Е.Г. Лебедько. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ (части 3 и 4)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Е.Г. Лебедько. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ (части 3 и 4)"

Транскрипт

1 ЕГ Лебедько МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ (части 3 и 4) Учебное пособие W( z ) W( y s) β α Z g( t) S( t) dt k N E t Санкт-Петербург 9

2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ ЕГ Лебедько МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ (части 3 и 4) Учебное пособие Санкт-Петербург 9

3 Лебедько ЕГ Математические основы передачи информации Ч3, 4: учеб пособие для вузов- СПб: СПбГУИТМО, 9- с В третьей части настоящего учебного пособия излагаются основы статистической теории обнаружения сигналов и элементы теории фильтрации Четвертая часть посвящена основам теории оценок параметров сигналов Все теоретические положения иллюстрируются примерами Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров и магистров 559 «Оптотехника» Рекомендовано Учебно-методическим объеденением вузов Российской Федерации по образованию в облости приборостроения и оптотехники для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки Оптехники и специальности 3 Оптико-электронные приборы и системы, протокол 47 от 39 СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 7-8 годы и успешно реализовал инновационную образовательную программу «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий», что позволило выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворять возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях науки Реализация этой программы создала основу формирования программы дальнейшего развития вуза до 5 года, включая внедрение современной модели образования Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 9 Лебедько Е Г, 9

4 ЕГ Лебедько, 9

5 СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 6 Часть 3 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБНАРУЖЕНИЯ 5 3 Основы статистической теории обнаружения сигналов 5 3 Априорные и апостериорные вероятности, формула Байеса 5 3 Понятие отношения правдоподобия 9 33 Вероятности правильных и ошибочных решений 34 Статистические критерии качества принятия решений 4 35 Структура оптимального обнаружителя 36 Обнаружение сигналов на фоне гауссовых шумов 4 37 Обнаружение при пуассоновской статистике сигнала и шума Последетекторное обнаружение Вычисление условных вероятностей ошибок обнаружения 4 3 Последовательное обнаружение 53 3 Элементы теории фильтрации сигналов 58 3 Оптимальная линейная фильтрация с позиции максимума отношения сигнала к помехе 58 3 Согласованный фильтр Синтез согласованных фильтров Оптимальные линейные фильтры для приема детерминированных сигналов на фоне окрашенных шумов Оптимальная фильтрация с позиции минимума искажения полезного сигнала 69 Часть 4 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ 75 4 Байесовская оценка случайных параметров 75 4 Оценка неизвестных параметров, граница Крамера-Рао 8 43 Оценка по максимуму правдоподобия Оценка энергетического параметра Оценка неэнергетического параметра Совместная оценка нескольких параметров Аномальные погрешности при оценке параметров 4 ПРИЛОЖЕНИЕ Решение интегральных уравнений 7 ЛИТЕРАТУРА 3

6 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее учебное пособие посвящено изложению основ теории статистических решений, в основе формирования которой оказались такие дисциплины как: теория оценки параметров (работы англичанина Р Фишера, шведа Г Крамера, советского академика ЮВ Линника); теория испытания гипотез (работы американского математика Ю Неймана, английского Е Пирсона, советского академика АН Колмогорова); теория игр (фундамент заложил французский математик Э Борель, развил американский ученый Дж Фон-Нейман) Объединение и развитие ряда идей этих теорий позволило американскому математику А Вальду построить общую дисциплину, названную им теорией решающих функций Американским ученым Д Миддлтоном методы теории решающих функций успешно были использованы для решения прикладных технических задач связи и локации В результате последующих работ известных зарубежных и советских ученых, таких как К Хелстром, В Давенпорт, Г Ван Трис, ВИ Тихонов, БР Левин, СЕ Фалькович и др, сформировалась теоретико-техническая дисциплина теория статистических решений, которую можно считать важнейшей главой общей теории связи, локации и управления В пособии изложены два раздела прикладной теории статистических решений: статистическая теория обнаружения сигналов, в которую вошли также элементы теории фильтрации, и оценка параметров сигналов 4

7 Часть 3 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБНАРУЖЕНИЯ Задача обнаружения сигналов формулируется следующим образом Пусть имеется некоторое число различных сигналов si () t, из которых лишь один передается на интервале наблюдения Полезные сигналы сигналы, имеющие информационные параметры, могут быть детерминированными, квазидетерминированными, либо случайными Прием таких сигналов осуществляется на фоне мешающего воздействия x t, вероятностные характеристики которой известны Известен и помехи характер композиции помехи с полезным сигналом s ( t), x( t) i В любом случае в приемную систему поступает случайный процесс yt, представляющий собой либо смесь полезного сигнала и помехи, либо только одну помеху yt могут быть выдвинуты Таким образом, после приема реализации разные гипотезы о том, какой из сигналов si ( t ) был передан и был ли он передан вообще Задача статистической теории обнаружения сигналов дать метод принятия решения о наиболее достоверной из гипотез Однако случайный характер принимаемой реализации yt приводит к тому, что принятие решения не застраховано от ошибок Видимо, при принятии решения следует выбрать такую стратегию, при которой последствия, связанные с указанными ошибками, были бы минимальными В зависимости от числа возможных вариантов передаваемых сигналов задачи обнаружениям подразделяются на двухальтернативные и многоальтернативные В двухальтернативных задачах на интервале наблюдения может передаваться один из двух сигналов Частным случаем двухальтернативной задачи является обнаружение факта передачи или отсутствия единственного сигнала, так как отсутствие сигнала на интервале наблюдения эквивалентно нулевому сигналу В многоальтернативных задачах требуется идентифицировать принятый сигнал с одним из n сигналов с известными характеристиками 3 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ 3 Априорные и апостериорные вероятности, формула Байеса Прежде всего, введем некоторые понятия Положим, что наблюдение проводится в дискретные моменты времени t, t,, t n на интервале Известна n - мерная плотность вероятностей помехи 5

8 (,,,,,,, ) W x x x t t t n n n Это означает, что известно, с какой плотностью вероятностей в момент времени t = t помеха примет значение x x, в момент t = t - значение x x, и тд Эти случайные значения можно x( t ) определить на плоскости x, t x 3 (рис3) x Такое представление можно x x n заменить векторным, считая значения x, x,, x n координатами вектора помехи x r в n - мерном пространстве: r x = x, x,, xn Рис 3 Отсчеты случайной Поскольку координаты функции x, x,, x n - случайные величины, то и сам вектор x r должен быть случайным и характеризоваться плотностью вероятностей W( x r ) Зная Wn ( x r ), можно определить вероятность попадания конца вектора x r r в бесконечно малый объем dω ( x) = dxdx dxn Если r r Wn ( x) dω ( x) =, r Ω( x) то область Ω( x r ) называется пространством помехи (или пространством шума) Неизвестные параметры a, a,, a n передаваемого сигнала s t = s t a a a можно также рассматривать как координаты (),,,, n вектора a r, определяемого в n - мерном пространстве И, по аналогии с предыдущим, если r r Wn ( a) dω ( a) =, r Ω ( a) Ω r то область ( a) называется пространством параметров Введем также понятие пространства наблюдений Принимаемая реализация yt () = ysta (, ), xt также является случайным процессом, значения которого y, y,, y n в дискретные моменты времени t t t - случайные величины Этот процесс представим вектором,,, n t 6

9 r y = ( y, y,, yn ) Если r r Wn ( y) dω y = r Ω ( y) то область ( y) Ω r, называется пространством наблюдения Используя введенные понятия, сформулируем условия задачи, рассматриваемой в теории статистических решений Положим известными: ) априорную (доопытную) плотность s t ; ) плотность вероятностей n вероятностей W шума s() t, x() t W a r вектора параметров a r сигнала n x r вектора помехи x r ; 3) характер композиции сигнала и Необходимо определить значение вектора параметров a r Вектор a r определяется на основе принятой реализации yt Но вектор y r - случайный вектор, так как его значение зависит от вектора помехи x r Поэтому истинное значение вектора a r нельзя определить достоверно, а можно лишь предсказать с большей или меньшей вероятностью то или иное значение вектора a r из области его возможных значений Если бы имелась возможность провести большое число наблюдений (опытов), то апостериорно вероятности или плотности вероятностей различных значений вектора a r оказались бы рассеянными по всей области его возможных значений Однако благодаря тому, что при наблюдениях получена дополнительная информация о векторе a r по сравнению с априорной, плотность вероятностей вектора a r r r после опытов Wn ( a y) (она называется апостериорной) будет иметь тенденцию большего сосредоточения вокруг истинного значения вектора параметров a r, чем априорная На рис 3 в качестве иллюстрации приведены равновероятная априорная плотность вероятностей плотность вероятностей W ( a y ) параметра a W W ( α y) W a и апостериорная (послеопытная) W ( α ) Рис 3 Априорная и апостериорная плотности вероятностей а ист α 7

10 Апостериорную плотность вероятностей можно рассматривать как условную функцию распределения вектора a r при условии, что стал известен вектор y r Поскольку вся информация о векторе a r заключена в апостериорной вероятности или плотности вероятностей, то задача r r r r сводится к определению P( ay) или Wn ( a y) Для их вычисления воспользуемся формулой Байеса Эта формула, широко применяемая в различных приложениях теории вероятностей, была выведена Байесом ещё в 783 году Из теоремы умножения вероятностей известно, что вероятность появления совместных событий определяется как произведение безусловной вероятности появления одного события и условной вероятности появления второго события, если первое произошло Следовательно, r r r r r r r r P( ay, ) = PaPya = PyPay или r r r r r r r r Wn( a, y) = Wn( a) Wn( y a) = Wn( y) Wn( a y) Отсюда находим: r r r rr P( a) P( y a) P( a y) = r (3) P( y) или r r r rr Wn( a) Wn( y a) Wn ( a y) = r (3) Wn ( y) Соотношения (3) или (3) носят название формулы Байеса Поскольку вектор параметра a r может принимать любое из k значений, для каждого из возможных значений a r, те для a r, a r,, a r, k можно записать: r r r r r r P( a) P( y a) = P( y) P( a y), r r r r r r P a P y a = P y P a y, ( ), r r r r r r P a P y a P y P a y ( k) ( k) = ( k ) Сложим почленно эти уравнения и получим k r r r r k r r (33) ( i) ( i) = ( i ) P a P y a P y P a y i= i= В правой части выражения (33) суммирование вероятностей проводится по всем возможным значениям вектора a r Каково бы ни было при этом 8

11 условие, те каков бы ни был вектор y r, сумма должна быть равной единице, так как вектор a r, по определению, примет какое-либо одно значение из k возможных Поэтому k i= ( i ) P a r y r = Тогда имеем k r r r r (34) ( i) ( i) P y = P a P y a i= Формула (34) характеризует полную вероятность 9 P y r события y r при всех возможных значениях a r Подставив значение (34) в выражение (3), получим формулу Байеса в общем виде: rr P a y = k i= r r r P( a) P( y a) r r r P a ( i) P( y ai) (35) Следует отметить, что в числителе этой формулы значение a r может быть выбрано любым из числа k возможных При непрерывных наблюдениях формула (35) примет вид W n rr ( a y) = r r r r W a W y a r r r r W a W y a d a (36) n n n Ω n Ω( a) Как видим, для определения апостериорной плотности вероятностей rr Wn ( a y) необходимо знать функцию Wn ( y a) при известной априорной плотности вероятностей W r r 3 Понятие отношения правдоподобия Допустим, что наблюдение произведено и, таким образом, вектор y r стал известен Если подставить его в выражение Wn ( y a) будет зависеть только от a r, те W ( y a) = L( a) n a r r r, то последнее r r r Функция n L a r - условная плотность вероятностей вектора y r при некотором значении вектора a r - называется функцией правдоподобия Если a r может r r r принимать конечное множество значений a, a,, ak, то функция правдоподобия также может принимать конечное множество значений Если a r имеет непрерывное распределение, то и функция правдоподобия может принимать бесконечное множество значений

12 Для определения истинного значения вектора параметра a r Р Фишер предложил принцип максимума правдоподобия Этот принцип можно сформулировать в виде следующего правила: наиболее правдоподобным является то значение параметра, для которого функция правдоподобия максимальна Этот принцип не может быть выведен из каких-либо предпосылок, а принимается как постулат, основанный на соображениях здравого смысла Если вектору a r соответствует k альтернативных значений, то согласно принципу максимума правдоподобия необходимо вычислить все r r r возможные значения функции правдоподобия L( a), L( a),, L( ak ), а затем, сравнив их между собой, найти наибольшее Пусть, например, L a r > L a r, где i j, i =,,3,, k В наибольшим будет ( j ) L a r : этом случае наиболее правдоподобным следует считать Отношение функций правдоподобия ( j ) j i a r = a r j L a r L a r и i называется отношением правдоподобия, или коэффициентом правдоподобия: rr ( y aj) r L( aj ) Wn Λ= r = rr (37) L a W y a i n i Достоинство принципа максимума правдоподобия заключается в том, что его применение не требует знания априорных вероятностей или плотностей вероятностей Поэтому принцип максимума правдоподобия можно использовать при отсутствии априорной информации Однако, если априорные сведения известны, то пренебрегать ими нерационально, так как априорная информация может помочь уточнить результаты решения С учетом априорных вероятностей отношение правдоподобия примет вид r rr ( j ) n( j) r r P( aj) L( a ) P a W y a j Λ a = r r = r rr, (38) P( ai) L( ai) P( ai) Wn( y ai) P a r и P( a r i ) - априорные вероятности параметров a r j и a r i где ( j ) соответственно При этом Λ a называется абсолютным отношением правдоподобия При решении задачи обнаружения необходимо установить только факт наличия сигнала Поэтому отношение правдоподобия записывается в виде r L( s) Wn ( y s) Λ= = L Wn ( y ) r При этом функция правдоподобия L = W ( y ) = W ( x) r (39) n n r, те

13 представляет собой плотность вероятностей вектора помехи Функция правдоподобия при наличии полезного сигнала зависит от композиции смеси сигнала и помехи Если, например, смесь сигнала и помехи представляет собой алгебраическую сумму, те сигнал и помеха аддитивны: yt () = yst (), xt = xt + st, то функция правдоподобия при наличии сигнала будет равна r r L s W y s W x s = = ( + ) n записывается в виде r Wn x s Λ= W ( + ) ( x) n n, а отношение правдоподобия в этом случае r (3) При решении общей задачи, когда о сигнале известно, что он зависит от ряда параметров a, a,, a k, его можно записать в виде (,,,, k ) известной плотностью вероятностей s ta a a Если эти параметры носят случайный характер с правдоподобия принимает вид Λ= (,,, ) (,,, ) W a, a,, a k, то отношение r k W y a a a W a a a dada da Внесем n r Wn( y a, a,, ak) Wn ( y ) n k k k W y r (3) W y r под знак интеграла и обозначим отношение =Λ ( a, a,, a ) r, тогда получим следующее выражение для отношения правдоподобия: k ( a, a,, ak) W ( a, a,, ak) dada dak (3) Λ = Λ Здесь ( a, a,, ak ) параметрами k Λ определяет наличие сигнала с определенными a, a,, a k, а интегрирование по всем возможным их значениям дает математическое ожидание отношения правдоподобия Таким образом, выражение (3) указывает на достоверность обнаружения сигнала при любых возможных значениях его случайных параметров Отношение правдоподобия, как будет показано ниже, позволяет определить оптимальный алгоритм обработки смеси сигнала с помехой Однако задачи практического использования результатов наблюдений обычно требуют выдачи определенного ответа о наличии или отсутствии

14 полезного сигнала, что в ряде случаев позволяет разрешить вопрос о присутствии в контролируемом пространстве объекта, вызывающего появление сигнала Принятие решения о наличии или отсутствии сигнала задача, не свойственная алгоритму обработки в системе наблюдения Она определяется стратегией наблюдения на основе тех или иных статистических критериев качества (критериев принятия решений) 33 Вероятности правильных и ошибочных решений Будем рассматривать простейшую задачу проверку простой гипотезы против простой альтернативы При решении этой задачи изначально имеется вектор наблюдения y r и известно, что ему L, соответствует одна из двух функций правдоподобия - L( s ) или связанных с взаимоисключающими состояниями s и наблюдаемого явления Обозначим через H и H гипотезы о том, что вектор наблюдения y r L соответственно, а определяется функциями правдоподобия L( s ) и через γ и γ - решения, состоящие в принятии или отклонении гипотезы H Гипотеза H является простой альтернативой H В этом случае, согласно принципу максимума правдоподобия, правило принятия решения можно записать в виде r L s Wn Λ= = L W y n ( y s) H H > C y y < где C ( y, y,, yn ) const пространстве наблюдений ( y) области Г и Г (,,, y ) n r, (33) = - уравнение поверхности в n -мерном γ γ Ω r, разделяющей это пространство на две Если конец вектора наблюдений y r, характеризующийся функцией r правдоподобия W( y s), попадает в область Г пространства наблюдений, то принимается решение γ о наличии полезного сигнала (истинности гипотезы H ) Если конец вектора наблюдений, характеризующийся функцией правдоподобия W( y r ), окажется в области Г, то принимается решение γ об отсутствии полезного сигнала (отклонение гипотезы H ) Выражение (33) представляет собой правило принятия решения, в левой части которого указывается оптимальный алгоритм обработки смеси

15 сигнала и помехи, а в правой части неравенства определяется принимаемое решение в соответствии с выбранной стратегией поведения При использовании любой заранее установленной стратегии в принятии решения в силу случайной природы вектора наблюдения наряду с правильными решениями неизбежны и ошибочные Возможны ошибки двух видов Ошибка первого рода, или ложная тревога, если конец вектора наблюдений y r, характеризующийся функцией W y r, оказывается в области Г, и тем самым принимается гипотеза H, те решение γ о наличии полезного сигнала, когда в действительности верна гипотеза H Ошибка второго рода, или ложный отбой, возникает при попадании конца вектора наблюдения y r, характеризуемого функцией правдоподобия правдоподобия n Wn r ( y s), в область Г и принятии решения γ об отсутствии полезного сигнала, когда на самом деле верна гипотеза H Выражения для условных вероятностей ошибок принятия решений и правильных решений можно легко записать в следующем виде Условная вероятность ошибки первого рода вероятность ложной тревоги: r r α = P H = W y dω y (34) { γ } n Г Иногда эту вероятность называют уровнем значимости Условная вероятность ошибки второго рода вероятность ложного отбоя (вероятность пропуска): r r β = P H = W y s dω y (35) { γ } n Г Условная вероятность правильного принятия решения, состоящего в принятии гипотезы H о наличии полезного сигнала, дополняет условную вероятность ошибки второго рода β до единицы, так как при истинности гипотезы H можно принять только два решения - γ или γ Эта вероятность { } ( r ) r d P γ H Wn y s d ( y ) = = Ω = β Г ; (36) и ее называют мощностью принятия решения Условная вероятность правильного принятия решения об отсутствии полезного сигнала (принятие гипотезы H ) дополняет вероятность ложной тревоги до единицы и определяется зависимостью 3

16 r r d = P H = W y dω y = α { γ } n Г 4 (37) Если известны априорные вероятности наличия P и отсутствия P полезного сигнала, то можно найти априорные вероятности принятия решений γ и γ по формулам: { } { } { } ( ) { } { } { } ( ) P γ = PP γ H + PP γ H = P β + Pα, (38) P γ = PP γ H + PP γ H = P α + Pβ (39) Эти вероятности определяют частоты появления отдельных решений в длинной последовательности принятых решений Величина, определяемая зависимостью P = Pα + Pβ, н носит название нормы ошибок принятия решения 34 Статистические критерии качества принятия решений Наличие в последовательности решений не только правильных, но и ошибочных, является неизбежной платой за попытку получить решения в условиях неполной информации Последствия ошибочных решений могут r быть охарактеризованы некоторой неотрицательной функцией П ( a, γ ), которую называют функцией потерь Здесь γ - элемент множества решений, которые можно вынести относительно вектора наблюдаемых r зависят от вектора наблюдений параметров a r Так как решения γ = γ ( y) y r, который является случайным, то и функцию потерь можно считать случайной В теории решающих функций используется математическое ожидание функции потерь r r r r r r r r r r a, γ ( y) = m { П a, γ ( y) } = П a, γ ( y) Wn ( y a) dω( y), (3) r Ω( y) которое называется функцией риска и зависит от вектора параметров a r и γ y r выбранной решающей функции Наиболее предпочтительная стратегия принятия решения будет зависеть от выбранного статистического критерия качества, который минимизирует функцию риска Рассмотрим критерии качества, определяющие классическую процедуру обнаружения при байесовских и небайесовских решениях Сущность этих решений заключается в определении уравнения поверхности C ( y, y,, yn ) = const, разделяющей области Г и Г пространства наблюдений Ω( y r ), такого, чтобы нежелательные последствия были минимальны

17 ) Критерий Байеса, или критерий минимума среднего риска Байесовский подход к решению задачи обнаружения заключается в том, что вектор параметров a r считается случайной величиной с известной априорной плотностью вероятностей Wn ( a r ) В этом случае можно определить средний риск r r r r R= r a, γ ( y) Wn ( a) dω ( a) = Ω ( a) ( a) ( a) r r r r r r r = П a, γ ( y) Wn( y a) Wn( a) dω( y) dω ( a) = Ω Ω ( y) r r r r r r = П a, γ ( y) Wn ( y, a) dω( y) dω a Ω r r r Ω r r ( y) 5 (3) Сущность критерия Байеса заключается в минимизации этого среднего риска Применительно к простейшей задаче обнаружения вектор параметра a r может принять только два значения s и, которые соответствуют наличию и отсутствию полезного сигнала Также могут приняты только два решения: γ- о наличии сигнала, γ - о его отсутствии Естественно, что априорная вероятность появления сигнала равна P, а его отсутствия - P При этом P+ P = Функция потерь преобразуется в матрицу потерь (или стоимостей): П(, γ ) П(, γ) П ( ai, γ i) =, (3) П ( s, γ ) П ( s, γ) П, γ - стоимость поощрения за принятие правильного решения где γ, те принимается гипотеза H об отсутствии сигнала, когда это действительно имеет место; П (, γ) - стоимость штрафа за ошибочное решение γ при истинности гипотезы H об отсутствии полезного сигнала; П ( s, γ )- стоимость штрафа за ошибочное решение γ при истинности гипотезы H о наличии полезного сигнала; П ( s, γ ) - стоимость поощрения за правильное принятие решения γ, те принятие гипотезы H о наличии полезного сигнала П, > П, и Следует при этом отметить, что ( γ) ( γ ) (, γ ) > П ( s, γ ) П s Таким образом, учитывая априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала и матрицу потерь (3), формулу (3) для среднего

18 риска можно записать в виде r r r r r r r R = П a, γ ( y) Wn( y a) Wn( a) dω( y) dω ( a) = Ω r ( a) Ω r ( y) { r = P П + P П s P П s П s W y s (, γ ) (, γ ) (, γ ) (, γ ) n Г r r P П(, γ) П(, γ ) Wn ( y )} dω( y) PП, γ PП s, γ o Так как в этой формуле + - постоянная величина, то минимум среднего риска R будет иметь место при условии, что подынтегральная функция положительна: r P П ( s, γ) П ( s, γ) Wn ( y s) r P П(, γ) П(, γ) Wn ( y ) > Тогда r Wn ( y s) P П П > Wn ( y ) P П s, П s, (, γ ) (, γ ) ( γ ) ( γ ) 6 r (33) Таким образом, уравнение поверхности, разделяющей в этом случае области Г и Г, а, следовательно, и определяющей размеры этих областей, имеет вид ( γ ) П( γ ) ( γ ) П ( s γ ) P П,, C( y, y,, yn ) = = C P П s,, (34) Следовательно, правило принятия решения, основанное на критерии минимума среднего риска, можно сформулировать следующим образом: принимается решение γ (отвергается гипотеза H ), если отношение правдоподобия больше величины C, и принимается решение γ (отвергается гипотеза H ), если отношение правдоподобия меньше указанной величины, те r H Wn > P П γ П γ γ Λ= C = W y P П s, П s, γ n ( y s) (, ) (, ) ( γ ) ( γ ) r (35) < H ) Критерий идеального наблюдателя (Зигерта-Котельникова) Для идеального наблюдателя функция потерь будет определяться только стоимостями штрафов за принятие ошибочных решений При этом стоимость этих штрафов одинакова как при ошибках первого рода, так и при ошибках второго рода Таким образом, имеем: П (, γ ) = П( s, γ ) =, и (, γ ) (, γ ) П = П s = П

19 В этом случае, согласно формуле (3), выражение для среднего риска примет вид r r r R = П P PW y s PW y dω y Г (36) Естественно, что средний риск будет минимальным, если подынтегральное выражение будет величиной положительной, те r r PW y s > Отсюда получаем: n PW ( y ) r Wn y s P > W P ( y ) r (37) В данном случае уравнение поверхности, разделяющей пространство наблюдений, P C( y, y,, yn ) = C = P Следовательно, правило принятия решения по критерию идеального наблюдателя может быть сформулировано в следующем виде: r Λ= r =, (38) H Wn y s > P γ C W n y < P γ H те принимается решение о наличие полезного сигнала γ, если отношение правдоподобия Λ превысит величину C, и принимается решение об его отсутствии γ, если отношение правдоподобия будет меньше C Формулу (36), согласно (36), можно переписать в следующем виде: r r r R = П P PW ( y s) PW ( y ) dω ( y) = Г r r r r = П PWn( y ) dω ( y) + PWn( y s) dω ( y) = Г Г = П P +, ( α Pβ) (39) где α и β - условные вероятности ошибок первого и второго родов Соотношение (39) позволяет сделать вывод о том, что правило принятия решения по критерию идеального наблюдателя минимизирует норму ошибок (априорную вероятность ошибок) 7

20 3) Критерий максимума правдоподобия Если нет никаких данных относительно априорных вероятностей наличия и отсутствия полезного сигнала, можно воспользоваться критерием максимума правдоподобия Для этого критерия априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала считаются одинаковыми (те P = P =,5), а стоимости штрафов и поощрений такие же, как и для критерия идеального наблюдателя Естественно, что при этом критерии средний риск равен r r r R =,5П W y s W y dω y Г а правило принятия решения будет определяться зависимостью W Λ= W n n r ( y s) ( y ) H > γ < γ r (33) H Таким образом, процедура принятия решения сводится к вычислению отношения правдоподобия и сравнения его с единицей Следовательно, правило принятия решения по критерию максимума правдоподобия является частным случаем правила по критерию идеального наблюдателя 4) Минимаксный критерий качества Если априорное распределение параметров Wn ( a r ) неизвестно, то для установления критерия качества принятия решения можно использовать r только функцию риска r a, γ ( y) r, Использовать байесовское решение в том виде, как оно излагалось, не представляется возможным В этом случае прибегают к небайесовским методам решения, одним из которых является минимаксное решение Минимаксное решение минимизирует r r максимальное значение функции риска r a, γ ( y), те такое решение является наилучшим в наихудшей ситуации, и в некоторых случаях может оказаться слишком осторожным В общем случае нахождение минимаксного решения является достаточно сложной задачей Однако Вальд установил, что при некоторых достаточно слабых ограничениях минимаксное решение является байесовским относительно наименее благоприятного априорного распределения параметра n W a r, максимизирующего средний (байесовский) риск Таким образом, сущность минимаксного критерия качества заключается в минимизации максимального среднего риска при наиболее неблагоприятном априорном распределении параметра 8

21 Для простейшей задачи обнаружения средний риск зависит от априорных вероятностей наличия и отсутствия сигнала Для того, чтобы найти значение P, которым обусловлено наибольшее значение среднего риска R, необходимо определить максимум среднего риска как функции P, те R = П ( s, γ) П (, γ) P r { P П ( s, ) П ( s, ) Wn ( y s) P γ γ (33) Г r r P П(, γ) П(, γ) Wn ( y )} dω ( y) = При этом следует учитывать то, что средний риск функционально зависит от P как в явном виде, так и через размеры областей Г и Г, которые определяются поверхностью раздела C( y, y,, y n ) Дифференцирование приводит к трансцендентному уравнению относительно искомого значения P : П (, γ) α( P) + П (, γ) α( P) =, (33) = П ( s, γ) β( P) + П ( s, γ) β( P) где α ( P ) и β ( P ) - соответственно условные вероятности первого и второго рода, как функции от неизвестной априорной вероятности наличия сигнала P Решение этого уравнения относительно P дает нам значение априорной вероятности P, которой соответствует абсолютный максимум среднего риска R = P П o, γ + P П s, γ + max ( ) ( ) ( ) ( P ) П(, γ) П(, γ) α( P ) P П ( s ) П ( s ) ( P ) γ γ β здесь α ( P ) и β ( P ) +,, ; - соответственно вероятности ложной тревоги и ложного отбоя, вычисленные при условии, что области Г и Г разделены поверхностью 9

22 ( P ) П(, γ) П(, γ ) C( y, y,, yn ) = C = P П ( s, γ) П ( s, γ) Таким образом, правило принятия решения при минимаксном критерии качества будет определяться соотношением r H W ( ) (, ) (, n y s > P П γ П γ) γ Λ= r C =, (333) Wn ( y ) < P П ( s, γ) П ( s, γ) γ H где величина P определяется решением уравнения (33) Следует еще раз заметить, что Rmax R априорной информации о наличии или отсутствии полезного сигнала из-за отсутствия 5) Критерий Неймана-Пирсона Особый подход к определению правила принятия решения при отсутствии информации о стоимости ошибочных и правильных решений и априорных вероятностях наличия и отсутствия сигналов указывает критерий Неймана-Пирсона Сущность этого критерия заключается в минимизации условной вероятности ошибки второго рода при заданной условной вероятности ошибки первого рода Для нахождения правила принятия решения по критерию Неймана- Пирсона необходимо найти минимум функционала r r β = P γ H = W y s dω y { } n Г при дополнительном граничном условии r r = P H = W y dω y = { } n α γ ε ε Г (334) Решение этой задачи получим методом неопределенных множителей Лагранжа Для этого введем функцию F = β + λα ( ε ) или r r r r F = Wn( y s) dω ( y) + λ Wn( y ) dω( y) ε (335) Г Г Перепишем формулу (335) в следующем виде: r r r F = λ( ε ) Wn( y s) λwn( y ) dω( y) (336) Г Функция F будет минимальной, если подынтегральное выражение

23 формулы (336) будет положительным, те r r Wn( y s) λwn( y ) >, что эквивалентно r Wn ( y s) r > λ Wn ( y ) Для того чтобы удовлетворить ограничению (334), выберем λ таким, при котором α = ε Для упрощения перейдем от многомерной переменной y r к одномерной l, а пространство наблюдений преобразуем в числовую ось, на которой λ представляет границу областей для соответствующих гипотез, эквивалентных Г и Г Тогда λ будет определяться уравнением: W l dl = ε (337) λ Таким образом, правило принятия решения по критерию Неймана- Пирсона можно записать в виде r H Wn ( y s) > γ Λ= r λ, (338) W y < γ n H где λ определяется уравнением (337) Следует отметить, что правило принятия решения по критерию Неймана-Пирсона обладает наибольшей мощностью решения при одинаковом уровне значимости (вероятности ложной тревоги) 6) Информационный критерий качества Этот критерий принятия решений связан с количеством информации В качестве наилучшего правила принятия решения при этом критерии считается такое, при котором имеем максимум частного количества информации Частные количества информации, содержащиеся в наблюдении y r относительно передаваемых состояний s i и s k, определяются соответственно соотношениями r r I ( ys, i) = logwn( si y) logwn( si), r r I ( ys, k) = logwn( sk y) logwn( sk) ; а их разность равна r r r W (, ) (, ) log n s i y W n s I y s k i I y sk = W s y W s r (339) n k n i

24 Так как r r r r Wn( y, si) = Wn( si) Wn( y si) = Wn( y) Wn( si y), то r r Wn( si y) Wn( y si) = r (34) Wn( si) Wn( y) Аналогично имеем r r Wn( sk y) Wn = W s W y n k n ( y sk) r (34) С учетом (34) и (34) выражение (339) принимает вид r r r W I( y, s ) (, ) log n i i I y sk = W n ( y s ) ( y sk) r (34) Если разность частных количеств информации положительная, то принимается решение о состоянии s i В этом случае r r Wn( y si) Wn( y si) log r > или r > Wn( y sk) Wn( y sk) Следовательно, правило принятия решения о наличии или отсутствии сигнала при информационном критерии качества можно записать в виде W Λ= W n n r ( y s) ( y ) H > γ < γ r (343) H Как видим, в этом частном случае информационный критерий соответствует критерию максимума правдоподобия 35 Структура оптимального обнаружителя Из изложенного видно, что при любом статистическом критерии качества оптимальная классическая процедура обнаружения полезного сигнала основана на сравнении отношения правдоподобия с некоторым уровнем C, называемым пороговым Пороговый уровень определяет стратегию обнаружения в соответствии с выбранным статистическим критерием качества При этом предполагается, что время обнаружения заведомо известно, те объем наблюдаемой выборки заранее фиксирован Таким образом, оптимальная процедура обнаружения имеет вид r H r L( s) Wn ( y s) > γ Λ ( y) = = r C (344) L W y < γ n H

25 Соответствующая этому правилу обобщенная структурная оптимального обнаружителя представлена на рис 33 схема y(t) СО РУ γ γ C Рис33 Обобщенная структурная схема оптимального обнаружителя Принимаемая реализация y поступает на вход схемы обработки (СО) обнаружителя, которая формирует на своем выходе отношение правдоподобия Λ ( y) (следует заметить, что отношение правдоподобия также является случайной функцией) Решающее устройство (РУ) осуществляет процедуру сравнения отношения правдоподобия с пороговым уровнем C В результате на выходе решающего устройства появляется одно из двух решений: γ (сигнал присутствует) или γ (сигнал отсутствует) Использование какого-либо статистического критерия качества сказывается только на значении порогового уровня C и никак не влияет на схему обработки, в которой осуществляется оптимальная обработка входной реализации y Оптимальное правило (344) равносильно правилу ϕ Λ H > < ( y) ϕ( C) H γ γ где ϕ - монотонная функция Статистика ϕ Λ ( y) отношение правдоподобия Λ( y), (345) является достаточной В случае, если принадлежит к экспоненциальному семейству функций, в качестве функции ϕ целесообразно использовать натуральный логарифм При этом оптимальный алгоритм обработки входной реализации обнаружителя упрощается Рассмотрим два вида обнаружения сигналов: - обнаружение приемником прямого усиления, наиболее характерного для оптико- электронных приборов; - последетекторное обнаружение в гетеродинных приемных системах При построении оптимальных обнаружителей будем предполагать y s(), t x() t = x() t + s() t аддитивность полезного сигнала и помехи: [ ] 3

26 36 Обнаружение сигналов на фоне гауссовых шумов В качестве помехи будем рассматривать стационарные гауссовы шумы, многомерная плотность вероятностей которых определяется зависимостью n n r Wn( x) = exp βik[ xi m][ xk m] (346) n Δ i= k= ( π ) В этой формуле Δ - определитель корреляционной матрицы β - элементы обратной корреляционной матрицы B ( t t ) ik 4 i, k B t t, i, k, m - математическое ожидание случайного процесса Для непрерывных наблюдений при гауссовых процессах удобно пользоваться функционалами плотностей вероятностей, которые определяются как F x() t = lim W( x, x,, xn ), (347) n Δ где Δ= tk+ tk - интервал между соседними выборками случайного процесса В соответствии с (347) для гауссова процесса имеем: n n lim β ik xi m xk m = n i= k= Δ (348) = x( t) x( t) ( t, t) dtdt, θ где ( t, t ) θ определяется интегральным уравнением B( t, t) θ( t, t) dt = δ( t t) Предел множителя перед экспонентой соотношения (346), независящий от x, x,, x n, зависит от Δ равен lim = h( Δ ) = n n, π Δ Δ и определяется энергетическим спектром процесса Однако отношение функционалов дает конечный предел, что и важно для отношения правдоподобия Таким образом, функционал плотности вероятностей можно записать в виде

27 F xt () = h( Δ) exp xt xt θ ( t, t) dtdt, (349) B( t, t) θ( t, t) dt = δ( t t) Если ввести функцию () θ(, ) ϑ t = t t x t dt, то функционал плотности вероятностей (349) преобразуется к виду F x() t = h( Δ) exp x() t ϑ () t dt (35) Здесь функция ϑ () t удовлетворяет следующему интегральному уравнению Фредгольма -го рода: B ( t, τϑτ ) dτ= x( t), t o (35) С учетом изложенного, отношение правдоподобия можно также записать через функционалы правдоподобия при наличии и отсутствии сигнала: F y t s () Λ= F y t () (35) ) Обнаружение детерминированного сигнала на фоне белого гауссова шума Будем исходить из условия, что на вход обнаружителя поступает либо только стационарный белый гауссов шум с нулевым средним значением, либо аддитивная смесь этого шума с детерминированным полезным сигналом Функционал правдоподобия при отсутствии полезного сигнала будет равен функционалу плотности вероятностей белого гауссова шума Так как для белого шума корреляционная функция пропорциональна δ-функции: G B( t, t) = δ ( t t), (G -энергетический спектр белого шума) то, подставляя ее в формулу (35), получим ϑ () t = y() t (353) G В этом случае, согласно (35), функционал правдоподобия при отсутствии сигнала принимает вид 5

28 F y() t = h( Δ) exp y () t dt G (354) Функционал правдоподобия при наличии сигнала получаем путем предельного перехода от функции плотности вероятности белого шума с учетом постоянной составляющей этого процесса Тогда, согласно (35) с учетом (353), имеем F y() t s = lim Wn( y s, y s,, yn sn) = n Δ (355) = h( Δ) exp y() t s() t dt G Используя (354) и (355), получим правило принятия решения в виде exp yt () st () dt H G > γ Λ= C (356) γ < exp y () t dt H G Воспользуемся выражением (345) и прологарифмируем (356) Получим H > y () t dt y() t s() t dt ln C G < H G После элементарных преобразований приходим к следующей записи правила принятия решения: где H > ytstdt () () K, (357) < H K = ( E+ GlnC) - пороговый уровень, () E = s t dt - энергия полезного сигнала На основании (357) можно сделать вывод, что оптимальный обнаружитель детерминированного сигнала на фоне белого гауссова шума состоит из перемножителя ( ), генератора копии принимаемого полезного 6

29 сигнала () и решающего устройства (РУ) с пороговым уровнем K Структурная схема этого обнаружителя приведена на рис 34а s t, интегратора y(t) РУ S(t) γ y(t) γ СФ РУ K K γ γ а) б) Рис34 Оптимальные схемы обнаружителей детерминированного сигнала на фоне белого гауссова шума В перемножителе осуществляется умножение входной реализации yt () (при отсутствии или наличии в ней полезного сигнала) с копией полезного сигнала s() t Сигнал на выходе интегратора сравнивается с пороговым уровнем K в решающем устройстве, на выходе которого выносится решение γ или γ Отметим, что перемножитель, генератор копии полезного сигнала и интегратор можно заменить согласованным фильтром с импульсной характеристикой g( t) s( τ t) = В этом случае структурная схема оптимального обнаружителя такова, как на рис 34б ) Обнаружение детерминированного сигнала на фоне окрашенного гауссова шума Определим оптимальную структуру обнаружителя, если на его вход поступает либо гауссов шум с корреляционной функцией (, ) B t t и средним значением m =, либо аддитивная смесь этого шума и детерминированного сигнала Согласно (349), функционалы правдоподобия при наличии и отсутствии полезного сигнала будут определяться соответственно выражениями F y() t s = h( Δ) exp ( t, t) y( t) s( t) θ } y t s t dt dt, 7

30 F y() t = h( Δ) exp ( t, t) y( t) y( t) dtdt, θ θ t, t определяется интегральным уравнением где функция B( t, t) θ( t, t) dt = δ( t t) Отношение правдоподобия в этом случае будет равно () () F y t s Λ= = exp s( t) s( t) ( t, t) dtdt + F y t θ,, + ( ) ( ) y t s t θ t t dt dt + y t s t t t dt dt θ В силу симметрии функции ( t, t ) θ имеем θ(, ) = θ(, ) y t s t t t dt dt y t s t t t dt dt В этом случае формула (358) получит вид Λ= exp s ( t) s( t) ( t, t) dtdt θ +, + y( t) s( t) θ ( t t) dtdt Введем теперь функцию () θ(, ) (358) (359) ϑ t = t t s t dt, (36) которая удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма -го рода B ( t, τϑτ ) dτ= s( t) (36) Теперь, с учетом (359) и (36), правило принятия решения можно записать в виде 8

31 H > γ yt () ϑ() tdt st () () tdt C ϑ (36) γ < H Λ= exp Прологарифмируем (36) и окончательно придем к следующей записи правила принятия решения при обнаружении детерминированного сигнала на фоне окрашенного гауссова шума: H > γ yt () ϑ () tdt K, (363) γ < H где ln () ϑ () K = C+ s t t dt - пороговый уровень оптимального обнаружителя Выражение (363) определяет структуру оптимального обнаружителя детерминированного сигнала на фоне окрашенного гауссова шума В этом обнаружителе осуществляется интегрирование входной реализации ϑ, зависящим от вида сигнала шума (, ) весом () t yt с s t и корреляционной функции B t t Выходной сигнал интегратора сравнивается в решающем устройстве с пороговым уровнем K, после чего выносится решение о наличие сигнала или его отсутствии Интегрирование реализации yt с весом ϑ () t представляет собой оптимальный фильтр, импульсная характеристика которого g( t) = ϑ ( τ t) определяется решением интегрального уравнения (36) На рис 35 приведена структурная схема такого обнаружителя РУ ϑ () t K γ γ Рис35 Структурная схема обнаружителя при окрашенных шумах Следует заметить, что решения интегрального уравнения (36) относительно ϑ () t вообще не существует, если ядро B ( t, τ ) не имеет некоторых особенностей Однако если шум содержит составляющую с равномерным спектром, те корреляционная функция равна 9

32 G = +, B( t, t) δ ( t t) b( t, t) где (, ) bt t - функция непрерывная и интегрируемая в среднеквадратическом Тогда уравнение (36) принимает вид G s() t δ ( t t) b( t, τ) ϑ( τ) dτ = + (364) Это уравнение Фредгольма -го рода и его решение существует, в общем случае, если уравнения G () = ( ) λ f t b t τ f τ dτ не является собственным значением интегрального Если составляющая окрашенного шума мала, то решение уравнения (364) можно получить методом итераций (методом последовательных приближений Пикара): () () ϑ t s t b( t ) s d G G τ τ τ = + Методы и примеры решения интегральных уравнений приведены в приложении 3) Обнаружение узкополосного сигнала со случайной начальной фазой на фоне белого гауссова шума Определим оптимальную структуру обнаружителя узкополосного сигнала со случайной начальной фазой, принимаемого на фоне стационарного белого гауссова шума Такой сигнал можно представить зависимостью st () = f() tcos ω t+ φ() t + ϕ, (365) где f () t и φ () t - функции амплитудной и фазовой модуляции, ϕ - начальная фаза, которая является случайной, равномерно распределенной в интервале [ π, π ] В общем случае полезный сигнал может зависеть как от существенного A, так и несущественных случайных a, a,, a k параметров В этих условиях функционал плотности вероятностей зависит от этих случайных параметров Следовательно, для определения функционала правдоподобия требуется усреднение по несущественным параметрам: 3

33 () () (,,,, ) F y t s = F y t s t a a a k где (,,, ) W a, a,, a da da da, k k k k (366) W a a a - совместная плотность вероятностей k a, a,, a k несущественных параметров Для рассматриваемой задачи функционал правдоподобия при отсутствии полезного сигнала определяется функционалом плотности вероятностей белого гауссова шума: F y() t = h( Δ) exp y () t dt G, а функционал правдоподобия при наличии полезного сигнала, согласно (366), зависимостью π yt () f() tcos ( ωt+ φ[] t+ ϕ ) dt h Δ G F y() t s = exp dϕ = π = h π () () [] ( Δ) G π π exp π y t f t cos ( ωt+ φt + ϕ) dt y () t dt f () t cos ( ωt+ φ[] t + ϕ) dt Учитывая, что () cos [] dϕ (367) f t ( ω t+ φ t + ϕ ) dt = s () t dt = E - энергия полезного сигнала, соотношение (367) можно записать в виде где F y() t s = h( Δ) exp y () t dt E + H G π, (368) π H = exp y() t f () t cos( t+ [] t + ) dt d G ω φ ϕ ϕ (369) π Рассмотрим интеграл H Представим Получим ( [ ] ) [ ] ( [ ]) cos ωt+ φ t + ϕ = cos ωt+ φ t cosϕ sin ωt+ φ t sinϕ H π b b exp cosϕo sinϕ dϕ G G π ; (37) = 3

34 где b () () ω φ[] b = y t f t cos t+ t dt ; () () ω φ[] b = y t f t sin t+ t dt (37) В соотношении (37) умножим и разделим показатель степени на + b и обозначим: b b + b = cosψ, b b + b = sinψ, Учитывая, что cosϕ cosψ sinϕ sinψ cos( ϕ ψ) H b + b = b =, π b exp cos( ϕ ψ) dϕ G π = Обозначая ϕ ψ = υ и учитывая, что подынтегральная функция - периодическая с периодом π, окончательно функцию H можно представить как b π cos υ H = π eg dυ π (37) Одно из интегральных представлений модифицированной функции Бесселя n -го порядка имеет вид π x cosυ In ( x) = e cos( nυ ) dυ π Следовательно, искомая функция H с точностью до постоянного множителя представляет собой модифицированную функцию Бесселя нулевого порядка, те: H b π I G (373) = Теперь с учетом (373) функционал правдоподобия при наличии полезного сигнала (368) можно переписать в виде F y() t s = h( Δ) exp y () t dt E + I G b G (374) Таким образом, отношение правдоподобия принимает вид 3

35 () () F y t s b I e F y t G Λ= = а правило принятия решения будет определяться зависимостью I H b > E γ Cexp G < G γ H E G, (375) Решая неравенство (375) относительно b с учетом монотонно возрастающего характера функции аргумента, получим H H > b < DG = K 3 γ γ I b G где D - решение трансцендентного уравнения I D Cexp E G = для положительных значений, (376) В частном случае, при обнаружении сигнала, представляющего немодулированную посылку длительностью косинусоидального колебания со случайной начальной фазой, правило принятия решения будет определяться зависимостью H > DG γ yt cos( ωtdt ) + yt sin( ωtdt ) (377) γ < H Структурная схема оптимального обнаружителя приведена на рис 36 Такая схема называется схемой с двумя квадратурными каналами В этой схеме входная реализация поступает на два канала, каждый из которых b состоит из перемножителя, интегратора ( ) и квадратора i Сигнал, равный корню квадратному из суммы квадратурных форм, поступает в решающее устройство ( РУ ) и сравнивается с пороговым уровнем DG / На выходе решающего устройства выносится решение о наличии полезного сигнала или об его отсутствии 33

36 cos(ωt) yt b РУ γ b γ sin(ωt) DG/ Рис36 Структурная схема оптимального обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой 4) Обнаружение стохастического сигнала на фоне белого гауссова шума Важной задачей является определение структуры оптимального обнаружителя стохастического (случайного) сигнала Этому вопросу посвящены большие разделы монографий и многочисленные публикации в периодической научно-технической печати С целью показать разнообразие оптимальных алгоритмов обнаружения рассмотрим простейшую задачу обнаружения этого плана, в которой в качестве полезного сигнала используется стационарный случайный гауссов процесс с нулевым средним значением При этом этот процесс отличается от шума только величиной энергетического спектра Естественно, что аддитивная смесь полезного сигнала с шумом также как и шум является гауссовым случайным процессом с энергетическим спектром G+ Gs (G и Gs - энергетические спектры шума и сигнала соответственно) В этом случае функционалы правдоподобия при наличии и отсутствии полезного сигнала принимают вид: F y() t s = h( Δ) exp y () t dt, G+ G s F y() t = h( Δ) exp y () t dt G С учетом записанных функционалов правило принятия решений приобретает вид 34

37 где H > γ y () t dt K4, (378) γ < H ( + ) G Gs G K4 = lnc - пороговый уровень обнаружителя Gs Согласно соотношению (378), оптимальный алгоритм обработки смеси полезного сигнала с шумом для этой задачи является квадратичным Структурная схема оптимального обнаружителя представлена на рис 37 yt () y РУ K 4 γ γ Рис37 Структурная схема оптимального обнаружителя стохастического сигнала и решающего РУ с пороговым уровнем K 4 Такой обнаружитель носит название "энергетический приемник" Схема состоит из квадратора ( y ), интегратора устройства 37 Обнаружение при пуассоновской статистике сигнала и шума Будем предполагать, что наблюдение yt представляет собой случайную функцию вида yt () = Θ( zt, i ), i где i Θ zt, - некоторая функция, которую запишем в виде Θ zt = a t t t - случайные точки, (, i ) i δ ( i ) Тогда yt () = aδ ( t t ) i i, (379) i где a i - величина импульса в точке t i Наше наблюдение представляет собой случайный поток Если в нем появление одной или нескольких точек не изменяет вероятность появления других точек, то в этом случае все функции корреляции распределения, начиная со второго порядка, равны нулю, те i () g t = при i 35

38 Для такой ситуации производящий функционал случайного потока принимает вид L v() t = exp g () t v() t dt (38) Производящий функционал, который в общем виде может быть представлен соотношением [], L ut () = exp gn( tt,,, tn) ut ut ut ( n) dtdt dtn n= n! g t, t,, t -система характеристических функций) полностью ( n n характеризует систему случайных точек и играет роль, аналогичную характеристическому функционалу в теории случайных процессов С учетом (38) вероятность выпадения n точек на интервале [ o, ] будет определяться зависимостью n P( n) = g() t dt exp g() t dt n!, (38) g t называют также плотностью потока Формула (38) где () представляет собой распределение Пуассона Следует заметить, что для пуассоновского потока дисперсия и математическое ожидание равны: σ () m g t dt = = Будем предполагать, что отдельные импульсы потока, возникающие в моменты t i, разрешены, а величины их постоянные Эти условия выполняются для некоторых типов фотоприемников Тогда функцию правдоподобия при отсутствии полезного сигнала P,,,, τ можно представить совместной вероятностью n,, nk k выпадения точек в неперекрывающихся областях (интервалах) i на интервале наблюдения τ Эта функция правдоподобия будет равна ni k Pn () (),, n,,,,, exp k k τ = g t dt g, t dt i= ni!, i i (38) где g () t - плотность потока помехи, 36

7. Обнаружение сигналов 7.1. Постановка задачи обнаружения сигналов

7. Обнаружение сигналов 7.1. Постановка задачи обнаружения сигналов 7 Обнаружение сигналов 71 Постановка задачи обнаружения сигналов Среда где распространяется сигнал РПдУ + РПУ Рис71 К постановке задачи обнаружения сигналов Радиопередающее устройство (РПдУ) на интервале

Подробнее

ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ОПТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ

ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ОПТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ А.Г. Рамм и С.А. Родионов. Оптимизация разрешающей способности оптических приборов. ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ОПТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ А.Г. Рамм и С.А. Родионов Среди всех линейных изопланатических

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ ЛЕКЦИЯ 1. Постановка задачи оценивания параметров сигналов. Байесовские оценки случайных параметров сигналов при различных функциях потерь. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ 3.1.

Подробнее

Учебные вопросы 1. Задача оптимального обнаружения сигналов. 2. Корреляционно-фильтровой обнаружитель радиолокационных. сигналов.

Учебные вопросы 1. Задача оптимального обнаружения сигналов. 2. Корреляционно-фильтровой обнаружитель радиолокационных. сигналов. Тема 1. Теоретические основы построения систем вооружения зенитных ракетных войск Занятие 3. Принципы построения оптимальных обнаружителей, используемых в системах вооружения ЗРВ сигналов. Учебные вопросы

Подробнее

52. Чем определяется потенциальная точность совместных оценок частоты и задержки сигнала? 53. В чём заключается идея оценивания параметров сигнала с

52. Чем определяется потенциальная точность совместных оценок частоты и задержки сигнала? 53. В чём заключается идея оценивания параметров сигнала с Контрольные вопросы 0. Вывод рекуррентного уравнения для АПВ дискретных марковских 1. Как преобразуются ПВ распределения случайных величин при их функциональном преобразовании? 2. Что такое корреляционная

Подробнее

Статистическая радиофизика и теория информации

Статистическая радиофизика и теория информации Статистическая радиофизика и теория информации. Введение Радиофизика как наука изучает физические явления существенные для радиосвязи, излучения и распространения радиоволн, приема радиосигналов. Предметом

Подробнее

Лекция 11. Прием непрерывных сообщений. Критерии помехоустойчивости

Лекция 11. Прием непрерывных сообщений. Критерии помехоустойчивости Лекция 11 Прием непрерывных сообщений. Критерии помехоустойчивости Сообщение в общем случае представляет собой некоторый непрерывный процесс bt, который можно рассматривать как реализацию общего случайного

Подробнее

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это

Подробнее

Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и инженеров

Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и инженеров Ивановский Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. СПб.: БХВ- Петербург, 2008. 528 с.: ил. + CD-ROM (Учебное пособие) В

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ В ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ В ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ Е.Г. Лебедько ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ В ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ W W y W а ист. Санкт-Петербург МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОТЕХНИКА

СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОТЕХНИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ЗАПОРОЖСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОПРИБОРОСТОРОИТЕЛЬНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра радиотехники и телекоммуникаций СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОТЕХНИКА Методические

Подробнее

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами которые будут рассмотрены в последующих разделах: с помощью

Подробнее

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru 3. Случайные сигналы и помехи в радиотехнических системах 3.1. Случайные процессы и их основные характеристики Помехой называют стороннее колебание, затрудняющее приѐм и обработку сигнала. Помехи могут

Подробнее

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция

Подробнее

Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, ноября 2008 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ , часть 4 МИРЭА

Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, ноября 2008 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ , часть 4 МИРЭА Материалы Международной научно-технической школы-конференции, 3 ноября 8 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ 8, часть 4 МИРЭА РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА ДВОИЧНЫХ

Подробнее

Лекция 9. Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах. Когерентный прием

Лекция 9. Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах. Когерентный прием Лекция 9 Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах. Когерентный прием Для решения задачи об оптимальном алгоритме приема дискретных сообщений сделаем следующие допущения:. Все искажения

Подробнее

8. Различение сигналов 8.1. Постановка задачи различения сигналов

8. Различение сигналов 8.1. Постановка задачи различения сигналов ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-onlinenarodru 8 Различение сигналов 81 Постановка задачи различения сигналов Среда где распространяется сигнал РПдУ + РПУ Рис81

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

5. Корреляционная обработка сигналов

5. Корреляционная обработка сигналов ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) 5 Корреляционная обработка сигналов 51 Различение сигналов Коэффициент корреляции сигналов Одной из задач, решаемых при обработке сигналов,

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа 46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Подробнее

Пересечение стационарных гауссовых последовательностей с неслучайными уровнями

Пересечение стационарных гауссовых последовательностей с неслучайными уровнями УДК 59. Пересечение стационарных гауссовых последовательностей с неслучайными уровнями С. Н. Воробьев, канд. техн. наук, доцент Н. В. Гирина, аспирант Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

2.3. АЛГОРИТМЫ И УСТРОЙСТВА ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ

2.3. АЛГОРИТМЫ И УСТРОЙСТВА ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ ЛЕКЦИЯ 6 Алгоритмы и устройства оптимального обнаружения и различения сигналов на фоне БГШ Оптимальный прием детерминированного сигнала Структурная схема когерентного обнаружителя и различителя Коррелятор

Подробнее

Б а й е с о в с к а я к л а с с и ф и к а ц и я

Б а й е с о в с к а я к л а с с и ф и к а ц и я МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Случайные величины Функции распределения вероятностей случайных величин Простейшая модель физического эксперимента последовательность независимых опытов (испытаний

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М. А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с. Книга предназначена для начального

Подробнее

Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В курсе "Теория вероятностей" корреляция между двумя случайными величинами определяется математическим ожиданием их произведения Если в качестве двух случайных

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

УСТРОЙСТВО ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ И РАСПОЗНАВАНИЯ ОБЪЕКТОВ РАДИОЛИНИЙ СДВ ДИАПАЗОНА

УСТРОЙСТВО ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ И РАСПОЗНАВАНИЯ ОБЪЕКТОВ РАДИОЛИНИЙ СДВ ДИАПАЗОНА науково-технічна конференція 5-8 жовтня 0 р. УДК 6.39 УСТРОЙСТВО ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ И РАСПОЗНАВАНИЯ ОБЪЕКТОВ РАДИОЛИНИЙ СДВ ДИАПАЗОНА М.Ш. Бозиев науч. сотр. кафедры ЭТ ДонНТУ В работе

Подробнее

УДК Г. А. Омарова. Построение траектории движения объекта

УДК Г. А. Омарова. Построение траектории движения объекта УДК 5979 + 5933 Г А Омарова Èíñòèòóò âû èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè åñêîé ãåîôèçèêè ÑÎ ÐÀÍ ïð Àêàä Ëàâðåíòüåâà, 6, Íîâîñèáèðñê, 630090, Ðîññèÿ E-mail: gulzira@ravccru Статистическая модель движения

Подробнее

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ После введения вероятностного описания случайных процессов можно дать их классификацию с учетом тех или иных ограничений которые предъявляются к их вероятностным

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

ОСНОВЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И СВЯЗИ

ОСНОВЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И СВЯЗИ И.Г. КАРПОВ, А.Н. ГРИБКОВ ОСНОВЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И СВЯЗИ Ч а с т ь I ОСНОВЫ ОПТИМАЛЬНОГО РАДИОПРИЁМА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ УДК 6.37 ББК 3.84 К65 Р е ц е н з е н т ы: Доктор технических наук, доцент, начальник

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Е.Г. Лебедько МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

Подробнее

ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. 1. Случайный анализ

ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. 1. Случайный анализ ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. Случайный анализ Часто при исследовании различных явлений природы, экономических и технических процессов приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися во времени.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ.

ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ. УДК 63966 ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ Г Ф Савинов В работе получен алгоритм оптимального фильтра для случая когда входные воздействия и шумы представляют собой случайные гауссовы

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей Оглавление Предисловие Введение Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Опыт и событие Операция умножения событий Операция сложения событий Операция вычитания событий Операция

Подробнее

Лекция 9. Множественная линейная регрессия

Лекция 9. Множественная линейная регрессия Лекция 9. Множественная линейная регрессия Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Множественная регрессия... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39 Cодержание Содержание 1

Подробнее

6. Оптимальные линейные цепи (фильтры)

6. Оптимальные линейные цепи (фильтры) ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-onlinenarodru 6 Оптимальные линейные цепи (фильтры) 61 Понятие оптимального фильтра его характеристики Пусть на вход линейной

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

Лекция 8. Критерии качества и правила приема дискретных сообщений

Лекция 8. Критерии качества и правила приема дискретных сообщений Лекция 8. Критерии качества и правила приема дискретных сообщений Обработкасигналовнаоснове статистической теории В этом случае удается отыскать наилучшую операцию обработки принятого сигнала t, обеспечивающую

Подробнее

1 Принцип сжимающих отображений 2

1 Принцип сжимающих отображений 2 Содержание 1 Принцип сжимающих отображений Применения принципа сжимающих отображений для решения линейных интегральных уравнений -го рода 3.1 Уравнения Фредгольма.................................. 3. Уравнения

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вектор среднего дисперсий границ математических ожиданий границ функции среднеквадратических отклонений границ величина гиперслучайная векторная непрерывная 1.2 скалярная 1.2 интервальная

Подробнее

Теоретические основы синтеза радиотехнических систем

Теоретические основы синтеза радиотехнических систем Теоретические основы синтеза радиотехнических систем Лекция 7. Статистическое описание событий и процессов Практическое понятие вероятности Если имеется N результатов экспериментов, среди которых событие

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение ГЛАВА СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли Определение Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами

Подробнее

Теоретические вопросы.

Теоретические вопросы. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики. Дисциплина Математика Специальность 160505. Курс 2. Осенний семестр 2012 года Теоретические вопросы. РАЗДЕЛ

Подробнее

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений.

Подробнее

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 3. Условные распределения

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

В данной главе исследуются флуктуации для равновесных термодинамических

В данной главе исследуются флуктуации для равновесных термодинамических 7 РАВНОВЕСНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ В данной главе исследуются флуктуации для равновесных термодинамических систем. 7.1 Флуктуации энергии Рассматривается закрытая система, состояние которой представляется каноническим

Подробнее

УДК , ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ДОПЛЕРОВСКИХ СИСТЕМ

УДК , ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ДОПЛЕРОВСКИХ СИСТЕМ ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ, N5, 4 УДК 6.39, 6.37.7 ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ДОПЛЕРОВСКИХ СИСТЕМ В. Г. Патюков, Е. В. Патюков, Е. Н. Рычков Институт инженерной физики и радиоэлектроники Сибирского Федерального

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

ШУМОВАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В СИСТЕМАХ БЛИЖНЕЙ ОПТИЧЕСКОЙ ЛОКАЦИИ

ШУМОВАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В СИСТЕМАХ БЛИЖНЕЙ ОПТИЧЕСКОЙ ЛОКАЦИИ УДК 535:631.373.826 ШУМОВАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В СИСТЕМАХ БЛИЖНЕЙ ОПТИЧЕСКОЙ ЛОКАЦИИ 213 Е. Г. Лебедько, доктор техн. наук; М. Г. Серикова, аспирантка НИУ ИТМО, Санкт-Петербург E-mail: serikovamg@gmail.com

Подробнее

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ГЛАВА 6 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВЕЛИЧИН Описаны точечный и интервальный методы оценки детерминированных величин основанные на представлении оценок гиперслучайными

Подробнее

1. Основные характеристики детерминированных сигналов

1. Основные характеристики детерминированных сигналов 1. Основные характеристики детерминированных сигналов В технике под термином «сигнал» подразумевают величину, каким-либо образом отражающую состояние физической системы. В радиотехнике сигналом называют

Подробнее

5.1. Системы массового обслуживания

5.1. Системы массового обслуживания Теория массового обслуживания (ТМО) изучает процессы, в которых возникают требования на выполнение каких-либо видов услуг, и происходит обслуживание этих требований. Объектами (ТМО) могут быть производственные

Подробнее

Содержание. Предисловие... 9

Содержание. Предисловие... 9 Содержание Предисловие... 9 Введение... 12 1. Вероятностно-статистическая модель и задачи математической статистики...12 2. Терминология и обозначения......15 3. Некоторые типичные статистические модели...18

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

В. И. Парфенов, Е. В. Сергеева. Воронежский государственный университет

В. И. Парфенов, Е. В. Сергеева. Воронежский государственный университет УДК 61.391 ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРИМИНАНТНОЙ ПРОЦЕДУРЫ ПРИ СИНТЕЗЕ И АНАЛИЗЕ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ, ОСНОВАННОЙ НА МАНИПУЛЯЦИИ СТАТИСТИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В. И. Парфенов, Е. В.

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Подход распространения ожидания (Expectation Propagation) для приближенного байесовского вывода

Подход распространения ожидания (Expectation Propagation) для приближенного байесовского вывода Курс: Байесовские методы машинного обучения, 20 Подход распространения ожидания (Expectation Propagation) для приближенного байесовского вывода Дата: 7 декабря 20 Достаточные статистики Рассмотрим задачу

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Нейронные сети. Краткий курс

Нейронные сети. Краткий курс Нейронные сети Краткий курс Лекция 7 Модели на основе теории информации Рассмотрим информационно теоретические модели, которые приводят к самоорганизации В этих моделях синаптические связи многослойной

Подробнее

ÎÑÍÎÂÛ ÐÀÄÈÎÝËÅÊÒÐÎÍÈÊÈ È ÑÂßÇÈ

ÎÑÍÎÂÛ ÐÀÄÈÎÝËÅÊÒÐÎÍÈÊÈ È ÑÂßÇÈ ÎÑÍÎÂÛ ÐÀÄÈÎÝËÅÊÒÐÎÍÈÊÈ È ÑÂßÇÈ ÈÇÄÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÃÎÓ ÂÏÎ ÒÃÒÓ Учебное издание ОСНОВЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И СВЯЗИ Методические рекомендации Составители: КАРПОВ Иван Георгиевич, ГРИБКОВ Алексей Николаевич Редактор

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые

Подробнее

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ УДК 681.5(07) ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ Д.Н. Вятченников, В.В. Кособуцкий, А.А. Носенко, Н.В. Плотникова Недостаточная информация об объектах при разработке их

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

DOI: /AUT

DOI: /AUT 30 АВТОМЕТРИЯ. 2016. Т. 52, 1 УДК 519.24 КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ НА ОСНОВЕ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ Е. Л. Кулешов Дальневосточный федеральный университет, 690950, г. Владивосток, ул. Суханова, 8 E-mail: kuleshov.el@dvfu.ru

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Семинары по EM-алгоритму

Семинары по EM-алгоритму Семинары по EM-алгоритму Евгений Соколов sokolov.evg@gmail.com 21 февраля 2014 г. 1 EM-алгоритм 1.1 Смеси распределений Говорят, что распределение p(x) является смесью распределений, если его плотность

Подробнее

СВОЙСТВА НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ МНОГОМЕРНОЙ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СВОЙСТВА НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ МНОГОМЕРНОЙ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Стохастические системы 0 (3 УДК 597 0 г АВ Лапко д-р техн наук ВА Лапко д-р техн наук (Институт вычислительного моделирования СО РАН Красноярск (Сибирский государственный аэрокосмический университет имени

Подробнее

Лекция 3-4 Экспериментально-статистическое моделирование

Лекция 3-4 Экспериментально-статистическое моделирование Лекция 3-4 Экспериментально-статистическое моделирование Современная промышленность и строительство на сегодняшний день не могут существовать вне компьютерного моделирования, особенно когда окончательное

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

Оценки параметров и критерий согласия хи-квадрат

Оценки параметров и критерий согласия хи-квадрат МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Подробнее

«Прикладная математика и информатика»

«Прикладная математика и информатика» «Прикладная математика и информатика» Магистерская программа «Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности» Программа экзамена разработана на основе Государственных образовательных

Подробнее

ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ВВ МЯСНИКОВ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ 7 САМАРА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Лабораторная работа 8 Цель работы: 1. Подтверждение случайного, статистического характера процессов радиоактивного распада ядер.. Ознакомление

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе А. Л. Толстик Регистрационный УД- / уч. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Учебная программа учреждения высшего

Подробнее

Проблемы обнаружения и идентификации радиосигналов средств негласного контроля информации (Продолжение, начало в 3, 2000)

Проблемы обнаружения и идентификации радиосигналов средств негласного контроля информации (Продолжение, начало в 3, 2000) 1 Каргашин Виктор Леонидович, кандидат технических наук Проблемы обнаружения и идентификации радиосигналов средств негласного контроля информации (Продолжение, начало в 3, 2000) Эффективность приемников

Подробнее