Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Транскрипт

1 Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка Линейные однородные дифференциальные уравнения Метод Бернулли. (Якоб Бернулли ( ) швейцарский математик.)... 8 Метод Лагранжа Уравнение Бернулли... Уравнения в полных дифференциалах (тотальные) Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида: F(,y,y ) 0 Если такое соотношение можно преобразовать к виду y f (, y ) то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной (нормальная форма ДУ). Говорят, что дифференциальное уравнение решается в квадратурах, если его общее решение выражается через один или несколько интегралов. Однако далеко не всякое уравнение разрешимо в квадратурах. В данной лекции мы рассмотрим некоторые, наиболее важные, типы дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах.. Уравнения с разделяющимися переменными Рассмотрим дифференциальное уравнение вида dy f f y d, () где правая часть есть произведение двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая - только от у. Преобразуем уравнение следующим образом, полагая, что f y 0 : dy f d f y, () Считая у известной функцией от х, равенство () можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по у, а правую по х, найдем dy f d C f y. (3) Выражение (3) называется общим интегралом уравнения ().

2 Дифференциальное уравнение типа () M d N y dy (4) Называется уравнением с разделенными переменными. Пример. Проинтегрировать дифференциальное уравнение d ydy 0. y R с центром в начале ко- Решение. d y ydy C ; C. Вводя обозначение получим известное уравнение окружности ординат, как показано на рисунке. C R, Уравнение вида M N y d M N y dy 0 (5) называется уравнением с разделяющими переменными. Оно приводится к уравнению (4) делением обоих частей на N ym, при условии, что N y 0 ; M 0 M N y d dy 0. (6) M N y Пример. Дано уравнение dy y. d Решение. Разделяем переменные dy d. Интегрируя, находим y dy d C C y, т.е. ln y ln lnc или ln y ln, откуда получим C общее решение уравнения y. Очевидно, простейшим дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными является следующее

3 dy f d или dy f d. Его общим решением является неопределенный интеграл y f d C.. Однородные уравнения Функция f (, y ) называется однородной n го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра выполняется тождество: Пр им ер. Функция измерения, так как так как Пр им ер. n f (, y ) f (,y ) f (,y ) y - однородная функция первого f (, y ) ( ) ( y ) y f (,y ) f ( y ) y y ( )( y ) ( y ) ( y y ) Пр им ер 3 есть однородная функция нулевого измерения, так как f (,y ) 0 f (, y ) f (,y ) y y ( ) ( y ) y ( )( y ) y. есть однородная функция второго измерения,., т.е. f (, y ) f (,y ), или Дифференциальное уравнение вида y f (, y ) называется однородным, если его правая часть f (, y ) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов. Любое уравнение вида P(,y )d Q(,y )dy 0 является однородным, если функции P(, y ) и Q(, y ) однородные функции одинакового измерения. Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными. Рассмотрим однородное уравнение y f (, y ). Т.к. функция f (,y ) однородная нулевого измерения, то можно записать: f (t,ty ) f (,y ). Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что. t.

4 Получаем: y f (,y ) f, Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента u, т.е. y y f (,y ) ( u ); Исходное дифференциальное уравнение, таким образом, можно записать в виде: y (u ). Выполняя подстановку y u, y u u u u, (7) получим (u ) u u u (u ); u ; таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u. du d du d ; C; (u ) u (u ) u Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения. y y Пример. Решить однородное уравнение y ln. Введем вспомогательную функцию u. y u; y u u. Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее lnu ln. y Подставляем в исходное уравнение: u u u(lnu ); u u ulnu u; u ulnu; Разделяем переменные: du d du d ; ; ulnu ulnu Интегрируя, получаем:

5 C ln lnu ln lnc; lnu C; u e. Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение: C y e. Уравнения, приводящиеся к однородным. Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным. 0, то переменные могут быть разделены подстановкой Это уравнения вида Если определитель a by c y f. a b y c a b a b u ; y v ; a by c 0 где и - решения системы уравнений a b y c 0 Пример. Решить уравнение ( y 3)dy ( y )d 0. Получаем dy dy y ( y 3 ) y ; ; d d y 3 Находим значение определителя Решаем систему уравнений y 0 y / 5 ; ; ; y y 7 / 5 Применяем подстановку u / 5; y v 7 / 5; в исходное уравнение: (u / 5 v 4 / 5 3)dv ( u / 5 v 7 / 5 )du 0; (u v )dv ( u v )du 0; dv u v v / u ; du v u v / u Заменяем переменную v t; v ut; v tu t; при подстановке в выражение, u записанное выше, имеем: t tu t t Разделяем переменные: dt t t t t ( t t ) u t ; du t t t

6 du t du ( t )dt dt; ; u t t u t t ln t t ln u lnc ln t t ln Cu C C ln t t ln ; t t ; u u Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х. v y 7 / 5 5y 7 t ; u / 5; u / 5 5 5y 7 5y 7 5C ; 5 5 ( 5 ) ( 5 ) ( 5y 7 )( 5 ) ( 5y 7 ) 5C 5 0 5y 5 y y 70 y 49 5C Итого, выражение 5 5 5y 75 y 5 y 5C y 3y y C C; исходного дифференциального уравнения. определитель y 3y y C является общим интегралом В случае если в исходном уравнении вида a a by t. b a b a by c y f a b y c 0, то переменные могут быть разделены подстановкой Пример. Решить уравнение ( y )dy ( 3 3y )d 0. Получаем dy dy 3 3y 3 3y ( y ) 3 3y ; ; d d y y Находим значение определителя Применяем подстановку 3 3y t ; dy t ; d 3 Подставляем это выражение в исходное уравнение:

7 t 3( t ) ; t( t 3 ) 9t 9; tt 6t 9t 9; tt 3t 9; 3 t t t 3 Разделяем переменные: dt d; dt d; 3t 9 t dt d; t 3 3 t 3ln t 3 C Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х. y ln 3( y ) C ; 3 y ln3 ln y C ; 3 y ln y C; таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения. 3. Линейные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде: y P( )y Q( ), (8) при этом, если правая часть Q() равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q() не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. P() и Q()- функции непрерывные на некотором промежутке a < < b. Линейные однородные дифференциальные уравнения. y P( )y 0. (9) Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей (с разделяющимися переменными). dy P( )d y Общее решение: ln y P( )d ln C ; y ln P( )d; C y Ce P( )d. (0)

8 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Для интегрирования линейных неоднородных уравнений применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа. Метод Бернулли. (Якоб Бернулли ( ) швейцарский математик.) Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций y u v или сокращенно y uv. () dv du При этом y u v - дифференцирование по частям. d d Подставляя в исходное уравнение, получаем: dv du u v P( )uv Q( ), d d dv du u v P( )u Q( ). () d d Поскольку первоначальная функция представлена в виде произведения двух, то выбор одной из функций-сомножителей в известной степени произвольный. Например, функция y ; y ; y ; и т.п. y может быть представлена как Выберем функцию u такой, чтобы du P( )u 0 d. (3) Это уравнение с разделяющимися переменными. Имеем du du P( )d; P( )d; ln u P( )d lnc ; u u P( )d u C e. (4) Поскольку скобка равна нулю, из выражения () получим dv u Q( ) d ; Q( ) Q( ) dv d ; v d C u. (5) u Подставляя полученные значения, получаем: P( )d P( )d y uv Ce Q( )e d C C, или окончательно: y e Q( )e d C, (6) P( )d P( )d

9 С - произвольный коэффициент. Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли. Метод Лагранжа. ( Лагранж Жозеф Луи (736-83) - французский математик, президент Берлинской АН, почетный член Петербуржской АН (776)). Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной. Вернемся к поставленной задаче: y P( )y Q( ) Первый шаг решение соответствующего однородного уравнения Второй шаг полагаем y P( )y 0 ; P( )d y C e. C C некоторой функцией от х. Тогда по правилам дифференцирования получаем: dy dc Pd Pd y e C e P. d d Подставляя полученное соотношение в исходное уравнение получим dc P( )d P( )d P( )d ( ) e C ( )P( )e P( )C ( )e Q( ) d dc Pd e Q. (7) d Из этого уравнения определим переменную функцию С (х): Pd dc Q e d, P( )d C Q( )e d C Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем: y e Q( )e d C. (8) Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли. Пример. Решить уравнение P( )d P( )d y y a e. Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду: Применим полученную выше формулу: P ; Q ae ; y y ae.

10 d d y e ae e d C y e ae e d C e ad C y e ( a C ). При мер. Решить уравнение dy y ( ) d Решени е. Полагаем y uv, тогда dy dv du u v d d d dy Подставляя выражение d исходное уравнение, будем иметь dv du 3 u v uv ( ) d d, dv du u v v 3 d d. (9) dv dv d v 0 Для определения v получим уравнение d, т. е. v, ln v ln откуда, или v ( ). Подставляя выражение функции v в du 3 ( ) ( ) уравнение (9), получаем для определения и уравнение d, du или d ( ) u C откуда. Следовательно, общий интеграл заданного уравнения будет иметь вид 4 ( ) y C( ). Полученное семейство является общи м решением. Каково бы ни было начальное условие ( 0; y 0 ), где 0, всегда можно так подобрать С, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданному начальному условию. Например, частное решение, удовлетворяющее условию y0 3 при 0 0,

11 4 (0 ) 3 C(0 ) C 5 найдется следующим образом:,. Следовательно, 4 ( ) 5 y ( ) искомое частное решение таково:. Однако, если начальное условие ( ; y 0 0 ) выбрать так, что х0, то мы не найдем частного решения, удовлетворяющего этому условию. Это объясняется тем, что при 0 P( ) функция разрывна и, следовательно, условия теоремы существования решения не соблюдены. З ам еч а н и е. В приложениях часто встречаются линейные уравнения с постоянными коэффициентами dy ay b d (0) где а и b постоянные. Его можно решить как линейное или путём разделения переменных: dy dy ay bd, ay b d ln ay b C, a, ln ay b ( a ac ) a ac ay b e aac b y e, a a, или окончательно a b ac y Ce C e a, где a. () Это и есть общее решение уравнения (0). 4. Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение вида n y Py Q y, () где P и Q функции от х или постоянные числа, а n постоянное число, не равное. К этому уравнению приводит задача о движении тела, если сопротивление среды F зависит от скорости так: n F v v. Уравнение движения будет dv n dv n m v v v v тогда dt, или - dt m m. Для этого разделим исходное уравнение на y n

12 y P Q. (3) n n y y n Используем подстановку z y, тогда n y n n y y z z n y y ;. n n y y n В этом случае уравнение Бернулли (3) приводится к линейному z Pz Q ; n. z np z nq Пример. Решить уравнение y y y ln. Разделим уравнение на y y : ln. y y y Полагаем z ; z. z z ln ; z z ln. y y Полагаем P, Q ln. d z ln C ; z ln d(ln ) C ; d d ln ln z e ln e d C ; z e ln e d C ; ln z C Произведя обратную подстановку, получаем: Пример. Решить уравнение C. y ln y 4y y. Разделим обе части уравнения на y. Полагаем dy 4 y. y d z y; z y ; y yz ; y 4 dz z yz z ; ; y d

13 Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение: dz z dz z dz d 0; ; ; d d z dz d C ; ln z ln lnc; z C ; z Полагаем C = C() и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что: dz dc( ) C( ) ; d d dc( ) C( ) C( ) ; d dc( ) ; C( ) ln C ; d Получаем: z C ln ; Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ: 4 y C ln ; З ам еч а н и е. Аналогично тому, как это делалось для линейных уравнений, можно показать, что решение уравнения Бернулли можно искать в виде произведения двух функций: y u v где v( ) какая-либо функция, отличная от нуля и удовлетворяющая уравнению v Pv Уравнения в полных дифференциалах (тотальные) Дифференциальное уравнение первого порядка вида: M(,y )d N(,y )dy 0 (4) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции u F(,y ). Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: du 0; u C. Таким образом, для решения надо определить: ) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;,

14 ) как найти эту функцию. Если дифференциальная форма M(, y )d дифференциалом некоторой функции u, то можно записать: u u du M(,y )d N(,y )dy d dy. y Т.е. u u y M(,y ). N(,y ) N(, y )dy является полным Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе по х: u M(,y ) y y u N(,y ) y Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности. M(,y ) N(,y ) y Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u. u Проинтегрируем равенство M(,y ): u M(,y )d C( y ). Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром. Определим функцию С(у). Продифференцируем полученное равенство по у. u N(,y ) M(,y )d C ( y ). y y Откуда получаем: C ( y ) N(,y ) M(,y )d. y Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой

15 функции по х равна нулю. N(,y ) N(,y ) С ( y ) M(,y )d M(,y )d y y N(,y ) M(,y ) 0. y Теперь определяем функцию С(у): C( y ) N(,y ) M(,y )d dy C y Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем: u M(,y )d N(,y ) M(,y )d dy C. y Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид: M(,y )d N(,y ) M(,y )d dy C. y Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена. Пример. Решить уравнение Проверим условие тотальности: ( 3 0y )d ( 5 )dy 0 y y M(,y ) ( 3 0y ) 0; N(,y ) ( 5 ) 0. Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Определим функцию u. 3 u M(,y )d C( y ) ( 3 0y )d C( y ) 5 y C( y ); 3 Итого, u 5 y y C. u y 5 C ( y ) N(,y ) 5 ; C ( y ) ; C( y ) ( )dy y C ; Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения: 3 u 5 y y C С ;. 3 5 y y C.

16