Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка
|
|
- Павел Белевский
- 4 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка Линейные однородные дифференциальные уравнения Метод Бернулли. (Якоб Бернулли ( ) швейцарский математик.)... 8 Метод Лагранжа Уравнение Бернулли... Уравнения в полных дифференциалах (тотальные) Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида: F(,y,y ) 0 Если такое соотношение можно преобразовать к виду y f (, y ) то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной (нормальная форма ДУ). Говорят, что дифференциальное уравнение решается в квадратурах, если его общее решение выражается через один или несколько интегралов. Однако далеко не всякое уравнение разрешимо в квадратурах. В данной лекции мы рассмотрим некоторые, наиболее важные, типы дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах.. Уравнения с разделяющимися переменными Рассмотрим дифференциальное уравнение вида dy f f y d, () где правая часть есть произведение двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая - только от у. Преобразуем уравнение следующим образом, полагая, что f y 0 : dy f d f y, () Считая у известной функцией от х, равенство () можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по у, а правую по х, найдем dy f d C f y. (3) Выражение (3) называется общим интегралом уравнения ().
2 Дифференциальное уравнение типа () M d N y dy (4) Называется уравнением с разделенными переменными. Пример. Проинтегрировать дифференциальное уравнение d ydy 0. y R с центром в начале ко- Решение. d y ydy C ; C. Вводя обозначение получим известное уравнение окружности ординат, как показано на рисунке. C R, Уравнение вида M N y d M N y dy 0 (5) называется уравнением с разделяющими переменными. Оно приводится к уравнению (4) делением обоих частей на N ym, при условии, что N y 0 ; M 0 M N y d dy 0. (6) M N y Пример. Дано уравнение dy y. d Решение. Разделяем переменные dy d. Интегрируя, находим y dy d C C y, т.е. ln y ln lnc или ln y ln, откуда получим C общее решение уравнения y. Очевидно, простейшим дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными является следующее
3 dy f d или dy f d. Его общим решением является неопределенный интеграл y f d C.. Однородные уравнения Функция f (, y ) называется однородной n го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра выполняется тождество: Пр им ер. Функция измерения, так как так как Пр им ер. n f (, y ) f (,y ) f (,y ) y - однородная функция первого f (, y ) ( ) ( y ) y f (,y ) f ( y ) y y ( )( y ) ( y ) ( y y ) Пр им ер 3 есть однородная функция нулевого измерения, так как f (,y ) 0 f (, y ) f (,y ) y y ( ) ( y ) y ( )( y ) y. есть однородная функция второго измерения,., т.е. f (, y ) f (,y ), или Дифференциальное уравнение вида y f (, y ) называется однородным, если его правая часть f (, y ) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов. Любое уравнение вида P(,y )d Q(,y )dy 0 является однородным, если функции P(, y ) и Q(, y ) однородные функции одинакового измерения. Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными. Рассмотрим однородное уравнение y f (, y ). Т.к. функция f (,y ) однородная нулевого измерения, то можно записать: f (t,ty ) f (,y ). Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что. t.
4 Получаем: y f (,y ) f, Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента u, т.е. y y f (,y ) ( u ); Исходное дифференциальное уравнение, таким образом, можно записать в виде: y (u ). Выполняя подстановку y u, y u u u u, (7) получим (u ) u u u (u ); u ; таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u. du d du d ; C; (u ) u (u ) u Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения. y y Пример. Решить однородное уравнение y ln. Введем вспомогательную функцию u. y u; y u u. Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее lnu ln. y Подставляем в исходное уравнение: u u u(lnu ); u u ulnu u; u ulnu; Разделяем переменные: du d du d ; ; ulnu ulnu Интегрируя, получаем:
5 C ln lnu ln lnc; lnu C; u e. Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение: C y e. Уравнения, приводящиеся к однородным. Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным. 0, то переменные могут быть разделены подстановкой Это уравнения вида Если определитель a by c y f. a b y c a b a b u ; y v ; a by c 0 где и - решения системы уравнений a b y c 0 Пример. Решить уравнение ( y 3)dy ( y )d 0. Получаем dy dy y ( y 3 ) y ; ; d d y 3 Находим значение определителя Решаем систему уравнений y 0 y / 5 ; ; ; y y 7 / 5 Применяем подстановку u / 5; y v 7 / 5; в исходное уравнение: (u / 5 v 4 / 5 3)dv ( u / 5 v 7 / 5 )du 0; (u v )dv ( u v )du 0; dv u v v / u ; du v u v / u Заменяем переменную v t; v ut; v tu t; при подстановке в выражение, u записанное выше, имеем: t tu t t Разделяем переменные: dt t t t t ( t t ) u t ; du t t t
6 du t du ( t )dt dt; ; u t t u t t ln t t ln u lnc ln t t ln Cu C C ln t t ln ; t t ; u u Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х. v y 7 / 5 5y 7 t ; u / 5; u / 5 5 5y 7 5y 7 5C ; 5 5 ( 5 ) ( 5 ) ( 5y 7 )( 5 ) ( 5y 7 ) 5C 5 0 5y 5 y y 70 y 49 5C Итого, выражение 5 5 5y 75 y 5 y 5C y 3y y C C; исходного дифференциального уравнения. определитель y 3y y C является общим интегралом В случае если в исходном уравнении вида a a by t. b a b a by c y f a b y c 0, то переменные могут быть разделены подстановкой Пример. Решить уравнение ( y )dy ( 3 3y )d 0. Получаем dy dy 3 3y 3 3y ( y ) 3 3y ; ; d d y y Находим значение определителя Применяем подстановку 3 3y t ; dy t ; d 3 Подставляем это выражение в исходное уравнение:
7 t 3( t ) ; t( t 3 ) 9t 9; tt 6t 9t 9; tt 3t 9; 3 t t t 3 Разделяем переменные: dt d; dt d; 3t 9 t dt d; t 3 3 t 3ln t 3 C Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х. y ln 3( y ) C ; 3 y ln3 ln y C ; 3 y ln y C; таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения. 3. Линейные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде: y P( )y Q( ), (8) при этом, если правая часть Q() равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q() не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. P() и Q()- функции непрерывные на некотором промежутке a < < b. Линейные однородные дифференциальные уравнения. y P( )y 0. (9) Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей (с разделяющимися переменными). dy P( )d y Общее решение: ln y P( )d ln C ; y ln P( )d; C y Ce P( )d. (0)
8 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Для интегрирования линейных неоднородных уравнений применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа. Метод Бернулли. (Якоб Бернулли ( ) швейцарский математик.) Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций y u v или сокращенно y uv. () dv du При этом y u v - дифференцирование по частям. d d Подставляя в исходное уравнение, получаем: dv du u v P( )uv Q( ), d d dv du u v P( )u Q( ). () d d Поскольку первоначальная функция представлена в виде произведения двух, то выбор одной из функций-сомножителей в известной степени произвольный. Например, функция y ; y ; y ; и т.п. y может быть представлена как Выберем функцию u такой, чтобы du P( )u 0 d. (3) Это уравнение с разделяющимися переменными. Имеем du du P( )d; P( )d; ln u P( )d lnc ; u u P( )d u C e. (4) Поскольку скобка равна нулю, из выражения () получим dv u Q( ) d ; Q( ) Q( ) dv d ; v d C u. (5) u Подставляя полученные значения, получаем: P( )d P( )d y uv Ce Q( )e d C C, или окончательно: y e Q( )e d C, (6) P( )d P( )d
9 С - произвольный коэффициент. Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли. Метод Лагранжа. ( Лагранж Жозеф Луи (736-83) - французский математик, президент Берлинской АН, почетный член Петербуржской АН (776)). Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной. Вернемся к поставленной задаче: y P( )y Q( ) Первый шаг решение соответствующего однородного уравнения Второй шаг полагаем y P( )y 0 ; P( )d y C e. C C некоторой функцией от х. Тогда по правилам дифференцирования получаем: dy dc Pd Pd y e C e P. d d Подставляя полученное соотношение в исходное уравнение получим dc P( )d P( )d P( )d ( ) e C ( )P( )e P( )C ( )e Q( ) d dc Pd e Q. (7) d Из этого уравнения определим переменную функцию С (х): Pd dc Q e d, P( )d C Q( )e d C Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем: y e Q( )e d C. (8) Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли. Пример. Решить уравнение P( )d P( )d y y a e. Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду: Применим полученную выше формулу: P ; Q ae ; y y ae.
10 d d y e ae e d C y e ae e d C e ad C y e ( a C ). При мер. Решить уравнение dy y ( ) d Решени е. Полагаем y uv, тогда dy dv du u v d d d dy Подставляя выражение d исходное уравнение, будем иметь dv du 3 u v uv ( ) d d, dv du u v v 3 d d. (9) dv dv d v 0 Для определения v получим уравнение d, т. е. v, ln v ln откуда, или v ( ). Подставляя выражение функции v в du 3 ( ) ( ) уравнение (9), получаем для определения и уравнение d, du или d ( ) u C откуда. Следовательно, общий интеграл заданного уравнения будет иметь вид 4 ( ) y C( ). Полученное семейство является общи м решением. Каково бы ни было начальное условие ( 0; y 0 ), где 0, всегда можно так подобрать С, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданному начальному условию. Например, частное решение, удовлетворяющее условию y0 3 при 0 0,
11 4 (0 ) 3 C(0 ) C 5 найдется следующим образом:,. Следовательно, 4 ( ) 5 y ( ) искомое частное решение таково:. Однако, если начальное условие ( ; y 0 0 ) выбрать так, что х0, то мы не найдем частного решения, удовлетворяющего этому условию. Это объясняется тем, что при 0 P( ) функция разрывна и, следовательно, условия теоремы существования решения не соблюдены. З ам еч а н и е. В приложениях часто встречаются линейные уравнения с постоянными коэффициентами dy ay b d (0) где а и b постоянные. Его можно решить как линейное или путём разделения переменных: dy dy ay bd, ay b d ln ay b C, a, ln ay b ( a ac ) a ac ay b e aac b y e, a a, или окончательно a b ac y Ce C e a, где a. () Это и есть общее решение уравнения (0). 4. Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение вида n y Py Q y, () где P и Q функции от х или постоянные числа, а n постоянное число, не равное. К этому уравнению приводит задача о движении тела, если сопротивление среды F зависит от скорости так: n F v v. Уравнение движения будет dv n dv n m v v v v тогда dt, или - dt m m. Для этого разделим исходное уравнение на y n
12 y P Q. (3) n n y y n Используем подстановку z y, тогда n y n n y y z z n y y ;. n n y y n В этом случае уравнение Бернулли (3) приводится к линейному z Pz Q ; n. z np z nq Пример. Решить уравнение y y y ln. Разделим уравнение на y y : ln. y y y Полагаем z ; z. z z ln ; z z ln. y y Полагаем P, Q ln. d z ln C ; z ln d(ln ) C ; d d ln ln z e ln e d C ; z e ln e d C ; ln z C Произведя обратную подстановку, получаем: Пример. Решить уравнение C. y ln y 4y y. Разделим обе части уравнения на y. Полагаем dy 4 y. y d z y; z y ; y yz ; y 4 dz z yz z ; ; y d
13 Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение: dz z dz z dz d 0; ; ; d d z dz d C ; ln z ln lnc; z C ; z Полагаем C = C() и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что: dz dc( ) C( ) ; d d dc( ) C( ) C( ) ; d dc( ) ; C( ) ln C ; d Получаем: z C ln ; Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ: 4 y C ln ; З ам еч а н и е. Аналогично тому, как это делалось для линейных уравнений, можно показать, что решение уравнения Бернулли можно искать в виде произведения двух функций: y u v где v( ) какая-либо функция, отличная от нуля и удовлетворяющая уравнению v Pv Уравнения в полных дифференциалах (тотальные) Дифференциальное уравнение первого порядка вида: M(,y )d N(,y )dy 0 (4) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции u F(,y ). Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: du 0; u C. Таким образом, для решения надо определить: ) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;,
14 ) как найти эту функцию. Если дифференциальная форма M(, y )d дифференциалом некоторой функции u, то можно записать: u u du M(,y )d N(,y )dy d dy. y Т.е. u u y M(,y ). N(,y ) N(, y )dy является полным Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе по х: u M(,y ) y y u N(,y ) y Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности. M(,y ) N(,y ) y Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u. u Проинтегрируем равенство M(,y ): u M(,y )d C( y ). Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром. Определим функцию С(у). Продифференцируем полученное равенство по у. u N(,y ) M(,y )d C ( y ). y y Откуда получаем: C ( y ) N(,y ) M(,y )d. y Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой
15 функции по х равна нулю. N(,y ) N(,y ) С ( y ) M(,y )d M(,y )d y y N(,y ) M(,y ) 0. y Теперь определяем функцию С(у): C( y ) N(,y ) M(,y )d dy C y Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем: u M(,y )d N(,y ) M(,y )d dy C. y Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид: M(,y )d N(,y ) M(,y )d dy C. y Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена. Пример. Решить уравнение Проверим условие тотальности: ( 3 0y )d ( 5 )dy 0 y y M(,y ) ( 3 0y ) 0; N(,y ) ( 5 ) 0. Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Определим функцию u. 3 u M(,y )d C( y ) ( 3 0y )d C( y ) 5 y C( y ); 3 Итого, u 5 y y C. u y 5 C ( y ) N(,y ) 5 ; C ( y ) ; C( y ) ( )dy y C ; Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения: 3 u 5 y y C С ;. 3 5 y y C.
16
2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )
, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)
II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ
Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия
. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.
Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0
. Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом
(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные
Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные
Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)
1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.
Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.
Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического
Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли
Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.
Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»
типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения
Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции
В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина
Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов
Гл. 11. Дифференциальные уравнения.
Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,
Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики
Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет
Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка
Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения
В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина
Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов
10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую
Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2
Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или
Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.
Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,
ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие
Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то
1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»
ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15
кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение
y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2
МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:
( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.
Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего
Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия.
Практическая работа 8 Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. 1 Дифференциальные
И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
9 Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) 0, то уравнение неоднородное
Практическая работа 19 Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Цель работы: закрепить навыки решения дифференциальных уравнений первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. 1 Дифференциальные
x - заданные непрерывные функции от х (или
ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар
Дифференциальные уравнения
~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое
Дифференциальные уравнения
Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих
1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.
ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,
Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений
Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки
Дифференциальные уравнения (лекция 4)
Дифференциальные уравнения лекция 4 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 9. Уравнения в полных дифференциалах Уравнение d + d = 14 называется уравнением
ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua
matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию
А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,
Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная
8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия
8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение
Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где
Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)
Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное
1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных
Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной
Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)
Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )
1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)
Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ
Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра
Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл
1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»
Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений
С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
Дифференциальные уравнения
Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения
Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (
Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности
Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1
Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений
p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y
+, ) Найти решение ДУ ( ) удовлетворяющее начальным условиям,. Данное уравнение не содержит в явном виде независимой переменной x ; интегрируем его методом понижения порядка. Суть метода заключается в
2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей
4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид
4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный
Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:
Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения
dz dx получим линейное уравнение, решая которое найдем z и подставив вместо z выражение y -n+1 получим общий интеграл уравнения Бернулли.
Уравнение Бернулли Уравнение вида: n + P( x) y Q( x) y, (3126) называется уравнением Бернулли Решение этого уравнения при n 0 и n 1 (в противном случае получается линейное уравнение) находится следующим
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23
кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы
6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так
3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами
МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
Министерство строительства Республики Узбекистан Ташкентский архитектурно-строительный институт А.Я.Ишметов МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ Тескт лекций ТАШКЕНТ 8 Математика. Математический
Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению
Дифференциальные и разностные уравнения
Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей
1) Найти общее решение дифференциального уравнения (из контрольной УПИ, 2007)
) Найти общее решение дифференциального уравнения y + y (из контрольной УПИ, 007) - линейное неоднородное ДУ 3-го порядка. Общее решение уравнения представляет собой сумму общего решения ŷ соответствующего
Уравнения в полных дифференциалах
[Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического
ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения
МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8
Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА
Конспект лекций по математике-3
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского А.С.Шкуро Конспект лекций по математике-3 для студентов Химического института Учебное пособие Казань
Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению
Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей
Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.
Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»
Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)
Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется
Глава 4. Системы линейных уравнений
Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица
Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3
Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем
4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.
4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае