ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие Рекомендовано УМО по образованию в области финансов, учета и мировой экономики, в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Экономика» Волгоград

2 УДК 57.9 (75) Р е ц е н з е н т ы : кафедра «Математическое моделирование экономических процессов» ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации», д-р физ.-мат. наук, профессор М. С. Красс д-р техн. наук, профессор Волгоградского государственного педагогического университета Б. А. Жуков Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета Феофанова, Л. Н. Дифференциальные уравнения: стандартные задачи с основными положениями теории : учеб. пособие / Л. Н. Феофанова. Волгоград : ИУНЛ ВолгГТУ,. 4 с. ISBN Пособие написано в соответствии с действующей программой по разделу «Дифференциальные уравнения» для инженерных и экономических специальностей. Оно содержит основные теоретические положения и большое число задач, направленных на усвоение базовых понятий и способствующих применению их в решении задач. В завершение предлагаются материалы для зачета и экзамена: вопросы и примерные задачи, а также тесты для проверки усвоения учебного материала. Предназначено для самостоятельной работы студентов инженерных и экономических специальностей, а также может быть использовано для выполнения ими индивидуального задания по дифференциальным уравнениям и системам дифференциальных уравнений. Ил. 9. Библиогр.: 7 назв. ISBN Волгоградский государственный технический университет, Феофанова Л. Н.,

3 Г л а в а ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ. Одним из распространенных математических методов изучения разнообразных процессов, происходящих в природе, является моделирование изучаемых явлений в виде дифференциальных уравнений. Уравнения, связывающие независимую переменную х, искомую функцию = ( ) и ее производные или дифференциалы различных порядков, называются дифференциальными. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка: ( n) = (.) F(,,,,..., ) В частности, уравнение (.), разрешенное относительно старшей производной, примет вид ( n) ( n ) = f (,,,..., ) =. (.) Мы ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений относительно функции = ( ) с одной независимой переменной. Такие уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.. Решением дифференциального уравнения называется любая функция = ( ), которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению, т. е. подстановка функции = ( ) и ее производных в уравнения (.) и (.) обращает эти уравнения в тождества. Например, нетрудно проверить, что функция = cos является решением дифференциального уравнения + =. В самом деле, = sin, = cos, и, подставив и в уравнение, получим тождество: cos + cos =. Легко убедиться, что функции = sin и C C = sin + cos, где C и C произвольные постоянные, также яв-

4 ляются решениями данного дифференциального уравнения. Из примера видно, что дифференциальному уравнению удовлетворяет множество функций, отличающихся друг от друга значениями произвольных постоянных. Нахождение решений дифференциального уравнения так или иначе связано с интегрированием неизвестной функции, причем это интегрирование повторяется столько раз, каков порядок уравнения. Например, в случае простейшего дифференциального уравнения второго порядка =, выполняя интегрирование один раз, будем иметь второй раз, получим = + +, где C C 6 = + C, а интегрируя C и C произвольные постоянные. Таким образом, решение уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные, а в общем случае: решение уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных. Изменяя значения произвольных постоянных, получим семейство функций вида = (, C, C,..., C n ), каждая из которых удовлетворяет данному уравнению. Это семейство функций называется общим решением дифференциального уравнения. Если общее решение дифференциального уравнения первого порядка найдено в виде, не разрешенном относительно у, т. е. в виде F(,, C ) =, то оно называется общим интегралом уравнения. При каждом конкретном наборе произвольных постоянных C i, где i=, n получаем единственную функцию, график которой называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения, а сама функция его частным решением. Общее решение определяет все семейство интегральных кривых.. На практике для выделения частного решения из общего достаточно задать некоторые дополнительные условия, количество которых равно порядку дифференциального уравнения, т. е. числу произвольных постоян- 4

5 ных. Так, например, для уравнения + = следует задать одно начальное значение функции у в некоторой точке х, например, () =. Подставляя это условие в общее решение = Ce, определим значение произвольной постоянной: = Ce C= и тем самым при С = выделим частное решение = e. у е х А х Се х Рис. На рис. приведена геометрическая интерпретация только что описанных рассуждений: из семейства кривых (тонкие линии на рисунке), соответствующих общему решению = Ce выделено частное решение (жирная линия, проходящая через начальную точку А(, )), удовлетворяющее условию () =. Для уравнений второго и более высокого порядка произвольных постоянных несколько и потому требуется более одного дополнительного условия. Эти условия могут быть заданы все в одной начальной точке и в этом случае говорят о задаче Коши (задаче с начальными условиями), а могут быть заданы в нескольких точках (обычно на краях отрезка, на котором разыскивается решение) в этом случае говорят о краевой задаче. 5

6 Итак, общим решением дифференциального уравнения (.) называется функция = (, C, C,..., C n ) независимой переменной х и n произвольных постоянных C, C,..., C n, удовлетворяющая следующим условиям: функция = (, C, C,..., C n ) вместе со своими производными обращает уравнение (.) в тождество при любых значениях произвольных постоянных; каковы бы ни были условия ( n ) ( n ) =, =, =,..., = при =, (.) можно найти такие значения произвольных постоянных что функция n C, C,..., C, будет удовлетворять этим условиям. = (, C, C,..., C n ) (.4) Условия (.) называются начальными, функция (.4) данного дифференциального уравнения называется его частным решением, а задачу нахождения частного решения уравнения (.), удовлетворяющего начальным условиям (.), называют задачей Коши. При работе с дифференциальными уравнениями неизбежно встает вопрос об условиях существования решений и о количестве решений. Можно показать, что при определенных требованиях правой части уравнения (.) задача Коши имеет единственное решение. Дальше мы будем рассматривать формулировки этого утверждения для дифференциального уравнения (.) при n= и n=. Упражнения. Показать, что = Ce, где С произвольная постоянная, есть решение уравнения + =. 6

7 Решение. = Ce, = Ce. Подставив в данное уравнение значения, и, получим тождество: Ce Ce + e =. Следовательно, есть решение уравнения + =. = Ce. Выяснить, будет ли функция = C ln cos, где С произвольная постоянная, решением уравнения = ctg.. Показать, что если А и В произвольные постоянные величины, то = Acos+ Bsin есть решение уравнения + 4=. 4. Показать, что уравнение 7 + = в качестве решения имеет функции t 5t = e 5e и t 5t = +. e e 5. Показать, что соотношение + + C= является общим интегралом уравнения ( ) =. Решение. Дифференцируя данное соотношение, находим : + = ; ( ) = ; Подставим выражение для в данное уравнение: =. ( ) = ; =. Так как в результате подстановки получено тождество, то заданное соотношение является общим интегралом исходного уравнения. 6. Зная, что соотношение + + C= является общим интегралом уравнения ( ) =, найти частный интеграл при условии, что ( ) =. Решение. Подставим в общий интеграл, найденный в предыдущем упражнении, начальное условие: = при = и получим C = 9. Следовательно, + 9= частный интеграл (частное решение). 7

8 7. Показать, что + ln = есть общий интеграл уравнения ( + ) = ( ). 8. Показать, что + = C sin является общим интегралом уравнения = (+ )ctg. Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: π = при = Выяснить, является ли решением уравнения ( + ) d+ d= функция c =. Решение. Найдем дифференциал d указанной функции: ( c ) c d= d= d= d 4 4 и подставим в левую часть дифференциального уравнения: ( + ) d+ d. В результате получим c c + d+ d. 4 Легко видеть, что это выражение равно нулю, то есть данное уравнение обращается в тождество, следовательно, функция c = является ре- шением дифференциального уравнения.. Построить график функции, являющейся частным решением, удовлетворяющим начальным условиям: () =, дифференциального уравне- ния =. 8

9 Г л а в а ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Дифференциальное уравнение первого порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Поэтому общий вид уравнения: F(,, ) =, где х независимая переменная, = ( ) искомая функция, а ее производная. Разрешая, если это возможно, последнее уравнение относительно получим = f (, ) (.) Далее, рассмотрим задачу Коши о нахождении решения этого уравнения при заданном начальном условии: ( ) = или = при =. Условия, при которых дифференциальное уравнение (.) имеет единственное частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию, могут быть сформулированы в виде следующей теоремы. Теорема Коши о существовании и единственности Если функция f (, ) и ее частная производная f (, ) определены и непрерывны в некоторой области D изменения переменных х и у, то, какова бы ни была внутренняя точка (, ) этой области, уравнение (.) имеет единственное решение = ( ) такое, что у обращается в при =. Геометрически это означает, что среди семейства интегральных кривых = (, С), определяемых общим решением уравнения (.), существует единственная кривая = (, С), проходящая через точку P (, ) (рис. ). 9

10 у у = у(х, С ) у Р (х, у ) Д х х Рис. Нарушение хотя бы одного из условий теоремы делает неверным ее заключение, а точки, в которых теорема существования и единственности нарушается, называются особыми. Пример. Уравнение = имеет общее решение = С. Это легко проверить: = С. Подставляя и в данное уравнение, получим тожде- С ство: С=. Общему решению этого уравнения соответствует семейство интегральных кривых пучок прямых, проходящих через начало коорди- нат (рис. ). Однако, правая часть рассматриваемого уравнения f (, ) = и ее частная производная df (, ) = непрерывны при. Таким обра- d зом, на всей плоскости, за исключением оси у, правая часть удовлетворяет условиям теоремы Коши. Точки, лежащие на оси у (х = ), являются особыми. Отметим, что через особые точки, лежащие на оси у и не совпадающие с началом координат, не проходит ни одной интегральной кривой.

11 у х Рис... ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ. ИЗОКЛИНЫ Пусть дано уравнение = f (, ) (.) и пусть = (, С) есть общее решение этого уравнения. Геометрически это означает, что общее решение определяет собой семейство интегральных кривых на плоскости. Если переменные х и у рассматривать как координаты точки М (, ), то производная в этом случае выражает угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Следовательно, дифференциальное уравнение (.) в каждой точке области D существования функции f (, ) определяет направление интегральной кривой, проходящей через эту точку, а уравнение (.) определяет поле направлений области D. Геометрически задача интегрирования дифференциального уравнения (.) может быть теперь истолкована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке. Построение интегральной кривой часто решается с помощью изоклин. Изоклиной называется геометрическое место

12 точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и то же направление. Семейство изоклин дифференциального уравнения (.) определяется уравнением f (, ) = k, где k -параметр. Придавая параметру k близкие числовые значения, рисуем достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые дифференциального уравнения (.). Замечание. Нулевая изоклина f (, ) = дает уравнение линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума интегральных кривых. Для большей точности построения интегральных кривых находят также геометрическое место точек перегиба. Замечание. Точки пересечения двух или нескольких изоклин могут быть особыми точками дифференциального уравнения (.). Так, например, для уравнения = семейство изоклин определяется уравнением k = или = k. Общее решение этого уравнения имеет вид = C. Следовательно, точка (,) есть особая точка дифференциального уравнения и изоклины являются интегральными кривыми уравнения (см. рис. ) Пример. Построить поле направлений, определяемое уравнением = и приближенно изобразить интегральную кривую, проходящую че- рез точку М (, ). Решение. Составим уравнение семейства изоклин данного уравнения: = k или = k. Как видно, изоклинами для данного уравнения служат прямые, параллельные оси у. Например, при k = получаем изоклину х = (ось у), во всех точках которой касательные параллельны оси х, следовательно, направление поля параллельно оси х. При k = уравнение

13 изоклины х =, во всех точках которой направление поля образует с осью абцисс угол в 45, т. к. = и, значит, угол наклона касательной к оси х равен 45 (tg 45 = ). При k= получим изоклину =, во всех точках которой направление поля образует с осью х угол в 6 (т. к. tg6 = ). При k = получаем изоклину х =, во всех точках которой направление поля образует с осью х угол, равный 5. Чтобы построить поле направлений, на каждой изоклине выбираем ряд точек и указываем стрелкой направление поля (рис. 4). M Рис. 4 Далее построим интегральную кривую, проходящую через заданную точку М (, ). Это парабола, выделенная жирной линией на рис. 5. Она является графиком частного решения данного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям у = при х =. Пример. Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения d =. d + Решение. Полагая = k( k = const), получим уравнение семейства изо-

14 = + клин k. Таким образом, изоклинами являются прямые, проходящие через начало координат O(, ). При k = получим изоклину = (ось ОХ), при k = - изоклину =, при k = -изоклину = (ось OY). Рассматривая «перевернутое» уравнение d + =, найдем изоклину =, во d всех точках которой интегральные кривые имеют вертикальные касательные. В точке (, ) пересекаются все изоклины данного уравнения (особая точка уравнения). С помощью полученных изоклин строим интегральные кривые (рис. 5) Рис. 5 Упражнения Методом изоклин построить интегральные кривые следующих дифференциальных уравнений: 4

15 ) = + + 6) = ) = + 7) = ) = 8) = = + 9) = + 5) = ) = 4) ( ) Отметим, что вообще говоря, не существует единого метода решения дифференциального уравнения (.) для правой части любого вида. Поэтому мы рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений, для которых можно найти решение.. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Если правая часть дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной, = f (, ) (.) может быть представлена в виде произведения двух сомножителей, один из которых не содержит переменной у, а другой не содержит переменной х, т. е. если f (, ) =ϕ( ) ϕ ( ), то уравнение примет вид =ϕ ( ) ϕ ( ) (.) d d Так как производная =, то получим =ϕ( ) ϕ ( ) или d d d ( ) d. ϕ ( ) =ϕ Таким образом, мы разделили переменные. Проинтегрируем обе части последнего уравнения: d C ( ) d C ϕ( ) + = ϕ + или C= C C.(.) d f ( ) d C, ϕ ( ) = + где Соотношение (.) есть общее решение (общий интеграл) уравнения (.). Пример. Решить уравнение = ( + )tg. 5

16 Решение. Разделим переменные. Для этого представим в виде отношения дифференциалов, т. е. d = и умножим обе части уравнения на d d: d= ( + ) tg d. Далее разделим обе части равенства на (у + ) и d проинтегрируем: = tg d, + d = tg d+ C; + ln + = ln cos + C; ln ( + )cos = C общее решение. Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения tg=, удовлетворяющее начальным условиям: = при π = (за- 4 дача Коши). Решение. Аналогично предыдущему примеру выполним следующие действия: d tg ; d = d tg d = ; d tg d C = + ; ln = ln cos + ln C (произвольную постоянную С можно записать в виде lnc).следовательно, ln = ln C ln cos ; C = общее решение. cos C Воспользуемся начальными условиями: = ; π cos 4 = C ; C =. = Значит, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, может быть получено, если в общее решение вместо произвольной постоянной С подставим число Коши.. 6 Итак, = cos решение задачи Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными может быть представлено также в виде: f ( ) ϕ ( ) d+ f ( ) ϕ ( ) d=, (.4)

17 где множители при d и d есть произведение двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая только от у. Чтобы решить уравнение (.4), надо обе части равенства разделить на произведение ϕ( ) f( ) (на произведение «лишних» множителей). В результате будет получено уравнение с разделенными переменными: f( ) ϕ( ) d+ d=. f ( ) ϕ ( ) (.5) Замечание. При делении на произведение f( ) ϕ ( ) можно потерять частное решение, обращающее в нуль это произведение. Поэтому, после решения уравнения (.5), следует отдельно рассмотреть уравнение f ( ) ϕ ( ) = и установить те решения, которые не могут быть получены из общего решения. Такие решения называются особыми решениями уравнения (.4). В общем случае особыми решениями дифференциального уравнения называются такие его решения, которые не могут быть получены из общего решения ни при каких численных значениях произвольных постоянных С, включая ±. Пример. Решить уравнение ( ) d+ ( ) d=. Решение. Приведем уравнение к виду (.5). Для этого разделим обе части его на произведение «лишних» множителей ( )( ) и проинтегрируем полученный результат: d d + = C; ln ln = ln C; (произвольную постоянную запишем как ln C ). Применяя свойства логарифмов, найдем общее решение ( )( ) = C, которое является неявно заданной функцией. Далее выясним вопрос об особых решениях. Для этого рассмотрим 7

18 уравнение ( )( ) =, которое можно получить из общего решения при С =. Следовательно, данное уравнение особых решений не имеет. Пример. Решить уравнение d+ ( + ) + d=. Решение. Разделим обе части уравнения на произведение «лишних» множителей + и получим уравнение с разделенными переменными: + + d+ d=. Интегрируя это уравнение, получим общее решение: + + ln + = C. Для нахождения особых решений приравняем к нулю произведение ( ) +, т. е. получим уравнение + =, из которого следует, что = + > всегда. Итак, = есть особое решение, т. к. оно удовлетворяет заданному уравнению: d+ (+ ) + =, но не может быть получено из общего решения ни при каких значениях С. 4. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Дифференциальное уравнение первого порядка вида = f ( a+ b+ c), где а, b, с постоянные, приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки z= a+ b+ c, где z неизвестная функ- dz a dz ция. Дифференцируя по х, получим = a+ b, откуда = d. Под- d b dz a ставим в данное уравнение и получим: d dz = f ( z); a bf ( z); b d = 8

19 dz bf ( z) a d = + или dz bf ( z) + a = d уравнение с разделенными переменными и z. После решения этого уравнения следует перейти к заданным переменным х и у, заменяя z на a+ b+ c. Пример. Решить уравнение = (4+ + ). Решение. Пусть z= 4+ +, тогда z = 4+ или = z 4. Тогда данное уравнение примет вид: dz z + 4 = d. z 4 = z ; Интегрируя последнее уравнение, получим: z = z + z arctg = + C a ; arctg + b + c = + C. 4; dz z 4; d = + Значит, общее решение можно записать в неявном виде с помощью со- a отношения arctg + b + c = + C. Упражнения Найти общие решения дифференциальных решений.. = ;. ( + ) d+ ( ) d= ;. = ; 4. ( + e ) = e ; d d= d d; 6. tg sin d+ cos ctgd=. 4 + d d= d; 8. Решить уравнение + = и выяснить вопрос об особых решениях. 9. Решить уравнение sin = ln и выделить интегральную кривую, π проходящую через точку ;. 9

20 . Найти частное решение уравнения d= ctg d, удовлетворяющее π начальному условию: = при =.. Найти частное решение уравнения ( + ) d ( + ) d=, удовлетворяющее начальному условию ( ) =.. С помощью соответствующих подстановок решить уравнения:.. = ; +.. = + ;.. = cos( + ). 5. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Функция f (, ) называется однородной функцией нулевого измерения (порядка), если при умножении х и у на произвольный параметр t значение функции не изменяется. Например, функция f (, ) = + функцией нулевого измерения, так как t t t ( ) f ( t; t) = = = = f (, ) ( t) + ( t) t ( + ) + является Однородная функция нулевого измерения всегда может быть пред- ставлена в виде функции отношения. Действительно, пусть f (, ) есть однородная функция нулевого измерения. Это означает, что функция не изменится от умножения переменных х и у на произвольный параметр t. Пусть t =. Тогда f (, ) = f ( t; t) = f ; =ϕ. Дифференциальное уравнение = f (, ) называется однородным, если его правая часть является однородной функцией нулевого порядка. Таким образом, однородное дифференциальное уравнение можно

21 представить в виде =ϕ. (.6) Однородное уравнение (.6) можно привести к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки = z, где z новая функция. Дифференцируя равенство = z ( = z+ z ) и подставляя результат в исходное уравнение (.6), получим: dz z+ z =ϕ ( z); z =ϕ( z) z; ( z) z; d =ϕ dz d = ϕ( z) z. (.7) Последнее уравнение есть уравнение с разделенными переменными х и z. После того, как уравнение (.7) будет решено, возвращаясь к переменной = z, получим искомое решение однородного уравнения. Если не удается найти явное выражение для z, то, после интегрирования уравнения (.7), в левую часть вместо z подставляют ; уравнения в неявном виде. в результате мы получаем решение Пример. Найти решение уравнения =. Решение. В левой части данного уравнения находится однородная функция нулевой степени однородности (проверить самостоятельно). В этом случае можно в правой части выполнить деление каждого слагаемого числителя и знаменателя на х : =. Данное уравнение примет вид = = z+ z. Приходим к уравнению. Для решения обозначим z; = = z; z z z+ z = или z dz z z = z; d z

22 dz z = ; d z z d dz=. После интегрирования получаем: z + ln z= ln C или z z = C ln e z ln, откуда C z e z =. Возвращаясь к пере- менной у, находим общее решение в неявном виде: e C. = Функция двух переменных f (, ) называется однородной функцией степени однородности m, если при любом t выполняется равенство: Например, функция m f ( t, t) = t f (, ). 4 (, ) 4 третьей степени однородности, так как f = + однородная функция 4 4 ( t) f ( t, t) = ( t) ( t) 4( t) + = t 4 + = t f (, ). t Дифференциальное уравнение первого порядка P(, ) d+ Q(, ) d= (.8) будет однородным, если P(, ) и Q(, ) однородные функции одного и того же измерения. Пример. Решить уравнение ( ) d+ d=. Решение. Сравнивая данное уравнение с уравнением (.8), заключаем: P(, ) = ; Q(, ) =. Обе эти функции второй степени однородности, следовательно, данное уравнение однородное. Введем новую переменную, полагая = z. Тогда d= zd+ dz. Подставим в исходное уравнение ( z ) d+ z( zd+ dz) =. Сократив на х, получим ( z ) d+ z d+ zdz= ; d zdz ( + z ) d+ zdz= ; + = ; + z ln + ln( + z ) = ln C; ( + z ) = C.

23 Далее заменим z= и получим: + = C или + = C. Это общее решение исходного уравнения, которое можно преобразовать алгебраически следующим образом: C+ = ; С С + = По- С лучим уравнение семейства окружностей с центром в точках ; С и радиусом.. Замечание. В процессе преобразования данного уравнения мы делили на произведение ( + z ). Но + z >, а х = не является решением исходного уравнения. Следовательно, уравнение не имеет особых решений. Пример. Решить уравнение + =. + Решение. На данном примере рассмотрим, как можно свести уравнение вида a+ b+ c = a + b + c к однородному уравнению. Заменим на d d и получим: (.9) ( a + b + c ) d= ( a+ b+ c) d. Далее, введем новые переменные u и v : = u+α, = v +β (.) и найдем α и β так, чтобы после подстановки соотношений (.) исходное уравнение (.9) стало однородным. Для этого потребуем, чтобы после последующих замен в правых частях выражений + = u+ α v β+, = v+ β u α отсутствовали свободные члены, т. е. чтобы выполнялись равенства

24 α β+ =, β α =. Решением этой системы является α=, β=. Подставим эти значения в систему (.): = u = v +,. В результате данное уравнение обратится в однородное уравнение относительно переменных u и v: ( u v) du+ ( v u) dv=. Находим с помощью подстановки v уравнения: = z u общее решение последнего u v u+ v = C. Возвращаясь от переменных u и v к старым переменным х и у, получим + + = c. Это общее решение данного уравнения. Замечание. Если коэффициенты при х и у в числителе и знаменателе уравнения (.9) пропорциональны, то вводят новую переменную V = a+ b. Пример. Решить уравнение + + =. + Решение. Коэффициенты при х и у пропорциональны, следовательно, новая переменная V = +, тогда dv = d+ d. Запишем данное уравнение в виде: (+ ) d ( + + ) d= ; (V )( dv d) ( V + ) d= ; (V ) dv (V ) d ( V + ) d= ; (V ) dv = Vd; V dv V = d; V lnv = + C. Возвращаясь к переменным х и у, получим окончательный вид общего решения: ( + ) ln( + ) = + C; C= ln( + ). 4

25 Упражнения Найти общий интеграл в уравнениях: ) + 6 = + ; ) = Найти решение задачи Коши: ) ( + ) =, () ; = 4) ( ) d= d, () =. Решить уравнения: 5) d+ ( ) d= ; 6) ( + ) d d= ; 7) d d= d; 8) + = ; 9) = УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка P(, ) d+ Q(, ) d=. (.) Если левая часть этого уравнения является полным дифференциалом некоторой функции u(, ), то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Из теории функции двух переменных известно: для того чтобы выражение P(, ) d+ Q(, ) d было полным дифференциалом, необходимо и P Q достаточно соблюдение тождества =. (*) Если найти такую функцию u(, ), что du(, ) = P(, ) d+ + Q(, ) d, то уравнение (.) можно записать так: du(, ) =. Последнее равенство означает, что u(, ) = C, где С произвольная постоянная. Это и есть общее решение исходного уравнения. Пример. Найти общее решение уравнения ( + ) d+ ( 4) d=. Решение. P(, ) = + ; Q(, ) = 4. Найдем частные производные 5

26 P = Q и =. Следовательно, условие (*) выполняется и левая часть данного уравнения есть полный дифференциал некоторой функции u(, ), т. е. du(, ) = ( + ) d+ ( 4 ) d. Выберем фиксированную точку, например, М (,) и проинтегрируем последнее равенство вдоль ломаной М М М (см. рис. 6) у М(х, у) М (, ) М (х, ) х Рис. 6 Линия М М имеет уравнение = ( d= ), а М М имеет уравнение = (cons t) и тогда d=. В результате получим: u(, ) = d+ ( 4 ) d= + ( ) = +. Окончательно будем иметь: u(, ) = + = C или + = C общее решение данного уравнения. Найти общие решения уравнений: Упражнения.. ( + ) d+ ( + ) d=. ( + ) d+ ( 4) d=.. ( e + ) d+ ( e ) d=. 6

27 7. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида + P( ) = Q( ), (.) где = ( ) искомая функция, а P( ) и Q( ) известные функции независимой переменной х. Для решения уравнения (.) заменим искомую функцию у произведением двух других функций, т. е. введем подстановку = u( ) v( ). (.) Одной из них мы можем распорядиться произвольно; при этом вторая должна быть определена в зависимости от первой таким образом, чтобы их произведение удовлетворяло данному дифференциальному уравнению. Так как = u v+ uv, то подставив в уравнение (.9) выражения для у и, получим: u v+ uv + P( ) uv= Q( ) или u v+ u( v + P( ) v) = Q( ). (.4) Выберем функцию v( ) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Для этого надо найти какое-нибудь частное решение уравнения v + P( ) v= (.5) Решением этого уравнения удобно считать частное решение при C= : v= v(, C= ) = v( ). Если учесть это, то уравнение (.4) примет вид u v( ) = Q( ). Решим это уравнение и найдем u= u(, C). Зная u и v, найдем искомую функцию ( ) = u(, C) v( ). Пример. Решить уравнение + tg =. cos Решение. Данное уравнение является линейным, поэтому положим, что = u v, = u v+ u v. 7

28 Имеем: u v+ uv + uvtg= или u v+ u( v + vtg ) = =. cos cos Получаем два дифференциальных уравнения v + v tg= и u v=. cos dv Находим частное решение первого уравнения: v tg ; d + = dv = tg d; ln lncos ; v v= v = cos (выбираем то частное решение, которое соответствует произвольной постоянной С=). Подставляя второе уравнение, получим: v= cos во d u cos = ; du= ; u= tg + С. Тогда cos cos = u v= = cos (tg + С) или = sin + С cos общее решение заданного уравнения. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка, не яв-ляясь линейными, могут быть приведены к линейным после предварительных преобразований. Примером может служить уравнение вида + P( ) = Q( ) n, которое называется уравнением Бернулли. При помощи подстановки n z= это уравнение приводится к линейному уравнению относительно новой функции z. Практически нет необходимости это делать, т. к. уравнение Бернулли можно решить с помощью подстановки = u( ) v( ), не сводя его предварительно к линейному. Пример. Решить уравнение Бернулли + = ln. Решение. Положим = u v, тогда = u v+ uv и уравнение примет uv вид: u v+ uv + = u v ln или v u v+ u v + = u v ln. (*) v Выберем функцию v так, чтобы v + =. Значит, если v = ( C = ) подставим в уравнение (*), то второе уравнение 8 u v= u v ln примет вид:

29 u = u ln. Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим du d его общее решение: ln ; u = C = ln + (произвольную постоян- u ную можно записать в виде u ln =. Итак, = u v= + C уравнения. C ). Из последнего равенства находим ( C+ ln ) общее решение заданного Упражнения Найти общие решения уравнений: ) ) = ; 6 + cos = sin ; 4) 5) = ; 7) + = ; 9) = ln ; ) ) 6) 8) = + ; + = ; + = ; = ; + =. 9

30 Г л а в а ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Дифференциальное уравнение второго порядка F(,,, ) =, (.) разрешенное относительно второй производной можно записать так: = f (,, ) (.) Это уравнение имеет бесчисленное множество решений, которые определяются функцией = (, C, C), содержащей две произвольные постоянные. Совокупность таких функций называется общим решением. Частное решение отыскивается при помощи задания начальных условий: ( ) ; = ( ) =. Геометрически смысл начальных условий заключается в том, что кроме точки (, ), через которую должна проходить интегральная кривая, требуется, чтобы угловой коэффициент касательной к этой кривой был равен. Это означает, что через данную точку (, ) проходит бесчисленное множество интегральных кривых, но лишь одна из них имеет заданный угловой коэффициент, равный. Условия существования и единственности частного решения сформулируем с помощью теоремы Коши. Теорема Коши. Если в уравнении (.) функция f (,, ) непрерывна в области, содержащей точку M (,, ), то существует решение = ( ) такое, что при = функция у обращается в, а в, т.е. ( ) = и ( ) =. Если, кроме того, непрерывны и частные производные f и f, то такое решение единственно.

31 . ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Рассмотрим три типа дифференциальных уравнений второго порядка, которые легко приводятся к уравнениям первого порядка. Первый тип: = f ( ). (.) d Известно, что = ( ) =. Следовательно, данное уравнение можно d d записать так: = f ( ) или d = f ( ) d. Это уравнение с разделенными d переменными. Интегрируя его дважды, получим: = f ( ) d+ C; ( ) = f ( ) d+ C d+ C. Пример. Найти частное решение уравнения = 6+ sin, удовлетворяющее начальным условиям: () = ; () =. d Решение. Запишем данное уравнение так: = 6 + sin или d d = (6+ sin ) d. Интегрируя, получим: = cos +. (*) C d Так как =, то d= ( cos + C) d и = sin + C+ C d общее решение исходного уравнения. Подставив начальные условия в эту = C, C = 4, функцию и в равенство (*), находим: или Следовательно, = sin + 4+ искомое частное решение, = + C, C =. удовлетворяющее начальным условиям. Геометрически найденное частное решение представляет интегральную кривую, проходящую через точку М (;). Кроме того, касательная, проведенная к этой кривой в точке М, образует с положительным направлением оси х угол, тангенс которого равен. Замечание. Уравнения вида ( n) = f ( ) решаются дифференцированием n раз, считая ( n) ( n = ). d d IV Пример. Найти общее решение уравнения четвертого порядка = sin.

32 Решение. Умножая обе части уравнения на d и считая IV d= d ( ), получим d( ) = sin d или: = cos + C. Снова умножим на d и проинтегрируем: d = cos + C d d = cos d+ C d ; или ( ) = sin + C+ C. 9 Далее, имеем: d( ) = sind+ Cd + Cd или 9 = cos + C + C+ C. 7 Аналогично рассуждая, получим d= cos d+ C d+ Cd+ Cd 7 или = sin + C + C + C+ C4 общее решение исходного уравнения. 8 Упражнения. Найти общие решения следующих уравнений: 4 а) = e ; b) = ; с) = arctg ; d) = + cos. ln. Найти общее решение уравнения = и выделить частное реше- ние, удовлетворяющее начальным условиям: () = ; () =. Второй тип: = f ( ; ). (.4) Правая часть уравнения не содержит явным образом функцию у. Для решения положим = p и = p и уравнение (.4) обратится в уравнение первого порядка относительно р: p = f ( ; p). Найдем решение этого уравнения p= p(, C ), интегрируя его, полу-

33 чим: = p(, C) d+ C общее решение исходного уравнения. ( n) ( k) ( k+ ) ( n ) Замечание. Уравнение вида f ( ) =,,,..., =, которое не содержит в явном виде искомую функцию у и ее производные ( ),,..., k, решаются с помощью подстановки ( k) = p( ); ( k ) ( n ) ( n k) + = p,..., = p. Пример. Найти общее решение уравнения =. Решение. Данное уравнение не содержит у и. Обозначим: = p( ); = p. Уравнение примет вид: p p=. Решая это уравнение получим: dp d p = p+ ; = ; ln( p ) ln ln C p+ + = + или p ( ) = C. Обратная подстановка p= дает уравнение = C, интегрируя которое дважды, получим: = C + C ; = C + C+ C об- щее решение исходного уравнения. Пример. Найти частное решение уравнения =, удовлетворяющее условиям () = ; () =. Решение. Данное уравнение не содержит искомой функции у, следовательно, применяем подстановку = p( ); = p, которая приводит данное уравнение к виду p p =. Это уравнение можно рассматривать ли- бо как линейное первого порядка, либо как однородное. Обозначая, на- p пример, = z, найдем общее решение последнего уравнения p( ) = C. Далее, заменяя р на, получим уравнение = C интегрируя,

34 которое найдем общее решение данного уравнения Используем условия () = и = + C + C. () = и получим = C;. = + C + C Значит, C =. Подставляя значения C и C в общее решение, получим искомое частное решение: =. Упражнения. Найти общие решения следующих уравнений: а) = ; b) + ( ) =. +. Найти частное решение уравнения =, если () = ; () =. Третий тип: = f (, ) (.5) Правая часть уравнения не содержит х. Чтобы решить уравнение (.5), положим = p и будем считать р функцией от у. Выразим через р и у, применяя правило дифференцирования сложной функции: d = = dp = dp d = p dp. d d d d d dp Итак, = p. Подставляя это в уравнение (.5), получим дифферен- d циальное уравнение первого порядка относительно переменных у и р: dp p f ( ; p). d = (.6) Если p= p( ; C ) общее решение этого уравнения, то обратная подстановка d p= позволит найти искомое решение данного уравнения. d 4

35 Пример. Решить уравнение + =. dp Решение. Полагая = p и = p, получим d dp p p d + = или dp p d =. Интегрируем последнее равенство: ln p= ln + lnc или C d C p=. Определим у из уравнения = : d d= C d ; C C = + или = ( C + C ). Замечание. В обоих последних случаях мы заменяли новой вспомогательной функцией и приходили, таким образом, к уравнению первого порядка. В том случае, когда уравнение имеет вид = f ( ), т. е. когда оно одновременно не содержит ни х, ни у, следует выбрать тот ход решения, который окажется более удобным. Пример. Найти общее решение уравнения = +. Решение. Данное уравнение не содержит ни х, ни у, значит возможна подстановка = p( ); = p. Тогда исходное уравнение примет вид: dp p = + p или = d. p+ Интегрируя, получим + C = ln( p+ ) или p= Ce. Обратная подстановка позволит найти общее решение данного уравнения: Ce ; = ( ) d= Ce d; = Ce + C.. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА Линейным дифференциальным уравнением n-порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производных: ( n) ( n ) ( n ) + p ( ) + p ( ) p ( ) = f ( ) (.7) Если f ( ), то уравнение (.7) называется неоднородным. Если n 5

36 f ( ) =, то уравнение однородное. Если все функции p ( ) = a ; где a i числа, то уравнение вида: ( n) ( n ) ( n ) + a + a a = f ( ) (.8) называется неоднородным, а уравнение ( n) ( n ) ( n ) n + a + a a = (.9) называется однородным уравнением с постоянными коэффициентами. В дальнейшем только такими уравнениями мы и будем заниматься. Теорема о структуре общего решения однородного уравнения. Если,,..., n суть n частных линейно независимых решений уравнения (.9), то общим решением этого уравнения является их линейная комбинация: = С + С Сn n (.) Линейно независимыми частными решениями уравнения (.9) называются такие частные решения, когда ни одно из них нельзя представить в виде линейной комбинации остальных. Это означает, что если, например, k, k,..., k n постоянные величины, то не может быть равенства: ( ) = k ( ) + k ( ) k ( ). В частности, две функции ϕ ( ) и ϕ ( ) линейно независимы, если их ϕ( ) отношение не есть константа: const. ϕ ( ) n n n В общем случае существует условие линейной независимости частных решений,,..., n. Этим условием служит неравенство нулю так называемого определителя Вронского: ( n ) ( n ) ( n )... n Обычно говорят, что если частные решения уравнения (.9) линейно независимы, то они образуют фундаментальную систему решений. i n n i 6

37 Общее решение линейного уравнения n-го порядка с правой частью (.8) слагается из общего решения соответствующего ему однородного уравнения и какого-либо частного решения данного неоднородного уравнения, т. е. общее решение имеет вид где ( ) = +, (.) оо оо общее решение соответствующего однородного уравнения, чн какое-либо частное решение данного неоднородного уравнения. Рассмотрим все вышеизложенное на примере дифференциальных уравнений второго порядка. чн.. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Пусть требуется найти общее решение уравнения + a + a = (.), где а и а числа. Общим решением этого уравнения будет функция = С + С, (.) где у и у два линейно независимых частных решения, а С и С произвольные постоянные. Для нахождения частных решений у и у поступим следующим образом. Легко проверить, что функция = e, где r некоторое число, есть решение уравнения (.). Выясним, при каких значениях r функция rх rх = e становится решением этого уравнения. Сначала найдем = re ; rх = r e и подставим, и rх e ( r + a r+ a ) =. Так как множитель 7 rх в уравнение (.). В результате получим: rх e не равен нулю ни при каких значениях r, то второй множитель должен быть равен нулю; т. е. r + a r+ a = (*) Уравнение (*) называется характеристическим по отношению к уравнению (.). Чтобы составить характеристическое уравнение (*), доста-

38 точно заменить в данном уравнении (.) неизвестную функцию и ее производные соответствующими степенями r r; r : ; r =. При решении характеристического уравнения (*) могут встретиться три случая: корни уравнения действительные и различные, корни равные, корни комплексные сопряженные. I случай. Корни характеристического уравнения (*)действительные и r х r х различные, т. е. r r. Тогда = e и = e есть линейно независимыми решениями, т. к. e e r х r х r х. ( r r ) х = = e const. Следовательно, общее реше- r х ние уравнения (.) имеет вид: = C e + C e II случай. Корни характеристического уравнения (*) действительные и равные, т. е. r = r = r. Можно показать, подставляя в уравнение (.), что rх кроме функции = e решением является функция rх = e, которая ли- нейно независима относительно у, так как rх = e const. rх e = Таким образом, в случае действительных равных корней характеристического уравнения (*) общее решение уравнения (.) имеет вид: = ( C+ C) e. III случай. Корни характеристического уравнения (*) комплексные αх сопряженные числа: r =α+β i; r =α β i, где β. Подставляя в уравнение (.9) функции = e cosβ и = e sinβ, можно показать, что они являются решением данного уравнения. Кроме того, эти функции линейно e sinβ независимые, т. к. = = tgβ const αх e cosβ αх αх при β и, значит, составляют фундаментальную систему решений. В этом случае общее решение примет вид: αх = e ( C cosβ + C sin β ). rх 8

39 Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения 5 =. Решение. Составим характеристическое уравнение r 5r =, корнями которого будут числа r = и r =. Корни действительные и неравные, следовательно, фундаментальную систему решений составят функции х = e и e =. Общее решение исходного уравнения примет вид: ( ) = C e + C e. Пример. Найти общее решение уравнения =. Решение. Характеристическое уравнение 9r 6r+ = (r ) = имеет равные корни r = r =, значит, фундаментальная сис- тема решений = e и = e. Общее решение: ( ) = e ( C + C ). или Пример. Найти частное решение уравнения 4 + 5=, удов- π летворяющее условиям: () = ; = e π. Решение. Характеристическое уравнение r 4r+ 5= имеет комплексные сопряженные корни r, = ± i. Этим корням соответствуют два частных линейно независимых решения = e cos и = e sin. Эти функции образуют фундаментальную систему, следовательно, общим решением данного уравнения является функция: ( ) = e ( C cos + C sin ). Подставив заданные условия в общее решение, находим C = ; C =. Итак, искомое частное решение имеет вид: ( ) = e (cos + sin ). Пример 4. Найти частное решение уравнения =, удовлетворяющее начальным условиям: () = 4; () =. 9

40 Решение. Составим характеристическое уравнение r + 4r+ 4=,, корни которого действительные равные числа r = r =. Фундаментальную систему решений составляют функции e = и = e, следовательно, функция ( ) = e ( C + C ) будет являться общим решением. Далее, для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, запишем функцию и ее производную: х х ; = C e + C e = C e + C e C e и, подставив = 4 и = при =, х х х получим C = 4 и C = 8. Следовательно, х х = 4e + 8e есть искомое частное решение... Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами Если a, a,..., a n действительные числа, то уравнение ( n) ( n ) ( n ) n + a + a a + a = (.4) является линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка, а его характеристическое уравнение имеет вид: n n n n r + a r + a r a r+ a = (.5) Имеет место следующее правило, которое является общим случаем для уже полученного нами выше правила при n = : ) Каждому k-кратному действительному корню r характеристического уравнения соответствует k частных решений вида: r rх rх rх k rх e, e, e,..., e. ) Каждой паре m-кратных комплексных сопряженных корней =α+β i r ; =α β i характеристического уравнения соответствует m n n решений вида: αх αх m αх e cos β, e cos β,..., e cos β ; αх αх m αх e sin β, e sin β,..., e sin β. 4

41 Общая сумма кратностей всех корней должна равняться степени n характеристического уравнения, поэтому число всех частных линейно независимых (составляющих фундаментальную систему) решений должна совпадать с порядком данного уравнения. ) Общее решение есть линейная комбинация всех частных линейно независимых решений, т. е. n ( ) = C ( ), (.6) i= где i ( ) независимые частные решения. i i Пример. Найти общее решение уравнения IV =. Решение. Характеристическое уравнение: 4 r =. Его корни: r = ; r = ; r,4 = ± i. Фундаментальная система решений: = e ; = e ; = cos ; 4 = sin. Следовательно, общее решение 4 ( ) = C e + C e + C cos + C sin. Пример. Найти общее решение уравнения V IV =. Решение. Характеристическое уравнение: 5 4 r + r + r + r + r+ =. Подберем один действительный корень r= и применим метод деления многочлена в левой части характеристического уравнения на r+ : 5 4 r + r + r + r + r+ r+ r r r + r + r+ r + r r+ r+ r 4 + r + Приравняем r 4 + r + к нулю и получим ( r + ) =. 4

42 Итак, характеристическое уравнение имеет единственный действительный корень r =. Остальные четыре корня сопряженные комплексные: r, =± i и r 4,5 =± i. Следовательно, фундаментальная система решений для данного уравнения имеет вид: = e ; = cos ; = cos ; 4= sin ; 5 = sin. Общим решением является линейная комбинация всех этих функций: ( ) = Ce + C cos + C sin + ( C4 cos + C5 sin ). 4 5 ( ) = C e + C cos + C sin + C cos + C sin или = Ce + C+ C4 + C+ C5 ( ) cos ( ) sin ( ). Пример. Найти частное решение уравнения + 4 =, удовле- π творяющее начальным условиям = ; = ; = 4 при =. Решение. Для характеристического уравнения r + 4r= корнями являются числа r = и r, =± i. Тогда фундаментальная система решений: = ; = cos ; = sin. Общее решение: ( ) = C + C cos+ C sin. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, найдем первые две производные: = C sin + C cos ; = 4C cos 4C sin. Используя начальные условия, получим: π = C C = ; π = C = ; π = 4C = 4. Отсюда следует, что C =, C =, C =. Подставляя этот результат в общее решение, получим искомое частное решение ( ) = + cos sin. 4

43 .. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Пусть требуется найти общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами + a + a = f ( ) (.7) Если оо есть общее решение соответствующего уравнения без правой части (соответствующего однородного уравнения) а + a + a =, чн есть какое-нибудь частное решение (.), то общее решение уравнения (.7) примет вид: ( ) = +. (.8) оо В п.. рассмотрен способ нахождения общего решения однородного уравнения. Следовательно, остается указать способ нахождения какогонибудь частного решения заданного уравнения (.7). Рассмотрим сначала частные случаи отыскания решения чн методом неопределенных коэффициентов. Метод неопределенных коэффициентов позволяет найти частное решение уравнения (.7), если известна структура этого решения, которая, в свою очередь, зависит от структуры функции f ( ). Рассмотрим те случаи, когда метод неопределенных коэффициентов может быть успешно использован для нахождения частных решений неоднородного уравнения (.7). I случай. Пусть правая часть уравнения (.7) имеет вид: f ( ) = P( ) e, где P( ) многочлен. Тогда уравнение (.7) имеет частное решение вида k m = Q( ) e, где Q( ) многочлен той же степени, что и P( ). Далее, если число m не является корнем характеристического уравнения r + a r+ a = то k=, а если является, то k кратность этого корня., чн m 4

44 Замечания.. Правило сохраняет свою силу и тогда, когда m=, т. е. в правой части стоит только многочлен; в этом случае надо проверять, не является ли число m= корнем характеристического уравнения.. Многочлен P( ) может быть нулевой степени, т. е. постоянная величина, тогда Q( ) = A, где А неопределенный коэффициент.. Поскольку многочлен Q( ) находится с точностью до неопределенных коэффициентов, то для их нахождения определяем и и вместе с неизвестной функцией ( ) подставляем в данное уравнение (.7). В полученном тождестве приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной и решаем систему уравнений, из которой находим числовые значения неопределенных коэффициентов. Пример. Найти общее решение уравнения + = ( ) e. Решение. Записываем соответствующее данному однородное (без правой части) уравнение + = и определяем его общее решение. Так как характеристическое уравнение r + r = имеет действитель- ные различные корни r = и r =, то общим решением однородного оо. уравнения будет функция = C e + C e Правая часть заданного уравнения f ( ) = ( ) e содержит многочлен второй степени P( ) =. Следовательно, многочлен той же степени Q( ) запишем с точностью до неопределенных коэффициентов: Q( ) = A + B+ C. Кроме того, число m = является корнем характеристического уравнения и кратность этого корня k =. Тогда частное решение исходного уравнения запишем в виде 44

45 чн = ( A + B+ C) e. Для нахождения неопределенных коэффициентов А, В, С запишем чн = ( A + B + C) e, найдем производные = = чн (A B C) e ( A B C) e A B C A B C e = ( + + ) ; = = чн (6A B A B C) e (A B C A B C) e A B A B C A B C e = ( ) и подставим их в исходное уравнение. Сокращая на e обе части полученного равенства и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, получим систему уравнений Находим частное решение A=, A=, 8 A 8B=, B=, 6B 4C. = C=. e чн = ( + + ), а затем записываем общее решение заданного уравнения: ( ) = оо+ чн, следовательно, ( ) = + ( + + ). C e C e e Пример. Найти частное решение уравнения + = +, удовлетворяющее начальным условиям () = ; () =. Решение. Здесь характеристическое уравнение r r+ = имеет двукратный корень r=. Значит, общее решение соответствующего однородно- го уравнения + = будет равно оо = ( C+ C) e. Правая часть данного уравнения f ( ) = +, где m=, P( ) = +. Так как число m= не является корнем характеристического уравнения и многочлен P( ) первой степени, то частное решение будем искать в виде функции чн = A+ B, где А и В неопределенные коэффициенты. 45

46 Дифференцируя дважды: чн = A; чн = и подставляя в данное дифференциальное уравнение, находим: A+ A+ B= +. Приравняем в обеих частях последнего уравнения коэффициенты при одинаковых степенях переменной х: A= ; A+ B= и получим A= ; B=. Итак, частным решением заданного уравнения является функция чн = +, а его общим решением функция ( ) = ( C + C) e + ( + ). Найденное чн= + является одним из бесчисленного множества частных решений заданного уравнения. Далее предстоит найти единственное ( ) = C e + ( C+ C ) e + и подставим начальные условия в ( ) и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого най- дем ( ). В результате получим систему уравнений: = C+, = C + C +. C = ; C =. Искомым частным решением будет функция Отсюда ( ) = + (+ ) e. Пример. Найти частное решение уравнения = 9 e, удовлетворяющее начальным условиям () = ; () =. Решение. Находим общее решение однородного уравнения =. Характеристическое уравнение r r = имеет два корня: r = и r =. Тогда оо = +. C e C e В правой части данного уравнения ( ) 9 f = e множителем показательной функции является многочлен нулевой степени P( ) = 9, следовательно, Q( ) = A. Далее, так как m= совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде чн Ae. = Дифференцируя дважды эту функцию, получим: чн = Ae + Ae, в левую часть данного уравнения = + + Подставим, и чн Ae Ae 4 Ae. 46


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФИЛИАЛ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин,

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Введение. Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении

Введение. Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении ГЛАВА 9 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ СИСТЕМЫ Введение Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении 0 Постановка задачи Математическое описание процессов (физических

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Т Н Черняева, И П Медведева Дифференциальные уравнения первого порядка Методическое пособие для самостоятельной

Подробнее

0, 2. Уравнения 1-порядка (повторение) Заметим, что x y. Преобразуем заданное уравнение следующим

0, 2. Уравнения 1-порядка (повторение) Заметим, что x y. Преобразуем заданное уравнение следующим [Ф] Филиппов А.В. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». URL: htt://elibrar.bsu.az/kitablar/846.df [М] Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее