Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Задания для аудиторной и самостоятельной работы"

Транскрипт

1 Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, ,, ,, 8, 9,, Контрольный тест Установите соответствие ( ): Характеристики системы линейных уравнений, m m ХАРАКТЕРИСТИКА ПРИМЕР m, m 4 :,, 6,,,

2 ) коэффициенты при переменных уравнений системы ) свободные члены уравнений системы 4 а) б) ) основная матрица системы в) 4) расширенная матрица системы 5) искомая матрица системы д) г) ~ A A m m m m m m T X B m m m T B е) i, где i,,, m ж), где i,,, m ij j,,, Основные понятия и определения: СИСТЕМА ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО а) свободные члены всех ее уравнений ) определенная равны нулю б) хотя бы один из свободных членов ) неопределенная уравнений системы равен нулю ) совместная в) система имеет хотя бы одно решение 4) несовместная г) система имеет более одного решения д) решением системы является упорядоченная совокупность чисел, при подстановке которых в систему каждое из ее 5) однородная уравнений обращается в верное равенство е) система не имеет ни одного решения m

3 ж) система имеет два решения Укажите все необходимые действия ( 5): Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащих п переменных, методом Крамера, необходимо: ) найти определитель A основной матрицы системы ) найти определители A i ( i, ), полученные в результате замены i-го столбца определителя A столбцом свободных членов системы ) найти определители A i ( i, ), полученные в результате замены i-ой строки определителя A столбцом свободных членов системы 4) найти значения переменных уравнений системы по формулам A i A i 5) найти значения переменных уравнений системы по формулам Ai i A 4 Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо: ) составить основную матрицу системы ) составить расширенную матрицу системы ) с помощью элементарных преобразований привести основную матрицу системы к треугольному виду 4) с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы к трапециевидному виду 5) на основе полученной треугольной матрицы составить и решить систему линейных уравнений 6) на основе полученной трапециевидной матрицы составить и решить систему линейных уравнений Укажите все варианты правильных ответов: 5 Чтобы привести матрицу к треугольному виду, можно выполнять следующие элементарные преобразования этой матрицы: 4

4 ) умножать и делить ее любою строку на отличное от нуля число ) умножать и делить ее любой столбец на действительное число ) менять местами строки 4) менять местами столбцы 5) складывать и вычитать строки 6) складывать и вычитать столбцы 7) перемножать и делить строки 8) перемножать и делить столбцы 9) вычеркивать строки, все элементы в которых нули Контрольный тест Укажите правильный вариант ответа ( ): Если, решение системы линейных уравнений 4 7, то значение выражения равно Варианты ответов: ),5 ) ) 4),5 5),75 Система линейных уравнений 5, 5 имеет следующее решение Варианты ответов: ) ) ) ) 5) ,, 7, 4

5 Сумма всех значений переменных, которые образуют решение 5, системы уравнений 4,, равна Варианты ответов: ) ) ) 4) 5) Если решение системы уравнений, 4 то значение равно Варианты ответов: ) 5 ) ) 4) 5) 5 Если решение системы уравнений 9, то значение равно 4, 7,,, Варианты ответов: ) ) ) 5 4) 5) Если решение системы уравнений, 5 4 то значение равно Варианты ответов: ) 5 ) ) 4) 5) 7 Если решение системы уравнений, 6 6,,, 4,

6 то значение выражения равно 4 Варианты ответов: ) ) ) 4) 5) 5, где R 8 Если A определитель основной матрицы системы уравнений 4,,, а ее решение, то значение выражения A равно Варианты ответов: ) 8 ) 4 ) 7 4) 4 5), 9 Система уравнений ) совместная ) не совместная ) определенная 5) не определенная Сумма модулей всех значений переменных, которые образуют решение системы линейных уравнений 7, равна Варианты ответов: ) ) 8 ) 8 4) 4 5) ,,,, 7, 44

7 ВЕКТОРЫ Системы координат Координаты точки на прямой Рассмотрим прямую, на которой указаны начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок (рис ) Каждой точке этой прямой соответствует число, которое называют координатой точки на прямой А В Рис С 4 О х Н а п р и м е р, на рисунке точка А имеет координату 4, точка В координату, а точка С координату Записывают: A 4, B, C Координаты точки на плоскости Расположим две координатные прямые Ох и Оу так, чтобы они пересекались под прямым углом (рис ) II III у у А I D О х О IV С В E Рис Рис х Говорят, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат При этом прямую Ох называют осью абсцисс, а прямую Оу осью ординат Эти прямые (координатные оси) делят плоскость на четыре части, которые называют I, II, III и IV координатными четвертями Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел, которые называют координатами точки на плоскости На координатной плоскости (рис ) построим точку А с координатами и Для этого отложим на оси Ох единичных от- 45

8 резка вправо и через эту точку проведем прямую, параллельную оси Оу Отложим на оси Оу единичных отрезка вверх и через эту точку проведем прямую, параллельную оси Ох В результате пересечения этих прямых получим точку А, которой соответствуют два числа: число абсцисса точки А, число ордината точки А Запишем: A Н а п р и м е р, на рисунке построены точки: B, C, E и D Полярная система координат на плоскости определяется точкой О (полюс), лучом Оp (полярная ось), масштабным отрезком е, направлением отсчета углов (рис 4) e О ρ M φ p О M ρ φ Рис 4 Рис 5 p Полярными координатами точки М, не совпадающей с полюсом, называют полярный радиус ρ (расстояние от точки М до полюса) и полярный угол φ (угол между полярной осью Оp и лучом ОМ) На рисунке 4 точка М имеет координаты ρ и φ Записывают: M Если прямоугольную и полярную системы координат выбрать так, как показано на рисунке 5, то связь между декартовыми координатами и точки М и ее полярными координатами ρ и φ выразится формулами: cos, si () Координаты точки в пространстве Зададим прямоугольную декартову систему координат в пространстве Через некоторую точку пространства О проведем три попарно перпендикулярные координатные прямые Ох ось абсцисс, Оу ось ординат и O ось аппликат (рис 6) Каждой точке 46

9 в пространстве соответствует три числа, и, которые называют координатами точки в пространстве Н а п р и м е р, на рисунке 6 построены точки: O, N 5, P 4 и M P P О М N 5 О φ p ρ М N Рис 6 Рис 7 Цилиндрическими координатами точки М (рис 7) называют числа ρ, φ и, где ρ и φ полярные координаты точки N, а длина отрезка ОР Точка N проекция точки М на плоскость XOY, а точка Р проекция точки М на ось O Если прямоугольную и цилиндрическую системы координат выбрать так, как показано на рисунке 7, то связь между декартовыми координатами, и точки М и ее полярными координатами ρ, φ и ɀ выразится формулами: cos, si, () Сферическими координатами точки М (рис 8) называют числа r, Ɵ и φ, где r расстояние от точки М до начала координат, Ɵ угол между r М отрезком ОМ и осью O, φ угол, Ɵ на который необходимо повернуть О ось O против часовой стрелки (со φ ρ стороны положительного направления оси O, чтобы она совпала с p N Рис 8 лучом ON Связь между декартовыми координатами, и точки М и ее сферическими координатами r, Ɵ и φ выразится формулами: r si cos, r si si, r cos () 47

10 Векторы: основные понятия и определения Вектором называют направленный отрезок Начало и конец вектора обозначают двумя прописными буквами латинского алфавита или одной строчной буквой и записывают: AB или На рисунке 9 изображен вектор B C AB, у которого точка А начало, а О точка В его конец, и вектор CD, у A D которого точка С его начало, а точка D его конец Рис 9 Нуль вектором называют вектор, начало и конец которого совпадают Нуль-вектор изображают точкой и записывают OO (рис 9) Единичным вектором называют вектор, длина которого равна единице Рассмотрим двумерное пространство с заданной в нем системой координат (рис ) На оси Ох отложим единичный вектор i, начало которого совпадает с началом отсчета, а направление с положительным направлением оси Ох Аналогичным образом отложим на оси Оу вектор j Векторы i и j называют координатными векторами (ортами) прямоугольной системы координат у А k i j О О j i х у Рис Рис х Любой вектор на плоскости можно разложить по ортам: i j Говорят, что х и у координаты вектора и записывают: 48

11 Вектор, начало которого совпадает с началом отсчета, называют радиус-вектором На рисунке вектор OA радиусвектор Рассмотрим трехмерное пространство с заданной в нем декартовой системой координат (рис ) Единичные векторы i, j и k координатные векторы (орты) прямоугольной системы координат Любой вектор пространства можно разложить по ортам: i j k Говорят, что х, у и координаты вектора и записывают: Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала Если вектор AB задан в двумерном пространстве, и точка A его начало, а точка B его конец, то он имеет две координаты и, которые записывают в круглых скобках вслед за названием вектора или без названия вектора: AB или Если вектор задан в трехмерном пространстве и точка A его начало, а точка B его конец, то записывают: AB Н а п р и м е р : ) Если известны координаты точек A 6 и B 78, то вектор AB будет иметь координаты: AB 7 68 или AB Вектор AA координаты: AA 6 6 или AA Вектор BB будет иметь координаты: BB ) Если известны точки С 6 и D 5 5, то вектор DC будет иметь координаты: DC или DC 8 Координаты середины отрезка (середины вектора): если точки A и B концы отрезка, а точка М его середина, то точка М будет иметь координаты: 49

12 M Н а п р и м е р : ) Если известны координаты точек С 6 и D 5 5, то точка М, являющаяся серединой отрезка CD, будет иметь координаты: M или M 5,5 ) Если известны координаты точки M 5 6 7, которая является серединой отрезка АВ, и координаты точки B, то координаты точки A найдем, решая уравнения: 5, 6 и 7, откуда, и 5 Запишем: A 5 Длину вектора AB записывают AB и читают: модуль вектора или длина вектора AB Если известны координаты точек A начала и B конца вектора, то длину вектора (длину отрезка) находят по формуле: AB AB Если известны координаты вектора, то длину вектора находят по формуле: (4) (5) Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой) d c На рисунке изображены коллинеарные векторы,, c и d Рис 5

13 Условие коллинеарности векторов: векторы и коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть если выполняется равенство k (6) При этом, если: а) k, то векторы сонаправлены б) k, то векторы противоположно направлены Н а п р и м е р : ) На рисунке векторы и c, а также и d сонаправлены Записывают: c и d ) На рисунке вектор и d, а также векторы и c противоположно направлены Записывают: d и c ) Векторы и 9 коллинеарны, так как А поскольку k 5, то они противоположно направлены 9 Векторы, имеющие равные длины и противоположно направленные, называют противоположными Вектор, противоположный вектору В AB, записывают: AB или BA А вектор, противоположный вектору, записывают: (рис А ) Рис Н а п р и м е р, векторы и противоположны, так как , и Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называют компланарными 5

14 c l Рис 4 На рисунке 4 изображен прямой параллелепипед Векторы, c и d, а также векторы, и d компланарны Векторы, c и l, а также векторы, и l не компланарны Условие компланарности трех векторов: векторы, и c c c c компланарны, если определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю: c c (7) Н а п р и м е р, векторы, 5 6 и c ком- 5 планарны, так как d 6 m 5 c Линейные действия с векторами К линейным действиям с векторами относят сложение векторов, вычитание векторов и умножение вектора на число Сложение векторов с заданными координатами Чтобы сложить (вычесть) векторы и, необходимо сложить (вычесть) их соответствующие координаты: (8) Н а п р и м е р, найдем разность векторов 8 и Получим: Умножение вектора на число Чтобы умножить вектор на число k, необходимо каждую координату вектора умножить на это число:

15 k k k k (9) Н а п р и м е р, умножим вектор 8 на число : 9 4 Сочетая действия сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число, получим линейную комбинацию векторов Н а п р и м е р, найдем вектор c 5, если известно, что 4 и 9 Получим: с Скалярное произведение векторов 8 4 Скалярным произведением векторов и является число, которое находят по формуле: cos, () если известны длины и векторов и и величина α угла между ними или по формуле:, (),, если известны координаты векторов и,, Н а п р и м е р : ) Найдем скалярное произведение векторов и, если известно, что, 4 и 45 Согласно формуле 8 запишем: 4 cos45 6 ) Найдем скалярное произведение векторов и c Согласно формуле 9 запишем: c 5 Скалярным квадратом вектора называют скалярное произведение вектора на себя: а а () 5

16 Так Н а п р и м е р, найдем скалярный квадрат вектора как, то а а и а Угол между векторами и находят по формуле: cos () Н а п р и м е р, найдем угол между векторами и Согласно формуле получим cos 9, откуда rccos Векторы и перпендикулярны, если угол между ними равен 9 Поскольку cos 9, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю 5 Векторное произведение векторов Рассмотрим векторы и Векторным произведением векторов и называют третий вектор d, который перпендикулярен как вектору, так и вектору Векторное произведение векторов и находят по формуле: d i j k, (4) где векторы i, j и k орты Н а п р и м е р, найдем векторное произведение векторов 5 и Согласно формуле 4 запишем: 54

17 d i j k i j k i 5 j k Запишем координаты вектора d : d 5 Площадь параллелограмма, построенного на векторах и, находят по формуле: S, (5) Площадь треугольника, построенного на этих же векторах, находят по формуле: S, (6) 6 Смешанное произведение векторов Рассмотрим векторы, и c c c c Смешанным произведением этих векторов называют число, которое получено в результате скалярного умножения вектора c на векторное произведение векторов и Смешанное произведение векторов и и c находят по формуле: c c c c, 55 (7) Н а п р и м е р, найдем смешанное произведение векторов 5, и c 5 Согласно формуле 7 запишем: 5 c, 5 6 Объем параллелепипеда, построенного на векторах, и c, находят по формуле: V c, (8)

18 Объем пирамиды, построенной на векторах, и c, находят по формуле: V c, (9) 6 Интерактивный практикум П р и м е р Известны координаты вершин треугольника ABC: A, B 5 и C 4 Найдите периметр этого треугольника Актуализация знаний Как найти периметр треугольника? Запишите формулу для нахождения длины стороны треугольника Решение Найдем длины сторон треугольника: AB BC AC Зная длины сторон треугольника, найдем его периметр: P ABC AB BC AC, P 5 5 Ответ: 5 ABC П р и м е р Найдите длину вектора Актуализация знаний Как найти длину вектора, зная его координаты? Решение Согласно формуле запишем: Ответ: Обратите внимание! Поскольку длина вектора равна единице, вектор единичный П р и м е р Найдите внутренний угол С треугольника ABC (рис ), зная координаты его вершин: A, B, C 4 56

19 Актуализация знаний В треугольнике ABC постройте векторы, которые образуют угол C Как найти координаты вектора? Запишите формулы для нахождения: угла между векторами длины вектора скалярного произведения векторов С Решение ) Найдем координаты А В векторов CA и CB (рис 5), вычитая из координат концов векторов соответствующие координаты их начал: CA, CB Рис 5 ) Найдем длины векторов CA и CB: СА 4 9, СB 4 9 ) Найдем скалярное произведение векторов CA и CB: CA CB ) Найдем угол между векторами CA и CB: CA CB 5 5 cos C, cos C, CA CB 5 откуда C rccos 5 Ответ: rccos П р и м е р 4 Найдите сумму векторов m и m 8, зная, что угол между ними равен 9 Актуализация знаний Сформулируйте условие перпендикулярности векторов и Запишите формулу для нахождения скалярного произведения векторов с заданными координатами Как найти сумму векторов? Решение Решим уравнение: 57

20 m 8 m, 6m 6 m, 4m 6 и m 4 Запишем координаты векторов: 4 и 88 Найдем сумму векторов: Ответ: 6 П р и м е р 5 Найдите площадь треугольника с вершинами в точках A, B 4 и C Актуализация знаний Как найти координаты вектора? Как найти площадь треугольника, если известны векторы, на которых он построен? Запишите формулу, по которой находят векторное произведение векторов 4 Запишите формулу по которой находят длину вектора Решение Найдем координаты векторов AB и AC Получим: 5 d Найдем векторное произведение векторов и : i j k 5 i j k i 8 j k 5 5 Запишем координаты вектора d : d 8 4 Найдем модуль вектора d : d Найдем площадь треугольника: S,5 8 Ответ:,5 8 Обратите внимание! Различайте модуль числа и модуль вектора Н а п р и м е р : ) найдем модули чисел, и c 5:,, c 5 5 ) найдем модуль вектора ( 5) : 58

21 П р и м е р 6 Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах ( ), ( 4 ) и c ( ) Актуализация знаний Как найти объем параллелепипеда, если известны векторы, на которых он построен? Решение Найдем смешанное произведение данных векторов: c, 8 4 Согласно формуле 7 получим: V Ответ: 4 Задания для аудиторной и самостоятельной работы Найдите вектор c 5 4, если, а Найдите значение выражения c, если, 5 4, c 4 5 Даны векторы и 6 8 При каких значениях и эти векторы коллинеарные? 4 Даны векторы 8 и 6 8 При каком значении эти векторы перпендикулярны? 4 Векторы а (х 6), ( ) и c 4 компланарны Найдите модуль вектора а 6 Найдите скалярное произведение векторов 4 и 7 Найдите угол между векторами 4 и 8 Найдите угол при вершине С в треугольнике с вершинами A 4, B 6 и C 9 Найдите векторное произведение векторов 4 и 59

22 Найдите медиану AM треугольника ABC с вершинами в точках A, B и C 4 8 Найдите периметр и площадь треугольника с вершинами в точках A, B и C 7 5 В параллелограмме ABCD заданы вершины A 5 4, B, C Найдите площадь параллелограмма Найдите смешанное произведение векторов i j 5k, j i 5k и c i j 4 Даны точки А( ), В( ), С( ), D( ) Найдите объем призмы ABCD и пирамиды ABCD Контрольный тест Установите соответствие ( ): Основные понятия и определения: ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ) вектор а) отрезок, начало и конец которого совпадают ) нуль-вектор б) направленный отрезок в) векторы, лежащие в параллельных ) единичный вектор плоскостях (или в одной плоскости) 4) коллинеарные векторы г) вектор, длина которого равна единице д) векторы, лежащие на параллельных 5) компланарные векторы прямых (или на одной прямой) е) векторы, лежащие в пересекающихся плоскостях ж) векторы, лежащие на перпендикулярных прямых Если точки A и B концы отрезка АВ, то: ХАРАКТЕРИСТИКА ФОРМУЛА ) координаты вектора а) BA ) длина вектора AB б) 6

23 ) координаты середины отрезка АВ в) г) д) Укажите правильный вариант ответа: Длину вектора находят по формуле: ) ) ) 4) 6 5) Установите соответствие (4 5): 4 Линейные действия с векторами и : ДЕЙСТВИЕ РЕЗУЛЬТАТ ) а) ) б) k ) k в) k k k г) д) 5 Разложение вектора по ортам: РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА ) i j k а) ) k j i б) ) i j в) г) д) Укажите все правильные варианты ответов (6 7): 6 Если векторы и образуют угол равный, то скалярное произведение этих векторов находят по формуле:

24 ) cos ) ) si 4) 5) 7 Величину угла между векторами и находят по формуле: ) cos ) cos ) cos 4) si 5) si Установите соответствие (8 9): 8 Умножение векторов, и c c c c : ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЗАПИСЬ ФОРМУЛА ) скалярное а) c е) c c c ) векторное б) ж) c c c ) смешанное в) c, з) 6 г) c и) д) c к) 9 Даны векторы, и c c c c : ЗАДАЧА ОТВЕТ i c c j c c k c c

25 ) площадь параллелограмма, построенного на векторах и, равна ) площадь грани пирамиды, построенной на векторах и c, равна ) объем параллелепипеда, построенного на векторах, и c, равен 4) объем пирамиды, построенной на векторах, и c, равен а) б) c, в) c, 6 г), c д) c 6 е) ж),5 c Укажите правильный вариант ответа: Если векторы, и c c c c компланарны, то c c c c T ) ) c ) c c c c 4) c c 5) c c c Контрольный тест c Укажите правильный вариант ответа ( ): Серединой отрезка АВ, если A 58 и B 5, является точка с координатами Варианты ответов: ) 5 4 ) 7 5 ) 4 5 4) 8 5 5) 8 5 Длина вектора равна Варианты ответов: ) ) 8 ) 5 4) 5) 5 Длина вектора BC, если B 4, а C 5, равна

26 Варианты ответов: ), 5 ) 5 ) 4) 6 5) 4 Коллинеарными являются векторы и Варианты ответов: ) и ) 4 и ) 4 и 4 4) 4 и 4 5) 4 и Скалярное произведение векторов 5 i j 4k и j i k равно Варианты ответов: ) ) 6 ) 4) 5) 6 Косинус угла между векторами 5 и равен Варианты ответов: ) ) ) 4) 5) Если векторы, и c 5 компланарны, то значение переменной х равно Варианты ответов: ) 5 ) ) 4) 5) 8 Если векторы 5 4 и 5 перпендикулярны, то значение равно Варианты ответов: ) 5 ) 8 ) 4) 5) 7 9 Площадь треугольника с вершинами в точках A B 4 и C 4 равна Варианты ответов: ) ) ) 4) 5) 4 Объем параллелепипеда, построенного на векторах ( ), ( 4 ) и c ( ), равен Варианты ответов: ) 5 ) ) 8 4) 5) 6 64

27 4 ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ ( 4Задание прямой на плоскости Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: A B C, (4) где A B, а A B нормальный вектор этой прямой Если известна точка M ), принадлежащая прямой, и нормальный вектор прямой A B, то уравнение этой прямой можно найти по формуле: A B (4) Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид: k (4) Угловой коэффициент k прямой k находят по формуле k tg, где угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох При этом: ) если k, то функция монотонно возрастает (рис 4) ) если k, то функция монотонно убывает (рис 4) ) если k, то функция примет вид Придавая произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ох (рис 4) 4) если, то функция примет вид k Такую функциональную зависимость называют прямой пропорциональностью у = k+ у у = О = k х = k О = k+ х = О х Рис 4 Рис 4 Рис 4 65

28 Если известна точка M ( ), принадлежащая прямой, и угловой коэффициент k прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле: ( ) k (44) Каноническое уравнение прямой имеет вид:, (45) m где M ( ) точка, принадлежащая этой прямой, а l m направляющий вектор прямой Если известны координаты точек A ( ) и B ( ), принадлежащих прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле: (46) 4 Уравнение прямой в отрезках имеет вид:, (47) где а и алгебраические величины отрезков, которые отсекает прямая на осях координат ( на оси O и на оси O) 5 Чтобы записать параметрические уравнения прямой, можно воспользоваться равенством 45 или 46 Например, полагая t, получим: t, t (48) 4 Взаимное расположение прямых на плоскости Рассмотрим прямые k и k Прямые пересекаются, если k k (49) Угол между прямыми находят по формуле: k k tg (4) k k 66

29 Н а п р и м е р, прямые 4 и 5 пересекаются, так как k, а k 5 и k k Найдем угол между этими прямыми Так как tg 5 7 7, то rctg Прямые перпендикулярны, если выполняется условие: k k (4) Прямые параллельны, если k k и (4) Н а п р и м е р, прямые 5 и 5 параллельны, так как k k 5 и 4 Прямые совпадают, если: k k и (4) Расстояние от точки M ( ) до прямой B C находят по формуле: d A B C (4 4) A B 4 Кривые второго порядка Уравнение линии второго порядка: A B C D E F (45) Рассмотрим некоторые виды линий второго порядка Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой центром В случае окружности уравнение 45 примет вид: A B D E F Рассмотрим расположение окружности на координатной плоскости Если центр окружности находится в точке O, а ее радиус равен R (рис 44), то уравнение окружности имеет вид: R (46) Если центр окружности находится в точке O, а ее радиус равен R (рис 45), то уравнение окружности имеет вид: R (47) 67

30 R О / O х O а Рис 44 Рис 45 Н а п р и м е р, запишем уравнение окружности с центром в точке O и радиусом R 4 Получим: 6 Эллипс это геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная Расстояние от точки эллипса до фокуса называют фокальным радиусом В На рисунке 46 изображен эллипс: точка О центр эллипса M точки F и F его фокусы MF и MF фокальные радиусы - A A большая ось эллипса А O А F O F F B B малая ось эллипса - В F F c расстояние между фокусами Рис 46 Каноническое уравнение эллипса:, (48) где большая полуось меньшая полуось Фокусы имеют координаты F c и F c, где c (49) Эксцентриситет эллипса находят по формуле: c (4) 68

31 Н а п р и м е р, рассмотрим эллипс и найдем его 9 4 большую и меньшую полуоси, фокусы и эксцентриситет ) Зная, что 9, а 4, найдем большую и меньшую полуоси:, ) По формуле 49 получим: c Запишем фокусы: F 5 и F 5 5 ) По формуле 4 найдем эксцентриситет: c Обратите внимание! Если, то c, а Гипербола это геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разностей расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная На рисунке 47 изображена гипербола: точки А и А ее () () В F А O А F В Рис 47 х 69 вершины точки F и F ее фокусы A A действительная ось гиперболы B B мнимая ось F F c расстояние между фокусами прямые () и () асимптоты Каноническое уравнение гиперболы:, (4) где действительная полуось мнимая полуось Фокусы имеют координаты F c и F c, где c (4) Эксцентриситет гиперболы находят по формуле: c (4)

32 Уравнения асимптот гиперболы: (44) Н а п р и м е р, рассмотрим гиперболу и найдем ее 6 5 действительную и мнимую полуоси, фокусы, эксцентриситет и асимптоты ) Зная, что 6, а 5, найдем действительную и мнимую полуоси: 6, 5 ) По формуле 4 получим: c Запишем фокусы: F 6 и F 6 ) По формуле 4 найдем эксцентриситет: 6 6 4) По формуле 44 запишем уравнения асимптот: 5 и Парабола это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и прямой, называемой директрисой Каноническое уравнение параболы: p (45) где ось OX ось симметрии параболы p расстояние от фокуса до директрисы d (рис 48) Фокус имеет координаты F p Уравнение директрисы параболы имеет вид p Н а п р и м е р, рассмотрим параболу и найдем ее фокус и директрису Так как p, то p Запишем фокус: F,5 Запишем уравнение директрисы:, 5 Если осью симметрии параболы является ось OУ, то каноническое уравнение параболы имеет вид: p (46) 7

33 В этом случае фокус имеет координаты F p, а уравнение p директрисы d параболы имеет вид (рис 49) F d O F х O d Рис 48 Рис 49 Н а п р и м е р, рассмотрим параболу 8 и найдем ее фокус и директрису Так как p 8, то p 9 Запишем фокус: F 4,5 Запишем уравнение директрисы: 4, 5 Интерактивный практикум П р и м е р Найдите угол, который образует прямая с осью абсцисс, если известно, что она проходит через точку A и перпендикулярна вектору j i Актуализация знаний Запишите формулы 4 и 4 Решение Зная, что вектор нормальный вектор прямой, и имея точку A, принадлежащую этой прямой, уравнение этой прямой найдем по формуле 4:, 6, 8 Запишем полученное уравнение прямой в виде 4: 8,,5 4 Зная, что k,5 tg, получим: rctg, 5 Ответ: rctg, 5 Обратите внимание! Чтобы найти координаты вектора j i, необходимо записать его в виде i j 7

34 П р и м е р Запишите уравнение прямой в отрезках, если известно, что ей принадлежат точки A ( 4) и B (5 ) Актуализация знаний Запишите формулы 46 и 47 Решение Уравнение данной прямой найдем по формуле 46: 4 4,, 7 5, Чтобы получить уравнение прямой в отрезках, разделим обе части полученного уравнения на число : 7 5 7,, Ответ: 4 7 П р и м е р Запишите параметрические уравнения прямой, которая проходит через точку A перпендикулярно прямой 5 Актуализация знаний Запишите формулы 45 и 48 Решение Так как искомая прямая перпендикулярна прямой 5, то нормальный вектор этой прямой 5 будет направляющим вектором искомой прямой: l 5 Согласно формуле 45 запишем уравнение искомой прямой: 5 Найдем параметрические уравнения этой прямой Полагая t, запишем t и t, откуда t, 5 5 а 5t Ответ: t, а 5t П р и м ер 4 Запишите уравнение прямой, если известно, что эта прямая проходит через точку K 4 и перпендикулярна прямой 6 4 Актуализация знаний Запишите формулу 4, 44 и 4 7

35 Решение Запишем уравнение данной прямой в виде 4: 6 4, 4 Так как искомая прямая k перпендикулярна данной прямой, то выполняется равенство 4: k, откуда k, 5 Согласно формуле 44 запишем:,5( 4) или,5 Ответ:,5 П р и м е р 5 Найдите длину высоты АD треугольника АВС, если A ( ), B ( 4 ), C (8 5) Актуализация знаний Запишите формулы 46 и 44 Решение Согласно формуле 46 запишем уравнение стороны ВС этого треугольника: 4 4, откуда, , , 6 Так как AD BC, то длину отрезка AD найдем по формуле 44: d Ответ: 7 П р и м е р 6 Найдите сумму координат центра окружности 4 6 Актуализация знаний Запишите формулу 47 Решение В данном уравнении выделим полные квадраты: , 5, 5 Получили окружность с центром в точке O 5 и радиусом R Ответ: Обратите внимание! Формулы сокращенного умножения: 7

36 П р и м е р 7 Составьте каноническое уравнение эллипса, если его большая ось равна, а эксцентриситет равен,4 Актуализация знаний Запишите каноническое уравнение эллипса Запишите формулы 49 и 4 c c Решение Так как, то 5 Так как и, то 5 5 c Зная, что c, запишем 4 5, откуда Каноническое уравнение эллипса: 5 Ответ: 5 П р и м е р 8 Запишите уравнение гиперболы и найдите расстояние между фокусами, если действительная ось гиперболы равна, а ее мнимая полуось равна Актуализация знаний Запишите каноническое уравнение гиперболы Запишите формулу 4 Решение Так как, то 5 По условию задачи Запишем каноническое уравнение гиперболы: 5 4 По формуле 4 найдем с: c Найдем расстояние между фокусами: c 9 Ответ: П р и м е р 9 Запишите уравнение параболы, если фокус имеет координаты Актуализация знаний Запишите канонические уравнения параболы Решение Так как фокус параболы расположен на оси абсцисс, то уравнение параболы имеет вид p p p Так как фокус имеет координаты, то, а p 6 74

37 Запишем уравнение параболы: 6 Ответ: Задания для аудиторной и самостоятельной работы 4 Найдите угол, который образует прямая с осью абсцисс, если известно, что она проходит через точку A и параллельна вектору j i 4 Запишите в общем виде уравнение прямой, если известно, что на оси абсцисс она отсекает отрезок 4, а на оси ординат отсекает отрезок 9 4 Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A ( 5) и B (5 ) 44 Найдите нормальный вектор прямой, проходящей через точку A перпендикулярно прямой 45 Найдите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и точку пересечения прямых и Найдите значения В, при которых прямая B 8 образует с положительным направлением оси ординат угол Найдите уравнение высоты AH треугольника ABC с вершинами в точках A, B 4, C 4 48 Найдите уравнение медианы BM треугольника ABC с вершинами в точках A, B, C 4 49 Найдите радиус окружности Найдите расстояние между центрами окружностей 8 и 6 4 Запишите уравнение эллипса, если расстояние между его фокусами равно 4, а разность длин его полуосей равна 4 Найдите эксцентриситет эллипса с центром в точке O, который пересекает оси координат в точках B (5 ) и C ( ) 75

38 4 Найдите фокусы эллипса, если известно, что его большая ось равна 8, а малая полуось равна 44 Запишите уравнения асимптот гиперболы Найдите фокусы гиперболы, если действительная ось равна, а эксцентриситет равен, 46 Запишите уравнение гиперболы, если мнимая полуось равна и гипербола проходит через точку C 7 47 Запишите уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 5 48 Запишите директрису параболы 5 Контрольный тест 4 Установите соответствие ( ): Уравнение прямой на плоскости: СПОСОБ ЗАДАНИЯ УРАВНЕНИЕ ) общее уравнение прямой а) k ) известна точка ( ) принадлежащая прямой, и б) нормальный вектор прямой m A B ) известна точка ( ) принадлежащая этой прямой, и направляющий век- m в) тор прямой l m г) A B Уравнение прямой на плоскости: СПОСОБ ЗАДАНИЯ ) известна точка M ( ), принадлежащая прямой, и угловой коэффициент k 76 д) A B C е) A B УРАВНЕНИЕ а) k ) (

39 прямой ) известны координаты точек A ( ) и B ( ), б) k( ) принадлежащих прямой ) известны отрезки, которые отсекает прямая на осях в) координат ( на оси O и на оси O) г) д) е) Укажите правильный вариант ответа: Расстояние от точки M ( ) до прямой A B C находят по формуле: ) d A B C A B C ) d A B A B ) d A B C A B C 4) d A B A B 5) d A B C Установите соответствие (4 7): 4 Взаимное расположение на плоскости прямых k и k : ПРЯМЫЕ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО ) параллельны а) k k и ) перпендикулярны б) k k и ) пересекаются под острым в) k углом k 4) совпадают г) tg k k k k 77

40 е) k k 5 Кривые второго порядка на плоскости: ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ а) геометрическое место точек, разности ) эллипс расстояний от которых до директрисы равны б) геометрическое место точек, модули ) окружность разностей расстояний от которых до фокусов равны ) парабола в) геометрическое место точек, равноудаленных от фокусов г) геометрическое место точек, равноудаленных 4) гипербола от данной точки, называемой центром д) геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы е) геометрическое место точек, суммы расстояний от которых до фокусов равны 6 Кривые второго порядка на плоскости: КРИВАЯ КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ) окружность а) ) гипербола б) ) эллипс в) 78 д) tg k 4) парабола г) R д) p е) p 7 Эллипс: большая полуось меньшая полуось c расстояние между фокусами: k k k

41 ХАРАКТЕРИСТИКИ ФОРМУЛА ) эксцентриситет а) c ) фокусы б) c в) c, где c г) c, где c 8 Гипербола: действительная полуось мнимая полуось c расстояние между фокусами: ХАРАКТЕРИСТИКИ ФОРМУЛА ) асимптоты а) c ) эксцентриситет б) c ) фокусы в) г) д) c, где c е) c, где c 9 Парабола: ось OX ось симметрии p расстояние от фокуса до директрисы: ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИД ) фокус а) p ) директриса б) p в) p г) p 79

42 Контрольный тест 4 Укажите правильный вариант ответа ( ): Если прямая пересекает оси координат в точках A ( ) и B (8), то ее уравнение с угловым коэффициентом имеет вид Варианты ответов: ) ) 8 8 ) 8 8 4) 8 5) 8 8 Если прямая проходит через точки A ( ) и B ( 4), то уравнение этой прямой в общем виде записывают Варианты ответов: ) 6 8 ) 6 8 ) 4 4) 6 8 5) 6 6 Если угловой коэффициент прямой, проходящей через точку M ( 5), равен 5, то уравнение этой прямой в отрезках имеет вид Варианты ответов: ) 5 ) ) 4) 5) 4 Даны прямые: ) 4 ) 5 4 ) 8 4) 8 5) 6 Параллельными являются прямые Варианты ответов: ), и 5 ) и ) и 5 4),, 4 и 5 5) и 4 5 Даны прямые: ) 5 7 ) 5 7 ) 6 5 8

43 4) 5 Перпендикулярными являются прямые Варианты ответов: ) и ) и ) и 4) и 4 5) и 4 6 Сумма расстояний от точки A ( ) до прямых и 5 равна Варианты ответов: ) 8 ) 5 ),5 4),5 5) 4,5 7 Если уравнение окружности имеет вид ( 9) ( 6), то сумма координат точки, которая является ее центром, равна Варианты ответов: ) ) ) 5 4) 5 5) 8 Если эллипс пересекает ось O в точках A ( ) и A ( ), а ось O в точках B () и B ( ), то его фокусы находятся в точках Варианты ответов: ) F ( ), F ( ) ) F ( ), F ( ) ) F (), F ( ) 4) F ( ), F ( ) 5) F ( ), F ( ) 9 Если гипербола проходит через точки A ( ) и A ( ), причем длина ее мнимой полуоси в раза меньше длины действительной полуоси, то значение выражения равно Варианты ответов: ) 9 ) 4 ),5 4) 7,5 5) 4,5 Если уравнение параболы имеет вид, то ее фокус находится в точке, сумма координат которой, увеличенная в раза, равна Варианты ответов: ),5 ) 5 ) 4) 5) 5 8

44 5 ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 5 Уравнения плоскости в пространстве Общее уравнение плоскости имеет вид: A B C D (5) ( где ( A B C) нормальный вектор этой плоскости Если известна точка M ), принадлежащая плоскости, и нормальный вектор этой плоскости ( A B C), то уравнение плоскости задают в виде: A B( ) C ) (5) 8 ( ( Если известны три точки M ), M ( ) и M ( ), принадлежащие плоскости, то уравнение этой плоскости можно найти по формуле: (5) 4 Если известно, что вектор l ( m p) параллелен плоскости, проходящей через точки M ( ) и M ( ), то уравнение этой плоскости можно найти по формуле: (54) m 5 Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:, (55) c где а, и с алгебраические величины отрезков, которые отсекает плоскость на осях координат ( на оси O, на оси O и с на оси О) 5 Взаимное расположение плоскостей Рассмотрим две плоскости A B C и p D A B C с нормальными векторами и D

45 Плоскости параллельны, если A B C D (56) A B C D Плоскости перпендикулярны, если (57) Плоскости образуют угол, если cos (58) 5 Уравнения прямой в пространстве Общее уравнение прямой в пространстве имеет вид: A B C D,, (59) A B C D Каноническое уравнение прямой имеет вид:, (5) m p где M ( ) точка, принадлежащая этой прямой, а l ( m p) направляющий вектор прямой Если известны координаты точек M ( ) и M ( ), принадлежащих прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле: (5) 4 Чтобы записать параметрические уравнения прямой, можно воспользоваться равенством 5 или 5 Например, полагая t, получим: t, t, t (5) 54 Взаимное расположение прямых в пространстве Рассмотрим две прямые, записанные в каноническом виде 8

46 m где M ) и M ) ( ( ( m p ( m p p и m точки, принадлежащие этим прямым, а l ) и l ) направляющие векторы этих прямых Прямые параллельны, если параллельны их направляющие векторы: m m p p p (5) Обратите внимание! Направляющие векторы этих прямых не должны быть параллельны вектору r M M Прямые перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие векторы: m m p p (54) Если прямые образуют угол, то l l cos (55) l l 4 Прямые скрещиваются, если они лежат в разных плоскостях, то есть векторы l, l и r не компланарны: m p m p (56) 55 Взаимное расположение прямой и плоскости Рассмотрим прямую и плоскость l m A B C D Прямая параллельна плоскости, если Al Bm C (57) Прямая перпендикулярна плоскости, если, 84

47 A B C (58) l m Если прямая образует с плоскостью угол, то Al Bm C si (59) A B C l m Расстояние от точки M ( ) до плоскости A B C D с нормальным вектором d A B C находят по формуле: A B C D (5) 56 Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называют поверхность, определяемую алгебраическим уравнением второй степени относительно текущих координат, и Приведем канонические уравнения некоторых поверхностей Уравнение сферы: R Уравнение эллипсоида: c Уравнение однополостного гиперболоида: c 4 Уравнение двуполостного гиперболоида: c 5 Уравнение конуса: c 6 Уравнение эллиптического параболоида: 7 Уравнение гиперболического параболоида: 8 Уравнение эллиптического цилиндра: 85

48 9 Уравнение гиперболического цилиндра: Уравнение параболического цилиндра: p Интерактивный практикум П р и м е р Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 6) параллельно плоскости Актуализация знаний Запишите формулу 5 Решение Так как искомая плоскость параллельна плоскости, то нормальный вектор этой плоскости ( ) является нормалью и искомой плоскости Согласно формуле 5 запишем уравнение искомой плоскости: ( ) 6, 6, 7 Ответ: 7 П р и м е р Запишите нормальный вектор плоскости, проходящей через точки A, B и C 5 Актуализация знаний Запишите формулу 5 Решение Согласно формуле 5 запишем:,, 5 5, 6, 7 4 Запишем нормальный вектор этой плоскости: 7 Ответ: 7 Обратите внимание! Чтобы найти нормальный вектор плоскости, необходимо записать уравнение этой плоскости в виде A B C D 86

49 П р и м е р Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки A и B перпендикулярно плоскости 5 4 Актуализация знаний Запишите формулу 54 Решение Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости 4, то нормальный вектор этой плоскости ( ) является направляющим вектором l ( ) искомой плоскости Согласно формуле 54 получим:,, откуда 4, Ответ: Обратите внимание! В полученном уравнении плоскости A, B, C, D П р и м е р 4 Найдите сумму длин отрезков, которые отсекает плоскость 5 4 на осях координат Актуализация знаний Запишите формулу 55 Решение Запишем уравнение данной плоскости в виде 5 4 и разделим обе части этого равенства на число Получим:, Найдем сумму длин отрезков, которые отсекает эта плоскость на осях координат: c Ответ: 68 П р и м е р 5 Найдите угол между плоскостями 4 и 6 Актуализация знаний Запишите формулу для нахождения угла между плоскостями Решение Запишем уравнения этих плоскостей в общем виде: 87

50 4 4 и 6 Запишем нормальные векторы этих плоскостей: 4 и Найдем скалярное произведение нормальных векторов: Найдем длины этих векторов: 4 6, Согласно формуле 58 запишем: cos , откуда 6 rccos 4 6 Ответ: rccos 4 П р и м е р 6 Прямая проходит через точки A и B 7 Запишите параметрические уравнения этой прямой Актуализация знаний Запишите формулу 5 Решение Согласно формуле 5 запишем:, 7 7 Полагая t, t, t, получим: 7 t, t, 7 t Ответ: t, t, 7 t П р и м е р 7 Установите взаимное расположение прямых 5 и 4 Актуализация знаний Запишите формулы 5, 5, 54, 56 Решение Согласно условию задачи запишем: l 4, l, M, M 5 88

51 Выясним, являются ли данные прямые параллельными Так 4 как, то не выполняется условие 5 и, следовательно, данные прямые не параллельные Выясним, являются ли данные прямые скрещивающимися: Так как выполняется условие 56, то данные прямые скрещиваются Ответ: прямые скрещиваются 5 П р и м е р 8 Найдите угол между прямыми 5 и 5 8 Актуализация знаний Запишите формулу 55 Как найти скалярное произведение векторов? Решение Запишем направляющие векторы данных прямых: l 5 и l 8 Найдем скалярное произведение направляющих векторов прямых: l l 8 Так как эти прямые перпендикулярны, то 9 Ответ: 9 Обратите внимание! Векторы перпендикулярны, если их скалярно произведение равно нулю П р и м е р 9 Найдите значение p, при котором прямая 5 параллельна плоскости p 5 Актуализация знаний Запишите условие параллельности прямой и плоскости Решение Согласно условию задачи запишем: A, B, C, l p, m, 5 Подставляя эти значения в формулу 57, получим: p 4 5, откуда p

52 Ответ: П р и м е р Найдите расстояние между плоскостями 4 и Актуализация знаний Запишите формулы 56 и 5 Решение Запишем нормальные векторы данных плоскостей: 4, Плоскости параллельны, так как выполняется условие 56: Найдем любую точку, принадлежащую плоскости 4 Например, полагая, а, получим Найдем расстояние от точки M до плоскости Согласно формуле 5 запишем: d Ответ: 9 Обратите внимание! Нормальный вектор плоскости A B C D имеет вид A B C, а его длина равна A B C Задания для аудиторной и самостоятельной работы 5 Запишите уравнение плоскости 5 5 в отрезках 5 Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C 5 Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 6) параллельно плоскости 4 9

53 54 Запишите уравнение плоскости, параллельной прямой и проходящей через точки A и B 55 Найдите угол между плоскостями и 6 56 Найдите произведение всех значений с, при которых плоскости 5 c и c перпендикулярны 57 Найдите сумму модулей чисел B и C, при которых плоскости 5 и B C параллельны 58 Запишите параметрические уравнения прямой, которая проходит через точки A 8 и B 7 59 Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку M и перпендикулярна плоскости 4 5 Найдите сумму значений и, при которых прямые 5 5 и параллельны Являются ли прямые и 6 скрещивающимися? 5 5 Найдите угол между прямыми и 6 5 Найдите модуль произведения чисел p и k, при которых 5 прямая перпендикулярна плоскости 5 p k 5 54 Найдите расстояние между плоскостями 4 и 4 55 Найдите высоту DH пирамиды ABCD, если известны координаты ее вершин: A, B, C, D 5 9

54 56 Найдите угол наклона ребра AD к плоскости грани ABC пирамиды ABCD, если известны координаты ее вершин: A, B, C, D 5 Контрольный тест 5 Установите соответствие ( 5): Уравнение плоскости в пространстве: СПОСОБ ЗАДАНИЯ УРАВНЕНИЕ ) известна точка M ( ), принадлежащая плоскости, и а) A B( ) нормальный вектор плоскости C ( ) ( A B C) ) известно, что плоскость пересекает оси координат в точках M ( ), M ( ) и M ( ) c ) известны три точки M ( ), M ( ) и M ( ), принадлежащие плоскости 4) известно, что вектор l ( m p) параллелен плоскости, проходящей через точки M ) и M ) ( ( 5) общее уравнение плоскости с нормальным вектором ( A B C) 9 б) m в) m г) c д) е) c ж) A B C з) A B C D p p

55 Уравнение прямой в пространстве: СПОСОБ ЗАДАНИЯ УРАВНЕНИЕ ) известен направляющий вектор прямой l ( m p) и точка A B C, а) M ( ), принадлежащая A B C этой прямой ) известно, что прямая проходит через точки M ( ) и б) m p M ( ) ) общее уравнение прямой в) г) A B C D m p д) Взаимное расположение в пространстве плоскостей A B C и A B C с нормальными D D векторами и : ПЛОСКОСТИ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО ) параллельны а) ) перпендикулярны б) ) образуют угол в) cos 9 г) si 4 Взаимное расположение в пространстве прямых, где l и l направляющие, а и нормальные векторы этих прямых: д) е) A A A A B B B B C C C C D D D D

56 ПРЯМЫЕ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО а) l l и не параллельны вектору ) параллельны M M (точки М и М принадлежат прямым) ) перпендикулярны б) l l ) образуют угол в) l l г) l l cos l l д) cos 5 Взаимное расположение прямой и плоскости A B C D : ПРЯМАЯ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО l m ) параллельна A B C а) плоскости l m ) перпендикулярна б) ABC lm плоскости ) образует с плоскостью угол в) Al Bm C Al Bm C г) cos A B C l m Al Bm C д) si A B C l m Укажите правильный вариант ответа: 6 Расстояние от точки M ( ) до плоскости A B C D с нормальным вектором находят по формуле: ) d A A B B C C ) d D 94 A A B B C C D

57 ) d 4) A B C d A B C D Контрольный тест 5 Укажите правильный вариант ответа ( ): Если точка A ( 4 ) принадлежит плоскости A B C D, а вектор ( 5 8 ) нормальный вектор этой плоскости, то значение D равно Варианты ответов: ) ) 4 ) 8 4) 4 5) 4 Если плоскость проходит через точки A ( 4 ), B ( 5 ) и C ( ), то сумма координат нормального вектора этой плоскости равна Варианты ответов: ) 4 ) 9 ) 4) 4 5) 7 Если ( ) нормальный вектор плоскости, а ( ) нормальный вектор плоскости, то угол между этими плоскостями равен 4 Варианты ответов: ) rccos ) rccos ) rccos 5 8 4) rccos 5) rccos 4 Расстояние от точки M до плоскости 5 равно Варианты ответов: ) ) ) 4) 5) Плоскости 5 и перпендикулярны при условии, что значение равно Варианты ответов: ) ) ) 4) 4 5) 5 95

58 5 4 6 Если прямая параллельна вектору l m 5 j i 8k и проходит через точку M 5 4, то значение выражения m равно Варианты ответов: ) ) 5 ) 4 4) 4 5) 6 7 Если прямая перпендикулярна векторам и, то она параллельна вектору Варианты ответов: ) c 5 4 ) c 6 ) c 5 7 4) c 7 5 5) c 8 Если точки A ( ), B ( ), C ( ) и D ( ) вершины пирамиды, то абсолютная величина скалярного произведения нормальных векторов граней ABC и ADC равна Варианты ответов: ) ) ) 4) 6 5) 9 Если точки A ( ), B ( ), C ( ) и D ( ) вершины пирамиды, то угол между гранями ABC и ADC равен Варианты ответов: ) ) ) 4) rccos 5) rcsi 4 6 Если точки A ( ), B ( ), C ( ) и D ( ) вершины пирамиды, то прямая AD образует с гранью ABC угол, величина которого равна Варианты ответов: 5 ) ) ) rccos 4) rcsi 5) rcsi

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г.

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г. МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова 2014 2015 г. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ПЕРВОЙ

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НОВОТРОИЦКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ» Кафедра

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Определители и системы линейных уравнений. Матрицы. Основные определения.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Определители и системы линейных уравнений. Матрицы. Основные определения. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Определители и системы линейных уравнений Матрицы. Основные определения. Определение. Матрицей размера m где m- число строк - число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Практическая работа Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Цель работы: закрепить умения составлять уравнения прямых и кривых второго порядка Содержание работы. Основные понятия. B C 0 вектор

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского ТА Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой)

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

ОПЕРЕДЕЛИТЕЛИ D D. j j МАТРИЦЫ. , если C. Случаи решения системы уравнений: 1. Система имеет единственное решение, если RgA Rg A m n

ОПЕРЕДЕЛИТЕЛИ D D. j j МАТРИЦЫ. , если C. Случаи решения системы уравнений: 1. Система имеет единственное решение, если RgA Rg A m n ОПЕРЕДЕЛИТЕЛИ Правило: Определитель -го порядка вычисляется как разность произведений элементов главной и побочной диагонали. Алгебраическое дополнение элемента il Определитель: det A ij A ij i j : A ij

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее