Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений"

Транскрипт

1 Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции (x y. Общий вид дифференциального уравнения первой степени: (n F(x, y, y,...,y 0 ( Наивысший порядок производной n называется порядком дифференциального уравнения. Уравнение первого порядка F(x, y, y 0 второго порядка F(x, y, y,y 0., В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения удается выразить старшую производную в явном виде: y y f(x, y f(x, y, y Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной. ( Линейное дифференциальное уравнение это уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производных. Например, линейное уравнение первого порядка. y x y sn x Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y (x, которая после ее подстановки обращает уравнение в тождество. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных: C,C,..., Cn y (x,c,c,...,cn. (, т.е. имеет вид:

2 Частное решение получается из общего, если произвольным постоянным придать определенное значения. Например, для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной произвольной постоянной, т.е. оно имеет вид: y (x,c (4 Если C принимает определенное значение C C0 решение: y (x,c 0, где C 0 =сonst., то получаем частное Общее решение y (k, C описывает бесконечное семейство интегральных кривых с параметром C. Частному решению соответствует одна кривая из этого семейства. Эта кривая проходит через заданную точку x 0, y 0. Здесь 0, y0 x начальное условие. Такой тип задач, где задаются начальные условия, называется задачей Коши. Если дополнительные условия для получения частного решения задаются более чем в одной точке, т. е. при разных значениях переменной x, то такая задача называется краевой, а сами дополнительные условия при этом называются граничными. Примеры постановки задач: y ; x а Задача Коши: y x, x, y(, y( 0 б Краевая задача: y y y sn x, 0 x, y(0, y( 0. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений подразделяются на: графические используют геометрические построения (метод изоклин; аналитические (точные; приближенные используют различные упрощения (асимптотический метод, разложение в ряд по малому параметру; численные решение на вычислительной технике.

3 МЕТОД ЭЙЛЕРА Это простейший численный метод решения задач Коши. Его недостаток большая погрешность. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка: Начальные условия: x0 y f(x,y (5 x, y y0. Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчета точки y требуется информация только о последней вычисленной точке y. Формула Эйлера вычисления любого y такова y y h f ( x, y, где =0,,,..., n- (6 О точности вычисления. Для оценки погрешности применяется правило двойного пересчета: расчет повторяют с шагом h и погрешность с учетом более точного значения h y * при шаге оценивают так: * max y y E для =,,..., n ; (7 E точность вычисления. Вычисления в Excel по методу Эйлера Найти решение уравнения методом Эйлера в Mcrosoft Excel y 0,5y x (8 c начальным условием y ( 0 на отрезке [ 0;0,5] с шагом 0,. Точность решения принять E 0, 000. Вычисления будут выполняться по соотношениям (следуют из формулы 6: y y h (0,5y x шагом 0, h ; (9 * * h * y (0,5 y y x шагом 0, 05 h. (0

4 На рабочем листе Excel отведем столбец A под значения x. Учитывая правило двойного пересчета занесем в блок A:A значения x от 0 до 0, 5 с шагом 0, 05. Значения y по методу Эйлера с шагом, 05 0 и, столбцах B и C, а для оценки погрешности отведем столбец D. 0 будем вычислять в Формулы и вычисления на листе Excel показаны на следующих изображениях. Изображение. Формулы вычисления по методу Эйлера Изображение. Вычисления по методу Эйлера

5 Исправленный и модифицированный методы Эйлера Метод Эйлера можно усовершенствовать множеством различных способов. Из этих способов наиболее распространены два. Это так называемые исправленный и модифицированный методы Эйлера. Обозначим и оба метода опишем формулой f ( x, y ( y y h ( x, y, ( ( x, y a a f ( x b h, y b h, ( Для исправленного метода a 0, 5 a и b b. Для модифицированного метода 0, a a и b b 0, 5. Проведем для сравнения здесь решение той задачи исправленным методом Эйлера. С учетом функции (8 соотношение (4 выглядит так: f ( x, y 0, y x (4 5 На изображении отведем столбец A под значения x. Столбец B отведем под значения y, для выделим столбец C, столбец D под значения ( x, y. Формулы и вычисления на листе Excel показаны на следующих изображениях ( и 4. Изображение. Формулы вычисления по исправленному методу Эйлера

6 Изображение 4. Вычисления по исправленному методу Эйлера Теперь перенесем эти соотношения по исправленному методу Эйлера на лист с вычислениями по методу Эйлера для сопоставимости результатов. При этом произведем дполнительные вычисления по исправленному методу Эйлера с шагом 0, 05 h. Изображение 5. Сравнение метода Эйлера и исправленного метода Эйлера Метод Рунге-Кутта четвертого порядка По этому одношаговому методу вычисления проводятся по формуле y y h ( x, y, (5 x, y 6 4 (, (6 f ( x, y, h h f ( x, y,

7 h h f ( x, y, 4 f ( x h, y h Решим предыдущий пример y 0,5y x методом Рунге-Кутта. Лист с формулами показан на двух избражениях (6 и 7. Изображение 6. Формулы для вычисления по методу Рунге-Кутта Изображение 7. Формулы для вычисления по методу Рунге-Кутта (продолжение Приведем комментарий этого листа. Так, отведем блок ячеек А:А8 под значения x с шагом 0,. Соответственно, в столбце В будем вычислять y, а в столбцах С,D,E,F - значения коэффициентов,,, 4. Столбец G отведем под ( x, y. Формулы, которые необходимо вносить в ячейку вручную выделены желтым фоном. Содержимое остальных ячеек получается

8 копированием из строк и 4. Результаты вычисления приведены на изображении 8. Изображение 8. Вычисления по методу Рунге-Кутта для шага 0, Для сопоставления точности метода на изображении 8 приведены вычисления с шагом h 0,05. Изображение 9. Вычисления по методу Рунге-Кутта для шага 0,05

9 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотренные одношаговые методы могут быть использованы для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений или для нахождения решения одного дифференциального уравнения высокого порядка. В последнем случае введением новых переменных оно сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим решение задачи Коши применительно к системам таких уравнений. Задача Коши Для получения однозначного решения системы дифференциальных уравнений должны быть заданы дополнительные условия. Их должно быть задано столько, каков порядок решаемой системы. Если все эти условия задаются в одной точке, т.е. при одном значении x x0, то такая задача называется задачей Коши. Эти дополнительные условия называются начальными условиями, а x 0 называется начальной точкой. Покажем применение метода Рунге-Кутта четвертого порядка для решения задачи Коши системы двух уравнений вида dy f( x, y, (6 d f( x, y, Начальные условия зададим в виде ( x0 y 0 y и ( x0 0. Запишем формулы Рунге-Кутта для приближенного решения этой системы где y L y h 4 6 h L L4 L 6

10 f x, y,, L f x, y,, L ( f (,, x h y h hl, f (,, x h y h hl, f (,, x h y h hl, L (,, f x h y h hl, L 4 4 h (, hl f, x h y, h (, hl f, x h y. ( В этих формулах 0,,, n. Для оценки погрешности используется правило двойного пересчета точно так же, как и при решении одного уравнения. К решению подобной системы уравнений можно свести решение задачи Коши для уравнения второго порядка: d y f x, y, dy (7 с начальными условиями y ( x0 y 0 и. y ( x 0 0 Введем новую переменную dy x. заменяется следующей системой из двух уравнений с начальными условиями ( x0 y 0 (. Тогда исследуемое уравнение (7 d f ( x, y, (8 dy (x (9 y и ( x0 0. Пример Применяя метод Рунге-Кутта, вычислить на отрезке [;,5] таблицу значений решения уравнения y y 0 x y (0

11 с начальными условиями y ( 0, 77 и ( 0, 5 y выбрав шаг 0,. С помощью подстановки новой переменной, перейдем к решению системы уравнений: y ( y x с начальными условиями y ( 0, 77 и ( 0, 5. Откроем новый рабочий лист Excel (изображение 8 и выделим в нем столбцы А, В и С под переменные x, y,. Изображение 0. Оформление листа В последующих столбцах будем вычислять значения, L,,. Пусть значения x помещаются в блок А:А8 (шаг по x составляет 0,. Тогда в ячейки В и С занесем начальные значения y ( и (. Формулы, которые необходимо ввести вручную в остальных ячейках строк и 4 выделены в таблице серым фоном на изображении.

12 Изображение. Оформление листа Формулы в остальных строках получаются путем копирования. Результаты решения задачи приведены на следующем изображении. Также там показан график зависимости y (x. Изображение. График функции y(x Или в увеличенном формате:

13 Решение этого уравнения в Mathcad

14 Теперь решим ту же систему исправленным методом Эйлера. Напомним саму систему уравнений: -е уравнение dy d Начальные условия y ( 0, 77 и ( 0, 5 x. y -е уравнение Итерации для -го уравнения: y y h ( x, y, ( ур ( ур ( x, y, a a( b h ( ( ур ( ур ур a a 0,5 и b b Итерации для для -го уравнения: h ( x, y, ( ур

15 ( ур x y b h ( ур ( x, y, a a ( ур ( ур x b h ( ур a a 0,5 и b b y b h

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывно меняются со временем t Эти

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в виде дифференциальных уравнений ДУ или системы дифференциальных

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенные дифференциальные уравнения Классификация ДУ Дифференциальное уравнение (ДУ) уравнение, связывающее функцию, ее производные и значения независимой переменной. Порядок ДУ наивысший порядок производной,

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение сокращенно ОДУ первого порядка f,, [,b ] 6 с начальным условием

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 4 8 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка связывающих

Подробнее

7. Алгоритмы Рунге-Кутты

7. Алгоритмы Рунге-Кутты 7. Алгоритмы Рунге-Кутты 1 7. Алгоритмы Рунге-Кутты Наиболее эффективным и часто использующемся методом решения ОДУ остается метод Рунге-Кутты. Большинство расчетов задач Коши для ОДУ, которые не являются

Подробнее

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. Решение задачи Коши... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши для одного дифференциального

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1.

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Постановка задачи Пусть в области D = {a x b, y i y i 0 b i } R n+1 Необходимо найти решение удовлетворяющее начальному

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Подробнее

Лабораторная работа 1. Приближенное решение нелинейных уравнений

Лабораторная работа 1. Приближенное решение нелинейных уравнений Лабораторная работа 1 Приближенное решение нелинейных уравнений Приближенно вычислить все корни данного уравнения f(x) = 0 с заданной погрешностью. 1) Для локализации и отделения корней построить график

Подробнее

Численное решение дифференциальных уравнений 1. Задача Коши

Численное решение дифференциальных уравнений 1. Задача Коши Численное решение дифференциальных уравнений - - Численное решение дифференциальных уравнений Задача Коши Значительное число задач вычислительной математики сводится к решению обыкновенных дифференциальных

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ ММСП

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ ММСП МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ ММСП 1 Содержание Введение. 3 1. Приближение табличных данных конкретной системой базисных функций по методу наименьших квадратов. 4. Численное решение задачи

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

9. Устойчивость . (66)

9. Устойчивость . (66) 9. Устойчивость 1 9. Устойчивость В прошлом разделе мы разобрали основные критерии разностных схем для ОДУ, но пока не касались, пожалуй, основного их свойства устойчивости. В качестве примера при рассмотрении

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

8. Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений движения

8. Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений движения 8. Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений движения Постановка задачи Решение уравнений движения является классической задачей механики. В общем случае это система дифференциальных уравнений

Подробнее

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1 1. Оценочные средства текущего контроля. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению -Назовите виды погрешности. - Как рассчитывается абсолютная погрешность? - Как рассчитывается относительная

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка Варианты задания 8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка 8.. Постановка задачи Рассмотрим задачу Коши для обыкновеннго дифференциального уравнения y =

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ)

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ) Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес - информатика»

Подробнее

Расчетно-графическая работа по информатике

Расчетно-графическая работа по информатике Министерство образования Российской Федерации ФГБОУ ВПО «ЮжноУральский государственный университет» (НИУ) Филиал ФГБОУ ВПО ЮУрГУ (НИУ) в г. УстьКатаве Кафедра Машиноведение Расчетнографическая работа по

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА. Научно-исследовательский вычислительный центр. О. Б. Арушанян, С.Ф.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА. Научно-исследовательский вычислительный центр. О. Б. Арушанян, С.Ф. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА Научно-исследовательский вычислительный центр О. Б. Арушанян, С.Ф. Залеткин РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ РУНГЕ

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

Институт радиоэлектроники и информационных технологий

Институт радиоэлектроники и информационных технологий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

4. Задачи на собственные значения

4. Задачи на собственные значения 4. Задачи на собственные значения 1 4. Задачи на собственные значения Задачи на собственные значения это краевые задачи для системы ОДУ, в которой правые части зависят от одного или нескольких параметров.

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании.

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра информатики и методики

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Томск 205 ОДОБРЕНО методической комиссией факультета прикладной

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

СЕВЕРО-КАВКАЗСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СЕВЕРО-КАВКАЗСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СЕВЕРО-КАВКАЗСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ

Подробнее

Лабораторная работа 1. Вариант 3.

Лабораторная работа 1. Вариант 3. Лабораторная работа 1. Вариант 3. Решение дифференциальных уравнений. Решить вручную методом Эйлера и написать программу, сравнить ручной расчёт с результатом работы программы. Дано: a=1, b=2, y 0 =3,

Подробнее

2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Геометрический смысл теоремы.

2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Геометрический смысл теоремы. 1 1. Определение дифференциального уравнения первого порядка. Его общее и частное решение, частный и общий интеграл. Запись уравнения в нормальной форме. 2. Задача Коши для дифференциального уравнения

Подробнее

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» по теме: «РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО РОДА

Подробнее

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра прикладной математики М.В. Лукина МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Ростов на Дону 2003г.

Ростов на Дону 2003г. Министерство Образования Российской Федерации Ростовский государственный университет И. В. МОРШНЕВА С. Н. ОВЧИННИКОВА Методические указания ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ УДК 596(075) ББК В9я7- Ч67 Издательство ТГТУ Р е ц е н з е н т ЗАВЕДУЮЩИЙ КАФЕДРОЙ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ТГТУ ДОКТОР ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК СМ ДЗЮБА

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

(n 1) (t)) y(t) = y 2 (t) m (t)) y m (t) u (t) = u (t)u 2 (t) + sin t, u(0) = 1, u (0) = 1, u (0) = 2. y 1 = u, y 2 = u, y 3 = u

(n 1) (t)) y(t) = y 2 (t) m (t)) y m (t) u (t) = u (t)u 2 (t) + sin t, u(0) = 1, u (0) = 1, u (0) = 2. y 1 = u, y 2 = u, y 3 = u Глава 3 Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений!" $# &%' '()* +(, '+ -.' / ' 01!23434 5'6 %7 2098: : 1;= @?BA&C Рассмотрим методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 УДК 519.865 В.В. Поддубный, О.В. Романович МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ЭЙЛЕРА С УРАВНИВАНИЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения

Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения Лабораторная работа 7 ( часа) Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения Цель работы: получение практических навыков построения алгоритмов численного решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

5. Теор. задача. Доказать, что среди явных многошаговых методов ( k=0

5. Теор. задача. Доказать, что среди явных многошаговых методов ( k=0 Прием заданий производится как правило в часы семинарских занятий ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА 3 курс 6 семестр 6 Жесткие ОДУ Участки решения характеризующиеся быстрым его изменением Понятие методов Гира

Подробнее

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 4: Обыкновенные дифференциальные уравнения (17 слайдов)

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 4: Обыкновенные дифференциальные уравнения (17 слайдов) ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 4: Обыкновенные дифференциальные уравнения (17 слайдов) Слайд 1: Методы решения ОДУ. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение вида:

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Задания на лабораторные работы по дисциплине «Вычислительная математика» Лабораторная работа 1. Теория погрешностей и машинная aрифметика

Задания на лабораторные работы по дисциплине «Вычислительная математика» Лабораторная работа 1. Теория погрешностей и машинная aрифметика Задания на лабораторные работы по дисциплине «Вычислительная математика» Лабораторная работа. Теория погрешностей и машинная aрифметика Теоретический материал к данной теме содержится в [, глава ]. Варианты

Подробнее

3. Явный алгоритм Эйлера

3. Явный алгоритм Эйлера 3. Явный алгоритм Эйлера 1 3. Явный алгоритм Эйлера Мы надеемся, что сделанные предварительные замечания дали читателю хорошее представление о рассматриваемом круге проблем. Перейдем теперь к обсуждению

Подробнее

Фонд оценочных средств

Фонд оценочных средств ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» ИНСТИТУТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

9 Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

9 Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. 9 Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) применяются когда отсутствует/затруднено/неудобно аналитическое

Подробнее

y(t n+1 ) = y(t n ) + hy (t n ) + h2 y n+1 = y n + hy n + h2 2 y n + O(h 3 ) = y n + hf(y n, t n ) + h2 df(y n, t n ) dt + O(h 3 ). (4.

y(t n+1 ) = y(t n ) + hy (t n ) + h2 y n+1 = y n + hy n + h2 2 y n + O(h 3 ) = y n + hf(y n, t n ) + h2 df(y n, t n ) dt + O(h 3 ). (4. Глава 4 Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (продолжение)! " $# &%' '()*!(+ ',.-/102 3 %45', 6 5&%'7 8 9:, ?,>@ " BADC, ()&E"FGC, /> 4.1 Методы с использованием ряда

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Часть вторая ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Часть вторая ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный университет леса ВИ Мышенков ЕВ Мышенков ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

9. Вопросы устойчивости и численной реализации решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем

9. Вопросы устойчивости и численной реализации решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем Варианты задания 9. Вопросы устойчивости и численной реализации решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем 9.1. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество 1. Построить область определения следующих функций. a) Так как функции определена при то область определения функции является множество - полуплоскость. b) Так как область определения функции является

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И.Б. Болотин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть Федеральное агентство по образованию Смоленский государственный университет И.Б. Болотин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Практические занятия для студентов курса специальности

Подробнее

( ) ( ) Контрольная работа по численным методам с решением. f (2) f ''(2) = > 0, значит, метод Ньютона сходится. x x ε = 2 1.

( ) ( ) Контрольная работа по численным методам с решением. f (2) f ''(2) = > 0, значит, метод Ньютона сходится. x x ε = 2 1. Контрольная работа по численным методам с решением Задание На отрезке [;] методом Ньютона найти корень уравнения + = с точностью, График функции Условие сходимости метода Ньютона: f f ''(, ( > где = начальное

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3 НОВОСИБИРСК 008 Министерство науки и образования РФ Новосибирский технологический институт Московского государственного

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание . ДУ курс семестр задание. Постановка задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.. Выяснить, при каких начальных условиях существует единственное решение уравнения y y y.. Решить уравнения,

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Бережной Д.В. Тазюков Б.Ф. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ф И Л И А Л «С Е В М А Ш В Т У З» Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Г О О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н О Г О У Ч Р Е Ж Д Е Н И Я В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г

Подробнее

Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений А. Ф. Заусаев, В. Е. Зотеев Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений Лабораторный практикум Самара Самарский государственный технический университет МИНИСТЕРСТВО

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 8

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 8 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 8 1. ЗАДАЧИ ПО РАЗРАБОТКЕ АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ... 10 1.1. Линейные вычислительные процессы... 10 1.2. Циклические вычислительные процессы... 11 1.3. Вычислительные процессы с использованием

Подробнее

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 1 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ Теперь, когда мы уже чуть больше знаем об алгоритмах решения задач Коши для ОДУ, продолжим разговор об их классификации. Остановимся

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Экстремум функции двух переменных

Экстремум функции двух переменных ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 11 Экстремум функции двух переменных Максимум или минимум функции называется её экстремумом Точка M 0, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума Если дифференцируемая

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СОДУ)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СОДУ) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СОДУ) 1 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1 Постановка

Подробнее

Тема 6.8. Вычисление определенного интеграла

Тема 6.8. Вычисление определенного интеграла Тема 6.8. Вычисление определенного интеграла Дидактическая цель. Познакомить учащихся с методами приближѐнного вычисления определѐнного интеграла. Воспитательная цель. Тема данного занятия имеет большое

Подробнее

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Метод разделения переменных применяется для решения линейных однородных уравнений с линейными однородными граничными условиями вида α 0, β0, 0,

Подробнее