Линейные разностные уравнения и их приложения

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Линейные разностные уравнения и их приложения"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых М. А. Комаров Линейные разностные уравнения и их приложения Владимир 2012

2 УДК Рецензент: Доктор физико-математических наук, профессор кафедры функционального анализа и его приложений Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых В. И. Данченко Печатается в авторской редакции М. А. Комаров К 63 Линейные разностные уравнения и их приложения / ВлГУ. Владимир. 42 с. В пособии рассматривается элементарная теория линейных разностных уравнений и её приложения к некоторым задачам вычислительной математики. Содержатся задания для самостоятельного решения. Предназначено для изучающих дисциплины Численные методы, Дифференциальные и разностные уравнения. Может быть полезно при изучении таких дисциплин, как Уравнения математической физики и Теория разностных схем. Библиогр. 10 назв. УДК ISBN? c Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых, 2012

3 Предисловие В пособии рассматривается элементарная теория линейных разностных уравнений и некоторые типичные задачи вычислительной математики, при решении которых возникают такие уравнения. Отметим, что разностные уравнения имеют и самостоятельный интерес: ряд моделей в биологии, экономике и других науках формулируются непосредственно в терминах разностных уравнений (модели с дискретным временем). Пособие предназначено, в первую очередь, для изучающих дисциплины Численные методы и Дифференциальные и разностные уравнения, а также может быть полезно при изучении таких дисциплин, как Уравнения математической физики и Теория разностных схем. Предполагается, что читатель знает (в объёме, предусмотренном для инженерных специальностей вузов) линейную алгебру, математический анализ и дифференциальные уравнения. Пособие состоит из трёх частей. Первая часть посвящена изложению основных понятий и методов теории линейных разностных уравнений. Теоретический материал к первой части (если не брать в расчёт отсутствие доказательств теорем) представляет собой краткий курс лекций по разностным уравнениям, читавшийся автором в гг. студентам специальности Информационные технологии в рамках общего курса дифференциальных уравнений. Подробное изложение этой теории, в том числе доказательства теорем, можно найти, например, в книгах [1, 2]. Вторая часть посвящена численным методам алгебры и анализа, а третья приближённому интегрированию дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных. Нашей целью было лишь дать обзор некоторых типичных задач, приводящих к разностным уравнениям, поэтому представленный здесь перечень приложений не претендует на полноту. Подробное изложение этих и других численных методов можно найти в книгах [3], [4], [5]. В каждой части пособия нумерация параграфов своя (так, 2.2 второй параграф второй части). Нумерация формул, определений и теорем сквозная. Пособие содержит индивидуальные задания практически по всем рассмотренным темам. Задания к первой части выполняются как стандартный типовой расчёт, рассчитанный на 30 вариантов; примеры решения аналогичных задач приводятся в теоретической части. Задания, приведённые во второй и третьей частях, предназначены для выполнения на компьютере и, следовательно, могут рассматриваться как задания к лабораторным работам. При их выполнении будут полезны такие компьютерные системы, как Maple, MatLAB, MathCAD. Автор признателен аспирантам кафедры функционального анализа и его приложений ВлГУ А.Е.Додонову и А.С.Платову за помощь в подготовке вариантов индивидуальных заданий. Работа выполнена в рамках реализации федеральной целевой программы Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на годы (грант 14.В ).

4 Часть 1. Линейные разностные уравнения Рассматриваются основные понятия и методы теории разностных уравнений (называемых иначе уравнениями в конечных разностях или рекуррентными). Такие уравнения возникают, например, при моделировании процессов с дискретным временем и при численном интегрировании дифференциальных уравнений. Типичный случай появления разностных уравнений в задачах численного анализа рассматривается в 1.1. Основное внимание ( ) уделяется важному классу линейных разностных уравнений. Подчёркивается, что теория линейных разностных уравнений является точным аналогом теории линейных дифференциальных уравнений. В 1.8 собраны типовые задачи Пример: метод ломаных Эйлера В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается (локально, вблизи точки x 0 ) существование и единственность решения v = v(x) задачи Коши v = f(x, v), v(x 0 ) = v 0, (1) где f непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, однако, аналитическое выражение решения удаётся найти лишь для узкого класса функций f, поэтому были разработаны методы приближённого построения решения. Простейший метод, называемый (явным) методом Эйлера, основан на том, что значение функции f(x, v) задаёт угол наклона касательной к интегральной кривой уравнения задачи (1) в точке (x, v). Допустим, что требуется вычислить приближённо значение решения v(x) задачи (1) в некоторой точке x 0 + b, такой что решение продолжается на весь отрезок [x 0, x 0 + b], b > 0. Выберем натуральное число n и определим шаг вычислений как h := b/n. Из точки (x 0, v 0 ) на шаг h проведём отрезок прямой с угловым коэффициентом f(x 0, v 0 ). Из конечной точки (x 1, v 1 ) = (x 0 + h, v 0 + f(x 0, v 0 )h) этого отрезка на шаг h проведём отрезок прямой с угловым коэффициентом f(x 1, v 1 ) и так далее. В итоге получим n-звенную ломаную, ордината которой в точке x 0 + b и считается приближением к точному значению v(x 0 + b). Построим вычислительную схему. Разобьём отрезок [x 0, x 0 +b] на n равных частей точками x s = x 0 + s h, s = 0, n. Положим y(x 0 ) = v 0 и при s = 1, 2,..., n определим последовательно функцию y = y(x) на отрезке [x s 1, x s ] как ординату касательной в точке (x s 1, y(x s 1 )) к интегральной кривой задачи Коши w = f(x, w), w(x s 1 ) = y(x s 1 )}, а именно: y(x) := w(x s 1 )+w (x s 1 )(x x s 1 ) = y(x s 1 )+f(x s 1, y(x s 1 ))(x x s 1 ), x [x s 1, x s ]. В частности, y(x s ) = y(x s 1 ) + f(x s 1, y(x s 1 ))h, s = 1, n. (2) При s = n мы получим искомое приближение к v(x 0 + b) = v(x n ): v(x n ) y(x n ) = y(x n 1 ) + f(x n 1, y(x n 1 ))h. 4

5 Известно [3], что при h 0 (при n ) последовательность ломаных сходится к интегральной кривой v(x), в частности, y(x n ) v(x n ). Перепишем формулу (2) в виде y(x 0 + (s + 1)h) y(x 0 + s h) = f(x s, y(x s ))h. (3) Выражение h y(x s ) := y(x 0 + (s + 1)h) y(x 0 + s h) называют конечной разностью первого порядка функции y(x) в точке x s = x 0 +s h, а само уравнение (3) есть пример уравнения в конечных разностях (первого порядка). Замечание 1. Разностное уравнение (3) можно рассматривать (см. часть 3) как результат аппроксимации производной v разностным отношением (v(t + h) v(t))/h. Другие способы аппроксимации приводят к другим разностным схемам, в том числе, более эффективным, чем метод Эйлера, в котором для достижения хорошей точности приходится брать очень малый шаг h. Замечание 2. Вычисления имеют смысл, если решение продолжается из точки x 0 до точки, в которой требуется найти его величину. Непродолжаемость может возникать и в очень простых задачах, что показывает следующий пример. Пример. Пусть требуется вычислить в точке x = 2 значение решения задачи Коши v = v 2, v(0) = 1. Непосредственное интегрирование доставляет аналитическое решение v(x) = (1 x) 1. Очевидно, это решение терпит разрыв в точке x = 1 и, следовательно, непродолжаемо из точки x = 0 в точку x = 2. Вычисления по схеме метода ломаных Эйлера заведомо не приведут к верному значению v(2) = 1. Полезно следующее достаточное условие продолжаемости: если правая часть уравнения v = f(x, v) в области a < x < b, v < (a, b не обязательно конечны) непрерывна и удовлетворяет неравенству f(x, v) A(x) v + B(x) с некоторыми непрерывными функциями A и B, то всякое решение можно продолжить на весь интервал a < x < b. В частности, все решения линейного уравнения с непрерывными коэффициентами продолжаются на всю числовую прямую. В предыдущем примере это достаточное условие не выполнено Разностные уравнения: основные понятия Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена для всех значений x вида x s = a+s h, где a, h фиксированные вещественные числа, h 0 шаг, s = 0, 1, 2,... Выражение h f(x s ) := f(a + (s + 1)h) f(a + s h) f(x s + h) f(x s ) называется конечной разностью первого порядка функции f(x) в точке x s. По индукции, определяются конечные разности любого натурального порядка в точке x = x s : h f(x) = f(x + h) f(x), 2 h f(x) = hf(x + h) h f(x) h ( h f(x)), k h f(x) = k 1 h f(x + h) k 1 5 h f(x) k 1 h ( h f(x))

6 и т.д. (величина k hf(x) называется иначе k-й конечной разностью). Замечание 1. Поскольку a и h фиксированы, то величина f(x s ) зависит только от индекса s; введём для соответствующей функции обозначение u(s) = f(x s ). Имеем h f(x s ) = f(a + (s + 1)h) f(a + s h) = u(s + 1) u(s) = 1 u(s), s = 0, 1, 2,... Аналогично, k h f(x s) = k 1u(s). Единичный шаг обычно не указывают, полагая 1. Всюду далее мы будем рассматривать разности именно в такой форме: k u(s). Замечание 2. Разности можно представить через значения функции по формуле p u(s) = p ( 1) p m Cp m u(s + m), Cp m = m=0 p! m!(p m)!. (4) Предлагается проверить, исходя из определения, справедливость этой формулы при малых p : u(s) = u(s + 1) u(s), 2 u(s) = u(s + 2) 2u(s + 1) + u(s), 3 u(s) = u(s + 3) 3u(s + 2) + 3u(s + 1) u(s). Определение 2. Разностным уравнением называется соотношение F (s, u(s), u(s),..., k u(s)) = 0, s = 0, 1, 2,..., (5) в котором F заданная, а u искомая функции. Решением уравнения (5) называется функция u(s), обращающая его в тождество при всех s. Порядок уравнения (5) равен разнице между максимальным и минимальным среди аргументов s + j значений u(s + j), явно входящих в уравнение после замены разностей u(s),..., k u(s) их выражениями через u(s),..., u(s + k) по формуле (4). В частности, порядок равен k, если после такой замены уравнение (5) явно содержит как u(s + k), так и u(s). Пример. Определим порядок разностного уравнения 3 u(s) 3 u(s) Cu(s) = 0 в зависимости от значения числового параметра C. Заменив u(s) и 3 u(s) на их выражения по формуле (4), после преобразований придём к уравнению u(s + 3) 3u(s + 2) + (2 C)u(s) = 0 При C 2 это уравнение явно содержит 3 значения функции: u(s + 3), u(s + 2) и u(s) с аргументами s + 3, s + 2 и s соответственно. Разница между максимальным и минимальным аргументами равна (s + 3) s = 3, поэтому при C 2 порядок уравнения равен 3. Напротив, в случае C = 2 уравнение принимает вид u(s + 3) 3u(s + 2) = 0. Видим, что явно входят в уравнение лишь два значения функции, u(s+3) и u(s+2), с аргументами s+3 и s+2 соответственно. Разница между последними равна 1, поэтому 6

7 при C = 2 порядок уравнения равен 1. Вводя новый индекс t = s + 2, представим это уравнение порядка 1 в стандартном виде: u(t + 1) = 3u(t). Задача Коши. При условии разрешимости относительно u(s + k), разностное уравнение порядка k можно представить в виде u(s + k) = G(s, u(s), u(s + 1),..., u(s + k 1)). (6) Фиксируем начальную точку s 0 = 0, 1, 2,... (без нарушения общности, можно считать s 0 = 0). Если функция G(s, y 1, y 2,..., y k ) определена при всех значениях s вида s = s 0 + p, p = 0, 1, 2,..., и при любых y j R, j = 1, k, то значение u(s + k) и вообще все значения u(s + k + p), p = 0, 1, 2,..., однозначно определяются по уравнению (6) заданием при s = s 0 начальных значений (начальных условий) u 0 = u(s 0 ), u 1 = u(s 0 + 1), u k 1 = u(s 0 + k 1). Тем самым, общее решение разностного уравнения порядка k зависит от k произвольных постоянных: u(s) = g(s, C 0, C 1,..., C k 1 ), s = s 0, s 0 + 1,.... Решение, получающееся из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным. Задача отыскания решения u(s), s = s 0, s 0 + 1,..., уравнения (6), удовлетворяющего начальным условиям (7), называется задачей Коши Последовательные подстановки. Линейные уравнения первого порядка Задав начальные значения u(s 0 ) = u 0, u(s 0 + 1) = u 1,..., u(s 0 + k 1) = u k 1, мы рекуррентно по формуле (6) вычисляем все остальные элементы последовательности u m }. Не нарушая общности, будем считать s 0 = 0; тогда u(j) = u j, j = 0, k 1, u(k) = G(0, u 0, u 1,..., u k 2, u k 1 ), u(k + 1) = G(1, u 1, u 2,..., u k 1, u(k)) = = G(1, u 1, u 2,..., u k 1, G(0, u 0, u 1,..., u k 2, u k 1 )) и так далее. Такой метод решения задачи Коши носит название последовательных подстановок и применим к произвольным разностным уравнениям, хотя и трудоёмок при вычислении u(k + p) с большими p. В 2.1 этот процесс будет применён 7 (7)

8 к приближённому вычислению корней алгебраического многочлена. Здесь мы получим с помощью метода последовательных подстановок формулу общего решения так называемого линейного разностного уравнения 1-го порядка. Определение 3. Линейным разностным уравнением порядка 1 называется уравнение вида u(s) + P (s)u(s) = Q(s) u(s + 1) = [1 P (s)]u(s) + Q(s), P (s) 1. Это уравнение однородно, если Q(s) 0, и неоднородно в противном случае. Так, геометрическая и арифметическая прогрессии задаются линейными разностными уравнениями первого порядка однородным u(s+1) = q u(s) и неоднородным u(s + 1) = u(s) + d соответственно. Рассмотрим однородное уравнение u(s + 1) = [1 P (s)]u(s). Заменяя в нём s на 0, 1, 2,..., s 1, придём к равенствам u(1) = [1 P (0)]u(0), u(2) = [1 P (1)]u(1), u(s) = [1 P (s 1)]u(s 1), перемножая которые и сокращая на произведение u(1)u(2)... u(s 1) получим искомую формулу общего решения линейного однородного разностного уравнения: s 1 u(s) = u(0) [1 P (t)], s = 1, 2, 3,..., t=0 в которой величина u(0) является произвольной постоянной (начальным значением). Для построения общего решения неоднородного уравнения применяют аналог метода вариации или метода подстановки, известных из курса дифференциальных уравнений. Не воспроизводя соответствующие выкладки, предъявим результат: общее решение линейного неоднородного разностного уравнения имеет вид ( s 1 ) u(s) = H(t) t=0 ( s 1 p=0 u(s + 1) = [1 P (s)]u(s) + Q(s) ) Q(p) p t=0 H(t) + C, s = 1, 2, 3,..., H(t) := 1 P (t), (8) где C произвольная постоянная. Рассмотрим примеры использования формулы (8). Пример [2]. Решить уравнение u(s + 1) = ( s + 2 s + 1 ) 2 u(s) + 2s + 4 s + 3. Решение. Для данного уравнения при каждом r = 0, 1, 2,... имеем r r ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 t r + 1 r + 2 H(t) = =... = (r + 2) 2. t r r + 1 t=0 t=0 8

9 Применим это соотношение в формуле (8): ( s 1 ) u(s) = (s + 1) 2 Q(p) (p + 2) + C = (s + 1) 2 2 p=0 ( s 1 p=0 ) 2(p + 2) (p + 3)(p + 2) + C = 2 ( ) ( s 1 = (s + 1) (p + 3)(p + 2) + C s 1 ( 1 = (s + 1) 2 2 p ) ) + C = p + 3 p=0 p=0 ( ( 1 = (s + 1) ) ) ( ) s + C = (s + 1) 2 s + 2 s C. Ответ: u(s) = (s + 1) 2 (s(s + 2) 1 + C). Пример [6]. Проверить, что решение уравнения u(s + 1) = H(s)u(s) + Q(s), H(n) = Q(n), s < n, удовлетворяющее начальному условию u(n) = 1, имеет вид u(s) = n p=s Q(p) p (9) t=s H(t). Решение. Положим в (8) s = n и выразим C (учитывая условие u(n) = 1): C = n 1 1 n 1 t=0 H(t) Q(p) p p=0 t=0 H(t). Подставив это выражение в (8) вместо C, после очевидных упрощений получим u(s) = n 1 1 n 1 t=s H(t) Q(p) p p=s t=s H(t). Отсюда и из условия H(n) = Q(n) легко следует формула (9). Предлагается выполнить следующее аналогичное упражнение [6]: проверить, что решение уравнения u(s + 1) = H(s)u(s) + Q(s), s < n, удовлетворяющее начальному условию u(n) = 0, имеет вид n 1 Q(p) u(s) = p t=s H(t). p=s 1.4. Свойства решений линейных разностных уравнений Определение 4. Уравнение вида k u(s) + b 1 (s) k 1 u(s) b k 1 (s) u(s) + b k (s)u(s) = Q(s), s = 0, 1, 2,..., 9

10 называется линейным разностным уравнением порядка k, если после преобразования разностей по формуле (4) оно принимает вид u(s + k) + a 1 (s)u(s + k 1) a k (s)u(s) = Q(s), a k (s) 0. Это уравнение называется однородным, если Q(s) 0, и неоднородным в противном случае. Очевидно, что ввиду неравенства a k (s) 0 определение линейного уравнения порядка k согласовано с общим определением порядка разностного уравнения, данным в 1.2. Замечание. Здесь и далее тождество между функциями индекса s понимается как их совпадение при всех значениях s из заданного в контексте подмножества целых чисел. К примеру, в этом смысле имеет место тождество sin(πs) 0, раз функции sin(πs) и 0 совпадают при всех целых s, хотя, разумеется, для непрерывного аргумента s такого тождества нет. В частности, константами мы будем считать функции, принимающие постоянное значение в целых точках, но не обязательно постоянные относительно непрерывно меняющегося аргумента s. Далее мы не будем оговаривать это особо. Сформулируем свойства решений однородного уравнения порядка k : Lu(s) := u(s + k) + a 1 (s)u(s + k 1) a k (s)u(s) = 0, s = 0, 1, 2,.... (10) Они вполне аналогичны свойствам линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема 1. Если u 1 (s), u 2 (s),..., u m (s) решения уравнения (10), то их линейная комбинация с постоянными коэффициентами C 1, C 2,..., C m, C 1 u 1 (s) + C 2 u 2 (s) C m u m (s), тоже является решением этого уравнения. Теорема 2. Если u 1 (s), u 2 (s),..., u k (s) решения уравнения (10), причём определитель u 1 (0) u 1 (1)... u 1 (k 1) D[u 1,..., u k ] := u 2 (0) u 2 (1)... u 2 (k 1) u k (0) u k (1)... u k (k 1) отличен от нуля, то общее решение уравнения (10) имеет вид C 1 u 1 (s) + C 2 u 2 (s) C k u k (s), где C 1, C 2,..., C k произвольные постоянные. Определение 5. Набор u 1 (s),..., u k (s) частных решений уравнения (10), для которых D[u 1,..., u k ] 0, называется фундаментальной системой решений этого уравнения. 10

11 Аналогия с дифференциальными уравнениями наблюдается и в случае неоднородных линейных разностных уравнений. Теорема 3. Общее решение неоднородного уравнения Lu(s) = Q(s), Q(s) 0, представляется в виде суммы любого его частного решения u (s) и общего решения уравнения (10): u(s) = u (s) + C 1 u 1 (s) + C 2 u 2 (s) C k u k (s) Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное однородное разностное уравнение порядка k с постоянными вещественными коэффициентами: u(s + k) + a 1 u(s + k 1) a k u(s) = 0, s = 0, 1, 2,... ; a j = const R, a k 0. (11) Будем искать частные решения этого уравнения в виде u(s) = λ s, λ = const 0. Легко видеть, что функция такого вида есть решение уравнения (11) в том и только том случае, когда λ есть корень характеристического уравнения λ k + a 1 λ k a k = 0. (12) Действительно, эта функция обладает свойством u(s + p) = λ p u(s), поэтому левая часть уравнения (11) принимает вид (λ k + a 1 λ k a k )u(s), откуда, с учётом неравенства u(s) = λ s 0, следует наше утверждение. Заметим, что каждое такое решение ввиду тождества u(s + 1) = λu(s) определяет геометрическую прогрессию со знаменателем λ. Таким образом, среди всех числовых последовательностей, элементы которых удовлетворяют уравнению вида (11) (такие последовательности называются возвратными или рекуррентными), нас в первую очередь интересуют геометрические прогрессии. По основной теореме алгебры, уравнение (12) имеет ровно k (комплексных) корней с учётом кратностей, причём из-за вещественности его коэффициентов каждому комплексному корню λ = ρ(cos w+i sin w), ρ sin w 0, соответствует сопряжённый корень λ = ρ(cos w i sin w) той же кратности (в отличие от теории дифференциальных уравнений, здесь предпочтительнее тригонометрическая форма записи комплексных чисел). Сформулируем Правило построения фундаментальной системы решений: в фундаментальной системе решений уравнения (11) с постоянными вещественными коэффициентами каждому вещественному корню λ кратности m характеристического уравнения (12) соответствуют m частных решений λ s, sλ s,..., s m 1 λ s, а каждой паре комплексно сопряжённых корней ρ (cos w +i sin w), ρ (cos w i sin w), ρ sin w 0, кратностей m уравнения (12) соответствуют 2m частных решений ρ s cos(ws), s ρ s cos(ws),..., s m 1 ρ s cos(ws), ρ s sin(ws), s ρ s sin(ws),..., s m 1 ρ s sin(ws). 11

12 Напомним, что по теореме 2, общее решение уравнения (11) является линейной комбинацией решений фундаментальной системы. Пример. Разностному уравнению f(s + 2) = f(s + 1) + f(s) соответствует характеристическое уравнение λ 2 = λ + 1 с корнями (1 ± 5)/2, поэтому общее решение имеет вид f(s) = C 1 ( 1 + ) s ( 5 + C ) s 5, 2 где C 1, C 2 произвольные постоянные. Пример. Числами Фибоначчи называются элементы последовательности задаваемой рекуррентной формулой 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., u n+2 = u n+1 + u n, u 1 = u 2 = 1. Очевидно, эта последовательность является решением задачи Коши для разностного уравнения из предыдущего примера с начальным условием f(1) = f(2) = 1. Определяя значения произвольных постоянных C 1, C 2 в формуле общего решения из начальных условий, находим представление произвольного числа Фибоначчи: ( u k = ) k ( ) k 5. 2 Пример [1]. Решим задачу Коши для однородного уравнения четвёртого порядка f(s + 4) + 2f(s + 3) + 3f(s + 2) + 2f(s + 1) + f(s) = 0, f(0) = f(1) = f(3) = 0, f(2) = 1. Составим и решим характеристическое уравнение: 0 = λ 4 + 2λ 3 + 3λ 2 + 2λ + 1 (λ 2 + λ + 1) 2, λ 1 = λ 3 = i 2, λ 2 = λ 4 = i 2. Запишем корни в тригонометрической форме. Очевидно, модули всех корней равны 1. Далее, из уравнений cos w = 1/2, sin w = 3/2 находим w = 2π/3. Таким образом, λ 1 = λ 3 = cos 2π 3 + i sin 2π 3, λ 2 = λ 4 = cos 2π 3 i sin 2π 3. Составляем общее решение на основании сформулированного правила, учитывая, что корни имеют кратность 2: ( ) ( ) 2π 2π f(s) = (C 1 + C 2 s) cos 3 s + (C 3 + C 4 s) sin 3 s. 12

13 Определяем постоянные C j, j = 1, 4, из начальных условий: C 1 = C 2 = 0, C 3 = C 4 = 2 3. Подставляем найденные значения в формулу общего решения и приходим к искомому решению задачи Коши: ( ) 2(s 1) 2π f(s) = sin 3 3 s. Можно рассматривать и обратную задачу восстановления уравнения по известной фундаментальной системе решений. Пример. Построим линейное однородное разностное уравнение (минимально возможного порядка) с постоянными вещественными коэффициентами, частными решениями которого являются функции f 1 (s) = (s 1)3 s и f 2 (s) = sin(s + 1). Решения f 1 (s) и f 2 (s) (sin s)(cos 1) + (cos s)(sin 1), очевидно, линейно независимы. Согласно теореме о фундаментальной системе решений линейного однородного уравнения с постоянными вещественными коэффициентами, функция вида (a+b s)3 s (соответственно, a sin s + b cos s), где a и b константы, является решением такого уравнения тогда и только тогда, когда λ = 3 (соответственно, λ = cos 1±i sin 1 = e ±i ) корень кратности 2 (соответственно, пара комплексно сопряжённых корней кратности 1) характеристического уравнения. Таким образом, подходящим уравнением минимально возможного порядка выступает уравнение порядка 4 с характеристическим уравнением (λ 3) 2 (λ 2 2 cos 1λ + 1) = 0. Раскрыв скобки в левой части, λ 4 (6 + 2 cos 1)λ 3 + ( cos 1)λ 2 ( cos 1)λ + 9, восстановим искомое разностное уравнение: u(s+4) (6+2 cos 1)u(s+3)+(10+12 cos 1)u(s+2) (6+18 cos 1)u(s+1)+9u(s) = Метод подбора частного решения Рассмотрим линейное неоднородное разностное уравнение порядка k, u(s+k)+a 1 u(s+k 1)+...+a k u(s) = Q(s), s = 0, 1, 2,... ; a j = const R, a k 0, (13) с постоянными вещественными коэффициентами и квазимногочленом в правой части: Q(s) = λ s (P (s) cos sw + H(s) sin sw) 0, где P (s), H(s) заданные многочлены степени не выше n с вещественными коэффициентами, λ, w = const R. Имеет место следующий Метод подбора частного решения: если число λ = λ (cos w + i sin w) есть m-кратный корень характеристического уравнения (12), то частное решение u (s) уравнения (13) можно найти в виде s m λ s ( P (s) cos sw + H(s) sin sw), (14) 13

14 где P (s), H(s) многочлены степени не выше n с неопределёнными коэффициентами. Коэффициенты многочленов P (s), H(s) определяются подстановкой выражения (14) вместо u(s) в уравнение (13); после этого, общее решение уравнения (13) записывается в виде, указанном в теореме 3. Замечание 1. Если λ вещественное число, т.е. Q(s) = λ s P (s), то частное решение следует искать в виде s m λ s P (s), где по-прежнему m есть кратность числа λ как корня характеристического уравнения. Замечание 2. Если неоднородность Q(s) есть сумма нескольких квазимногочленов Q 1 (s),..., Q p (s) (с разными λ), то для каждого j = 1, p нужно подобрать частное решение уравнения u(s + k) + a 1 u(s + k 1) a k u(s) = Q j (s), и сумма найденных функций доставит частное решение исходного уравнения. (Это правило называется принципом суперпозиции решений или принципом наложения решений.) Пример. Решим линейное неоднородное уравнение f(s+2) = f(s+1)+f(s)+s+2 s второго порядка с постоянными коэффициентами. Неоднородность Q(s) = s + 2 s является суммой двух разных квазимногочленов: Q 1 (s) = s 1 s s = λ 1 = 1, P 1 (s) = s, deg P 1 (s) = 1 ; Q 2 (s) = 2 s 2 s 1 = λ 2 = 2, P 2 (s) = 1, deg P 2 (s) = 0 (символом deg P принято обозначать степень многочлена P ), поэтому используем принцип суперпозиции. Заметим, что числа λ 1 = 1 и λ 2 = 2 не являются корнями характеристического уравнения λ 2 = λ + 1, а потому имеют кратность m = 0 как корни этого уравнения. Из сказанного следует, что частные решения уравнений f(s + 2) = f(s + 1) + f(s) + s, f(s + 2) = f(s + 1) + f(s) + 2 s имеют вид, соответственно, A 0 + A 1 s, A 2 s (с некоторыми константами A 0, A 1, A). Подставив выражение A 0 + A 1 s вместо f(s) в первое уравнение, придём к тождеству A 0 + A 1 (s + 2) = A 0 + A 1 (s + 1) + A 0 + A 1 s + s. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях s в левой и правой частях тождества, получим A 0 = A 1 = 1. Аналогично, подставив выражение A 2 s вместо f(s) во второе уравнение, получим A = 1. Сумма найденных функций есть частное решение исходного уравнения: f (s) = 2 s 1 s. 14

15 Воспользуемся теперь результатом примера предыдущего параграфа, где было найдено общее решение однородного уравнения f(s + 2) = f(s + 1) + f(s), и напишем общее решение исходного неоднородного: f(s) = C 1 ( ) s + C 2 ( где C 1, C 2 произвольные постоянные. 1 ) s s 1 s, Понятие о линейных системах разностных уравнений Определение 5. Нормальной линейной системой (порядка n) разностных уравнений называется система вида U(s + 1) = A(s)U(s) + F (s), A(s) = (a i,j (s)) n i,j=1, det A(s) 0 ( s = 0, 1, 2,... ), (15) где A(s) заданная матрица коэффициентов системы, F (s) = (f 1 (s),..., f n (s)) T заданный вектор-столбец свободных членов системы, U(s) = (u 1 (s),..., u n (s)) T вектор-столбец неизвестных u j (s). Система (15) называется однородной, если F (s) = 0 для всех s = 0, 1, 2,..., и неоднородной в противном случае. Решением системы (15) называется вектор-функция, которая при каждом s = 0, 1, 2,... определена и удовлетворяет системе (15). Задача Коши, состоящая в отыскании решения U системы (15), удовлетворяющего условию U(0) = U 0, где U 0 заданный числовой n-мерный вектор, однозначно разрешима. Как и в случае скалярного разностного уравнения, решение задачи Коши для системы можно найти последовательными подстановками: U(1) = A(0)U 0 +F (0), U(2) = A(1)U(1) + F (1) = A(1)A(0)U 0 + A(1)F (0) + F (1) и т.д. По аналогии со случаем скалярного уравнения, для системы определяются понятия общего и частного решений. Доказывается, что общее решение неоднородной системы (15) есть сумма любого её частного решения и общего решения соответствующей однородной системы U(s + 1) = A(s)U(s). Вводится понятие фундаментальной системы решений однородной системы. Доказывается, что общее решение однородной системы U(s+1) = AU(s) с постоянной невырожденной матрицей A, собственные числа λ 1,..., λ n которой, к примеру, вещественные попарно различные, можно представить в виде U(s) = C 1 λ s 1h C n λ s nh n, где h j собственный вектор матрицы A, отвечающий собственному числу λ j. Обосновывается и метод подбора частного решения неоднородной системы с постоянными коэффициентами и специальной правой частью F (s). Для изложения примера решения системы ограничимся тем замечанием, что нормальную линейную систему порядка n можно свести к линейному уравнению порядка n (и наоборот) и для построения решения воспользоваться ранее изложенными методами. Пример. Методом сведения к уравнению решим линейную неоднородную систему второго порядка с постоянными коэффициентами: x(s + 1) = 2x(s) y(s) + 2 s, y(s + 1) = x(s) y(s) 1 s. 15

16 Из второго уравнения имеем y(s + 2) = x(s + 1) y(s + 1) 2 s. Заменив здесь x(s + 1) на его выражение из первого уравнения, получим y(s + 2) = 2x(s) y(s) + 2 s y(s + 1) 2 s. В этом равенстве заменим x(s) на его выражение из второго уравнения: y(s + 2) = 2[y(s + 1) + y(s) s] y(s) y(s + 1) + 2 s 2 s = y(s + 1) + y(s) + s + 2 s. Тем самым, мы свели исходную систему к уравнению второго порядка y(s + 2) y(s + 1) y(s) = s + 2 s. Общее решение последнего было найдено в предыдущем параграфе: ( 1 + ) s ( 5 1 ) s 5 y(s) = C 1 + C s 1 s, 2 2 где C 1, C 2 произвольные постоянные. Зная y(s), легко найти функцию x(s) из второго уравнения системы: x(s) = y(s + 1) + y(s) s = C 1 = C 1 ( +C 1 ( ( 1 + ) s+1 ( 5 1 ) s C s+1 2 s ) s ( 5 + C 2 2 ( 1 + ) s C ) s s = 2 1 ) s s 2 s Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Найти общий элемент возвратной последовательности u n+2 = (3N 2 + 4N 3)u n+1 2(N 4 + 3N 3 3N + 1)u n, где N = 1, 2,... номер варианта. Подобрать начальные значения u 1, u 2 так, чтобы для соответствующей последовательности u n } предел lim n u n+1 /u n был равен одному из корней характеристического уравнения. Задача 2. Решить линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка ( ) 2N s + 5N + 1 u(s + 1) = u(s) + s + 5N (s + 5N + 1)2N 1, s + 5N + 2 где N = 1, 2,... номер варианта. (Применить формулу (8).) 16

17 Задача 3. Решить линейное однородное разностное уравнение. (Можно подбирать целочисленные корни характеристического уравнения, основываясь на известном утверждении, что такие корни являются делителями свободного коэффициента многочлена с целочисленными коэффициентами.) 1) u(s + 4) 7u(s + 3) + 22u(s + 2) 32u(s + 1) + 16u(s) = 0. 2) u(s + 4) 4u(s + 3) + 7u(s + 2) 6u(s + 1) + 2u(s) = 0. 3) u(s + 4) 7u(s + 3) + 13u(s + 2) + 3u(s + 1) 18u(s) = 0. 4) u(s + 4) 13u(s + 3) + 62u(s + 2) 128u(s + 1) + 96u(s) = 0. 5) u(s + 4) 11u(s + 3) + 29u(s + 2) + 35u(s + 1) 150u(s) = 0. 6) u(s + 4) 9u(s + 2) 4u(s + 1) + 12u(s) = 0. 7) u(s + 4) 6u(s + 3) + 9u(s + 2) + 4u(s + 1) 12u(s) = 0. 8) u(s + 4) 9u(s + 3) + 30u(s + 2) 44u(s + 1) + 24u(s) = 0. 9) u(s + 4) 6u(s + 3) 7u(s + 2) + 96u(s + 1) 144u(s) = 0. 10) u(s + 4) + u(s + 3) 28u(s + 2) 16u(s + 1) + 192u(s) = 0. 11) u(s + 4) 6u(s + 3) 17u(s + 2) + 150u(s + 1) 200u(s) = 0. 12) u(s + 4) u(s + 3) 23u(s + 2) 3u(s + 1) + 90u(s) = 0. 13) u(s + 4) 9u(s + 3) + 21u(s + 2) + u(s + 1) 30u(s) = 0. 14) u(s + 4) 6u(s + 3) 17u(s + 2) + 150u(s + 1) + 192u(s) = 0. 15) u(s + 4) 7u(s + 3) + 5u(s + 2) + 31u(s + 1) 30u(s) = 0. 16) u(s + 4) 10u(s + 3) + 36u(s + 2) 54u(s + 1) + 27u(s) = 0. 17) u(s + 4) 10u(s + 3) u(s + 2) + 250u(s + 1) 600u(s) = 0. 18) u(s + 4) + 18u(s + 3) + 87u(s + 2) + 238u(s + 1) + 490u(s) = 0. 19) u(s + 4) 10u(s + 3) + 16u(s + 2) + 90u(s + 1) 225u(s) = 0. 20) u(s + 4) u(s + 3) 21u(s + 2) + 9u(s + 1) + 108u(s) = 0. 21) u(s + 4) 9u(s + 3) + 14u(s + 2) + 36u(s + 1) 72u(s) = 0. 22) u(s + 4) 8u(s + 3) + 23u(s + 2) 28u(s + 1) + 12u(s) = 0. 23) u(s + 4) 3u(s + 3) 21u(s + 2) + 83u(s + 1) 60u(s) = 0. 24) u(s + 4) 50u(s + 2) 625u(s) = 0. 25) u(s + 4) 9u(s + 3) + 18u(s + 2) + 4u(s + 1) 24u(s) = 0. 26) u(s + 4) 13u(s + 3) + 62u(s + 2) 128u(s + 1) + 96u(s) = 0. 27) u(s + 4) + 10u(s + 3) + 22u(s + 2) + 2u(s + 1) 35u(s) = 0. 28) u(s + 4) + 5u(s + 3) 6u(s + 2) 32u(s + 1) + 32u(s) = 0. 29) u(s + 4) 4u(s + 3) 22u(s + 2) + 100u(s + 1) 75u(s) = 0. 30) u(s + 4) 6u(s + 3) + u(s + 2) + 24u(s + 1) + 16u(s) = 0. Задача 4. Решить задачу Коши для уравнения первого порядка u(s + 1) + Nu(s) = (N + 1) 2s + e Ns+1 cos(ns + π), u(0) = e/n, применив метод подбора; N = 1, 2,... номер варианта. Задача 5. Определить порядок разностного уравнения, преобразовав конечные разности k u(s) по формуле (4). 1) 4 u(s) u(s) 24 u(s) 11u(s) = s. 2) 2 4 u(s) 13 3 u(s) + 15 u(s) = s ) 3 4 u(s) u(s) + 15 u(s) + 24u(s) = s 3. 17

18 4) 4 4 u(s) 11 3 u(s) + 15 u(s) = s. 5) 5 4 u(s) u(s) 2 u(s) 2 u(s) + 4u(s) = 0. 6) 6 4 u(s) 9 3 u(s) + 2 u(s) + 14 u(s) 2u(s) = 4s. 7) 7 4 u(s) u(s) 2 u(s) + 14 u(s) + 16u(s) = 5s 1. 8) 8 4 u(s) 7 3 u(s) u(s) + 13 u(s) 4u(s) = 2s. 9) 9 4 u(s) u(s) 2 2 u(s) + 13 u(s) + 12u(s) = s. 10) 10 4 u(s) 5 3 u(s) u(s) + 54 u(s) + 37u(s) = s. 11) 11 4 u(s) u(s) 3 2 u(s) + 11 u(s) + 7u(s) = 4s ) 12 4 u(s) 3 3 u(s) u(s) + 10 u(s) 8u(s) = 2s. 13) 13 4 u(s) u(s) 3 2 u(s) + 8 u(s) = s. 14) 14 4 u(s) 3 u(s) u(s) + 6 u(s) 12u(s) = s 5. 15) 15 4 u(s) 4 2 u(s) + 52 u(s) + 41u(s) = 4s. 16) 16 4 u(s) + 3 u(s) u(s) + 6 u(s) 13u(s) = 0. 17) 17 4 u(s) 2 3 u(s) 4 2 u(s) + 9 u(s) 6u(s) = s 7. 18) 18 4 u(s) u(s) u(s) + 10 u(s) 10u(s) = s ) 19 4 u(s) 4 3 u(s) 5 2 u(s) + 12 u(s) 6u(s) = 1. 20) 20 4 u(s) u(s) u(s) + 80 u(s) + 60u(s) = s. 21) 21 4 u(s) 6 3 u(s) 5 2 u(s) + 15 u(s) 7u(s) = s 3. 22) 22 4 u(s) u(s) u(s) + 17 u(s) 4u(s) = 5s ) 23 4 u(s) 8 3 u(s) 6 2 u(s) + 18 u(s) 7u(s) = s ) 24 4 u(s) u(s) u(s) + 19 u(s) 2u(s) = 1. 25) 25 4 u(s) 10 3 u(s) 6 2 u(s) u(s) + 79u(s) = 0. 26) 26 4 u(s) u(s) u(s) + 22 u(s) = s ) 27 4 u(s) 12 3 u(s) 7 2 u(s) + 23 u(s) 9u(s) = 2s ) 28 4 u(s) u(s) u(s) + 24 u(s) + 2u(s) = ) 29 4 u(s) 14 3 u(s) 7 2 u(s) + 25 u(s) 11u(s) = s. 30) 30 4 u(s) u(s) u(s) u(s) + 83u(s) = 0. Задача 6. Решить задачу Коши для линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью; при построении решения использовать метод подбора. 1) y(s + 2) 9y(s + 1) + 20y(s) = cos s 2 s, y(1) = y(2) = 0. 2) y(s + 2) 10y(s + 1) + 26y(s) = 2 sin 3s 2 3 s, y(0) = y(1) = 0. 3) y(s + 2) 5y(s + 1) + 4y(s) = 2 cos 3s 5 s, y(2) = y(3) = 0. 4) y(s + 2) 2y(s + 1) + 10y(s) = 2 s sin s, y(1) = y(2) = 0. 5) y(s + 2) y(s + 1) 2y(s) = 5 3 s sin 4s, y(0) = y(1) = 0. 6) y(s + 2) + 10y(s + 1) + 26y(s) = 12 4 s 15 cos 2s, y(2) = y(3) = 0. 7) y(s + 2) 6y(s + 1) + 5y(s) = 4 6 s + 4 sin 2s, y(1) = y(2) = 0. 8) y(s + 2) 2y(s + 1) + 5y(s) = 2 5 s + 16 cos 3s, y(0) = y(1) = 0. 9) y(s + 2) 4y(s + 1) + 3y(s) = s + 4 cos 2s, y(2) = y(3) = 0. 10) y(s + 2) + 2y(s + 1) + 2y(s) = s + 10 sin 3s, y(1) = y(2) = 0. 11) y(s + 2) 7y(s + 1) + 12y(s) = 4 6 s + 3 cos 2s, y(0) = y(1) = 0. 12) y(s + 2) 4y(s + 1) + 8y(s) = 12 cos 7s 2 4 s, y(2) = y(3) = 0. 13) y(s + 2) + 4y(s + 1) + 3y(s) = 27 7 s + 4 cos 2s, y(1) = y(2) = 0. 14) y(s + 2) 6y(s + 1) + 25y(s) = 4 9 s + 5 sin 3s, y(0) = y(1) = 0. 18

19 15) y(s + 2) + y(s + 1) 42y(s) = 20 4 s + 8 sin s, y(2) = y(3) = 0. 16) y(s + 2) 6y(s + 1) + 58y(s) = 78 sin 3s 3 4 s, y(1) = y(2) = 0. 17) y(s + 2) 9y(s + 1) 10y(s) = 8 s + 18 sin 3s, y(0) = y(1) = 0. 18) y(s + 2) 18y(s + 1) + 85y(s) = 4 cos 7s 2 8 s, y(2) = y(3) = 0. 19) y(s + 2) + 3y(s + 1) 18y(s) = s + 28 cos 2s, y(1) = y(2) = 0. 20) y(s + 2) + 3y(s) = 36 7 s 5 cos s, y(0) = y(1) = 0. 21) y(s + 2) + 13y(s + 1) + 22y(s) = 24 3 s + 27 cos 10s, y(2) = y(3) = 0. 22) y(s + 2) 12y(s + 1) + 37y(s) = cos s 2 4 s, y(1) = y(2) = 0. 23) y(s + 2) + 14y(s + 1) + 48y(s) = 17 7 s 40 sin 3s, y(0) = y(1) = 0. 24) y(s + 2) + 12y(s + 1) + 122y(s) = 96 2 s + 8 sin 2s, y(2) = y(3) = 0. 25) y(s + 2) 14y(s + 1) + 45y(s) = 5 cos 2s 18 4 s, y(1) = y(2) = 0. 26) y(s + 2) 6y(s + 1) + 20y(s) = 4 8 s 42 cos s, y(0) = y(1) = 0. 27) y(s + 2) 6y(s + 1) + 2y(s) = 4 5 s + 6 sin s, y(2) = y(3) = 0. 28) y(s + 2) 18y(s + 1) + 82y(s) = 6 sin s 15 4 s, y(1) = y(2) = 0. 29) y(s + 2) + 14y(s + 1) + 42y(s) = 91 3 s 2 sin 2s, y(0) = y(1) = 0. 30) y(s + 2) 8y(s + 1) + 19y(s) = 4 sin 4s 21 2 s, y(2) = y(3) = 0. Задача 7. Построить линейное однородное разностное уравнение (минимально возможного порядка) с постоянными вещественными коэффициентами, имеющее указанные частные решения. 1) ( 5) s, 7 s, 5 s, 4 s sin 7πs. 4 2) 3 s, s4 s, 2 s cos πs, 3 2s sin πs. 3 3) 6 s, 2 s cos πs, 3 s2s sin πs. 3 4) 2 s, ( 7) s, ( 6) s, 6 s cos πs. 3 5) ( 1) s 4 s, s4 s, 6 s cos 11πs, 6 6s sin 11πs. 6 6) 5 s, 2 s cos 11πs, 6 2s sin 11πs, 6 s2s cos 11πs, 6 s2s sin 11πs. 6 7) ( 5) s, 6 s, 3 s, 4 s cos πs, 4 4s sin πs. 4 8) 2 s, 4 s, s4 s, 2 s cos πs, 4 2s sin πs. 4 9) ( 1) s, (s + 1)10 s cos πs. 4 10) ( 3) s, 6 s, ( 4) s, 4 s cos 5πs. 3 11) 7 s, (2s 5)3 s, 4 s cos πs, 3 4s sin πs. 3 12) 5 3 s, (10s + 1) 12 s cos 5πs, 3 s12s sin 5πs. 3 13) 2 4 s, 3 5 s, 4 3 s, 6 s sin 11πs. 6 14) ( 1) s, 3 s, (cos 5s3 s, 4 6 s cos πs + 3 ) 6s sin πs. 3 15) ( 1) s, 10 s πs πs + 5s sin ) ( 7) s, 4 s s, 2 s cos πs 3 2s sin πs. 3 17) 3 s 2 s s2 s, 2 s cos πs. 6 18) 8 s, (1 2s)2 s sin πs. 4 19) 3 s+1, 2 s+2 + ( 1) s, 4 s cos πs, 6 4s sin πs. 6 20) ( 3) s, 5 s, s5 s, 12 s cos 11π(s+1). 6 21) 2 s, s10 s cos π(s+1) + 10 s sin π(s 1) ) ( 3) s, 2 s, ( 1) s, 6 s cos πs 4, 6s sin πs 23) 5 s + s2 s, 2 s, 6 s cos π(s+5) 4, 6 s sin π(s 3) 4. 24) 3 s, 8 s+1 cos π(s 7) 4 s8 s sin π(s+11)

20 25) ( 8) s 5, 4 s + ( 2) s, 2 s sin π(s+7). 4 26) 5 s, (1 s)(1/7) 1 s, 4 s 2 cos πs s+3 sin πs. 4 27) 11 s, 4 s cos πs + 5(s 4 1)4s sin π(s 6). 4 28) ( 1) s, 6 s 3 2 s, 2 s cos πs. 6 29) ( 5) s, s2 2s 1, 4 s cos 7πs, 4 4s sin 7πs. 4 30) ( 8) s (1 ) + cos 7πs 7πs 5s sin 4 4. Задача 8. Решить линейную однородную систему 2-го порядка с постоянными коэффициентами. x(t + 1) = 2x(t) + y(t), x(t + 1) = x(t) y(t), 1) 2) y(t + 1) = 3x(t) + 4y(t). y(t + 1) = 3x(t) 4y(t). x(t + 1) = x(t) + y(t), x(t + 1) = x(t) 3y(t), 3) 4) y(t + 1) = 3x(t) 2y(t). y(t + 1) = 3x(t) + y(t). x(t + 1) = x(t) 5y(t), x(t + 1) = x(t) + 2y(t), 5) 6) y(t + 1) = x(t) + y(t). y(t + 1) = 2x(t) + y(t). x(t + 1) = 2x(t) + y(t), x(t + 1) = 3x(t) + 2y(t), 7) 8) y(t + 1) = 3x(t) + 2y(t). y(t + 1) = 4x(t) y(t). x(t + 1) = 5x(t) + 3y(t), x(t + 1) = x(t) + 3y(t), 9) 10) y(t + 1) = 3x(t) + 5y(t). y(t + 1) = x(t) + 2y(t). x(t + 1) = x(t) 3y(t), x(t + 1) = x(t) + 3y(t), 11) 12) y(t + 1) = 2x(t) + y(t). y(t + 1) = 3x(t) + y(t). x(t + 1) = 2x(t) + 2y(t), x(t + 1) = 4x(t) + 2y(t), 13) 14) y(t + 1) = 3x(t) + 2y(t). y(t + 1) = 3x(t) y(t). x(t + 1) = 5x(t) + 3y(t), x(t + 1) = x(t) 3y(t), 15) 16) y(t + 1) = 3x(t) + 3y(t). y(t + 1) = 2x(t) + y(t). x(t + 1) = x(t) 3y(t), x(t + 1) = 2x(t) 6y(t), 17) 18) y(t + 1) = 3x(t) + 2y(t). y(t + 1) = x(t) + 6y(t). x(t + 1) = 3x(t) + 6y(t), x(t + 1) = 3x(t) + 6y(t), 19) 20) y(t + 1) = 5x(t) 2y(t). y(t + 1) = 2x(t) 2y(t). x(t + 1) = 2x(t) + 6y(t), x(t + 1) = 3x(t) 2y(t), 21) 22) y(t + 1) = 2x(t) + 6y(t). y(t + 1) = 4x(t) y(t). x(t + 1) = x(t) + 4y(t), x(t + 1) = 3x(t) 6y(t), 23) 24) y(t + 1) = 4x(t) + y(t). y(t + 1) = x(t) + 3y(t). x(t + 1) = 5x(t) 6y(t), x(t + 1) = 3x(t) + 2y(t), 25) 26) y(t + 1) = 4x(t) + 6y(t). y(t + 1) = 2x(t) 3y(t). x(t + 1) = 2x(t) + 3y(t), x(t + 1) = 5x(t) + 2y(t), 27) 28) y(t + 1) = 3x(t) + 2y(t). y(t + 1) = 2x(t) + y(t). x(t + 1) = x(t) 3y(t), x(t + 1) = 3x(t) 2y(t), 29) 30) y(t + 1) = 2x(t) + y(t). y(t + 1) = 4x(t) y(t). Задача 9. Решить линейную неоднородную систему второго порядка методом сведения к уравнению. x(s + 1) = 3x(s) 2y(s) + cos s + s, 1) y(s + 1) = x(s) + 6y(s) + 2 s. 20

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1)

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1) Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Т.А. Чуракова Задачи по квантовой механике Учебное пособие для вузов Часть 3-е издание Воронеж 008 Утверждено научно-методическим советом

Подробнее

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными Цель работы Часто на практике необходимо исследовать, как изменение одной переменной величины X влияет на другую величину Y Например, как количество цемента X влияет на прочность бетона Y Такое влияние

Подробнее

ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Теперь, когда все виды простейших деформаций бруса рассмотрены, можно было бы обратиться к исследованию усилий и перемещений в системах

Подробнее

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ В. А. Шарафутдинов Как отмечалось в начале первой главы, на топологическом пространстве возможно рассмотрение непрерывных функций и других понятий, связанных с непрерывностью. В Анализе, наряду с непрерывностью, изучаются производные, дифференциалы и другие понятия, связанные с дифференцируемостью. Гладкое многообразие естественный объект, на котором можно определить подобные понятия. 1. Определение гладкого многообразия Сначала введем вспомогательное понятие топологического многообразия (Предупреждение: не путать его с понятием гладкого многообразия). Топологическое пространство M называется топологическим многообразием размерности n, если (1) M локально гомеоморфно пространству R n, т.е. у каждой точки пространства M имеется окрестность, гомеоморфная некоторому открытому множеству в R n ; (2) M хаусдорфово; (3) M удовлетворяет второй аксиоме счетности, т.е. имеет счетную базу топологии. Дифференцируемая структура на топологическом многообразии вводится путем цепочки определений, вводимых в нескольких следующих абзацах. Пусть M топологическое многообразие размерности n. Картой на M называется пара (U, ϕ), где U открытое множество в M и ϕ : U V R n гомеоморфизм на некоторое открытое множество из R n. Пусть 0 r целое число. Две карты (U 1, ϕ 1 ) и (U 2, ϕ 2 ) на топологическом многообразии M называются C r -согласованными, если ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (U 1 U 2 ) ϕ 2 (U 1 U 2 ) (1.1) отображение класса C r, т.е. все частные производные порядка r этого отображения существуют и непрерывны. Отметим, что ϕ i (U 1 U 2 ) (i = 1, 2) открытые множества в R n (см. Рисунок 1), так что определено понятие частных производных для отображения между этими множествами. При r = требуется существование и непрерывность всех частных производных. Семейство карт A = {(U α, ϕ α )} α A на топологическом многообразии M называется C r -атласом, если M = α A U α и любые две карты этого семейства C r -согласованы. Два C r -атласа A и A на M называются эквивалентными, если A A тоже C r -атлас. Как легко видеть, это эквивалентно требованию: любая карта из A C r - согласована с любой картой из A. Теперь, наконец, мы можем привести основное Определение 1.1. Дифференцируемой структурой D класса C r на топологическом многообразии M называется класс эквивалентности C r -атласов. Топологическое многообразие вместе с зафиксированной на нем дифференцируемой структурой класса C r называется дифференцируемым многообразием класса C r (или короче C r - многообразием). Дифференцируемое многообразие обозначается (M, D) или просто M, если из контекста ясно, о какой дифференцируемой структуре идет речь. Date: октябрь 2012, Кольцово. 1

Подробнее

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения Д. В. АНОСОВ Отображения окружности, векторные поля и их применения МЦНМО Москва 2003 УДК 515.12 ББК 22.152 А69 Аносов Д. В. А69 Отображения окружности, векторные поля и их применения. М.: МЦНМО, 2003.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Учебное пособие Рекомендовано

Подробнее

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ И ИННОВАЦИОННЫЙ КОМПЛЕКС "НОВЫЕ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И НАНОТЕХ- НОЛОГИИ"

Подробнее

Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009

Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009 Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009 Утверждено научно-методическим советом физического факультета

Подробнее

АКАДЕМИЯ НАУК СССР Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований. А. П. Афанасьев, В. В. Дикусар, А. А. Милютин С. А.

АКАДЕМИЯ НАУК СССР Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований. А. П. Афанасьев, В. В. Дикусар, А. А. Милютин С. А. АКАДЕМИЯ НАУК СССР Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований А. П. Афанасьев, В. В. Дикусар, А. А. Милютин С. А. Чуканов НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ в оптимальном управлении Ответственный

Подробнее

Функции Уолша и их приложения

Функции Уолша и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Применение генетических алгоритмов к решению задач дискретной оптимизации

Применение генетических алгоритмов к решению задач дискретной оптимизации Федеральное агентство по образованию Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный проект «Образование» Инновационная образовательная программа ННГУ. Образовательно-научный

Подробнее

Глава 4. Задача коммивояжера

Глава 4. Задача коммивояжера Глава 4. Задача коммивояжера В задаче коммивояжера рассматривается городов и матрица попарных расстояний между ними. Требуется найти такой порядок посещения городов, чтобы суммарное пройденное расстояние

Подробнее

Д. В. Аносов. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем

Д. В. Аносов. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем Москва Издательство МЦНМО 2008 УДК 22.161.6 ББК 517.91 А69 А69 Аносов Д. В. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем М.: МЦНМО, 2008.

Подробнее

Сеточные методы решения краевых задач математической физики

Сеточные методы решения краевых задач математической физики Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ М.Э.Рояк Ю.Г.Соловейчик Э.П.Шурина Сеточные методы решения краевых задач математической

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

Ветвящиеся процессы и их применения

Ветвящиеся процессы и их применения Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 8 Издание выходит с 26 года В. А. Ватутин Ветвящиеся процессы и их применения Москва 28 УДК 519.218.23 ББК

Подробнее

Представления групп и их применение в физике Функции Грина

Представления групп и их применение в физике Функции Грина Представления групп и их применение в физике Функции Грина Д.А.Шапиро кафедра теоретической физики НГУ Конспект лекций по математическим методам физики Часть II 21 января 2004 г. Оглавление 1 Симметрии

Подробнее

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II. Управление при случайных возмущениях. Оптимальные линейные системы. К.Ю.

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II. Управление при случайных возмущениях. Оптимальные линейные системы. К.Ю. ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II Управление при случайных возмущениях Оптимальные линейные системы КЮ Поляков Санкт-Петербург 9 КЮ Поляков, 9 «В ВУЗе нужно излагать материал на

Подробнее

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Подробнее

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÝÐÎÊÎÑÌÈ ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß

Подробнее

Принятие решений при многих критериях

Принятие решений при многих критериях ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ- ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ В.Д. Ногин Принятие решений при многих критериях Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2007 УДК 658.012.41 В.Д. Ногин.

Подробнее

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА В. А. Шарафутдинов В этой главе, если не оговорено противное, многообразие означает многообразие без края. Марстон Морс первый обратил внимание на важные связи между топологией

Подробнее

Впредыдущих главах мы рассматривали методы решения обыкновенных дифференциальных

Впредыдущих главах мы рассматривали методы решения обыкновенных дифференциальных 4 Введение в системы дифференциальных уравнений Г Л А В А 4.1. Системы первого порядка и их приложения Впредыдущих главах мы рассматривали методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с одной

Подробнее

1 Общий обзор теории алгоритмов

1 Общий обзор теории алгоритмов 1 Общий обзор теории алгоритмов Уже на самых ранних этапах развития математики (Древний Египет, Вавилон, Греция) в ней стали возникать различные вычислительные процессы чисто механического характера; с

Подробнее

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы)

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы) Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет К. К. Васильев ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы) -е издание Рекомендовано Учебно-методическим

Подробнее