический ряд q сходится при q ; расходится при q. S q q p сходится при p ; расходится при p. S 6 ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Признак Лейбница: Пусть для ряда u, где ) u u u3... u...; ) limu При этом, сумма ряда S удовлетворяет условию: < S < u. u выполняется:, тогда ряд сходится. Ряд u называется сходящимся абсолютно, если сходится Ряд u называется сходящимся условно, если ряд u u расходится. u. сходится, а ряд 5

26 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 3 ( ) ( ) ( )... ( )... 3,,,...,,... коэффициенты степенного ряда. R радиус сходимости ( R ): при < R ряд сходится и при > R - расходится. R; R интервал сходимости степенного ряда. В точках R требуются дополнительные исследования. Свойства степенных рядов Cумма степенного ряда S() непрерывна на интервале сходимости. Пусть отрезок [α;β] принадлежит интервалу сходимости степенного ряда, f d d d d. тогда 3 Степенной ряд на интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз. РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Ряд Тейлора ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )......!!! f ( ) f ( ) k R ( ), ( k) ( k) k k! k k! k где R ( ) - остаточный член ряда Тейлора. Для того чтобы ряд сходился к f() необходимо и достаточно, чтобы lim R ( ). 6

27 Ряд Маклорена (частный случай ряда Тейлора при ) ( k) ( ) f () k f () f () f () f ( ) f () k!!!! k Примеры разложения функций в степенные ряды e si cos......!! ( )... 3! 5! ( )! 4... ( )...! 4! ( )! ( ) m m( m ) m( m )...( m ) m......!! 3... ( )... l( ) l( ) l rctg ( ) ( ) ( ) ( ) rcsi ( )

Тематика контрольных (самостоятельных) работ

Тематика контрольных (самостоятельных) работ Фонды Фонды оценочных средств по дисциплине Б.2.1 «Математический анализ» для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов по направлению 080100.62 «Экономика» Тематика

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Математика для направления торговое дело

Математика для направления торговое дело Математика для направления 8..6 торговое дело Контрольные вопросы по курсу Математика семестр. п мерные векторы. п мерное векторное пространство.. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц..

Подробнее

1. Предел и непрерывность

1. Предел и непрерывность ББ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Направление 383 Экономика Профиль (направленность) "Экономика предприятий и организаций" (городского и жилищно-коммунального хозяйства) Форма обучения заочная Курс лекций Предел

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины направление подготовки Экономика направленность (профиль) "Бухгалтерский учет, анализ и аудит"

Аннотация рабочей программы дисциплины направление подготовки Экономика направленность (профиль) Бухгалтерский учет, анализ и аудит Аннотация рабочей программы дисциплины направление подготовки 38.03.01Экономика направленность (профиль) "Бухгалтерский учет, анализ и аудит" Дисциплина: Б1.Б.09Математический анализ Цели освоения дисциплины:

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 15 Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы... 16 1.1. Основные понятия... 16 1.2. Действия над матрицами... 17 2. Определители... 20 2.1. Основные понятия... 20 2.2. Свойства

Подробнее

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия над матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

3. Планируемые результаты обучения дисциплине (учебному курсу) соотнесенные с планируемыми результатами освоения образовательной программы

3. Планируемые результаты обучения дисциплине (учебному курсу) соотнесенные с планируемыми результатами освоения образовательной программы АННОТАЦИЯ дисциплины (учебного курса) Б1.Б.11.1 Математический анализ 1 1. Цель и задачи изучения дисциплины (учебного курса) Цель формирование представлений о понятиях и методах математического анализа,

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

Дисциплина «Математический анализ в агроинженерии»

Дисциплина «Математический анализ в агроинженерии» Дисциплина «Математический анализ в агроинженерии» 1. Цель и задачи дисциплины Место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы Дисциплина «Математический анализ в агроинженерии»

Подробнее

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного. Числовые и функциональные ряды.

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного. Числовые и функциональные ряды. Теоретические вопросы по курсу математики для студентов заочной формы обучения специальности 76 «Промышленное и гражданское строительство» семестр Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Мариуполь 2009 УДК 517.2

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика Аннотация рабочей программы дисциплины Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика», «Физика атомного ядра и частиц»

Подробнее

4 Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание Наименование раздела

4 Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание Наименование раздела 1. Целью изучения дисциплины является: подготовка высокопрофессионального специалиста владеющего математическими знаниями, умениями и навыками применять математику как инструмент логического анализа, численных

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятому изданию.....9 Предисловие к пятому изданию... 11 Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ 1. Действительные числа. Изображение действительных чисел точками числовой оси...

Подробнее

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий АННОТАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Направление подготовки 10.03.01 «Информационная безопасность» направленность (профиль) программы Организация

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ 1. Цель и задачи дисциплины Математический анализ Целью освоения дисциплины «Математический анализ» является формирование у будущих специалистов знаний и умения применять математический аппарат и математические

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика» ГАПостовалова

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I Элементы линейной алгебры I семестр 1. Определители. Свойства определителей. 2. Матрицы. Виды

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену по математике для студентов 1 курса Часть 2 Семестр 2

Материалы для подготовки к экзамену по математике для студентов 1 курса Часть 2 Семестр 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Материалы для подготовки

Подробнее

УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физикоматематических. Е.Н.Кирюхова 20 г, протокол

УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физикоматематических. Е.Н.Кирюхова 20 г, протокол УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физикоматематических дисциплин Е.Н.Кирюхова 20 г, протокол Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика» Специальности «Информационные системы и технологии» заочной формы получения

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

I. Цель и задачи курса

I. Цель и задачи курса Аннотация дисциплины «Математический анализ» Направления подготовки: 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» Профиль подготовки: Системное программирование и компьютерные технологии" Квалификация

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4.

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4. Найти общий член последовательности,,,, ) Найти b) lim ( ) c) 9 7 7 ) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Найти ( )!! lim ( )! ) b) c) Найти 6 si lim si d) ) b) c) d) d) ( ) Найти lim [ (l( ) l )] ) b) c) e d) l 6 Найти

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Цели и задачи дисциплины «Математика и математические методы в экологии и природопользовании»

Цели и задачи дисциплины «Математика и математические методы в экологии и природопользовании» Цели и задачи дисциплины «Математика и математические методы в экологии и природопользовании» Цели: Дисциплина «Математический анализ» обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным

Подробнее

Весенний семестр год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ.

Весенний семестр год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ. Весенний семестр. 2016 год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ. Последовательности. 1. Определение последовательности. 2. Последовательность как функция, область определения последовательности.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Методические материалы для промежуточной аттестации Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ» 1. Понятие функции.

Методические материалы для промежуточной аттестации Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ» 1. Понятие функции. Методические материалы для промежуточной аттестации Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ» 1. Понятие функции. Способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные,

Подробнее

Глава 4. Функции одной переменной 69

Глава 4. Функции одной переменной 69 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Введение 5 Часть первая. Математический анализ функций одной переменной 10 Глава I. Вещественные числа 10 1. Множества. Обозначения. Логические символы 10 2. Вещественные числа

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I Курс математического анализа является первой частью курса математики, который рассчитан на три семестра и является обязательным для студентов экономического бакалавриата. Задача

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I Курс математического анализа является первой частью курса математики, который рассчитан на три семестра и является обязательным для студентов экономического бакалавриата. Задача

Подробнее

1. Модуль 1 (7 лекций, 7 семинаров, 28 часов)

1. Модуль 1 (7 лекций, 7 семинаров, 28 часов) Министерство экономического Министерство развития и торговли образования Российской Федерации Российской Федерации Государственный университет - Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Рабочий

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УЧЕБНИК В 2 частях Часть 1 3-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Указывается трудоемкость в зачетных единицах.

Указывается трудоемкость в зачетных единицах. Аннотация рабочей программы дисциплины Б2. Б1 «Математический анализ» Направление подготовки 010500.62 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем, бакалавр 1. Цели и задачи дисциплины

Подробнее

5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Математический анализ» для профиля

5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Математический анализ» для профиля 5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Математический анализ» для профиля 080100.62 - «Статистика» Основная цель практических занятий способствовать усвоению

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины Б.2.Б.1 математический анализ

Аннотация рабочей программы дисциплины Б.2.Б.1 математический анализ Аннотация рабочей программы дисциплины Б.2.Б.1 математический анализ Направление подготовки: 080100.62 «Экономика» Профиль: «Экономика и информационно-математическое управление» 1. Цели и задачи дисциплины

Подробнее

Формулировка дисциплинарной части компетенции Способность самостоятельно находить решения поставленной математической задачи.

Формулировка дисциплинарной части компетенции Способность самостоятельно находить решения поставленной математической задачи. 1 2 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ Практические занятия по дисциплине «Математика» проводятся с целью: 1. Формирования умений: - систематизировать полученные на лекционных занятиях знания и практические

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть I для студентов заочной формы обучения специальности -5 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

1.2. Место учебной дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы: Математический и естественнонаучный цикл.

1.2. Место учебной дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы: Математический и естественнонаучный цикл. 1.1. Программа учебной дисциплины является частью основной профессиональной образовательной программы прикладного бакалавриата по направлению подготовки 230400.62 «Информационные системы и технологии».

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 4

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 4 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 4 РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ... 8 1. ФУНКЦИЯ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ... 8 1.1.

Подробнее

Жуков В. М. Практические занятия по математике : теория, задания, ответы / В. М. Жуков. Ростов н/д : Феникс, , [1] с. : ил.

Жуков В. М. Практические занятия по математике : теория, задания, ответы / В. М. Жуков. Ростов н/д : Феникс, , [1] с. : ил. Жуков В. М. Практические занятия по математике : теория, задания, ответы / В. М. Жуков. Ростов н/д : Феникс, 2012. 343, [1] с. : ил. (Высшее образование). СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 5

Подробнее

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики Т. А. Волкова СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Екатеринбург

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Оглавление. Глава 1. Множества 3. Глава 2. Тригонометрические формулы 17. Глава 3. Функции 52

Оглавление. Глава 1. Множества 3. Глава 2. Тригонометрические формулы 17. Глава 3. Функции 52 Оглавление Глава 1. Множества 3 1.1. Понятие множества 3 1.2. Числовые множества 4 1.3. Операции над множествами 5 1.4. Модуль действительного числа 8 1.5. Алгебраические уравнения, неравенства и системы

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика»

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Математика

Подробнее

Б1.Б.4 Математика. Квалификация (степень) выпускника Форма обучения Курс 1,2 Семестр(ы) изучения 1,2,3,4 Количество зачетных единиц (кредитов) 17

Б1.Б.4 Математика. Квалификация (степень) выпускника Форма обучения Курс 1,2 Семестр(ы) изучения 1,2,3,4 Количество зачетных единиц (кредитов) 17 Аннотация к рабочей программе дисциплины Б1.Б.4 Математика Направление подготовки Профиль подготовки 05.03.01 Геология Геофизика Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения очная Курс 1,

Подробнее

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 3 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА В связи с возросшей ролью математики в современной науке и технике будущие экологи, инженеры нуждаются в серьезной математической подготовке. Изучение математики развивает

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины

1. Цели и задачи дисциплины . Цели и задачи дисциплины Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются: - получение базовых знаний и формирование основных навыков по математическому анализу, необходимых для решения задач,

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Институт транспортных систем. Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине «Математика» Направление подготовки

Институт транспортных систем. Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине «Математика» Направление подготовки Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр I Элементы линейной алгебры 1. Понятие определителей 2-го и 3-го порядка, их вычисление и

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

ГЛОССАРИЙ МИНОБРНАУКИ РОССИИ. Методические указания для студентов I и II курса всех специальностей. Часть 2

ГЛОССАРИЙ МИНОБРНАУКИ РОССИИ. Методические указания для студентов I и II курса всех специальностей. Часть 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) ГЛОССАРИЙ Методические

Подробнее

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Математический анализ

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Математический анализ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и человека «Дубна» (университет «Дубна») Кафедра

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Подробнее

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Кафедра Высшей математики ММФ Автор программы: доцент М.П.Вишневский Лектор: 1-й семестр 1. Введение. Множества и операции над ними. Отображения множеств. Счетные множества. Действительные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович

док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович Автор: док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович Наименование дисциплины: Математический анализ и дифференциальные уравнения 1. Аннотация Аннотация: в курсе излагаются: теория пределов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u. 1, u < 0; функция знак u (сигнум u).

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u. 1, u < 0; функция знак u (сигнум u). ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. сos ) степенные. ). ) b. ) c. ) e. ) ) показательные. ) l. e ) e логарифмические. log ) l. l ) l l l b l l ) b тригонометрические. si ) cos 6. cos) si 7. g ) cos 8. cg ) si обратные

Подробнее

П рограмма экзам ен а. Для студентов ГФ. Первый семестр год. Январь 2010 г. Л е к т о р п р о ф. Л и с е е в И. А.

П рограмма экзам ен а. Для студентов ГФ. Первый семестр год. Январь 2010 г. Л е к т о р п р о ф. Л и с е е в И. А. П рограмма экзам ен а. Для студентов ГФ. Первый семестр. 2009 год. Январь 2010 г. Л е к т о р п р о ф. Л и с е е в И. А. В программе экзамена перечислено то, что с вас будут спрашивать на экзамене. Отдельно

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее