Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ"

Транскрипт

1 Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых элементов y z X и любых чисел α β R на нем определены линейные операции сложения элементов + y X и k умножения элемента на число α X и выполняются следующие аксиомы (аксиомы линейного пространства): + y y + ; ( + y) + z ( y + z) ; 3 0 X + 0 ; 4 X + ( 0 ; 5 α ( β ) ( α β ) ; 6 ; 7 ( α + β ) α + β ; 8 α ( + y) α + α y Элементы любого линейного пространства называются векторами Отображения линейных пространств Рассмотрим векторное линейное пространство V Если задан закон по которому каждому вектору пространства поставлен в соответствие единственный вектор y этого же пространства то будем говорить что в данном пространстве задано преобразование (отображение оператор) f или преобразование пространства V в себя и писать f : V V Вектор y называется образом вектора а - прообраз вектора y Запись y f ( означает что преобразование переводит вектор в вектор y Преобразование (отображение оператор) называется взаимно-однозначным (биективным) если каждый вектор имеет прообраз и притом единственный Вообще говоря оператор (позднелатинское opertor работник исполнитель) это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве Линейное отображение Линейное отображение линейный оператор обобщение линейной числовой функции y k на случай более общего множества аргументов и значений Линейные операторы в отличие от нелинейных достаточно хорошо исследованы что позволяет успешно применять результаты общей теории так как их свойства не зависят от природы величин Отображение (оператор преобразование) f : V V называется линейным если оно обладает следующими свойствами: может применяться почленно к сумме аргументов: f ( + y) f ( + f ( y) y V скаляр (постоянную величину) λ можно выносить за знак оператора: f ( λ λ f ( V λ R( C) Из ) следует справедливость свойства f ( 0) 0 В математике широко применяется условная форма записи операторов Это позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме Аргументы оператора называются операндами число операндов называется «арностью»

2 оператора (например одинарный бинарный) Написание операторов возможно следующим образом: Q ( ) ; ( ) Q ; Q ; Скобки опускаются в большинстве случаев если известна арность оператора Например для одинарного оператора Q над функцией f применяется запись Qf вместо записи Q ( f ) Здесь возможен и другой вариант употребления скобок ( Qf )( Для обозначения некоторых операторов вводятся специальные знаки например! (факториал «!» справа от операнда) (отрицание слева) возведение в степень - бинарный оператор двух аргументов либо степенной или показательной функцией одного аргумента Если определить операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений из X в Y как ( f + g)( f ( + g( X ; ( kf )( kf ( X k R( C) то множество всех линейных отображений из X в Y превращается в векторное пространство которое обычно обозначается как L ( X Y ) Примеры: Нулевое линейное отображение ϕ : V V заданное правилом ϕ ( v) 0 v V ; Тождественное линейное отображение idf : V V задается формулой idf ( v) v v V 3 Сжимающее отображение Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя один из простейших и в то же время наиболее важных так называемый принцип сжимающих отображений Отображение A метрического пространства M в себя называется сжимающим отображением (сжатием) если существует такое число α < что для любых двух точек y M выполняется неравенство ρ ( A Ay) α ρ ( y) Точка называется неподвижной точкой отображения A если A Иначе говоря неподвижные точки это решения уравнения A Теорема (Принцип сжимающих отображений) Всякое сжимающее отображение определенное в полном метрическом пространстве M имеет одну и только одну неподвижную точку Линейные нормированные пространства Множество L называется линейным нормированным пространством если ) L линейное пространство с умножением на вещественные (комплексные) числа; ) каждому элементу L ставится в соответствие вещественное число называемое нормой причем предполагается что выполняются следующие три условия: 0; 0 только при 0; λ λ для любого L и любого вещественного или комплексного числа λ; 3 + y + y для любых y L Норма функционал заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа Приведем примеры наиболее часто встречающихся нормированных пространств Пространство l p < Элементами этого пространства являются упорядоченные p наборы из действительных чисел ( ) Норма определяется с помощью равенства p p k k Заметим что в случае p мы получаем евклидово пространство E

3 l Пространство Элементами пространства так же как в предыдущем примере являются упорядоченные наборы из действительных чисел Норма определяется по формуле m k k 3 Пространство l последовательностей ( ) удовлетворяющих условию sup k < с нормой sup k k k 4 Пространство C[ b] непрерывных на [ b] функций с нормой m ( t) Эта норма называется равномерной Свойства нормы y ± y + y ( ) ( ) + y y y + + y y 3 [ ] (косинус угла) y V t [ b] (аксиома ) Линейный оператор из нормированного пространства в нормированное пространство называется ограниченным если найдется положительное вещественное число такое что f M X Наименьшая константа удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора f и обозначается f Это определение эквивалентно определению f f ( sup или 0 f sup f ( sup f ( Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он непрерывен Свойства нормы оператора Норма оператора обладает всеми свойствами нормы f 0 f 0 f 0 ; α f α f f L( X Y ) α R f + g f + g f g L( X Y ) fg f g f g L( X Y ) Матрица линейного оператора Пусть линейный оператор f : V V переводит в этом пространстве базис e e e в базис e e e Векторы нового базиса можно представить линейной e e + e + + e e e + e + + комбинацией векторов исходного базиса то есть e e e + e + + e Матрица A e e ее ранг ранг преобразования f а r e называется матрицей линейного оператора в базисе - дефект этого преобразования 3

4 Заметим что в i-том столбце матрицы A стоят координаты вектора e e f ei ) ei e i e i в базисе ( e Значит каждому линейному преобразованию соответствует матрица преобразования в данном базисе И наоборот всякой матрице порядка соответствует линейное преобразование векторного пространства Примеры ) В пространстве V рассмотрим преобразование вращения на угол ϕ и найдем матрицу этого преобразования в базисе i Преобразование векторов i : i f ( i ) OM + ON (cosϕ ) i + (siϕ ) f ( ) OS + OT ( si ϕ ) i + (cosϕ ) Тогда матрица преобразования вращения имеет вид cosϕ si ϕ A si ϕ cosϕ ) Матрица тождественного преобразования idf ( v) v v V в любом базисе является единичной матрицей и наоборот всякой единичной матрице порядка соответствует тождественное преобразование -мерного пространства Линейный оператор называется невырожденным если A 0 Если Связь между координатами вектора и его образа V в базисе e e e имеет координатный столбец оператор с матрицей А в данном базисе Y y y y X f - линейный - координатный столбец вектора y y y f ( то Y AX или y A Более подробно y Пример Пусть в пространстве V в некотором базисе e e задано линейное преобразование f матрицей A 0 3 и вектор e 3e Найти f ( Решение y f ( y Y AX y Следовательно y f ( 6e 7e Связь между матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах Теорема Если в базисе в базисе то e e e e e линейный оператор f : V V имеет матрицу A e матрицу B а S матрица перехода от первого базиса ко второму B S AS Доказательство Пусть выполняются следующие данные 4

5 В базисе e Координаты вектора Х Координаты вектора Y e e α α α β β β Равенства X SX Y SY Y AX e e e α α α β β β Y BX Тогда выполняется следующая цепочка равенств X SX AX ASX Y ASX SY ASX SBX ASX SB AS B S AS Что и требовалось доказать Характеристическое уравнение линейного преобразования Теорема Если в базисе e e e линейный оператор f : V V имеет матрицу A в базисе e e e матрицу B то A λ E B λ E где λ - произвольное число Е единичная матрица порядка Доказательство B λ E S Выражение AS λ E S AS λ S ES S ( A λ E) S S A λ E A A λ E A λ E является многочленом степени относительно λ Уравнение A λ E 0 называется характеристическим уравнением линейного преобразования где А матрица этого преобразования Матрица линейного преобразования меняется при переходе от одного базиса к другому а характеристический многочлен не зависит от выбора базиса Произведение и сумма линейных операторов Пусть к вектору применено линейное преобразование f то есть y f ( а к вектору y - преобразование g то есть z g(y) В этом случае говорят что вектор z получен из вектора последовательным преобразованием f и g Такое последовательное применение преобразований f и g называется произведением преобразований или композицией преобразований и обозначается g f Преобразование которое применяется первым записывается справа Суммой преобразований f и g некоторого пространства называется преобразование ( f + g ) такое что для любого этого пространства выполняется равенство ( f + g)( f ( + g( Теорема Если f и g линейные операторы пространства V с матрицами A и B в базисе e e e то операторы произведения ( g f )( g( f ( ) и суммы ( f + g)( f ( + g( - линейные и имеют в том же базисе матрицы BA и A + B соответственно Доказательство ) Пусть выполняется равенства y f ( или y A и z g(y) или z By Тогда z BA Значит произведение преобразований ( g f ) имеет матрицу BA в том же самом базисе Теперь докажем что оно линейное Преобразования f и g линейные следовательно выполняются равенства f ( α + β ) α f ( ) + β f ( ) V α β R( C) g( α + β ) α g( + β g( ) V α β R( C) Тогда 5

6 g f ( α + β ) g( α f ( ) + β f ( )) α g( f ( )) + β g( f ( )) α g f ( ) + β g f ( ) Что доказывает линейность произведения линейных преобразований ) Докажем линейность суммы линейных операторов Пусть оператор f переводит вектор в вектор y а оператор g переводит вектор в вектор z с соответствующими матрицами преобразования то есть y A z B g + f ( α + β ) f ( α + β ) + g( α + β ) α f ( + β f ( ) + α g( + β g( ) α ( g + f )( ) + β ( g + f )( ) Теперь вычислим матрицу суммы линейных операторов y A и z B следовательно y + z A + B ( A + B)( Следовательно оператор суммы линейных операторов имеет матрицу равную сумме матриц этих преобразований Из теоремы следует что в сумме слагаемые операторы можно менять местами Пример Даны два линейных преобразования f и g своими матрицами соответственно A 0 3 и B 4 0 Найти матрицы произведения преобразований f g и суммы f + g Решение AB A + B 3 3 Оператор обратный данному линейному оператору Линейный оператор ϕ :V V называется обратным линейному оператору f : V V если ( f ϕ )( ( ϕ f )( V Обозначение: ϕ f Для существования f необходимо и достаточно чтобы f был невырожденным оператором Если A - матрица оператора f в некотором базисе то оператор же базисе имеет матрицу A f f в том Собственные векторы и собственные значения линейного оператора Ненулевой вектор V называется собственным вектором линейного оператора : V V если λ R ( λ C для комплексногоv ) такое что f ( λ Число λ называется собственным числом (собственным значением) оператора f соответствующим этому собственному вектору Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу A и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X то AX λ X или ( A λ E) X O Чтобы оно имело ненулевое решение необходимо чтобы A λ E 0 - характеристическое уравнение или λ λ в развернутом виде 0 Отсюда находим λ характеристические числа λ λ λ Имеют место следующие свойства: Собственный вектор линейного преобразования имеет единственное собственное число 6

7 Если - линейно-независимые собственные векторы линейного преобразования f с собственным числом λ и k k - любые отличные от нуля числа то k + - также собственный вектор преобразования f с собственным числом λ k Если r - ранг матрицы ( A λ E) то имеется r линейно-независимых собственных векторов преобразования f с собственным числом λ Если - собственные векторы линейного преобразования f с собственным числом λ λ соответственно и λ λ то - линейно-независимые векторы Обратное утверждение вообще говоря не является справедливым (см предыдущее свойство) Собственный вектор линейного преобразования f находится из уравнения ( A λ E) X O следовательно ему соответствующее собственное число должно быть корнем характеристического уравнения A λ E 0 Это уравнение имеет корней среди которых могут быть действительные и комплексные корни и кратность их может быть больше единицы Заметим что собственными числами линейного преобразования вещественного пространства являются только вещественные корни характеристического уравнения Подставляя их в уравнение ( A λ E) X O или соответствующую ему систему линейных уравнений ( λ i ) ( λ i ) i ( λ i ) 0 находим им соответствующие собственные векторы Например Вычислить собственные векторы и собственные числа оператора заданного матрицей A λ Решение 0 или λ 7λ Тогда λ λ 5 собственные 4 λ значения х 0 Пусть λ Тогда или х 0 х 0 + х х х Если положить х с то Х ( с с) с(-) собственный вектор соответствующий собственному значению λ х 0 Пусть λ 5 Тогда или х х 0 х х Если положить х х с то 0 Х с с ) с () собственный вектор соответствующий собственному значению λ 5 ( Модель международной торговли Одним из примеров процесса в экономики приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора является процесс взаимных покупок товаров Пусть бюджет -той страны расходуемый на покупку товара 3 количество стран i доля бюджета которую -я страна тратит на закупку товаров у 7

8 i-той страны A Если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее то à i i Определение Матрица со свойством в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна называется структурной матрицей торговли Для i-той страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой Ð i i + i + + i Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли Ði i те для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли Строго говоря знака «>» не может быть Доказательство С одной стороны стороны i ( i + i + + i ) С другой ( i i + i + + i ) ( ) + ( ) + + ( ) То есть Значит возможен только знак А - структурная матрица торговли четырех стран Найти бюджеты этих стран удовлетворяющие сбалансированной торговле при условии что сумма бюджетов задана х +х +х 3 +х Решение В этой задаче собственное значение матрицы λ и надо найти õ õ соответствующий собственный вектор õ õ 0 4 Решаем систему методом Гаусса Находим х (40)С х (46)С х 3 (0)С х 4 С Тогда (40)С+(46)С+(0)С+C 670 Откуда C0 Следовательно х 400 х 460 х 3 00 х 4 0 Следовательно условие сбалансированной торговли имеет вид в матричной форме АХХ где Х ( ) Отсюда (А-Е)Х0 Это означает что собственный вектор структурной матрицы А соответствующий собственному значению λ состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли Ортогональные матрицы и преобразования Определение Вещественная матрица A ортогональной если соответствующая система векторов называется ( ) ортонормированная и векторы - элементы евклидова пространства 8

9 Из определения следует что если A - ортогональная матрица то i i ki k 0 i k Теорема Необходимым и достаточным условием ортогональности матрицы A является условие A T A E T Доказательство необходимости Пусть A ) - ортогональная матрица A ) - транспонированная к ней Тогда 0 0 A A i T ik k ki k 0 0 E i k k Достаточность Пусть выполняется равенство A T A E Покажем что A ( i ) - ортогональная матрица T E A A i ik k ki k 0 i а это означает что А ортогональная k k матрица Следствие Определитель ортогональной матрицы равен единице по абсолютной величине Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица А ортогональная матрица тогда и только тогда когда A T A T А ортогональная матрица то A и A тоже ортогональные матрицы Теорема Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной Доказательство Пусть e e e и e e e - ортонормированные базисы а матрица перехода S ( si ) i от одного базиса к другому Тогда e se + se + + se e se + se + + se e s e + se + + se Рассматриваемые базисы ортонормированные следовательно ( e e i i i ) 0 Тогда ( e i e ) s i kis k 0 i а это означает что матрица S ортогональная k Линейное преобразование евклидова пространства называется ортогональным если в некотором ортонормированном базисе его матрица ортогональна Теорема Для того чтобы линейное преобразование евклидова пространства было ортогональным необходимо и достаточно чтобы оно ортонормированный базис переводило в ортонормированный Справедливы так же следующие утверждения: Ортогональное преобразование не меняет длины вектора угла между векторами Ортогональное преобразование невырожденное 3 Ортогональное преобразование имеет также ортогональное обратное преобразование 4 Если А- матрица ортогонального преобразования то А Т матрица преобразования обратного данному 5 Произведение ортогональных преобразований также является ортогональным Эти свойства следуют из свойств ортогональных матриц ( i ( i 9

10 Построение ортогонального преобразования начинаем с выбора произвольного вектора ( ) отличного от нуля Второй вектор ( h h h ) выбираем из условия ортогональности его с первым вектором то есть h + h + + h 0 Это уравнение имеет бесчисленное множество решений среди которых выберем ненулевое решение пусть это будет h h h Третий вектор 3( p p p ) выбираем из условия ортогональности его с векторами первым и вторым попарно: p + p + + p 0 p + p + + p 0 Из множества решений этой системы выбираем ненулевое решение пусть это будет ( 3 3 3) Таким образом процесс повторяем до выбора последнего -го вектора Затем векторы нормируем Матрица в столбцах которой находятся координаты векторов будет ортогональной матрицей Такой способ построения подсказывает что ортогональных матриц порядка будет бесчисленное множество Пример Построить ортогональное преобразование трехмерного евклидова пространства отличное от тождественного Решение Выберем первый вектор произвольно Пусть (00 ) Выберем ( h h h3 ) из условия 0h + 0h + h 0 например h h h3 0 Вектор 3( p p p3) должен удовлетворять условию ортогональности с первыми двумя векторами то есть 0 p + 0 p + p3 0 p + p + 0 p 0 Отсюда p p p3 0 тогда можно взять 3 вектор 3 с координатами ( 0) Пронормировав векторы получим (00 ) ( 0) 0) 3( Искомая матрица будет иметь вид 0 A


Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 2.1

Линейная алгебра. Лекция 2.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.квадратичные

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.1

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.1 Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.1 Аннотация Сопряженные и самосопряженные операторы, их свойства и примеры. Ортогональная матрица и

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.1

Линейная алгебра. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.2

Линейная алгебра. Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Аннотация Линейное подпространство, его свойства и примеры. Линейная оболочка, ее свойства

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Свойства собственных векторов линейного оператора.

Свойства собственных векторов линейного оператора. Свойства собственных векторов линейного оператора. 1. Если λ 1,..., λ k (k n) различные собственные числа оператора ϕ, тогда соответствующие собственные векторы x 1,..., x k линейно независимы. Доказательство:

Подробнее

Вращения твердых тел

Вращения твердых тел Вращения твердых тел. Группа вращений твердого тела с закрепленной осью: O(2). 2. Группа вращений твердого тела закрепленной точкой: O(3). 3. Основные формулы тригонометрии. 4. Существование неподвижной

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АФАНАСЬЕВА О.В. ПОТАПЕНКО

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

^A на плоскости, и { } 1

^A на плоскости, и { } 1 Линейные операторы в конечномерных пространствах Будем для простоты рассматривать линейные операторы в линейном пространстве, образованном множеством векторов на плоскости (пространство двух измерений

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства ГЛАВА V. Линейные пространства Лекция 9 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 9 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R линейное (векторное)

Подробнее

2. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой систе- мы векторов

2. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой систе- мы векторов 1Дать определение линейного (векторного) пространства. Множество R элементов x, y, z,... любой природы называется линейным (или векторным) пространством, если выполнены следующие три требования: 1. z=x+y.

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Линейные пространства Лекция 1-2 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 1-2 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R называется линейным или

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.3

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.3 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.3 Аннотация Ортонормированный базис, его свойства и примеры. Процесс ортогонализации Грама

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Белгород, 2017 ББК 22.144 З 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета НИУ «БелГУ» от

Подробнее

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны.

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны. Лекция 3 Тема: Уравнение прямой на проективной плоскости Принцип двойственности Теорема Дезарга Проективные отображения и проективные преобразования План лекции 1 Уравнение прямой на проективной плоскости

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3 Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3 Аннотация Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики А.Д.Больбот Задачи по алгебре Часть 2 Последнее изменение: 5 мая

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Аннотация Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ

ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ Как правило, при решении большинства практических задач задача решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) встречается в виде некоторой вспомогательной подзадачи.

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 2.3

Линейная алгебра. Лекция 2.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.квадратичные

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

Линейные операторы. Лекция 11 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б)

Линейные операторы. Лекция 11 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Линейные операторы Лекция 11 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Пусть даны линейные пространства V dimv = m, W(dimW = n). Определение

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012 Домашнее Задание Дмитрий Сорокин 9 Апреля 22 Задача Рассмотрим подпространство L R 7, являющееся линейной оболочкой векторов v (3, 3,,, 2,, ) v 2 (3, 2, 3, 3, 2,, 2) v 3 ( 3,,, 6, 2, 2, ) v (9,, 3,, 6,,

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.4

Линейная алгебра. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Пояснения к введению в ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Умнов А.Е, Умнов Е.А. (Верс. 29апр2018г)

Пояснения к введению в ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Умнов А.Е, Умнов Е.А. (Верс. 29апр2018г) Пояснения к введению в ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Умнов АЕ Умнов ЕА Верс 9апр08г Данный документ имеет своей целью проиллюстрировать некоторые способы применения понятий и методов рассмотренных ранее в курсах

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 2-е, испр. и доп.

Подробнее

Практические занятия по алгебре. 1 курс. 2 семестр

Практические занятия по алгебре. 1 курс. 2 семестр А.Г.Гейн Практические занятия по алгебре 1 курс 2 семестр Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику задач по алгебре

Подробнее

Тема 2-7: Линейные отображения

Тема 2-7: Линейные отображения Тема 2-7: Линейные отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1. Линейные подпространства в F n 2.

ЛЕКЦИЯ 1. Линейные подпространства в F n 2. КУРС АЛГЕБРЫ-1 в НИУ ВШЭ (осень 2017) Валерий Алексеевич Гриценко ЛЕКЦИЯ 1. Линейные подпространства в F n 2. Основные результаты Лекции 1. Каждое подпространство F n 2 содержит 2k векторов, где 0 k n.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

По дисциплине «Линейная алгебра»

По дисциплине «Линейная алгебра» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНО УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет вычислительной

Подробнее

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства. Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

. Оператор A : Xn Xn называется косоэрмитовым, если A = A, то есть (Ax, y) = (x, Ay) x, y Xn. 2

. Оператор A : Xn Xn называется косоэрмитовым, если A = A, то есть (Ax, y) = (x, Ay) x, y Xn. 2 6. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ И КОСОЭРМИТОВ ОПЕРАТОРЫ Оператор A : X n X n называется самосопряженным (эрмитовым), если A = A, иными словами, если (Ax, y) = (x, Ay) x, y X n. Оператор A : X n X n называется косоэрмитовым,

Подробнее

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее