Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ"

Транскрипт

1 Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200

2 2

3 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Утверждено Редакционно-издательским советом НГПУ в качестве учебного пособия НОВОСИБИРСК 200

4 2

5 УДК ББК В6.223 Р835 Р е ц е н з е н т ы: доктор физико-математических наук, профессор Новосибирского государственного педагогического университета А.Е. Мамонтов; доктор физико-математических наук, профессор Новосибирского государственного университета В.Н. Старовойтов Р835 Рудой, Е.М. Математический анализ. Числовые и функциональные ряды: учебное пособие / Е.М. Рудой. Новосибирск: Изд. НГПУ, с. Учебное пособие содержит теоретический и практический материал для занятий по теме «Числовые и функциональные ряды» по курсу «Математический анализ» для студентов, обучающихся на математическом факультете Новосибирского государственного педагогического университета по специальности «Информатика математика». УДК ББК В6.223 c Рудой Е.М., 200 c ГОУ ВПО «Новосибирский государственный педагогический университет», 200

6 Учебное пособие состоит из пяти глав, отражающих основные теоретические и практические аспекты университетского курса математического анализа по теме Числовые и функциональные ряды, читаемого для студентов математического факультета Новосибирского государственного педагогического университета, обучающихся по специальности «информатика-математика». Большинство задач, включенных в пособие, содержится в качестве упражнений и примеров в различных изданиях (см. список литературы). Часть примеров и задачи для контрольных работ составлены специально для настоящего издания. Сложные задачи помечены звездочкой. Пособие будет полезно как студентам, обучающихся на математическом факультете, так и преподавателям для проведения семинарских занятий.. Числовые ряды.. Понятие числового ряда При изучении числовых последовательностей мы уже сталкивались с понятием числового ряда. Кроме того, известная из школьного курса математики бесконечная геометрическая прогрессия тоже является частным случаем числового ряда. В настоящей главе мы введем понятие числового ряда и изучим основные его свойства. Определение. Пусть задана числовая последовательность {a n }. Выражение вида a + a a n +... = a n () называется числовым рядом. Элементы последовательности {a n } называются членами ряда (). 3

7 Замечание. Бесконечная сумма () является лишь формальной записью, т.к. невозможно вычислить сумму бесконечного числа чисел путем сложения. Определение. Сумма первых n слагаемых числового ряда () называется n-ой частичной суммой ряда () и обозначается S n, т.е. S = a, S 2 = a + a 2, , S n = a + a a n. Таким образом, частичные суммы S n ряда (), где n =, 2,..., образуют последовательность {S n }, которая называется последовательностью частичных сумм. Задача. Дан общий член ряда a n = n2 2 n +. Написать первые четыре члена ряда. Решение. Имеем a = /3, a 2 = 4/5, a 3 =, a 4 = 6/7. Таким образом, получаем, что ряд можно записать в виде n2 2 n Определение. Числовой ряд () называется сходящимся, если существует число S предел последовательности его частичных сумм. Этот предел называется суммой ряда. Таким образом, сумма ряда S = lim n S n. 4 Кроме того, в этом случае пишут S = a n.

8 Определение. Если последовательность частичных сумм ряда () не имеет конечного предела, то ряд называется расходящимся. Замечание. Подчеркнем здесь, что введенное понятие суммы ряда является лишь одним из возможных понятий бесконечной суммы. Существуют другие определения суммы рядов. В настоящем курсе мы будем изучать данное как наиболее естественное. Замечание. Очевидно, что справедливы следующие равенства a = S, a 2 = S 2 S, a n = S n S n. Это означает, что каждому ряду однозначно соответствует последовательность его частичных сумм и, наоборот, если задана последовательность частичных сумм, то всегда можно восстановить члены ряда. Таким образом, изучение сходимости числовых рядов равносильно изучению сходимости последовательностей. Основной задачей в теории рядов является установление сходимости числового ряда. Зачастую даже не требуется находить его сумму. Приведем примеры сходящихся и расходящихся рядов. Пример. Ряд n +... является расходящимся. Действительно, n-я частичная сумма ряда поэтому S n = n = Пример. Рассмотрим ряд lim S n =. n n(n + ), ( ) n

9 Составим последовательность его частичных сумм {S n } S =, S 2 = 0, S 3 =,..., S 2k = 0, S 2k+ =,.... Как известно из теории числовых последовательностей заданная последовательность сходится тогда и только тогда, когда любая ее подпоследовательность сходится к одному и тому же числу. Подпоследовательность последовательности {S n }, составленная из четных номеров, сходится к 0, а подпоследовательность, составленная из нечетных номеров к. Следовательно, ряд расходится. Пример. Исследуем сходимость ряда + q + q q n +..., где q R. Частичная сумма S n этого ряда это сумма n первых членов геометрической прогрессии. Поэтому имеем S n = qn q. Если q <, то lim n qn = 0 и, следовательно, сумма ряда S = lim n S n = q. Если q >, то последовательность {S n } расходится. При q = n-я частичная сумма S n равна n, следовательно, ряд расходится. Если q =, то получаем расходящийся ряд из предыдущего примера. Таким образом, ряд, составленный из членов геометрической прогрессии сходится при q < и расходится при q. 6 Задача. По заданному общему члену ряда a n = n(n + )

10 записать ряд и найти его сумму. Решение. Подставляя последовательно n =, 2, 3,..., получим ряд n(n + ) +... = n(n + ). Для нахождения суммы ряда рассмотрим последовательность его частичных сумм {S n }, где Так как S n = n(n + ) = k(k + ) = k k +, n k= то S n можно преобразовать следующим образом S n = n n +. k(k + ). В последней сумме всей слагаемые попарно уничтожаются, кроме первого и последнего. Таким образом, получаем S n = n +, откуда заключаем, что сумма ряда ( S = lim S n = lim ) n n n + =. Упражнения.... По заданному общему члену ряда a n найти первые четыре члены ряда и записать ряд, если а) a n = n 0 n, б) a n = n!, 7

11 в) a n = n! 2 n, г) a n = ( )n n n! Найти суммы следующих рядов: а) n(n + 2), б) (2n )(2n + )...3. Найти суммы следующих рядов: а) n(n + )(n + 2), б) 2n + n 2 (n + ) 2, в) (2n )(2n + )(2n + 3)...4. Найти суммы следующих рядов или установить их расходимость: а) ( n n + + n), б) nq n, q <, в) г) ln ln ( + n ). ( n 2 ),.2. Свойства числовых рядов Теорема. Пусть ряды a n и b n сходятся, а S и T их суммы. Тогда для любых α, β R ряд (αa n + βb n ) 8

12 сходится и (αa n + βb n ) = αs + βt. Доказательство. Пусть тогда, очевидно, что S n = n a k, T n = k= n b k, k= n (αa k + βb k ) = αs n + βt n. (2) k= Так как последовательности {S n } и {T n } сходятся, то (αa n + βb n ) = lim n k= n (αa k + βb k ) = = α lim n S n + β lim n T n = αs + βt. Следствие. Пусть задана последовательность {a n } такая, что a n = b n + c n, n N. (3) Пусть ряд сходится, а ряд расходится. Тогда ряд b n c n a n (4) 9

13 расходится. Доказательство. Предположим противное, т.е. ряд (4) сходится. Тогда из условия (3) следует, что c n = a n b n. Из теоремы. следует, что ряд сходится. Противоречие. Следовательно, ряд (4) расходится. Задача. Найти сумму ряда c n n Решение. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии с показателем q = /2. Тогда n-ый член исходного ряда a n равен 3 qn. Так как сумма ряда n +..., составленного из членов геометрической прогрессии с показателем q = /2, равна 2, то сумма исходного ряда равна 2/3. Задача. Исследовать на сходимость ряд Решение. Так как ряд расходится, а ряд ( ( ) n + ) 2 n. ( ) n 2 n сходится, то исходный ряд расходится. 0

14 Определение. Пусть задан ряд (). Тогда ряд k= a n+k называется n-ым остатком ряда (). Если n-ый остаток ряда сходится, то его сумму обозначают r n, т.е. r n = a n+k k= k=n+ a k. Теорема.2 Если числовой ряд () сходится, то lim r n = 0. n Доказательство. Пусть ряд () сходится и S его сумма, т.е. S = lim n S n, где {S n } последовательность частичных сумм. Пусть S n m m-ая частичная сумма остатка ряда. Очевидно, что справедливо равенство S n+m = S n + S n m. (5) Зафиксируем n и перейдем к пределу в (5) при m. По условию теоремы ряд является сходящимся, следовательно, lim S m+n = S. m С другой стороны, по определению r n = lim m Sn m. Таким образом, получаем, что S = S n + r n. Устремляя n к бесконечности, получаем, что lim r n = 0. n

15 Теорема.3 (Необходимое условие сходимости ряда). Пусть числовой ряд () сходится. Тогда последовательность его членов {a n } стремится к нулю, т.е. lim a n = 0. n Доказательство. Пусть S n n-ая частичная сумма ряда, S n (n )-ая частичная сумма ряда, S сумма ряда. По условию теоремы ряд является сходящимся. Следовательно, существует предел последовательности {S n } равный S. Так как последовательность {S n } сходится, то и любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу, в том числе и подпоследовательность {S n }. Из равенства a n = S n S n следует, что lim a n = lim S n lim S n = S S = 0. n n n В заключении параграфа сформулируем еще одно очевидное свойство рядов: отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость. При этом сумма полученного ряда отличается от суммы исходного на сумму выброшенных членов. Задача. Исследовать сходимость ряда n n Решение. Рассмотрим n-ый член ряда и вычислим a n = n n + lim a n n = lim n n n + =. Таким образом, заключаем, что исходный ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости числового ряда. 2

16 Задача. Исследовать сходимость ряда 0, , , n 0, Решение. Как известно для любого a > 0 поэтому lim n lim n n a =, n 0, 00 =. Получили, что n-ый член ряда не стремится к нулю. Ряд расходится. Упражнения..2.. Найти сумму следующих рядов: а) 2 3 n, б) ( 4 5 n + ) 2 n+, в) г) ( α q n + β ) q2 n, где q >, q 2 > Исследовать сходимость следующих рядов: а) n 2n , б) n n +..., ( ) n 2 n, в) ( )n+ n +..., n + ( г),, 02 +, 003, ( ) n+ + n ) 0 n +..., д) cos + cos cos n

17 .2.3. Исследовать следующие ряды на сходимость: 2 n + 5 n ( ) а) 0 n, б) ( ) n +, n(n + ) в) ( n ). n.3. Критерий Коши сходимости числовых рядов Сходимость числового ряда по определению это сходимость его последовательности частичных сумм. Поэтому из критерия Коши сходимости числовых последовательностей легко получить критерий сходимости числовых рядов. Теорема.4 (Критерий Коши). Для сходимости числового ряда () необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε нашелся такой номер N, что для всех номеров n N и для любого целого числа p 0 выполняется неравенство n+p a k < ε. (6) k=n+ Кратко это условие можно записать в следующем виде: n+p ε > 0 N : n N p 0 a k < ε. k=n+ Доказательство. По критерию Коши последовательность {S n } сходится тогда и только тогда, когда ε > 0 N : n N p 0 S n+p S n < ε. По определению частичной суммы имеем 4 S n+p S n = a n a n+p = n+p k=n+ a k.

18 Из этого равенства следует условие (6). Пример. Рассмотрим ряд n +..., который называется гармоническим рядом. Используя критерий Коши, покажем, что он является расходящимся. Укажем такое ε 0 > 0, что для любого натурального N существуют натуральные n N и p > 0 такие, что n+p k=n+ k ε 0. Это будет означать, что необходимое и достаточное условие сходимости числовых рядов для гармонического ряда не выполняется. Действительно, если взять ε 0 = 2, n = N, p = N, то будем иметь 2N k = N + + N N > k=n+ > 2N + 2N = N }{{ 2N} 2N = 2. N слагаемых Таким образом, гармонический ряд является расходящимся. Замечание. Необходимое условие сходимости числовых рядов можно было доказать, используя критерий Коши. Действительно, если взять p =, то получаем, что ε > 0 N n N a n+ < ε. Это и означает, что последовательность {a n } бесконечно малая. 5

19 Замечание. Подчеркнем, что условие стремления к нулю последовательности членов ряда является необходимым. Например, как мы показали, гармонический ряд расходится, но lim n n = 0. В дальнейшем мы сформулируем и докажем ряд достаточных признаков сходимости рядов. Упражнения..3.. Используя критерий Коши сходимости рядов, доказать расходимость следующих рядов: а) n +..., б) n +...,.3.2. Доказать, что ряд в) n n n +... сходится и найти его сумму Пользуясь критерием Коши, доказать, что ряд расходится. 6 + n + n }{{ n} n n }{{ n} n раз n раз

20 .4. Ряды с неотрицательными членами В этом параграфе будем изучать числовые ряды, члены которых неотрицательны. Итак, пусть дан ряд a n, (7) у которого a n 0 для всех n. Рассмотрим последовательность его частичных сумм S n : S = a, S 2 = a + a 2 = S + a 2, S 3 = a + a 2 + a 3 = S 2 + a S n = a + a a n + a n = S n + a n. Так как все a n неотрицательны, то 0 S S 2... S n... Таким образом, у числового ряда с неотрицательными членами последовательность частичных сумм является неубывающей. Теорема.5 Числовой ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху. Доказательство. Утверждение теоремы непосредственно следует из критерия существования предела монотонной последовательности. Далее мы сформулируем и докажем несколько достаточных признаков сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. Все они будут основаны на сравнении исходного ряда с рядами, информация о сходимости которых уже известна. Такие признаки называются признаками сравнения. 7

21 Теорема.6 (Признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами ряд (7) и b n. (8) Пусть для всех n N a n b n. Тогда справедливы следующие утверждения:. Если ряд (8) сходится, то сходится и ряд (7); 2. Если ряд (7) расходится, то расходится и ряд (8). Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы. Пусть ряд (8) сходится. Пусть S n, T n n-ые частичные суммы рядов (7), (8) соответственно, а T сумма ряда (8). Так как последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами неубывающая, то T n T. Следовательно, имеем S n = n a k k= n b k = T n T. k= Таким образом, получаем, что последовательность частичных сумм S n ряда (7) ограничена. Поэтому, ряд (7) сходится. Докажем теперь второе утверждение теоремы. Пусть ряд (7) расходится. Значит последовательность его частичных сумм неограничена. Из неравенства S n T n следует неограниченность последовательности {T n }. Поэтому ряд (8) расходится. 8 Задача. Исследовать сходимость ряда n=2 n(n ).

22 Решение. Имеем a n = n(n ) > n 2 = n, но, как было доказано выше, гармонический ряд является расходящимся, следовательно, исходный ряд расходится. Задача. Исследовать сходимость ряда n 2. Решение. Воспользуемся признаком сравнения. Для этого оценим сверху n-ый член ряда: n 2 < n(n ) но, как мы доказали ранее, ряд n 2, n(n ) сходится. Следовательно, исходный ряд тоже сходится. Следствие. (Признак сравнения в предельной форме) Пусть даны ряды (7) и (8) с неотрицательными членами. Пусть b n > 0 и существует конечный a n lim = L > 0. (9) n b n Тогда ряды (7) и (8) сходятся или расходятся одновременно. Доказательство. Так как L > 0, то по определению предела последовательности существует такой номер N, что для всех n N выполняется неравенство a n L b n < L 2. 9

23 Отсюда получаем L 2 < a n b n < 3L 2 n N. (0) Из (0) следует a n < 3L 2 b n n N. Поэтому, по признаку сравнения из сходимости ряда (8) получаем сходимость ряда (7); из расходимости ряда (7) получаем расходимость ряда (8). Отметим, что здесь мы воспользовались тем, что отбрасывание конечного числа (в нашем случае N ) членов ряда не влияет на его сходимость. С другой стороны, так как L > 0 и b n > 0, то начиная с некоторого номера N 2 все члены последовательности отличны от нуля. Тогда, выбирая N = max (N, N 2 ), будем иметь 2 3L < b n a n < 2 L для всех n N. По признаку сравнения получаем, что из сходимости ряда (7) следует сходимость ряда (8); из расходимости ряда (8) следует расходимость ряда (7). Замечание. Если L = 0, то из сходимости ряда (8) следует сходимость ряда (7); из расходимости ряда (7) следует расходимость ряда (8). Задача. В зависимости от параметра α > 0 исследовать сходимость ряда 2 + α n. 20 Решение. Пусть 0 < α <, тогда lim n 2 + α n = 2,

24 т.е. не выполняется необходимое условие сходимости рядов. То же самое и в случае α =. Пусть теперь α >, тогда Так как ряд 2 + α n < α n. сходится (как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии с показателем q = /α < ), поэтому по признаку сравнения сходится и исходный ряд. Задача. Для α исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда n α. α n Решение. Очевидно, что для всех α и всех натуральных n справедливо неравенство n α n. Как мы уже доказали, гармонический ряд расходится. Следовательно, по признаку сравнения обобщенный гармонический ряд с показателем α тоже будет расходится. Замечание. В дальнейшем мы докажем, что для показателя α > обобщенный гармонический ряд будет сходится. Задача. Исследовать сходимость ряда sin n. Решение. Воспользуемся признаком сравнения в предельной форме. Для этого рассмотрим предел sin n lim n n sin x = lim =. x 0 x 2

25 Так как гармонический ряд расходится, то исходный ряд тоже будет расходится. Задача. Исследовать сходимость ряда ( ) n 3 n+2. Решение. Для всех натуральных n выполняется неравенство 0 < ( )n 3 n n+2 3 n. Таким образом, из сходимости ряда 3 n следует сходимость исходного ряда. Задача. Исследовать сходимость ряда Решение. Вычислим предел ( n arctg ). n x arctg x lim x 0 x 3. Несложно проверить, что выполнены все условия правила Лопиталя. Поэтому x arctg x +x lim x 0 x 3 = lim 2 x 0 3x 2 = 3. Следовательно, lim n n arctg n n 3 = 3, 22

26 откуда из сходимости ряда n 3 (т.к. < ) следует сходимость исходного ряда. n 3 n 2 Задача. Исследовать сходимость ряда e n + n 2 3 n + ln n. Решение. Сравним исходный ряд с рядом ( e ) n, 3 который является сходящимся, т.к. e < 3. Вычислим предел lim n e n +n 2 3 n +ln n ( e 3) n = lim n Следовательно, исходный ряд сходится. + n2 e n + ln n 3 n =. Теорема.7 Пусть даны два ряда (7) и (8) с положительными членами, т.е. a n > 0, b n > 0 для всех n N. Пусть справедливо неравенство a n+ b n+ n N. () a n b n Тогда из сходимости ряда (8) следует сходимость ряда (7); из расходимости ряда (7) следует расходимость ряда (8). Доказательство. Выпишем цепочку из (n ) неравенств вида () a 2 b 2, a b a 3 a 2 b 3 b 2, 23

27 a n b n a n b n и перемножим их (мы это можем сделать, т.к. все a n и b n строго положительны). В результате получим a n a b n b. Отсюда и признака сравнения следует утверждение теоремы. Далее мы сформулируем и докажем ряд признаков сходимости, основанных на сравнении исходного ряда с рядом, составленным из членов геометрической прогрессии q n, который сходится при q < и расходится при q. Далее мы будем рассматривать положительные q. Теорема.8 (Признак Даламбера). Пусть дан ряд (7). Если для всех n N справедливо неравенство a n+ a n q <, (2) то ряд (7) сходится. Если для всех n N справедливо неравенство a n+ a n, (3) то ряд (7) расходится. Доказательство. Пусть справедливо неравенство (2) с q <. Рассмотрим ряд (8) с b n = q n. Тогда (2) можно переписать в следующем виде a n+ a n q = qn+ q n b n+ b n. 24

28 Так как q <, то по теореме.7 ряд (7) сходится. Пусть теперь выполняется (3). Рассмотрим ряд (8) с b n =. Тогда неравенство (3) можно переписать в следующем виде a n+ a n = b n+ b n. Отсюда и из теоремы.7 следует, что ряд (7) расходится. Замечание. Условие (2) нельзя заменить условием a n+ a n <. Действительно, для гармонического ряда имеем a n+ a n = n n + < для всех натуральных n, но ряд расходится. Замечание. Как уже отмечалось выше, отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость. Поэтому если неравенства (2) и (3) выполняются не для всех номеров n, а начиная с некоторого N, то утверждение теоремы остается в силе. Задача. Пользуясь признаком Даламбера, исследовать сходимость ряда 3 n n!. Решение. Имеем поэтому a n = 3n n!, a n+ = 3n+ (n + )!, a n+ a n = 3n+ n! 3 n (n + )! = 3 n < для всех n 3. Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится. 25

29 Задача. Доказать расходимость ряда Решение. Имеем n! 0 n. a n+ a n = (n + )! 0n 0 n+ n! = n + 0 для всех n 9, поэтому по признаку Даламбера ряд расходится. Теорема.9 (Признак Даламбера в предельной форме). Пусть дан ряд (7). Пусть существует предел a n+ lim = L. (4) n a n Тогда при L < ряд (7) сходится; при L > расходится. Доказательство. Пусть предел (4) существует и L <. Тогда, начиная с некоторого номера N, справедливо неравенство a n+ L a n < L, n N, 2 откуда следует a n+ a n < + L 2 < n N. По признаку Даламбера ряд сходится. Пусть теперь L >. Тогда, начиная с некоторого номера N, справедливо неравенство a n+ L a n < L, n N, откуда следует 26 a n+ a n > n N.

30 По признаку Даламбера ряд расходится. Замечание. Отметим, что признак Даламбера применим только в случаях, когда L. Если же L =, то исследуемый ряд может как сходится, так и расходится. Например, для гармонического ряда (известно, что он расходится) a n+ lim =. n a n Вместе с тем, ряд сходится и n 2 a n+ lim =. n a n Задача. Исследовать на сходимость ряд 3 n n! n n. Решение. Воспользуемся признаком Даламбера в предельной форме. Итак, имеем Поэтому a n+ a n = 3n+ (n + )!n n (n + ) n+ 3 n n! = 3nn (n + ) n = 3 ( ) + n. a n+ lim n a n = lim n 3 ( + n и, следовательно, ряд расходится. Задача. Исследовать на сходимость ряд n 5 n. ) n = 3 e > n 27

31 Решение. Здесь a n = n 5 n, a n+ = n+ 5 n+, поэтому a n+ lim n a n (n + ) 5 n = lim n n 5 n+ Следовательно, ряд сходится. Задача. Исследовать сходимость ряда n = lim n 5(n + ) = 5 <. (n!) 2 (2n)!. Решение. Выпишем отношение (n + )-го члена ряда к n-му: a n+ a n = ((n + )!)2 (2n)! (n!) 2 (2(n + ))! = (n!) 2 (n + ) 2 (2n)! (n!) 2 (2n)!(2n + )(2n + 2) = = (n + ) 2 (2n + )(2n + 2). Переходя к пределу при n, получим Поэтому, ряд сходится. a n+ lim = n a n 4 <. Теорема.0 (Признак Коши). Пусть дан ряд (7). Если для всех n N справедливо неравенство n an q <, (5) то ряд (7) сходится. Если для всех n N справедливо неравенство n an, (6) то ряд (7) расходится. Доказательство. Пусть q <, положим b n = q n. Тогда из (5) следует, что a n b n, 28

32 и по признаку сравнения ряд (7) сходится. Пусть теперь справедливо неравенство (6). Тогда a n, следовательно, n-ый член ряда не может стремиться к нулю. Ряд расходится. Замечание. Если условие (5) справедливо, начиная с некоторого номера N, то признак Коши сходимости числовых рядов остается в силе. Замечание. Условие (5) нельзя заменить условием n an <. Например, для гармонического ряда но, как известно, он расходится. n an = n n <, Задача. Исследовать сходимость ряда n=2 (ln n) n. Решение. Воспользуемся признаком Коши: n an = n (ln n) n = ln n < 2 < для всех n 9. Поэтому ряд сходится. Задача. Исследовать на сходимость ряд ( ) n n. 3n + Решение. Имеем ( ) n n n an = n = n 3n + 3n + < n 3n = 3 <, 29

33 и, следовательно, ряд сходится. Задача. Исследовать следующий ряд на сходимость: ( 2 + ( ) n ) n. Решение. Рассмотрим 5 + ( ) n+ n an = откуда следует, что ряд сходится. 2 + ( )n 5 + ( ) n = 3 4 <, Теорема. (Признак Коши в предельной форме). Пусть дан ряд (7). Пусть существует предел lim n n an = L. (7) Тогда при L < ряд (7) сходится; при L > расходится. Доказательство. Доказательство аналогично доказательству признака Даламбера в предельной форме. Для этого достаточно лишь в рассуждениях заменить a n+ a n на n a n. Замечание. В случае, когда L =, исследование сходимости ряда требует применения других методов. Задача. Исследовать на сходимость ряд 3 n ( n + Решение. Для данного ряда имеем ( n lim n n + an = lim n n 3 n n 30 n ) n 2 ) n 2 = ( 3 lim + ) n = e n n 3 <.. = ( ) n + n 3 lim = n n

34 Следовательно, ряд сходится. Задача. Исследовать сходимость ряда Решение. Известно, что поэтому lim n lim n ( n n 000 = 2 n n 000. n n =, lim n и, следовательно, для данного ряда lim n n an = lim n n n ) 000 = 2 n n 000 = 2 >. Таким образом, заключаем, что ряд расходится. Теорема.2 (Интегральный признак сходимости). Пусть функция f(x) неотрицательна и не возрастает всюду на полуинтервале [, + ). Тогда числовой ряд f(n) = f() + f(2) +... (8) сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл f(x)dx. (9) Доказательство. Возьмем произвольное натуральное число n 2, а x любое число из отрезка [n, n]. По условию теоремы функция f(x) невозрастающая. Поэтому справедливы неравенства f(n) f(x) f(n ) n 2. 3

35 Так как функция f(x) неотрицательна и монотонна для всех x, то она ограничена. А из ограниченности и монотонности функции следует ее интегрируемость на отрезке [n, n]. Имеют место неравенства n n откуда следует f(n)dx f(n) n n n n f(x)dx n n f(n )dx, f(x)dx f(n ) n. Выпишем цепочку неравенств, последовательно подставляя n =, 2, 3,... f(2) f(3) f(n) f(x)dx f(), f(x)dx f(2), n n f(x)dx f(n ). Сложим эти неравенства и воспользуемся аддитивностью определенного интеграла. В результате получим n f(k) k=2 n n f(x)dx f(k). (20) k= Пусть S n n-я частичная сумма ряда (8), т.е. 32 S n = n f(k). k=

36 Кроме того, положим a n = n f(x)dx. Тогда (20) можно переписать в следующем виде S n f() a n S n. (2) Из (2) легко следует утверждение теоремы. Действительно, т.к. f(x) 0 для всех x, то последовательность {a n } неотрицательна. Поэтому для ее сходимости (что, фактически, означает сходимость несобственного интеграла (9)) необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена. Кроме того, для сходимости ряда (8) ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность {S n } его частичных сумм была ограничена. Из (2) следует, что последовательность {a n } ограничена тогда и только тогда, когда ограничена последовательность {S n }. Пример. Используя доказанную теорему легко показать, что обобщенный гармонический ряд с показателем α > сходится. Действительно, известно, что несобственный интеграл dx x α сходится при α >, и расходится при α. Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при α >, и расходится при α. Замечание. Отметим, что сумма числового ряда (8) в общем случае не совпадает со значением несобственного интеграла (9). n α 33

37 Задача. Исследовать сходимость ряда n=2 n ln n. (22) Решение. Применим интегральный признак сходимости. Для этого рассмотрим несобственный интеграл который по определению равен 2 dx x ln x, lim ln ln x x=a A x=2 = lim ln ln A ln ln 2. n Последний, в свою очередь, не существует. Следовательно, ряд (22) расходится. Упражнения..4.. Используя признак сравнения, исследовать сходимость следующих рядов: а) n (n 2 + ), б) n=2 ln n, в) д) n, г) n 3 n (2n + ), n 2 +, е) n 2 n 5 n Используя признак сравнения, доказать сходимость следующих рядов: 34 а) sin π n 2, б) sin 3 n 3 n,

38 в) д) n 2 + cos n, г) tg n 2, ln n n 3 2, е) ln ( n + ) n.4.3. Используя признак сравнения в предельной форме, исследовать сходимость следующих рядов: 2 n + а) 3 n, б) ( n 2 ) + 2 ln n 2, д) в) ln n sin n 2, г) n tg n, ( n + ), е). 2 n sin 3 n Исследовать сходимость следующих рядов: а) д) в) ( cos ) n, б) ( n sin ), г) n n n , е) ( ) n e 2 n, n 2 + n n ; (4 + ( ) n ) n 7 n Используя признак Даламбера, исследовать сходимость следующих рядов: а) в) n(n + ) 3 n, б) n n n!, г) 7 n n!, n! 00 n, 35

39 где д) n n sin π 2 n n!, е) (2n )!! (2n)!! (2n)!! = (2n), (2n )!! = (2n ). n2 n+,.4.6. Используя признак Коши, исследовать сходимость следующих рядов: а) (5 + ( ) n ) n 4 n, б) ( ) n n, 5n + 2 в) ( ) 2 ( ) n n 5 + ( ) n, г) ( 2n 2 ) n 3n Используя признак Коши в предельной форме, исследовать сходимость следующих рядов: а) ( ) n n 2, б) n + ( ) n n, 2n + д) в) 2 n ( n + n ( 2n 2 ) n + 3n 2, ) n 2, г) sin n π 2 n, ( 2n 2 ) n + 2n + 5n n Используя интегральный признак сходимости, исследовать на сходимость следующие ряды: а) n=2 n ln 2 n, б) e n n, в) n=2 n ln n ln ln n, n=2 n ln n(ln ln n) 2. 36

40 .4.9. Используя различные признаки сходимости, исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) 0 n 2n + 5, б) n! n n, в) д) ж) и) м) 0 n n!, г) ( ) n + n, 2 n + 3 n 4 n + 5 n, е) 3 n 2 n 5 n 4 n, n n n, з) 2 ( )n +n, к) л) о) n 3 + ( ) 4 + n, n 2 ( )n n, (3n + 4) (4n + 3), ( ) + n 2 n e n, н) 3 n2 2 n2 n, п) n=2 (n!) 2 2 n2, ln ln n n ln n..5. Абсолютно и условно сходящиеся ряды В этом параграфе изучим ряды, члены которых могут быть любого знака. Определение. Ряд a n (23) 37

41 называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд a n. (24) Замечание. В определении абсолютно сходящегося ряда не сказано, что он должен сходится. Тем не менее, справедлива следующая теорема. Теорема.3 Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Доказательство. Нам надо доказать, что из сходимости ряда (24) следует сходимость ряда (23). Действительно, в силу критерия Коши имеем: для любого ε > 0 существует номер N такой, что для всех n N и для всех p 0 справедливо неравенство Из неравенства n+p k=n+ n+p k=n+ a k a k < ε. n+p k=n+ a k следует, что критерий Коши справедлив и для ряда (23). Определение. Ряд (23) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд (24) расходится. Задача. Показать, что ряд sin n n α сходится абсолютно при α >. Решение. Из неравенства sin n n α, n, nα 38

42 и признака сравнения следует, что ряд sin n n α сходится. Следовательно, исходный ряд будет сходиться абсолютно. Задача. Доказать, что ряд sin n n α ( ) n+ n (25) сходится условно. Решение. Заметим, что ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, совпадает с гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Следовательно, ряд (25) не сходится абсолютно. Покажем, что он сходится. Действительно, по формуле Маклорена для функции ln ( + x) имеем ln ( + x) = x x2 2 + x3 xn ( )n+ 3 n + R n+(x), где R n+ (x) остаточный член. В форме Лагранжа R n+ (x) = ( ) n, θ (0, ). (n + )( + θx) n+ Отсюда следует, что для всех x [0, ] имеет место оценка Таким образом, получаем x n R n+ (x) n +. S n ln 2 n +, 39

43 где S n n-я частичная сумма ряда (25). Это означает, что ряд (25) сходится, а его сумма равна ln 2. Мы показали, что ряд (25) сходится условно. Определение. Пусть задана последовательность {p n }, у которой p n 0 для всех n N. Ряд вида p p 2 + p 3 p = ( ) n+ p n (26) называется знакочередующимся рядом. Установим достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов. Теорема.4 (Лейбниц). Если последовательность {p n } монотонно стремится к нулю, то ряд (26) сходится. Доказательство. Пусть {S n } n-я частичная сумма ряда (26). Рассмотрим подпоследовательность S 2k. Сгруппируем слагаемые в S 2k следующим образом S 2k = (p p 2 ) + (p 3 p 4 ) (p 2k p 2k ). В силу монотонности последовательности {p n } каждое из слагаемых в последнем равенстве неотрицательно. Следовательно, последовательность {S 2k } неубывающая. С другой стороны, имеем S 2k = p (p 2 p 3 ) (p 4 p 5 )... (p 2k 2 p 2k ) p 2k p. Таким образом, получаем, что последовательность {S 2k } не убывает и ограничена сверху. Следовательно, она имеем предел. Обозначим его через S. Далее, имеем S 2k = S 2k p 2k. Так как p 2k 0 при k, то S 2k S при k. Отсюда следует, что последовательность {S n } сходится к S, т.е. ряд (26) сходится. 40

44 Задача. Используя признак Лейбница, доказать, что ряд ( ) n+ n сходится. Решение. Проверим, что данный ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Действительно, ряд является знакочередующимся, составленным из последовательности {p n }, где p n = n, которая монотонно стремится к нулю. Задача. Исследовать следующий ряд на абсолютную и условную сходимости: ( ) n+ n ln n. Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда ( ) n+ n ln n = n ln n и сравним его с гармоническим рядом, воспользовавшись признаком сравнения в предельной форме. Итак, имеем lim n n ln n n = lim n ln n n = откуда следует, что ряд не сходится абсолютно. Исследуем ряд на сходимость. Покажем, что последовательность {p n }, где p n = n ln n монотонно убывает. Для этого рассмотрим функцию f(x) = x ln x, 4

45 определенную на полуинтервале [, + ) и найдем ее производную: ( f (x) = (x ln x) 2 ) = x x (x ln x). Видно, что f (x) < 0 для всех x >. Следовательно, функция f(x) монотонно убывает. Поэтому последовательность p n тоже убывает. По признаку Лейбница ряд сходится. Таким образом, ряд сходится условно. В заключение сформулируем две теоремы, характеризующие отличие условно и абсолютно сходящихся рядов. Теорема.5 (Коши). Если данный ряд сходится абсолютно, то любой ряд, составленный из членов исходного, взятых в любом порядке, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и исходный. Теорема.6 (Риман). Если данный ряд сходится условно, то для любого действительного числа S можно переставить члены исходного ряда так, что сумма полученного ряда будет равна S. Теорема Римана показывает, что одно из основных свойств действительных чисел коммутативность конечного числа слагаемых не переносится на бесконечные суммы, т.е. на ряды. С другой стороны, теорема Коши показывает, что среди рядов можно выделить отдельный класс абсолютно сходящиеся ряды, для которых справедлив коммутативный закон сложения. И, наконец, отметим, что ассоциативный закон сложения справедлив для любых сходящихся рядов. Если же ряд расходится, то это утверждение не верно. Например, ряд расходится, а ряды ( ) n +... ( ) + ( ) ( ) +..., ( ) ( )... ( )...,

46 полученные из исходного путем расставления скобок, сходятся. При этом сумма первого равна 0, а второго. Упражнения..5.. Используя признак сходимости Лейбница, доказать сходимость следующих рядов: в) а) ( ) n+ (n + ) n 2, б) + n + ( ) n+ ln n, г) n ( ) n+ ln(n + ), ( ) n+ ln(n 2 n + ) Исследовать на абсолютную и условную сходимости следующие ряды: а) г) е) ( ) n+ ln(n 2 + ), б) ( ) n+ n 2, в) ( ) n+ n, ( ) n+ 2n + n(n + 0), д) ( ) n+ ( n e ), ( ) n+ n n 3 sin 2 n, ж) ( ) n n ( ) n+. 2n + 2. Функциональные ряды В этой главе мы изучим функциональные последовательности и ряды, членами которых являются не числа, а некоторые функции, определенные на некотором фиксированном множестве. 2.. Функциональные последовательности Пусть X некоторое числовое множество, т.е. X R. Для каждого натурального n поставим в соответствие некоторую функ- 43

47 цию f n (x), определенную на множестве X. В результате получим функциональную последовательность При этом {f n (x)}. (27) f (x), f 2 (x),..., f n (x),... называются элементами функциональной последовательности, а множество X ее областью определения. Пример. ) f n (x) = x n, x [0, ]; 2) f n (x) = arctg nx, x R. Определение. Пусть точка x 0 принадлежит множеству области определения функциональной последовательности (27). Говорят, что функциональная последовательность (27) сходится в точке x 0, если числовая последовательность {f(x 0 )} сходится. Определение. Множество точек x 0 X, в которых сходится данная функциональная последовательность, называется областью сходимости этой последовательности. Замечание. Область сходимости может не совпадать с областью определения функциональной последовательности. Действительно, рассмотрим f n (x) = x n, x [, ]. Для любой точки x 0 (, ] числовая последовательность {x n 0 } сходится. В точке x 0 = последовательность {( ) n } расходится. Значит, областью сходимости будет полуинтервал (, ]. Далее будем рассматривать функциональные последовательности, у которых область сходимости и область определения совпадают. Определение. Функция f(x), определенная на множестве X называется пределом (или поточечным пределом) последовательности (27), если f(x 0 ) = lim n f n(x 0 ) для всех x 0 X. Пример.. Пусть f n (x) = x n, x [0, ]. Тогда при n { 0, x [0, ), f n (x) f(x) =, x =. 44

48 2. Пусть тогда при n для всех x R. 3. Пусть Тогда при n f n (x) = f n (x) = nx2 + n 2 x 2, x R, f n (x) f(x) = 0 f n (x) f(x) = { nx, x [0, n ], 0, x ( n, ]. {, x = 0, 0, x (0, ]. Заметим, что в рассмотренных примерах все функции f n (x) непрерывны, а предельная функция может оказаться и разрывной (в и 3 случаях). В дальнейшем мы установим ряд достаточных условий, при которых предельные функции последовательностей и рядов будут сохранять свои свойства: непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость. Для этого мы введем новое понятие понятие равномерной сходимости. Определение. Функциональная последовательность {f n (x)} называется равномерно сходящейся к функции f(x) на множестве X, если для любого ε > 0 существует такой номер N, что для всех точек x X и для всех номеров n N выполняется неравенство f n (x) f(x) < ε. Если последовательность {f n (x)} сходится к f(x) равномерно на множестве X, то в этом случае пишут f n X f при n. Замечание. Если последовательность {f n (x)} сходится равномерно к функции f(x) на множестве X, то она сходится и поточечно для каждой точки x из X. Обратное в общем случае 45

49 не верно, т.е. из сходимости последовательности функций в для каждой точки x X не следует равномерная сходимость последовательности. Действительно, как известно, последовательность {f n (x)}, где сходится к f n (x) = x n, x [0, ] f(x) = { 0, x [0, ),, x = в каждой точке отрезка [0, ]. Покажем, что равномерной сходимости нет. Для этого укажем число ε 0 > 0 такое, что для всех N можно найти такой номер n N и такую точку x [0, ], что будет выполняться неравенство f n (x) f(x) ε 0. Действительно, если взять ε 0 = /4 и для любого натурального N положить n = N и взять точку x N = /N [0, ], то будем иметь ( f N (x N ) f(x N ) = ) N. N Известно, что числовая последовательность { ( ) } N N является возрастающей, следовательно, ( ) N ( ) 2 = N 2 4 для всех натуральных N 2. Запишем определения поточечной и равномерной сходимости последовательности функций в символической форме: поточечная сходимость: f n f 46 x X ε > 0 N n N : f n (x) f(x) < ε;

50 равномерная сходимость: f n X f ε > 0 N n N x X : f n (x) f(x) < ε. Таким образом, если последовательность функций сходится поточечно на множестве X, то для каждой точки x из X существует, вообще говоря, свой номер N = N(ε, x) (т.е. N зависит и от ε, и от x) такой, что начиная с него, выполняется неравенство f n (x) f(x) < ε. (28) Если же последовательность сходится равномерно на множестве X, то номер N, начиная с которого выполняется неравенство (28) не зависит от выбора точки x X, т.е. неравенство (28) выполняется для всех x X и для всех n N. Теорема 2. Последовательность {f n (x)} сходится равномерно на множестве X к функции f(x) тогда и только тогда, когда lim sup f n (x) f(x) = 0. (29) n x X Доказательство. Пусть последовательность {f n (x)} сходится равномерно к f(x) на множестве X, тогда Положим ε > 0 N n N x X : f n (x) f(x) < ε 2. α n = sup f n (x) f(x). x X Тогда из свойств точной верхней грани следует, что α n ε 2 < ε. Таким образом, получили, что для любого ε > 0 можно найти такой номер N, начиная с которого выполняется неравенство 47

51 α n < ε, где n N. Это означает, что числовая последовательность {α n } стремится к нулю. Пусть теперь выполнено (29), т.е. Так как то Таком образом, получили ε > 0 N n N : α n < ε. α n = sup f n (x) f(x), x X f n (x) f(x) α n x X. ε > 0 N n N x X : f n (x) f(x) α n < ε, то есть последовательность {f n (x)} сходится равномерно к f(x) на множестве X. Следствие. Пусть для всех x X и f n (x) f(x) a n (30) lim a n = 0. (3) n Тогда последовательность {f n (x)} сходится равномерно к f(x) на множестве X. Доказательство. Так как неравенство (30) выполняется для всех x X, то sup f n (x) f(x) a n. x X Тогда из условия (3) следует, что 48 lim sup f n (x) f(x) = 0. n x X

52 Пример. Рассмотрим функциональную последовательность {f n (x)}, где f n (x) = nx2 + n 2 x 2, x R. Для каждого фиксированного x 0 X числовая последовательность {f n (x 0 )} сходится к нулю. Покажем, что {f n (x)} сходится к f(x) = 0 равномерно на R. Действительно, имеем f n (x) f(x) = nx 2 + n 2 x 2 < nx2 n 2 x 2 = n 0 при n. В заключение параграфа докажем критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей. Теорема 2.2 (критерий Коши). Функциональная последовательность {f n (x)} сходится равномерно на множестве X к некоторой функции тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 можно найти такой номер N, что для всех x X, для всех n N и для всех p =, 2... выполняется неравенство f n+p (x) f n (x) < ε. Кратко последние условие можно записать так: ε > 0 N x X n N p : f n+p (x) f n (x) < ε. (32) Доказательство. Докажем необходимость. Пусть последовательность {f n (x)} сходится равномерно к f(x), т.е. для любого ε > 0 можно найти номер N такой, что для всех n N и для всех x X выполнено f n (x) f(x) < ε 2. Так как n + p > n при p, то для всех x X, для всех n N и для всех p имеем f n+p (x) f(x) < ε 2. 49

53 В результате получим, что для всех ε > 0 существует номер N такой, что для всех x X, для всех n N и для всех p выполнено f n+p (x) f n (x) = f n+p (x) f(x) (f n (x) f(x)) f n+p (x) f(x) + (f n (x) f(x)) < ε 2 + ε 2 = ε. Теперь докажем достаточность. Пусть выполнено условие (32). Возьмем произвольную точку x 0 X. Тогда получаем, что числовая последовательность {f n (x 0 )} удовлетворяет условию Коши, а значит имеет предел. Обозначим его через f(x 0 ) и покажем, что функция f(x) есть равномерный предел функциональной последовательности {f n (x)}. Неравенство f n+p (x) f n (x) < ε справедливо для всех p и для всех x X. Устремив p к в этом неравенстве, получим f(x) f n (x) ε x X. Таким образом, получаем, что для любого ε > 0 существует номер N такой, что для всех n N и для всех x X выполняется неравенство f n (x) f(x) ε, что и означает равномерную сходимость на множестве X последовательности {f n (x)} Функциональные ряды Определение. Пусть на множестве X задана функциональная последовательность {u n (x)}, x X. Пусть x 0 X произвольная фиксированная точка. Тогда мы можем составить числовой ряд u n (x 0 ). 50

54 Совокупность всех таких рядов называется функциональным рядом, определенным на множестве X, и обозначается u n (x). (33) Функции u n (x), n =, 2,... называются членами функционального ряда (33). Определение. Функция S n (x) = u (x) + u 2 (x) u n (x) = n u k (x), x X (34) называется n-ой частичной суммой функционального ряда (33). Определение. Ряд (33) называется сходящимся поточечно на множестве X, если функциональная последовательность его частичных сумм S n (x) сходится в каждой точке множества X. В этом случае будем писать S(x) = k= u n (x), x X. Определение. Множество всех точек x X называется областью сходимости функционального ряда (33). Замечание. Область сходимости может не совпадать со множество X, на котором определены функции u n (x) члены функционального ряда. Пример. Рассмотрим ряд ( x) n. Функции u n (x) = ( x) n определены на всей числовой прямой R, но, как известно, ряд составленный из членов геометрической сходится тогда и только тогда, когда x <. 5

55 Задача. Найти область сходимости функционального ряда e nx. Решение. Для всех x R имеем u n (x) > 0, поэтому можно воспользоваться признаком Коши сходимости числовых рядов. Зафиксируем точку x и рассмотрим lim n n e nx = e x. При x > 0 значение предела строго меньше ; при x < 0 строго больше. Следовательно, для всех x > 0 ряд сходится; для всех x < 0 расходится. Рассмотрим точку x = 0. В результате получим ряд , который расходится. Таким образом, область сходимости функционального ряда есть интервал (0, + ). Задача. Найти область сходимости функционального ряда ( ) x n. + x Решение. Во-первых, заметим, что при x = функции члены функционального ряда не определены. Обозначим тогда ряд y = x + x, представляет собой ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, про который известно, что он сходится только при y <. Решая неравенство x + x <, 52 y n

56 заключаем, что область сходимости исходного функционального ряда есть интервал (0, + ). Определение. Функциональный ряд (33) называется равномерно сходящимся на множестве X к сумме S(x), если последовательность его частичных сумм {S n (x)} сходится равномерно к S(x) на множестве X. Задача. Исследовать на равномерную сходимость ряд n=0 на множествах: а) [ /2, /2]; б) (, ). Решение. Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда : x n S n (x) = + x + x x n = xn+ x. Для каждого фиксированного x (, ) (и, тем более, для x [ /2, /2]) последовательность {S n (x)} сходится к S(x) = x. Рассмотрим S n (x) S(x) = x n+ x x = x n+ x. В случае а) будем иметь Следовательно, lim sup n x [ /2,/2] S n (x) S(x) 2 n. S n (x) S(x) lim n 2 n = 0. 53

57 Это означает, что последовательность частичных сумм ряда сходится равномерно на множестве [ /2, /2], т.е. ряд сходится равномерно к S(x) на отрезке [ /2, /2]. В случае б) имеем следовательно, x n+ lim x 0 x = +, sup S n (x) S(x) = +. x (,) Поэтому последовательность частичных сумм {S n (x)} не сходится равномерно на интервале (, ), т.е. исходный ряд не сходится равномерно на (, ). Теорема 2.3 (Критерий Коши равномерной сходимости ряда). Ряд (33) сходится равномерно на множестве X тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется такой номер N, что для всех n N, для всех натуральных p и для всех x X выполняется неравенство n+p k=n+ u k (x) < ε. (35) Доказательство. Пусть S n (x) частичные суммы ряда (33). Тогда критерий Коши равномерной сходимости ряда следует из равенства u n+ (x) u n+p (x) = S n+p (x) S n (x) и критерия Коши равномерной сходимости последовательностей. Теорема 2.4 (Необходимое условие равномерной сходимости ряда). Если функциональный ряд (33) равномерно сходится на множестве X, то последовательной его членов равномерно сходится к u(x) = 0, x X. 54

58 Доказательство. Действительно, имеем u n (x) = S n (x) S n (x), где {S n (x)} последовательность частичных сумм ряда (33). Пусть последовательность частичных сумм {S n (x)} равномерно сходится к S(x) на множестве X. Тогда и последовательность {S n (x)} равномерно сходится к S(x) на множестве X. Отсюда получаем, что u n сходится к u(x) равномерно на X. Теорема 2.5 (Признак Вейерштрасса). Пусть числовой ряд a n, a n 0, (36) сходится. Пусть для всех x X и для всех n N выполняется неравенство u n (x) a n. (37) Тогда функциональный ряд (33) сходится равномерно на множестве X. Доказательство. Так как числовой ряд (36) сходится, то для него справедлив критерий Коши сходимости числовых рядов: для любого ε > 0 существует такой номер N, что для всех n N и для всех p N выполняется неравенство n+p k=n+ Из (37) и следующей цепочки неравенств: n+p n+p u k (x) u k k=n+ k=n+ a k < ε. (38) n+p k=n+ a k < ε, справедливой для всех x X, в силу критерия Коши равномерной сходимости рядов следует равномерная сходимость ряда (33). 55

59 Замечание. Признак Вейерштрасса является лишь достаточным условием равномерной сходимости функциональных рядов. Задача. Доказать, что ряд n 3 + x 2 сходится равномерно на всей числовой оси. Решение. Для всех x R имеем В силу того, что числовой ряд n 3 + x 2 n 3. сходится, то по признаку Вейерштрасса исходный функциональный ряд сходится равномерно на R. Задача. Исследовать на равномерную сходимость ряд n 3 sin x n n 2 + x 2, x R. Решение. Имеют место следующие оценки: sin x x n n, n 2 + x 2 n x для всех x R \ {0}. Следовательно, sin x n n 2 + x 2 x R, n2 поэтому исходный функциональный ряд сходится равномерно на R. 56

60 2.3. Непрерывность суммы равномерно сходящихся рядов Пусть дан функциональный ряд u n (x), x X R. (39) Теорема 2.6 Пусть ряд (39) равномерно сходится на множестве X к S(x). Пусть для каждого n существует предел lim u n (x) = b n, x x 0 где x 0 предельная точка множества X. Тогда функция S(x) имеет предел в точке x 0 и lim x x 0 S(x) = b n. Замечание. Последнее равенство означает, что можно переходить к пределу под знаком суммы: lim u n (x) = lim u n (x), x x 0 x x 0 т.е. «предел суммы равен сумме пределов». Доказательство. Прежде всего докажем, что числовой ряд b n (40) сходится, т.к. в условиях теоремы об этом ничего не сказано. Применим признак Коши к функциональному ряду (39): для любого ε > 0 существует натуральное число N, что для всех натуральных n N, для всех натуральных p и для всех x X выполняется неравенство u n+ (x) +... u n+p (x) < ε 2. 57

61 Так как в последнем неравенстве под знаком модуля стоит конечная сумма, то мы можем перейти к пределу при x x 0 : lim u n+ (x)+... u n+p (x) = lim u n+ (x)+...+ lim u n+p (x) x x 0 x x 0 x x 0 b n b n+p ε 2 < ε. Это означает, что для числового ряда (40) справедлив критерий Коши сходимости числовых рядов, т.е. ряд (40) сходится. Теперь возьмем произвольное ε > 0 и зафиксируем его. Так как ряд числовой ряд сходится, а функциональный b n u n (x) сходится равномерно на X, то существует натуральное число N такое, что b k < ε 3, u k (x) k=n+ k=n+ для всех x X. Далее, в силу того, что предел конечной суммы равен сумме пределов слагаемых, то существует такая окрестность U(x 0 ) точки x 0, что N N u k (x) b k < ε 3 k= для всех x U(x 0 ) X. Рассмотрим следующую цепочку равенств и неравенств: [ S(x) N ] N b n = u k (x) b k + u k (x) b k 58 k= k= k= k=n+ k=n+

62 N u k (x) k= N b k + k= k=n+ < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. u k (x) + k=n+ b k < Таким образом, получили, что для любого ε > 0 существует такая окрестность U(x 0 ) точки x 0, что для всех x U(x 0 ) X выполняется неравенство S(x) b n < ε. Это означает, что предел функции S(x) в точке x 0 существует и равен сумме ряда (40). Следствие. Пусть ряд (39) равномерно сходится на множестве X к S(x). Пусть функции u n (x) непрерывны в точке x 0 Xдля каждого n. Тогда сумма S(x) ряда (39) непрерывна в точке x 0. Доказательство. Так как функции u n (x), n, непрерывны в точке x 0, то lim u n (x) = u(x 0 ), n. x x 0 По теореме о предельном переходе имеем = lim S(x) = lim x x 0 lim u n (x) = x x 0 x x 0 u n (x) = u n (x 0 ) = S(x 0 ), т.е. функция S(x) непрерывна в точке x 0. 59

63 Теорема 2.7 Пусть функции u n (x), n, непрерывны на множестве X. Пусть ряд (39) сходится равномерно на множестве X. Тогда сумма S(x) ряда (39) непрерывна на X. Задача. Доказать, что функция S(x) = arctg x n 2 + x 4 непрерывна на всей числовой оси. Решение. Имеем для всех x R arctg x n 2 + x 4 π 2n 2, следовательно, ряд сходится равномерно на R. Кроме того, члены ряда являются непрерывными на R функциями. Таким образом, из теоремы о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда заключаем, что S(x) непрерывна на всей числовой оси Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов В этом параграфе сформулируем и докажем достаточные условия, позволяющие почленно дифференцировать и интегрировать функциональные ряды. Будем считать, что множество X есть отрезок [a, b] числовой прямой. Теорема 2.8 Пусть ряд (39) сходится равномерно на отрезке [a, b] к своей сумме S(x). Пусть функции u n (x), n, непрерывны на [a, b]. Тогда ряд 60 b a u n (t)dt (4)


Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Глава. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.. Сравнение поведения функций. О-символика В этой, вводной, главе будет обсуждаться сравнительное поведение функций, а также асимптотическое

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C.

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C. ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие является продолжением [7]. Оно создано на базе хорошо известных учебных пособий по математическому анализу [ 6]. В его основу положены лекции В. В. Жука, которые неоднократно читались

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Т. И. Коршикова, Л.

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция. Определение ряда, свойства, критерий Коши сходимости ряда. Сравнение положительных рядов. Достаточные признаки сходимости Даламбера, Коши, Коши-Адамара, Раабе,

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными {основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами признак Даламбера, признак Коши, интегральный

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;...

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;... ЛЕКЦИЯ N25. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости рядов с положительными членами. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов..числовые ряды 2.Основные теоремы....

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Сходимость произвольных рядов. Ниже будут рассматриваться ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов. Такие ряды называют знакопеременными.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по математическому анализу Часть 2 Числовые ряды М. Г. Голузина,

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

Пусть дана числовая последовательность. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: ... a n

Пусть дана числовая последовательность. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: ... a n Тема 9 Пусть дана числовая последовательность { } {, 2,..., 1...}. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: 1 2 3...... 1 Упрощенно : ряд это «бесконечная» сумма. { } Вместе с последовательностью

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

9. Некоторые следствия из свойств полноты

9. Некоторые следствия из свойств полноты 9. Некоторые следствия из свойств полноты Начнем с понятия, которое нам уже знакомо (как минимум в примерах). Речь идет о понятии подпоследовтаельности. Именно, пусть у нас есть последовательность {x n

Подробнее

Семинар Лекция 4 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

Семинар Лекция 4 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей Семинар Лекция 4 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1 Разберите предложенные ниже задачи с решениями Найдите принципиальные ошибки Для ошибочно решенных задач объясните, почему используемые методы не работают или работают неправильно, и предложите собственное

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

n =1,2, K. Ряд называют

n =1,2, K. Ряд называют 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов Ряд u называют знакоположительным, если все его члены неотрицательны, т.е. если u 0 для любого,2, K. Ряд называют знакоотрицательным, если все его члены

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее