1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1"

Транскрипт

1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x - абсцисса, OB y - ордината точки M x, y, то есть каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и наоборот Теорема Для любых двух точек M1 x1 y1 и M x y плоскости расстояние d между ними определяется формулой: 1 Площадь треугольника 1 1 d x x y y ( Теорема Для любых точек треугольника АВС выражается формулой (): A x y, B x y, C x y, не лежащих на одной прямой (рис), площадь Пример Известна площадь треугольника ABC, заданного вершинами A(,, B(,), C(4, y) : S ABC 15 Найти значение неизвестной координаты y Решение Составим определитель, используя формулу вычисления площади треугольника (8): ABC Ответ: y1 10, y 5 S Рис 1 S x x y y x x y y y 5, y1 10, y 5 13 Деление отрезка в данном отношении Пусть на плоскости задан произвольный отрезок M и любая точка принадлежащая 1 x1 y1, M x y M отрезку MM 1 MM 1 Пусть отношение В отношении точка делит отрезок (рис MM M MM 1 1 x x y y S x x y y ( y 6 4 y1 6 y1, ()

2 Рис 3 Теорема Если точка M делит отрезок MM 1 в отношении, то координаты этой точки определяются по формулам: x 1 x 1 x y y, 1 1 ( где M1 x1 y1, M x y Следствие: если M - середина 1, 1, то x 1 x 1 x y y ( Пример Пусть точка C(, 1 делит отрезок AB в отношении Найти координаты точки B, если A(1, ) Решение Подставим известные координаты точек C (, и A(1, ) в формулы (: 1 0,5 x 1 0,5 x B 0,5y, y B 3 1 0,5 x (1,5 4, y (31,5 ) 5 B Ответ: B(4, 14 Полярные координаты Полярная система координат состоит из некоторой точки O, называемой полюсом, и исходящего из нее луча OP, называемой полярной осью (рис Задается масштаб для измерения длин отрезков B Рис 4 Любая точка M в полярной системе характеризуется расстоянием OM ( - полярный радиус, 0 ) и углом поворота луча OM от оси OP ( - полярный угол, 0 ) Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, отрицательные по часовой стрелке 15 Связь декартовых и полярных координат осью Пусть начало прямоугольной системы совпадает с полярным полюсом, ось OP (рис X совпадает с полярной

3 Рис 5 Тогда для точки справедливо равенство: M x, y M, Из треугольника получим уравнения связи координат: M x cos y sin y x y tg x 16 Преобразования прямоугольных координат На плоскости обычно исследуется следующие преобразования прямоугольных координат: параллельный перенос и поворот осей координат а) При параллельном переносе осей координат изменяется положение начала координат, направление осей координат не меняется Рассмотрим переход системы координат (старая) в систему X OY (новая) (рис 6) XOY Пусть точки O и точка M в старой системе имеет координаты O ( a, b ) 1, M ( x, y) В новой системе 1 X1OY точка M 1 1 имеет координаты: M( x1, y Тогда формулы перехода: ( (6) от «старых» координат в «новые» имеют вид : ) от «новых» координат к «старым»: Рис 6 x1 x a, y1 y b x x1 a, y y1 b б) При повороте осей координат начало системы координат не меняется, а оси поворачиваются на один и тот же угол Пусть система координат повернута относительно начала координат на угол Рассмотрим переход системы координат XOY в систему координат X OY Точка M ( x, y) в системе XOY перейдет в точку M( x, y) в системе X OY(рис 7) (7) (8) Тогда формулы перехода от «старых» координат в «новые» имеют вид: ) от «новых» координат к «старым»: Рис 7 x xcosy sin, y ycosx sin x x y cos sin, y y x cos sin Пример Определить координаты точки M (3, в новой системе координат O1 X1Y1, если начало O1 находится в точке N(,, а оси новой системы координат параллельны осям старой системы координат (9) (10)

4 Решение: используем формулы (7): x 3 5, y 51 4 Ответ: точка в новой системе координат Рассмотрим следующую задачу: отрезок OM, где точка M ( x, y), повернут на угол 60 0 Найти координаты точки M( x, y) в новой системе координат Решение: используем формулы (9): Ответ: 17 Упражнения 1 Охарактеризовать на числовой прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: x ) x 3 0 x x 3 x 9 0 6) x 5x 6 0 7) 1 x 0 8) 3x 5 0 9) x 3 M (5, x 3 x x y x y y 0 0 cos sin cos 60 sin 60, y 3 y y x y x x M, в новой системе координат x y x y 0 0 cos sin cos 60 sin 60 10) x 8x x 8x ) x x 0 К каждому случаю сделать рисунок Охарактеризовать на числовой прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: x 1 ) x x x 3 x 5x 6 x 5x 6 6) x 1 3 Определить, в каких четвертях может быть расположена точка M ( x, y), если x y 0 ) x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 6) x y 0 7) x y 0 8) x y 0 4 Даны точки А(0 0), В(3, С( 3, D( ), Е(10, Определить расстояние d между точками: А и В ) В и С А и С С и D А и D 6) D и Е 5 Вычислить площадь треугольника, вершинами которого являются точки А(, В(3 ), С( ) M 1( 3 ), M ( 5 ), M 3( 1, M ( 3, N (, P ( 4 6 Точка M является серединой отрезка OA, соединяющего начало координат O с точкой А( 5 ) Найти координаты точки M 7 Построить А(4, В(3, С( 1, D(0 0) Если точки построены правильно, то получен квадрат Какова его площадь? Найти координаты середины сторон квадрата 8 Площадь треугольника равна 10 кв ед, две его вершины есть точки А(5 и В( ) Найти координаты третьей вершины, если известно, что она лежит на оси абсцисс 9 Определить середины сторон треугольника с вершинами А(, В(4 и С( 10 Найти площадь четырехугольника с вершинами в точках A ( 3, B ( 4 6), C ( 6, D ( 5 ) 11 Точки A (, B( и C ( 4 середины сторон треугольника Найти координаты его вершин 1 Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму треугольника с вершинами A (, B( 0 и C ( 4 ) 13 Площадь треугольника равна 3 кв ед, две его вершины есть точки А(3 и В(1 Найти координаты третьей вершины, если известно, что она лежит на оси ординат 14 Вершины треугольника точки А(3 6), В( 1 и С( Найти длину его высоты, проведенной из вершины С 15 Три вершины параллелограмма точки А(3 7), В( и С( 1 Найти длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС 16Отрезок ограниченный точками A ( 1 и B ( 4, разделен на три равные части Определить координаты точек деления 17 Определить координаты концов отрезка A и B, который точками P ( ) и Q ( 1 разделен на три равные части

5 18 Прямая проходит через точки M( и N ( 6 Найти на этой прямой точку, ордината которой равна 5 19 Прямая проходит через точки M1( 7 и M ( 3 6) Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс 0 Центр масс однородного стержня находится в точке M ( 1 Один из его концов в точке P ( ) Определить координаты точки Q другого конца этого стержня 1 Построить точки, заданные полярными координатами: A ( / ) B ( 3 / C ( 3 3 / D ( 4 0) F ( 3 / ) P ( 3 ) Найти полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам A ( 3 / B ( 4 / 3 Найти полярные координаты точек, симметричных относительно полюса точкам A ( 1 / B ( 5 / 4 Даны точки в прямоугольной системе координат M 1( 0, M ( 3 0), M 3 ( 3 Найти их полярные координаты 5 Даны точки в полярной системе координат A ( 3 / 6) и B ( 5 / Найти расстояние d между ними 6 Написать в полярных координатах уравнения линий: x y 16 ) y x x y 3 x y5 7 Записать уравнение в полярных координатах cos в прямоугольных координатах, определить ее вид и построить кривую 18 Домашняя работа 19 Контрольная работа 1 1 Построить в прямоугольной системе координат точки, заданные в полярной системе координат: 5 A50 B C 3 D Определить середины сторон треугольника с вершинами A 1, B 43, C 1 3 Вычислить площадь треугольника, заданного вершинами 4 Даны точки A 1, B 66 На оси OX определить точку C так, чтобы площадь треугольника ABC была равна 10 Уравнение линии на плоскости 1 Определение линии A 75, B 3 6, C 4 1 Пусть на плоскости XOY задана прямоугольная система координат и некоторая линия (кривая) L Уравнением линии L на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой другой, не лежащей на этой линии: F( x, y) 0 то есть линия это множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению (1 Уравнение линии можно задать: 1 в прямоугольной системе координат: y f ( x) (1), (1 x () t в параметрической форме:, где t - параметр y () t (1 3 в полярной системе координат: ( ) (1 Линия называется линией n - ого порядка, если она определяется уравнением n -ой степени относительно текущих прямоугольных координат Линия первого порядка называется прямой

6 Углом наклона прямой к оси OX называется наименьший неотрицательный угол, на который следует повернуть ось OX, чтобы ее положительное направление совпадало с одним из направлений прямой Уравнение прямой на плоскости Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть задана прямая под углом к оси OX (рис 8) Тангенс угла наклона прямой к оси ОХ называется угловым коэффициентом прямой Рассмотрим треугольник BMN : Найдем отношение сторон из треугольника BNM : MN y b tg, k, y b kx, y kx b BN x (1 Рис 8 Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: y kx b (16) Если k 0, y b, то прямая параллельна оси OX, если b 0, y kx,, то прямая проходит через начало координат, если x a, прямая параллельна оси OY ) Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку Пусть задана точка M x, y, принадлежащая прямой y kx b Подставим координаты точки в уравнение: y1 kx1b Выразим свободный член b y1kx 1 Тогда уравнение примет вид: Уравнение прямой, проходящее через две точки Пусть заданы две точки и M x y, принадлежащие прямой L Следовательно, их y y1 координаты удовлетворяют уравнению прямой (17): y y1 k( x x1 ) Выразим коэффициент k x x1 Уравнение прямой будет иметь вид: x x1 y y1 x x1 y y1 (18) Уравнение прямой в отрезках Пусть задана прямая, отсекающая на осях OX и OY отрезки a и Точки 0 и B 0 b принадлежат прямой, заданной уравнением (18) (рис9) 1 1 M x y y y k( x x ) 1 1 (17) b Aa

7 Рис9 Подставим координаты точек в уравнение прямой, получим уравнение прямой в отрезках: Каноническое уравнение прямой Рассмотрим уравнение прямой, проходящей через две точки (18) Введем вектор принадлежащий прямой: Этот вектор или ему параллельный называют направляющим вектором прямой Тогда уравнение прямой примет вид: Это уравнение называется каноническим уравнением прямой 6) Параметрическое уравнение прямой Приравняем уравнение прямой ( к параметру параметрических уравнений прямой: x y 1 a b a M M x x y y m n x x y y m n 1 1 t Получим пару x mt x1 y nt y1 7) Общее уравнение прямой В прямоугольной системе координат любая прямая задается уравнением первой степени: Ax By C 0, ( где A, B, C произвольные числа, причем AB, одновременно не равны нулю Угловой коэффициент прямой имеет вид: A k ( B При отсутсивии какого-либо коэффициента в уравнении прямой получаются неполные уравнения прямой: C 0, Ax By 0 - прямая, проходящая через начало координат ) B 0, A 0, C 0, Ax C 0 прямая, параллельная оси OY B 0, A 0, C 0, By C 0 прямая, параллельная оси OX B 0, A 0, C 0, Ax 0, x 0 ось OY B 0, A 0, C 0, By 0, y 0 ось OX 8) Нормальное уравнение прямой Пусть задана некоторая прямая L Через начало координат проведем перпендикуляр ON к прямой L Этот перпендикуляр называется нормалью к прямой и обозначается N ( n - единичный вектор нормали) Пусть нормаль N с осью OX образует угол ( 0 ) Введем параметр p : ON p Рассмотрим точку M( x, y) M(, ) L, совмещая прямоугольную и полярную системы координат ( x cos, y sin, рис 10) (19) MM, 1 (0) ( ()

8 Из ONM получим: Рис 10 p cos( NOM ) cos( ) cos cos sin sin p xcosy sin В результате получим нормальное уравнение прямой xcos ysin p 0 ( 3 Расстояние между точкой и прямой L Пусть задана прямая и точка M ( x, y ) L Зададим прямую в виде нормального уравнения ( Проведем через точку M0( x0, y0 ) прямую L, параллельную заданной прямой L 0 Пусть точки N и N0 лежат по одну сторону от начала координат (рис 1 Рис 11 Векторы ON и ON0 коллинеарные Пусть ON0 p0 Оценим расстояние между прямыми: Формула (6) позволяет вычислить расстояние от точки до прямой Если уравнение прямой задано общим уравнением (, то его можно перевести в нормальное уравнение прямой, введя нормирующий множитель: Знак множителя определяется так: а) если C 0, то - положительный б) если C 0, то - отрицательный Нормальное уравнение прямой можно записать в виде: а расстояние между точкой и прямой можно вычислить по формуле: d p p x cos y sin p Пример Найти расстояние от точки M (4, до прямой 3x 4y10 0 Решение: d 4 3 A 1 B ( A x B y C) 0, d Ax0 By0 C A B (6) (7) (8) (9)

9 4 Взаимное расположение прямых на плоскости Пусть прямые заданы уравнениями в общем виде: Возможны следующие взаимные положения прямых: прямые пересекаются: а) точкой пересечения прямых является общее решение системы двух уравнений: при условии, что главный определитель системы не равен нулю: (30) A1 B1 0 или соблюдается условие (3 A B A B 1 1 A B б) угол φ между прямыми можно найти, если известны угловые коэффициенты прямых: Тогда угол можно найти по формуле: в) условие перпендикулярных прямых: A x B y C 0, A x B y C A A k k k tg, k tg, B1 B tg tg1 tg tg 1, tg 1 tg tg ) прямые параллельные: пусть система уравнений (30) не имеет решения, те A1 x B1 y C1 0, A x B y C 0, 1 k k tg 1 kk 1 1 kk 1 1 (3) (3 A1 B1 0 или соблюдается условие (3 A B A B C A B C можно условие параллельности записать, используя равенство нулю угла между прямыми: прямые совпадают при соблюдении условия: 0 k k 1 A B C A B C (3 (36) 5 Упражнения 1 Определить, какие из точек M 1( 3, M (, M 3( 6, M 4( 3, M 5( 3, M 6(, лежат на прямой x 3y 3 0, а какие не лежат на ней Точки P 1, P, P 3, P 4, P 5 расположены на прямой 3x y 6 0 их абсциссы соответственно равны числам 4, 0,,, 6 Определить ординаты этих точек 3 Точки Q 1, Q, Q 3, Q 4, Q 5 расположены на прямой x 3y 0 их ординаты соответственно равны числам 1, 0,, 1, 3 Определить абсциссы этих точек 4 Определить угловой коэффициент и указать величину отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу в каждом случае: 5x y 3 0 ) x 3y 6 0 5x 3y 0 3x y 0 y Зная параметры k и b, в каждом из указанных случаев, составить уравнение прямой: k / 3, b 3 ) k 3, b 0 k 0, b k 3/ 4, b 3 k, b 5 6) k 1 / 3, b / 3

10 6 Определить точки пересечения прямой 3x y 1 0 с координатными осями 7 Найти точку пересечения двух прямых 3x 4y 9 0 и x 5y Дана прямая x 3y 4 0 Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0( : параллельно данной прямой ) перпендикулярной к данной прямой 9 Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника M 1( 5, ( 1 M3( 3 ) параллельно противоположным сторонам 10 Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через точки: M 1(, M ( 3 ) ) M 3( 3, M 4 ( 7 8) M 5( 5, M 6( 1 6) 11 Определить угол между двумя прямыми: 5x y 7 0, 3x y 0 ) 3x y 7, x 3y 3 0 x y 4 0, x 4y 3 0 3x y 1 0, 5x y Дана прямая x 3y 4 0 Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0( под углом 45 к данной прямой 13 Дана прямая 5x 3y 3 0 Определить угловой коэффициент k прямой: параллельной данной прямой ) перпендикулярной к данной прямой 14 Составить уравнения высот треугольника с вершинами M 1(, M ( 1, M 3( 3 ) 15 Найти проекцию точки P ( 3 на прямую, проходящую через точки A ( и B ( Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой 3x 4y 1 0 от координатного угла 17 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M 1( 3 7) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат) 18 Определить, при каких значениях m и n две прямые mx 8y n 0, x my 1 0 : параллельны ) совпадают перпендикулярны? 19 Вычислить расстояние d между двумя параллельными прямыми: 3x 4y 10 0, 6x 8y 5 0 ) 5x 1y 6 0, 5x 1y x 3y 15 0, 8x 6y 5 0 4x 10y 39 0, 1x 5y Две стороны квадрата лежат на прямых 5x 1y 65 0, 5x 1y 6 0 Вычислить его площадь 1 Точка A является вершиной треугольника Составить уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону x y 7 0 Вычислить её длину Дан треугольник с вершинами A ( 3, B ( 3 и C ( 5 1) Найти уравнение и вычислить длину его медианы, проведенной из вершины С 3 Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок b 3 и образующей с осью Ox угол: 45 ) 135 Построить эти прямые 4 уравнения прямых: 3x y 6, ) 5x y 4 0 привести к виду в «отрезках на осях» 5 Написать уравнение прямой, проходящей через точку A ( 4, и отсекающей от координатного угла треугольник площадью равной 3 кв ед 6 Написать и построить уравнение прямой, проходящей через точку A(, и составляющей с осью Ox угол: 45 ) , 0 7 Найти точку пересечения прямых 3x 4y 9 0 и x 5y Написать уравнения прямой, если точка A(, служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую 9 Написать уравнение прямой, параллельной оси Oy и отсекающей на оси Ox отрезок, равный : 4 ) Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки A ( 6, ) на прямую x 4y Домашняя работа Даны точки A 1( x1, y, A ( x, y), A 3( x3, y, A 4( x4, y

11 1 Составить уравнения прямых A 1 A, A A 3, A 3 A 4, A 4 A 1 и записать их: в «отрезках на осях» указать отрезки, отсекаемые прямой от координатных осей ) с угловым коэффициентом указать угловой коэффициент каждой из прямых как уравнение прямой, проходящей через две точки указать направляющий вектор, лежащий на каждой из прямых Изобразить область, ограниченную данными прямыми, и указанной четвертью Описать область с помощью системы неравенств 3 Написать уравнение прямой, проходящей через точку A 1( x1, y, перпендикулярно прямой A A 4 4 Написать уравнение прямой, проходящей через точку A 4( x4, y, параллельно прямой A 1 A 3 5 Найти уравнение и величину перпендикуляра, опущенного из начала координат на указанную прямую Сделать чертеж Варианты заданий 1 1( 3, ) A (, A 3( 3, ), A 4(, ), x 0, y 0 A 3 A 1(, ), A (,, 3( 1, A 4 ( 4,, x 0, y 0 3 A 4 3 A 1(, ), A ( 4,, A 3( 1,, 4( 1, 0) A 3 4 A 1( 4, ), A (,, 3( 1, 4 ( A 3 5 A 1( 5, ), A (, ), 3( 1, 6) 4 ( 3 A 4 6 A 1(, ), A ( 7,, A 3( 4, 6), 4(, A 3 7 A 1( 1, ), A ( 1,, A 3( 1,, 4( 3, ) 3 A 4 8 A 1( 4,, A ( 3,, 3( 1, A 4 (, x 0, y 0 1 A 9 A 1( 4,, A ( 6,, A 3(,, 4( 1, A ( 1, A (, A 3( 7,, A 4( 4,, x 0, y 0 A 3 11 A 1( 1,, ( 5, 3 ( 6) A 4 (, x 0, y 0 A 3 1 A 1( 3, ), A ( 8,, A 3(,, A 4( 6,, x 0, y 0 A 4 13 A 1( 7,, A ( 7,, 3(, A 4 (, x 0, y 0 3 A 4 14 A 1( 3, ), A (,, 3( 1, A 4 (, x 0, y 0 1 A 15 A 1( 3,, ( 10, 3 ( 7) A 4 (, x 0, y 0 A 4 16 A 1( 5, ), A ( 7,, A 3( 5, 6), 4(, ) A ( 3, ) A ( 8,, A 3( 1, 9), A 4( 1,, x 0, y 0 A 3 18 A 1( 6,, A ( 5,, A 3(, ), A 4( 4, 6), x 0, y 0 1 A 4 19 A 1(, ), A ( 1,, 3( 4, 6) 4 ( ) 3 A 4 0 1( 3, ) A ( 6, ), A 3( 1, 6), A 4( 1,, x 0, y 0 A 3 1 A 1( 3, ), A ( 8, ), A 3( 1, 6), A 4( 1,, x 0, y 0 A 3 A 1(, ), ( 3, 6) 3 ( A 4 (,, x 0, y 0 A 3 3 A 1( 6, ), A ( 6, 7), A 3( 1, 7), 4( 1, 1 A 4 4 A 1( 4,, A ( 7,, A 3( 6, 6), 4( 1, 1 A 4 5 A 1( 5, 7), (, A 3 ( ), A 4( 5, 0), x 0, y 0 A 3 6 A 1( 1,, ( 4, ) A 3 ( 6,, A 4(,, x 0, y 0 3 A 4 7 A 1( 1,, ( 9, ) 3 ( A 4 ( ), x 0, y 0 A 3 8 A 1( 1,, ( 3, 7) 3 ( ) A 4 ( 1,, x 0, y 0 A 3 9 A 1( 3, 0), A ( 1,, A 3( 1,, A 4( 4,, x 0, y 0 A (, A ( 6), A 3( 6,, A 4( 5, ), x 0, y 0 A 3 7 Контрольная работа Выполнить контрольное домашнее задание, заменив параметры N номер студента в журнале, D число дня рождения студента, M число месяца рождения студента Вершины треугольника находятся в точках A ( M, N), B ( D, N), C( M 1, D) Найти: уравнение прямой BC и ее угловой коэффициент ) расстояние от точки B, до прямой AC уравнение высоты AH и ее длину

12 координаты точки Q пересечения высоты AH и медианы BK угол между медианой BK и высотой AH 6) уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника, параллельно противоположным сторонам 7) описать треугольник ABC с помощью системы неравенств 8) вычислить площадь треугольника ABC 9) найти уравнение и величину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую AB 10) сделать чертеж

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0.

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0. Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ( 4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки ( ) 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Содержание раздела «Аналитическая геометрия» Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом общее

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 МОДУЛЬ МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Практическое занятие 6-7 Тема: Преобразование координат Полярные координаты Расстояние между точками Деление отрезка в данном отношении Метод координат План Преобразование

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Задача. Дан треугольник ABC с вершинами A(m ; n ), B(m; -n) и C(-m; n). Найти: a) величину угла A; b) координаты точек пересечения меридиан; c) координаты

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx Тема. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость... Лекция. Геометрические образы. Способы задания линий... Геометрические образы уравнений и неравенств... Определение геометрического образа при помощи

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой

1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой . Ось и отрезки оси. Координаты на прямой Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками А и В, называется направленным, если сказано,

Подробнее

1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой

1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой . Ось и отрезки оси. Координаты на прямой Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками А и В, называется направленным, если сказано,

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

Рене Дека рт французский математик ( )

Рене Дека рт французский математик ( ) ЛЕКЦИЯ 5. Координатная ось. Прямоугольная система координат на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. Трудно переоценить

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Координатная плоскость

Координатная плоскость Координатная плоскость 1. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке. 2. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9). 3. Найдите площадь

Подробнее

Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов

Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов СК Соболев, ВЯ Томашпольский Прямые и плоскости Методические указания к решению задач по аналитической геометрии Для всех факультетов МГТУ им НЭ Баумана Москва 0 УДК: 5+54 Рецензент: Покровский Илья Леонидович

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 0. План лекции 1. Аксиомы геометрии и роль систем координат. 2. Декартова система координат на прямой. 2.1. Ось, направленный отрезок, величина направленного отрезка

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Д.Ю. ВОЛКОВ, К. В. ГАЛУНОВА, В. В. КРАСНОЩЕКОВ МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ СБОРНИК

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В. Уравнение Пусть даны точки A( x; y ), B( x2; y 2 2 Середина отрезка: x x ; y y 2 2. Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они делятся пополам). Длина отрезка:

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Подробнее

Глава 3. Геометрические преобразования

Глава 3. Геометрические преобразования Глава 3. Геометрические преобразования Пусть дана прямоугольная система координат O на плоскости или Oz в пространстве. В теории геометрических преобразований рассматриваются две основные задачи, которые

Подробнее

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой. Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии. Определение. Уравнение вида F(x,y)=0 (1) называется уравнением линии L

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с Тест 299. Преобразование плоской фигуры. Соответствие является преобразованием фигуры M в фигуру N, если: 1. каждая точка фигуры N является образом хотя бы одной точки фигуры M. 2. каждой точке фигуры

Подробнее