Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Область определения левой части этих формул может быть шире области определения"

Транскрипт

1 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления расширение области определения исходного уравнения Поэтому и проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо непосредственно по предварительно найденной области определения либо по условиям её задающим подстановкой в соответствующую систему неравенств Заметим что иногда удобно осуществить проверку и непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение Это конечно же допустимо Естественно что при решении логарифмических уравнений возможно и следование стратегии равносильных преобразований Далее мы рассмотрим примеры решения разного рода Расширение области определения при решении логарифмических уравнений связано как правило с двумя обстоятельствами: а преобразование потенцирования «отбрасывания» логарифмов замена уравнения f g уравнением f g ; б использование «справа налево» формул: fg f g; f g f g; r f r f ; r e r f f e Область определения левой части этих формул может быть шире области определения правой их части Заметим что применение этих формул «слева направо» вообще следует избегать тк это может привести к сужению области определения уравнения и потере корней Пример Решим уравнение Будем представлять правую часть уравнения последовательно в виде логарифмов с основаниями и и проводить преобразование потенцирования: 8 8 Проверим найденное значение непосредственной подстановкой в исходное уравнение: 8

2 Мы пришли к верному числовому равенству Таким образом - единственный корень данного уравнения Ответ: Пример Решим уравнение lg lg lg lg Представим как lg и преобразуем левую и правую части уравнения исходя из свойств логарифмов: lg lg lg lg lg lg lg Потенцируя уравнение получаем: Решим это рациональное уравнение: Осуществим проверку корней Область определения исходного уравнения задается условиями: те область определения: Оба корня очевидно принадлежат области определения Таким образом корни данного Ответ: ; lg lg Пример Решим уравнение: Пусть lg тогда получаем систему уравнений: lg уравнения lg Корни первого уравнения системы: Тогда исходное уравнение равно- lg сильно совокупности: те lg lg

3 Потенцируя полученные уравнения приходим к выводу что х или х Оба этих значения являются корнями данного уравнения поскольку его область определения задается условием х те х- Ответ: ; Комментарий Если в уравнении содержаться логарифмы с разными основаниями то следует привести их к одному основанию воспользовавшись формулами перехода к новому основанию логарифма: c b b c c b ; c b b b b Пример Решим уравнение: В данном уравнении перейдем к логарифмам по основанию : Последнее уравнение равносильно системе: Корни первого уравнения системы Таким образом имеем совокупность уравнений: которая равносильна системе Откуда очевидно что - единственный корень данного уравнения Заметим что применение формул перехода к новому основанию логарифма как правило приводит к изменению области определения уравнения Поэтому следует анализировать в ходе решения как возможность появления посторонних корней так и возможность потери корней Ответ: Пример Решим уравнение: Прежде всего воспользуемся известным свойством логарифма и получим одинаковое для всех логарифмов логарифмируемое выражение:

4 Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма получаем: Далее имеем: Корни второго уравнения системы: Следовательно решение исход- ного уравнения свелось к решению совокупности: Решим первое уравнение совокупности: Аналогично решая второе уравнение совокупности получаем х Найдем теперь область определения исходного уравнения и проведем проверку корней: те Ясно что оба найденных значения х удовлетворяют области определения Наконец следует проанализировать возможную потерю корней Для этого выясним когда наши преобразования приводили к сужению области определения уравнения После перехода к новому основанию логарифма дальнейшее решение осуществляется при условии: и Дополнительное условие не имеет отношения к исходному уравнению поэтому х возможный потерянный корень Подставив значение х в исходное уравнение убеждаемся что это действительно корень Таким образом корни исходного уравнения:

5 Ответ: Комментарий Применяя при решении логарифмических уравнений формулы перехода к новому основанию целесообразней переходить к новому основанию не являющемуся выражением с переменной а равному некоторому числу Как правило это позволяет избежать потери корней Каким конкретно числом должно быть новое основание логарифмов всегда можно понять проанализировав данное уравнение Так в рассмотренном выше примере подходящим новым основанием логарифмов является число Это следует из того что все входящие в уравнения основания логарифмов имеют вид: α где α - целое число Далее с учетом этого замечания оформим решение уравнения из примера как схему равносильных переходов

6 Еще раз следует отметить что решение любого уравнения должно осуществляться не механически а сознательно с пониманием сущности всех преобразований с обязательным анализом возможностей появления посторонних корней и потери корней Если такой анализ непосредственно «вплетен» в ход решения то наиболее действенно оформлять это решение схемой равносильных переходов Хотя это и приводит порой к весьма громоздким записям Громоздкости при записи решения уравнения в виде схемы равносильных переходов можно избежать следующим приемом: начать решение уравнения с нахождения области определения и затем при проведении решения соблюдать не «равносильность вообще» а «равносильность на области определения» Оформим решение уравнения из примера с учетом этого приема Область определения этого уравнения множество М: М Далее имеем: M M M M M M M M Оформим также в виде равносильных переходов решения уравнений из следующих примеров Эти уравнения весьма распространенные в заданиях ЕГЭ группа С содержащие логарифмы у которых и основания и логарифмируемые выражения выражения с переменной Пример Решим уравнение: lg Область определения этого уравнения множество М: M

7 : M те M Далее имеем: M lg M lg M M lg lg lg M lg lg M M M lg M Ответ: Пример а Решим уравнение 8 Ø б Решим уравнение:

8 Ответ: а Ø; б Рассмотрим далее несколько примеров решения логарифмических неравенств Пример 8 Решим неравенство: Таким образом решение данного неравенства: 8 Ответ: 8 Пример Решим неравенство: Таким образом решение исходного неравенства: Ответ: Пример Решим неравенство:

9 Таким образом решение исходного неравенства: Ответ: И наконец рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений с параметром Пример Решим уравнение: Так же как и в предыдущем примере будем строго соблюдать требования равносильности преобразований Тогда имеем:

10 Найдем х из уравнения Имеем: Те условие существования корней этого квадратного уравнения: или Вид корней: ± Условие существования корней исходного логарифмического уравнения задаются таким образом следующей системой неравенств: ± Д Таким образом исходное уравнение имеет единственный корень если имеет два корня вида ± и не имеет корней если Ответ: Если если то единственный корень - нет корней ± если если - два корня вида Прежде всего выясним условие существования корней уравнения Имеем систему: Далее перейдем к одному и тому же основанию логарифмов и решим уравнение: Пример Решим уравнение:

11 7 Таким образом исходное уравнение имеет единственный корень вида если и не имеет корней если ] { } Ответ: если - нет корней то единственный корень ; если ] { } Комментарий Для решения показательного уравнения его нужно свести к простейшему уравнению вида откуда следует что f g Иногда такое пре- f g образование можно провести непосредственно в других случаях требуется предварительно сделать замену переменной Пример Решить уравнение: Представим обе части равенства в виде степеней с основанием : 8 8 : 8 Ответ: Пример Решить уравнение: Поменяем порядок слагаемых: 8 8 Ответ: х Пример Решить уравнение: х х 7 Преобразуем левую часть: х х 7 и разделим обе части на : х Ответ: Пример Решить уравнение: Запишем уравнение в виде: Тогда 8 - посторонний корень Обратная замена: х х

12 Ответ: Пример 7 Решить уравнение: 8 Если записать левую часть так: 8 то можно заметить что основания степеней числа образуют геометрическую прогрессию В этом случае можно разделить обе части равенства например на х поскольку ни при каком х это выражение не равно нулю и получить уравнение 8 или 8 Замена приводит к уравнению 8 - посторонний корень Следовательно Ответ: Пример 8 Решить уравнение: Разложим левую часть на множители: Первый множитель никогда не равен нулю поэтому ответом будут корни уравнений: случай х х случай Ответ: ; Пример Решить уравнение: 7 Заметим что первое подмодульное выражение положительно при любом х то есть его модуль равен подмодульному выражению Рассмотрим две возможности для знака второго подмодульного выражения: случай Тогда 7 случай При этом тождество следовательно любое значение - является решением уравнения Ответ: 7 Пример Решить уравнение: При решении этого уравнения важно не забыть что равенство будет верным не только в случае когда показатель степени равен но и тогда когда основание степени в левой части равно так как при возведении в любую степень мы получим Кроме того ОДЗ определяется условием: х то есть х

13 случай ± случай Ответ: ; ; Комментарий Решение показательных неравенств сводится к решению простейших неравенств: f g f g f g f g Важно помнить при этом что при можно перейти к неравенству связывающему показатели степеней знак которого совпадает со знаком исходного неравенства; при показатели будут связаны неравенством противоположного знака Пример Решить неравенство: Представим обе части неравенства как степени с основанием : Ответ: ; Пример Решить неравенство: После замены решим систему неравенств: 7 Поскольку знаменатель дроби в правой части второго неравенства при положителен можно умножить на него обе части неравенства превратив его в квадратное: 7 Сделаем обратную замену: 7 7 левая часть неравенства верна при любом х Ответ: 7 ; Пример Решить неравенство: 8 8 Перейдем к основанию : 8 Ответ: ; ; Пример Решить неравенство:

14 Перенесем все слагаемые в левую часть и разложим ее на множители: Найдем корни левой части неравенства: случай х х ; случай х х Решим неравенство методом интервалов: о о Итак Ответ: ; Пример Решить неравенство: 8 Запишем неравенство в виде: 8 и разделим обе его части на х при делении на положительное число знак неравенства не изменится: Сделаем обратную замену: Поскольку основание степени меньше при переходе к показателям знак неравенства меняется: - Ответ: - ; Пример Решить неравенство: Замена превращает неравенство в иррациональное: Ответ: ; Комментарий В логарифмических уравнениях в отличие от показательных нужно внимательно следить за тем чтобы не включить в ответ посторонние корни Их появление связано с дополнительными ограничениями на знак логарифмируемых выражений и оснований логарифмов

15 Логарифмическое уравнение можно привести к одному или нескольким простейшим следующих видов: b f b f При этом f принимает только положительные значения поэтому посторонние корни не появляются если не было ограничений ранее; 7 Пример 7 Решить уравнение: Определим ОДЗ: 7 7 и перейдем во втором логарифме к основа- нию : f g Такое уравнение можно свести к системе: f g f g 7 7 х - х оба входят в ОДЗ Ответ: - ; Пример 8 Решить уравнение: ОДЗ: Представим Тогда уравнение можно записать так: х не входит в ОДЗ х входит в ОДЗ Ответ: Пример Решить уравнение: ОДЗ: 7 Перейдем в обоих логарифмах к основанию : 7 7 lg lg lg lg lg lg lg lg lg

16 7 7 lg не входит в ОДЗ Ответ: Пример Решить уравнение: ОДЗ: Обратите внимание на то что логарифмируемое выражение представляет собой полный квадрат поэтому оно положительно при всех х кроме х Условие на подкоренное выражение задается в виде строгого неравенства так как знаменатель не должен равняться нулю При выполнении этих условий уравнение можно записать так: 8 ± 8 не входит в ОДЗ Ответ: - Пример Решить уравнение: 7 ОДЗ: при этом и 7 то есть положительными являются аргументы внешних логарифмов Перейдем во всех логарифмах к основанию : 7 Ответ: 7 Комментарий В логарифмических уравнениях часто полезно применять замену переменной Пример Решить уравнение: ОДЗ: Пусть тогда ; Сделаем обратную замену: случай ; случай Ответ: ; Пример Решить уравнение:

17 ОДЗ: переменные: v uv u v uv u v u v Представим и введем новые u для которых имеем уравнение: Приравняем к нулю каждый множитель: случай и 8 случай v не входит в ОДЗ Ответ: 8 Комментарий Нередко в уравнение входят одновременно логарифмические и показательные функции Рассмотрим такие комбинированные задания Пример Решить уравнение: ОДЗ: Представим Тогда уравнение примет вид: Сделаем замену: и решим уравнение для : посторонний корень Обратная замена: х х Ответ: lg Пример Решить уравнение: ОДЗ: При выполнении этого условия обе части равенства положительны поэтому их можно логарифмировать Прологарифмируем левую и правую части по основанию : lg lg lg lg lg Замена lg приводит к уравнению lg - ½ случай lg ; случай lg Ответ: ; Пример Решить уравнение: 8 ОДЗ: Прологарифмируем обе части по основанию : 8

18 х х х х - не входит в ОДЗ Ответ: Комментарий При решении показательно-логарифмических систем применяются как обычные методы решения систем подстановка замена переменных так и приемы решения соответствующих уравнений Если в системе присутствуют логарифмы не забудьте об ограничениях на допустимые значения неизвестных Если получившиеся неравенства трудны для решения например неравенства с двумя переменными можно ограничиться подстановкой в них найденных решений Пример 7 Решить систему уравнений ОДЗ: Из первого уравнения можно сделать подстановку: Находим соответствующие значения у: у у Все найденные решения входят в ОДЗ Ответ: ; ; Пример 8 Решить систему уравнений 8 Ответ: ОДЗ: Пусть тогда и из первого уравнения получаем: случай следовательно у х Подставим во второе уравнение: х 8 с учетом ОДЗ х у 7 случай 8 7 Ответ: ; 7 7; Пример Решить систему уравнений Сделаем замену: u v u v и получим систему uv v u uv u v u v u v v u u v u u u v v u v uv v uv u uv u v u v v u u v uv v Получено однородное уравнение Разделим обе части на v : u v

19 u u постороннее решение так это отношение может быть v v только положительным u Итак v u Подставим этот результат в первое уравнение системы для u и v: v u u u u u u u Единственный положительный корень этого уравнения u Тогда v u и после обратной замены получаем: следовательно Ответ: ½ ; ½ Пример Решить систему уравнений ОДЗ: Перейдем во всех логарифмах к основанию : первого уравнения на соответствующие части второго: Разделим левую и правую части второе решение отрицательно и является посторонним так как х и у одного знака следовательно их отношение положительно Получена подстановка: х у Тогда из второго уравнения последней системы у у х Ответ: ; Пример Решить систему уравнений ОДЗ: При выполнении этих условий прологарифмируем обе части каждого уравнения по основанию : Представим и сделаем замену: u v Для новых неизвестных решим uv v u u u систему: u v u u v v Заметим что корни квадратного уравнения для и легко можно найти по теореме Виета Обратная замена:

20 случай случай Ответ: ; ; Комментарий Простейшее логарифмическое неравенство g f сводится к одной из двух систем неравенств: случай g f g f если ; случай g f g f если Пример Решить неравенство: Используя свойства логарифмов преобразуем левую часть: и решим систему неравенств: Обращаем ваше внимание на то что положительным должно быть каждое логарифмируемое выражение а не только их произведение Ответ: ; Пример Решить неравенство: Поскольку решаем неравенство Оно равносильно системе: Заметим что первое неравенство можно не решать так как оно заведомо будет верным для всех решений второго неравенства Тогда

21 ; Ответ: ; Комментарий Если основание логарифма переменно и может принимать значения как меньшие так и большие нужно рассмотреть эти ситуации отдельно так как в первом случае знак неравенства не меняется при переходе к аргументам а во втором меняется на обратный Пример Решить неравенство: Запишем неравенство в виде: 8 учитываем что поэтому случай случай ; ; 7; 8 Ответ: Пример Решить неравенство: 8 Пусть тогда и для получаем неравенство: 8 Не забудьте что в дробно-рациональном неравенстве важен знак не только числителя но и знаменателя дроби и решать его лучше всего методом интервалов самая распространенная ошибка на этом этапе решения «отбрасывание» знаменателя Корни числителя: и корень знаменателя и знак дроби распределяется на интервалах так: входит Следовательно 7 о или корень знаменателя разумеется в ответ не

22 случай случай Ответ: ; ; ] Пример Решить неравенство: Сделаем замену: и решим для иррациональное неравенство : случай случай ; решений нет Обратная замена: Ответ: Пример 7 Решить неравенство: Определим ОДЗ: и перейдем в обоих логарифмах к основанию : случай Найдем корни числителя и знаменателя: 7 случай не входит в ОДЗ само это значение тоже не входит в ОДЗ но слева и справа от него определены все функции присутствующие в неравенстве и один из множителей знаменателя в этой точке меняет знак 7 Итак в рамках ОДЗ дробь меняет знак трижды: в точках и Расставим знаки на интервалах При точка расположенная на самом правом интервале х 7-7 поэтому все три логарифма 7

23 входящие в последнюю форму неравенства отрицательны; соответственно отрицательна и сама дробь о о о 7 ; ; Ответ: 7 Пример 8 Решить неравенство: Превратим простейшее неравенство в систему: третье неравенства методом интервалов случай и перейдем к любому постоянному основанию например : ; о о о Решение второго неравенства: случай ; тот же что в предыдущем неравенстве о о Решение: Решим второе и корень знаменателя х Окончательным решением будет пересечение полученных промежутков: Ответ: ;

24 Пример Решить неравенство: 8 ОДЗ: Преобразуем первый логарифм: Тогда 8 Решим полученное неравенство методом интервалов: случай не входит в ОДЗ случай точка лежащая внутри ОДЗ Расставим знаки при х то есть на самом правом из полученных промежутков числитель дроби отрицателен а знаменатель положителен то есть вся дробь отрицательна о о ; ; Ответ: [ Пример Решить неравенство: 7 Найдем ОДЗ: ; ; ; ; ; Перейдем к основанию : учитываем что Применим метод интервалов: случай ; случай ± Отметим что из всех изолированных точек не входящих в ОДЗ только х - не является корнем числителя или знаменателя; соответственно в этой точке знак дроби не меняется

25 Расставим знаки учитывая что на самом правом интервале все логарифмы входящие в левую часть неравенства положительны: о о о о о Ответ: - 7; - U[ - ; - U; ] Комментарий При решении подобных неравенств применяются те же приемы что и при решении уравнений аналогичного типа замены логарифмирование потенцирование Как всегда внимательно следите за ограничениями на ОДЗ Пример Решить неравенство: Представим сделаем замену и решим для систему неравенств с учетом ОДЗ: Обратная замена: Ответ: ; Пример Решить неравенство: lg Если прологарифмировать обе части неравенства по любому основанию большему знак неравенства не изменится учитываем что в области допустимых значений обе части положительны Логарифмируем по основанию : lg lg lg lg lg ; Ответ: Пример Решить неравенство: 8 g Вновь перед нами в левой части выражение вида f Наиболее удобный прием для упрощения логарифмирование Прологарифмируем обе части по основанию и составим систему неравенств с учетом ОДЗ: Решим последнее неравенство методом интервалов случай 8 8 не входит в ОДЗ 8 8

26 случай точка лежит внутри ОДЗ знак дроби в ней меняется При достаточно больших значениях х аргумент логарифма стоящего в числителе меньше то есть числитель дроби отрицателен а знаменатель положителен С учетом этого расставим знаки на интервалах: о о 8 Таким образом или х 8 Ответ: ; U[8; Пример Решить неравенство: Задаем ОДЗ и логарифмируем обе части по основанию : Заметим что х х х Тогда Последнее неравенство решаем методом интервалов случай сама эта точка в ОДЗ не входит но знак первого множителя в ней меняется случай Расставим знаки на интервалах при левая часть положительна: о о 8 Ответ: ; U[8; Пример Решить неравенство: Воспользуемся одним из свойств логарифмов см занятие : Неравенство сразу резко упрощается: 7 8 и с учетом ОДЗ 7 Ответ: ; 7] Пример Решить неравенство:

27 Упростим второй множитель левой части: Этот результат позволяет сделать замену: и решать неравенство: или Сделаем обратную замену случай ; ; случай Ответ: [ Пример 7 Решить неравенство: Замена: Решим неравенство для : или Обратная замена: случай 8 случай 7 7 Ответ: ; ; 7] 8 Пример 8 Решить неравенство: Учтем ОДЗ: и прологарифмируем обе части по основанию : 8 Замена: или случай случай 8 Ответ: : ]U[8; 8 Пример Решить неравенство:

28 ОДЗ: подмодульное выражение не должно равняться нулю Пролога- рифмиру-ем обе части по основанию : 8 и решим полученное нера-венство методом интервалов случай х 8х х х случай ± Расставим знаки на интервалах учитывая что при левая часть неравенства положительна а при х ни один из множителей не меняет знак: о о о о о о Ответ: ; U; U; U;

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ I Рациональные алгебраические уравнения Равносильность уравнений Равносильность уравнений на множестве Равносильность

Подробнее

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений,

Подробнее

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические уравнения

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические уравнения МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические уравнения Москва 010 1 Показательные уравнения g f Заметим сначала, что 1 = 1 f если f ( ) > 0. при любых f ( ) и g ( ) в ОДЗ;

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература: 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Неравенства С3, С5. Подготовка к ЕГЭ 2011.

Неравенства С3, С5. Подготовка к ЕГЭ 2011. Неравенства С С Подготовка к ЕГЭ 0 (материал для лекции для учителей 8040) Прокофьев АА aaprokof@yanderu Основные способы решения: Задачи С Решение неравенства на промежутках Упрощение неравенства и сведение

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Решение иррациональных уравнений и неравенств

Решение иррациональных уравнений и неравенств Решение иррациональных уравнений и неравенств методические рекомендации для учащихся Составитель преподаватель математики Мочалова Е.В. Составители: Мочалова Е.В. преподаватель математики От авторов-составителей:

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль для класса Учебно-методическая часть/ Сост:

Подробнее

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Модуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается a. Например,

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения Иррациональные уравнения Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному

Подробнее

Логарифмические уравнения и методы их решения

Логарифмические уравнения и методы их решения Логарифмические уравнения и методы их решения Текст методических указаний 1.Логарифм и его свойства 2. Стандартные типы логарифмических уравнений и методы их решения 2.1. Уравнения вида, (где ). 2.2. Уравнения

Подробнее

п Метод знакотождественных множителей Метод, о котором пойдет речь, позволяет решать многие из неравенств вида

п Метод знакотождественных множителей Метод, о котором пойдет речь, позволяет решать многие из неравенств вида п 6 Метод знакотождественных множителей Метод, о котором пойдет речь, позволяет решать многие из неравенств вида a( ) a( ) an( ) a( ) a( ) an( ) () или () an ( ) an( ) anm( ) (здесь знаком обозначен один

Подробнее

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ ГБОУНПО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ ГБОУНПО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ ГБОУНПО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА МЕТОДИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Показательные и логарифмические неравенства. 2

Показательные и логарифмические неравенства. 2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Показательные и логарифмические неравенства. 2 Продолжим рассказ о решении показательных и логарифмических неравенств. В этой

Подробнее

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции»

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции» КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ «ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ» Методическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств

Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств 0 Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств Пособие по изучению темы Токарская Майя Сергеевна КГА ПОУ «ПКЛТТ» 0.0.0 Пояснительная записка Данное учебно-методическое пособие

Подробнее

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1))

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) Отбор корней в тригонометрических уравнениях. (типовые задания С1) СОДЕРЖАНИЕ 1. Способы отбора корней в тригонометрических ур-ях. 1 2. Отбор общих

Подробнее

- произвольные рациональные выражения, Ρ ( x ),Q( x)

- произвольные рациональные выражения, Ρ ( x ),Q( x) 7 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий Цель этого раздела предоставить абитуриентам теоретические сведения и практический материал для формирования навыков решения алгебраически уравнений

Подробнее

РАЗДЕЛ 14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

РАЗДЕЛ 14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ РАЗДЕЛ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Комментарий Задачи с параметрами традиционно являются сложными заданиями в структуре ЕГЭ, требующими от абитуриента не только владения всеми методами и приемам решения различных

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (типовые задания С3)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (типовые задания С3) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ типовые задания С Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. по дисциплине «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ» 1 курс. 1-2 семестр. Часть 2

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. по дисциплине «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ» 1 курс. 1-2 семестр. Часть 2 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича

Подробнее

А.С Крутицких и Н.С Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. Сайт «Решение простейших тригонометрических уравнений»

А.С Крутицких и Н.С Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. Сайт  «Решение простейших тригонометрических уравнений» А.С Крутицких и Н.С Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. Сайт http://matematikalegko.ru «Решение простейших тригонометрических уравнений» Решение простейших тригонометрических уравнений (в итоге

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический техникум

Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический техникум Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический техникум Практическая работа: Показательные, логарифмические уравнения и неравенства Разработчик: И. А. Кочеткова

Подробнее

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени».

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Цель работы: Повторить для подготовки к экзамену следующие темы: 1. определение степени с рациональным показателем,

Подробнее

201. Арифметическая прогрессия. Примеры решения задач. ТЕСТ Арифметическая и геометрическая прогрессии. ТЕСТ 2.

201. Арифметическая прогрессия. Примеры решения задач. ТЕСТ Арифметическая и геометрическая прогрессии. ТЕСТ 2. Арифметическая прогрессия Примеры решения задач ТЕСТ Найти сумму всех натуральных чисел, каждое из которых кратно и не превосходит по величине ) ) 8 ) 9 ) 8 Найти сумму всех двузначных натуральных чисел,

Подробнее

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональные выражения Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства:

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства: РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ. I) х - 5> линейное неравенство. Решаем методом переноса: х>5, т.е. х>5, и т.д. II) х > можно решить перебором чисел. III) Более сложные неравенства (квадратные, дробные,

Подробнее

Теоретические сведения

Теоретические сведения Задание В5 Теоретические сведения...2 Линейное и квадратное уравнения...2 Дробно-рациональные уравнения...3 Иррациональные уравнения... 5 Тригонометрические уравнения... 7 Показательные уравнения...9 Разбор

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Методы решения неравенств с одной переменной

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Методы решения неравенств с одной переменной Корянов АГ, Прокофьев АА Методы решения неравенств с одной переменной ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ типовые задания С Методы решения неравенств с одной переменной Корянов Анатолий Георгиевич, методист по математике

Подробнее

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Линейные уравнения с одной переменной Введение Никита Саруханов 7й класс Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Гущин Д. Д. http://www.mthnet.spb.ru ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Основные факты. Показательными уравнениями (неравенствами) называются уравнения (неравенства), содержащие переменную в показателе

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Корянов АГ, Прокофьев АА Методы решения неравенств с одной переменной МАТЕМАТИКА ЕГЭ типовые задания С Методы решения неравенств с одной переменной Корянов А Г, г Брянск, korynov@milru Прокофьев АА, г

Подробнее

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013).

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013). Математика Собрание заданий (09 апреля 013) Задачи с параметром-1 Задача 1 (006 г, Тихов МС, Авдонин АА) Найти все значения параметра a, при каждом из которых система 3 x + ( a 4) x + (5 3 a) x + a 0 (1)

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике Орлова О.А. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике «Решение показательных и логарифмических уравнений» 0 г. Оглавление Введение... Логарифмические уравнения... Способы решения:...9 Показательные уравнения...

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

ПОСОБИЕ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЕ Часть 1

ПОСОБИЕ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЕ Часть 1 Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского М. В. Глебова, И. И. Черанева ПОСОБИЕ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЕ Часть 1 Учебно-методическое пособие Пенза 01 Печатается по решению

Подробнее

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Доклад по теме: задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Выполнила Яценко Ирина Алексеевна Учитель математики МОУ СОШ 16 г. Щелково Щелково 2011 г. Содержание Знакомство с параметрами...

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Пособие для подготовки к олимпиаде школьников по математике «Паруса надежды». В.Н. Деснянский, А.И. Камзолов

Пособие для подготовки к олимпиаде школьников по математике «Паруса надежды». В.Н. Деснянский, А.И. Камзолов ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по курсу ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА для студентов первого курса

Подробнее

Уравнения и неравенства с модулем

Уравнения и неравенства с модулем И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Уравнения и неравенства с модулем В данной статье мы рассмотрим алгебраические уравнения и неравенства с модулем и изучим основные приёмы избавления от модуля

Подробнее

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения Тишин В И Логарифмические уравнения год Предисловие к книге «Логарифмические уравнения» Методика изложения решений логарифмических уравнений выдержана в таком же стиле как и решение показательных уравнений

Подробнее

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий)

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Корянов АГ, Надежкина НВ Задания В Простейшие уравнения Математика ЕГЭ 0 (система задач из открытого банка заданий) Задания В Простейшие уравнения Материалы подготовили: Корянов А Г (г Брянск); e-mail:

Подробнее

Тема 7. Степени и корни. Степенная функция. 1. Корень n-й степени из действительного числа

Тема 7. Степени и корни. Степенная функция. 1. Корень n-й степени из действительного числа Тема 7. Степени и корни. Степенная функция 1. Корень -й степени из действительного числа Корнем -й степени (=2,,,5...) из числа а называется такое число b, -я степень которого равна а, то есть a= b, b

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,..., ) 0, F ( x, x,..., ) 0, Система уравнений вида где... Fk ( x, x,..., ) 0, F i( x, x,..., ), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

Программа занятий по математике заочной физико-математической школы.

Программа занятий по математике заочной физико-математической школы. Программа занятий по математике заочной физико-математической школы. Тема Алгебраические уравнения и неравенства. (8 занятий) Почти все необходимые теоретические сведения для решения предлагаемых задач

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и неравенства Мы называем уравнение или неравенство иррациональным, если оно содержит переменную под радикалами, то есть под знаками

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рациональные Рациональное уравнение с неизвестным x - это уравнение, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно переменной x. Пример. Целое

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 Мы приступаем к изучению уравнений вида ax + bx + c = 0. (1) Если a 0, то уравнение (1) является квадратным.

Подробнее

Исследование функции с помощью производной

Исследование функции с помощью производной Задача B11 Исследование функции с помощью производной В задаче B11 предлагается исследовать на экстремумы функцию, заданную формулой. Это стандартная задача по математическому анализу, и ее сложность сильно

Подробнее

( ( ) ( )) ( ( ) + ( ) ( )) ( ) =

( ( ) ( )) ( ( ) + ( ) ( )) ( ) = В школьном курсе математики иррациональные уравнения решают методом возведения обеих частей в соответствующую степень сведением с помощью замены переменной к системе уравнений или используют монотонность

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Из опыта работы по изучению темы «Логарифмические уравнения и неравенства»

Из опыта работы по изучению темы «Логарифмические уравнения и неравенства» Отдел образования администрации МО Тепло-Огаревский район Районный методический кабинет непрерывного образования взрослых Районное методическое объединение учителей математики Из опыта работы по изучению

Подробнее

Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы»

Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Иногда трудно самостоятельно разобраться со всеми заданиями, предлагаемыми на контрольных, особенно

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Захаров В.С. Неравенства и системы неравенств. Задание С3.

Захаров В.С. Неравенства и системы неравенств. Задание С3. Захаров В.С. Неравенства и системы неравенств. Задание С3. 1 Введение Книга «Неравенства и системы неравенств. Задание С3» является логическим продолжением «Вводного курса по алгебре. Подготовка к ЕГЭ»

Подробнее

Дистанционная подготовка Abitu.ru МАТЕМАТИКА. Статья 14. Логарифмические уравнения.

Дистанционная подготовка Abitu.ru МАТЕМАТИКА. Статья 14. Логарифмические уравнения. Дистанционная подготовка Abituru МАТЕМАТИКА Статья 4 Логарифмические уравнения Теоретический материал Логарифмической функцией y называется функция вида y( ) log, где 0 и Её областью определения является

Подробнее

Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого вида:

Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого вида: Ребята, мы продолжаем изучать большую тему логарифмов, сегодня мы с вами посмотрим, как решать различные уравнения, в которых есть логарифмы. Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого

Подробнее

Системы уравнений. Общий вид системы двух уравнений с двумя переменными:

Системы уравнений. Общий вид системы двух уравнений с двумя переменными: Системы уравнений Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными f(x, y)=0 и g(x, y)=0, где f(x, y), g(x, y) некоторые выражения с переменными х и у. Если ставится задача найти все общие решения данных

Подробнее

2015 года (профильный уровень).

2015 года (профильный уровень). Разбор заданий демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2015 года (профильный уровень). Обсуждаются некоторые задания из той части варианта, которая предполагает развернутое решение задач, проверяемое

Подробнее

Камчатский государственный технический университет. Л.И. Страх МАТЕМАТИКА

Камчатский государственный технический университет. Л.И. Страх МАТЕМАТИКА Камчатский государственный технический университет Л.И. Страх МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к контрольным работам для слушателей заочных подготовительных курсов Петропавловск-Камчатский 7 УДК ББК.

Подробнее

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5.

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5. Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее