Математический анализ (v2.0)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Математический анализ (v2.0)"

Транскрипт

1 Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a a n +... a n (1.1) n1 Выражение (1.1) называется числовым рядом, а числа a 1, a... a n... членами ряда (1.1). Определение. Конечная сумма n суммой ряда (1.1). a 1 + a a n называется n-ой частичной Определение. Если существует конечный предел lim n n, то его называют суммой ряда (1.1), а ряд (1.1) называется сходящимся к сумме. Если предел бесконечен или не существует,то ряд (1.1) называется расходящимся. Замечание. Так как 1 a 1 и 1 + a, то a 1, аналогично a n n n 1, а значит устанавливается однозначное соответствие {a n } { n }. Из определения суммы числового ряда вытекают свойства: 1. Если ряд a n сходится к сумме, то ряд A + a 1 + a + a a n +... сходится i1 к сумме A +. Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм нового ряда: Σ n+1 A + a 1 + a a n так как n n. {a 1 + a a n n } A + n n A +. Если ряд a n сходится к, то ряд α a n сходится к α, где α R n1 произвольное. 1 n1

2 Доказательство. α a n α a n α n1 n1 Определение. Определение ряд (a n ± b n ) называется суммой(разностью) ря- дов a n и b n. n1 n1 n1 3. Если ряды a n и b n сходятся, то ряд (a n ± b n ) тоже сходится, причем n1 n1 выполняется следующее равенство: (a n ± b n ) a n + n1 n1 n1 Доказательство. b n n1 Σ n n (a k ± b k ) k1 n a n ± k1 n k1 n b n a n + n1 n1 b n 4. Отбрасывание конечного числа первых членов числового ряда a n не влияет на его сходимость. Доказательство. Пусть ряд a n сходится. Отбросим k первых слагаемых ряда, получим следующий ряд: n1 a k+1 + a k a k+n +... Рассмотрим последовательность его частичных сумм: n1 Σ n a k+1 + a k a k+n +... k+n k n k Критерий Коши сходимости числовых рядов. n1 Так как сходимость числового ряда a n равносильна сходимости числовых последовательностей, то применяя критерий Коши к последовательности { n } можно записать: ε > N N (ε) n N p N n+p n < ε

3 Теорема (Критерий Коши). Ряд a n сходится тогда и только тогда, когда n1 ε > N N (ε) n N p N n+p kn+1 a k < ε Доказательство. Ряд a n сходится, значит { n } сходиться, а тогда: n1 ε > N N (ε) n N p N n+p n < ε Что равносильно: ε > N N (ε) n N p N n+p kn+1 a k < ε Пример. Рассмотрим гармонический ряд: n1 1 n n +... Докажем его расходимость, то-есть выполняется следующее условие: n+p 1 ε > N n N p N k > ε Найдем ε: n+p kn+1 kn+1 1 k 1 n n n + p 1 N N N + N > 1 > N N Остаток числового ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Определение. Числовой ряд r n a n+1 + a n называется n-ым остатком числового ряда a n. Замечание. a n n + r n. n1 n1 3

4 Лемма (1). Ряд Доказательство. n1 n1 a n сходится lim n r n a n lim n n lim ( n ) lim r n n n Лемма (, Необходимый признак сходимости числового ряда). Если числовой ряд сходится, то lim n a n. Доказательство. Пусть a n, тогда n1 lim a n lim ( n n 1 ) n n a n n1 Замечание. Доказанный признак достаточный признак расходимости: если lim a n n или не существует, то ряд a n расходится. n1 1. Сходимость знакоположительных рядов. Определение. Ряд a n знакоположительный, если a n n N. n Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительных рядов. Рассматривается ряд a n, a n. Заметим что n+1 n + a n+1, значит: n+1 n1 n n N, откуда последовательность { n } не убывает. Следовательно по теореме о сходимости монотонной последовательности получим следующую теорему. Теорема (1). Знакоположительный ряд a n сходится тогда и только тогда, когда последовательность { n } ограничена сверху ( M > n N n M). n1 Замечание. Из теоремы следует что ряд a n, a n расходится тогда и только n1 тогда, когда последовательность { n } не ограничена сверху ( M > n N n M). 4

5 1.. Признаки сравнения. Теорема (, Признак сравнения). Пусть ряды a n и b n знакоположительные, если n n n a n b n то: 1. из сходимости ряда b n следует сходимость ряда a n. n1. из расходимости ряда a n следует расходимость ряда b n. n1 Доказательство. Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость, в дальнейшем будем считать a n b n n N. 1. Пусть ряд a n сходится, тогда n1 n k1 n1 a k n k1 n1 n1 n1 b k M. Тогда по теореме 1 ряд a n сходится. Так как все его частичные суммы ограничены в совокупности. n1. Пусть ряд a n расходится, тогда его частичные суммы не ограничены, значит n1 частичные суммы ряда b n тоже не ограничены. Тогда по теореме 1 ряд расходится. n1 b n n1 a n Теорема (3, Признак сходимости). Если существует конечный предел lim L > n b n то знакоположительные ряды a n и b n сходятся или расходятся одновременно. n1 n1 Доказательство. Из определения следует: a n lim L ε > N n N n b n a n L b n < ε ε < a n b n L < ε ε + L < a n b n < ε + L b n ( ε + L) <a n < b n (ε + L) (1.) Пусть сходится ряд a n тогда используя левую часть неравенства (1.) получаем n1 по признаку сравнения, что сходится ряд b n (L ε) (L ε) b n. n1 Если сходится ряд b n, то сходится и ряд b n (L ε), а тогда используя правую n1 часть неравенства (1.) получим по признаку сравнения, что сходится ряд a n. Замечание. Требование L > существенно. 5 n1 n1 n1

6 1..3 Признак Даламбера Теорема (Признак Даламбера). Если для ряда a n (1.1) существует конечный предел a n+1 lim n a n L, то: 1. при L < 1 ряд сходится. при L > 1 ряд расходится n1 3. при L 1 требуется дополнительное исследование Доказательство. Рассмотрим два случая: 1. Рассмотрим L < 1: Пусть lim n a n+1 a n L, тогда: ε > N N (ε) n N L ε < a n+1 a n Тогда верно: a n (L ε) < a n+1 < a n (L + ε) n N < L + ε Так как L < 1 то ε > такое, что < L + ε q < 1, а тогда: a N+1 < a N q a N+ < a N+1 q < a N q a N+K < a N q K, Так как числовой ряд q K сходящая геометрическая прогрессия (q < 1), то ряд a n. n1. Рассмотрим L > 1: K1 K 1, a N q K a N K1 a N+K K1 nn+1 Пусть ε >, такой что:1 < L ε q < L Так как a n q < a n+1 n N, то: a n сходится. А значит и сходится a N+1 > q a N > a N a N+ > a N q > a N a N+k > a N > N n Тогда: lim k a N+k. 6

7 1..4 Признак Коши Теорема (5, Признак Коши). Пусть для ряда (1.1) существует предел lim n n a n L, тогда: 1. При L < 1 ряд сходится. При L > 1 ряд расходится 3. При L 1 требуется дополнительное исследование. Доказательство. Рассмотрим два случая: 1. Рассмотрим L < 1: Пусть lim n n a n L, тогда: ε > N N (ε) n N L ε < n a n < L + ε Откуда: (L ε) n < a n < (L + ε) n, причем < L + ε q < 1. Так как ряд q n сходится то по признаку сравнения сходится и ряд (1.1). n1. Рассмотрим L > 1: Пусть ε >, тогда q L ε > 1, значит используя другую часть неравенства q n < a n n N и расходимость ряда a n по признаку сравнения расходимость ряда (1.1). n Интегральный признак. Теорема (6, Интегральный признак). Если функция y f (x) > непрерывна и монотонно убывает на промежутке [1, + ) и a n f (n), то ряд a n и f (x) dx сходятся и расходятся одновременно, причем выполняется неравенство: ˆ f (x) dx a n ˆ 1 n1 1 f (x) dx + a 1 Доказательство. Пусть k N x [k, k + 1] f (k + 1) f (x) f (k) Тогда a k+1 f (x) a k. Проинтегрируем неравенство по отрезку [k, k + 1], получим: n1 1 ˆ k+1 k f (k + 1) dx ˆ k+1 k f (x) dx ˆ k+1 k f (k) dx 7

8 Значит верны неравенства: А тогда: 1 3 a f (x) dx a 1 a 3 f (x) dx a a k+1 k+1 f (x) dx a k k n+1 a 1 ˆ n+1 f (x) dx n (1.3) 1 Откуда возможны случая: 1. Пусть n f (x) dx сходится к значению I, тогда f (x) dx < I. А тогда: n+1 1 f (x) dx < 1 f (x) dx I, или n+1 a 1 < I n+1 < I + a 1 n N Следовательно все суммы { n } ограничены в совокупности сверху и по теореме 1: a n сходится. n1. Если сходится ряд a n, то все суммы { n } ограничены в совокупности, следовательно ˆ F n n+1 1 n1 f (x) dx возрастает и ограничена последовательностью { n }, а значит сходится интеграл f (x) dx. 1 Замечание. В случае сходимости предельным переходом в неравенстве n и получим: a 1 ˆ 1 f (x) dx 8

9 1..6 Признак Раабе Теорема. Если для ряда ( an lim n 1 n a n+1 a n n1 ) L (a n > ) выполнено условие то при L > 1 ряд сходится, а при L < 1 ряд расходится. 1.3 Сходимость произвольных рядов Сходимость знакочередующихся рядов. Признак Лейбница. Определение. Числовой ряд вида ( 1) n+1 a n, (a n > ) (1.4) n1 называется знакочередующимся. Теорема. Если для знакочередующегося ряда (1.4) выполнены условия: 1. a n+1 < a n n N. lim n a n то ряд (1.4) сходится. Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (1.4) с четными номерами: n a 1 a + a 3 a a n 1 a n (a 1 a ) + (a 3 a 4 ) (a n 1 a n ) Получим n скобок, причем каждая скобка положительна. С другой стороны: n a 1 (a a 3 ) (a 4 a 5 )... (...) a n Следовательно: < n < a 1, причем n возрастает с увеличением номера n. Значит n возрастающая и ограниченная последовательность, тогда по теореме о сходимости монотонных последовательностей lim n n. Рассмотрим предел последовательности частичных сумм ряда (1.4) с нечетными номерами: lim n+1 lim ( n + a n+1 ) n { n } n. a n + 1 То есть lim n n lim n n+1, следовательно ряд (1.4) сходится. 9

10 Замечание. Так как n < a 1 то a 1. Замечание. Для остатка ряда (1.4) имеет место следующая формула: R n n ( 1) n+ (a n+1 a n+ +...) Причем R n a n+1. Определение. Ряд (1.4), удовлетворяющий условиям теоремы называется рядом Лейбница. Рассматривается произвольный (в общем случае зна- Признак Абеля Дирихле. копеременный) ряд a n. n 1 Пусть даны две последовательности {u n }, {v n }. Рассмотрим суммы вида n n u k. Тогда выполняется Тождество Абеля: n+p u k v k kn n+p 1 kn k (v k v k+1 ) + n+p v n+p n 1 v n (1.5) Доказательство. Так как u k k k 1, то берем сумму: n+p n+p n+p u k v k k v k k 1 v k kn kn n+p k v k kn n+p 1 kn kn n+p 1 kn 1 k v k+1 k (v k v k+1 ) + n+p v n+p n 1 v n k1 Теорема (Признак Абеля Дирихле). Произвольный ряд: u n v n n1 сходится если: (1.6) 1. Последовательность {v n } не возрастает и lim n v n. Последовательность n n u k ограничена. k1 Доказательство. Согласно критерию Коши сходимости числового ряда ряд (1.6) удовлетворяет условиям: n+p ε > N N (ε) n N p N u k v k < ε 1 kn

11 { n } ограничена, значит M > n N n < M Так как lim v n, то: n ε > N n N < v n v n < ε a Найдем a: n+p u k v k {по (1.5)} kn n+p 1 kn k (v k v k+1 ) + n+p v n+p + n 1 v n Каждое слагаемое меньше чем M, значит: ( n+p 1 ) < M (v k v k+1 ) + v n+p + v n M v n < ε Откуда: kn ε > N n N < v n v n < ε M 1.3. Абсолютная сходимость числовых рядов. n1 Определение. Числовой ряд a n (1.4) называется абсолютно сходящимся, если схо- дится знакоположительный ряд a n. n1 Теорема. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство. Пусть ряд (1.4) сходится абсолютно, тогда (по критерию Коши): n+p n+p ε > N n N p N a k a k < ε n+p Значит: a k < ε критерий Коши сходимости ряда (1.4). kn kn Замечание. Обратное утверждение не верно. Определение. Если числовой ряд сходится, но не сходится абсолютно, то его называют не абсолютно сходящимся (условно сходящимся) числовым рядом. kn 11

12 1.3.3 Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. В ряде (1.4) произвольно переставим члены, получим новый ряд: a k a 1 + a a k +... (1.7) k1 Где a k a n k. Проблема. Определить сходится ли ряд (1.7) при условии сходимости ряда (1.4), если сходится, то к какой сумме? Теорема. Если ряд (1.4) сходится абсолютно, то ряд (1.7) также сходится абсолютно и суммы рядов равны. Доказательство. Рассмотрим случая: 1. Ряд (1.4) знакоположительный. В этом случае получается a k a k сумма этого ряда. Для ряда (1.7) рассмотрим k-ю частичную сумму: k1 k a 1 + a + a a k a n1 + a n + a n a nk {m k max {n 1, n,..., n k }} a 1 + a a mk mk Таким образом последовательность { k } не убывает и ограничена сверху числом, следовательно (по теореме о сходимости монотонных последовательностей) lim k причем. k Так как ряд (1.4) в свою очередь получается перестановкой членов ряда (1.7), то, таким образом.. Ряд (1.4) знакопеременный ряд. Обозначим последовательности положительных членов p 1, p,..., p n,... и модулей отрицательных членов q 1, q,..., q n,..., которые расположены в порядке их следования в исходном ряде. Обозначим P n p 1 + p p n и Q n q 1 + q q n частичные суммы рядов p k и q k. Так как P n + Q n a k, то k1 P k a k T < k1 Q k a k T < k1 k1 n N Следовательно{p n } и {q n } сходящиеся последовательности, значит ряды A k1 k1 p k k1 1

13 и B q k сходятся к конечным суммам. Тогда при любой перестановке получим: k1 k1 a k lim n (P n Q n ) lim P n lim Q n n n A B C Докажем абсолютную сходимость. Пусть (1.4) сходится абсолютно, тогда сходится ряд из модулей a k. Используя первый случай: сходится ряд a n, то-есть ряд (1.7) сходится абсолютно. n1 k Перестановка членов условно сходящегося ряда. Пример. Рассмотрим знакочередующийся ряд: ( 1) n k1 n Это ряд Лейбница. Обозначим его сумму. Заметим что: ln (1 + x) x x + x ( 1)n 1 x n +... n Следовательно: ln. Абсолютной сходимости нет, значит ряд сходится условно. Переставим члены ряда: ( ) ( ) ( k 1 1 4k 1 ) k Рассмотрим частичные суммы: m ( 1 3m k 1 1 4k 1 ) 4k k1 1 m ( 1 k 1 1 ) k k1 1 ( m 1 1 ) m 3m 1 3m + 1 4m 3m 3m 1 + m 1 4m m m 13

14 Таким образом lim m 3m lim m 3m 1 lim m 3m. Значит: k1 a k ln ln Теорема (Римана). Если ряд (1.4) сходится условно, то B R можно переставить члены ряда так, что полученный ряд будет сходиться к B. Доказательство. Пусть ряд (1.4) сходится условно, и его сумма равна. Рассмотрим две последовательности {p n } и {q n }, которые были рассмотрены в доказательстве предыдущей теоремы. Получим знакоположительных ряда: p n и q n. Так как n1 n1 a n, то: n1 lim (P n + Q n ) n В то же время: a n n1 lim (P n + Q n ) lim P n lim Q n lim n n n n n1 q n + lim n p n n1 p n + n Так как lim (P n Q n ), то lim P n lim ( + Q n ). Если lim p n p n n n n n k1 n1 конечная, то и lim ( + Q n ) + q n также конечная. n n1 Пусть B R произвольное число, тогда k 1, такое что: p 1 + p p k1 B n1 n1 q n k1 B < p k1 Следовательно m 1 такое что: p p k1 q 1 q... q m1 B k1 +m 1 B > q m1 Аналогично k такое что: k 1 +m 1 + p k p k p k B k +m 1 B < pk m такое что k +m 1 q m1 +1 q m q m B k +m B > q m И так далее. В полученном ряде участвуют все члены исходного ряда. Так как ряд (1.4) сходится, то по необходимому признаку сходимости ряда имеет место lim a n, следовательно lim p kn и lim q mn. Так как частичные суммы при n n n раскрытии скобок изменяются монотонно (например от k +m 1 до k +m убывает), то lim n B. n 14

15 Дифференциальное исчисление функций многих переменных.1 Понятие функции многих переменных (ФМП).1.1 Понятие евклидовой плоскости и евклидова пространства Определение. Координатной плоскостью (A ) называется множество пар (x, y) вещественных чисел x и y. Каждую пару называют точкой M (x, y) координатной плоскости, а числа x и y координатами точки M. Определение. Евклидовой плоскостью (E ) называется координатная плоскость, в которой можно определить расстояние между любыми двумя точками M (x, y ) и M (x, y ) по формуле: ρ (M, M ) (x x ) + (y y ) Определение. Множество упорядоченных троек (x, y, z) вещественных чисел x, y и z называется координатным пространством (A 3 ). Каждую тройку (x, y, z) A 3 называют точкой M (x, y, z) пространства (A 3 ), а числа x, y, z координатами точки. Определение. Евклидовым пространством (E 3 ) называется координатное пространство, в котором можно определить расстояние между точками M (x, y, z ) и M (x, y, z ) по следующей формуле: ρ (M, M ) (x x ) + (y y ) + (z z ).1. Множества в E и E 3. Определение. Кругом радиуса r с центром в точке M (x, y ) называется множество: R (M) {N (x, y) ρ (N, M) R} Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке M (x, y ) называется множество: С R (M) {N (x, y) ρ (N, M) R} Замечание. Если в определении круга R (M) неравенство строгое, то получим открытый круг R (M) Определение. Прямоугольником с центром в точке M (x, y ) называется множество: { П (M) N (x, y) x x } d 1, d y y d 1, d > Замечание. Если все неравенства строгие, то прямоугольник называется открытым. Определение. Шаром с центром в точке M (x, y, z ) радиуса R называется множество: R (M) {N (x, y, z) ρ (N, M) R} 15

16 Замечание. Открытый шар R (M) {N (x, y, z) ρ (N, M) < R} Определение. Сферой с центром в точке M (x, y, z ) радиуса R называется множество: C R (M) {N (x, y, z) ρ (N, M) R} Замечание. Причем верно: R (M) R (M) C R (M). Определение. Параллелепипедом с центром в точке M (x, y, z ) называется множество: x x d 1 П (M) N (x, y, z) y y d, d 1, d, d 3 > z z d 3 Замечание. Открытый параллелепипед, это когда в определении параллелепипеда все неравенства строгие..1.3 Понятие функции х и 3х переменных Определение. Если каждой точке M (x, y) D E можно поставить в соответствие определенное значение u f (x, y), то говорят, что на области D определена функция -х переменных u f (x, y). Замечание. Функцию -х переменных можно изобразить графически как поверхность в пространстве E 3 точками с координатами (x, y, f (x, y)). Замечание. Множество всех значений, принимаемых функцией u f (x, y) на области D называется областью значений функции u f (x, y) и обозначается E (f). Замечание. Аналогично определяется функция 3-х переменных u f (x, y, z) и ее область значений E (f)..1.4 Понятие n-мерного координатного и Евклидового пространств. Определение. Множество совокупностей M (x 1, x... x m ), где x i R, i 1, m, называется n-мерным координатным пространством A m, а точка M A m точка пространства A m. Замечание. Если в координатном пространстве A m ввести расстояние между произвольными точками M (x 1... x m ) и N (y 1... y m ) по формуле: ρ (M, N) m (x i y i ) i1 то его называют евклидовым n-мерным пространством, и обозначают E m. 16

17 .1.5 Множества в пространстве E m. Определение. n-мерный шар радиуса R с центром в точке M E m это: R (M) {N E m ρ (N, M) R} Замечание. Открытый n-мерный шар это: R (M) {N E m ρ (N, M) R} Определение. n-мерная сфера радиуса R с центром в точке M E m это: C R (M) {N E m ρ (N, M) R} Замечание. R (M) R (M) C R (M) Определение. n-мерный координатный параллелепипед с центром в точке M E m это: П (M) { N E m ai x i d i, i 1, m, d i > } Замечание. Открытым n-мерным координатным параллелепипедом называется параллелепипед, в определении которого все неравенства строгие. Определение. Открытый шар радиуса ε с центром в точке M называется ε окрестностью точки M. Замечание. Внутри ε окрестности точки M можно поместить некоторую прямоугольную окрестность и наоборот. В общем случае пространства E m : П ɛ m (M) ε (M) П ε (M)... Определение. Точка M внутренняя точка множества D E m, если в D содержится M вместе со своей окрестностью. Определение. Точка M называется граничной точкой множества D, если в любой ее окрестности содержатся точки принадлежащие D и не принадлежащие D. Определение. Множество M D называется открытым множеством, если все его точки внутренние. Определение. Множество D E m называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Определение. Множество D E m называется ограниченным, если K > D ρ (O, M) < K, иначе говоря область D K (O). M Замечание. Точка O начало координат. 17

18 Определение. Множество точек l E m называется непрерывной кривой в пространстве E m, если координаты точки M (x 1... x m ) удовлетворяют системе: x 1 ϕ 1 (t) x ϕ (t), t [α, β] ϕ m (t) x m Замечание. Точки M (ϕ 1 (α)... ϕ m (α)) и M 1 (ϕ 1 (β)... ϕ m (β))называются концевыми точками кривой l. Определение. Множество D E m называется связным, если любые точки M и M 1 из D можно соединить непрерывной кривой, целиком содержащейся в D..1.6 Понятие функции n переменных Определение. Если каждой точке M (x 1... x m ) множества D E m можно поставить в соответствие определенное число u, то говорят, что на множестве D определена функция m переменных. Множество всех значений функции f (M), принимаемых на области D называется областью значений функции f (M) на D и обозначается E (f).. Предельное значение функций многих переменных..1 Сходящиеся последовательности точек в E m. Критерий Коши сходимости последовательностей. { } Определение. Последовательность точек {x n } x (n) 1, x (n),..., x (n) n называется сходящейся в пространстве E m к точке x (x 1... x m ) если ε > N N (ε) n N ρ (x n, x) < ε или m ( ) x (n) i x i < ε i1 записывают при этом lim n x n x или x n x при n. Точка x называется предельной точкой последовательности {x n }. Лемма. lim n x n x тогда и только тогда, когда x (n) i x i при n i 1, m, то есть сходимость в E m по координатная. Доказательство. Докажем необходимость и достаточность. 1. Необходимость Пусть lim x n x, тогда: n ε > N N (ε) n N ρ (x n, x) < ε m ( ) x (n) i x i < ε 18 i1

19 Так как m i1. Достаточность ( ) x (n) x (n) x (n) i x i i x i, i 1, m, то i x i < ε, значит lim n x(n) i x i i 1, m Пусть есть координатная сходимость, то есть x (n) i ε > N i N i (ε) n N i x (n) i Сейчас разберемся что там написано вместо?. n x i i 1, m, тогда ε x i <, i 1, m? n N max {N 1... N m } : x (n) i x i < ε m, i 1, m Следовательно: ρ (x n, x) < < m ( ) x (n) i x i < i1 ( ) x (n) ε i x i < m < ε m, i 1, m m Определение. Последовательность {X n } E m называется фундаментальной, если: ε > N N (ε) n N p N ρ (x n+p, x n ) < ε Теорема (Критерий Коши). Последовательность {X n } E m сходится тогда и только тогда, когда {X n } фундаментальна. { } Доказательство. {X n } E m сходится по предыдущей лемме i 1, m X (A) i сходящаяся числовая последовательность { } по критерию коши для сходящихся последовательностей i 1, m фундаментальны {X n } покоординатная X (A) i фундаментальность (!) {X n } фундаментальна. Определение. Последовательность {M n } E m называется ограниченной если K > ρ (, M n ) K. Теорема (Больцано Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности {x n } E n можно выделить сходящуюся подпоследовательность. 19

20 Доказательство. Пусть K > ρ (, x n ) K, тогда: i 1, m x (n) m ( ) x n j ρ (, xn ) K i j1 { } то есть x (n) i ограниченная числовая последовательность i 1, m. { } { } По теореме Б В для числовых последовательностей x (n) 1 x (n k 1 ) 1 сходящаяся k1) подпоследовательность, причем lim n k1 x(n 1 a 1. { } { } Аналогично x (n k 1 ) x (n k ) k) сходящаяся, причем lim n k x(n a. На m-том шаге получим: { } x (n k m 1 ) m { } x (n km m ) nkm a m ( x n km 1, x n km,..., x n ) km m сходящаяся последовательность, вклю- Очевидно что X nkm ченная в {x n }. { xnkm} nkm A (a 1, a... a m ) Определение. Точка M E m называется предельной для множества D E m, если для любой выколотой окрестности точки M найдется точка из D, такая что: ε > N D < ρ (M, N) < ε где N U ε (M) ε (M) \M. Лемма. Точка M E m является предельной точкой множества D E m тогда и только тогда, когда {x n } D x n M n N lim n x n M Определение. Множество всех предельных точек множества D E m называется производной множества D и обозначается D. Определение. Множество D замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки. Определение. Множество D D D называется замыканием множества D. Проблема. Доказать, что D замкнутое множество.

21 .3 Понятие предельного значения функции многих переменных Определение (Гейне). Число b называется пределом функции u f (x 1... x m ) в точке n A (a 1... a m ) если {x n } D (f), x n A из сходимости x n A следует сходимость f (x n ) b. Определение (Коши). Число b называется пределом функции u f (M) в точке A, если ε > δ δ (ε, A) > x D (f) < ρ (x, A) < δ f (x) b < ε Обозначается: lim f (M) b или lim M A x 1 a 1... x m a m Теорема. Предыдущие два определения эквивалентны. f (x 1, x... x m ) b. Определение (Гейне). Число b называется пределом функции u f (M) на бесконечности, если ε > (ε) M D (f) ρ (, M) > f (M) b < ε Лемма (Арифметические свойства пределов). Если lim f (M) b, lim g (M) c, то M A M A 1. lim (f (M) ± g (M)) b ± c M A. lim (f (M) g (M)) b c M A 3. lim M A ( ) f (M) b g (M) c, c Определение. Функция u f (M) называется бесконечно малой при M A, если lim f (M) M A Лемма. Если lim f (M) b, то имеет место представление f (M) b + α (M), где M A α (M) бесконечно малая функция более высокого порядка при M A. Определение. Функция u f (M) называется бесконечно большой при M A если f (M), то есть: lim M A E > δ δ (E, A) M D (f) < ρ (A, M) < δ f (M) > E Сравнения порядков бесконечно малых и бесконечно больших функций производится аналогично одномерному случаю..4 Критерий Коши существования конечного предела функций многих переменных Определение. Функция u f (M) удовлетворяет условию Коши в точке A, если ε > δ δ (ε, A) > M, M D (f) ( < ρ (A, M ) < δ) & ( < ρ (A, M ) < δ) f (M ) f (M ) < ε Теорема. Функция u f (M) имеет конечный предел в точке A тогда и только тогда, когда функция f (M) удовлетворяет условию Коши в точке A (!). 1

22 .5 Повторные пределы Определение. Рассмотрим функцию u f (x, y), определенную в выколотой окрестности точки A (x, y ). Прямоугольная окрестность: x x < δ, y y < δ. Если y : < y y < δ существует предел lim f (x, y) ϕ (y) и существует предел x x lim ϕ (y) b, то выражение y y ( ) lim lim f (x, y) b y y x x называется повторным пределом функции f (x, y) в точке A (x, y ). (по y внешний предел, по x внутренний). Аналогично определяется другой предел: ( ) lim lim f (x, y) lim lim f (x, y) y y x x y y x x Где lim y y f (x, y) ϕ (x). Замечание. Предел функции в точке lim x x y y f (x, y) будем называть двойным пределом. Теорема. Если 1. Существует конечный или бесконечный предел x a lim f (x, y) A y b. y Y существует конечный предел ϕ (y) lim x a f (x, y) то существует повторный предел lim y b lim x a f (x, y), равный двойному. Доказательство. Рассмотрим случай когда a, b, A конечные числа. Из определения предела lim x a y b f (x, y) A: ε > δ δ (ε, (a, b)) > (x, y) D (f) ( x a < δ) & ( y b < δ) Зафиксируем y при x a. ϕ (y) A ε f (x, y) A < ε y b < δ и перейдем в неравенстве f (x, y) A < ε к пределу < ε, то есть предел lim ϕ (y) A. y b.6 Непрерывные функции многих переменных.6.1 Определения Определение (1 ). Функция u f (x 1, x... x n ), определенная на множестве D E n, называется непрерывной в точке A (a 1, a... a n ), если lim f (x x 1 a 1... x n ) f (a 1... a n ) x n a n

23 Определение (, по Коши). Функция u f ( x ) непрерывна в точке A (a 1... a n ) если или ε > δ δ (ε, A) > x (x 1... x n ) D (f) ρ ( x, A) < δ ε > δ δ (ε, A) > x (x 1... x n ) D (f) Определение (3, по Гейне). Самому.. f ( x ) f (A) < ε ( x 1 a 1 < δ) &... & ( x n a n < δ) f ( x ) f (A) < ε Определение. Обозначим x 1 a 1 x 1,... x n a n x n приращения координат точки A при переходе к точке x. Разность U f (A) f (a 1 + x 1,... a n + x n ) называется полным приращением f (x) в точке A (a 1... a n ) отвечающим приращениям x 1... x n аргументов a 1... a n. Определение (4 ). lim f (A) x 1... x Определение. Точки, в которых функция u f ( x ), непрерывной называются точками разрыва. x (x1... x n ) не является.6. Основные свойства непрерывных функций ( M ) ( M ) Теорема (1). Если функции f и g непрерывны в точке A (a 1... a n ), то функции ( M ) ( M ) ( M ) ( M ) ( M ) f ( ( A ) ) f ± g, f g, ( M ), f g так-же непрерывны. Доказательство. Сами с помощью арифметических свойств пределов. ( M ) Пусть аргументы x 1... x n функции f определяются системой: x 1 ϕ 1 (t 1... t k )... x n ϕ n (t 1... t k ) то есть каждой точке T (t 1... t k ) E k ставится в соответствие точка M (x 1... x n ) из пространства E n и при подстановке в функцию u f (x 1... x n ) получим следующую функцию: u f (ϕ 1 (t 1... t k ),... ϕ n (t 1... t k )) g (t 1... t k ) сложная функция аргументов t 1... t k. 3

24 Теорема (, о непрерывности сложной функции). Если функции x i ϕ i (t 1... t k ), i 1, n непрерывны в точке A (a 1... a k ) E k, а функция u f (x 1... x n )непрерывна в точке B (b1... b n ), где b i ϕ i ( A ), то сложная функция u f (ϕ 1 (t 1... t k ),... ϕ n (t 1... t k )) по переменным t 1... t k непрерывна в точке A. Доказательство. Сами... ( M ) Теорема (3, об устойчивости знака). Пусть функция u f непрерывна в области D E n. Если точка ( A ) A внутренняя точка области D и f, то в некоторой окрестности точки ( M ) A функция f сохраняет знак. Доказательство. Сами.. Теорема (4, о прохождении непрерывной функции через промежуточное значение). Если функция u f (x 1... x m ) непрерывна на связной области D E m, то для любых двух точек A, B D и любой непрерывной линией l D, соединяющей точки A и B,для любого значения c между f (A) и f (B) существует точка N l такая, что f (N) c. Доказательство. Итак пусть кривая l определяется так x 1 q 1 (t)..., t [α, β] x m q m (t) Возьмем точки A (ϕ 1 (α),..., ϕ m (α)) и B (ϕ 1 (β),..., ϕ m (β)). Получим на l функцию: u f (ϕ 1 (t),..., ϕ m (t)) g (t) g (t) функция одной переменной t [α, β]. Она непрерывна на отрезке [α, β] (по теореме ). Тогда по второй теореме Больцано Коши c между g (α) f (A) и g (β) f (B) существует t [α, β] такое что: g (t) f (ϕ 1 (t),..., ϕ m (t)) c Так как точка (ϕ 1 (t),..., ϕ m (t)) l, то обозначим ее N. Теорема (5, Первая теорема Вейерштрасса). Функция u f (x 1,..., x m ) непрерывная на ограниченном замкнутом множестве D E m ограничена на нем. 4

25 ( X ) Доказательство. Предположим противное: пусть f не ограничена на D, тогда n N M n D f (M n ) > n Рассмотрим последовательность {M n } D. По теореме Больцано Вейерштрасса из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность {M nk }, причем lim M nk M. k Точка M точка принадлежит D, так как D замкнута. Следовательно значение f (M) существует и конечно. С другой стороны из утверждения n N M n D f (M n ) > n следует что lim k f (M nk ). Используя определение непрерывности по Гейне: f (M nk ) f (M). Теорема (6, Вторая теорема Вейерштрасса). Функция u f (x 1... x n ), непрерывная на ограниченном замкнутом множестве D E n, достигает на нем своих точных граней. Доказательство. Сами.. Определение. Функция u f (x 1... x n ), определенная на области D E n называется равномерно непрерывной, если ε > δ δ (ε) > x, x D ρ (x, x ) < δ f (x ) f (x ) < ε Теорема (7, Теорема Кантора). Функция u f (x 1... x m ) непрерывная на ограниченном замкнутом множестве D E m равномерно непрерывна на нем. Доказательство. Сами...7 Частные производные, дифференциалы функций многих переменных.7.1 Геометрический смысл частной производной Рис. 1: Геометрический смысл частной производной Рассмотрим на примере функции двух переменных u f (x, y). g (x) f(x, y ) функция одной переменной x. 5

26 f x f (x + x, y ) f (x, y ) (x, y ) lim x x g (x + x) g (x ) lim x x g (x ) g (x ) тангенс угла наклона касательной к графику u f (x, y ), получающемуся в сечении поверхности u f (x, y) плоскостью y y..7. Частные производные функций многих переменных Пусть функция u f (x 1... x m ) определена на области D E m. Придадим аргументу x i точки M (x 1, x... x i 1, x i, x i+1... x m ) приращение x i, получим частное приращение функции f (x) в точке M: xi f (M) f (x 1, x... x i 1, x i + x i, x i+1,... x m ) f (x 1, x... x i 1, x i, x i+1,... x m ), i 1, m Определение. Если существует конечный предел разностному отношению x i f (M) ( x i X ) при x i, i 1, m, то его называют частной производной функции f в точке M по аргументу x i, i 1, m. И обозначается δu δf (M) ; ; u x δx i δx i (M) На практике при вычислении частной производной f (x) по переменной x i остальными переменные x k, k i i считаются константами. Пример. Найти частные производные: u arctg x y u x {y const} u y {x const} 1 ( ) x 1 + y 1 ( ) x 1 + y ( ) x y x y y + x ( ) x x y x x y Пример. Найти частные производные: u x sin (y z) + ln (x + y z) u x {z, y const} sin (y x) + u y x cos (y z) z + u z x cos (y z) y 1 x + y z 1 x + y z 1 x + y z Замечание. Из существования частных производных функций в точке не следует непрерывность функции в этой точке. 6

27 Пример. Найти частные производные: x y, (x, y) f (x, y) x + y, (x, y) f x f ( x, ) f (, ) (, ) lim x x f y f (, y) f (, ) (, ) lim y y lim x x... Итак, f x и f y, но в точке (, ) функция f (x, y) разрывна..7.3 Дифференцируемость функций многих переменных Рассмотрим функцию u f (x 1... x m ), определенную на D E m. Приращение x 1... x m аргументов x 1,..., x m точки M отвечает полное приращение функции u f f (x 1 + x 1, x + x,..., x m + x m ) f (x 1... x m ) Определение (1 ). Функция u f (x 1... x m ) называется дифференцируемой в точке M (x 1... x m ), если полное приращение u можно представить в виде u A 1 x 1 + A x A m x m + α 1 x α m x m (.1) Где α i ( x 1,..., x m ) величина бесконечно малая при x x m Обозначим ρ x x m Определение ( ). Функция u f (x 1... x m )называется дифференцируемой в точке M (x 1... x m ), если имеет место представление: u A 1 x A m x m + o (ρ) (.) Лемма. Определения (1) и () эквивалентны. Доказательство. Докажем в обе стороны: 1. Определение (1) эквивалентно (): α 1 x α m x m ( α 1 x 1 + α x α m x ) m ρ ρ ρ ρ x i 1, i1,m ограниченая ρ x 1 x αm x m γ (ρ) ρ α 1 ρ + α ρ ρ Где γ (ρ) ρ бесконечно малая при ρ. 7

28 . Определение () эквивалентно (1): o (ρ) o (ρ) ρ ρ ρ o (ρ) x x m ρ ρ ( o (ρ) x ) ( 1 o (ρ) x x ) m x m ρ ρ ρ ρ o (ρ) бесконечно малая ρ x α 1 ρ 1 ограниченая 1 x α m x m Где α i ( x 1... x m ) при x x m Определение. Сумма A 1 x A n x n называется главной линейной, относительно x i -ых ( i 1, n ) частью приращения функции u. Теорема (1). Если функция u f (x 1... x m ) дифференцируема в точке M (x 1... x m ), то f xi (M) A i. Доказательство. Рассмотрим частное приращение xi u (M):.1 xi u (M) x i x k, k i A i x i + α i x i, i 1, m xi u lim lim x i x (A i + α i ) A i i x i f (M) x i Следствие: Условие дифференцируемости функции u f (x) в точке M можно записать в виде: u m i1 f (M) x i x i + o (ρ) (.3) Лемма. Если функция u f ( x ) дифференцируема в точке M, то она непрерывная в точке M. Доказательство. Используя определение непрерывности в разносной форме, получим: lim x 1... x.3 8

29 Геометрический смысл дифференцируемости функций многих переменных Рассмотрим график функции u f (x, y), M (x, y ), M 1 (x 1, y 1 ), N (x, y, f (x, y )), N 1 (x 1, y 1, f (x 1, y 1 )). Определение. Плоскость Π, проходящая через точку N называется касательной к поверхности {(x, y, z) u f (x, y)}, если угол между этой плоскостью и произвольной секущей N N 1 (N 1 ) стремится к при N 1 N. Утверждение. Из дифференцируемости функции u f (x, y) в точке M следует существование касательной к плоскости Π, проходящей через точку N. Доказательство. В дальнейшем будем считать что точка M 1 имеет координаты (x, y), а точка N 1 координаты (x, y, f (x, y)). Обозначим: x x x, y y y, u f (x, y) f (x, y ) Условие дифференцируемости в точке M дает следующее: u u u A (x x ) + B (y y ) + o (ρ) Уравнение u u A (x x ) + B (y y ) уравнение плоскости в пространстве E 3 с нормальным вектором ( n (A, B, 1) a (x x, y y, u u ) NN )Точка N пересечение M 1 N 1 с. Докажем что эта плоскость как раз и есть касательная к поверхности в точке N. ( Для этого достаточно доказать что угол ϕ n ), N N стремится к π при N 1 N, независимо от способа стремления N 1 N. ( n ), N N 1 cos ϕ n N N 1 A x + B y u A + B + 1 x + y + u A + B + 1 ограниченая и 1 x + y + u ρ A x + B y u o (ρ) o (ρ) ρ ρ.7.4 Достаточное условие дифференцируемости функции в точке Теорема. Пусть функция u f (x 1,..., x m ) имеет в окрестности точки M (x 1,..., x m ) частные производные f x i (x 1,..., x m ), i 1, m непрерывны в точке M. Тогда функция u f (x 1,..., x m ) дифференцируема в точке M. Доказательство. Ограничимся функцией двух переменных u f (x, y), M (x, y ). Докажем дифференцируемость функции u f (x, y) в точке M. Обозначим P (x + x, y ), тогда приращение: u f (x + x, y + y) f (x, y ) (f (x + x, y + y) f (x + x, y )) + (f (x + x, y ) f (x, y )) 9

30 Обозначим за g (t) f (x + x, t), тогда f (x + x, y + y) f (x + x, y ) g (y + y) g (y ) По теореме Лагранжа: Θ 1 (, 1) g (y + Θ 1 y) y, а тогда: f y (x + x, y + Θ 1 y) y Аналогично: Θ (, 1) : f (x + x, y ) f (x, y ) f x (x + Θ x 1, y ) x, тогда выражение преобразуется в: f x (x + Θ x, y ) x + f y (x + x, y + Θ 1 y) y Так как f x и f y непрерывны в точке M, то по теореме о представлении непрерывной функции: f x (x + Θ x, y ) f x (x, y ) + α f y (x + x, y + Θ 1 y) f y (x, y ) + β α, β x y Тогда выражение преобразуется в: (f x (x, y ) + α) x + ( f y (x, y ) + β ) y В итоге мы получили представление Производные сложных функций f x (M) x + f y (M) y + α x + β y Рассмотрим функцию u f (x 1,..., x m ), причем выполняется система уравнений: x 1 ϕ 1 (t 1,..., t k )... (.4) x m ϕ m (t 1,..., t k ) То есть функция u f ( x ) сложная функция аргументов t 1,..., t m. Оказывается что при некоторых условиях частные производные от функции: u f (ϕ 1 (t 1,..., t k ),..., ϕ m (t 1,..., t k )) по переменным t i, i 1, k вычисляются по формулам. f f x 1 + f x f x m t 1 x 1 t 1 x t 1 x m t 1... f f x 1 + f x f x m t k x 1 t k x t k x m t k (.5) 3

31 Пример. Вычислить производную: f (x, y, z) x + y sin z Сделаем замену: x t 3 y t z t + 1 Тогда производная по t: f t f ( t 3, t, t + 1 ) df dt f x dx dt + f y dy dt + f z dz dt x 3t +sin z +y cos z t Теорема. Если функции ϕ i (t 1... t k ), i 1, m дифференцируемы в точке N (t 1,..., t k ) а функция u f (x 1... x m ) дифференцируема в точке M (x 1,..., x m), где: x j ϕ j (t 1,..., t k) то существуют частные производные сложной функции u по аргументам t 1,..., t k в точке N, вычисляемые по формулам (.5). Причем частные производные u x j вычисляются в точке M, а x j t i в точке N. Доказательство. Рассмотрим следующий случай: Пусть u f (x, y, z), причем x x (t) y y (t) z z (t) То есть точка N (t), а M (x (t), y (t), z (t)). Придадим аргументу приращение t, ему отвечают приращения x, y, z. x x (t + t) x (t) А также приращение u. Получим из дифференцируемости функции u в точке M: u u x x + u y y + u z z + α x + β y + γ z Разделим на t u t u x x t + u y y t + u z z t + α x t + β y t + γ z t В пределе при t получим: x t y t z t dx dt x (t) dy dt y (t) dz dt z (t) 31

32 Тогда: ( α x t + β y t + γ z ) t du dt u x dx dt + u y dy dt + u z dz dt Рассмотрим другой случай: x ϕ (t, τ) y ψ (t, τ) z χ (t, τ) В этом случае u f (ϕ (t, τ), ψ (t, τ), χ (t, τ))функция двух переменных. Тогда фиксируя значения τ мы получим сложную функцию одной переменной. И получится, аналогично случаю 1-му следующее: u t u x x t + u y y t + u z z t Аналогично делаем и для τ..7.6 Дифференциал функций многих переменных Определение. Дифференциалом du функции многих переменных u f (x 1,..., x m ) в точке M (x 1,..., x m ) называется главная линейная по x 1,..., x m часть приращения u функции в точке M, отвечающая приращениям x 1,..., x m аргументов. Таким образом дифференциал du A 1 x A m x m считая x 1,..., x m независимыми переменными, можно положить: x i dx i, i 1, m A i f x i (M), i 1, m du u x 1 dx u x m dx m Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных du (x, y ) f x (x, y ) dx + f y (x, y ) dy.7.7 Инвариантности формы дифференциала Для случая, когда x 1,..., x m независимые переменные, дифференциал функции u f (x 1,..., x m ) имеет вид: du u x 1 dx 1 + u x dx u x m dx m Если аргументы x 1... x m зависимые, то 3

33 x 1 ϕ 1 (t 1,..., t k )... x m ϕ m (t 1,..., t k ) То при условии дифференцируемости функции ϕ 1 (t 1... t k ) в точке N (t 1,..., t k ) и дифференцируемости функции u f (x 1,..., x m ) в точке M (x 1,..., x m), где: x i ϕ i (N), i 1, m Для сложения функции u аргументов t 1... t k получим: du u dt 1 + u dt u dt k t 1 t t k {Дифференциал сложных функций} ( u x 1 + u x u x ) m dt 1 + x 1 t 1 x t 1 x m t ( 1 u + x 1 + u x u x ) m dt + x 1 t x t x m t +. (.. + u + x 1 + u x u x ) m dt k x 1 t k x t k x m t k u ( x1 dt 1 + x 1 dt x ) 1 dt k + x 1 t 1 t t k u ( xm dt 1 + x m dt x ) m dt k x m t 1 t t k x 1 t 1 dt 1 + x 1 t dt x 1 t k dt k dx 1... x m t 1 dt 1 + x m t dt x m t k u x 1 dx u x m dx m.7.8 Производная по направлению. Градиент. dt k dx m Пусть дана функция u f (x, y, z), определенная в некоторой окрестности точки M (x, y, z ). Рассмотрим единичный вектор n (cos α, cos β, cos γ) и линию l ось, проходящую через точку M вдоль вектора n. x x + l cos α y y + l cos β z z + l cos γ 33

34 Тогда на оси l : f (x, y, z) f (x + l cos α, y + l cos β, z + l cos γ) сложная функция аргумента l. Определение. Если существует производная от функции f (x (l), y (l), z (l)) по аргументу l в точке l, то ее называют производной функции u f (x, y, z) по направлению l в точке M. И обозначается: u l f (M ) l Согласно доказанной формуле для производной сложной функции получим: u l u x x l + u y y l + u z z l x l (x + cos α) u u u cos α + cos β + x y z cos γ Определение. Градиентом функции u f (x, y, z) в точкеm называется выражение: u x u gradu u u y u z Компоненты частные производные функции в точке M. Замечание. Очевидно что u l ( n, gradu). Утверждение. Направление градиента направление наискорейшего роста функции. Доказательство. u l ( n, gradu) ( ) ( ) n gradu cos n, gradu ˆ gradu cos n, gradu ˆ u ( ) l max при cos n, gradu ˆ 1, то есть n gradu сложная функция аргумента gradu l. Пример. Найти градиент u f (x, y) x + y gradu ( u x u y M 1 (, ) ( x y ) ( x y ) ( ) M (1, ) gradu (M ) ) gradu (M 1 ) ( ) 34

35 .8 Частные производные и дифференциалы высших порядков.8.1 Частные производные высших порядков Пусть дана функция u f (x, y). Определение. Выражения вида: f x y ( ) f f, x y x ( ) f, x x f y y ( ) f, y f y x y ( ) f x называются второй производной от функции u f (x, y). Обозначаются по-другому: u xy, u x, u y, u yx В случае E m, u f (x 1,..., x m ): f x k x i f x i x k ( f x i x i ( ) f x i ) f x i x k, i k f x, i 1, m i Пример (Когда f xy f yx). Вычислить вторые частные производные: xy x y, (x, y) (, ) f (x, y) x + y, (x, y) (, ) [ ] x y y f x (x, y) x + y + 4x y (x + y ), (x, y) (, ), (x, y) (, ) f x (, y) y f xy (, y) 1 В частности f xy (, ) 1 [ ] x y x f y x + y 4x y (x + y ), (x, y) (, ), (x, y) (, ) f y (x, ) x f yx (x, ) 1 В частности f yx (, ) 1 f xy (, ) f yx (, ) Теорема (О равенстве смешанных производных). Пусть: 1. f (x, y) определена в открытой области D.. В области D определены частные производные f x, f y, f xy, f yx. 3. Производные f xy, f yx непрерывны в некоторой точке M (x, y ). Тогда f xy (x, y ) f yx (x, y ). 35

36 Доказательство. Рассмотрим выражение: ω 1 ( f (x + x, y + y) f (x + x, y ) x y Обозначим за: ϕ (x) f (x, y + y) f (x, y ) y Тогда выражение преобразуется в: ω ϕ (x + x) ϕ (x) x f (x ), y + y) f (x, y ) y ϕ (x) f x (x, y + y) f x (x, y ) y По лагранжу ϕ (x + Θ x) x x ϕ (x + Θ x) f x (x + Θ x, y + y) f x (x + Θ x, y ) y Так как f xy существует, то по теореме Лагранжа по аргументу y: ω f xy (x + Θ x, y + Θ 1 y) y y f xy (x + Θ x, y + Θ 1 y), Θ, Θ 1 (; 1) Аналогично, ω 1 ( f (x + x, y + y) f (x, y + y) y x Итак, f (x ) + x, y ) f (x, y ) x f yx (x + Θ x, y + Θ 3 y), Θ 3, Θ 4 (; 1) f xy (x + Θ x, y + Θ 1 y) f yx (x + Θ x, y + Θ 3 y) Так как f xy и f yx непрерывны в точке M, то при x y f xy (M ) f yx (M ) в пределе получится.8. Дифференциалы высших порядков. Не инвариантность их формы. Рассмотрим функцию u f (x, y). Определение. Дифференциалом второго порядка от функции u f (x, y) в точке M (x, y) называется выражение: d u d (du) d (df (x, y)). В случае, когда x и y независимые переменные, x dx, y dy не зависят от x, y ((dx) x (dx) y (dy) x (dy) y ), получим: d u d ( u x dx + u y dy ) ( u x dx + u y dy ) dx + ( u x x dx + u y dy ) dy y u x dx + u yx dydx + u xy dxdy + u y dy 36

37 Так как u xy u yx, то получим: u x dx + u xy dxdy + u y dy Что в символической записи: ( x dx + ) y dy u Аналогично: n N d n u d ( d n 1 u ) ( x dx + ) n y dy u (.6) Пример. d 3 (f (x, y)) 3 f 3 f (x 3 ) dx3 +3 (x ) y dx dy+3 3 f x (y ) dx dy + 3 f (y 3 ) dy3 В общем случае u f (x 1,..., x m ) ( d n u dx ) dx m x 1 x m Рассмотрим случай зависимых переменных: Пусть например u f (x, y), где x, y зависят от t: x ϕ (t), y ψ (t). В этом случае dx ϕ (t) dt x, если ϕ (t) нелинейная функция. dy ψ (t) dt y, если ψ (t) нелинейная. Тогда d x d (ϕ (t) dt) ϕ (t) d (t ). d u d (du) d ( u x dx + y y dy ) duv du v u dv d (u x) dx + u x d x + d ( u y) dy + u y d y u x d ( x ) + u xy dy dx + u x d ( x ) + u yx dx dy + y y d ( y ) + u y d y ( x dx + ) y dy u + u x d x + y y d y Замечание. В случае если x i ϕ i (t 1,..., t k ) линейная функция: x i a (1) i t 1 + a () i t a (k) i t k, i 1, m Тогда dx i a (1) i dt 1 + a () i dt a (k) i dt k a (1) i t 1 + a () i t a (k) i t k.8.3 Формула Тейлора Напомним что для случая одной переменной имеет место разложение по формуле Тейлора: F (t ) F (t + t) F (t ) F (t ) t + F (t )! df (t ) + d F (t )! t F (n) (t ) n! dn F (t ) n! 37 + F (n+1) (t + Θ t) (n + 1)! + dn+1 F (t + Θ t), Θ (, 1) (n + 1)!

38 Теорема. Пусть в некоторой окрестности точки M (x, y ) функция u f (x, y) имеет непрерывные частные производные до (n + 1)-го порядка. Тогда M (x + x, y + y) имеет место равенство: f (x, y ) df (x, y ) + d f (x, y )! dn f (x, y ) + n! + dn+1 f (x + Θ x, y + Θ y), Θ (, 1) (.7) (n + 1)! Доказательство. Положим x x + t x, y y + t y, t (, 1), тогда F (t) f (x + t x, y + t y), следовательно: f (x, y ) f (x + x, y + y) f (x, y ) F (1) F () F () По формуле Тейлора для функций многих переменных df () + d F ()! dn F () n! + dn+1 F (Θ) (n + 1)! Так как x x + t x, y y + t y линейно зависят от t d... d k обладают инвариантностью формы df (x, y ) + d f (x, y )! dn f (x, y ) + n! (.7) + dn+1 f (x + Θ x, y + Θ y), Θ (, 1) (n + 1)!.9 Экстремумы функций многих переменных.9.1 Понятие функций многих переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть функция u f (x 1,..., x m ) определена в области D и точка M (x 1,..., x m) внутренняя точка области D. Определение. Точка M называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции u f (x 1,... x m ) если существует такая выколотая окрестность точки M, что M U ε (M ) f (M) < f (M ) (f (M) > f (M )) Если в определении неравенства не строгие, то M локального максимума (минимума). точка не строгого локального Теорема (Необходимое условие локального экстремума). Если точка M (x 1,..., x m) является точкой локального экстремума функции u f ( x ) и существует частная производная f x i (M ), то f x i (M ), i 1, m. 38

39 Доказательство. Пусть например точка M (x 1,..., x m) точка локального максимума. Возьмем i, i 1, m, и зафиксируем все переменные кроме x i, то есть будем рассматривать точки вида: M ( x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x m), xi R, M D (f) Получим функцию одной переменной x i : f ( x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x m) g (xi ). Так как: x i ( x i ε, x i + ε ) : f (M ) g ( x i ) g (xi ) f (M), M U ε (M ) То x i точка локального максимума функции одной переменной, а тогда по теореме Ферма: g (x i ) f (M ) x i Замечание. Точки в которых выполняется условие f x i (M ), критическими, стационарными, подозреваемыми на экстремум. Замечание. Если M критическая точка функции f (x 1,..., x m ), то ( ) grad (M )., df (M ) m i1 f (M ) x i x i i 1, m называются Теорема (Достаточное условие локального экстремума). Возьмем функцию u f (x, y) и точку M (x, y ). Обозначим: A ( a 11 a 1 a 1 a ), где: Тогда, если: a 11 f x (M ), a 1 f xy (M ), a f y (M ) 1. a 11 a a 1 >, то существует экстремум. Если a 11 > min Если a 11 < max. a 11 a a 1 < то не существует экстремума. Доказательство. По формуле Тейлора: f f (x, y) f (x, y ) df (x, y ) + d f (x + Θ x, y + Θ y), Θ (, 1) 1 ( f x (N) x + f xy (N) x y + f y (N) y) Где N (x + Θ x, y + Θ y). Так как частные производные второго порядка непрерывны в точке M, то f x (N) a 11 + α 11 f xy (N) a 1 + α 1 f y (N) a + α 39

40 Где α i,j при x и y. Тогда: f 1 ( a11 x + a 1 x y + a y + α 11 x + α 1 x y + α y ) Обозначим: x ρ sin ϕ y ρ cos ϕ, тогда: Обозначим: f ρ ( a11 cos ϕ + a 1 cos ϕ sin ϕ + a sin ϕ+ + α 11 cos ϕ + α 1 cos ϕ sin ϕ + α sin ϕ ) 1 a 11 cos ϕ + a 1 cos ϕ sin ϕ + a sin ϕ α 11 cos ϕ + α 1 cos ϕ sin ϕ + α sin ϕ 1. Пусть a 1 a a 1 > тогда: a 11 a >, а значит: a 11, следовательно: 1 1 [ (a11 cos ϕ + a 1 sin ϕ) + ( ) a 11 a a 1 sin ϕ ] a 11 Так как (a 11 cos ϕ + a 1 sin ϕ), (a 11 a a 1) >, sin ϕ, то: [ (a11 cos ϕ + a 1 sin ϕ) + ( ) a 11 a a 1 sin ϕ ] >, ϕ [, π] (.8) Поэтому знаки выражений 1 и a 1,1 совпадают, причем по второй теореме Вейерштрасса, так как 1 непрерывна на [, π], получим, что: m > : < m 1 ( min 1 m >, [, π]) Так как при достаточно малых ρ, α 11 + α 1 + α < m Следовательно 1 +, а значит и f сохраняет знак a 11, тогда: При a 11 > При a 11 < f > существует min f < существует max. Пусть a 11 a a 1 < (a) Случай a 11. Рассмотрим (.8) для 1. При ϕ получим: [ (a11 cos ϕ + a 1 sin ϕ) + ( ) a 11 a a 1 sin ϕ ] a 11 > Если же взять ϕ ϕ 1 из условия a 11 cos ϕ 1 +a 1 sin ϕ 1 ctgϕ 1 a 1, a 11 то получим выражение: [ (a11 cos ϕ + a 1 sin ϕ) + ( ) a 11 a a 1 sin ϕ ] ( ) a 11 a a 1 sin ϕ 1 Так как при достаточно малых ρ выражение можно сделать сколь угодно малым по модулю при ϕ и ϕ ϕ 1, то приращение f принимает разные знаки на направлениях ϕ и ϕ ϕ 1. Следовательно экстремума нет. 4

41 (b) Случай a a 1 cos ϕ sin ϕ + a sin ϕ sin ϕ (a 1 cos ϕ + a sin ϕ) Тогда определим ϕ ϕ 1 так, чтобы a sin ϕ 1 < a 1 cos ϕ 1, для того чтобы знак скобки (a 1 cos ϕ + a sin ϕ) не менялся никогда. ctgϕ 1 > 1 a a 1 такое ϕ 1 существует, тогда: при ϕ ϕ 1 и при ϕ ϕ 1 : 1 и принимают значения разных знаков, следовательно можно сделать сколько угодно малым, при достаточно малых ρ, тогда f меняет знак в окрестности точки M, следовательно экстремума нет..1 Дифференцирование функций заданных неявно.1.1 Дифференцирование функций одной переменной заданных неявно Определение. Говорят, что уравнение f (x, y) задает неявно функцию y y (x), если в уравнении f (x, y) y не выражено через x, или выразить однозначно через x не удается. Пример. x a + y b 1 Это уравнение определяет однозначные функции y ±b во всех точках можно определить функцию однозначно. 1 x, следовательно не a Теорема (1). Пусть для уравнения f (x, y) выполнены условия: f (x, y) определена в некоторой окрестности Ω точки M (x, y ) и непрерывна в этой окрестности с частными производными f x, f y, причем f y. Тогда существует прямоугольник: Π {(x, y) x x < a, y y < b} Ω в котором множество решений уравнения f (x, y) определяется непрерывно дифференцируемой функцией: y ψ (x), x (x a, x + a) причем ψ (x) f x (x, ψ (x)) f y (x, ψ (x)). Доказательство. Пусть f y (M ), например f y (M ) >. Тогда для функции одной переменной: f (x, y) h (y) : h (y) f y (x, y) 41

42 Так как h (y ) f y (x, y ) >, то в точке y функция h (y) возрастает, следовательно f (x, y) так-же возрастает по y в точке M, причем f (M ), тогда f (x, y) < при y < y, и f (x, y) > при y > y, точнее b > такое что: y [y b, y ) f (x, y) <, y (y, y + b] f (x, y) > Так как f (x, y) непрерывна и отрицательна в точке N (x, y b), и положительна в точке P (x, y + b). Так как она непрерывна, то по теореме о сохранении знака непрерывной функции, можем получить: a 1 : f (x, y + b) > x (x a 1, x + a 1 ) a : f (x, y b) < x (x a, x + a ) Обозначим a min {a 1, a }, тогда: f (M) > M (x, y + b) f (M) < M (x, y b) x (x a, x + a) x x < a Так как x (x a, x + a) функция одной переменной g (y) f (x, y) (Зафиксировали x и при нем меняем y): g (y b) <, g (y + b) > и g (y) непрерывна на [y b, y + b], то по первой теореме Больцано Коши: y : g (y) f (x, y) Докажем, что y единственная точка, где g (y). Так как при этом: g (y) f y (x, y) >: y (y b, y + b) То g (y) монотонно возрастает на отрезке [y b, y + b], а значит y единственное решение уравнения f (x, y). Вывод. Мы получили что x (x a, x + a)!y ψ (x), такой что f (x, ψ (x)). Докажем дифференцируемость ψ (x) на интервале (x a, x + a). Пусть x (x a, x + a) произвольная точка. Придадим приращение x: (x + x) (x a, x + a), тогда: f f ( x + x, ψ (x + x) f (x, ψ (x)) ) f (x, ψ (x)) f (x + x, ψ (x + x)) Так как частные производные функции f (x, y) непрерывны на Π, то функция f (x, y) дифференцируема на Π, следовательно используя дифференцируемость в точке M (x, ψ (x)), получим: f A x + B y + α x + β y A x+b y главная часть α x+β yo(ρ) f x (x, ψ (x)) x + f y (x, ψ (x)) y + α x + β y 4

43 Откуда: f x (x, ψ (x)) x + α x ( f y (x, ψ (x)) y + β y ) y x f x (x, ψ (x)) + α f y (x, ψ (x)) + β Причем: x y, значит: y lim x x def ψ (x) f x (x, ψ (x)) f y (x, ψ (x)).1. Дифференцирование функций многих переменных заданных неявно Теорема (). Пусть в точке M (x 1,..., x m, u ) выполнено следующее уравнение: F (x 1, x,..., x m, u) Функция F ( x, u) непрерывна в окрестности точки M : Ω E m+1 вместе с частными производными F x i, i 1, m, причем F u (M ). Тогда в некоторой окрестности точки N (x 1,..., x m) определена однозначная функция u f (x 1, x,..., x m ), причем дифференцируемая в точке N и выполнены следующие равенства: f x i (N ) F x i (M ) F u (M ), i 1, m Доказательство. В нашем курсе не рассматривается это доказательство. Пример. u 3 u x + u x y M (1,, ) u x, u y? в точке N (1, ) F (x, y, u) u 3 u x + u x y F x u + u y F y u x F u 3 u 4 u x + x y u u + u y x (1, ) 3 u 4 u x + x y {Мы работаем в точке M (1,, )}.1.3 Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Пусть поверхность E 3 задана неявно: F (x, y, z) (.9) Пусть F (x, y, z ) и в некоторой окрестности точки M (x, y, z ) частные производные F x, F y, F z непрерывны и не равны нулю одновременно в точке M, то есть: gradf (M ) ( F x (M ), F y (M ), F z (M ) ) 43

44 Пусть например F z (M ). Тогда по теореме () существует окрестность точки N (x, y ) в которой однозначно определена функция z f (x, y). Графически она определяет некоторый кусок поверхности. Уравнение касательной плоскости к куску, проходящий через точку M (x, y, z ) : z z f x (N ) (x x ) + f y (N ) (y y ) Но так как функция задана неявно: А тогда: Откуда: f x (N ) F x (M ) F z (M ) f y (N ) F y (M ) F z (M ) z z ( F ) ( x (M ) (x x F z ) + F ) y (M ) (y y (M ) F z ) (M ) F x (M ) (x x ) + F y (M ) (y y ) + F z (M ) (z z ) (.1) (.1) уравнение касательной к плоскости в точке M. x x F x (M ) y y F y (M ) z z F z (M ) (.11) (.11) уравнение нормали. Если F x (M ) либо F y (M ) поверхность задается x x (y, z) либо y y (x, z) неявные, однозначные функции. Уравнения получаются аналогичные (.1,.11). В случае когда gradf (M ) касательная плоскость к в точке M может и не существовать Пример. Найти касательную плоскость z x y в точке M (,, ) F x x F y y F z z ( ) Следовательно: gradf (M ) Замечание. (x, y, z) E 3 z x + y, z ± x + y x z конус. В любой точке M (x, y, z ) отличной от точки M уравнение касательной к плоскости: x (x x ) y (y y ) + z (z z ) Можно провести бесконечное множество касательных плоскостей в точке M (,, ). 44

45 .1.4 Система функций заданных неявно Пусть система функций y 1,..., y k задана неявно: F 1 (x 1,..., x m, y 1,... y k ). F k (x 1,..., x m, y 1,... y k ) (.1) То есть функции y 1,..., y k решения системы (.1), где y j y j (x 1,... x m ), j 1, k Теорема. Пусть система функций (.1) удовлетворяет условиям: 1. Функции F j определены в некоторой окрестности Ω E m+k точки ( ) M x 1, x,..., x m, y1,..., yk и непрерывно дифференцируемы в этой окрестности.. Якобиан (определитель Якоби) системы отличен от нуля. F 1 F 1 F 1... y 1 y y k F F F... y 1 y y k. F..... y (F 1,..., F k ) (y 1,..., y k ) F k F k F k... y 1 y y k 3. Точка M удовлетворяет системе (.1). Тогда существует окрестность точки M : { x i x i < a, i 1, m; y j yj < b, j 1, k } Ω такая система определяет y 1, y,..., y k однозначно, как непрерывно дифференцируемые функции на множестве { } xi x i < a, i 1, m E k Доказательство. В нашем курсе его не будет. Нахождение частных производных y 1 ψ 1 (x 1,..., x m )... y k ψ k (x 1,..., x m ) (.13) dy j dx l, j 1, k, l 1, m 45

46 Обозначим x (x 1,..., x m ), тогда подстановка (.13) в (.1) дает: F 1 ( x, ψ 1 ( x ),..., ψ k ( x ))... F k ( x, ψ 1 ( x ),..., ψ k ( x )) Дифференцируем по x l каждое тождество, получим: F 1 + F 1 ψ F 1 ψ k x l y 1 x l y k x l... F k + F k ψ F k ψ k x l y 1 x l y k x l Это линейная система, относительно неизвестных ψ j x l, j 1, k, l 1, m. Она однозначно разрешима тогда и только тогда, когда ее Якобиан отличен от нуля: (F 1,..., F k ) (y 1,..., y k ) А решения этой системы выглядят следующим образом: y 1 (F 1, F,..., F k ) x l (x l, y,..., y k )... (F 1, F,..., F k ) y k (y 1,..., y k 1, x l ) x l (F 1,..., F k ) (y 1, y,..., y k ).1.5 Зависимость функций. Понятие. Пусть даны k функций m переменных: u 1 ϕ 1 (x 1,..., x m )... u k ϕ k (x 1,..., x m ) (.14) определенных в области D E m. Определение (1 ). Функция u n зависит от остальных функций системы (.14) в области D, если: x D u n Ψ (u 1, u,..., u n 1, u n+1,..., u k ), k n Где Ψ некоторая функция (k 1) аргументов. Определение ( ). Система функций (.14) называется зависимой в области D, если одна из функций системы зависит от остальных. 46

47 Определение (3 ). Если не существует функций Ψ (t 1,..., t k 1 ), что x D u n Ψ (u 1, u,..., u n 1, u n+1,..., u k ), n 1, k то функции называются независимыми на D. Пример. Показать зависимость функций: u 1 x 1 + x + x 3 + x 4 u x 1 + x + x 3 + x 4 u 3 x 1 x + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x x 3 + x x 4 + x 3 x 4 u 3 u u 1 Пример. Показать независимость: { u 1 x + y u x y D E, M (, ) D внутренняя точка области D. Функция u 1 y + x сохраняет постоянное значение, а именно y 1 на прямой y x, а функция u на этой прямой имеет вид u x - данное выражение не является константой, следовательно u x - не зависит от u 1 на этой прямой. Докажем теперь что u 1 не зависит от u. На прямой y x, можем заметить что u, функция u 1 x на этой прямой это переменная, следовательно u 1 не зависит на прямой y x от u, значит и на D она не зависит, а значит что система независимая. Теорема. Пусть k функций от m переменных (k m), определяемых системой (.14) определены и дифференцируемы в окрестности точки M (x 1,..., x m), если Якобиан от этих функций по каким либо k переменным отличен от нуля в точке M, то система функций (.14) не зависима в некоторой окрестности точки M. Доказательство. Пусть, не теряя общности отличен от нуля Якобиан по переменным x 1, x,..., x k. (u 1, u,..., u k ) (x 1,..., x k ) (.15) Предположим противное, то есть u 1,..., u k зависимы в некоторой окрестности точки M, например u n Ψ (u 1,..., u n 1, u n+1,..., u k ) в окрестности точки M сложная функция аргументов x 1,..., x m, но дифференцируем по x j, j 1, k: u n Ψ u Ψ u n 1 + Ψ u n Ψ u k x 1 u 1 x 1 u n 1 x 1 u n+1 x 1 u k x 1 u n Ψ u Ψ u n 1 + Ψ u n Ψ u k x u 1 x u n 1 x u n+1 x u k x... u n Ψ u Ψ u n 1 + Ψ u n Ψ u k x k u 1 x k u n 1 x k u n+1 x k u k x k 47

48 ( ) T u Данное выражение означает, что вектор n x 1,..., un x k, являющийся n-ной строкой определителя Якоби является линейной комбинацией остальных строк определителя, следовательно определитель Якоби равен нулю. Противоречие..1.6 Условный экстремум. Понятие. Пример. Найти экстремумы функции u x + y (.16) при условии x + y 1 (.17) 1. Выразим y 1 x, подставим его в u, получим функцию одной переменной: ũ x + (1 + x) x x + 1 Ее область определения: x (, + ).. Найдем ее экстремумы: ũ 4 x, тогда x 1 критическая точка. Так как функция ũ, переходя через точку x 1 меняет знак с минуса на плюс, значит x 1 ũ min ũ ( ) 1 1 точка минимума: Заметим что глобальным экстремумом (минимумом) функции является: f min f (, ) Полученный экстремум называется условным, так как необходимо учитывать дополнительное условие условие связи (.17). В общей постановке задача нахождения условного экстремума выглядит следующим образом: u f (x 1,..., x m, y 1,..., y k ) extr (.18) F 1 (x 1,..., x m, y 1,..., y k )... F k (x 1,..., x m, y 1,..., y k ) (.19) Функция f ( x, y ) называется целевой функцией, а условия (.19) называются условиями связи. 48

49 Определение. Говорят что функция (.18) имеет условный максимум (минимум) в точке M ( x, y ), координаты которой удовлетворяют условиям связи (.19), если существует окрестность U (M ) в точке M, в которой функция f ( x, y ) принимает наибольшее (наименьшее) значение в точке M, среди всех точек, удовлетворяющих условиям (.19). Предположим что функции F j дифференцируемы в U (M ) и непрерывно дифференцируемы в самой точке M, и Якобиан равен: D (F 1,..., F k ) (y 1,..., y k ) (.) Тогда, по теореме о системе неявных функций, существует окрестность в точке M (x 1,..., x m), в которой однозначно определены функции: y 1 ϕ 1 (x 1,..., x m )... (.1) y k ϕ k (x 1,..., x m ) Они же являются решениями системы (.19). Подставив функции (.1) в функцию (.18) получим задачу на безусловный экстремум: u f (x 1,..., x m, ϕ 1 (x 1,..., x m ),..., ϕ k (x 1,..., x m )) Φ (x 1,..., x m ) extr (.) Проблема. Можно ли получить необходимые условия экстремума, не решая систему (.19)? Если u имеет в точке M экстремум, то: du Φ x 1 dx Φ x m dx m для любого набора dx i, i 1, m. Так как дифференциал обладает свойством инвариантности формы, он может выглядеть так (но только в точке M ): du f x 1 dx f x m dx m + f y 1 dy f y k dy k (.3) Дифференцируя уравнения связи (.19) с учетом системы (.1) получим следующую систему: F 1 dx F 1 dx m + F 1 dy F 1 dy k x 1 x m y 1 y k... (.4) F k dx F k dx m + F k dy F k dy k x 1 x m y 1 y k Так как Якобиан отличен от нуля в точке M, то из системы (.4) получим однозначно неизвестные dy 1,..., dy k, зависящие линейно от dx 1,..., dx m. После их подстановки в (.) получим: A 1 dx A m dx m, dx i, i 1, m 49

50 А тогда: A 1... A m, F 1... F k Получили (k + m) условий необходимое условие экстремума для задачи (.18,.19). На практике удобно применять метод множителей Лагранжа..1.7 Метод множителей Лагранжа Рассматривается функция Лагранжа: ( L x, ) y, λ f ( x, y ) + λ 1 F ( x, y ) λ k F k ( x, y ) Где λ j, j 1, k (пока) неизвестные множители Лагранжа. Считая выполненными условия (.19) и что функция f ( x, y ) дифференцируема, выберем λ j, j 1, k из условий: L L... L y 1 y y k Это возможно так как система: f + λ 1 F λ k F k y 1 y 1 y 1. f + λ 1 F λ k F k y k y k y k однозначно разрешима по условию d (F 1,..., F k ). Отсюда следует что dl, то d (y 1,..., y k ) есть: примет вид: L dx L dx m + L dy L dy k x 1 x m y 1 y k L x 1 dx L x m dx m Где x i произвольное. Значит: L x 1. L x m 5

51 Получили необходимые условия экстремума задачи (.18,.19): L x 1 L y 1 F 1. L x m. L y k. F k Достаточное условие экстремума: ( d L dx x 1 x m dx m + Тогда если L > min, а если L < max. y 1 dy ) dy k y k Замечание. При исследовании d u на знак часто требуется дополнительно дифференцировать условия связи это позволяет получить соотношение между dx 1,..., dx m, dy 1,..., d yk. Пример. Найти экстремумы: { u x y extr x y 3 ( L x, ) y, λ x y + λ ( x y 3) 1. необходимое условие экстремума. x + λ L x y λ x y 3 x λ y λ/ λ + λ/ 3 x y 1 λ Тогда M (; 1) критическая точка, отвечающая λ.. Достаточное условие экстремума d L L x dx + L xy dx dy + L y dy dx dy Продифференцируем условие связи: d ( x y 3) dx dy d L dx 4 dx 6 dx < Тогда U max U (M ) U (; 1) 3. 51

52 3 Интегральное исчисления функций многих переменных 3.1 Двойные интегралы Задача об объеме цилиндрического бруса Пусть D E - квадрируемая область, а функция u f (x, y) определена на D. Ставится задача нахождения объема цилиндрического бруса, ограниченного плоскостью XoY, поверхностью u f (x, y) и поверхностью, составленной из перпендикуляров плоскости XoY, проходящих через точки границы области D. Разобьем область D спрямляемыми линиями на непересекающийся подобласти D D 1 D... D n, D i D j Ø j i. i 1, n выберем произвольную точку M i (ξ i, ν i ) D i. Обозначим i - площадь D i, λ i sup ϱ (M, M ), λ maxλ i Тогда при достаточно M,M D i i1,n больших n и малых λ конечная сумма σ n n f (ξ i, ν i ) i приближенно равна объему нашего груза. При n, λ погрешность приближения стремится к нулю. В пределе получаем объем груза. Определение. Если существует конечный предел при n, λ последовательности σ n n i1 i1 f (ξ i, ν i ) i, не зависящая от способа разбиения области D и набора точек {M i }, то его называют двойным интегралом от функции u f (x, y) по области D, обозначают: def n f (x, y) dx dy lim f (ξ i, ν i ) i. А функция называется D n λ i1 интегрируемой по области D Суммы Дарбу для двойного интеграла. Условия существования интегралов. Лемма. Функция u f (x, y), интегрируемая на области D обязательно ограничена на области D. Доказательство. Самостоятельно разобрать. Переносим схему доказательства с аналогичной теоремы о одинарном интеграле. Пусть функция u f (x, y) ограничена, то есть m, M R m f (x, y) M на D. Рассмотрим произвольное разбиение D n D i, обозначим m i inff (x, y), M i i1 D i supf (x, y). D i Определение. Суммы s n n m i i, n n M i i называются нижней и верхней i1 суммами Дарбу для функции f (x, y). Легко доказать что s n σ n n для любого разбиения и для любого набора точек {M i }. Самим доказать надо. i1 5

53 Свойства сумм Дарбу. Теорема (1). При добавлении в разбиение еще одной спрямляемой линии нижние суммы Дарбу не убывают, а верхние суммы Дарбу не возрастают. Доказательство. Самостоятельно... Теорема (). Всякая нижняя сумма Дарбу s не превосходит всякой верхней суммы Дарбу. Доказательство. Самостоятельно... Теорема (3). Функция u f (x, y) интегрируемая на области D тогда и только тогда, когда n lim ( n s n ) λ Доказательство. Самостоятельно Классы интегрируемых функций Теорема (1). Функция u f (x, y) непрерывна на области D интегрируема на ней. Доказательство. Самостоятельно... Теорема (). Если ограниченная функция u f (x, y) имеет на области D разрывы лишь на конечном множестве кривых нулевой площади, то f (x, y) интегрируемая на D. Доказательство. Самостоятельно, аналогично для одинарного интеграла с 1го курса Свойства двойного интеграла Свойство 1. Если область D D 1 D, D 1 D Ø и f (x, y) интегрируемая на D, то f (x, y) интегрируема на D 1 и D, причем f (x, y) dx dy f (x, y) dx dy + D D 1 f (x, y) dx dy. D Доказательство. Самостоятельно, аналогично для одинарного интеграла с 1-го курса... Свойство. Если f (x, y) интегрируемая на D, то k R k f (x, y) dx dy D k f (x, y) dx dy. D Доказательство. Самостоятельно, аналогично для одинарного интеграла с 1-го курса... Свойство 3. Если f (x, y) и g (x, y) - интегрируемы на D, то f (x, y) ± g (x, y) так же интегрируема на D и верна формула: (f (x, y) ± g (x, y)) dx dy f (x, y) dx dy ± D D g (x, y) dx dy. D 53

54 Доказательство. Самостоятельно, аналогично для одинарного интеграла с 1-го курса... Свойство 4. Если f (x, y) и g (x, y) интегрируемы на D и выполняется условие f (x, y) g (x, y), то f (x, y) dxdy g (x, y) dxdy. D D Доказательство. Самостоятельно, аналогично для одинарного интеграла с 1-го курса... Свойство 5. Если f (x, y) - интегрируемы на D и f (x, y) - интегрируема на D, то f (x, y) dxdy f (x, y) dxdy. d D Доказательство. Самостоятельно, аналогично для одинарного интеграла с 1-го курса... Свойство 6. Если m f (x, y) M, f (x, y) - интегрируема на D, то m D f (x, y) dxdy M D. D Доказательство. Самостоятельно, аналогично для одинарного интеграла с 1-го курса... Свойство 7. Если f (x, y) - интегрируемы на D и f (x, y) - интегрируема на D, то µ [m, M] f (x, y) dxdy µ D. D Доказательство. Самостоятельно, аналогично для одинарного интеграла с первого курса Приведение двойного интеграла к повторному. Случай прямоугольной области Пусть D {Π x [a, b], y [c, d]}. Функция u f (x, y) определена на D, для удобства f (x, y). Рис. : Прямоугольная область D 54

55 b Если вспомнить формулу объема тела через его поперечное сечение V Q (x) dx, a где Q (x) - площадь криволинейной трапеции, выражаемая интегралом. Q (x) ˆd c f (x, y) dy В результате получим повторный интеграл ˆb ˆd f (x, y) dy dx ˆb ˆd dx f (x, y) dy a c a c Случай криволинейной области Рассмотрим например область D {(x, y) (x, y) E, ограниченная прямыми x a, x b и линиями y y 1 (x) и y y (x), y 1 (x) y (x), при x [a, b]}. Рис. 3: Криволинейная область Тогда x [a, b] площадь поперечного сечения цилиндрического бруса равна: Q (x ) ˆ y (x ) f (x, y) dy y 1 (x ) V ˆb a ˆb a ˆb Q (x) dx dx ˆ y (x ) y 1 (x ) ˆ y (x ) f (x, y) dy dx f (x, y) dy a y 1 (x ) 55

56 Теорема. Пусть: 1. Функция u f (x, y) интегрируема на области D, ограниченой линиями x a, x b, y y 1 (x), y y (x) ( f (x, y) dxdy). x [a, b] y (x) y 1 (x) f (x, y) dy тогда существует повторный интеграл, равный двойному. Доказательство. Будем считать, что y 1 (x) и y (x) непрерывны на [a, b]. D Рис. 4: Область D Обозначим c min y 1 (x), d max y (x). Поместим область D в прямоугольник [a,b] [a,b] Π {(x, y) x [a, b], y [c, d]}. Рассмотрим следующую функцию двух переменных: { f f (x, y), (x, y) D (x, y), (x, y) Π\D f (x, y) интегрируема на прямоугольнике Π, так как f (x, y) dxvdy f (x, y) D D dx dy + dx, dx. Далее Π\D x [a, b] Π\D ˆd f (x, y) dy ˆ y 1 (x) f (x, y) dy + ˆ y (x) f (x, y) dy + ˆd f (x, y) dy ˆ y (x) y 1 (x) c y (x) y 1 (x) d y (x) y 1 (x) c c y 1 (x) f (x, y) dy, (x, y) Π\D f (x, y) dy, (x, y) Π\D f (x, y) dy, (x, y) G f (x, y) dy y (x) y 1 (x) d y (x) y 1 (x) c f (x, y) dy y (x) f (x, y) dy f (x, y) dy y (x) y 1 (x) f (x, y) dy 56

57 Существует предел: b d dx f b (x, y) dy dx a c a y (x) y 1 (x) f (x, y) dy Определение. Область D E называется правильной по y, если всякая прямая x const пересекает границу D области D не более чем в двух точках. Рис. 5: Область правильная по y Замечание. y 1 (x) определяет одну общую точку (точку входа), а y (x) - вторую (точку выхода), а графики функций y 1 (x)и y (x) - линии входа и выхода соответственно. Рис. 6: Разбиение неправильной области на несколько правильных Замечание. Если область D неправильная по y, то несколькими прямыми вида x const область D разбивает на несколько областей, правильных по y, D D i, причем i f (x, y) dx dy f (x, y) dx dy. Аналогично, если область D правилььная по D i D i x (тоесть y [c, d] x [x 1 (y), x (y)], x 1 (y) - линия входа, x (y) - линия выхода), то d x (y) f (x, y) dx dy dy f (x, y) dx dy. D c x 1 (y) Определение. Правильной называется область, правильная по x и по y одновременно. Пример (1). Расставить пределы интегрирования в разном порядке для интегралов f (x, y) dxdy, где область D ограничена следующими линиями: y x, x a, y D, a >. 57

58 Рис. 7: Правильная область 1. По x внешне, по y внутреннее интегрирование: x [, a], линия входа y, линия выхода y x. x [, a] y [, x ]. I f (x, y) dxdy ˆa ˆx dx f (x, y) dxdy D Рис. 8: По x внешнее, по y внутреннее. По x внутренне, по y внешнее. y [, a ] x [ y, a ]. I ˆa ˆa dy f (x, y) dx y Замечание. В случае если для линии входа или выхода нельзя указать единую аналитическую зависимость, область D разбивают на подобласти. Пример (). Вычислим x ydxdy, где D : {y, y x 3, x + y 3}. D 58

59 Рис. 9: По x внутреннее, по y внешнее Рис. 1: К примеру () При x [, 3] линия входа y. Линия выхода: при x [, 1] y x 3, при x [1, 3] y 3 x. Прямой x 1 разбиваем на D 1 и D. x ydxdy x ydxdy + x ydxdy D D 1 D ˆ1 ˆ1 1 ˆ dx x 3 x ydy + ˆ3 x y x3 + ˆ1 4x 8 dx ˆ3 ˆ3 1 ˆ dx 3 x x y 3 x ydy ( 9x 6x 3 + x 4) dx (...)... 1 Замечание. Мы пошли по сложному пути, есть путь полегче. Можно было расставлять пределы интегрирования, выходя из того, что D правильная область по x, а не делить ее на две области. 59

60 Рис. 11: К примеру () Получилось бы так: I ˆ dy ˆ3 y y 3 x ydx... Аналогично определятся повторный интеграл Теорема. Если: d c b d dy f (x, y) dx a c 1. Определена в прямоугольной области D Π {(x, y) x [a, b], y [c, d]}. двойной интеграл f (x, y) dxdy D ( b a ) f (x, y) dx dx. 3. x [a, b] интеграл b a f (x, y) dx То существует повторный интеграл Доказательство. Разобьем отрезки [a, b], [c, d] : a x < x 1 <... < x i < x i+1 <... < x n b c y < y 1 <... < y k < y ik+1 <... < y m d b a d dx f (x, y) dy, равный двойному. c Обозначим D i,k {(x, y) x [x i, x i+1 ], y [y k, y k+1 ]}, i 1, n 1, k 1, m 1. D Π i,k D i,k x i x i+1 x i, y k y k+1 y k m i,k inf f (x, y), D i,k M i,k supf (x, y) D i,k Выберем произвольные ξ i [x i, x i+1 ], следовательно: m i,k y k ˆ y k+1 f (ξ i, y) dy M i,k y k y k 6

61 Суммируем по k, m 1. m 1 k m i,k y k ˆd c f (ξ i, y) dy m 1 k M i,k y k Умножая на x i и суммируя по i 1, n 1 получается: ( n 1 m 1 ) n 1 m i,k y k x i i i k k i ( n 1 m 1 ) m i,k y k x i s n ˆd c ( n 1 m 1 ) f (ξ i, y) dy x i M i,k y k x i i k ( n 1 m 1 ) M i,k y k x i n i k Это верхняя и нижняя суммы Дарбу для двойного интеграла. n λ n, s n f (x, y) dxdy n 1 d i c D f (ξ i, y) dy x i - интегральная сумма для определенного интеграла ˆb F (x) dx ˆb ˆd f (x, y) dy dx a a c ˆb ˆd f (x, y) dy dx f (x, y) dxdy a c D Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. В плоскости XoY введем полярные координаты: { x r cos ϕ y r sin ϕ Пусть функция u f (x, y) определена на множестве D E, и существует двойной интеграл по этой области. Пусть в полярных координатах область D заключена между лучами ϕ α, ϕ β или, проще говоря, ϕ [α, β]. Пусть D правильная по r, то есть ϕ [α, β] луч ϕ ϕ пересекает D в -х точках: r 1 (ϕ ), r (ϕ ). Предположим, что r 1 (ϕ) и r (ϕ) 61

62 Рис. 1: Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. непрерывны на [α, β]. Обозначим a min r (ϕ), b max r (ϕ). Рассмотрим разбиение: [α,β] [α,β] α ϕ < ϕ 1 <... < ϕ l β, a < r < r 1 <... < r n b. Получим полярную сетку, образованную лучами ϕ ϕ k, k, l 1 и дугами окружностей r r i, i, n 1. Обозначим D i,k - область ограниченная лучами ϕ ϕ k, ϕ ϕ k+1 ϕ k + ϕ k и дугами r r i и r r i+1 r i + r i. Её площадь: i,k r i+1 ϕ k r i ϕ k ϕ k (r i+1 r i ) (r i+1 + r i ) ϕ k ( ri r i + ( r i ) ) {Отбрасываем бесконечно малые более высоких порядков} r i r i ϕ k Следовательно: f (ξ i,k, η i,k ) i,k i i k f (r i cos ϕ k, r i sin ϕ k ) r i r i ϕ k k При λ max диаметра D i,k, n, l. i,k Левая часть стремится к f (x, y) dxdy, при этом max r i, max ϕ k, и D правая часть - это интегральная сумма для двойного интеграла f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ. D ˆβ dϕ ˆ r (ϕ) f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr α r 1 (ϕ) Пример (1 ). Перейти к полярным координатам в интеграле: f (x, y) dxdy, Diϕ π 6, ϕ π 4, r ir 3 D 6

63 Рис. 13: Переход к полярным координатам. В полярных координатах область D превращается в область D : ϕ [, 3]. Следовательно D - прямоугольник. Следовательно: I π ˆ4 π 6 ˆ3 dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr [ π 6, π 4 ], r Пример (). Вычислить двойной интеграл: I x dx dy, D : {x + y x } D D : x + y x (x { 1) + y 1 x r cos ϕ y r sin ϕ На D : r cos ϕ r r [ (r cos ϕ) r 1 r cos ϕ [ D : ϕ π ; π ], r [; cos ϕ] Следовательно: I π ˆ π dϕ ˆ cos ϕ r cos ϕ r dr π ˆ π ( ) r 3 3 cos ϕ cos ϕ dϕ 8 3 π ˆ π cos 4 ϕ dϕ... π 63

64 Рис. 14 Рис Замена переменных в двойном интеграле { x x (u, v) Пусть функции взаимно однозначно отображают область (u, v) D y y (u, v) в область (x, y) D, дифференцируемы на D и D D. p 1,p,p 3,p u v 4 p1 p p 3 p 4 p 1 (x 1, y 1 ), x 1 x (u, v), y 1 y (u, v) p (x, y ), x x (u + u, v), y y (u + u, v) p 3 (x 3, y 3 ), x 3 x (u + u, v + v), y 3 y (u + u, v + v) p 4 (x 4, y 4 ), x 4 x (u, v + v), y 4 y (u, v + v) Будем считать u и v достаточно малыми, а линии p 1 p и p 3 p 4, p 1 p 4 и p p 3 - попарно параллельны. Заменяем приращение дифференцируемых функций дифференциалом, отбрасываем бесконечно малые высших порядков, относительно u и v, получим x 1 x (u, v), y 1 y (u, v) x (u, v) x x (u + u, v) x (u, v) + u - частный дифференциал в точке (u, v) u 64

65 Рис. 16 Рис. 17 по переменной u. y y (u, v) + y (u, v) u u x 3 x (u, v) + x x u + u v v y 3 y (u, v) + y y u + u v v x 4 x (u, v) + x v v y 4 y (u, v) + y v v 65

66 Площадь параллелограмма равна: p1 p p 3 1 x 3 x 1 x 3 x y 3 y 1 y 3 y (x 3 x 1 ) (y 3 y ) (x 3 x ) (y 3 y ) ( ) ( ) x x y u + u v v x y v v v v y u + u v v x y u v x y v u u v x x u v y y v u u v x x Величина I u v (x, y) y y - определитель Якоби. (u, v) u v I, I - коэффициент растяжения или сжатия малых площадей при переходе от координат (u, v) к координатам (x, y)( к ). Так как при n, λ : lim n λ I Следовательно f (x, y) dx dy преобразуется в другой интеграл I du dv. D D f (x, y) dx dy D f 1 (u, v) I du dv Пример (1 ). Переход к полярным координатам: { x r cos ϕ y r sin ϕ I x r x ϕ y r y ϕ cos ϕ r cos ϕ sin ϕ r cos ϕ r cos ϕ + r sin ϕ r То есть: f (x, y) dxdy f 1 (x, y) r dr dϕ D D Пример ( ). Вычислить интеграл J (x + y) dxdy. D : {xy a; xy b; y x; y x c; c >, < a < b} Введем новые координаты: D 66 D f (x (u, v), y (u, v))

67 Рис. 18 u xy, v y x x u y v y u y y vy u y 1, v ± v + 4u {u >, y > +} v + v 4u y u x v + v 4u u ( v v + 4u ) v + 4u v x v v 4u 4 I x u x v y u y v 1 v 1 v + 4u v + 4u 4 4 v + 4u 1 + v v + 4u 1 ( ) v v + 4u v + 4u v v + 4u v + 4u Следовательно: J ˆ ˆb dv v + 4u ˆ 1 v + 4u du u b adv (b a) c c a c Приложения двойного интеграла Вычисление площадей плоских фигур Так как площадь фигуры D E численно равно объему цилиндра с основанием D,поэтому высота равна единице. D 1dxdy dxdy D D Механические приложения Если дана материальная пластина, заполняющая область D и на ней распределена плотность масс ρ ρ (x, y), то разбивая область D линиями x x i, y y j выбирая в полученных ячейках разбиения D i,j произвольные точки M i,j (ξ i, η j ), считая плотность ρ на ячейке D i,j постоянной, равной ρ (M i,j ) 67

68 Рис. 19 и устремляя λ max diam D i,j, то в пределе получим M D ρ (x, y) dxdy n 1 lim λ l 1 i j ρ (ξ i, η j ) x i y j в предположением, что ρ (x, y) C (D). Аналогично определяются статические моменты относительно осей координат: n 1 l 1 λ k x y j ρ (ξ i, η j ) x i y j i D j k y xρ (x, y) dxdy Моменты инерции: D yρ (x, y) dxdy D n 1 l 1 I x y λ ρ (ξ i, η j ) x i y j i j I y x ρ (x, y) dxdy D y ρ (x, y) dxdy D I I x + I y ( x + y ) ρ (x, y) dxdy Координаты центра масс: x c k xρ (x, y) dxdy y M D ρ (x, y) dxdy y c k x M D D yρ (x, y) dxdy D ρ (x, y) dxdy D 68

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

8. Сформулируйте определение сходящейся последовательности точек пространства R. Является ли

8. Сформулируйте определение сходящейся последовательности точек пространства R. Является ли Множества и последовательности точек Сформулируйте определение изолированной точки множества D R Приведите пример Сформулируйте определение внутренней точки множества D точек пространства Приведите пример

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий АННОТАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Направление подготовки 10.03.01 «Информационная безопасность» направленность (профиль) программы Организация

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович

док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович Автор: док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович Наименование дисциплины: Математический анализ и дифференциальные уравнения 1. Аннотация Аннотация: в курсе излагаются: теория пределов

Подробнее

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 11 (об интегрируемости кусочно непрерывной функции) «3» Пример (гармонический ряд расходится) «3» Пример ( 1/n 2 сходится) «3» Теорема 6 (интегральный

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Боревич АЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие Санкт-Петербург 5 Оглавление Глава Предел Непрерывность

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Тема 1. Множества точек пространства R. 1. Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства m

Тема 1. Множества точек пространства R. 1. Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства m МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики Тема Множества точек пространства R Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R Сформулируйте определение

Подробнее

1. Последовательность функций, точечный предел Равномерная норма функции, равномерный предел последовательности

1. Последовательность функций, точечный предел Равномерная норма функции, равномерный предел последовательности Оглавление Глава Евклидово пространство Понятие m- мерного евклидова пространства Множества точек m мерного евклидова пространства 4 m Последовательности точек пространства R 5 4 Предел функции m переменных

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область ~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных,, если каждой паре значений,

Подробнее

1. БИЛЕТ Сформулировать понятие точной верхней и точной нижней Сформулировать понятие окрестности точки и свойства окрестностей

1. БИЛЕТ Сформулировать понятие точной верхней и точной нижней Сформулировать понятие окрестности точки и свойства окрестностей 1. БИЛЕТ 1.1. Сформулировать понятие точной верхней и точной нижней границ числового множества. 1.2. Сформулировать понятие окрестности точки и свойства окрестностей фиксированной точки. 1.3. Сформулировать

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте Перечень тем и вопросов, выносимых на зимнюю сессию 2013-2014 уч. год, 1 курс, 2 поток Дисциплина Математический анализ, лектор к.ф.-м.н., доцент Фроленков И.В. 1. Понятие функции. График функции. Обзор

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для студентов

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее