МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф."

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии в качестве учебного пособия Протокол от 7 Днепропетровск НМетАУ

2 УДК 7(78) Кагадий ЛП Шинковская ИЛ Заец ИП Сушко ЛФ Высшая математика Часть : Учебное пособие Днепропетровск : НМетАУ 9 с (Библиотека иностранного студента) Приведены подробные рекомендации к изучению дисциплины «Высшая математика» Теоретические положения сопровождаются решением типовых задач Рекомендуются задания для самостоятельной работы Предназначено для иностранных студентов технических направлений всех форм обучения Илл 8 Библиогр: наим Печатается в авторской редакции Ответственный за выпуск АВ Павленко д-р физ-мат наук проф Рецензенты: ЕА Сдвижкова д-р техн наук проф (НГУ) АВ Сясев канд физ-мат наук доц (ДНУ) Национальная металлургическая академия Украины Кагадий ЛП Шинковская ИЛ Заец ИП Сушко ЛФ

3 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Определители и их свойства Вычисление определителей второго и третьего порядков систем линейных алгебраических уравнений 8 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Векторы и линейные операции над ними Векторы в прямоугольной системе координат Скалярное векторное и смешанное произведения векторов ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 8 Прямая линия на плоскости 8 Кривые второго порядка: окружность эллипс гипербола парабола 7 Плоскость 6 Прямая в пространстве 7 Прямая и плоскость в пространстве 77 ЛИТЕРАТУРА 8 ПРИЛОЖЕНИЯ 8

4 ВВЕДЕНИЕ За последние годы составляющая международного образования в системе высшего образования претерпела перемены: значительно увеличилось число иностранных студентов желающих получить образование в высших учебных заведениях Украины В связи с этим значительно возросла ответственность вуза за качество подготовки специалистов Процесс обучения иностранных студентов имеет свою специфику и особенности Цель предлагаемого пособия помочь слушателям при изучении дисциплины «Высшая математика» разобраться и качественно усвоить учебный материал Первая часть учебного пособия включает в себя такие разделы высшей математики: «Элементы линейной алгебры» «Элементы векторной алгебры» «Элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве» Приводятся основные теоретические положения и формулы которые иллюстрируются подробным решением задач разного уровня сложности В конце каждой темы предлагаются задачи для самостоятельной работы Руководствуясь учебным пособием студенты приобретут базовые знания по теории и получат навыки решения задач Для снижения уровня языковой адаптации в конце пособия приводится список математических терминов и словосочетаний составленных по предлагаемому материалу каждого раздела на французском и английском языках а также правила чтения математических символов и выражений Пособие может быть также использовано для самостоятельной работы и подготовки к модульному контролю студентов технических направлений всех форм обучения Учебное пособие издается на русском языке что обусловлено договором между НМетАУ и иностранными студентами о языке обучения ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

5 Матрицы и действия над ними Прямоугольная таблица чисел состоящая из m строк и n столбцов и записанная в виде A m m n n mn или A m m n n mn называется матрицей размера m n Кратко матрицу обозначают так: A ij Числа ij составлена матрица называют элементами матрицы причем номер строки j n - номер столбца Например элементы j j mj - j -й столбец В квадратной матрице n- го порядка из которых i m - i i in составляют i -ю строку а элементы Матрица состоящая из одной строки называется матрицей строкой: n столбцом: Матрица состоящая из одного столбца называется матрицей m Две матрицы ij A и B называются равными если они имеют одинаковые размеры и равны их соответствующие элементы: ij Матрица у которой число строк равно числу столбцов m n называется квадратной Если Матрицы матрицами -го -го и -го порядков m n то матрицу называют прямоугольной ij являются соответственно ij

6 элементы n n nn образуют главную диагональ а элементы n n n - побочную диагональ нулю: Нулевой матрицей называется матрица все элементы которой равны n n nn Диагональной матрицей называется квадратная матрица у которой все элементы расположенные вне главной диагонали равны нулю: Единичная матрица это диагональная матрица у которой каждый элемент главной диагонали равен единице: nn E Матрицу полученную из данной заменой каждой её строки соответствующим столбцом (с тем же номером) называют матрицей транспонированной к данной: A Т n n m m mn 6

7 Квадратная матрица называется симметричной если кососимметричной если B m A T A A T A и Перейдём к операциям над матрицами Суммой C A B двух матриц одинакового размера A n ij называют матрицу C m n c ij по правилу B c ij ij ij m n ij и элементы которой определяются i m j n () Произведением матрицы Am n ij и записывают m n ij где ij ij на число называют матрицу B A () Пример А и В Найти С А В Используя формулы () и () получим: С А В Разность матриц B умноженной на число A B определяют как сумму матрицы A и матрицы то есть A B A B Пример A и B Найти T D A B Сначала найдем матрицу T строки и столбцы Получим: B T B Для этого в матрице B поменяем местами 7

8 Тогда D A T B Справедливы следующие свойства рассмотренных операций: ; A B C A B C A B B A A A A A A ; ; A A A A ; ; 6 A A ; 7 A B A B ; 8 A A A -числа Матрицу A называют согласованной с матрицей B если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B Произведением C AB двух согласованных матриц A B k n ij называют матрицу C m n c ij m k ij и элементы которой равны сумме попарных произведений элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B : c ij i j i j ik kj i m j n () Пример Найти произведение матриц С = АВ если а) А В ; б) А и 6 7 в) А и В В ; а) Матрица А согласована с матрицей В Получим матрицу C размера элементы которой определяются формулой (): с а а 7 с а а 7 с а а 6 с а а 8

9 9 а а с 6 а а с Тогда 7 7 С б) С в) С Матрицы A и B называют перестановочными если BA AB Справедливы следующие свойства: A A ; A AE A EA ; BC AC C B A CB CA B A C ; BC A C AB ; B A B A AB - число Задания для самостоятельной работы Даны матрицы А и В Найти: а) B A ; б) В В А ; в) Т А В ; г) Т А В

10 Найти произведение матриц: а) 6 и ; б) 7 и Определители и их свойства Вычисление определителей второго и третьего порядков Каждой квадратной матрице A может быть поставлено в соответствие число определяемое по элементам этой матрицы и называемое определителем (детерминантом) Определителем -го порядка называется число det A = () Согласно формуле для вычисления определителя -го порядка нужно из произведения элементов стоящих на главной диагонали вычесть произведение элементов стоящих на побочной диагонали Пример Вычислить определители: а) 6 ; б) ; в) а а ; г) а а а cos ; д) sin а) б) а ; в) а а а а а а ; ; г) а а а а а а а а а ;

11 cos д) cos sin sin sin sin sin Определителем -го порядка называется число det A= () Замечание Приведенное правило вычисления определителя часто называют «правилом треугольника» Пример Вычислить определитель 9 8 Рассмотрим основные свойства определителей Величина определителя не изменится если его строки заменить соответствующими столбцами: Определитель меняет знак если две его строки (столбца) поменять местами: Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю:

12 Общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя: k k k Определитель равен нулю если соответствующие элементы двух его строк (столбцов) пропорциональны: k k k 6 Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя можно представить в виде суммы двух слагаемых то определитель можно записать в виде суммы двух определителей: h h 7 Величина определителя не изменится если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число: h k k Замечание Перечисленные свойства справедливы для определителей любого порядка h Минором M ij элемента ij определителя называют определитель который получается из данного вычёркиванием i -ой строки и j -го столбца на пересечении которых находится элемент ij Пример Для определителя найти миноры М и М Чтобы найти минор М вычеркнем в данном определителе первую строку и второй столбец после чего вычислим определитель второго порядка:

13 М Для вычисления минора М вычеркнем вторую строку и третий столбец: М Алгебраическим дополнением A ij элемента i j i его минор взятый со знаком : A j ij M ij ij определителя называют Пример Для определителя примера найти алгебраические дополнения А и А А М 9 6 А М Теорема (о разложении определителя) Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения: det A ij Aij n n j i Например A A A A A ij A Это разложение определителей по элементам первой строки Пример Вычислить определитель 6 разложив его по элементам: а) первой строки ; б) третьего столбца ij

14 а) Разложение по элементам первой строки определяется формулой А а А а А а В нашем случае: б) Разложение по элементам третьего столбца выполним по формуле А а А а А а Получим: 6 6 = Пример 6 Вычислить определитель 8 упростив его Упростить определитель это значит используя свойства определителей получить в какой-то строке (столбце) максимальное количество нулей чтобы затем раскрыть определитель именно по этой строке (столбцу) Прибавим к элементам первой строки соответствующие элементы третьей строки Затем умножим первую строку на и сложим со второй строкой Получим определитель в котором а а Вычислим его разложив по элементам первого столбца в котором остался единственный отличный от нуля элемент 8 8 8

15 Теорема Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю Квадратная матрица A называется невырожденной если её определитель не равен нулю: A det A условие: Матрица AA A называется обратной матрице A если выполняется A A E где E - единичная матрица (см п) Теорема Для существования обратной матрицы достаточно чтобы матрица A была невырожденной Алгоритм нахождения обратной матрицы: A необходимо и Вычислить определитель матрицы A Если det A то матрица A имеет обратную в противном случае обратная матрица не существует Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A и транспонировать её Найти обратную матрицу по формуле A A A A A A A det A A A A Пример 7 Найти обратную матрицу: а) А ; б) В а) Воспользуемся алгоритмом нахождения обратной матрицы Вычислим det A Значит матрица A имеет обратную Найдём алгебраические дополнения всех её элементов : А А А А

16 Транспонированная матрица алгебраических дополнений имеет вид: T A T Тогда A A det A б) det B 6 7 найти обратную Алгебраические дополнения: 6 6 откуда следует что для матрицы B можно В 7 В В 6 В В 6 6 В В 7 В В Транспонированная матрица алгебраических дополнений имеет вид: 7 7 T В 6 6 В B det B T

17 Справедливы следующие свойства для двух невырожденных матриц A и B одного порядка: A AB B ; deta ; det A T T A A; A A Задания для самостоятельной работы Вычислить определители: а) ; б) 7 ; в) х х cos tg ; г) х ctg Вычислить определитель разложением: а) по второй строке; б) по первому столбцу Вычислить определители предварительно упростив их: а) ; б) Найти обратную матрицу 6 А если: 6 а) A ; б) A ; в) 7 A 6 ; г) A 7

18 систем линейных алгебраических уравнений Системой n линейных уравнений с n неизвестными называется система вида n n n n n (6) n n nn n n где ij - коэффициенты при неизвестных i - свободные члены i j n Упорядоченный набор чисел системы если при подстановке этого набора вместо уравнение системы обращается в тождество n называют решением n каждое Система имеющая хотя бы одно решение называется совместной а система не имеющая решений называется несовместной Совместная система называется определённой если она имеет единственное решение Система имеющая более одного решения называется неопределённой Неопределённая система всегда имеет бесчисленное множество решений Решить систему это значит выяснить совместна она или несовместна и в случае совместности найти её решение (или множество решений) Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид Рассмотрим её решение методом Крамера Введём обозначения: (7) Если то система имеет единственное решение и справедливы формулы Крамера: (8) 8

19 Здесь называется определителем системы а - определители которые получены из определителя путём замены в нём первого и второго столбцов соответственно столбцом свободных членов Пример Решить систему уравнений : 8 Найдем определитель системы: 6 7 система имеет единственное решение 8 8 Вычислим х 8 6 По формулам Крамера (8) получим: х х 7 7 Выполним проверку Для этого подставим найденные значения переменных в систему: 8 Система решена верно Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид Введём обозначения: (9) 9

20 Если то система имеет единственное решение и справедливы формулы Крамера: Здесь - определитель системы а () - определители которые получены из определителя путём замены первого второго и третьего столбцов соответственно столбцом свободных членов Пример Решить систему уравнений: х х х Система имеет единственное решение Найдем : х х х

21 По формулам Крамера () : х Выполним проверку Для этого подставим значения в каждое из уравнений системы Получим: Система решена правильно Замечание Если определитель системы то а) система имеет бесчисленное множество решений если ; б) система не имеет решений если хотя бы один из определителей отличен от нуля Пример Решить системы уравнений: а) 9 б) 6 а) Определитель системы 9 х 9 х 9 х Так как все определители системы равны нулю то она или несовместна или имеет бесчисленное множество решений Заметим что если первое уравнение системы умножить на и вычесть второе уравнение то получим третье Те третье уравнение является следствием первого уравнения и может

22 быть отброшено Решим систему оставшихся двух уравнений разрешив их относительно х и х : 6 9 Тогда 6 9 Величина может принимать произвольные значения Например при : 6 Таким образом система имеет бесчисленное множество решений б) х Нет необходимости вычислять остальные определители Система не имеет решений Вернёмся к системе (9) и рассмотрим её решение матричным методом Введём следующие обозначения: nn n n n n A - матрица системы n X - матрица-столбец неизвестных n B - матрица-столбец свободных членов

23 Тогда согласно правилу умножения матриц система (9) перепишется одним матричным уравнением с неизвестной матрицей X : Если матрица A имеет обратную матрицу () может быть найдено по формуле: AX B () A то решение уравнения X A B () Итак чтобы решить систему уравнений (9) достаточно найти матрицу обратную матрице системы A и умножить её на матрицу свободных членов Пример Решить систему уравнений: 6 7 Запишем данную систему уравнений в матричной форме: А Х В где А Вычислим 6 7 В х Х х х A значит матрица A невырожденная и можно найти обратную матрицу Система уравнений имеет единственное решение 6 Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А: А А А 7 9 А А А 6 6 Тогда А А А А 6 6 7

24 По формуле () найдем решение системы: х х х х х х - искомое решение Результат можно проверить подстановкой найденных значений в исходную систему (см примеры ) Задания для самостоятельной работы Решить системы уравнений по формулам Крамера: а) ; у х у х б) ; в) 6 При каких значениях и система 9 8 имеет: а) одно решение; б) бесчисленное множество решений; в) не имеет решений Решить системы уравнений матричным методом: а) ; 8 б) 9 6

25 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Векторы и линейные операции над ними Векторы в прямоугольной системе координат Вектором называется направленный отрезок в пространстве Если начало вектора находится в точке A а конец в точке B то вектор A Рис B обозначают так: AB или AB (рис ) Длина вектора называется его модулем и обозначается или AB Вектор длина которого равна называется нулевым и обозначается Вектор длина которого равна единице называется единичным вектором (ортом) и обозначается Нулевой вектор не имеет направления а направление единичного вектора совпадает с направлением вектора Векторы лежащие на одной или на параллельных прямых называются коллинеарными (независимо от того направлены они одинаково или противоположно) Векторы лежащие в одной или в параллельных плоскостях называются компланарными Два вектора считаются равными если они коллинеарны одинаково направлены и имеют равные длины Рассмотрим линейные операции над векторами Сложение векторов Пусть даны векторы и Возьмём произвольную точку O и из неё отложим вектор затем из его конца отложим вектор Суммой векторов называется вектор c соединяющий начало первого вектора с концом второго (рис ) Это правило сложения векторов называют правилом треугольника Его можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых а именно: суммой нескольких векторов будет вектор замыкающий ломаную построенную из них (рис )

26 O c O d c c Рис Рис O Для сложения двух векторов можно использовать правило параллелограмма для этого отложим векторы от произвольной точки O OA и OB Построим на этих векторах параллелограмм OABC Тогда суммой векторов и будет вектор OC - диагональ параллелограмма проведенная из вершины O (рис ) Вычитание векторов Вычесть какой-либо вектор это значит прибавить противоположный ему вектор: A Рис O Рис B C Следовательно чтобы построить разность векторов нужно отнести векторы к общему началу и выбрать замыкающий вектор направленный в сторону (того вектора из которого производится вычитание) (рис ) Умножение вектора на число Произведением вектора на число называют вектор ; c который: ) имеет направление вектора если и противоположное если ) c В частности ; ; 6

27 Пример Даны ненулевые векторы и Построить векторы Справедливы следующие свойства линейных операций: ) ; ) ) c c ; ; 6) ) ; ; 7) ) ; Проекция вектора на ось Пусть даны ось l и вектор AB Из его начала и конца опустим перпендикуляры на ось Их основания обозначим A и B Проекцией вектора на ось l пр l называют длину вектора A B взятую со знаком '' '' если направление вектора совпадает с направлением оси или со знаком '' '' если эти направления противоположны (рис 6) A B D C прl AB пр CD l A C B D A B D C Рис 6 l 7

28 i k это координаты вектора Если вектора (рис 7) Прямоугольная система координат Пусть в пространстве заданы три попарно перпендикулярные оси OX OY OZ и единичные векторы i j k которые направлены по этим осям соответственно Произвольной точке M пространства можно поставить в соответствие вектор r OM называемый радиус вектором точки M Проекции вектора r на координатные оси r i j k то r ; ; - координаты Длина радиус вектора по его координатам вычисляется по формуле Пусть r AB - произвольный вектор в пространстве разложение которого по ортам имеет вид: j r Рис 7 i j k () а точки A и B заданы своими координатами A ; ; ; ; Тогда координаты вектора находят по формулам: M ; ; B ; ; () Таким образом чтобы найти координаты вектора нужно из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала Длина вектора определяется по формуле () Пример Найти периметр параллелограмма ABCD вершинами которого являются точки A 8 ; ; 6 B8 ; ; 6 6 ; ; C В параллелограмме AB DC; BC AD Найдем координаты векторов AB и BC По формуле () получим: AB 8 8; ; 6 6 AB ; ; 8

29 BC 6 8; ; 6 ; ; BC Используя формулу () найдем длины векторов: AB BС Тогда периметр параллелограмма: АВ ВС Р : Направление вектора в пространстве определяется углами которые вектор образует с осями координат (рис 8) Косинусы этих углов называют направляющими косинусами вектора Они определяются по формулам: cos cos cos () Легко видеть что справедливо тождество: cos cos cos Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами его орта cos Рис 8 cos cos Таким образом координатами единичного вектора служат его направляющие косинусы: cos ; cos ; cos Правила действий над векторами заданными своими координатами Если ; ; ; ; ) ; ; ) ; ; ; - число; ) ; ) ( коллинеарен ) то 9

30 A Рассмотрим задачу о делении отрезка в заданном отношении Пусть точка М ; ; делит отрезок между точками ; ; отрезка определяются из формул: A и AM B ; ; в отношении (рис 9) B MB M Тогда координаты точки M находят по формулам : Рис 9 () При делении отрезка пополам поэтому координаты середины (6) Пример В треугольнике ABC найти длину медианы AM если ; 9; В ; ; 6 С ; ; А Так как точка M середина отрезка BC применим формулу (6) чтобы найти ее координаты: х М у М M 6 Тогда координаты вектора AM ; 9; ; ; 6 6 AM 6 и Скалярное векторное и смешанное произведения векторов Скалярным произведением двух векторов и называется число которое равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: где cos (7) - наименьший угол на который нужно повернуть один из векторов чтобы его направление совпало с направлением другого вектора

31 Если векторы заданы своими координатами ; ; ; ; то скалярное произведение находят по формуле: (8) Таким образом скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат Пример Найти скалярное произведение векторов j i k k i и Координаты векторов: ; ; ; ; Вычислим по формуле (8) скалярное произведение векторов: Свойства скалярного произведения: ) ; ) c c c ; ) ) ; ; ) Равенство или называют условием перпендикулярности векторов Пример При каком значении β векторы а ; ; перпендикулярны? и d i j k Используем условие перпендикулярности векторов Найдем d 6 6

32 Пример Вычислить длину вектора m n если m n и угол между векторами m и n равен 6 Найдем а а : а m n m m n 9n Но m m n n 9 m n cos 6 Тогда получим : формуле: Проекция вектора на направление вектора определяется по пр (9) Угол между векторами находят по формуле: cos () Пример Даны векторы i j k i j k с i j k Вычислить проекцию вектора с на вектор Найти cos с ; а Найдем координаты вектора с ; ; с ; ; Вычислим проекцию с на вектор по формуле (9): c c 7 пр соs Используя формулу () найдем cos с ; а : с а c ; с а 9 7

33 Векторным произведением двух векторов и называется третий c вектор c который: ) перпендикулярен этим векторам; ) имеет длину численно равную площади параллелограмма со сторонами и : c sin () ) направлен так что с его конца кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки (рис ) Если векторы заданы своими координатами ; ; ; ; то векторное произведение находят по формуле: Рис i j k i j k () Свойства векторного произведения: ) ; ) ; ) c c c ; ) Равенство или коллинеарности векторов называют условием Пример При каких значениях переменных х и у будут коллинеарными векторы AB и с если A ; 8; B ; ; и c ; 6 ;? Координаты вектора AB = х; ; Используем условие коллинеарности

34 х векторов AB и c это пропорциональность их координат: 6 у откуда получим уравнения для нахождения х и у: х х и у у 6 7 Площадь параллелограмма построенного на векторах и (рис) определяется по формуле A B D S () C Рис Площадь треугольника с вершинами A ; ; B ; ; ; ; C будет равна половине площади параллелограмма построенного на векторах AB и AC а значит S ABC AB AC () Пример 6 Найти площадь треугольника заданного координатами вершин: A ; ; 8 B ; ; 6 ; ; C Выберем два вектора на которых построен данный треугольник например AB и : найдем их векторное произведение: AB AC i AС AB ;; ;; j 8 k 8 j k AС По формуле () i j k i j k Тогда площадь треугольника по формуле () будет равна: S AB AC (кв ед)

35 Угол между векторами находят по формуле: sin () Смешанным произведением трёх векторов и c называется число которое равно векторному произведению вектор c : c умноженному скалярно на c (6) Если векторы заданы своими координатами ; ; ; ; c c ;c ; c формуле: Свойства смешанного произведения: ) c c c то их смешанное произведение находят по c c c c (7) Круговая перестановка сомножителей не изменяет величины смешанного произведения ) c c c c Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного произведения ) c c - компланарны Равенство c c компланарности векторов c c c называют условием Пример 7 Лежат ли точки A ; ; B ; ; C ; ; D ; ; 6 в одной плоскости?

36 Если данные точки лежат в одной плоскости то в этой плоскости лежат и векторы AB AC и AD те векторы компланарны Проверим выполнение условия комланарности векторов: AB AC AD Найдем координаты векторов и их смешанное произведение: AB AB AC AD ; ; AC ; ; ; ; AD 6 6 Значит векторы компланарны а точки A B C D лежат в одной плоскости Если c то векторы c образуют правую тройку (рис ) В противном случае (когда c ) тройку векторов называют левой (рис ) c c Рис Рис Объём параллелепипеда построенного на векторах равен модулю смешанного произведения этих векторов: V c (рис ) парал c (8) Объём треугольной пирамиды с вершинами в точках ; ; B ; ; C ; ; ; ; A D (рис ) будет в шесть раз меньше объёма параллелепипеда построенного на векторах AD c а значит V пир 6 AB AC AD AB AC (9) 6

37 D c c B A C Рис Рис Пример 8 Вычислить объем параллелепипеда построенного на векторах i j k j c j k Для вычисления объема используем формулу (8) Сначала найдем смешанное произведение векторов c : c Значит объем параллелепипеда равен V пар c (куб ед) Задания для самостоятельной работы На векторах OA OB построен параллелограммoabc M середина BC K середина OB Выразить векторы OC BA OM KM через и Даны векторы i j i j k c k j Найти длины векторов: а) ; б) c ; в) а с Точки A ; ; B ; ; ; ; С являются вершинами параллелограмма ABCD Найти координаты четвертой вершины D параллелограмма и длины его диагоналей 7

38 Найти угол между векторами i j и i j k и площадь параллелограмма построенного на них Вычислить проекцию вектора c на вектор если i k i j c i j k 6 Даны координаты вершин пирамиды OABC : O ; ; ; ; B ; ; C ; ; A Вычислить угол ABC площадь грани ABC объем пирамиды 7 Известно что 6 Чему равно? ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Прямая линия на плоскости Уравнение вида A B C () при условии что коэффициенты A и B одновременно не равны нулю n называется общим уравнением прямой Вектор A; B к данной прямой называется её нормальным вектором Рассмотрим отдельные случаи общего уравнения перпендикулярный Значения Вид уравнения Расположение прямой коэффициентов C A B Проходит через начало координат A B C Параллельна оси OX B A C Параллельна оси OY A C Совпадает с осью OX B C Совпадает с осью OY Если ; M - точка принадлежащая прямой n - нормальный вектор прямой (рис ) то прямая задаётся уравнением B A () 8

39 n M Рис s Каноническое уравнение прямой имеет вид: s где m; n () m n - направляющий вектор прямой Уравнение прямой проходящей через две заданные точки A ; и ; записывается так: B () Уравнение прямой в отрезках на осях (рис ) имеет вид: () где и - величины отрезков отсекаемых прямой на осях координат OX и OY соответственно Рис Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис ) записывается так: M Рис k (6) где k - угловой коэффициент прямой ( k tg - угол между прямой и положительным направлением оси OX ); оси OY - величина отрезка отсекаемого прямой на Уравнение прямой проходящей через заданную точку ; M в заданном направлении (с известным угловым коэффициентом) имеет вид: Его также называют уравнением пучка прямых k (7) Пример Построить прямые: а) х у ; б) х у ; в) х ; г) у 7 9

40 а) Чтобы построить прямую преобразуем её общее уравнение в уравнение в отрезках на осях (): х у х у х у данная прямая пересекает ось ОХ в точке ; Через А и В проведём прямую Значит В ; А а ось ОУ в точке A B б) Приведем данное общее уравнение прямой к уравнению с угловым коэффициентом (6) Для этого выразим через : у х Найдем две точки принадлежащие прямой: если х то у ; если х то у Через точки А ; и ; В проведем прямую A B в) Прямая параллельна оси ОУ (коэффициент В ) Выразим х из уравнения: х Построим прямую

41 г) Так как коэффициент А то данная прямая параллельна оси ОХ и 7 пересекает ось ОУ в точке у Пример Составить уравнения прямых которые заданы условиями: а) двумя точками ; б) точкой ; в) точкой ;6 г) точкой ; д) точкой Е ; М и К ; ; А и нормальным вектором п ; ; С и направляющим вектором s ; Р под углом к оси ОХ; параллельно оси ОУ ; а) Уравнение прямой проходящей через две точки имеет вид () Подставим координаты точек M и K в это уравнение: х у х у 7 х 7х у 7 у б) Используем уравнение () По условию А В х у х или х у Получим: у в) Так как прямая задана точкой и направляющим вектором используем каноническое уравнение () При х у 6 и m n уравнение 6 принимает вид: х х у у 6 г) Воспользуемся уравнением (7) в котором х у и k tg : 8 или 8

42 д) Используем каноническое уравнение прямой () Так как прямая параллельна оси ОУ то в качестве направляющего вектора можно выбрать единичный вектор j ; Тогда ее уравнение: или Пример Записать уравнение прямой изображенной на рисунке Найти для нее координаты нормали и угловой коэффициент а) б) =rctg O - O а) Воспользуемся уравнением (7) Для данной прямой известна точка; и угол наклона прямой к оси ОХ: rctg тогда k tgrctg Уравнение прямой : х у или х у Нормальный вектор этой прямой n A; B ; коэффициент k а угловой б) Для данной прямой удобно использовать уравнение в отрезках на осях х у () где а Тогда получим: Приведем это уравнение к общему виду: х у или х Значит A; B ; у n A k B Пример Дан четырехугольник АВСD: А ; В ;6 С ;7 и ; Найти координаты точки пересечения диагоналей D Составим уравнения диагоналей АС и ВD четырехугольника AC: х у 7 х у 9 х у х у

43 BD: х у 6 6 х у 6 х у 6 х у 7 Чтобы найти точку пересечения прямых АС и ВD решим систему уравнений: х у х у 7 ; х у х 7; х у A Если две прямые заданы общими уравнениями A B C и B C l Рис то угол между прямыми (рис ) находится по формуле l A A BB cos (8) A B A B Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами k и k то угол между прямыми определяется так: k k tg (9) k k Пример Найти угол между прямыми х у и у х Угол между прямыми вычислим по формуле (9) Для этого найдем угловые коэффициенты прямых: k и k Тогда tg откуда Условие параллельности прямых: A B ; k A B k () Пример 6 Среди данных прямых найти параллельные: х у х у а) х у ; б) х у ; в) ; г) ; д) у

44 Найдем угловые коэффициенты каждой прямой: а) х у у х k ; б) х у k ; х у 8 в) k ; х у г) х у у х k ; д) у k По условию параллельности прямых () делаем вывод: прямые а) и г) параллельны Пример 7 Даны точки А ; В ; С ; прямой проходящей через точку С параллельно прямой АВ Составить уравнение способ Найдем уравнение прямой АВ: Тогда х k AB у х у Искомая прямая и прямая АВ параллельны значит их угловые коэффициенты равны: k k AB Для записи искомой прямой используем формулу (7): у х у х или х у способ Так как искомая прямая и прямая АВ параллельны то вектор АВ ; является направляющим вектором для искомой прямой Подставим координаты точки С и вектора АВ в каноническое уравнение: х у х у х у х у

45 Условие перпендикулярности прямых: A A B B ; k () k Пример 8 Перпендикулярны ли прямые х у и х у? Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением () Запишем уравнение первой прямой в виде у х Тогда k k Угловой коэффициент второй прямой равен значит прямые перпендикулярны k k Как видим Пример 9 В параллелограмме МКРС даны координаты трех вершин М ; К; Р; Найти уравнение высоты MN Высота MN параллелограмма это точки М к прямой КР значит kmn k Найдем уравнение KP : KP значит Значит MN 8 или перпендикуляр проведенный из откуда k KP k и уравнение MN запишется в виде: Расстояние от точки ; определяется по формуле M до прямой A B C A B C d () A B

46 Пример Найти длину высоты MN используя условия задачи 9 Длину высоты найдем как расстояние от точки М ; до прямой КР заданной уравнением Применяя формулу () получим: MN Пример Прямая задана l уравнением х у Найти уравнения прямых l и l параллельных l и отстоящих от нее на расстоянии трех единиц По условию прямые l и l параллельны прямой l значит их векторы нормали равны: п n х у С ; Будем искать уравнения прямых в виде На прямой l выберем произвольную точку например точку А с абсциссой х Ее ордината равна у Расстояние d от точки А до прямой l равно расстоянию от прямых до l Вычислим его по формуле (): C C d По условию d Получим уравнение С откуда С С 6 или С С Таким образом уравнения прямых: х у 6 и х у Задания для самостоятельной работы Построить прямые: а) х у 6 ; б) х у ; в) х у ; г) х ; д) у 6

47 Дан треугольник АВС : А ; В ;6 С ; Найти: а) уравнение стороны АС; б) уравнение и длину медианы ВМ; в) угол А; г) длину высоты ВN Прямая проходит через точку ; направлением оси ОХ угол А ;? К и образует с положительным Принадлежит ли этой прямой точка Составить уравнение прямой которая проходит через точку пересечения прямых 7х у и у Дана прямая т: х и точку ; х у и точка С ; В Записать уравнение прямой которая проходит: ) через точку С параллельно т; б) через точку С перпендикулярно т; в) через точку С под углом к прямой т 6 Две противолежащих вершины квадрата лежат в точках ; Найти уравнения сторон и диагоналей квадрата F и ; G 7 Записать уравнения прямых параллельных прямой и удаленных от точки ; M на 9 единиц Кривые второго порядка: окружность эллипс гипербола парабола Линией или кривой второго порядка называется плоская кривая которая описывается уравнением второй степени относительно текущих координат и В общем случае такое уравнение имеет вид где A B C D E F () A BC D E F - заданные действительные числа ( A B C не равны нулю одновременно) Рассмотрим важные частные случаи общего уравнения второй степени дающие разные линии Простейшая линия второго порядка окружность Окружностью называется геометрическое место точек плоскости равноудалённых от одной и той же точки называемой её центром 7

48 Рис Уравнение окружности с центром в точке С ; и радиусом R (рис ) имеет вид () R Если центр окружности находится в начале координат то уравнение окружности запишется так: R () Замечание Общее уравнение () определяет окружность если в нём A C и B C R Пример Построить окружность 6 Данная окружность имеет центр ; окружность в координатной плоскости: C и радиус R Построим C Пример Составить уравнение окружности по следующим данным: а) центр совпадает с началом координат радиус равен ; б) центр находится в точке F ; радиус равен 8; в) центр находится в точке D ; координат; г) точки A ; и ; окружность проходит через начало B - являются концами диаметра окружности а) Используем уравнение () в котором R окружность запишется так: 8 Тогда наша

49 б) Подставим координаты центра и радиус R 8 в уравнение () Будем иметь: 6 в) Так как окружность проходит через начало координат O ; то DO - радиус окружности Найдем его: R OD DO Значит уравнение окружности имеет вид: г) Если AB -диаметр окружности то центр окружности C является его серединой причем AC BC R Координаты центра определим по формуле (6): Радиус окружности R Тогда искомое уравнение: Пример Построить окружность 8 Приведем уравнение окружности к каноническому виду () Для этого выполним преобразования: Это уравнение задаёт окружность с центром в точке ; R Построим ее: C и радиусом 9

50 Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости сумма расстояний которых до двух данных точек называемых фокусами есть величина постоянная большая чем расстояние между фокусами Каноническое уравнение эллипса с фокусами на оси OX имеет вид где - большая полуось - малая полуось (рис 6) B M d B d A F r F A c c r Рис 6 (6) Точки A ; ; B ; B ; называют вершинами эллипса A ; F ; - фокусы эллипса c Отрезок A A называют Точки F c и c большой осью эллипса малой осью эллипса Отрезок BB - FF c называют фокусным расстоянием эллипса Эксцентриситет эллипса это число равное отношению расстояния между фокусами к большой оси эллипса: c (7) Если то уравнение (6) определяет окружность Отрезки F M r и F M r называют фокальными радиусами точки M Они вычисляются по формулам: r M r M (8) Прямые перпендикулярные к фокальной оси и отстоящие от центра на расстоянии называются директрисами эллипса Их уравнения: (9)

51 Каждая директриса обладает следующим свойством: r d r d где d эллипса до соответствующей директрисы d - расстояния произвольной точки M ; Если фокусы эллипса расположены на оси OY то уравнение эллипса имеет тот же вид (6) но в этом случае полуось) (рис 7) B F M A A B c c F Рис 7 r r Эллипс с центром в точке ; ( - малая полуось - большая Фокусы эллипса находятся в точках F ;c и F ; c c Эксцентриситет эллипса c () Расстояние от точки M лежащей на эллипсе до фокусов вычисляются по формулам: r M r M () Уравнения директрис запишутся так: () C (рис 8) задаётся уравнением C () Рис 8 Замечание Общее уравнение () определяет эллипс если в нём A C A C и Пример Построить эллипс 9 Найти длины осей координаты фокусов эксцентриситет и уравнения его директрис

52 Приведем уравнение эллипса к каноническому виду (6): Построим эллипс F F малая ось - большая ось Найдем c 9 6 Фокусы эллипса лежат на оси ОУ и имеют координаты F и ; ; F Эксцентриситет вычислим по формуле (): Запишем уравнения директрис используя формулу (): Пример Составить уравнения эллипса если: а) большая ось малая ось ; б) малая ось расстояние между фокусами c ; в) фокусы имеют координаты F и ; эллипса ; г) большая ось ; F эксцентриситет и эллипс проходит через точку 6; A а) Подставляя в уравнение (6) значения параметров получим: б) Из условия задачи ясно что и c Найдем большую полуось эллипса: c 69 Тогда уравнение эллипса имеет вид: 69

53 в) Расстояние от начала координат до любого фокуса эллипса c Так как фокусы лежат на оси ОУ то эксцентриситет определяется формулой (): c откуда c Тогда малая полуось эллипса 6 Уравнение эллипса: 6 г) Из условия ясно что Необходимо найти параметр а Точка A 6; принадлежит эллипсу значит ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса: Тогда искомое уравнение: 9 Пример 6 Определить траекторию точки М при движении по которой М остается втрое ближе к точке ; A чем к прямой 9 Пусть точка ; M принадлежит искомой линии Выразим расстояние от M ; до A ; : MA 9 прямой 9 : d 9 (см формулу ) По условию MA d Получим: 9 Возводя обе части уравнения в квадрат будем иметь: 9 9 Расстояние от точки M до или - каноническое уравнение эллипса 9 7

54 Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости модуль разности расстояний которых до двух данных точек называемых фокусами есть величина постоянная меньшая чем расстояние между фокусами Каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси OX имеет вид () где - действительная полуось - мнимая полуось (рис 9) r B c A A B d d F r F c M Гипербола имеет две действительные вершины A и ; A ; Отрезок A A называют действительной осью гиперболы; BB - мнимой осью гиперболы Точки F c и c ; Рис 9 F ; - фокусы гиперболы c Эксцентриситет гиперболы это число равное отношению расстояния между фокусами к действительной оси : c () Фокальные радиусы точки M гиперболы вычисляются по формулам: r M r M (6) Прямые перпендикулярные к фокальной оси и отстоящие от центра на расстоянии называются директрисами гиперболы Их уравнения имеют вид: (7)

55 Для директрис гиперболы имеет место указанное выше свойство: r d r d Асимптоты гиперболы это прямые расстояние от которых до произвольной точки гиперболы стремится к нулю по мере её неограниченного удаления от начала координат (это диагонали основного прямоугольника гиперболы со сторонами и ) Их уравнения: (8) Если фокусы гиперболы лежат на оси OY то гипербола определяется уравнением (9) где - действительная полуось - мнимая полуось (рис ) A F c B B M r A r c F B ; Действительные вершины гиперболы находятся в точках B ; и Фокусы гиперболы: F ;c и F o; c Эксцентриситет гиперболы: Рис c c ()

56 Расстояние от точки M гиперболы до её фокусов: r M r M () Директрисы гиперболы задаются уравнениями () Асимптоты гиперболы имеют вид: () Если для гиперболы то она задаётся уравнением называется равносторонней и C Если центр гиперболы находит- ся в точке ; уравнение C (рис ) то её () Рис Замечание Общее уравнение () определяет гиперболу если в нём B и A C Пример 7 Построить гиперболу 6 Найти её оси координаты фокусов эксцентриситет и уравнения асимптот Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду (): Имеем: 6 6 ; 9 Тогда действительная ось гиперболы а мнимая ось 6 Найдем расстояние от начала 6

57 координат до фокусов: находятся в точках: F и c 6 9 Тогда фокусы гиперболы ; F ; Эксцентриситет гиперболы вычислим по формуле (): 6 Для записи уравнений асимптот используем формулу (8): 6 Построим гиперболу F 6 6 F Пример 8 Составить уравнение гиперболы фокусы которой лежат на оси ОХ если: а) ее оси и 6; б) расстояние между фокусами c и ось 8 ; в) ось 6 и эксцентриситет ; г) уравнение асимптот а расстояние между фокусами c а) ; 6 8 Подставив найденные значения а и в формулу () найдем уравнение искомой гиперболы: 6 б) По условию и c Найдем действительную полуось: c c 9 Получим уравнение: 9 6 7

58 в) 8 а c 8 c Тогда c 8 6 Искомое уравнение гиперболы: 6 6 г) c а уравнения асимптот Для гиперболы параметры c связаны формулой c : значит Тогда уравнение гиперболы запишется так: 6 6 Пример 9 Записать уравнение кривой изображенной на рисунке O -6 8 Дана гипербола с фокусами на оси ОУ для которой известна вершина B и произвольная точка с координатами 8 6 ; 6 в уравнение (9) и найдем из него а : а а 6 а х у Каноническое уравнение гиперболы: 6 6 Преобразуем это уравнение в общее: х 6 ; Подставим 8 и 6 а а у х 6 у 6 х 6 у

59 Пример Определяет ли уравнение 6х 9 у 6х 8 у 89 гиперболу? Построить кривую Приведём уравнение к каноническому виду: 6х 9 у 6х 8 у 89 6х х 9у у х 9у у 89 х х 6 9 у у х у 9 6 х Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке ; осями а 6 и 8 Построим гиперболу С С Параболой называется геометрическое место точек плоскости равноудалённых от данной точки называемой фокусом и от данной прямой называемой директрисой Параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии OX задаются уравнениями: p или () где p - параметр параболы p (6) 9

60 Фокус таких парабол находится в точке p F ; (рис ) Директриса определяется уравнением p соответственно p F ; (рис ) или p или p d M r F F p p p Рис Рис Если осью симметрии параболы является ось OY то уравнения парабол имеют вид: Для этих парабол фокус находится в точке p или (7) p (8) p F ; (рис ) Уравнение директрисы запишется соответственно F ; p (рис ) или p или p F p p p F p Рис Рис 6

61 Замечание Параметр параболы p выражает расстояние от её фокуса до директрисы ( p ) формулам: Фокальный радиус произвольной точки M параболы вычисляется по p r (для парабол симметричных относительно оси OX ) и p r (для парабол симметричных относительно оси OY ) Для любой точки M лежащей на параболе из определения кривой r следует что d (эксцентриситет параболы ) Уравнения парабол с вершиной в точке ; параллельной оси OX (рис 6) имеют вид: C и осью симметрии p Уравнения парабол с вершиной в точке ; параллельной оси OY (рис 7) записываются так: (9) C и осью симметрии p () Рис 6 Рис 7 Замечание Общее уравнение () определяет параболу если в нём B и A C 6

62 Пример Построить параболу х 8 у Найти координаты фокуса и уравнение директрисы Приведем уравнение параболы к виду (7): х 8 у х 8 у Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О ; и осью симметрии ОУ Ее параметр: директрису 8 р р Парабола имеет фокус в точке F ; и Построим параболу F Пример Составить уравнение параболы если: а) вершина лежит в точке ; а координаты фокуса ; F ; б) расстояние между фокусом и директрисой равно 6 вершина находится в точке ; парабола лежит в нижней полуплоскости; в) парабола симметрична относительно оси ординат и проходит через точку М ; ; г) вершина имеет координаты ; расстояние между фокусом и директрисой равно пяти а ветви направлены влево а) Так как фокус параболы расположен на положительном направлении оси ОХ то уравнение ищем в виде () р Необходимо найти параметр p : р 6 Тогда уравнение параболы у 6х 6

63 б) Данным задачи соответствует уравнение (8) По условию p 6 поэтому уравнение параболы: в) Парабола симметричная относительно оси ординат задается уравнением (7) Так как точка М ; лежит на параболе то её координаты удовлетворяют уравнению кривой: р р Тогда парабола задается уравнением х у г) Для составления уравнения параболы со смещенной вершиной воспользуемся формулой (9) Подставим значения х у р в это уравнение: х у Пример Составить уравнение геометрического места точек равноудаленных от точки ; F и от прямой Построить кривую Пусть х; у М принадлежит данному геометрическому месту точек Выразим расстояние от М х; у до F ; : Расстояние d от точки х; у MF М до прямой : d По условию MF d Подставляя получим: = уравнение параболы с вершиной в точке С ; C 6

64 Задания для самостоятельной работы Построить кривые: а) х у ; б) 9х у ; в) у 6х ; г) х 8 у Для эллипса найти координаты фокусов и уравнения директрис для гиперболы - эксцентриситет и уравнения асимптот для параболы расстояние между фокусом и директрисой Записать уравнение геометрического места точек удаленных от точки В ; на расстоянии единиц Составить уравнение эллипса если его малая ось а а 7 Построить равностороннюю гиперболу с фокусами F 7 и 7 ; F ; Составить уравнение параболы которая симметрична относительно оси ОУ и проходит через точку пересечения окружности х у у с прямой х у 6 Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить : а) х х у 8 у ; б) у у х ; в) х у у ; г) х у х 6 у 7 Определить траекторию движения точки М х; у остается вдвое ближе к прямой х чем к точке ; которая при перемещении F Плоскость где Уравнение первой степени A B C D () A B C одновременно не равны нулю называется общим уравнением плоскости Вектор N A; B;C называется нормальным вектором (или нормалью) плоскости Рассмотрим частные случаи этого уравнения 6

65 Если в уравнении отсутствует слагаемое с какой-нибудь переменной то плоскость параллельна соответствующей координатной оси Например плоскость заданная уравнением A C D параллельна оси OY B Если в уравнении отсутствуют слагаемые с двумя переменными то плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости Например плоскость заданная уравнением A D параллельна плоскости O B C Если в уравнении отсутствует свободный член то плоскость проходит через начало координат и задаётся уравнением B C A D Если в уравнении отсутствуют слагаемое с какой-нибудь переменной и свободный член то плоскость проходит через соответствующую координатную ось Например плоскость B A проходит через ось C D O Приведём уравнения координатных плоскостей: (плоскость O ); (плоскость O ); (плоскость O) Уравнение плоскости проходящей через точку ; ; нормальным вектором N A; B;C (рис 8) имеет вид B C M с A () Уравнение плоскости в отрезках на осях записывается так: () c где c - величины отрезков отсекаемых плоскостью на координатных осях O OO соответственно (рис 9) M ; ; N c Рис 8 Рис 9 6

66 Пример Построить плоскости: а) х у 6 ; б) ; в) Преобразуем общее уравнение плоскости в уравнение в отрезках на осях: а) х у 6 х у б) Плоскость параллельна оси Ох те проходит через прямые параллельные этой оси у в) Плоскость параллельна координатной плоскости O те проходит через прямые параллельные осям O и O 66

67 Уравнение плоскости проходящей через три заданные точки M ; ; M ; ; и M ; ; имеет вид () Пример Составить уравнение плоскости которая проходит: а) через точку А ; ; перпендикулярно вектору АС если ; ; б) через точку М ; ; и ось O ; в) через точку Р ; ; параллельно плоскости ; г) через точки A ; ; B ; ; и C ; ; С ; а) Вектор AC ; ; ; ; плоскости Подставим координаты вектора и точки ; ; (): 8 является нормалью к 67 А в уравнение 7 - искомое уравнение б) способ Так как плоскость проходит через ось O то ее общее уравнение имеет вид C A B D Точка ; ; М лежит в плоскости значит ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: С А А С А С Тогда искомое уравнение: С C способ Плоскость проходит через ось O значит единичный вектор этой оси ; ; j лежит в этой плоскости Плоскость также проходит через начало координат и точку М ; ; те вектор ОМ ; ; принадлежит Так как векторное произведение двух векторов лежащих в одной плоскости дает вектор перпендикулярный этой плоскости то его можно принять в качестве нормали к плоскости: N j OM i k i j k ; ; N

68 68 Уравнение плоскости: в) Плоскость имеет нормальный вектор ; ; N Так как искомая плоскость параллельна данной то вектор N перпендикулярен те может служить ее нормалью Тогда уравнение плоскости: г) Используем уравнение плоскости проходящей через три точки (): или Вычислим определитель разложением по элементам первой строки: 9 Угол между двумя плоскостями D C B A и D C B A равен острому углу между их нормальными векторами N и N (см формулу ) и вычисляется так: C B A C B A C C B B A A cos () Пример Найти угол между плоскостями и Нормалями плоскостей являются векторы ; ; N и ; ; N Угол между ними найдем по формуле (): 6 6 cos 6 rccos

69 Условием параллельности двух плоскостей является коллинеарность их нормалей а по условию коллинеарности векторов (см п ): A A B C (6) B C Пример Параллельны ли плоскости и? Проверим выполнение условия параллельности плоскостей (6) Нормальные векторы плоскостей N ; и ; ; коллинеарны тк ; N не Значит плоскости не параллельны Условием перпендикулярности двух плоскостей является перпендикулярность их нормалей а по условию перпендикулярности векторов (см п ): A A B B C C (7) Пример При каком значении плоскости и перпендикулярны? Используем условие перпендикулярности плоскостей (7) Найдём скалярное произведение нормалей N ; ; и ; ; N N : N Расстояние от точки ; ; D определяют по формуле M до плоскости A B C A B C D d (8) A B С 69

70 Пример 6 Найти расстояние от точки ; ; отсекает от координатных осей отрезки а c А до плоскости которая Составим уравнение плоскости в отрезках на осях (): Общее уравнение этой плоскости: 6 6 Тогда расстояние d от точки ; ; А до плоскости можно вычислить по формуле (8): 6 6 d Задания для самостоятельной работы Построить плоскости ; 8 ; Записать уравнение плоскости которая проходит через точку ; ; а) параллельно векторам а ; ; и ; ; ; М : б) перпендикулярно плоскостям и ; в) и точку ; ; N перпендикулярно плоскости Найти объем пирамиды которую отсекает плоскость 6 от координатного угла Найти расстояние между плоскостями и если они параллельны или угол между ними если они пересекаются Прямая в пространстве Прямую в пространстве будем рассматривать как линию пересечения двух плоскостей (рис ): A A B B C C D D Уравнения (7) называются общими уравнениями прямой (9) 7

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ»

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Математика Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие

Математика Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие Математика Часть I Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие Санкт-Петербург ББК я М Печатается по рекомендации кафедры прикладной математики и решению президиума редакционно-издательского

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Ответы Учебное издание Министерство образования и науки Российской Федерации Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга Островерхая Лидия Дмитриевна Задачник-практикум по высшей математике

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Определители и системы линейных уравнений. Матрицы. Основные определения.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Определители и системы линейных уравнений. Матрицы. Основные определения. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Определители и системы линейных уравнений Матрицы. Основные определения. Определение. Матрицей размера m где m- число строк - число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского ТА Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики Т.А. Волкова СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Подробнее

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее