(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые"

Транскрипт

1 Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(), зная ее производную F = f (или дифференциал). Искомую функцию F() называют первообразной функции f(). Функция F() называется первообразной функции f() на интервале (a;b), если для любого ( a; b) выполняется равенство F = f (или df()=f () d). Пример. Первообразной функции y = 3, R, является функция F( ) =, так как 3 F = = = f. Очевидно, что первообразными будут также любые функции F = + С, где С постоянная, поскольку 3 F = + С = + 0 = f Теорема 1. Если функция F() является первообразной функции f() на (a;b), то множество всех первообразных для f() задается формулой F() + С, где С постоянное число. Доказательство. Функция F()+С является первообразной f(). Действительно, ( F + С) = F = f. Пусть Φ некоторая другая, отличная от F(), первообразная функции f(), т.е. Φ = f. Тогда для любого ( a; b) имеем. ( Φ F) = Φ F = f f = 0. А это означает, что Φ F = C, где С постоянное число. Следовательно, Φ = F + C.

2 Множество всех первообразных функций F() + С для f() называется неопределенным интегралом от функции f() и обозначается символом f d. Таким образом, по определению f d = F + C. Здесь f() называется подынтегральной функцией, f d подынтегральным выражением, переменной интегрирования, знаком неопределенного интеграла. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых y = F() + С (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 1). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой. Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема. Теорема. Всякая непрерывная на (a; b) функция имеет на этом промежутке первообразную, а, следовательно, и неопределенный интеграл. Рис. 1 Свойства неопределенного интеграла Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения. 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: ( ) =, ( f d) d f d f d = f

3 Действительно, d f d = d( F + C) = df + dc = F d = f d, f d = ( F + C) = F + 0 = f. Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство C = (3 + 5) d = C верно, так как. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: df = F + C Действительно, df = F d = f d = F + C. 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: af d = a f d ( a 0 постоянная). Действительно, af d = af d = ( af) d = d( af) = af + C = 1 C 1 = a F + = a( F + C) = a f d, a

4 C (положили 1 C a = ).. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: ( f ± g) d = f d ± g d Для доказательства положим F = f и G = g. Тогда ( f ± g) d = ( F ± G ) d = ( F ± G) d = d( F ± G) = = F ± G + C = F + C ± G + C = f d ± g d ( 1) ( ), где C1 ± C = C. 5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если f d = F + C, то и f ( ) = F ( ) + C, где = ϕ произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Докажем это свойство. Пусть независимая переменная, f() непрерывная функция и F() ее первообразная. Тогда f d = F + C. Положим теперь = ϕ, где ϕ непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию F( ) = F( ϕ ). В силу инвариантности формы первого дифференциала функции имеем df( ) = F ( ) = f ( ). Отсюда f ( ) = d( F( )) = F( ) + C. Из последнего свойства следует, что формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

5 Таблица основных неопределенных интегралов Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления и использования свойств неопределенного интеграла. Например, так как d(sin ) = cos, то cos = d(sin ) = sin + C. Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных методов интегрирования. Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. Методы нахождения первообразных (т.е. интегрирования функции) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать. Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантности формулы интегрирования). В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтегральному выражению в левой части формулы. Приведем таблицу основных интегралов. 1. n+ 1 n = + C ( 1 n + 1. ln C = + ; 3. a a = + C ; ln a ; n ) ( = + C). e e = + C ; 5. sin = cos + C; ( sh = ch + C ); 6. cos = sin + C; ( ch = sh + C );

6 7. tg = ln cos + C; 8. ctg = ln sin + C; tg C; cos = + ( th C ch = + ); ctg C; sin = + ( cth C sh = + ); 11. ln tg ; sin = + C π 1. = ln tg + + C; cos = arcsin + C ; a a = ln + a + + C; a arctg C; a + = a a + 1 a + = ln + C ; a a a a a = a + arcsin + C; a a ± a = ± a ± ln + ± a + C. Докажем, например, справедливость формулы. Функция непрерывна для всех значений, отличных от нуля. 1 определена и Если > 0, то ln = ln, тогда d ln = d ln =. Поэтому ln C ln C = + = + при > 0. Если < 0, то ln = ln( ). Но d ln( ) = =. Значит, ln( ) C ln C = + = + при < 0. Итак, справедливость формулы доказана.

7 Примеры. 1. Вычислить интеграл (3 5 + sin ) d. Используем третье и четвертое свойства, а так же формулы 1, 3, 5 и 9 из таблицы интегралов: cos 3 3 d (3 5 + sin ) d = 3 d 5 d d + 3 cos cos 5 sin d = tg + cos + C. ln Вычислить интеграл Имеем e + d. e + e 1 d d = + d = d e d + = e + ln + C. 1 1

Лекция Неопределенный интеграл

Лекция Неопределенный интеграл Лекция..3. Неопределенный интеграл Аннотация: Неопределенный интеграл определяется как множество первообразных функций подынтегральной функции. Рассматриваются свойства неопределенного интеграла, приводится

Подробнее

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования.

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Тема 0 Неопределенный интеграл Основные свойства Таблица неопределенных интегралов Метод непосредственного интегрирования Неопределенный интеграл На занятии по заданной функции y f по известным формулам

Подробнее

Глава 8 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Глава 8 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 45 Глава 8 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f ( ) или дифференциала функции f( ). В

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной.

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C 0 2. 3. Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Геометрический смысл производной есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Т е м а 4 Неопределенный интеграл

Т е м а 4 Неопределенный интеграл 17 Т е м а 4 Неопределенный интеграл Интегральное исчисление является составной частью математического анализа, и применяется при решении множества задач из области физики, химии, биологии, а именно в

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

9. Неопределенный интеграл.

9. Неопределенный интеграл. 9. Неопределенный интеграл. Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке (b), если для всех (b) выполняется равенство F() = f(). Например, для функции первообразной будет функция

Подробнее

Лекция 3. Неопределенные интегралы Замена переменной

Лекция 3. Неопределенные интегралы Замена переменной СА Лавренченко wwwlwrencenkor Лекция Неопределенные интегралы Замена переменной Как мы знаем с прошлой лекции, интегрирование оказалось операцией, обратной к дифференцированию С другой стороны, взятие

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b +

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b + Предел функции (продолжение) Лекция (..) Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой). Если, где б.м. при a. Доказательство. Пусть б.м. при +. f( = b, то f( = b + f ( = b. Рассмотрим функцию

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл

6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл 6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x 0, если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Понятие производной функции

ЛЕКЦИЯ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Понятие производной функции ЛЕКЦИЯ 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1 Понятие производной функции Рассмотрим функцию у=f(), определенную на интервале (а;в) Возьмем любое значение х (а;в) и зададим аргументу

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

c в разложении функции z

c в разложении функции z Практическое занятие 8 Вычеты 8 Определение вычета 8 Вычисление вычетов 8 Логарифмический вычет 8 Определение вычета Пусть изолированная особая точка функции в изолированной особой Вычетом аналитической

Подробнее

Лекция 4. ТЕМА Первообразные функции. Задачи с первообразными функции.

Лекция 4. ТЕМА Первообразные функции. Задачи с первообразными функции. Лекция 4 ТЕМА Первообразные функции. Задачи с первообразными функции. Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Москва, 017 Домашнее задание 1. Найти наименьшее

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальное исчисление функций нескольких

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Глава 1. Неопределенный интеграл.

Глава 1. Неопределенный интеграл. Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Изучая дифференциальное исчисление, мы, в частности, рассматривали следующую задачу: на интервале числовой оси задана функция, надо

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование Вспомним правило дифференцирования для функций одной переменной также называемое цепным правилом (см

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Производная и дифференциал. Лекция 4-5

Производная и дифференциал. Лекция 4-5 Производная и дифференциал Лекция 4-5 Приращения функции и аргумента Пусть функция y f ( x) определена в некоторой окрестности U( x) точки x и x U( x) произвольная точка из этой окрестности. Разность x

Подробнее

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования.

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ Интегралы. Часть. Основные приёмы интегрирования. Учебное

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

БАНК ЗАДАЧ для вступительных испытаний в магистратуру (базовая часть)

БАНК ЗАДАЧ для вступительных испытаний в магистратуру (базовая часть) БАНК ЗАДАЧ для вступительных испытаний в магистратуру (базовая часть) Задания билета,, 4 5 Разделы, 4, 5, 6, 7,,,,, 8, 9,, 6, 7, 8, 4, 5, 9 Количество баллов 5 б б 5 б Содержание Раздел Производная, частная

Подробнее

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. 5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Элементы математического анализа Лекция 2. Интегрирование

Элементы математического анализа Лекция 2. Интегрирование Элементы математического анализа Лекция 2. Интегрирование Содержание 1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла 2. Правила интегрирования 3. Понятие определенного интеграла 4. Формула Ньютона-Лейбница

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 18. Дифференциал функции в точке. Производная сложной и обратной функции.

ЛЕКЦИЯ 18. Дифференциал функции в точке. Производная сложной и обратной функции. ЛЕКЦИЯ 8 Дифференциал функции в точке Производная сложной и обратной функции Дифференциал функции в точке Пусть функция f () определена в некоторой окрестности точки Если приращение функции f () можно

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

e называют экспонентой.

e называют экспонентой. МОДУЛЬ 8 «Производная показательной и логарифмической функции». Производная показательной функции. Число e.. Определение натурального логарифма. Формула производной показательной функции.. Первообразная

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2-1 Дисциплина: Математический анализ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2-1 Дисциплина: Математический анализ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ -1 1. Определение неопределённого интеграла и первообразной. Свойства неопределённого интеграла.. Решить дифференциальное уравнение y y +y = x, y(0) = 1, y (0) = 1. 3. Вычислить интеграл

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

Математика УЗ-100. Варианты контрольной работы 1. М.П. Харламов

Математика УЗ-100. Варианты контрольной работы 1. М.П. Харламов Математика УЗ-00 Варианты контрольной работы МП Харламов Вариант Найти пределы: ; б) + 8 + Найти производные: y ln( arcsin ) = ; б) e y = 0 Найти полный дифференциал функции двух переменных и её частные

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург 007 УДК

Подробнее

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Колледж связи года

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Колледж связи года Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Колледж связи 54 Экспертное заключение: 0 года Разработала: Бобкова О.Н.- преподаватель 04 года Утверждено: Методическим

Подробнее

Задачи группы 5 (тип 6) 6 баллов Тема 6. на три группы: а) при x x0. Разбейте четыре пары бесконечно малых функций ϕ (x) x. , x.

Задачи группы 5 (тип 6) 6 баллов Тема 6. на три группы: а) при x x0. Разбейте четыре пары бесконечно малых функций ϕ (x) x. , x. Тест модуля Студенты проходят промежуточный тест через Интернет В этот промежуточный тест выносятся следующие задания по темам 7- учебного пособия по математике В данном документе СПЕЦИАЛЬНО не приводятся

Подробнее