Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты"

Транскрипт

1 Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования. Цель изучения познакомиться с векторным пространством как математической структурой, базисом векторного пространства, усвоить понятие линейного оператора в векторном пространстве. Основные понятия: векторное пространство, линейная комбинация векторов, линейная зависимость системы векторов векторного пространства, свойства линейной зависимости векторов, базис векторного пространства, размерность векторного пространства, линейный оператор, собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Изучив тему, студент должен знать: определение понятий векторное пространство, линейная комбинация векторов, линейно - зависимая система векторов и её свойства, базис векторного пространства, определение линейного оператора, действующего в векторном пространстве; уметь: приводить примеры векторных пространств, устанавливать, является ли система векторов линейно зависимой или нет, определять размерность векторного пространства и координаты вектора, относительного заданного базиса, составлять матрицу линейного оператора, находить собственные значения и собственные векторы линейного оператора. 4.. Векторы и координаты Векторы представляют собой направленные отрезки в пространстве, имеющие определенную длину. Вектор отрезок определенной длины, одна из ограничивающих точек которого принята за начало, а другая за конец. Длина вектора (модуль) расстояние между ограничивающими его точками. К векторам относится и нуль-вектор, у которого начало и конец совпадают. Определение: Векторы называются коллинеарными, если они располагаются на одной прямой или на параллельных прямых, то есть если существует прямая, которой они параллельны. Определение: Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или если существует плоскость, которой они параллельны. Если компланарные векторы имеют общее начало, то они лежат в одной плоскости.

2 Определение: Векторы называются равными, если они имеют равные модули, коллинеарны и направлены в одну сторону. (Если вектора направлены в противоположные стороны при равных модулях и наличии коллинеарности, то они противоположны). Вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. Сложение векторов Пусть даны два вектора и.. Возьмем произвольную точку и построим вектор A, потом от этой же точки отложим вектор B. Построим на этих векторах, как на сторонах, параллелограмм ACB. Вектор C, являющийся диагональю параллелограмма, проведенной из вершины, и будет суммой векторов. A C B. От произвольной точки отложим вектор A, затем от точки A отложим вектор AB. Вектор, соединяющий начало первого слагаемого с концом второго, будет суммой этих векторов B. A B Свойства сложения векторов I. Сложение векторов коммутативно (переместительное свойство):.

3 II. Сложение векторов ассоциативно (сочетательное свойство): c c. Сумму любого конечного числа векторов можно построить по следующему правилу: из произвольной точки откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяется начало второго, к концу второго начало третьего и т.д. Суммой данных векторов будет вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего. Разность векторов это третий вектор c, сумма которого с вычитаемым вектором дает. B Правило построения вектора разности: откладываем векторы A и из общей точки. Вектор, соединяющий концы уменьшаемого вектора и вычитаемого вектора, и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, и будет разностью векторов и. A c B Если на векторах и, отложенных из общей точки, построить параллелограмм, то вектор C (одна диагональ параллелограмма) равен сумме, а вектор BA (другая диагональ) равен разности. A C B Умножение вектора на скаляр Пусть даны вектор и число. Произведением вектора на число называется вектор c, коллинеарный вектору, имеющий длину c и 3

4 то же направление, что и вектор, если 0, и противоположное направление, если 0. Из определения умножения вектора на число следует, что если, то векторы и коллинеарны. Очевидно, что из коллинеарности векторов следует, что. Определение: вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство. ). Для любых чисел и и любого вектора справедливо равенство. ). Пусть существует вектор, не равный нулю. Для любого коллинеарного ему вектора существует, и притом только одно, удовлетворяющее равенству:. Это число либо, либо в зависимости от того направлены ли вектора и одинаково или противоположно. Умножение вектора на число обладает распределительным свойством,. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления (это следует из определения умножения вектора на число). Угол между двумя векторами Пусть даны два произвольных вектора и. Отложим от произвольной точки векторы A, B. Угол между векторами это угол, на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Рассмотрим ось l, положительное направление которой совпадает с направлением единичного вектора o l, расположенного на оси. Тогда, углом между вектором и осью будет угол между векторами, l o. 4

5 Проекция вектора на ось и составляющая вектора по оси A A ' B' B B B ' A ' Проекцией вектора на ось l называется длина отрезка AB, ' ' заключенного между основаниями перпендикуляров, опущенных на ось из начала и конца вектора, которой приписан знак «+», если отрезок AB ' ' ориентирован в положительную сторону относительно l и знак, если наоборот. A B A A ' B' Теорема : Проекция вектора на ось l равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью: Пр cos. Теорема : Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось AC AB BC; Прl AC Прl ( AB) Прl ( BC ). Теорема 3: если вектор умножить на число также умножится на это число: Пр ( ) Пр ( ). l l l, то его проекция на ось Определение: вектор, соединяющий проекцию начала вектора с проекцией его конца, называется составляющей вектора по оси l : o сост l Прl l AB. Векторы,,..., k Линейная зависимость векторов называются линейно зависимыми, если существуют числа,,..., k, не все равные нулю, для которых имеет место равенство... k k 0. 5

6 Векторы,,..., k называются линейно независимыми, если равенство (I) имеет место только при... 0 k (то есть в тривиальном случае). Полагая, что, например, 0 запишем: 3 3 k k.... Выражение в правой части линейная комбинация векторов, 3,..., k. Если несколько векторов линейно зависимы, то хотя бы один из них всегда можно представить в виде линейной комбинации остальных (верно и обратное). Линейная зависимость векторов на плоскости Теорема : всякие три вектора c,, на плоскости линейно зависимы. Доказательство: нужно доказать, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. ) Среди векторов есть пара коллинеарных, пусть и, то есть или 0 c, то есть есть линейная комбинация и c. ) Коллинеарных векторов нет. Перенесем все три вектора в общее начало. c C M B Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторам c и до пересечения с прямыми, на которых находятся вектора и c. Тогда, очевидно, что M C B, но C и B коллинеарны и c соответственно, то есть C c ; B. Поэтому, c, то есть является линейной комбинацией векторов и c. 6

7 Следствие: Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они также линейно зависимы, то есть один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных. Тогда для k векторов k, что и требовалось доказать. Доказательство: пусть даны, 3,..., k ; k 3. Из теоремы имеем 3 3. Теорема : Для того чтобы два вектора на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны. Два коллинеарных вектора линейно зависимы. Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум. Линейная зависимость в пространстве Теорема 3: всякие четыре вектора,, c, d в пространстве линейно зависимы. Доказательство: Пусть все векторы имеют общее начало. Покажем, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. ) Пусть среди них есть тройка компланарных c,,. Так как все компланарные векторы выходят из одной точки, то значит, они лежат в одной плоскости, а по теореме I они линейно зависимы, то есть один можно записать в виде линейной комбинации остальных: 3c. И для четырех: 3c 0 d, то есть линейная комбинация,c,d. ) Среди них нет тройки компланарных. Тогда вектор можно представить в виде суммы трех векторов, коллинеарных соответственно, c, d. 7

8 M 3 M d z c Для этого через точку M проведем плоскости параллельные трем плоскостям, определяемым парами c;, cd;, d,, и получим параллелепипед с диагональю M. Очевидно, M M MP PM. зависимы. M P M Но M, MP M c, PM M 3 3d. Следовательно, c 3d, то есть,, c, d линейно зависимы. Следствие: ) Если число векторов в пространстве больше четырех, то они линейно ) Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы. равно трем. 3) Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых вектора. Пусть e и e образуют базис. Любой вектор на плоскости можно представить в виде: e e (так как три вектора на плоскости линейно зависимы), то есть разложить по базису. Числа, аффинные координаты вектора на плоскости, y. Теорема 4: разложение вектора по базису e и e является единственным. Доказательство: пусть существует разложение одного вектора по базису e, e ; e e ; ve ve. 8

9 Вычтем второе уравнение из первого: 0 v e v e. Но e и e линейно независимы, поэтому v 0; v 0, то есть v ; v и разложение по базису единственно. Базис в пространстве это три любых линейно независимых вектора. Всякие три некомпланарных вектора образуют базис. Любой вектор однозначно разлагается по векторам базиса: e e 3e 3; где,, 3 аффинные координаты вектора в пространстве. 4.. Системы координат Аффинная система координат (АСК) на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Деление отрезка в данном отношении. Преобразование координат точки при переходе от одной АСК к другой. Прямоугольная декартова система координат (ПДСК) на плоскости и в пространстве. Преобразование координат точки при переходе от одной ПДСК к другой. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Цель изучения познакомиться с аффинной и прямоугольной системами координат на плоскости и в пространстве, координатами точки и вектора, с правилами преобразования координат, научиться находить координаты точки делящей отрезок в отношении, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные понятия: АСК на плоскости, АСК в пространстве, координаты точки и вектора в АСК, угол между векторами, ПДСК, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов. Изучив тему, студент должен знать: определение понятий аффинная система координат (АСК) и прямоугольная декартова система координат (ПДСК) на плоскости и в пространстве, координаты точки, координаты вектора, деление отрезка в отношении, формулы перехода от «старых» координат к «новым» на плоскости и в пространстве в различных системах координат, угол между векторами, определение скалярного, векторного и смешанного произведения векторов, свойства и геометрический смысл. уметь: определять координаты точки и вектора в выбранной АСК, находить координаты точки деления отрезка в отношении, находить модуль вектора и косинус угла между векторами, произведение векторов (скалярное, векторное и смешанное). 9

10 Фиксируем в пространстве т. и рассматриваем произвольную точку M. Радиусом-вектором т. M по отношению к точке называется вектор M. Если в пространстве кроме точки выбран некоторый базис, то точке M можно сопоставить упорядоченную тройку чисел компоненты ее радиус-вектора. Определение: декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка носит название начала координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая ось абсцисс, вторая ось ординат, третья ось аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. M 3 M k i z j Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве yz. На каждой из осей выберем единичный вектор, направление которого совпадает с положительным направлением оси: векторы i, j, k, причем i j k. Эти три взаимно-перпендикулярных вектора называются ортами. Так как эти орты некомпланарны, то они образуют базис, называемый декартовым ортогональным. Рассмотрим некоторый вектор в пространстве, переместим его в точку, то есть построим M 0 M P M y. Проведя через конец вектора плоскости, параллельные координатным осям, получим параллелепипед. M MP PM, где MP M ; MP M 3. Векторы M, M, M 3 составляющие вектора M по осям, y, z.

11 M ПрM i, M ПрyM j, M 3 ПрzM k. Обозначим проекции вектора M на оси, y, z, y, z. Тогда, разложение вектора по ортогональному базису будет таким: i y j zk. Это разложение вектора на составляющие по координатным осям. Если проекции вектора на оси координат равны,,, то можно записать: y z, y, z. Это прямоугольные декартовы координаты. Линейные операции над векторами можно заменить арифметическими действиями над их проекциями: i y j zk, i y y j z z k.,,, кото- Направление вектора в пространстве определяется углами рые вектор составляет с осями координат. z M y Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора : cos, то есть cos cos, то есть cos y cos, то есть cos z ; y ; z.

12 Вектор M диагональ параллелепипеда, а зная теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда: M M M M и 3 y z ; получим cos cos cos. Тогда, Условия коллинеарности двух векторов Пусть вектора i y j zk и i y j zk коллинеарны.. Но при умножении вектора на число его проекции на оси также умножаются на это число. Тогда, Верно и обратное. ; y y; z z. Итак, для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы их проекции были пропорциональны: y z. y z 4.3. Скалярное произведение векторов В практических задачах часто встречаются операции умножения вектора на вектор. Результатом такого умножения может быть либо число, либо вектор. Соответственно рассматривают два вида умножения: скалярное и векторное. Определение: скалярным произведением векторов и называют число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними. cos. Скалярное произведение двух векторов является числом (скаляром). Физический смысл: пусть материальная точка двигается по прямой, перемещаясь из положения M в положение N под действием силы F, направление которой образует угол с направлением перемещения точки.

13 F M F cos N F Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. Работа A силы F будет равна, как известно из механики, произведению модуля силы F, совершающей работу, на величину S пути S MN : A F S F s cos F S. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение двух векторов обращается в нуль, если вектора взаимно перпендикулярны или если один сомножитель (или оба) есть нуль-векторы (то есть 0, если cos 0, или если 0 или 0 или 0).. Скалярный «квадрат» вектора равен квадрату его длины: (так как при угол 0 и cos ). 3. Скалярное произведение не изменяет своего значения при перестановке сомножителей (свойство коммутативности) (так как и cos cos ). 4. Скалярное произведение равно произведению длины одного из перемножаемых векторов на проекцию другого вектора на направление первого; пр пр, то есть пр cos ; пр cos. 5. Скалярное произведение обладает распределительным свойством c c c. Для доказательства воспользуемся свойством 4: c c прc c прc прc. 3

14 6. Чтобы умножить скалярное произведение на числовой множитель, достаточно на этот множитель умножить один из перемножаемых векторов: m m m. многочлен: Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов Пусть даны векторы: i y j zk и i y j zk. Тогда, i y j zk i y j zk. В силу 5 и 6 можно представить это как произведение многочлена на i i j i k i j j j k y z y y y z y i k j k k z y z z y y z z Все произведения, кроме скалярных квадратов, равны нулю, так как входящие в них векторы ортогональны. Итак, скалярное произведение равно сумме попарных произведений одноименных проекций векторов, так как i, j, k. Условие перпендикулярности векторов может быть таким: 0. y y z z Скалярным произведением двух векторов можно воспользоваться для вычисления угла между ними: cos или cos yy zz. y z y z Отсюда и находим условие перпендикулярности (ортогональности) двух векторов: 0 или 0. y y z z 4.4. Векторное произведение двух векторов 4

15 Определение: векторным произведением вектора на вектор называется новый вектор c, обозначаемый символом c, и определяемый следующими тремя условиями: ) модуль вектора c равен площади параллелограмма, построенного на векторах и (после совмещение их начал), то есть где угол между векторами и. c sin, ) Вектор c перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма (то есть перпендикулярен обоим векторам и ). 3) Вектор c направлен в ту сторону от этой плоскости, что кратчайший поворот от вектора к вектору вокруг вектора c (после совмещения начал всех трех векторов) кажется происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора c (то есть вектора, и c должны образовывать правую тройку). c c Свойства векторного произведения. Векторное произведение двух векторов равно нулю, если один или оба сомножителя являются нуль-векторами ( 0, 0 или 0), или же, если сомножители являются коллинеарными векторами ( 0 или ), в частности 0.. При перестановке местами векторов-сомножителей векторное произведение изменяет знак, то есть превращается в противоположный вектор:. 5

16 3. Векторное произведение не обладает коммутативностью. В самом деле c c. свойством: 4. Векторное произведение векторов обладает распределительным c c. 5. Чтобы умножить векторное произведение двух векторов на произвольный числовой множитель, достаточно умножить на него один из перемножаемых векторов (любой): m m m. Вычисление векторного произведения через проекции (координаты) перемножаемых векторов i j k i j k i i i j y z y z y i k i j j j j k i k z y y y z y z j k k k k j y z z y y z z i i k j y z z y y z z y y y z z и это, как нетрудно убедиться, определитель i j k y z y z. Замечание: при помощи векторного произведения легко вычислить площадь треугольника, стороны которого заданы векторами или вершины их координатами. C B A B ' 6

17 Пример: найти площадь треугольника, вершинами которого служат точки A,,3, B,3, 5 и C 0,, 3. Решение: находим векторы CA, CB ; 0 i j 3 3 k i j 6k, i 5j k. i j k 6 3i 0 j 9k 5 ( 3) S 05 7,4 (ед ) Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов Определение: смешанным произведением трех векторов c,, называется произведение вида c, где два первых вектора перемножаются векторно, а их произведение умножаются скалярно на третий вектор. Смешанное произведение величина скалярная, так как последнее действие скалярное умножение. Абсолютная величина смешанного произведения некомпланарных векторов c,, равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, причем знак его зависит от ориентации этих векторов: если c,, образуют правую тройку, то их смешанное произведение будет положительно, для левой же тройки отрицательно. Свойства смешанного произведения. Смешанное произведение не изменяется: 7

18 ) если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке: c c c ) если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения: c c, поэтому можно записать c.. Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов изменяет лишь его знак: c c; c c; c c. 3. Смешанное произведение обращается в нуль, если ) хотя бы один из перемножаемых векторов есть нуль-вектор; ) два из перемножаемых векторов коллинеарны; 3) три перемножаемых вектора компланарны. Вычисление смешанного произведения трех векторов, разложенных по ортам i y j zk ; i y j zk ; c ci cy j czk, то y z c y z c c c y z В этом можно убедиться, разложив определитель по элементам первой строки. Вычисление объема четырехгранной пирамиды (тетраэдр) Объем такой пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на его сходящихся в одной вершине ребрах. А объем этого параллелепипеда абсолютная величина смешанного произведения трех векторов, общее начало которых находится в одной из вершин пирамиды, а концы в остальных трех ее вершинах. Если вершинами пирамиды служат точки M, M, M 3, M 4, то полагая MM ; MM 3; c 4 M M, получим V c. 6 8

19 Условие компланарности трех векторов Три вектора c,, компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: 0 y z c или 0 y z c c c y z. 9


ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» МЕТОД КООРДИНАТ ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ НС Анофрикова ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Балтийский государственный технический университет «Военмех» В.Л. ФАЙНШМИДТ ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее