Несобственные интегралы

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Несобственные интегралы"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ) Институт радиоэлектроники и информационных технологий Кафедра «Прикладная математика» Методические указания по дисциплине «Математика» Несобственные интегралы Нижний Новгород 5

2 ОПРЕДЕЛЕНИЯ Если функция f() собственно интегрируема на каждом частичном сегменте [,], то интеграл вида: f ( ) d lim f ( ) d () называется несобственным интегралом с бесконечным пределом (Под символом здесь и в дальнейшем подразумевается + ) Аналогично определяются несобственные интегралы с бесконечными пределами вида: f ( ) d lim f ( ) d, (а) c, c f ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) d (б) Если функция f() не ограничена в окрестности точки и собственно интегрируема на каждом сегменте [, -ε] (ε > ), то интеграл вида: f ( ) d lim f ( ) d () называется несобственным интегралом от неограниченной функции При этом точка называется особой точкой функции f() Аналогично определяются предельными переходами следующие несобственные интегралы: f ( ) d lim f ( ) d (а) (а особая точка), f ( ) d lim c f ( ) d lim c f ( ) d (б) (с особая точка, c ),, f ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) d (в) c c

3 ( а и особые точки, < c < ) Если пределы () или () существуют, то соответствующий интеграл называется сходящимся, в противном случае расходящимся Если интеграл () или () сходится, то функция f() называется несобственно интегрируемой ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОЙ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Если на полусегменте [, ) существует первообразная F() непрерывной в этом промежутке функции f(), то f ( ) d F( ) F( ) F( ) () В случае существования конечного предела lim F( ) F( ) интеграл () сходится, в противном случае расходится (те сходимость интеграла () равносильна существованию на полусегменте [, ) непрерывной в ' обобщенном смысле первообразной F() функции f(), такой, что F ( ) f ( ), при ) Если на полусегменте [, ) существует первообразная F() непрерывной в этом промежутке функции f(), то f ( ) d F( ) F( ) F( ) () ( - особая точка) В случае существования конечного предела lim F( ) F( ) интеграл () сходится, в противном случае расходится (те сходимость интеграла () равносильна существованию на сегменте [, ] непрерывной в обобщенном смысле первообразной F() функции f() такой, что F () = f() при )

4 Из формулы () следует, что интеграл d ( > ) () при > сходится, а при расходится Из формулы () следует, что интеграл d ( ) ( > ) () при < сходится, а при расходится КРИТЕРИЙ КОШИ Для сходимости интеграла () необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > существовало число L=L(ε) такое, что при любых l > L(ε) f ( ) d Аналогично формулируется критерий Коши для интегралов типа () АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ Если функция f() несобственно интегрируема, то соответствующий интеграл () или () от функции называется абсолютно сходящимся и является заведомо сходящимся Несобственные интегралы исследуются на сходимость на основании достаточных признаков их абсолютной сходимости и расходимости, основные из которых приведены ниже 5 ОБЩИЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ Если при f() g(), то из сходимости интеграла g ( ) d (5) следует абсолютная сходимость интеграла ()

5 Следствие Если функции f() и g() неотрицательные и такие, что при f() g(), то из сходимости интеграла (5) следует сходимость интеграла (), а из расходимости интеграла () следует расходимость интеграла (5) Следствие Если функция f() абсолютно интегрируема в промежутке [а, ], а функция g() ограничена, то и произведение их f() g(),будет функцией, абсолютно интегрируемой в промежутке [, ] 6 ОБЩИЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ В ТЕРМИНАХ ПОРЯДКОВ ВЕЛИЧИН Если при f()=o(g()) или f()~g(), то интегралы () и (5) сходятся и расходятся одновременно 7 ОБЩИЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ В ПРЕДЕЛЬНОЙ ФОРМЕ (ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ) f ( ) Пусть g()> и lim k cost (7) g( ) Тогда: а) если k <, то из сходимости интеграла (5) следует сходимость интеграла (); б) если < k, то из расходимости интеграла (5) следует расходимость интеграла () () Замечание Признаки 5 7 аналогично формулируются для интегралов типа 8 ЧАСТНЫЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ В ТЕРМИНАХ ПОРЯДКОВ ВЕЛИЧИН Если при f()=o( ), то интеграл () при > сходится, а при расходится, если функция f() сохраняет постоянный знак при достаточно больших значениях 5

6 Если при f()=o( ( ) ), то интеграл () при < сходится, а при расходится, если функция f() сохраняет постоянный знак в окрестности точки Замечание В случае, когда сразу не ясен порядок подынтегральной функции, следует попытаться выделить ее главную часть в виде (с и постоянные ), прибегнув, например, к формуле Тейлора, или воспользоваться частным признаком сравнения в предельной форме (признаком 9) 9 ЧАСТНЫЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ В ПРЕДЕЛЬНОЙ ФОРМЕ Пусть существует предел Тогда: lim f ( ) L (9) а) если L для >, то интеграл () абсолютно сходится; б) если < L для, то интеграл () расходится, если функция f() сохраняет постоянный знак при достаточно больших значениях Пусть существует предел Тогда: lim ( ) f ( ) L (9) а) если L < для <, то интеграл () абсолютно сходится; б) если < L для р, то интеграл () расходится, если функция f() сохраняет постоянный знак в окрестности точки УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ Сходящийся интеграл () или () называется условно сходящимся, если соответствующий интеграл типа () или типа () от функции f() расходится Сходимость некоторых условно сходящихся интегралов устанавливается признаком Абеля-Дирихле 6 с

7 ПРИЗНАК АБЕЛЯ-ДИРИХЛЕ Пусть функции f() и g() определены и непрерывны на полусегменте [, ); функция g() монотонна и имеет непрерывную производную (не имеющую знака) и, кроме того, А ) интеграл B F ( B) f ( ) d ограничен, те F(B) k ( k = cost, B < ) и ) lim g( ) Тогда интеграл f ) g( ) d ( () сходится Б ) интеграл f ( ) d сходится и ) функция g() ограничена, те g() k (k = cost, < ) Тогда интеграл () сходится Следствие Если в па g()= ( > ), то интеграл f ( ) d () сходится при любом > В частности, интегралы si d () и cos d, () 7

8 где а >, являясь интегралами типа (), сходятся при любых > причем можно сказать, что при > эти интегралы сходятся абсолютно, а при оба интеграла сходятся условно ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОВЫМ РЯДОМ Так как несобственные интегралы представимы бесконечными числовыми рядами, а именно: f ( ) d f ( ) d, () где < < < < < и lim, и f ( ) d f ( ) d, ( особая точка) () где < < < < < и lim, то каждый из этих интегралов сходится и расходится одновременно с соответствующим ему рядом ЗАМЕЧАНИЕ Метод исследования сходимости несобственных интегралов, при котором исследование сходимости другого интеграла, который в каком-то смысле лучше сходится, чем данный, называется методом улучшения сходимости В частности, таким методом часто оказывается интегрирование по частям и способ подстановки ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАСХОДЯЩЕГОСЯ ИНТЕГРАЛА В СМЫСЛЕ КОШИ Если интеграл (б) расходится, но при любом ε > существуют собственные интегралы c f ( ) d и f ( ) d c то под главным значением (V) интеграла (б) в смысле Коши понимается число 8

9 V c f ( ) d lim f ( ) d f ( ) d () Аналогично, если интеграл (а) расходится, то его главное значение в смысле Коши V f ( ) d lim f ( ) d () 5 ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Вычислить следующие несобственные интегралы (или установить их расходимость): ) cos по формуле () cos d lim cos d lim si lim si Так как si при не стремится ни к какому пределу, то данный интеграл расходится ) d 5 По формулам () и (б) d 5 d ( ) d ( ) lim lim rctg lim rctg rctg lim rctg lim rctg d ( ) rctg lim ( ) d ( ) Или, так как первообразная F() = rctg непрерывна в интервале (-, ), то данный интеграл можно вычислить по формуле () Тогда 9

10 d 5 rctg d ) Так как можно показать, что ( ) ( ) d d d lim lim l lim l l 5 lim l l lim тк l l В этом случае нельзя воспользоваться формулой (), так как первообразные 5, F()=l(+) и Ф() = l(-) функций f()= существуют ) d и ( ) при не Так как особой точкой подынтегральной функции является точка =, то по формуле (а): d lim d lim l lim l Так как lim l не существует, то данный интеграл расходится d 5) Так как особая точка = лежит внутри сегмента [-,], то по формуле (в) d d d lim lim lim lim,

11 Следовательно, интеграл расходится Формула () здесь не применима, так как первообразная F()= терпит разрыв в точке =, те не является непрерывной на сегменте [-,] 6) d Здесь особой точкой является точка = однако первообразная F()= непрерывна на сегменте [-,], поэтому для вычисления интеграла воспользуемся формулой () Тогда d d 7) ( ) Здесь особыми точками являются точки х= и х=, поэтому данный интеграл вычисляется по формуле (в) Так как первообразная F()=rcsi(-) непрерывна на сегменте [,], то по формуле (): d rcsi( ) rcsi rcsi( ) ( ) 8) l d Особой точкой является точка х= используя формулу (а), и интегрирование по частям, получим: l d lim l d lim 9) I (l ) d l l ),так как lim l lim ( Точка х= особая точка функции f ) ( ) (l Интегрируя по частям, получим: I (l ) d (l ) (l ) d

12 Так как lim (l ), то I I, =,, Замечая, что I d, то получим ( )! ) I e d Интегрируя по частям, получим: I I e d e e d Так как lim e, то I I, =,, Замечая, что I e d e, то получим I! d ) ( )( ) Здесь особые точки х = а и х = Положим тогда t, cos t si t, t ; ( )si t или ( )cos t и d ( )( ) ( )cost si t dt ( )si t cost si cos ) (si cos ) d Это собственный интеграл Для упрощения его вычисления положим tg=t Тогда dt d ; t, t и t si cos (si d cos ) t dt ( t ) t ) Доказать, что l I d ( )

13 Представим данный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов и во втором положим Тогда z I l d l d l d l d z l zdz ( ) ( ) ( ) ( ) ( z ) ) Доказать, что I d d а) Для доказательства равенства интегралов положим в интеграле d dz Тогда d, t, z z t и, действительно, d dz z б) Складывая интегралы d I и d I получим d I, откуда I d d Положим в последнем интеграле z Тогда ( ) d dz, z, z, z и I dz z d rctg z 5) Доказать, что I l si d l Положим =t Тогда I l si d l si tdt l dt l si tdt l costdt В последнем интеграле положим t u, тогда d=-du; t ; t и I l l si tdt l si udu, или I l I, откуда I l

14 Исследовать сходимость интегралов: 6) si d Так как при любом si и интеграл d rctg сходится, то по признаку 5 данный интеграл абсолютно сходится cos 7) d Здесь точка х= является особой точкой подынтегральной функции Так как при любом х cos d и интеграл Сходится ( как интеграл типа () для которого ), то по признаку 5 исходный интеграл абсолютно сходится d 8) l l e Так как при e l l и интеграл l l l e d l l l l l l e расходится, то по следствию признака 5 для неотрицательных функций заданный интеграл тоже расходится 9) cos d Так как d rctg сходится абсолютно и функция g()=cos ограничена, то по следствию признака 5 данный интеграл абсолютно сходится ) d

15 Так как при ~ и интеграл d сходится (как интеграл типа () при > ), то по признаку 6 исходный интеграл тоже сходится ) d l Особой точкой подынтегральной суммы является точка х= Так как при l l[ ( )] ~, те d ~, а интеграл l расходится (как интеграл типа (), для которого =), то по признаку 6 расходится и заданный интеграл ) l d Воспользуемся признаком 7 Пусть g ( ) Тогда lim l l lim lim Выберем ε так, чтобы было Тогда сходится (как интеграл типа () при >), а следовательно, сходится и исходный ) d Так как при, интеграл расходится O, и,то по признаку 8а заданный ) d Особой точкой является точка = Так как при 5

16 O ( ) и, то по признаку 8б исходный интеграл сходится 5) I m m m d где,, при условии при I m Вынося за скобки в числителе,а в знаменателе, получим: m m m d Так как функция ( ) при ограничена, то при функция ( ) O m m m m Тогда по признаку 8 данный интеграл сходится, если -m>,те при >m+; и расходится, если m,те при m Так как m и целые положительные числа, то из полученного условия сходимости >m+ следует, что интегралы с бесконечными пределами от отношения двух многочленов будут сходиться, если степень знаменателя будет превышать степень числителя по крайней мере на две единицы Аналогичные соображения применимы и некоторых других случаях 6) I d 5 Интеграл I 5 d сходится ввиду того, что выполнено условие сходимости: 5 (>m+) 6

17 7) I 7 d Интеграл I d сходится, так как выполнено условие сходимости: (>m+) 8) I d Интеграл I d расходится, потому что здесь выполнено условие расходимости: (<m+) 9) l cos d Подынтегральная функция отрицательна, следовательно интеграл сходится или l cos расходится одновременно с интегралом d, у которого подынтегральная функция положительна Здесь сразу не ясен порядок подынтегральной функции, поэтому воспользуемся замечанием п8 l cos Раскладывая функцию по формуле Тейлора, получим: l[ O( )] Таким образом, при х O( ) O l cos ~ заданный интеграл сходится, если +р>, те при >- q ) ( ) d B(, q), следовательно, по признаку 8а 7

18 Здесь при < особой точкой является точка х=, а при q< особой точкой является точка х= Заметим, что интеграл q ) d d q ( ) ( d q ( ) Так, при х ( ) q ~, а при х ~ q q ( ) ( ), то по признаку 8б оба интеграла сходятся, если -< и -q<, те при > и q> Следовательно, и данный интеграл сходится при >, q> ) e d Г( ) Здесь при < особой точкой является точка х= Заметим, что интеграл e e d d e d Так как при х e e ~, то d по признаку 8б сходится, если -<, те при > e Так как при lim lim e при любом р, и g( ) d d сходится по признаку 7 e d также сходится при р произвольном Следовательно данный интеграл сходится при р> ) e d Так как lim e при =>, то по признаку 9а данный интеграл сходится d ) e Здесь особой точкой является точка х= Так как 8

19 ( ) lim e lim e при, то по признаку 9а данный интеграл сходится ) d l Здесь особой точкой является точка х= Так как ( ) lim l расходится 5) l si d lim ( ) при р=, то по признаку 9б данный интеграл Особой точкой является точка х= Так как << lim l si l si lim cos si lim lim cos, то по признаку 9а si данный интеграл сходится si 6) d Представим интеграл в виде суммы ряда si d ( ) si d Рассмотрим интеграл значении Тогда ( ) si d и применим к нему теорему о среднем ( ) si d ( ) ( ) si d ( ) ( ) ( cos) d ( ), где ( ) Но ( ) ( ) Так как ( ) расходится, то расходится и данный интеграл 7) f ( ) d, где f ( ) при при,,, 9

20 Тогда интеграл f ( ) d f ( ) d сходится 8) si d Расходимость этого интеграла была установлена выше с помощью ряда К этому же результату можно прийти и другим способом si d si d cos d si d d cos d Здесь интеграл сходится (он является собственным); третий интеграл сходится по признаку Абеля-Дирихле, так как полагая в нем f()=cos и иметь g( ), будем F( B) B cosd si B si при B и при х функция g ( ) монотонно убывая, а второй интеграл d l расходится Следовательно, расходится и начальный интеграл 9) (l ) si d Полагая f()=si l g( ), будем иметь B F( B) si d cos cos B при B и при х функция l g ( ), монотонно убывая l lim lim Следовательно, по признаку Абеля-Дирихле данный интеграл сходится

21 ) si d Данный интеграл, будучи интегралом типа () при р= сходится условно Докажем это непосредственно Полагая f()=si, а g( ), будем иметь F( B) B si d cos B при B и при х функция g ( ), монотонно убывая Следовательно, данный интеграл по признаку Абеля-Дирихле сходится Чтобы установить его условную сходимость, нужно доказать Расходимость интеграла si d Так как si d ( ) si d и ( ) ( ) si d si ( ) d ( ) при а ряд расходится, как ряд, отличающийся от гармонического множителем, то si d расходится Таким образом, заданный интеграл сходится условно ) si e d Положим функцию si f ( ) и функцию g( ) e Так как si f ( ) d d по признаку Абеля-Дирихле сходятся (см предыдущий пример) и ограничена по модулю e для [, ), то по признаку Абеля-Дирихле данный интеграл сходится ) si( ) d (интеграл Френеля)

22 Полагая si t t, получим si( ) d dt t Так как интеграл si t dt, являясь интегралом типа (), условно сходится t (= ), то данный интеграл условно сходится Найти главное значение следующих интегралов: d ) V c, где <c<, Интеграл d c c lim d d c l lim l, c c c, c (с особая точка) расходится, так как не существует предел l lim,, если и стремятся к нулю независимо друг от друга Если при переходе к пределу считать, что =,то lim l lim l и, следовательно, существует главное значение d c V l c c ) V f ( ) d, если а) f() нечетная функция б) f() четная функция а) Если f() нечетная функция, то всегда существует V f ( ) d lim f ( ) d б) Если f() четная функция, то V f ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) d

23 Поэтому, если один из интегралов f ( ) d от четной функции расходится, те по крайней мере f ( ) d и f ( ) d расходится, то и V f ( ) d не существует 5) V d Интеграл d расходится, так как при m=, = и =m+ (см пример 5) Замечая, что функция состоит из четной части с учетом примера а получим: и нечетной части V d d d V, так как d сходящийся, а в случае сходящегося несобственного интеграла его главное значение равно этому интегралу 6 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Вычислить следующие несобственные интегралы: 6) d 7) Ответ: l( ) l d Ответ: 8) rctg ( ) d Ответ: 9) d Ответ: 5) l cos d Ответ: l 5) ctgd Ответ: l 5) d 5) l Ответ: d

24 5) I 5 Ответ: e d! Ответ: 55) I (l ) d Ответ: ( )! 56) d 5 57) При каких значениях k сходятся интегралы: 58) si k d si d 59) l Ответ: l( ) 5 rcsi d Ответ: при k<- сходится, при k расходится k Ответ: при k> сходится, при k расходится 6) cos d k Ответ: при k< сходится, при k расходится Ответ: l 6) d si k Ответ: при k< сходится, при k расходится Исследовать сходимость интегралов: 6) ( 5 ) d Ответ: сходится 6) d Ответ: сходится d 6) e cos Ответ: расходится 65) d Ответ: сходится при >-

25 66) q l d Указание: положить l t Ответ: сходится, если >-, q>- 67) d si cos d 68) q l q Ответ: сходится, если <, q< Ответ: сходится, если >, q< Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие интегралы: 69) si d Указание: si si Ответ: сходится 7) si(sec ) d 7) Ответ: сходится cos( e ) d Ответ: сходится при > ( ) Ответ: сходится 7) cos d Ответ: сходится 7) cos d Найти главное значение несобственных интегралов: d 7) V Ответ: 76) V rctgd Ответ: 75) V Ответ: si d 5


Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Задача Первая теорема сравнения

Задача Первая теорема сравнения Первая теорема сравнения Постановка задачи: Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами где = f(, u (), u 2 (),...) и u (), u 2 (),...- функции с известными наименьшими и наибольшими значениями,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

11. Несобственный интеграл

11. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл.. Говоря в предыдущем параграфе об определенном интеграле, мы рассматривали ограниченные функции, заданные на ограниченных замкнутых промежутках числовой прямой (если хотя бы одно

Подробнее

Несобственные интегралы 1.Определения, теоремы и формулы для решения задач.

Несобственные интегралы 1.Определения, теоремы и формулы для решения задач. Несобственные интегралы.определения, теоремы и формулы для решения задач. Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций называются несобствнными интегралами I и II рода соответственно.

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

10. Несобственный интеграл

10. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл ТЕОРИЯ При определении интеграла Римана от участвующих в нем объектов, а именно промежутка интегрирования и заданной на нем функции, предполагались выполненными следующие условия:

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы 7 Занятие Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого и второго рода Понятие определенного интеграла f() от ограниченной функции по конечному отрезку [; b] распространяют на случаи, когда

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.5

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.5 Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция.5 Аннотация Несобственные интегралы I рода. Определение ограниченное числовое множество. Множество вещественных

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 30. Несобственные интегралы и их свойства. Условная и абсолютная сходимость. Признаки сходимости.

ЛЕКЦИЯ 30. Несобственные интегралы и их свойства. Условная и абсолютная сходимость. Признаки сходимости. ЛЕКЦИЯ Несобственные интегралы и их свойства Условная и абсолютная сходимость Признаки сходимости Определение определенного интеграла, его свойства и методы интегрирования рассматривались в предположении,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по математическому анализу Часть 2 Числовые ряды М. Г. Голузина,

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл 89 Решение Если, то Следовательно В случае имеем Итак, интеграл d d lim ( ) lim lim d > < d liml lim l d сходится при > и расходится при Пример Исследовать на сходимость интеграл По формуле (), полагая

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, 9- Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел Сформулируйте

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций 3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций Рассмотрим два знака менительно к несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом. Аналогичные знаки имеют

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ НТ Левашова, НЕ Шапкина НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Пособие для студентов II курса

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЕРЛяликова, ЛИСпинко Несобственные

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Тема: Несобственные интегралы

Тема: Несобственные интегралы Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы Лектор Рожкова С.В. 23 г. 5. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: [;] конечен, 2 f ограничена

Подробнее

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд Степенные ряды Определения, теоремы и формулы для решения задач Определение Функциональный ряд ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 называется степенным рядом, числа R,,, называются коэффициентами степенного ряда

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1 Разберите предложенные ниже задачи с решениями Найдите принципиальные ошибки Для ошибочно решенных задач объясните, почему используемые методы не работают или работают неправильно, и предложите собственное

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!!

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!! ТЕМА РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Выяснить, какие из указанных рядов сходятся, а какие нет А) cos - расходится не выполнено необходимое условие cos, Б) arctg Применим признак Даламбера:! arctg! arctg

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

Несобственные интегралы. Несобственные интегралы 1-го рода (с бесконечным промежутком интегрирования). f x и x

Несобственные интегралы. Несобственные интегралы 1-го рода (с бесконечным промежутком интегрирования). f x и x Несобственные интегралы. Несобственные интегралы -го рода (с бесконечным промежутком интегрирования). Определение. Пусть функция f x определена на полупрямой и интегрируема по сегменту при любом несобственным

Подробнее

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд Теорема.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim a, то при ряд сходится, а при ряд расходится. ( ) Пример 4. Исследуем на сходимость ряд. 4 Первая мысль при рассмотрении данного

Подробнее

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Москва 6 Предисловие Учебное пособие

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Определенный интеграл. Основные формулы и теоремы. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница f ( ) F( ) F( ) F( ); () где F() - одна из первообразных для f(), т.е. F f ( ) () Замечание:

Подробнее

[ определение несобственного интеграла - несобственный интеграл по неограниченному промежутку (первого рода) - первый признак сходимости

[ определение несобственного интеграла - несобственный интеграл по неограниченному промежутку (первого рода) - первый признак сходимости [ определение несобственного интеграла - несобственный интеграл по неограниченному промежутку первого рода) - первый признак сходимости несобственного интеграла первого рода - второй признак сходимости

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

«4» Теорема 29 (о замене переменных для интегрируемой функции)

«4» Теорема 29 (о замене переменных для интегрируемой функции) БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 12 (об интегрируемости монотонной функции) «3» Теорема 4 (теорема сравнения для рядов) БИЛЕТ 2 «3» Определение обобщенной первообразной «3» Теорема 16

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

dx = F (+ ) F (a) (8.37)

dx = F (+ ) F (a) (8.37) 8.9. Несобственные интегралы До данного момента рассматривались определенные интегралы для случая конечного промежутка интегрирования (отрезка) [, ] и интегрируемой функции на нем. Расширим область применения

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова

РЯДЫ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Пусть дана числовая последовательность. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: ... a n

Пусть дана числовая последовательность. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: ... a n Тема 9 Пусть дана числовая последовательность { } {, 2,..., 1...}. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: 1 2 3...... 1 Упрощенно : ряд это «бесконечная» сумма. { } Вместе с последовательностью

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Ахметжанова ГВ Павлова ЕС Кошелева НН ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ по

Подробнее

6.7. Определенный интеграл и его свойства

6.7. Определенный интеграл и его свойства 7 Определенный интеграл и его свойства Определенный интеграл Пусть функция f ( ) определена на отрезке [,] и пусть i (i,,n )- совокупность точек этого отрезка, таких, что n Назовем эту совокупность точек

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее