Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса"

Транскрипт

1 Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 23 февраля 2012 г.

2 Введение Пусть вещественная функция f(x) определена на отрезке [, b] R 1. Рассмотрим на отрезке [, b] произвольное разбиение T { = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b} и сопоставим данному разбиению величину V T (f) n f(x k ) f(x k 1 ). (1) Кроме того, рассмотрим supremum по всем таким разбиениям T отрезка [, b]. И определим следующую величину V(f) b sup V T (f). (2) T

3 Линейность f(x) = α 1 f 1 (x) + α 2 f 2 (x), n V T (f) f(x k ) f(x k 1 ), f(x k ) f(x k 1 ) = = α 1 f 1 (x k ) + α 2 f 2 (x k ) α 1 f 1 (x k 1 ) α 2 f 2 (x k 1 ) α 1 f 1 (x k ) f 1 (x k 1 ) + α 2 f 2 (x k ) f 2 (x k 1 ), откуда сразу же получаем неравенство V T (f) α 1 V T (f 1 ) + α 2 V T (f 2 ),

4 Определение Определение 1. Назовем пространством функций ограниченной вариации на отрезке [, b] линейное пространство тех вещественных функций, определенных на отрезке [, b], для которых конечна величина V b (f) из (2). Обозначим это линейное пространство через BV[, b].

5 Монотонные функции V T (f) = n f(x k ) f(x k 1 ) = n [f(x k ) f(x k 1 )] = f(b) f(). Аналогичный результат имеет место и для монотонно невозрастающих функций, и вместе получим равенство V T (f) = f(b) f(). Естественно, и supremum по всем разбиениям T отрезка [, b] равен этой же величине: V b (f) = f(b) f().

6 Аддитивность Теорема Пусть f(x) BV[, b] и c (, b) произвольная точка, тогда f(x) BV[, c] BV[c, b], причем имеет место равенство V(f) b = V(f) c + Vc(f). b

7 Доказательство-1 Итак, пусть T это произвольное разбиение отрезка [, b] и c (, b). Тогда T = T 1 T 2, где T 1 это разбиение отрезка [, c], а T 2 это разбиение отрезка [c, b]. Тогда имеет место равенство V T (f) = V T1 (f) + V T2 (f). (3) Поскольку объединение разбиений T 1 и T 2 отрезков [, c] и [c, b] дает разбиение отрезка [, b], то из (3) вытекает неравенство V T1 (f) + V T2 (f) = V T (f) V b (f), откуда, взяв supremum от обеих частей этого неравенства по T 1 и T 2, получим V c (f) + V b c(f) V b (f).

8 Доказательство-2 Пусть теперь T это произвольное разбиение отрезка [, b]. К сожаленью, его сужения на [, c] и [c, b] могут не быть разбиениями этих отрезков, поскольку точка c (, b) не обязана входить в произвольное разбиение T. Поэтому добавим к нашему разбиению T точку c. Получившееся разбиение обозначим через T. Теперь сужения T на отрезки [, c] и [c, b] образуют разбиения T 1 и T 2 соответственно. Поэтому из (3) вытекает неравенство V T (f) V T (f) = V T1 (f) + V T2 (f) V c (f) + V b c(f), и, взяв supremum от обеих частей этого неравенства по T, получим неравенство V b (f) V c (f) + V b c(f).

9 Следствие Следствие. Произвольную функцию f(x) BV[, b] всегда можно представить в виде разности двух монотонно неубывающих функций f(x) = f 1 (x) f 2 (x).

10 Доказательство Возьмем в качестве функции f 1 (x) функцию f 1 (x) = V x (f), тогда из теоремы 1 получим, что функция f 1 (x) монотонно неубывающая. Определим теперь функцию f 2 (x) следующим равенством f 2 (x) = V x (f) f(x). Проверим монотонность функции f 2 (x). Действительно, из теоремы 1 имеем f 2 (x) f 2 (y) = V x y(f) [f(x) f(y)] 0 при x y. Действительно, по определению V x y(f) имеет место неравенство f(x) f(y) V x y(f).

11 Вопрос Возникает вопрос: можно сделать линейное пространство BV[, b] нормированным? А если можно, то будет ли оно полно относительно этой нормы? Для ответа на эти вопросы необходимо построить интегралы Римана Стилтьеса и Лебега Стилтьеса. Начнем с построения интеграла Римана Стилтьеса.

12 Интеграл Римана Стилтьеса-1 С этой целью давайте рассмотрим некоторое разбиение отрезка [, b] R 1 : T { = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b}, с отмеченными точками ξ i [x i 1, x i ] при i = 1, 2,..., n, а также две ограниченные на отрезке [, b] функции f(x), g(x) : [, b] R 1. Составим следующую интегральную сумму σ = σ(g; f; T) n f(ξ i ) [g(x i ) g(x i 1 )]. (4) i=1

13 Интеграл Римана Стилтьеса-2 Введем параметр разбиения λ(t) mx 1 i n x i x i 1. Предположим, что существует предел интегральных сумм (4) при λ(t) 0, тогда полученный предел будем называть интегралом Римана Стилтьеса и будем его обозначать следующим образом: f(x) dg(x). (5)

14 Интеграл Римана Стилтьеса-3 Совершенно понятно из построения интеграла Римана Стилтьеса, что в том случае, когда функция f(x) C[, b] и функция g(x) C (1) [, b], то интеграл Римана Стилтьеса по этим функциям существует и совпадает с интегралом Римана: f(x) dg(x) = f(x)g (x) dx. Однако условие g(x) C (1) [, b] очень обременительно, и возникает вопрос о существовании более слабого достаточного условия существования интеграла Римана Стилтьеса. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

15 Теорема Теорема Пусть функция f(x) C[, b], а функция g(x) BV[, b]. Тогда существует интеграл Римана Стилтьеса причем I = f(x) dg(x), I mx x [,b] f(x) Vb (g). (6)

16 Доказательство-1 В силу следствия из теоремы 1 в качестве g(x) можно взять монотонно неубывающую функцию. Действительно, пусть g(x) = g 1 (x) g 2 (x) и нам достаточно доказать существование следующих интегралов Римана Стилтьеса: f(x) dg 1 (x) и f(x) dg 2 (x), и тогда мы докажем существование интеграла f(x) dg(x) = f(x) dg 1 (x) f(x) dg 2 (x).

17 Доказательство-2 Рассмотрим произвольное разбиение T отрезка [, b] и на каждом отрезке разбиения [x k 1, x k ] рассмотрим минимум и максимум функции f(x) : m k = min f(x), M k = mx f(x). x [x k 1,x k ] x [x k 1,x k ] Так что помимо интегральной суммы (4) составим нижнюю s и верхнюю S суммы s = n m k [g(x k ) g(x k 1 )], S = n M k [g(x k ) g(x k 1 )]. (7)

18 Доказательство-3 Совершенно понятно, что выполнены неравенства для одного и того же разбиения T отрезка [, b]: s σ S. Заметим, что при добавлении одной новой точки к разбиению T отрезка [, b] нижняя сумма не убывает, а верхняя сумма не возрастает.

19 Доказательство-4 Действительно, пусть y k [x k 1, x k ] это новая точка разбиения T и m 1k = min f(x) m k, m 2k = min f(x) m k, (8) x [x k 1,y k ] x [y k,x k ] тогда в верхнюю сумму до добавления новой точки имелось слагаемое m k [g(x k ) g(x k 1 )], а после добавления новой точки получилось два слагаемых m 1k [g(x k ) g(y k )] + m 2k [g(y k ) g(x k 1 )]. Причем в силу (8) имеет место неравенство снизу m 1k [g(x k ) g(y k )]+m 2k [g(y k ) g(x k 1 )] m k [g(x k ) g(y k )] + + m k [g(y k ) g(x k 1 )] = m k [g(x k ) g(x k 1 )]. Аналогичным образом доказывается, что верхняя сумма S не возрастает при добавлении новой точки разбиения.

20 Доказательство-5 Теперь докажем, что если у нас имеется два различных разбиения T 1 и T 2 отрезка [, b], то соответствующая разбиению T 1 нижняя сумма s 1 не превосходит верхнюю сумму S 2, соответствующую разбиению T 2. С этой целью возьмем объединение этих двух разбиений T 3 = T 1 T 2 и сопоставим ему нижнюю сумму s 3 и верхнюю сумму S 3. В силу предыдущего имеет место неравенства Значит, всегда s 1 S 2. s 1 s 3 S 3 S 2.

21 Доказательство-6 Пусть теперь I = sup s(t). T По доказанному имеет место неравенство Стало быть, s I S и s σ S. σ I S s. (9) Рассмотрим теперь повнимательней выражение S s: S s = n (M k m k ) [g(x k ) g(x k 1 )].

22 Доказательство-7 Заметим, что поскольку функция f(x) C[, b], то она по теореме Кантора является равномерно непрерывной на отрезке [, b]. Поэтому для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что при λ(t) < δ получим M k m k < ε для всех k = 1, 2,..., n. Тогда из (9) получим неравенство σ I S s = n (M k m k ) [g(x k ) g(x k 1 )] ε n [g(x k ) g(x k 1 )] = ε[g(b) g()].

23 Доказательство-8 А это означает, что lim σ(t) = I = λ(t) 0 f(x) dg(x). Теперь заметим, что для произвольного разбиения T отрезка [, b] справедливо неравенство σ(g; f; T) mx x [,b] f(x) Vb (g). Справедливо следующее неравенство I I σ(g; f; T) + σ(g; f; T) I σ(g; f; T) + mx x [,b] f(x) Vb (g). Переходя к пределу при λ(t) 0 получим искомую оценку.

24 Интегрирование по частям Теорема При условии существования одного из интегралов в следующей формуле вытекает существование другого: f(x) dg(x) = g(x) df(x) + f(b)g(b) f()g(). (10)

25 Доказательство-1 Пусть T = { = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b} произвольное разбиение отрезка [, b] с отмеченными точками ξ k [x k 1, x k ] при k = 1, n. Рассмотрим следующую интегральную сумму = n f(ξ k ) [g(x k ) g(x k 1 )] = n n 1 n n g(x k )f(ξ k ) g(x k 1 )f(ξ k ) = n 1 g(x k )f(ξ k ) g(x k )f(ξ k+1 ) = g(b)f(ξ n ) g()f(ξ 1 ) k=0 g(x k ) [f(ξ k+1 ) f(ξ k )] = g(b)f(b) g()f()+ n 1 +g(b) [f(ξ n ) f(b)] g() [f(ξ 1 ) f()] g(x k ) [f(ξ k+1 ) f(ξ k )].

26 Доказательство-2 Теперь перейдем к пределу при λ(t) 0 и получим при условии существовании предела одной из интегральных сумм либо n f(ξ k ) [g(x k ) g(x k 1 )], либо n 1 g(x k ) [f(ξ k+1 ) f(ξ k )], получим в пределе равенство (10).

27 Свойства интеграла Римана Стилтьеса Приведем некоторые свойства интеграла Римана Стилтьеса. (i) (ii) (iii) (α 1 f 1 (x) + α 2 f 2 (x)) dg(x) = α 1 b b f 1 (x) dg(x) + α 2 f 2 (x) dg(x); f(x) d (α 1 g 1 (x) + α 2 g 2 (x)) = α 1 b b f(x) dg 1 (x) + α 2 f(x) dg(x) = c f(x) dg 2 (x); f(x) dg(x) + c f(x) dg(x), c (, b), причем равенства (i) (ii) имеют место при условии существования всех интегралов в правой части, а в случае (iii) при условии существования интеграла в левой части.

28 Один пример-1 ПРИМЕР 1. Приведем пример функций f(x) и g(x), когда интегралы в правой части (iii) существуют, а вот интеграл в левой части нет. Пусть функции f и g заданы на сегменте [ 1, 1], причем f(x) = { 0, 1 x 0; 1, 0 < x 1, Тогда существуют оба интеграла 0 1 f(x) dg(x) = 1 0 g(x) = { 0, 1 x < 0; f(x) dg(x) = 0, 1, 0 x 1.

29 Один пример-2 однако интеграл 1 1 f(x) dg(x) не существует. Для того чтобы это доказать, возьмем произвольное разбиение T отрезка, но таким образом, чтобы точка 0 не попала в число точек разбиения. Рассмотрим соответствующую интегральную сумму σ(g; f; T) = n f(ξ k ) [g(x k ) g(x k 1 )], и пусть x i 1 < 0 < x i, тогда эта сумма равна σ = f(ξ i ), а стало быть, равна либо 0 либо 1 в зависимости от того, где лежит точка ξ i : ξ i > 0 или ξ i < 0. Поэтому предела при λ(t) 0 не существует.

30 Теорема Хелли Теорема Пусть f(x) C[, b] и последовательность функций {g n (x)} сходится в каждой точке отрезка [, b] к функции g(x), причем V b (g n ) K < +, тогда имеет место предельное равенство lim f(x) dg n (x) = f(x) dg(x). n +

31 Вспомогательная лемма Лемма Пусть функция f(x) C[, b], а g(x) кусочно-постоянная функция, т. е. существует такое разбиение отрезка [, b] c 0 = < c 1 < c 2 <... < c n < c n+1 = b, что функция g(x) является постоянной на каждом отрезке [c k 1, c k ] при k = 0, n + 1. При этих условиях имеет место явное выражение для интеграла Римана Стилтьеса на отрезке [, b] от функции f(x) по функции g(x) : f(x) dg(x) = f() [g( + 0) g()]+f(b) [g(b) g(b 0)] + n + f(c k ) [g(c k + 0) g(c k 0)]. (11)

32 Линейные функционалы над C[, b]-1 Итак, рассмотрим некоторый линейный (по построению) функционал на банаховом пространстве C[, b], определенный следующим интегралом Римана Стилтьеса: Φ g, f = f(x) dg(x) при некотором g BV[, b] (12) и для любой функции f(x) C[, b]. Линейность этого функционала вытекает из свойства (i) интегралов Римана Стилтьеса.

33 Линейные функционалы над C[, b]-2 Пусть f n f(x) равномерно по x [, b], что равносильно f n f 0 при n +. Тогда в силу теоремы 2 справедлива цепочка неравенств Φ g, f n f = [f n (x) f(x)] dg(x) mx x [,b] f n(x) f(x) V b (g) 0 при n +.

34 Линейные функционалы над C[, b]-3 Тем самым мы приходим к выводу о том, что линейная оболочка этого семейства {Φ g g BV[, b] } образует линейное подпространство в банаховом пространстве всех линейных непрерывных функционалов на банаховом пространстве C[, b]. Возникает вопрос: имеются ли другие функционалы, действие которых нельзя представить формулой (12)? Оказывается, что все функционалы на банаховом пространстве C[, b] можно представить формулой (12).

35 Теорема Рисса Теорема Каждый линейный и непрерывный функционал на банаховом пространстве C[, b] со стандартной нормой можно представить в виде следующего интеграла Римана Стилтьеса: для всех Φ g, f = f(x) dg(x) при g(x) BV[, b] f(x) C[, b].

36 Некоторые пространства-1 Определение 3. Посредством BV[, b] обозначим линейное пространство функций, для которых конечна величина ˆV (f) b b = sup f(x) dh(x) < +. (13) (,b), h 1 h(x) C 0 (Здесь C 0 (, b) есть множество бесконечно дифференцируемых на интервале функций, равных нулю вне некоторого замкнутого подмножества интервала (; b).)

37 Некоторые пространства-2 Теорема Имеют место вложения C[, b] BV[, b] BV[, b] BV[, b], причем на множестве C[, b] BV[, b] справедливо равенство V b (f) = ˆV b (f).

Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ.

Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 1. Определение пространства BV[, b] и его свойства Пусть вещественная функция f(x) определена на отрезке [,b] R 1. Рассмотрим на отрезке [,b] произвольное

Подробнее

Лекции по линейному и нелинейному функциональному анализу

Лекции по линейному и нелинейному функциональному анализу МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Физический факультет М. О. Корпусов, А. А. Панин Лекции по линейному и нелинейному функциональному анализу Том II. Специальные пространства

Подробнее

Лекция 2. Пространство абсолютно непрерывных функций и пространства Гельдера.

Лекция 2. Пространство абсолютно непрерывных функций и пространства Гельдера. Лекция 2. Пространство абсолютно непрерывных функций и пространства Гельдера. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 28 февраля 2012 г. Введение

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 29 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 16 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение

Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 28 февраля 2012 г. Введение В этой лекции мы продолжим

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Абсолютно непрерывные функции. Гёльдеровы функции. (b k a k ) < δ, f(b k ) f(a k ) < ε. (1) (b k a k ) < δ 1, (2) f(b k ) f(a k ) < ε.

ЛЕКЦИЯ 3А Абсолютно непрерывные функции. Гёльдеровы функции. (b k a k ) < δ, f(b k ) f(a k ) < ε. (1) (b k a k ) < δ 1, (2) f(b k ) f(a k ) < ε. ЛЕКЦИЯ 3А Абсолютно непрерывные функции. Гёльдеровы функции 0. Напомним определение, данное на лекции. Определение 1. Функция f(x) называется абсолютно непрерывной на отрезке [; b], если для любого ε >

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание)

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л1. Функции ограниченной вариации образуют линейное пространство.

Подробнее

Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости.

Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости. Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Определения Итак, напомним, что действие линейного функционала

Подробнее

Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. 1. Определения и свойства

Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. 1. Определения и свойства Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 1. Определения и свойства Напомним определение, данное на лекции. Определение 1. Функция f(x) называется абсолютно непрерывной на отрезке [; b], если для

Подробнее

1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций

1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций Лекция 2 ПРОСТРАНСТВО AC И ПРОСТРАНСТВА ГЕЛЬДЕРА. 1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций Определение 1. Будем говорить, что функция f(x) AC[,b], если для любого ε > 0 найдется такое

Подробнее

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л 1. Функции ограниченной вариации образуют линейное

Подробнее

Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории.

Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории. Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 1 ноября 2012 г. Открытые отображения.

Подробнее

Лекция 7. Банаховы пространства

Лекция 7. Банаховы пространства Лекция 7. Банаховы пространства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 17 декабря 2012 г. Определение. Определение 1. Банаховым пространством

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2А Интеграл Римана Стилтьеса. F (x)dg(x) F C[a;b]Va b (g) (1) f n f C[a;b] Va b (g) 0. a. f(x)dg n (x)

ЛЕКЦИЯ 2А Интеграл Римана Стилтьеса. F (x)dg(x) F C[a;b]Va b (g) (1) f n f C[a;b] Va b (g) 0. a. f(x)dg n (x) ЛЕКЦИЯ А Интеграл Римана Стилтьеса 1. Пусть f n (x) C[; b], g(x) BV[; b], f n (x) f(x) на [; b]. Тогда Действительно, в силу оценки f n (x)dg(x) f(x)dg(x). F (x)dg(x) F C[;b]V b (g) (1) и свойств линейности

Подробнее

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ В этой лекции мы продолжим рассмотрение пространств Лебега, начатое в третьей лекции предыдущего семестра. Для более полного понимания следует посмотреть эту лекцию..

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

Лекция 4 25 февраля 2009

Лекция 4 25 февраля 2009 Действительный анализ. Лекция 4. 25 февраля 2009 1 Действительный анализ. IV семестр. 2009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tih@gmail.com Лекция 4 25 февраля 2009 Лебег определял класс

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

Комплексные меры, функции ограниченной вариации и теорема Рисса

Комплексные меры, функции ограниченной вариации и теорема Рисса Комплексные меры, функции ограниченной вариации и теорема Рисса Из прошлого семестра вам известно, как устроены пространства, сопряженные к классическим банаховым пространствам l p, c 0, L p (X, µ), гильбертову

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера Лекция АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Интеграл Бохнера Перейдем к построению интеграла Бохнера, являющегося банаховозначным обобщением интеграла Лебега. Как и в случае интеграла Лебега путь у нас имеется

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее

Лекция 3. Нелинейные операторы.

Лекция 3. Нелинейные операторы. Лекция 3. Нелинейные операторы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 12 сентября 2012 г. Обозначения. Пусть B 1 и B 2 это два банаховых пространства относительно

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Введение Функция Дирихле не интегрируема

Подробнее

Лекция апреля 2009

Лекция апреля 2009 Действительный анализ. Лекция 11. 22 апреля 2009 1 Действительный анализ. IV семестр. 2009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tikh@gmil.com Лекция 11 22 апреля 2009 Задача 1. Привести

Подробнее

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Подробнее

Виды сходимости последовательностей случайных величин

Виды сходимости последовательностей случайных величин С.Я. Шатских Лекции по теории вероятностей Виды сходимости последовательностей случайных величин Черновик Сходимость по вероятности. Будем считать, что все интересующие нас случайные величины определены

Подробнее

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции 5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции Мера и интеграл понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить

Подробнее

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции 5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции Мера и интеграл понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Приложение к программе курса "Теория вероятностей", прочитанного В.В.Сенатовым весной 2009 г. О СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Приложение к программе курса Теория вероятностей, прочитанного В.В.Сенатовым весной 2009 г. О СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Приложение к программе курса "Теория вероятностей", прочитанного В.В.Сенатовым весной 2009 г. О СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В данном приложении рассматриваются некоторые виды сходимости. В теории вероятностей

Подробнее

О. Б. Васюнина, С. В. Самуйлова ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

О. Б. Васюнина, С. В. Самуйлова ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» О. Б. Васюнина, С. В.

Подробнее

Лекция 7. Преобразование Фурье

Лекция 7. Преобразование Фурье Лекция 7. Преобразование Фурье Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 2 апреля 2012 г. Пространство P Напомним, что топология τ пространства

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 5-6 Определенный

Подробнее

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега.

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Введение На прошлой лекции мы рассмотрели построение

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава 1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Лекция 1 1 Введение Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла Разумеется, мы не будем рассматривать интегральные

Подробнее

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов.

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов. 9. Определенный интеграл 9.1. Вычисление определенных интегралов. ТЕОРИЯ Определенный интеграл от заданной на отрезке функции можно задать несколькими способами. Важно, что набор средств, доступных для

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Лекция 7 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение и примеры

Лекция 7 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение и примеры Лекция 7 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 1. Определение и примеры Определение 1. Нормой называется неотрицательная вещественная функция на линейном пространстве L над полем K (где K = R или K = C), удовлетворяющая

Подробнее

УДК 517(075.8) ББК ISBN

УДК 517(075.8) ББК ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» В.Н. Горбузов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ Учебное

Подробнее

Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств.

Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств. Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу

Подробнее

1. Некоторые общие свойства линейных функционалов в банаховых пространствах

1. Некоторые общие свойства линейных функционалов в банаховых пространствах ЛЕКЦИЯ 7Б Линейные функционалы (продолжение). Некоторые следствия из теорем Банаха Штейнгауза и Хана Банаха. Нерефлексивность некоторых функциональных пространств 1. Некоторые общие свойства линейных функционалов

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

В. А. ЗОРИЧ ИНТЕГРАЛ

В. А. ЗОРИЧ ИНТЕГРАЛ В. А. ЗОРИЧ ИНТЕГРАЛ Ниже дано общее содержание темы Одномерный интеграл (Римана) и приведены записи раздела, относящегося к вопросам существования интеграла и описанию классов интегрируемых функций. 1

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Лекция 6. Вариационные методы. Условный экстремум.

Лекция 6. Вариационные методы. Условный экстремум. Лекция 6. Вариационные методы. Условный экстремум. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 30 сентября 2011 г. Введение Довольно часто тот функционал, который непосредственно

Подробнее

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ В этой лекции мы напомним определение производной Фреше и получим выражения для производных Фреше некоторых важных функционалов и операторов,

Подробнее

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

12. Степень с рациональным показателем; экспонента

12. Степень с рациональным показателем; экспонента 2. Степень с рациональным показателем; экспонента В дополнение к сказанному в предыдущей лекции укажем еще, как можно свести понятие предела к понятию непрерывности. Именно, выполнено следующее очевидное

Подробнее

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА В этой лекции мы рассмотрим такие фундаментальные понятия современного нелинейного функционального анализа, как сильная, слабая и слабая

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Очевидно, такое название оправдывается ролью множества X при «умножении» (т. е. пересечении)

Очевидно, такое название оправдывается ролью множества X при «умножении» (т. е. пересечении) ЛЕКЦИЯ 2А Системы множеств. Элементы общей теории меры 1. Системы множеств Как вы помните, в лекции 2 построение общей теории меры велось исходя из алгебры измеримых множеств, а прямоугольники, исходя

Подробнее

11. Производная (продолжение); непрерывные функции

11. Производная (продолжение); непрерывные функции 11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

Подробнее

С. К. Водопьянов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО РИМАНУ

С. К. Водопьянов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО РИМАНУ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ С. К. Водопьянов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО РИМАНУ Учебное пособие Новосибирск 2012 ББК В.162.12

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Нормированным преобразованием Фурье функции f называется функция. ˆf = 1. f(x) = 1 R. 2. Убывание преобразования Фурье финитной гладкой функции.

Нормированным преобразованием Фурье функции f называется функция. ˆf = 1. f(x) = 1 R. 2. Убывание преобразования Фурье финитной гладкой функции. Лекция 5. Преобразование Фурье.. Определение и основные результаты. Пусть f L 2 (R). Преобразованием Фурье функции f называется функция f(α) = f(x)t iαx dx () Нормированным преобразованием Фурье функции

Подробнее

Признаки Абеля и Дирихле сходимости знакопроизвольных рядов. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов.

Признаки Абеля и Дирихле сходимости знакопроизвольных рядов. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Признаки Абеля и Дирихле сходимости знакопроизвольных рядов. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Формулировка признаков Абеля и Дирихле. Признак Абеля сходимости знакопроизвольных рядов.

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

2. Пространства Соболева

2. Пространства Соболева 2. Пространства Соболева В теории дифференциальных уравнений в основном имеют дело с измеримыми функциями. Пусть область в R d. Функция u : R называется измеримой, если она является поточечным пределом

Подробнее

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования Тема 5 Интеграл Лебега. Напомним, что такое интеграл Лебега и обсудим основные его свойства. Нам понадобятся следующие естественные соглашения, одно из которых мы уже использовали. 5.1 Соглашения и обозначения

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Линейные функционалы Напомним некоторые понятия линейной алгебры. Действительно, пусть L это линейное пространство над полем либо вещественных либо комплексных

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

1.10. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье

1.10. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье Лекция 3. Ряды Фурье. Достаточное условие представления функции f( рядом Фурье. Разложение периодической.. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье... Свойство ортогональности функций Две вещественные

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 18 18.1. Компактные метрические пространства (продолжение) В качестве простого следствия доказанной на прошлой лекции теоремы 17.5 мы получаем известный вам

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

ФОРМУЛИРОВКИ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ВТОРОЙ СЕМЕСТР (1998 Г.) Содержание

ФОРМУЛИРОВКИ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ВТОРОЙ СЕМЕСТР (1998 Г.) Содержание ФОРМУЛИРОВКИ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ВТОРОЙ СЕМЕСТР (1998 Г.) А.В.СТЕПАНОВ Содержание Часть 1. Дифференциальное исчисление (продолжение) 2 1. Элементы дифференциальной геометрии 2 2. Дифференцирование

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства

Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 3 октября 2011 г. Линейные функционалы.

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C.

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C. ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие является продолжением [7]. Оно создано на базе хорошо известных учебных пособий по математическому анализу [ 6]. В его основу положены лекции В. В. Жука, которые неоднократно читались

Подробнее

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 3 октября 2011 г. Определение топологического

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Лекции по функциональному анализу

Лекции по функциональному анализу Ю.А. Чаповский Лекции по функциональному анализу Группы: КА 53, 54 III курс, семестр 5 Киев 2017 c Ю.А. Чаповский Оглавление 1 Мера и интеграл 2 1.1 Семейства подмножеств................. 3 1.2 Мера множества......................

Подробнее

ПРОГРАММА КУРСА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (осенний семестр 2015 г.)

ПРОГРАММА КУРСА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (осенний семестр 2015 г.) ПРОГРАММА КУРСА ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (осенний семестр 205 г.). Измеримые по Лебегу множества и мера Лебега в R n. Аксиома выбора и существование неизмеримого по Лебегу множества. Измеримые функции и их

Подробнее

С. С. Платонов. Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье. c n e inx

С. С. Платонов. Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье. c n e inx С. С. Платонов Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье f(x) = n= c n e inx Петрозаводск 2010 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1А. 0. Тождества теории множеств. Свойства счётных множеств

ЛЕКЦИЯ 1А. 0. Тождества теории множеств. Свойства счётных множеств ЛЕКЦИЯ 1А 0. Тождества теории множеств. Свойства счётных множеств Пусть A P, B P. Тогда A \ B = A (P \ B), (1) A B = (P \ A) (P \ B), (2) а также P \ (P \ A) = A, A B = P \ [(P \ A) (P \ B)], A B = P \

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее