Собственные значения и собственные векторы и их приложение

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Собственные значения и собственные векторы и их приложение"

Транскрипт

1 Санкт-Петербургский государственный морской тенический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ для студентов специальности 6Д «Роботы и робототенические системы» Собственные значения и собственные векторы и и приложение Кафедра математики г

2 Описание работы Настоящая курсовая работа опирается на курс линейной алгебры в частности на теорию линейны преобразований в линейны пространства и самостоятельное изучение теоретического материала по темам: Линейное пространство Линейные преобразования и и матрицы Вычисление собственны значений и собственны векторов матрицы линейного преобразования Квадратичные формы Приведение квадратичной формы к каноническому виду При изучении теоретического материала по этим темам следует повторить некоторые разделы курса материала первого семестра такие как: вычисление определителей; действия с матрицами ранг матрицы; методы решения линейны систем; исследование линейны однородны систем В курсовой работе неободимо выполнить два задания: Вычисление собственны значений и собственны векторов матрицы линейного преобразования (оператора) Для матрицы третьего порядка требуется найти собственные значения и линейно независимые собственные векторы Неободимо привести подробное решение со всеми объяснениями В ответе указать не только собственные значения и соответствующие им собственные векторы но и привести матрицу к диагональному виду а также выписать матрицу соответствующего ортогонального преобразования Приведение квадратичной формы к каноническому виду Задана квадратичная форма f a ( aij a ji ) Требуется составить i j симметричную матрицу этой квадратичной формы определить ее собственные значения и соответствующие собственные векторы Далее следует построить ортогональный базис приводящий квадратичную форму к каноническому виду получить канонический вид квадратичной формы указать ее тип и линейное преобразование приводящее данную квадратичную форму к каноническому виду Цель работы Курсовая работа является первой работой студента требующей от него освоения элементов научно-исследовательской работы Очень важной и актуальной является задача отыскания собственны векторов некоторого линейного преобразования Можно указать много задач из области математики физики меаники итд которые используют этот математический аппарат Например: при деформации твердого тела требуется найти такие направления исодящие из данной точки вдоль которы действует только растяжение или сжатие (главные направления); в динамике твердого тела требуется найти такие оси проодящие через данную точку тела относительно которы отсутствуют центробежные моменты (главные оси); канонический вид уравнения кривы уравнений кривы и поверностей в некоторы случая можно получить только переодя к базису собственны векторов ij i j

3 Общие указания по выполнению работы Собственные значения и собственные векторы матрицы линейного преобразования (оператора) оператора Линейным оператором (линейным преобразованием) y A ~ в линейном пространстве называется отображение A ~ этого пространства на себя обладающее двумя свойствами: ~ ~ ~ A y A Ay ~ ~ A A где A ~ и A ~ y - образы элементов (векторов) и y а - вещественное число Если линейный оператор A ~ задан в линейном векторном пространстве R с заданным y базисом y n и элементами этого пространства являются векторы и y n y n то соответствие y A ~ между векторами и y можно записать в виде матричного уравнения: y A где матрица a a A an a a a n an an ann называется матрицей линейного преобразования (оператора) A ~ Если линейное преобразование y A с матрицей A задано в базисе n и это же преобразование в новом базисе n имеет вид: y A то матрица A связана с матрицей A формулой: A H A H где H матрица переода столбцами которой являются координаты векторов нового базиса a a a n a a an Пусть квадратная матрица A матрица линейного оператора A ~ в an an ann n линейном пространстве R Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы A и оператора A ~ если выполняется соотношение: ~ A или A () где некоторое число которое называется собственным значением (собственным числом) матрицы и оператора Векторное равенство () может быть записано в виде матричного уравнения: n

4 A л E где E единичная матрица той же размерности что и матрица A или в виде линейной однородной системы: a a a n n a a a n n an a ann n Следовательно собственный вектор является нетривиальным (ненулевым) решением однородной системы () а собственные значения определяются из условия равенства нулю определителя этой системы: A E () Уравнение () называется арактеристическим уравнением а многочлен вида n dt p A E арактеристическим многочленом Собственные значения могут оказаться вещественными различными вещественными кратными и наконец среди собственны значений могут быть комплексные числа Свойства собственны значений и собственны векторов ) Собственные векторы соответствующие различным собственным значениям линейно независимы ) Если матрица оператора симметричная те aij a ji i j n то собственные значения ее вещественные ) Если собственные векторы матрицы образуют базис то в этом базисе матрица оператора имеет диагональный вид причем ее диагональными элементами являются собственные числа Для наождения собственны значений и собственны векторов матрицы A нужно найти все различные корни арактеристического уравнения dt A E и для каждого такого корня найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений E X A () совокупность которы образует линейно независимую систему собственны векторов Каждому собственному значению i соответствует отя бы один собственный вектор так как однородная система определитель которой равен нулю имеет отя бы одно ненулевое решение n Если в линейном пространстве R с базисом n определено скалярное y y произведение дву векторов и y соотношением n y n n y i yi y y n yn i ()

5 и если для каждого элемента определена его норма (длина) равенством n n i n i () то собственные векторы соответствующие различным собственным значениям симметричной матрицы будут попарно ортогональны те скалярные произведения любы дву таки собственны векторов будут равны нулю Если все собственные значения симметричной матрицы различны то собственные векторы этой матрицы образуют ортогональный базис Если нормы векторов ортогонального базиса равны единице то базис называется ортонормированным Ортогональный базис можно нормировать разделив каждую координату базисного вектора на его норму (длину) Пример Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы Приведите матрицу к диагональному виду и укажите соответствующее ортогональное преобразование A 6 Решение Собственные числа матрицы определяются из уравнения которое можно привести к виду: A E или 6 Собственные числа матрицы A: 6 ) Собственный вектор определяется из матричного уравнения: A E которое соответствует линейной системе X соответствующий собственному числу Второе уравнение системы получается из первого умножением на Поэтому одно из неизвестны или можно задать произвольно

6 6 Положим C тогда C X где C ) При матрица A принимает вид A Собственный вектор X соответствующий собственному числу определяется из матричного уравнения: E A которое соответствует линейной системе Первое уравнение системы получается из второго умножением на Поэтому одно из неизвестны или можно задать произвольно Полагая C получим C X где C ) При 6 матрица A принимает вид 6 A Собственный вектор X соответствующий собственному числу 6 определяется из матричного уравнения: E A 6 6 которое соответствует линейной системе 6 C Следовательно третий собственный вектор C X где C

7 Положим C C C и получим попарно ортогональные собственные векторы X X и X которые образуют ортогональный базис Обратите внимание на то что заданная матрица симметричная Нормируем базисные векторы разделив каждую координату на длину вектора Получим ортонормированный базис X n X n и X n В этом базисе матрица A примет диагональный вид: A 6 а матрицей переода является матрица построенная на ортонормированны собственны вектора: Пример Решение H Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A : A Характеристический многочлен матрицы A имеет вид: p( ) A E а корни этого многочлена: кратности и простой ) Подставим значение в систему () Получим (6) Этой системе соответствует матрица ранг которой равен Следовательно два неизвестны можно задать произвольно (свободные неизвестные) Задавая C и C получим фундаментальную систему решений 7

8 X C C Следовательно можно указать два линейно независимы вектора соответствующи собственному значению которые являются фундаментальными решениями однородной системы (6) при C C и при C C те X и X Эти векторы являются ортогональными в чем легко убедиться отя заданная матрица не является симметричной Полученные линейно независимые ортогональные векторы собственные векторы матрицы A соответствующие собственному значению Второй вектор имеет длину (норму) равную единице и следовательно является нормированным Нормируем первый вектор разделив все его координаты на длину равную X n ) Найдем теперь собственный вектор матрицы A соответствующий собственному значению Подставив это значение в систему () получим систему уравнений для определения координат этого вектора: Системе (7) соответствует матрица: ранг которой равен двум Следовательно существует только один собственный вектор соответствующий собственному значению Решение системы (7) имеет вид: Полагая C получим C и C и выпишем соответствующий собственный вектор и нормируем его: X C (7) 8

9 X n В ортонормированном базисе собственны векторов матрица A будет диагональной: A а матрица переода к базису собственны векторов имеет вид: H Пример Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A Решение Характеристическое уравнение имеет вид: Разложив его левую часть на множители получим уравнение из которого найдем собственные значения ( )( ) i i Поскольку два собственны значения оказались комплексными то собственные векторы заданной матрицы будут векторами комплексного линейного пространства ) Чтобы найти координаты собственного вектора соответствующего собственному значению подставим это значение в однородную линейную систему () Получим систему уравнений: одно из решений которой имеет вид: а соответствующий собственный вектор X () ) Подставив в () второе собственное значение i получим систему уравнений: 9

10 вектор: ( i ) ( i ) ( i ) Положив получим i i и выпишем второй собственный X () i i i () Аналогично определяется третий собственный вектор: X i Поскольку собственные векторы соответствуют различным собственным значениям то они образуют базис Собственные векторы можно нормировать учитывая что нормы все тре базисны векторов равны Тогда матрица H переода к базису собственны векторов будет иметь вид: i i i i Матрица A в базисе собственны векторов примет диагональный вид A i i Приведение квадратичной формы к каноническому виду Пусть - вектор n мерного линейного пространства n координаты этого вектора в некотором базисе n n R а n - n Квадратичной формой в пространстве R называется линейная функция f f n n переменны n которая определяется по правилу: f n n aij i j i j где: aij a ji

11 A Матрица n n a ij называется матрицей квадратичной формы в базисе n Квадратичная форма называется невырожденной если r(a)=n или dta Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы A Чтобы составить матрицу квадратичной формы следует на ее диагонали поместить коэффициенты при квадрата переменны а коэффициенты при произведения различны переменны разделить пополам и эти «половинки» разместить симметрично главной диагонали Например матрица квадратичной формы f a a a в пространстве R имеет вид: () a a A () a a Если dta то квадратичная форма невырожденная и ее ранг равен Вид матрицы квадратичной формы определяется базисом n в котором задан вектор и меняется при переоде к другому базису по формуле: A H A H где H матрица переода от базиса n к новому базису n Если в линейном пространстве введено скалярное произведение () квадратичная форма может быть записана в виде скалярного произведения: f A () где A матрица квадратичной формы Квадратичная форма вида: f n i называется канонической Матрица канонической формы является диагональной Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду следует перейти к базису собственны векторов матрицы квадратичной формы A Поскольку матрица квадратичной формы является симметричной те a a (см () и ()) то все собственные значения ij ji вещественные а соответствующие собственные векторы соответствующие различным собственным значениям попарно ортогональны Если собственные значения различные то соответствующие им собственные векторы образуют ортогональный базис Этот базис нужно нормировать разделив координаты каждого базисного вектора на его норму (длину) Тогда квадратичная форма примет канонический вид () причем коэффициентами a ii будут собственные значения те f n i a ii i () i i () Если среди собственны чисел есть одинаковые то нужно сначала найти систему n линейно независимы собственны векторов n а затем построить ортогональный базис n по формулам (процесс ортогонализации Шмидта): k k k cii k i k n ci (6) i i i При решении этого задания следует указать линейное преобразование которое приводит матрицу квадратичной формы к каноническому виду те H

12 где H матрица переода от базиса n к ортонормированному базису собственны векторов n Столбцами этой матрицы будут координаты векторов ортонормированного базиса Такая матрица называется ортогональной а линейное преобразование с такой матрицей ортогональным преобразованием После того как матрица квадратичной формы приведена к каноническому виду () следует определить тип квадратичной формы нулю Квадратичная форма называется положительно определенной если при любы не равны одновременно нулю значения переменны она принимает только положительные значения Все собственные значения матрицы положительно определенной формы положительны Квадратичная форма называется отрицательно определенной если при любы не равны одновременно нулю значения переменны она принимает только отрицательные значения Все собственные значения матрицы отрицательно определенной формы отрицательны Если все значения переменны равны нулю одновременно то квадратичная форма равна Если квадратичная форма принимает положительные значения и при этом может равняться нулю в случае не равны нулю все значения переменны то она называется неотрицательно определенной Все собственные значения матрицы неотрицательно определенной формы положительны или равны нулю причем среди собственны значений отя бы одно равно нулю Если квадратичная форма принимает отрицательные значения и при этом может равняться нулю в случае не равны нулю все значения переменны то она называется неположительно определенной Все собственные значения матрицы неположительно определенной формы отрицательны или равны нулю причем среди собственны значений отя бы одно равно нулю Во все остальны случая квадратичная форма называется неопределенной или знакопеременной Среди собственны значений знакопеременной квадратичной формы есть как положительные так и отрицательные числа Пример Привести квадратичную форму 6 к каноническому виду и указать соответствующее ортогональное преобразование Решение Выпишем матрицу квадратичной формы A в заданном базисе Чтобы привести квадратичную форму к диагональному виду нужно перейти к базису собственны векторов Уравнение для собственны значений A E Если вычесть из третьего столбца первый то из третьего столбца можно вынести за знак определителя множитель Прибавляя после этого к первой строке третью получим:

13 Вычислив последний определитель получим уравнение: или 9 8 из которого определим собственные числа: 6 Теперь можно найти соответствующие собственные векторы ) Матрица однородной системы для координат первого собственного вектора: A E 7 Линейно зависимы первая и третья строка поэтому координаты соответствующего собственного вектора определяются из однородной СЛАУ: 7 Выпишем ее расширенную матрицу и проведем в ней элементарные преобразования: 7 7 ~ ~ 7 : ~ Полученной расширенной матрице соответствует однородная система: полагая получим первый собственный вектор Аналогично определяются собственные векторы для собственны чисел 6 : Поскольку собственные числа различные то собственные векторы попарно ортогональны в чем легко убедиться Нормируя собственные векторы разделив координаты каждого вектора на его норму получим ортонормированный базис векторов 6 6 6

14 В ортонормированном базисе квадратичная форма имеет вид: 6 и является знакопеременной Ортогональное преобразование от базиса к базису имеет вид: Столбцами матрицы этого преобразования являются нормированные собственные векторы 6 A 6 6 Если среди собственны чисел матрицы квадратичной формы есть равные то среди собственны векторов соответствующи одному собственному числу нужно выбрать неободимый набор линейно независимы векторов и провести и ортогонализацию Пример Привести квадратичную форму 8 7 к каноническому виду и указать соответствующее ортогональное преобразование Решение 7 Матрица квадратичной формы: A Ее собственные числа: 9 8 Собственный вектор соответствующий собственному числу 9 : При 8 матрица однородной СЛАУ для собственны векторов имеет вид: A Вторая и третья строка линейно зависимы с первой Следовательно координаты соответствующего собственного вектора связаны одним уравнением Решение этой системы может быть записано в виде :

15 C C где и фундаментальная система линейно независимы решений Выбирая в качестве базисны векторов и эти фундаментальные решения получим базис: который не является ортогональным Проведем ортогонализацию базиса по формулам (6) которые для базиса в пространстве R примут вид: или в силу ортогональности и те : Тогда поскольку и получим: 8 Нормируем базисные векторы и сделаем ортогональное преобразование В базисе квадратичная форма имеет вид и является положительно определенной Использование инструментальны средств В данной курсовой работе не является обязательным но приветствуется решение предложенны задач не только аналитически но и с использованием современны пакетов математически программ таки например как MatLab В этом случае следует не только получить численное решение с использованием пакета MatLab или пакета Mathmatica но и сравнить и проанализировать полученные результаты MatLab это пакет прикладны программ для решения задач тенически вычислений он

16 работает на большинстве современны операционны систем Основной особенностью языка MatLaB является его широкие возможности по работе с матрицами Студенты могут выполнять расчеты с использованием пакета MatLab в аудитории У Пример использования пакета MatLab дан в «Приложении» Рекомендуемая литература Ануфриев И Самоучитель MatLab /6 СПб БХВ-Петербург Бортаковский АС Пантелеев АВ Линейная алгебра в примера и задача М Высшая школа НВ Васильева ЯЮ Ионченкова СН Леора Элементы линейной алгебры СПбГМТУ-СПб7 МИВолодичева ВВ Григорьев-Голубев СНЛеора Собственные векторы Жордановы формы Функции матриц СПбГМТУ-СПб 9 Воеводин ВВ Линейная алгебра М Наука 98 6 Воробьев ЕМ Введение в систему символьны графически и численны вычислений «Математика-» МДиалог-МИФИ 7 Гантмаер ФР Теория матриц М Наука Головина ЛИ Линейная алгебра и некоторые ее приложения МНаука Григорьев-Голубев ВВ Кадыров СГ Численные методы Ч СПб Изд Центр СПбГМТУ996 Фридман ГМ Работа в компьютерной математической среде МАТЕМАТИКА Спб Изд центр СПбГМТУ Баранова ЕС Васильева НВ Федотов ВП Практическое пособие по высшей математике Типовые расчеты СПб Питер 9 Требования к выполнению курсовой работы Отчет по курсовой работе должен содержать: Титульный лист: оформляется по шаблону представленному руководителем (см «Приложение») Содержание: оформляется по стандартным типографским правилам (см «Приложение») Задание для курсовой работы: и аналитическое решение с неободимым математическим аппаратом и подробными объяснениями Численное решение с помощью прикладны пмкетов (если такое проводилось) должно содержать информацию об используемом пакете математически программ и результат вычислений Сравнение результатов выполненны аналитически и численно если проводилось численное решение 6 Краткие выводы и заключение 7 В заключительном разделе приводится список источников использованны при решении поставленной задачи Использование инструментальны средств Для численного решения предложенны задач можно использовать такие пакеты прикладны математически программ как MatLab Mapl Mathmatica В настоящей работе в «Приложении» даны решения все разобранны аналитически задач в пакете прикладны программ MatLab поскольку этот пакет работает на большинстве современны операционны систем и его язык дает широкие возможности при работе с матрицами 6

17 ЗАМЕЧАНИЕ В / учебном году численное решение задач с применением применение прикладны пакетов желательно но НЕ обязательно! Требования к оформлению работы Текст рукописи Текст должен быть набран в редакторе Microsoft Word с использованием редактора формул Microsoft Equation на одной стороне листа бумаги (формат А шрифт Tims Nw Roman кегль ) со следующими параметрами страницы: поля страницы: вернее см нижнее 7 см левое см правое см; отступ красной строки: 7 см; отступы и интервалы абзаца: слева пт перед пт справа пт после пт; межстрочный интервал: одинарный Нумерация страниц Нумерация страниц документа и приложений водящи в состав этого документа должна быть сквозная страницы курсовой работы нумеруют арабскими цифрами; титульный лист и содержание включают в общую нумерацию работы но номера страниц на ни не ставят колонтитулы (нумерация страниц) расположены внизу страницы в центреотступ от нижнего края 7 см Структура текста Текст документа при неободимости разделяют на разделы и подразделы: разделы должны иметь порядковые номера обозначенные арабскими цифрами без точки и начинаться с красной строки ; подразделы должны иметь нумерацию в предела каждого раздела Номер подраздела состоит из номеров раздела и подраздела разделенны точкой В конце номера подраздела точки не ставятся Заголовки Заголовки следует печатать с прописной буквы без точки в конце не подчеркивая Переносы слов в заголовка не допускаются Если заголовок состоит из дву предложений и разделяют точкой Расстояние между заголовком и текстом должно быть равно мм Расстояние между заголовками раздела и подраздела 8 мм ( пт) Каждый раздел текстового документа рекомендуется начинать с нового листа (страницы) Титульный лист На титульном листе указывается название университета кафедры а также тема курсовой работы Образец оформления титульного листа приведен в «Приложении» 6 Содержание Содержание помещают на первом листе Слово Содержание записывают в виде заголовка с прописной буквы («Приложение») Наименования включенные в содержание записывают строчными буквами начиная с прописной буквы Содержание включают в общее количество листов данного документа 7 Введение Введение курсовой работы должно содержать оценку современного состояния решаемой задачи Во введении должна быть освещена актуальность данной работы и ее связь с ранее изученными курсами 8 Заключение В заключении работы должны быть кратко сформулированы основные выводы полученные при выполнении работы 9 Оформление математически формул Все формулы выполняются с помощью редактора формул Microsoft Equation(размеры мелкий символ индексы 9 и 7 крупный символ ) 7

18 Каждая формула записывается в отдельной строке Все формулы нумеруют арабскими цифрами в предела раздела двойной нумерацией Номер формулы состоит из номера раздела и порядкового номера формулы которые разделены точкой Номер указывают с правой стороны листа на уровне формулы в круглы скобка Ссылки в тексте на номер формулы дают в скобка например «в формуле (6)» Оформление списка используемой литературы Библиография по теме курсовой работы оформляется в соответствии с ГОСТ 7-8 который регламентирует как порядок расположения элементов описания так и знаки препинания между ними см список рекомендованной литературы Критерии оценки При выставлении оценки учитывается: качество выполненны заданий; сроки выполнения задания; доклад при защите курсовой работы; ответы на заданные при защите вопросы Контрольные вопросы Какое множество называется линейным пространством? Как называются элементы линейного пространства? Какие векторы называются линейно независимыми? Линейно зависимыми? Какое условие является неободимым и достаточным линейной независимости векторов? Как определяется базис в линейном пространстве? Что называется координатами вектора в заданном базисе? n 6 Что является базисом в линейном пространстве R? 7 Как определяются координаты вектора в новом базисе? 8 Как определяется размерность линейного пространства? 9 Что называется линейным преобразованием (оператором)? Матрицей линейного преобразования? Как меняется матрица линейного оператора при переоде к другому базису? Как определяется собственный вектор матрицы линейного оператора? Из какого уравнения определяются собственные значения матрицы? Что можно сказать о собственны вектора соответствующи различным собственным числам? Какая матрица имеет только вещественные собственные числа? Какой базис называется ортогональным? Ортонормированным? n 6 Какие векторы образуют ортонормированный базис в пространстве R? 7 Какое линейное преобразование называется ортогональным? 8 Что называется квадратичной формой и как составляется ее матрица? 9 Какой вид квадратичной формы называется каноническим и в каком базисе квадратичная форма имеет канонический вид? Какие существуют типы квадратичны форм? 8

19 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 9

20 Задача Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы A A 8 A A A A 6 A A 8 A A A A A A A 6 7 A 6 6 A 7 8 A 8 A 9 A 9 7 A A 6 A A A

21 6 A 6 A

22 Задача Приведите квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием укажите ее тип и линейное преобразование приводящее ее к каноническому виду

23 Приложение Санкт-Петербургский государственный морской тенический университет Кафедра математики МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Курсовая работа студента курса группы ФИО Научный руководитель: Фио Дата " " Санкт Петербург

24 Приложение СОДЕРЖАНИЕ Введение Линейное пространство Линейное пространство Векторы в линейном пространстве Линейно независимые и линейно зависимые векторы линейного пространства Базис и размерность линейного пространства Координаты вектора в заданном базисе Преобразование координат вектора при переоде к другому базису Линейные преобразования (операторы) Матрица линейного оператора Преобразование матрицы линейного оператора при переоде к другому базису Собственные числа и собственные векторы матрицы Квадратичные формы Матрица квадратичной формы Канонический вид матрицы квадратичной формы Приведение квадратичной формы к каноническому виду Заключение Список использованны источников и литературы Приложения

25 Пример Приложение Примеры выполнения заданий с применением пакета математически программ MatLab Задание Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A : A при помощи пакета математически программ MatLab Численное решение Аналитическое решение этой задачи было получено в примере собственные числа: и а матрица H составленная из координат нормированны собственны векторов имеет вид: H Для решения этой задачи с помощью пакета MatLab нужно войти в эту систему кликнув на соответствующую иконку мышью появится строка отмеченная символом Это начало строки в которой Вы можете записывать матрицу A в квадратны скобка построчно отделяя элементы пробелами а строки точкой с запятой Перед точкой с запятой и после нее пробелы можно не ставить Итак набрали: A = [ ; ; 6] После закрытой квадратной скобки нажимаем Entr Тогда переменной A присвоится значение матрицы и она будет выведена на экран: A = 6 Проверьте правильность введенной матрицы и вновь нажмите Entr Появится новая строка с символом в которой Вы сможете набрать функцию ig вычисляющую по заданной матрице A матрицу нормированны собственны векторов H и матрицу A в новом базисе собственны векторов которая будет иметь диагональный вид причем элементами главной диагонали будут собственные числа Набираем во второй строке H D ig A и нажимаем ntr На экран выводятся матрицы H и D Н = D = 6

26 Матрица D это диагональная матрица A в базисе собственны векторов и легко видеть что собственные значения совпадают со значениями вычисленными аналитически Чтобы сравнить вычисленную матрицу Н с полученным аналитически результатом вычислим элементы матрицы H приближенно Для этого снова можно использовать пакет MatLab Набираем в следующей пустой строке Н = [ /sqrt() /sqrt() ;/sqrt() /sqrt() ; ] и снова нажимаем Entr На экран выводится вычисленная матрица Н Н = Замечание В этом примере sqrt() встроенная функция вычисляющая а знак / знак деления Замечание Если Вы провели решение задачи с использованием пакета Matlab то Вы можете скопировать все содержимое экрана относящееся к Вашей задаче и вставить этот текст (вместе с командами и результатами счета) в Ваш отчет как это проделано в настоящей работе При этом желательно помещать программу и результаты счета на отдельном листе Пример Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A : A Численное решение Аналитическое решение было получено в примере и матрица составленная из координат нормированны собственны векторов имеет вид: H или приближенно H = Программа (с комментариями) для вычисления собственны векторов и собственны значений в которой используется функция ig с заданной матрицей A водным аргументом и двумя выодными аргументами матрицей собственны векторов H и диагональной матрицей собственны чисел D имеет вид: clar all <<A=[ ]; <<[HD] = ig(a) %[HD] = ig(a) producs matrics of ignvalus (D) and ignvctors (H) % of matri A so that A*H = H*D Matri D is th canonical form of A--a diagonal 6

27 % matri with A's ignvalus on th main diagonal Matri V is th modal matri--its % columns ar th ignvctors of A В этой программе матрица A вводится построчно те после введения элементов первой строки через пробелы нажимается ntr далее в следующей строчке вводятся через пробел элементы второй строки матрицы и после ntr вводятся элементы третьей строки и третья строка завершается квадратной скобкой После квадратной скобки поставлена точка с запятой поэтому матрица A на экран не выводится clar all очистка экрана (command window); в меню dit есть эта команда Результаты счета: H = D = Сравнение результатов Краткие выводы Результаты полученные аналитически и численно совпадают с точностью до нумерации собственны чисел (нумерация собственны чисел в пакете Matlab производится автоматически) Собственному значению λ= соответствуют первый и третий столбцы матрицы H собственному значению λ= соответствует второй столбец этой матрицы Пример Найти собственные значения и собственные векторы матрицы H A Эта задача была решена аналитически и получены результаты i i i i или 77 H i i 887 i i Матрица A в базисе собственны векторов которую обозначим через D имеет вид: D 866i 866i Решение с применением пакета математически программ MatLab Программа: clar all << A=[ ] 7

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.. Линейное пространство Определение. Говорят, что на множестве R определена операция сложения элементов, если каждой упорядоченной паре элементов х, у R ставится в соответствие

Подробнее

А. В. Овчинников. Линейная алгебра

А. В. Овчинников. Линейная алгебра Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» А В Овчинников

Подробнее

Линейные разностные уравнения и их приложения

Линейные разностные уравнения и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени

Подробнее

СТАНДАРТ ОРГАНИЗАЦИИ СИСТЕМА МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕСТВА ТРЕБОВАНИЯ К РЕФЕРАТАМ, КОНТРОЛЬНЫМ, КУРСОВЫМ И ВЫПУСКНЫМ КВАЛИФИКАЦИОННЫМ РАБОТАМ СТО СМК ЮУГМУ

СТАНДАРТ ОРГАНИЗАЦИИ СИСТЕМА МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕСТВА ТРЕБОВАНИЯ К РЕФЕРАТАМ, КОНТРОЛЬНЫМ, КУРСОВЫМ И ВЫПУСКНЫМ КВАЛИФИКАЦИОННЫМ РАБОТАМ СТО СМК ЮУГМУ МИНЗДРАВ РОССИИ государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южно-Уральский государственный медицинский университет» Министерства здравоохранения Российской

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников 2. Основные понятия и теоремы.. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Пусть линейный оператор

Подробнее

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ (ДИПЛОМНАЯ) РАБОТА

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ (ДИПЛОМНАЯ) РАБОТА ГОУ ВПО НижГМА Росздрава Фармацевтический факультет Кафедра управления и экономики фармации и фармацевтической технологии ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ (ДИПЛОМНАЯ) РАБОТА по специальности 060108 "Фармация"

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Учебное пособие Рекомендовано

Подробнее

Представления групп и их применение в физике Функции Грина

Представления групп и их применение в физике Функции Грина Представления групп и их применение в физике Функции Грина Д.А.Шапиро кафедра теоретической физики НГУ Конспект лекций по математическим методам физики Часть II 21 января 2004 г. Оглавление 1 Симметрии

Подробнее

ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ: ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ

ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ: ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ: ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ 1. Общие положения 1.1. Дипломная работа, например по экономической проблематике, завершает подготовку специалиста и показывает его готовность

Подробнее

B15 (высокий уровень, время 10 мин)

B15 (высокий уровень, время 10 мин) B5 высокий уровень, время 0 мин) Тема: Преобразование логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике,, ), неудобны,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии НОРМАЛЬНАЯ ЖОРДАНОВА ФОРМА Методические указания для практических занятий

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Министерство образования и науки РФ Федеральное агенство по образованию Пермский государственный технический университет Кафедра теоретической механики ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Учебно-методическое пособие

Подробнее

по информатике ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР КОЛОСОВ М.В. КАФЕДРА ТЭС ПИ СФУ 660074, г. Красноярск, ул. Ак. Киренского, 26

по информатике ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР КОЛОСОВ М.В. КАФЕДРА ТЭС ПИ СФУ 660074, г. Красноярск, ул. Ак. Киренского, 26 0 Лабораторные по информатике работы ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР КОЛОСОВ М.В. КАФЕДРА ТЭС ПИ СФУ 66007, г. Красноярск, ул. Ак. Киренского, 6 СОДЕРЖАНИЕ Лабораторные работы по Основам компьютера и ОС... Лабораторная

Подробнее

Институт педагогики и психологии Факультет социального управления Кафедра общей и социальной психологии. Н.Г. Рукавишникова

Институт педагогики и психологии Факультет социального управления Кафедра общей и социальной психологии. Н.Г. Рукавишникова Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского» Институт педагогики и психологии Факультет социального управления

Подробнее

Разработка более сложной формы (прием товаров)

Разработка более сложной формы (прием товаров) Глава 5 Разработка более сложной формы (прием товаров) В этой главе мы рассмотрим технологию создания более сложных форм на примере формы, предназначенной для оформления приема товаров. В качестве источника

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

Работа в MS Office 2007. Текстовый процессор Word 2007

Работа в MS Office 2007. Текстовый процессор Word 2007 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ М. С. Кукушкина,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009

Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009 Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009 Утверждено научно-методическим советом физического факультета

Подробнее

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1)

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1) Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Т.А. Чуракова Задачи по квантовой механике Учебное пособие для вузов Часть 3-е издание Воронеж 008 Утверждено научно-методическим советом

Подробнее

Сеточные методы решения краевых задач математической физики

Сеточные методы решения краевых задач математической физики Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ М.Э.Рояк Ю.Г.Соловейчик Э.П.Шурина Сеточные методы решения краевых задач математической

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В СИСТЕМУ MATLAB

ВВЕДЕНИЕ В СИСТЕМУ MATLAB АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОММУНИКАЦИЙ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КРИПТОГРАФИИ Методическое пособие ВВЕДЕНИЕ В СИСТЕМУ MATLAB по курсу

Подробнее

Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов. Основной тест. Издание второе, переработанное и дополненное

Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов. Основной тест. Издание второе, переработанное и дополненное Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов Основной тест Издание второе, переработанное и дополненное Бишкек 2004 УДК 378 ББК 74.58 Г74 Авторы разделов: Математика: М. Зельман, Г.

Подробнее

РАБОТА С ТЕКСТОВЫМ РЕДАКТОРОМ MS WORD

РАБОТА С ТЕКСТОВЫМ РЕДАКТОРОМ MS WORD Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РАБОТА С ТЕКСТОВЫМ РЕДАКТОРОМ MS WORD Методические указания к практическим занятиям Владивосток

Подробнее

Введение в Octave для инженеров и математиков. Е. Р. Алексеев, О. В. Чеснокова

Введение в Octave для инженеров и математиков. Е. Р. Алексеев, О. В. Чеснокова В серии: Библиотека ALT Linux Введение в Octave для инженеров и математиков Е. Р. Алексеев, О. В. Чеснокова Москва ALT Linux 2012 УДК 519.67 ББК 22.1 А47 Введение в Octave для инженеров и математиков:

Подробнее

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (Финансовый университет) Кафедра «Теоретическая

Подробнее

ВЫПУСКНАЯ РАБОТА СЛУШАТЕЛЯ ПРЕЗИДЕНТСКОЙ ПРОГРАММЫ. ТРЕБОВАНИЯ ПО СОДЕРЖАНИЮ, ОФОРМЛЕНИЮ И ЗАЩИТЕ Учебное пособие

ВЫПУСКНАЯ РАБОТА СЛУШАТЕЛЯ ПРЕЗИДЕНТСКОЙ ПРОГРАММЫ. ТРЕБОВАНИЯ ПО СОДЕРЖАНИЮ, ОФОРМЛЕНИЮ И ЗАЩИТЕ Учебное пособие Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Институт инноватики

Подробнее