3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы"

Транскрипт

1 3 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 3 Основные понятия статистической проверки гипотезы Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений В экономике, технике, естествознании, медицине, демографии и тд часто для выяснения того или иного случайного явления прибегают к высказыванию гипотез (предположений), которые можно проверить статистически, те опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке Статистической гипотезой называют любое предположение о виде неизвестного закона распределения случайной величины или значении его параметров Статистическую гипотезу, однозначно определяющую закон распределения, называют простой, в противном случае ее называют сложной Например, статистической является гипотеза о том, что распределение производительности труда рабочих, выполняющих одинаковую работу в одинаковых организационно-технических условиях, имеет нормальный закон распределения, или статистической является также гипотеза о том, что средние размеры деталей, производимых на однотипных, параллельно работающих станках, не различаются между собой Основные принципы проверки статистических гипотез состоят в следующем Пусть f(x,θ) - закон распределения случайной величины X, зависящей от одного параметра θ Предположим, что необходимо проверить гипотезу о том, что θ θ, где θ - определенное число Назовем эту гипотезу нулевой (проверяемой) и обозначим ее через Нулевой гипотезой называют выдвинутую гипотезу, которую необходимо проверить Конкурирующей (альтернативной) гипотезой называют гипотезу, противоположную нулевой Таким образом, задача заключается в проверке гипотезы относительно конкурирующей гипотезы на основании выборки, состоящей из n независимых наблюдений x, x,, x n над случайной величиной X Следовательно, все возможное множество выборок объемом n можно разделить на два непересекающихся подмножества (обозначим их через Q и W) таких, что проверяемая гипотеза должна быть отвергнута, если наблюдаемая выборка попадает в подмножество W, и принята если наблюдаемая выборка принадлежит подмножеству Q Подмножество W называют итической областью, Q - областью допустимых значений

2 Вывод о принадлежности данной выборки к соответствующему подмножеству делают по статистическому итерию Статистическим итерием называют однозначно определенное правило, устанавливающее условия, при которых проверяемую гипотезу следует либо отвергнуть либо не отвергнуть Основой итерия является специально составленная выборочная характеристика (статистика) Q * f(x, x,, x n ), точное или приближенное распределение которой известно Основные правила проверки гипотезы состоят в том, что если наблюдаемое значение статистики итерия попадает в итическую область, то гипотезу отвергают, если же оно попадает в область допустимых значений, то гипотезу не отвергают (или принимают) Такой принцип проверки гипотезы не дает логического доказательства или опровержения гипотезы При использовании этого принципа возможны четыре случая: гипотеза верна и ее принимают согласно итерию; гипотеза неверна и ее отвергают согласно итерию; гипотеза верна но ее отвергают согласно итерию; те допускается ошибка, которую принято называть ошибкой первого рода; гипотеза неверна и ее принимают согласно итерию, те допускается ошибка второго рода Уровнем значимости α -γ называют вероятность совершить ошибку первого рода, те вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна С уменьшением α возрастает вероятность ошибки второго рода β Мощностью итерия ( - β) называют вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза, те вероятность не допустить ошибку второго рода Обозначим через P(Q * W ) вероятность попадания статистики итерия Q * в итическую область W, если верна соответствующая гипотеза Тогда требования к итической области аналитически можно записать следующим образом: * P( Q W ) α, * P( Q W ) max где - нулевая гипотеза; - конкурирующая гипотеза (3)

3 Второе условие выражает требование максимума мощности итерия Из условий (3) следует, что итическую область нужно выбирать так, чтобы вероятность попадания в нее была бы минимальной (равной α), если верна нулевая гипотеза, и максимальной в противоположном случае В зависимости от содержания конкурирующей гипотезы выбирают правостороннюю, левостороннюю или двустороннюю итические области Границы итической области при заданном уровне значимости α находят из соотношений: при правосторонней итической области: P(Q * > Q ) α; (3) при левосторонней итической области: P(Q * < Q ) α; (33) при двусторонней итической области: P(Q * > Q пр ) α ; P(Q * < Q лев ) α (34) где Q лев - левосторонняя, а Q пр - правосторонняя граница итической области Следует иметь ввиду, что статистические итерии не доказывают справедливости гипотезы, а лишь устанавливают на принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с результатом наблюдений При проверке статистических гипотез наряду с известными уже нам законами распределения используется распределение Фишера- Снедекора (F- распределение) 3 Распределение Фишера-Снедекора Во многих задачах математической статистики, особенно в дисперсионном анализе в проверке статистических гипотез, важную роль играет F - распределение Это распределение отношения двух выборочных дисперсий впервые было исследовано английским статистиком P Фишером Однако оно нашло широкое применение в статистических исследованиях лишь после того, как американский статистик Дж Снедекор составил таблицы для данного распределения В этой связи F - распределение называют распределением Фишера-Снедекора 3

4 Пусть имеем две независимые случайные величины X и Y, подчиняющиеся нормальному закону распределения Произведены две независимые выборки объемами n и n, и вычислены выборочные дисперсии и Известно, что случайные величины n U и σ n U имеют χ - распределение с соответственно ν n - и ν σ n - степенями свободы Случайная величина: U ν F U ν (35) имеет F - распределение с ν и ν степенями свободы Причем U U, так что F Закон распределения случайной величины F не зависит от неизвестных параметров ( µ, σ ) и ( µ, σ ) а зависит лишь от числа наблюдений в выборках n и n Составлены таблицы распределения случайной величины F, в которых различным значениям уровня значимости α и различным сочетаниям величин ν и ν соответствуют такие значения F(α,ν, ν ), для которых справедливо равенство P[F > F(α,ν, ν )] α 4 33 Гипотезы о генеральных средних нормально распределенных совокупностей 33 Проверка гипотезы о значении генеральной средней Пусть из генеральной совокупности X, значения признака которой имеют нормальный закон распределения с параметрами N(µ,σ) при неизвестном математическом ожидании µ и неизвестной дисперсии σ, взята случайная выборка объемом n и вычислена выборочная средняя арифметическая x, а µ и µ - определенные значения параметра µ Для проверки нулевой гипотезы : µ µ при конкурирующей гипотезе : µ µ используют статистику: t x µ n, σ (36) которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированное нормальное распределение N(;) Согласно требованию к итической области при µ > µ выбирают правостороннюю итическую область, при µ < µ - левостороннюю, а при µ µ - двустороннюю итическую область

5 Границы итической области t определяют по интегральной функции Лапласа Ф(t) из условий: в случае правосторонней и левосторонней итической областей: Ф(t ) - α, (37) t z где Ф(t ) e dz - интегральная функция Лапласа; π в случае двусторонней итической области: Ф(t ) - α (38) При проверке гипотезы о значении генеральной средней : µ µ при неизвестной генеральной дисперсии σ используют статистику: x µ t, n (39) которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента (t - распределение) с ν n- степенями свободы Границы итической области t определяют по таблице t - распределения для заданного уровня значимости α (при двусторонней симметричной итической области) или α (при правосторонней и левосторонней итических областях) и числа степеней свободы ν n - Правила проверки гипотезы сводятся к следующему: ) при левосторонней итической области, если t -t, нулевая гипотеза не отвергается; ) при правосторонней итической области, если t < t, нулевая гипотеза не отвергается; 3) при двусторонней итической области, если t t, нулевая гипотеза не отвергается В противном случае нулевая гипотеза отвергается с вероятностью ошибки α 33 Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей Пусть X и Y - нормальные генеральные совокупности с известными генеральными дисперсиями Y и Y и неизвестными математическими ожиданиями µ x и µ y Из генеральных совокупностей взяты две независимые выборки объемами n и n и вычислены средние арифметические x и y Для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних : M x M y используют статистику: 5

6 t x y σ σ + n n, (3) которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированный нормальный закон распределения N(;) Выбор итической области зависит от содержания конкурирующей гипотезы Согласно требованию к итической области при : µ x > µ y выбирают правостороннюю, при : µ x < µ y - левостороннюю, а при : µ x µ y - двустороннюю итические области Границы итических областей находят по интегральной функции Лапласа из условий (37) и (38) При неизвестных генеральных дисперсиях либо требуется достаточно большой объем выборки для надежной и точной оценки, либо требуется, чтобы эти дисперсии были одинаковы, в противном случае известные итерии малоэффективны Если генеральные дисперсии равны Y Y, то для проверки гипотезы : µ x µ y используют статистику:, x y n n t n + n n + n n + n (3) имеющую распределение Стьюдента с ν n + n - степенями свободы Вид итической области зависит, как обычно, от конкурирующей гипотезы Границы итической области (t ) находят по таблице распределения Стьюдента при двусторонней симметричной итической области для заданного уровня значимости α, а при правосторонней и левосторонней итических областях при α Правила проверки гипотезы : µ x µ y такие же, как гипотезы : µ µ Гипотеза отвергается при t > t 34 Гипотезы о генеральных дисперсиях нормально распределенных генеральных совокупностей 34 Проверка гипотезы о значении генеральной дисперсии Пусть из генеральной совокупности, значения признака которой распределены по нормальному закону с неизвестной дисперсией σ, взята случайная выборка из n независимых наблюдений и вычислена выборочная дисперсия 6

7 Требуется проверить нулевую гипотезу : Y Y, где Y - определенное заданное значение генеральной дисперсии Для проверки нулевой гипотезы используют статистику: n, (3) U σ которая при выполнении гипотезы имеет распределение χ с ν n - степенями свободы Как было сказано ранее, в зависимости от конкурирующей гипотезы выбирают правостороннюю, левостороннюю или двустороннюю итическую область Границы итической области х определяют по таблице распределения Пирсона χ Рассмотрим три случая: Если : Y Y, то выбирают правостороннюю итическую область и χ находят из условия: P[ U > χ ( α, n ) ] α, где χ (α, n-) - табличное значение χ, найденное для уровня значимости α и числа степеней свободы ν n - Правила проверки гипотезы заключается в следующем: ) если U χ, то нулевая гипотеза не отвергается; ) если U > χ, то нулевая гипотеза отвергается Если : Y Y, то строят двустороннюю симметричную итическую область и ее границы х лев и Y п находят из условий: P U α ; P > χ ; n U лев (34) α 7 α > χ пр ; n α Правила проверки гипотезы заключаются в следующем: ) если χ лев U χ, то гипотеза не отвергается; пр ) если U < χ лев или U > χ пр, то гипотеза отвергается 3 Если : Y Y, то строят левостороннюю итическую область и Ч находят из условия: P [ U > χ ( α; n ) ] α Правила проверки гипотезы заключаются в следующем: (35)

8 ) если U χ, то гипотеза не отвергается; ) если U < χ, то гипотеза отвергается 34 Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нормальных совокупностей Пусть X и Y - генеральные совокупности, значения признаков которых распределены по нормальному закону с дисперсиями Y и Y Из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемами n и n и вычислены исправленные выборочные дисперсии и, причем > Требуется проверить нулевую гипотезу : Y Y против конкурирующей гипотезы : Y Y Основу итерия для проверки нулевой гипотезы составляет статистика: F, (36) где >, которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора (F- распределение) со степенями свободы ν n - и ν n -, где ν - число степеней свободы числителя, а ν - число степеней свободы знаменателя (меньшей дисперсии) Для проверки гипотезы выбирают правостороннюю итическую область Границу итической области F определяют по таблице F - распределения из условия: P F > F α n ; [ ( )] α ; n Правила проверки гипотезы заключаются в следующем: ) если F F, то гипотеза не отвергается; ) если F > F, то гипотеза отвергается 343 Проверка гипотезы об однородности ряда дисперсий 8 (37) При сравнении более двух генеральных дисперсий применяют два наиболее часто употребляемых итерия: итерий Бартлета и итерий Кохрана Критерий Бартлета применятся при проверке гипотезы : Y Y Ye по выборкам разного объема n n n l В качестве выборочной характеристики Барлет предложил использовать статистику:

9 l νln c р ν ln U, (38) l ( ) 3 l ν ν где ν n - - число степеней свободы -ой выборки; n - исправленная дисперсия -ой выборки; n ( xj x ) j x j - результат j-ого наблюдения в -ой выборки; - средняя арифметическая -ой выборки; l - число выборок; c р e l l ν - сумма чисел степеней свободы l выборок; ν - среднее значение исправленной дисперсии по всем l выборкам; При выполнении нулевой гипотезы и при ν > 3 статистика U приближенно имеет распределение χ с числом степеней свободы ν l - Для проверки нулевой гипотезы строят правостороннюю итическую область, границы которой χ определяют по таблице χ - распределения из условия: P [ U > χ ( α; l ) ] α (39) Критерий Бартлета весьма чувствителен к отклонениям законов распределения случайных величин X от нормального закона распределения Критерий Кохрана применяется при проверке гипотезы : Y Y Ye по выборкам одинакового объема n, взятым соответственно из нормальных генеральных совокупностей Для проверки нулевой гипотезы Кохран предложил итерий, основанный на статистике: G, max l (3) которая при выполнении нулевой гипотезы имеет G - распределение с числом степеней свободы ν n - и числа сравниваемых совокупностей l, где max - наибольшая из исправленных выборочных дисперсий 9

10 Для проверки нулевой гипотезы также строят правостороннюю итическую область, границу которой G определяют по таблице G распределения из условия: P G > G α ; ; l [ ( )] α n Правила проверки гипотезы заключаются в следующем: ) если - то нулевая гипотеза не отвергается; ) если > - то нулевая гипотеза отвергается (3) 35 Гипотезы о генеральных долях 35 Сравнение генеральной доли со стандартом Если число наблюдений n достаточно велико, то биномиальный закон можно аппроксимировать нормальным Поэтому проверка гипотезы Н : рр против конкурирующей Н : р р (или Н : р >р, или Н : р <р ) проводиться на основе сравнения статистики: m p t n набл, p ( p ) n с итическим значением, выбираемым из таблицы нормального закона распределения по правилу: Ф(t )-α для двусторонней итической области, или Ф(t )-α для односторонней итической области Если t набл > t, то Н отвергается 35 Гипотеза об однородности ряда вероятностей X -l генеральных совокупностей, каждая Пусть X, X,, l из которых характеризуется неизвестным параметром р, где р - вероятность появления события А в соответствующей выборке Требуется по результатам выборочных наблюдений проверить нулевую гипотезу о равенстве вероятностей появления события А в генеральных совокупностях, те :p p pl Для проверки гипотезы используется статистика: U l ( ~ ~ ~ ) ( ~ p p n p p ) (3) где ~ m p - частость появления события А в -ой выборке; n m - частота появления события А в -ой выборке;

11 n - объем -ой выборки; l- число выборок; m p~ - частость появления события А во всех выборках; n ~ ~ - частота появления события A во всех выборках; Статистика U при выполнении нулевой гипотезы имеет асимптотическое χ - распределение с ν l - степенями свободы Для проверки нулевой гипотезы строят правостороннюю итическую область, границу которой определяют из условия: P [ U > χ ђ р ( α; l ) ] α (33) Правила проверки гипотезы заключаются в следующем: ) если U χ, то гипотеза не отвергается; ) если U > χ, то нулевая гипотеза отвергается При решении задач проверки статистических гипотез необходимо в первую очередь уяснить содержание проверяемой и конкурирующей гипотез, так как от этого зависит выбор алгоритма (формулы) для вычисления наблюдаемого значения итерия От содержания конкурирующей гипотезы зависит также выбор вида итической области В таблице 3 приведены основные формулы, используемые при проверке гипотез о значении параметров распределений Пример 3 Точность работы автоматической линии проверяют по дисперсии контролируемого признака, которая не должна превышать, мм По результатам выборочного контроля получены следующие данные: Контролируемый размер, 43, 43,5 43,8 44,4 44,6 x I, мм Частота m Требуется проверить на уровне значимости,, обеспечивает ли линия требуемую точность Решение Задача состоит в проверке гипотезы о значении генеральной дисперсии : Y, Автоматическая линия не обеспечивает требуемой точности, если : Y Y, следовательно в данном случае строится правосторонняя итическая область

12 Наблюдаемое значение итерия вычисляем по формуле n, следовательно, по данным вариационного ряда сначала U σ необходимо вычислить выборочную дисперсию, для чего определяем среднюю арифметическую и средний квадрат по условным вариантам, принимая x 43, x m x x 43, x m ( x ) m 43, 3 43,5 7,5 3,5,75 43,8,8 8, 6,4 44,4 8,4, 5,68 44,6,6 3, 5, 3-5,9 8,95 x m 5,9 x,863; m 3 8,95 ( x ), 965; 3 ( x ) ( x ),965,863,965,745,мм Вычисляем наблюдаемое значение итерия: 3, 6,6 U 66,, По таблице χ - распределения при заданном уровне значимости α, и ν n определяем χ 49,588 Сравнивая U и χ, получаем U ( 66,) > χ ( 49,588), те нулевая гипотеза o отвергается; то есть генеральная дисперсия не равна,, автоматическая линия не обеспечивает заданную точность и требуется ее регулировка Пример 3 Во время экзамена студентам были предложены задачи из семи разделов изучаемого курса Результаты экзамена представлены в таблице Требуется на уровне значимости, проверить гипотезу о том, что вероятность решения задачи не зависит от того, к какому разделу он относится

13 Решение Задача заключается в проверке гипотезы об однородности ряда вероятностей: : p p p 7 Номер раздела курса Число предложенных задач n Доля решенных задач Число решенных задач m,855,59,5,484,86,4, Наблюдаемое значение итерия вычисляется по формуле (3) Сначала необходимо определить среднюю частость решенных задач по всем семи разделам курса: m ~ n p ~ m p,538 n U Вычисляем необходимое значение итерия: l ~ ( ~ ) p p ( ~ ~ p p) n [(,855,538) + (,5,538) 7 + (,484,538) 6 + (,86,538) (,4,538) 5] 4,3 (6,58 +,6 +,7 +,47 + 8,9 4,3 33,3 33,8,538, (59 538) ,57 +,9) 66 + По таблице χ - распределения при заданном уровне значимости α, и ν n - 6 определяем χ,645 Так как U 33,8 > χ, 645, нулевая гипотеза отвергается, те ряд вероятностей неоднороден, разделы данного курса студентами усвоены не одинаково 36 Вычисление мощности итерия Мощность итерия ( - β) может быть вычислена только при проверке простых статистических гипотез: гипотезы о значении генеральной средней : µ µ и гипотезы о значении генеральной дисперсии : y y и только при односторонней итической области 3

14 36 Мощность итерия при проверке гипотезы о значении генеральной средней Если известна генеральная дисперсия σ, то при проверке гипотезы : µ µ используется нормальное распределение Для вычисления мощности итерия при односторонней конкурирующей гипотезе применяется формула: µ µ β + Φ n t, σ (34) где t Φ - ( - α), (35) те t определяется по таблице функции Лапласа Ф(t) по вероятности ( - α) Если генеральная дисперсия неизвестна, то мощность итерия определяется по формулам: µ µ β t n t ; n, (36) где t t - (α;n-), (37) те t определяется по таблице распределения Стьюдента по вероятности α и ν n - 36 Мощность итерия при проверке гипотезы о значении генеральной дисперсии При проверки гипотезы : σ σ мощность итерия вычисляется с использованием распределения Пирсона χ Если : Y Y, то мощность итерия вычисляется по формуле: σ < ( ; ) > β P U χ α n P U χ α; n [ ] ( ) σ (38) Если : Y Y, то мощность итерия вычисляется по формуле: σ β P[ U > χ ( α; n ) ] P U > χ ( α; n ) (39) Пример 33 По результатам 7 независимых измерений диаметра поршня одним и тем же прибором в предположении, что ошибки измерений имеют нормальное распределение, была проведена на уровне значимости,5 гипотеза : Y, мм при σ 4

15 конкурирующей гипотезе : Y, 5 мм Гипотеза не отвергнута Вычислить мощность итерия Решение Согласно : Y Y строится правосторонняя итическая область По таблице χ - распределения на уровне значимости α,5 и при числе степеней свободы ν n - 6 определяем ч,59 Вычисляем σ, χ (,5; 6 ) v χ (,5; ν 6),59 5, 37 σ,5 По x 5, 37 и числу степеней свободы ν n - 6 по таблице χ - распределения определяем P[ U > х ] β, 54 Пример 34 При испытаниях были получены значения максимальной скорости самолета: 43, 46, 4, 45, 4, 43, 43, 47, 439, 435 м/с Сделав предположение, что максимальная скорость самолета есть нормальная случайная величина, проверить гипотезу : µ 43 м/с при конкурирующей гипотезе : µ 4 м/с и вычислить мощность итерия при α,5 ' ' Решение По измененным вариантам x x 4 определим ' среднюю арифметическую x и средний квадрат (x ) условного ряда распределения: 7 x 7,; 859 ( x ) 85, 9 x ) x ( x Вычисляем выборочную дисперсию: ( ) 85,9 7, 85,9 5,4 35, 49 ; 35,49 5,96 м/с Так как генеральная дисперсия не известна, то при вычислении мощности итерия используется распределение Стьюдента 5

16 При : µ < µ строится левосторонняя итическая область По таблице распределения Стьюдента по вероятности α, и ν n - 9 определяем t, 833 Вычисляем -β по формуле (36): Обозначим: µ µ 43 4 t t + n, ,96 -, ,34 3, По t 3, и ν n - 9 по таблице t - распределения t t, Вычисляем мощность итерия: определяем ([ ] ) - β t [ t ] ( ),,5, Гипотезы о виде законов распределения генеральной совокупности 37 Основные понятия Проверка гипотез о виде законов распределения генеральной совокупности осуществляется с помощью итериев согласия Проверяемая (нулевая) гипотеза утверждает, что полученная выборка взята из генеральной совокупности, значения признака в которой распределены по предлагаемому теоретическому закону (нормальному, биноминальному или другому) с параметрами, либо оцениваемыми по выборке, либо заранее известными Математически, нулевую гипотезу можно записать в следующем виде: m m ml, где m ~ p n : p, p,, p n n n 6 - относительная частота (частость, доля) -го интервала вариационного ряда или -го варианта, принимаемого случайной величиной X; P - вероятность попадания случайной величины в -й интервал или вероятность того, что дисетная случайная величина примет -ое значение (X x );,l - номер интервала или значения случайной величины; n - объем выборки Критерий состоит в том, что выбранная некоторая случайная величина Y является мерой расхождения (рассогласования) между вариационным рядом и предполагаемым теоретическим распределением При проверке нулевой гипотезы заранее задается уровень значимости α l l

17 (α,;,5;,;,) Затем на основании закона распределения случайной величины находится такое значение Y, что: P(Y>Y ) α (33) Критическое значение Y обычно находят по таблице соответствующей функции распределения Далее вычисляется на основании выборки наблюдаемое значение статистики итерия Y Наконец, сравниваются два значения: Y и Y Если Y > Y, то нулевая гипотеза отвергается Если Y Y, то нулевая гипотеза не отвергается, те в этом случае отклонения от предполагаемого теоретического закона считаются незначимыми - данные наблюдений не противоречат гипотезе о виде закона распределения Можно осуществлять проверку гипотезы о виде закона распределения в другом порядке: по наблюдаемому значению итерия Y определить, пользуясь соответствующей таблицей, α P(Y>Y ) Если α α, то отклонения значимы и гипотеза отвергается; если же α > α, то гипотеза не отвергается 37 Критерий Пирсона Критерий Пирсона или итерий χ (хи - квадрат) имеет наибольшее применение при проверке согласования теоретической и эмпирических ивых распределения Наблюдаемое значение итерия ( ) вычисляется по следующей формуле: Y χ ( m m ) Τ l э χ, mт (33) где - эмпирическая частота -го интервала (варианта); - теоретическая частота -го интервала (варианта); l- число интервалов (вариантов) Как известно, χ - распределение зависит от числа степеней свободы, это число находится по формуле: 7 ν l r, (33) где r - число неизвестных параметров предполагаемого теоретического закона, использованных для вычисления теоретических частот и оцениваемых по выборке По теоретическим соображениям при расчете ч Н не следует исходить из слишком малых значений m T Поэтому рекомендуется объединять соседние интервалы (варианты) таким образом, чтобы m > T

18 (5 ) для объединенных интервалов Кроме того, объем выборки должен быть достаточно велик (n 5) и m T mэ В случае нормального закона распределения расчет теоретической ивой распределения ϕ(x) производится при условии, что статистические характеристики ( x ;) приравниваем числовым характеристикам нормального закона (µ; σ), поэтому r и число степеней свободы ν l-3 Вероятности попадания случайной величины X в соответствующие интервалы вычисляется по интегральной теореме Лапласа: p P( a < x < b ) [ Φ( t ) Φ( t )], (333) где a x t ; b x t В случае биномиального закона распределения расчет теоретической ивой распределения производится при условии, что статистическая доля (частость) приравнивается вероятности p появления интересующего нас события А, поэтому r и число степеней свободы ν l- Вероятность p того, что случайная величина X принимает значение x m, где m o, n, определяется по формуле Бернулли: m m n m p P( X x ) P( X m) Cn ω ( ω ), (334) где k m x ω - средняя частость проявления появления события во k n всех k выборках; n - число испытаний в каждой выборке В случае закона Пуассона расчет теоретической ивой распределения производится при условии, что средняя интенсивность л приравнивается математическому ожиданию M(x), поэтому r и ν l- Вероятность p того, что случайная величина X принимает значение x m, определяется по формуле Пуассона: m λ λ p P( X x ) P( X m) e, где λ k m x k m m! - средняя интенсивность m - частота появления значения х ;,,, к (335) 8

19 При проверке гипотез о виде законов распределения могут быть использованы и другие итерии согласия: Колмогорова, Романовского, Ястремского и др Пример 35 По данным таблицы рассчитать теоретические частоты в предположении нормального закона распределения; результаты вычислений приводятся в следующей таблице Интервалы 3,65-3,75 3,75-3,85 3,85-3,95 3,95-4,5 4,5-4,5 4,5-4,5 4,5-4,35 m э m T На уровне значимости,5 проверить гипотезу о нормальном законе распределения Решение Вычисляем наблюдаемое значение итерия ч Н по формуле (33) Результаты вычислений представим в виде таблицы Интервалы m э m ( m ) ( m m ) T э m T 3,65-3, ,75-3,85 3,85-3,95 3,95-4,5 5 4,7 4 4,5-4, , 364 4,5-4,5 6 5,43 7 4,5-4, χ,578 По таблице χ - распределения на уровне значимости,5 и числе степеней свободы ν l определим ч 5,99 Так как ч Н,578 < χ 5,99, нулевая гипотеза не отвергается, те производительность труда для данной совокупности подчиняется нормальному закону распределения э m T T Пример 36 Даны следующие числа рождения мальчиков у 5 матерей, родивших четыре раза: 9

20 Проверить на уровне, гипотезу о биноминальном законе распределения Решение Всего 5 матерей родили N k n 5 4 детей Случайной величиной X является число мальчиков в семьях из 4 детей Построим вариационный ряд: x 3 4 m э Эмпирическими частотами являются числа матерей, родивших определенное число мальчиков Рассчитаем среднюю частоту рождения мальчика: 4 m x ω,5 k n 5 4 По формуле (334) вычислим вероятности комбинаций рождения мальчика (и девочки) в семьях из 4 детей: m ; 4 4 P ;4 ( ω ),49, 576; m ; 3 3 P n ω ( ω ) 4,5,49, 4; ;4 n( n ) 3 ;4 ω ( ω ) 6,5,49 m ; P, 3747; m 3; 3 3 P 3 ;4 n ω ( ω ) 4,5,49, 6; m 4; 4 P ω,5 4, ;4 4 P,, m n m Итого:

21 Теоретические частоты равны значение итерия ч Н x m э m T k p Рассчитаем наблюдаемое m T ( m ) ( m m ) э m T э m T T,67, , χ,37 По таблице χ - распределения на уровне значимости α, и при числе степеней свободы ν l- 3 - определяем ч 6,635 Так как ч Н,37 < ч 6,635, нулевая гипотеза не отвергается, те число мальчиков в семье из 4 детей данной совокупности подчиняется биноминальному закону распределения Пример 37 Число рабочих, не выполнивших сменного задания в выборках по рабочих, приводится в таблице: Число рабочих x 3 4 Число выборок m 85 3 На уровне значимости,5 проверить гипотезу о законе Пуассона Решение Определяем среднюю интенсивность числа рабочих, не выполнивших сменного задания, на одну выборку: k ) m x λ k m , По таблице -л e определяем e,, 887

22 По формуле (335) вычисляем вероятности: λ P e λ,887,887 ;! λ P e λ,,887,637 ;!, P,887,,887,64;!, 3,8 P 3,887,887, 3! 6 Вычисляем наблюдаемое значение итерия: x m э m T ( m ) ( m m ) э m T , 8 э m T T 8 5, 6 4, χ 3,67 По таблице χ - распределения на уровне значимости,5 и при числе степеней свободы ν l- 3 - определяем ч,76 Так как ч Н ( 3,67) < ч (,76), нулевая гипотеза не отвергается, те число рабочих, не выполнивших сменного задания, подчиняется закону Пуассона

23 пп Таблица 3 Основные формулы, используемые при проверке гипотез о значении параметров распределений Условия проверки Используе мое распределе ние Формулы для вычисления наблюдаемого значения параметров Порядок определения итического значения итериев Правила проверки σ Ф(t) x µ t µ <µ ; µ > µ (-α) t n t > t н σ отвергается известна µ µ (-α) t с вероятностью ошибки α µµ x µ σ µ <µ ; µ > µ не (t) t n известна µ µ σ и σ Ф(t) µ X µ Y известны σ и σ не известны, но σ σ (t) t t x y x y σ n σ + n n + n n + n n n n + n α ν n α ν n µ x <µ y ; µ x> µ y (-α) t µ x µ y (-α) t µ x <µ y ; µ x> µ y µ x µ y t t α ν n + n α ν n + n t t t t не отвергается

24 3 σ σ 4 σ σ > 5 σ σ σ l n n n l n > 4 n n n l n χ U σ F χ G U F νlnc р + 3( l ) G ~ p ( ~ p ) l l ν ln max l 6 p p n χ l p U l ν ν ( ~ p ~ p ) n σ < σ α χ ν n σ σ U χ α χ ν n α χ ν n лев пр σ > σ α χ ν n σ > σ ν n ν n σ > σ α max χ l n G l P > P max α χ l σ > σ max F не отвергается χ U χ лев пр не отвергается U При или U χ χ > пр лев отвергается U χ не отвергается α F F не отвергается U χ не отвергается α G G не отвергается U χ не отвергается Вернуться к руководству

Лекция 20. Проверка статистических гипотез

Лекция 20. Проверка статистических гипотез Лекция. Проверка статистических гипотез Понятие о статистических гипотезах и методах их проверки При решении многих задач возникает необходимость оценки того, подчиняется ли распределение генеральной совокупности

Подробнее

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основной принцип проверки ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ дисперсия известна дисперсия неизвестна t распределение распределение

Подробнее

4 Проверка параметрических гипотез

4 Проверка параметрических гипотез 4 Проверка параметрических гипотез Статистическая гипотеза Параметрическая гипотеза 3 Критерии проверки статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах

Подробнее

Идентификация законов распределения случайных величин

Идентификация законов распределения случайных величин Лабораторное занятие Идентификация законов распределения случайных величин Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой P неизвестно полностью или

Подробнее

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Определение статистической гипотезы Статистическая гипотеза - предположение о виде распределения или

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Медицинская статистика

Медицинская статистика Лукьянова Е.А. Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» 3 Проверка статистических гипотез Критерии согласия Критерий Стьюдента для связанных выборок Критерий Стьюдента для несвязанных выборок

Подробнее

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез.

Подробнее

Контрольное задание

Контрольное задание http://wwwzachetru/ Контрольное задание Задача Построить полигон относительных частот по данным вариационного ряда ( 0): 3 6 7 0 m 8 0 3 3 Решение 3 6 7 0 m 8 0 3 3 m Полигон относительных частот: 0073

Подробнее

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина N,, определенная на множестве объектов

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

5 Гипотезы и критерии согласия

5 Гипотезы и критерии согласия 5 Гипотезы и критерии согласия Гипотезы и критерии согласия Критерий согласия - Пирсона Пусть,,, выборка из распределения теоретической случайной величины с неизвестной функцией распределения F ( Проверяется

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее

Теория вероятностей и медицинская статистика

Теория вероятностей и медицинская статистика Теория вероятностей и медицинская статистика СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ Лекция 6 Кафедра медицинской информатики РУДН Содержание лекции 1. Определение термина статистическая гипотеза 2. Статистические критерии

Подробнее

3. Проверка статистических гипотез Основные положения теории проверки статистических гипотез. На практике часто приходится проверять на основе

3. Проверка статистических гипотез Основные положения теории проверки статистических гипотез. На практике часто приходится проверять на основе 3 Проверка статистических гипотез 3 Основные положения теории проверки статистических гипотез На практике часто приходится проверять на основе выборочных данных различные предположения относительно генеральной

Подробнее

(или a a0, или a a0. ). Для проверки нулевой гипотезы извлекается выборка объема n. В качестве критерия выбирается статистика

(или a a0, или a a0. ). Для проверки нулевой гипотезы извлекается выборка объема n. В качестве критерия выбирается статистика МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 1 Проверка гипотез о математическом ожидании, дисперсии, доле изнака генеральной совокупности Проверка гипотезы о математическом ожидании

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Проверка статистических гипотез

Проверка статистических гипотез Проверка статистических гипотез 1. Статистические гипотезы; 2. Критерии проверки гипотез; 3. Проверка параметрических гипотез; 4. Критерий Пирсона Завершить показ Статистические гипотезы. Статистические

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и { статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и Смирнова } В математической статистике считается, что данные,

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

Для проверки H 0 извлекается выборка объема n: x 1, x 2,..., x n и в качестве критерия строится статистика =, (3.13) где

Для проверки H 0 извлекается выборка объема n: x 1, x 2,..., x n и в качестве критерия строится статистика =, (3.13) где 3.5. Примеры проверки гипотез Рассмотрим применение общей схемы проверки гипотез к конкретным задачам проверки гипотез о математическом ожидании, дисперсии, коэффициенте корреляции, часто встречающимся

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

Элементы теории оценок и проверки гипотез

Элементы теории оценок и проверки гипотез Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В.

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В. Проверка статистических гипотез Грауэр Л.В. Статистические гипотезы Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей Гипотеза о равенстве дисперсий нескольких генеральных совокупностей

Подробнее

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α.

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α. Лекция 9. Статистическая проверка статистических гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы (простой и сложной), нулевой и конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

Лекция 5. Доверительные интервалы

Лекция 5. Доверительные интервалы Лекция 5. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 1 / 31 Cодержание Содержание

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики В.П.

Подробнее

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Проверка статистических гипотез 37 6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 6.. Введение В этой главе рассматривается группа статистических методов, которые получили наибольшее распространение в статистических

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Задачи статистической проверки гипотез.

Задачи статистической проверки гипотез. Задачи статистической проверки гипотез. Статистическая проверка гипотез является вторым после статистического оценивания параметров распределения и в то же время важнейшим разделом математической статистики.

Подробнее

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Понятие статистической гипотезы Статистическая гипотеза это предположение о виде распределения или о величинах неизвестных параметров генеральной совокупности, которая может

Подробнее

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ И ИСПЫТАНИЯХ

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ И ИСПЫТАНИЯХ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Л.Ф. Ямщиков ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ И ИСПЫТАНИЯХ Учебное электронное текстовое

Подробнее

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) о равенстве параметров... Санкт-Петербург,

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 01.03.02

Подробнее

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция

Подробнее

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей Оглавление Предисловие Введение Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Опыт и событие Операция умножения событий Операция сложения событий Операция вычитания событий Операция

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Задачи по математической статистике

Задачи по математической статистике Задачи по математической статистике Задача. По данным распределения возрастного состава участников революционного движения в России 70-х годов 9-го века была построена следующая таблица Возраст 7-3 3-9

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ» Министерство сельского хозяйства РФ Департамент научно-технологической политики и образования ФГОУ ВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия Кафедра высшей математики МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Е. В. Морозова 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события 3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Конспект лекций (сокращенный) по теории вероятностей и математической статистике ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Раздел 1. Случайные события Лекция 1 1. Основные понятия

Подробнее

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей Лекция 5 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей 6.. Метод наименьших квадратов 6... Теоретическое обоснование метода наименьших квадратов 7. Проверка статистических гипотез 7..Критерий согласия

Подробнее

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 013 Буре В.М.,

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

Подбор подходящего теоретического распределения

Подбор подходящего теоретического распределения Лекция Подбор подходящего теоретического распределения При наличии числовых характеристик случайной величины (математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть

Подробнее

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ ПИРСОНА

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ ПИРСОНА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

Теория Вероятностей и Математическая Статистика

Теория Вероятностей и Математическая Статистика ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА Наименование дисциплины Теория Вероятностей и Математическая Статистика Рекомендуется для направления (ий) подготовки (специальности (ей)) для направления 080100.62 Экономика; для направления

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки Этап формирования компетенции (разделы, темы дисциплины) Формируемая компетенция Формы контроля сформированност и компетенций Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся

Подробнее

В.И. Гнатюк, 2014 Глава 4 Параграф Оценка адекватности моделирования

В.И. Гнатюк, 2014 Глава 4 Параграф Оценка адекватности моделирования В.И. Гнатюк, 4 Глава 4 Параграф 4 4.4. Оценка адекватности моделирования Оценка адекватности динамической адаптивной модели электропотребления техноценоза [9,] включает две основные процедуры. Первая заключается

Подробнее

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ЧАСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Статистической совокупностью называется совокупность

Подробнее

1 Конспект по проверке гипотез

1 Конспект по проверке гипотез 1 Конспект по проверке гипотез 1.1 Задача проверки гипотез Рассмотрим, такую задачу: провели слепую дегустацию двух сортов чая, каждый респондент выбрал из двух неподписанных чашек чая более вкусный. Необходимо

Подробнее

Статистическая гипотеза

Статистическая гипотеза Статистическая гипотеза Статистической гипотезой (statistical hypothesis) мы называем любое предположение о свойствах и характеристиках исследуемых генеральных совокупностей, которое может быть проверено

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. 7. Анализ качества эмпирического уравнения множественной линейной регрессии. t, (7.1) a j j a j. распределения Стьюдента.

ЭКОНОМЕТРИКА. 7. Анализ качества эмпирического уравнения множественной линейной регрессии. t, (7.1) a j j a j. распределения Стьюдента. Лекция 7 ЭКОНОМЕТРИКА 7 Анализ качества эмпирического уравнения множественной линейной регрессии Построение эмпирического уравнения регрессии является начальным этапом эконометрического анализа Построенное

Подробнее

РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ. Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет

РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ. Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ Образец заполнения титульного листа Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина Кафедра высшей

Подробнее

ОПОРНЫЕ СХЕМЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

ОПОРНЫЕ СХЕМЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Л.В. Агамиров. Методы статистического анализа результатов научных исследований

Л.В. Агамиров. Методы статистического анализа результатов научных исследований Л.В. Агамиров Методы статистического анализа результатов научных исследований Учебно-методическое пособие для решения задач для научных работников, инженеров и студентов технических вузов Оценка параметров

Подробнее

Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 2008.

Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 2008. Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 008. ВАРИАНТ (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются

Подробнее

Об особенностях применения критерия согласия Пирсона χ 2

Об особенностях применения критерия согласия Пирсона χ 2 УДК 37814788:5192 Об особенностях применения критерия согласия Пирсона χ 2 Л М Гафарова, И Г Завьялова, Н Н Мустафин Национальный исследовательский университет «МИЭТ» Рассматриваются особенности и анализируются

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Кафедра информатики Н. А. Волорова, А. С. Летохо ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее

Б.Ю. Лемешко, С.Н. Постовалов

Б.Ю. Лемешко, С.Н. Постовалов Заводская лаборатория. 1998. Т. 64. - 5. - С.56-63. УДК 519.2 О зависимости предельных распределений статистик хи-квадрат Пирсона и отношения правдоподобия от способа группирования данных Б.Ю. Лемешко,

Подробнее

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Непараметрические критерии... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39

Подробнее

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности Экзаменационный билет по курсу: ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А.). Случайные события. Определение вероятности.. Найти распределение дискретной случайной величины ξ, принимающей значения x с вероятности

Подробнее

Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента Лекция 2 Распределение Стьюдента Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Моделирование нормального распределения Распределение ХИ-квадрат Критерии согласия 1 Распределение Стьюдента

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Техносферная и информационная безопасность» МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Оренбургский государственный университет Кафедра Математических методов и моделей в экономике Г.Г. АРАЛБАЕВА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов.

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов. Лекция 5 ЭКОНОМЕТРИКА 5 Проверка качества уравнения регрессии Предпосылки метода наименьших квадратов Рассмотрим модель парной линейной регрессии X 5 Пусть на основе выборки из n наблюдений оценивается

Подробнее

ВАРИАНТ 1 ЗАДАЧА 1. Построить гистограмму по группированному статистическому ряду:

ВАРИАНТ 1 ЗАДАЧА 1. Построить гистограмму по группированному статистическому ряду: ВАРИАНТ 1 Построить гистограмму по группированному статистическому ряду: Интервалы 0-2 2-4 4-6 Частоты (ν i ) 20 30 50 Построить оценку для неизвестного параметра генеральной совокупности, имеющей геометрическое

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия.

Лекция 6. Критерии согласия. Лекция 6. Критерии согласия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CS Center) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2014 1 / 26 Cодержание Содержание 1

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» «КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ Кафедра математики и экономической информатики Методическая разработка по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Специальность: Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 016-017 Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Математическая статистика ПРОВЕРКА СТПТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ОМОИ. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

Математическая статистика ПРОВЕРКА СТПТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ОМОИ. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Математическая статистика ПРОВЕРКА СТПТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ОМОИ Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Статистические критерии Мощность критерия это способность выявлять различия или

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия.

Лекция 6. Критерии согласия. Лекция 6. Критерии согласия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2015 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Критерии

Подробнее

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

Подробнее

Решение: а) Используем локальную теорему Лапласа.

Решение: а) Используем локальную теорему Лапласа. Найди свою задачу на http://mathprof.com! ) Человек, проходящий мимо киоска, покупает газету с вероятностью 0,. Найти вероятность того, что из 00 человек, прошедших мимо киоска в течение часа: а) купят

Подробнее

Ю. С. Боярович, Ю. Е. Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ю. С. Боярович, Ю. Е. Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ю С Боярович, Ю Е Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Практическое руководство

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

Выборочные оценки параметров распределения

Выборочные оценки параметров распределения Выборочные оценки параметров распределения 1 Выборочные оценки параметров распределения Резюмируя, важно подчеркнуть, что, с точки зрения экспериментатора, функции распределения и статистические характеристики

Подробнее

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. Для подготовки дипломированных специалистов по направлению Менеджмент в организации Квалификация «Менеджер»

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. Для подготовки дипломированных специалистов по направлению Менеджмент в организации Квалификация «Менеджер» Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирская Государственная Геодезическая Академия»

Подробнее