ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ"

Транскрипт

1 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных отрезков < <... < i < i <... < n [, ], [, ],..., [ i, i ],..., [ n, b ] () (не обязательно равных), длины которых обозначим соответственно через,,..., i,..., n. () Для единообразия записи введём обозначения: = и b = n. Тогда можно записать: i = i i ( i =,,..., n ). ( ) y f(ξ i ) O ξ ξ ξ i ξ n i i n b qмножество элементарных отрезков () называется разбиением отрезка [, b ]. В каждом элементарном отрезке [ i, i ] выберем произвольную точку ξ i : i ξ i i, вычислим в ней значение функции f (ξ i ) и умножим его на длину i элементарного отрезка [ i, i ]. Получим произведение f (ξ i ) i. Составим сумму всех таких произведений σ n = f (ξ ) + f (ξ ) f (ξ i ) i f (ξ n ) n (3 ) или в сокращённой записи σ n = f (ξ i ) i. (3) i=n

2 Эта сумма существенно зависит от способа разбиения отрезка [, b ] на элементарные отрезки вида () и от выбора в них точек ξ i. Сумма вида (3) называется интегральной суммой для функции f (), соответствующей данному разбиению отрезка [, b ] на элементарные отрезки и данному выбору точек ξ i в элементарных отрезках этого разбиения. Наибольшую из длин () элементарных отрезков () назовём шагом разбиения () и обозначим через λ : λ = m i. in Рассмотрим различные разбиения отрезка [, b ] такие, что λ. Очевидно, что при этом число n элементарных отрезков должно неограниченно увеличиваться: n. Тогда можно поставить вопрос о существовании предела интегральной суммы (3) при λ. Уточним это понятие. Число I называется пределом интегральной суммы (3) при λ, если ε >, δ > : λ < δ = σ n I < ε, независимо от способа разбиения отрезка [, b ] и от выбора точек ξ i на элементарных отрезках. Если интегральная сумма (3) имеет (конечный) предел I (не зависящий ни от способа разбиения отрезка [, b ] на элементарные отрезки, ни от выбора точек ξ i в них), то этот предел называется определённым интегралом функции f () на отрезке [, b ] и обозначается символом f (). (4) Числа и b называются пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним), отрезок [, b ] - промежутком интегрирования, - переменной интегрирования. Таким образом, определённый интеграл функции f () на отрезке [, b ] есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма этой функции на отрезке [, b ] когда шаг разбиения стремится к нулю: f () = lim λ f (ξ i ) i. (5) Функция y = f (), для которой определённый интеграл (5) существует, называется интегрируемой на отрезке [, b ]. Не всякая функция интегрируема. Например, функция Дирихле, равная единице в рациональных точках и нулю - в иррациональных точках, не интегрируема ни на каком отрезке [, b ] ( < b). Действительно, каково бы ни было разбиение отрезка [, b ], выбирая все ξ i рациональными, будем иметь f (ξ i ) =, а выбирая все ξ i иррациональными, будем иметь f (ξ i ) =. В первом случае а во втором σ n = f (ξ i ) i = i=n σ n = i= i = b, i=n i =. i=n

3 Какие же функции интегрируемы? На этот вопрос частично отвечает следующая теорема, которую мы принимем здесь без доказательства. Теорема. Функция y = f () интгрируема на отрезке [, b ], если выполнено какое-нибудь одно из условий: ) f () непрерывна на отрезке [, b ], ) f () ограничена и кусочно-непрерывна на [, b ], т. е. имеет на этом отрезке лишь конечное число разрывов -го рода, 3) f () определена и монотонна на отрезке [, b ]. Заметим, что всякая функция, интегрируемая на отрезке [, b ], ограничена на этом отрезке. Действительно, если функция f () не ограничена на отрезке [, b ], то при любом разбиении отрезка [, b ] она не ограничена хотя бы на одном элементарном отрезке [ i, i ]. Тогда за счёт выбора точки ξ i [ i, i ] интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела. Замечание. При определении определённого интеграла (4) мы исходили из того, что < b. Обобщим теперь понятие определённого интеграла на случаи, когда > b и = b, полагая по определению в первом случае а во втором f () = b f (), (6) f () =. (7) Замечание. Интегральная сумма (3), очевидно, не зависит от того, какой буквой обозначен аргумент данной функции. Следовательно, этим же свойством обладает и её предел при λ. А это значит, что определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: f () = f (t) dt = f (z) dz =.... Пример. Вычислить интеграл =. Составим интегральную сумму σ n для функции f () на [, b ]. При любом выборе точек ξ i на элементарных отрезках разбиения будем иметь f (ξ i ) =. Следовательно, σ n = f (ξ i ) i = i = b. Таким образом, i= i= = b. (8) 3

4 . Геометрический смысл определённого интеграла Пусть функция y = f () положительна (или хотя бы неотрицательна) на отрезке [, b ]. Рассмотрим на плоскости Oy фигуру, ограниченную сверху графиком функции y = f (), снизу - осью O, а справа и слева - вертикальными прямыми = и = b. Такая фигура называется криврлинейной трапецией, определённой функцией y = f () на отрезке [, b ]. Отрезок [, b ] называется основанием этой криволинейной трапеции. y O ξ ξ ξ 3 ξ i ξ n ξ n i i n b Составим интегральную сумму функции f () на отрезке [, b ], соответствующую какому-нибудь разбиению отрезка [, b ] и какому-либо выбору точек ξ i на элементарных отрезках этого разбиения: σ n = f (ξ i ) i. (3) i= Как сумма σ n, так и её слагаемые, имеют простой геометрический смысл. Действительно, произведение f (ξ i ) i численно равняется площади прямоугольника, основанием которого служит элементарный отрезок [ i, i ], а высота равна f (ξ i ), т. е. ординате точки кривой y = f (), имеющей абсциссу ξ i. Следовтельно, сумма (3) численно равняется сумме площадей всех прямоугольников такого вида, т. е. площади ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке. Эта ступенчатая фигура будет, очевидно, тем меньше отличаться от криволинейной трапеции ABb, чем мельче будет разбиение отрезка [, b ], т. е. чем меньше λ. Поэтому естественно принять за площадь криволинейной трапеции, определённой функцией y = f () на отрезке [, b ], предел интегральной суммы (3) при λ, разумеется, если этот предел существует в том смысле, как он был определён выше, т. е. конечен и не зависит ни от способа разбиения отрезка [, b ], ни от выбора точек ξ i. Принимая во внимание определение определённого интеграла, приходим к выводу: если функция неотрицательна на отрезке [, b ], то её определённый интеграл 4

5 на этом отрезке f () имеет геометрический смысл площади криволинейной трапеции, определённой функцией y = f () на отрезке [, b ]. 3. Формула Ньютона-Лейбница Теорема. Если функция y = f () непрерывна на отрезке [, b ] и F () - одна из её первообразных на этом отрезке, то имеет место формула называемая формулой Ньютона-Лейбница. где f () = F (b) F (), () Доказательство. Пусть дано разбиение отрезка [, b ] точками деления =,,,..., i, i,..., n, n = b, < < <... < i < i <... < n. Представим разность F (b) F () в виде: F (b) F () = F ( n ) F ( ) = = [ F ( n ) F ( n ) ] + [ F ( n ) F ( n ) ] [ F ( i ) F ( i ) ] [ F ( ) F ( ) ] + [ F ( ) F ( ) ]. Применяя к каждой разности в квадратных скобках теорему Лагранжа, получим: где Таким образом, F (b) F () = F (ξ n ) ( n n ) F (ξ i ) ( i i ) F (ξ ) ( ) + F (ξ ) ( ) = = F (ξ n ) n F (ξ i ) i F (ξ ) + F (ξ ) = = F (ξ i ) i = f(ξ i ) i, i= i= i =,,..., n, ξ i [ i, i ]. F (b) F () = f(ξ i ) i. () Так как функция y = f () непрерывна на [, b ], то она интегрируема на [, b ], т. е. существует предел её интегральной суммы на [, b ], равный её определённому интегралу на [, b ] : lim λ i= f (ξ i ) i = i= 5 f ().

6 Следовательно, переходя к пределу при λ в равенстве (), получим формулу Ньютона-Лейбница (). На практике удобно пользоваться обозначением F (b) F () = F () b. Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в виде: f () = F () b = F (b) F (). Примеры = rctg = [ rctg rctg ( ) ] = = = 5 6 = 5 4 =. 3. e e ln = ln ln e e = ln ln e ln ln e = ln ln = ln. [ π ( 4 π ) ] = π Основные свойства определённого интеграла. Если функция f () интегрируема на отрезке [, b ], то функция k f (), где k = const, также интегрируема на отрезке [, b ], причём k f () = k f (), т. е. постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла. Действительно, k f () = lim λ i= k f (ξ i ) i = lim λ [ k ] f (ξ i ) i = i= = k lim λ f (ξ i ) i = k i= f (). 3. Если функции f () и g () интегрируемы на отрезке [, b ], то их сумма и разность также интегрируемы на [, b ], причём [ f () ± g () ] = f () ± g (), 6

7 т. е. определённый интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) определённых интегралов этих функций. Действительно, = lim λ [ f (ξ i ) i ± i= [ f () ± g () ] = lim λ i= = [ f (ξ i ) ± g (ξ i ) ] i = i= g (ξ i ) i ] = lim λ f () ± i= f (ξ i ) i ± lim λ g (), g (ξ i ) i = i= Замечание. Свойство обобщается по индукции на случай алгебраической суммы любого конечного числа интегрируемых функций. Свойства и называются свойствами линейности определённого интеграла. Следующее свойство [ 3. ] называется свойством аддитивности определённого интеграла. 3. Если функция f () интегрируема на отрезке [, b ] и < c < b, то она интегрируема на каждом из отрезков [, c ] и [ c, b ], причём f () = c f () + f (). ( ) Действительно, по формуле Ньютона-Лейбница f () = F (b) F (), Следовательно, c f () + c что и требовалось доказать. c f () = F (c) F (), c c f () = F (b) F (c). f () = [ F (c) F () ] + [ F (b) F (c) ] = = F (b) F () = f (), Замечание. Формула (*) верна при любом взаимном расположении точек, b и c (если, конечно, все три интеграла существуют). Например, при c < < b будем иметь: = + = = = c + = c +. c c c c c c 7

8 4. Если на отрезке [, b ], где < b, функция f () интегрируема и f (), то Действительно, в этом случае f (). i, f (ξ i ) и i >, Поэтому и, следовательно, σ n = f (ξ i ) i i= f () = lim λ σ n. 5. Если на отрезке [, b ], где < b, функции f () и g () интегрируемы и при этом f () g (), то f () g (). Действительно, так как g () f () на [, b ], то по свойству 4 С другой стороны, по свойству [ g () f () ]. [ g () f () ] = g () f (). Следовательно, g () f (), то есть f () g (). Замечание. Если функции f () и g () неотрицательны на [, b ], то свойство 5 имеет простой геометрический смысл: 8

9 O y f () g () b y = g () y = f () площадь криволинейной трапеции, определяемой на отрезке [, b ] функцией f (), не больше площади криволинейной трапеции, определяемой на отрезке [, b ] функцией g (). 6. Если функция f () интегрируема на отрезке [, b ], где < b, то и функция f () интегрируема на [, b ] и при этом f () b f (). Первую часть этого утверждения мы примем без доказательства. Докажем вторую часть утверждения в предположении, что оба интеграла существуют. Из очевидного неравенства на основании свойства 5 следует, что f () f () f () f () f () f (), а это как раз и означает, что f () f (). Каков геометрический смысл этого неравенства? 5. Оценка определённого интеграла. Теорема о среднем Теорема. Если функция f () интегрируема на отрезке [, b ], где < b, и для всех [, b ] выполняется неравенство где A и B - постоянные, то A (b ) Доказательство. По свойству 5 из () следует, что A A f () B, () f () B (b ). () f () B 9

10 или, согласно свойству, A f () B, откуда доказываемое неравенство () следует на основании того, что = b. С помощью неравенства () можно оценить определённый интеграл, т. е. указать границы, между которыми заключено его значение. Пример. Оценить интеграл π (3 + sin 6 ) sin 6 4, b = π = π ; 3 π π (3 + sin 6 ) 4 π. Теорема о среднем. Если функция y = f () непрерывна на отрезке [, b ], то существует точка ξ [, b ] такая, что f () = f (ξ) (b ). (3) Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница f () = F (b) F (), где F () = f (). Применяя к разности F (b) F () теорему Лагранжа, получим: F (b) F () = F (ξ) (b ) = f (ξ) (b ), ξ [, b ], откуда и следует формула (3). Число f (ξ) = b f () называется средним значением функции f () на отрезке [, b ].

11 f(ξ) O y A ξ b B Замечание. При f () на отрезке [, b ] теорема о среднем допускает простую геометрическую интерпретацию: площадь криволинейной трапеции ABb, определяемой непрерывной функцией f () на [, b ], равна площади прямоугольника с тем же основанием [, b ] и высотой f (ξ), где ξ - некоторая точка отрезка [, b ]. Пусть функция y = f () интегрируема на отрезке [, b ]. Тогда она интегрируема на любом отрезке [, ], где [, b ]. Другими словами, для любого [, b ] существует интеграл f (t) dt. (4) Во избежание путаницы переменная интегрирования обозначена здесь другой буквой. Если = const, а изменяется в пределах отрезка [, b ], то интеграл (4) называется определённым интегралом с переменным верхним пределом. Он определяет на [, b ] функцию от : Φ () = f (t) dt. (5) Теорема Барроу. Если функция f () непрерывна на отрезке [, b ], то производная от интеграла (5) по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в точке : Φ () = d f (t) dt = f (). (6) Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница Φ () = f (t) dt = F (t) = F () F (). Следовательно, Φ () = ( F () F () ) = F () = f (). Замечание. Формула Ньютона - Лейбница была получена в предположении, что подынтегральная функция f () непрерывна на [, b ]. Для разрывных функций она может не иметь места.

12 6. Интегрирование по частям в определённом интеграле Теорема. Если функции u = u () и v = v () непрерывны вместе со своими производными на отрезке [, b ], то имеет место формула u () v () = u () v () b v () u (). () Доказательство. Так как функция u () v () является первообразной для функции u () v () + u () v (), то [ u () v () + u () v () ] = u () v () b, откуда по свойству определённого интеграла следует формула (), которая называется формулой интегрирования по частям в определённом интеграле и записывается короче в виде: u dv = u v b v du. () Пример. e = d ( e ) = e = e 4 (e ) = 4 e + 4 = e + 4 e =. 7. Замена переменной в определённом интеграле Теорема. Пусть дан интеграл f (), где функция f () непрерывна на отрезке [, b ] и пусть введена новая переменная t по формуле = ϕ (t). Если то ) функции ϕ (t) и ϕ (t) непрерывны на отрезке [ α, β ], ) ϕ (α) =, ϕ (β) = b, ϕ ( [ α, β ] ) = [, b ], 3) сложная функция f [ ϕ () ] определена и непрерывна на отрезке [ α, β ], β f () = f [ ϕ () ] ϕ (t) dt. α

13 Доказательство. Существование интегралов, о которых идёт речь в теореме, обеспечено требованиями непрерывности соответствующих функций. Пусть F () - первообразная функции f (), т. е. F () = f () на отрезке [, b ]. Рассмотрим сложную функцию F [ ϕ (t) ]. По правилу дифференцирования сложной функции d df F [ ϕ (t) ] = dt dϕ dt = F () ϕ (t) = f () ϕ (t) = f [ ϕ (t) ] ϕ (t). Это значит, что функция F [ ϕ (t) ] является первообразной для функции f [ ϕ (t) ] ϕ (t) на [ α, β ]. Следовательно, на основании формулы Ньютона-Лейбница β f [ ϕ (t) ] ϕ (t) dt = F [ ϕ (t) ] β α = F [ ϕ (β) ] F [ ϕ (α) ] = α = F (b) F () = f (). Замечание. На практике при вычислении определённого интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной: достаточно применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу по новой переменной с новыми пределами интегрирования. Пример. 3 + = I ; t = +, = t, = t dt ; = = t = ; = 3 = t = ; t ( ) t I = t dt = (t 3 ) dt = t 3 t = ( ) ( ) 8 = 3 3 = 43 ( 4 ) = Интегрирование чётных и нечётных функций в симметричных пределах Пусть функция f () непрерывна на отрезке [, ], симметричном относительно начала координат. Докажем, что f (), если f () чётная функция, f () = (), если f () нечётная функция. Действительно, по свойству аддитивности определённого интеграла f () = f () + f (). () 3

14 В первом интеграле сделаем подстановку = t. Тогда f () = f ( t) dt = f ( t) dt = f ( ). Возвращаясь к равенству (), будем иметь f () = f ( ) + f () = [ f ( ) + f () ]. (3) Если функция f () - чётная, f ( ) = f (), поэтому f ( ) + f () = f () ; если же функция f () - нечётная, то f ( ) = f (), поэтому f ( ) + f () =. Отсюда и из равенства (3) следует утверждение (). Примеры. ) π π cos sin 3 =, ) 3 3 e sin = (т. к. подынтегральные функции нечётны, а промежутки интегрирования симметричны относительно начала координат). Дать геометрическую интерпретацию утверждения (). 9. Несобственные интегралы При выводе формулы Ньютона-Лейбница предполагалось, что в интеграле f () () ) промежуток интегрирования [, b ] конечен и ) подынтегральная функция f () непрерывна на [, b ]. В таком случае интеграл () иногда называют собственным. Если же хотя бы одно из двух указанных условий не выполняется, то интеграл () называется несобственным. I. Несобственные интегралы с бесконечным промежутком интегрирования (-го рода). Пусть функция f () непрерывна при <. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом Φ (b) = f (). () Функция Φ () определена и непрерывна в промежутке [, ) (почему?). По определению полагают f () = lim f (). (3) b 4

15 Если существует конечный предел lim Φ (b), то говорят, что несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования (или несобственный интеграл -го b рода) (3) сходится. Если же этот предел бесконечен или не существует, говорят, что рассматриваемый несобственный интеграл расходится. y y = f () O Если ввести условное обозначение Если f () на [, ), то несобственный интеграл (3) представляет собой площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f () на [, ). Тогда на основании равенства (3) и формулы Ньютона-Лейбница имеем f () = lim [ F (b) F () ]. b F () = lim b F ( b ), то для сходящегося несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом получим обобщённую формулу Ньютона-Лейбница: Пример. + = rctg f () = F () F (). (4) = rctg () rctg = π. Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом f () = lim f () и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами f () = c f () + f (), где c - любая точка из интервала (, ). c Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится ли данный несобственный интеграл или расходится. Для этого могут быть полезными следующие теоремы, которые мы примем без доказательства и проиллюстрируем на примерах. Теорема. Пусть для всех выполняются неравенства f () g (). Тогда этом ) если интеграл f () g () сходится, то g () ; 5 f () также сходится и при

16 ) если интеграл g () также расходится. f () расходится, то и интеграл Примеры.. Исследовать на сходимость интеграл, ( + e ) < ; ( + e ). = =. Следовательно, данный интеграл сходится и его значение меньше.. Исследовать на сходимость интеграл + 3 > 3 = ; + 3. Следовательно, данный интеграл расходится. = = +. Теорема. Пусть f () и g () для всех. Тогда если существует конечный предел f () lim g () = k, то интегралы f () и g () ведут себя одинаково в смысле сходимости, т. е. либо оба сходятся, либо оба расходятся. Теорема 3. также сходится. Если сходится интеграл f (), то интеграл В этом случае говорят, что последний интеграл сходится абсолютно. Пример. Исследовать на сходимость интеграл sin. 3 sin 3 3 ; 3 = = 3 Значит, данный интеграл сходится и притом абсолютно. 6 =. f ()

17 II. Интегралы от разрывных функций (-го рода). Пусть функция f () непрерывна при < b и иммет разрыв в точке = b. Тогда соответствующий несобственный интеграл от разрывной функции (или несобственный интеграл -го рода) определяется формулой f () = lim ε + b ε f () (5) и называется сходящимся или расходящимся в зависимости от того, существует или нет конечный предел (5). Если существует непрерывная на отрезке [, b ] функция F () такая, что F () = f () при < b, то для несобственного интеграла (5) справедлива обобщённая формула Ньютона-Лейбница: f () = lim ε + Пример. b ε f () = lim ε + = = =. [ F (b ε) F () ] = F (b) F () = F () Аналогично если функция f () имеет разрыв в левом конце отрезка [, b ], то есть при =, то по определению f () = lim f (), ε + +ε а если функция f () имеет разрыв во внутренней точке c отрезка [, b ], то f () = c f () + c f () при условии, что оба несобственных интеграла в правой части сходятся. Пример. b. = + = lim ε ε + + lim ε + ε = y ( ) ε ( ) = lim + lim ε + ε + ) ) ( + ε ( = lim ε + ε + lim ε + ε = = = +. O Ошибочное решение: = Таким образом, интеграл расходится. =. 7

18 Для определения сходимости несобственных интегралов -го рода и оценки их значений можно пользоваться следующими теоремами, аналогичными трём предыдущим, которые мы тоже принимаем без доказательства. Теорема. Пусть функции f () и g () непрерывны в промежутке [, b ) и терпят разрыв в точке = b. Пусть, кроме того, при [, b ) имеют место неравенства f () g (). Тогда ) если интеграл и при этом ) если интеграл g () также расходится. g () сходится, то интеграл f () g () ; f () расходится, то интеграл f () также сходится Теорема. Пусть функции f () и g () непрерывны в промежутке [, b ) и терпят разрыв в точке = b. Тогда если существует конечный предел f () lim b g () = k, то интегралы f () и g () либо оба сходятся, либо оба расходятся. Теорема 3. Если знакопеременная функция f () имеет на отрезке [, b ] разрыв только в точке = b и при этом интеграл f () также сходится. f () сходится, то интеграл В последнем случае несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся. Функции, стоящие под знаком несобственного интеграла (5), удобно сравнивать с функциями вида, так как интеграл ( b) α b ( b) α = ( b) α α сходится при α < и расходится при α. Пример Подынтегральная функция имеет разрыв в точке =, поэтому её удобно сравнивать с функцией вида : α 3 < Интеграл 3 = данный интеграл. 3 сходится, так как α = 3 <. Поэтому сходится и 8

19 . Понятие об эйлеровых интегралах Бета-функцией или эйлеровым интегралом -го рода называется интеграл B (p, q ) = p ( ) q. () Интеграл () - несобственный, т. к. пдынтегральная функция имеет разрыв в точке = при p < и в точке = при q <. Можно доказать, что интеграл () сходится при p > и q >. Одно из свойств бета-функции состоит в том, что она симметрична относительно своих аргументов, то есть. B (p, q ) = B (q, p ). В этом легко убедиться с помощью подстановки = t. Действительно, B (p, q ) = p ( ) q = ( t) p t q ( dt ) = t q ( t) p dt = = B (q, p ). Гамма-функцией или эйлеровым интегралом -го рода называется интеграл Γ ( p ) = e p. () Интеграл () - несобственный, так как его верхний предел бесконечен, а кроме того, при p < подынтегральная функция имеет разрыв в точке =. Можно доказать, что интеграл () сходится при p >. Это значит, что гаммафункция Γ ( p ) определена в интервале (, ), но эта функция не является элементарной. Докажем одно важное свойство гамма-функции: Действительно, Γ (p + ) = p Γ ( p ). (3) Γ ( p + ) = e (p+) = e p = [ u = p, dv = e ; du = p p, v = e ] = p e ( e ) p p = p e = + p Γ ( p ). При p = интеграл () легко вычисляется: 9 + p e p =

20 Γ ( ) = e = e =. Подставляя в формулу (3) последовательно значения p =,,..., n, получим: Γ ( ) = Γ ( ) =! Γ ( 3 ) = Γ ( ) = =! Γ ( 4 ) = 3 Γ ( 3 ) = 3 = 3! Γ ( n + ) = n Γ ( n ) = n (n )... = n! Таким образом, при натуральных значениях аргумента гамма-функция совпадает с факториалом: Γ ( n + ) = n! (4) Подчеркнём, что формула (4) верна только для натуральных значений аргумента. Можно доказать, что гамма-функция и бета-функция связаны между собой соотношением B ( p, q ) = Γ ( p ) Γ ( q ). (5) Γ ( p + q ) В частности, Следовательно, ( ) Γ = B = Таким образом, B (, ) = Γ ( ) ( Γ Γ ( ) (, ) = d ( ) = rcsin ( 4 ) Γ ( ) = ) ( ) = Γ. = ( ) = = rcsin ( ) = π ( π ) = π. ( ) = π, 77. (6) С помощью формулы (6) можно вычислить интеграл Эйлера-Пуассона Действительно, полагая = t, получим: Значит, e = e t t dt = e. e = e t t dt = ( ) Γ = π. π. (7)

21 . Приближённое вычисление определённых интегралов Точное вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница не всегда возможно (так как первообразная подынтегральной функции не всегда выражается через элементарные функции) или не представляется целесообразным (поскольку нахождение первообразной часто сопряжено с громоздкими выкладками). В этих случаях, а также в случае, когда подынтегральная функция задана табличным способом, целесообразно вычислять определённые интегралы приближённо. Существуют различные методы приближённого вычисления определённых интегралов. Рассмотрим простейшие из них. I. Формула прямоугольников. Пусть требуется вычислить определённый интеграл y f (). () y y y O y = f () y n n b y n Разобьём отрезок [, b ] точками =,,..., n, n = b на n равных частей длины = b n (шаг разбиения). Введём обозначения y = f ( ), y = f ( ), y = f ( ),..., y n = f ( n ), y n = f ( n ) и составим суммы y + y y n, y + y y n. Каждая из этих сумм является интегральной для функции f () на [, b ] и поэтому приближённо выражает интеграл (): f () b n (y + y + y y n ), () f () b n (y + y y n + y n ). ( ) Эти формулы называются формулами прямоугольников. Если функция f () положительна и возрастает на [, b ], то первая из этих формул выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из "входящих" прямоугольников, а вторая из них - площадь ступенчатой фигуры, состоящей из "выходящих" прямоугольников, изображённых на рисунке.

22 II. Формула трапеций. Мы получим более точную формулу для приближённого вычисления интеграла (), если заменим кривую y = f () не ступенчатой лиy нией, а вписанной ломаной. Тогда вместо прямоугольников бу- y = f () дем иметь трапеции, площади которых равны соответственно B y + y, или O A y y y yn y n n ( y + y f () f () b b + y + y Формула (3) называется формулой трапеций. y + y, y n + y n. Следовательно, y ) n + y n ( ) y + y n + y + y y n. (3) III. Формула парабол (формула Симпсона). Разделим теперь отрезок [, b ] на чётное число равных частей n = m. Две криволинейные трапеции, соответствующие первым двум элементарным отрезкам [, ] и [, ], заменим одной параболической трапецией, ограниченной сверху параболой, проходящей через три точки M (, y ), M (, y ), M (, y ) и имеющей ось, параллельную оси Oy. Уравнение такой параболы имеет вид y = A + B + C и коэффициенты A, B, C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. O y M n y = f () M M M M n M n b n n n M y h M O y M y y h y = A + B + C Аналогичные параболы построим и для других пар элементарных отрезков. Тогда получим параболические трапеции, сумма площадей которых даёт приближённое значение определённого интеграла (). Найдём сначала площадь одной параболической трапеции.

23 Лемма. Если криволинейная трапеция ограничена параболой y = A + B + C, осью O и вертикальными прямыми = h, = h, расстояние между которыми равно h, то её площадь равна где y = f ( h), y = f (), y = f (h). S = h 3 ( y + 4y + y ), Доказательство. Коэффициенты A, B, C в уравнении параболы y = A + B + C определяются из уравнений y = A h B h + C, y = C, y = A h + B h + C. (4) Считая коэффициенты A, B, C известными, найдём площадь параболической трапеции с помощью определённого интеграла: h S = (A + B + C) = h ( A B + C ) h h ; С другой стороны, из (4) следует, что Сопоставляя (5) и (6), получим: ч. и т. д. S = h 3 ( A h + 6C ). (5) y + 4y + y = A h + 6C. (6) S = h 3 ( y + 4y + y ), (7) Так как величины, входящие в формулу (7), в действительности не зависят от положения оси Oy, то эта формула применима ко всем нашим параболическим трапециям: пл. M M M = 3 (y + 4y + y ), пл. M M 3 M 4 4 = 3 (y + 4y 3 + y 4 ), пл. m M m M m M m m = Складывая эти равенства почленно, получим: 3 (y m + 4y m + y m ). f () 3 ( y + 4y + y + y + 4y 3 + y 4 =... + y m + 4y m + y m ) 3

24 или f () 3 [ y + y m + ( y + y y m )+ +4 ( y + y y m ]. (8) Формула (8) называется формулой парабол или формулой Симпсона. Пример. Вычислить приближённо интеграл. Разделим отрезок [, ] на равных частей. Тогда = =,. Составим таблицу значений подынтегральной функции. =, y =, 6 =, 6 y 6 =, 65 =, y =, =, 7 y 7 =, 5884 =, y =, =, 8 y 8 =, =, 3 y 3 =, =, 9 y 9 =, =, 4 y 4 =, 749 =, y =, 5 5 =, 5 y 5 =, I. По первой формуле прямоугольников (): f (), (y + y + y y 9 ) =, По второй формуле прямоугольников ( ): f (), (y + y y 9 + y ) =, II. По формуле трапеций (3): ( y + y f (), ) ( +, 5 + y + y y 9 =, =, ) + 6, 8773 = 4

25 III. По формуле Симпсона (8): f (), 3 [ y + y + (y + y 4 + y 6 + y 8 ) + 4 (y + y 3 + y 5 + y 7 + y 9 ) ] = =, 3 В действительности ( +, 5 +, , 45955) =, f () = ln = ln,


МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

x i Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную трапецию.

x i Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную трапецию. Задача о площади криволинейной трапеции =f() B A f(ξ i ) ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ i ξ 1 2 i-1 i S k 1 f ( ) k Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

6.7. Определенный интеграл и его свойства

6.7. Определенный интеграл и его свойства 7 Определенный интеграл и его свойства Определенный интеграл Пусть функция f ( ) определена на отрезке [,] и пусть i (i,,n )- совокупность точек этого отрезка, таких, что n Назовем эту совокупность точек

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл 89 Решение Если, то Следовательно В случае имеем Итак, интеграл d d lim ( ) lim lim d > < d liml lim l d сходится при > и расходится при Пример Исследовать на сходимость интеграл По формуле (), полагая

Подробнее

Рис. 12. точке. Рассмотрим вопрос о длине дуги l кривой, заданной y f (x), a x b. Впишем в данную гладкую кривую ломаную линию A M

Рис. 12. точке. Рассмотрим вопрос о длине дуги l кривой, заданной y f (x), a x b. Впишем в данную гладкую кривую ломаную линию A M Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Приложения определенного интеграла Длина дуги кривой Определение Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу,

Подробнее

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

Подробнее

dx = F (+ ) F (a) (8.37)

dx = F (+ ) F (a) (8.37) 8.9. Несобственные интегралы До данного момента рассматривались определенные интегралы для случая конечного промежутка интегрирования (отрезка) [, ] и интегрируемой функции на нем. Расширим область применения

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Краткие теоретические сведения Функция F () производная от которой равна данной функции f () т е F ( ) f ( ) называется первообразной функцией функции

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

Тема: Несобственные интегралы

Тема: Несобственные интегралы Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы Лектор Рожкова С.В. 23 г. 5. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: [;] конечен, 2 f ограничена

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 8.. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница В главе 7 рассмотрели процесс интегрирования, который Лейбниц Лейбниц Готфрид Вильгельм 646-76 немецкий философ, математик,

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Определенный интеграл. Основные формулы и теоремы. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница f ( ) F( ) F( ) F( ); () где F() - одна из первообразных для f(), т.е. F f ( ) () Замечание:

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ(

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ( Лекция.. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл Определение Функция F) называется первообразной для функции f) на отрезке [;], если для всех [;] выполнено равенство F)f) Примеры f ) F ) Замечание

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 5-6 Определенный

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.М. СИРОШ

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов.

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов. 9. Определенный интеграл 9.1. Вычисление определенных интегралов. ТЕОРИЯ Определенный интеграл от заданной на отрезке функции можно задать несколькими способами. Важно, что набор средств, доступных для

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ В.Л. КОПОРУЛІН, І.Л. ШИНКОВСЬКА, І.П. ЗАЄЦЬ, Л.Ф.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ В.Л. КОПОРУЛІН, І.Л. ШИНКОВСЬКА, І.П. ЗАЄЦЬ, Л.Ф. МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ В.Л. КОПОРУЛІН, І.Л. ШИНКОВСЬКА, І.П. ЗАЄЦЬ, Л.Ф. СУШКО ВИЩА МАТЕМАТИКА Частина IV Друкується за Планом навчальної та методичної

Подробнее

Методы вычисления определённых интегралов

Методы вычисления определённых интегралов Занятие 7 Методы вычисления определённых интегралов Понятие определенного интеграла f(x) функции y = f(x), определенной на отрезке [ ; b ], является одним из центральных в математическом анализе. Конструкция

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.2

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.2 Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция. Аннотация Определенный интеграл с переменным верхним пределом и теорема о его производной. Формула

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы 7 Занятие Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого и второго рода Понятие определенного интеграла f() от ограниченной функции по конечному отрезку [; b] распространяют на случаи, когда

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Лекция 1. Интегралы. ]. Определенный интеграл от функции f от a до b обозначается и определяется так: n i

Лекция 1. Интегралы. ]. Определенный интеграл от функции f от a до b обозначается и определяется так: n i СА Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Интегралы Понятие определенного интеграла Определение (интеграла) Пусть f непрерывная функция на отрезке [, ] Пусть [, ] разбит на отрезков равной длины x Обозначим

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНИКЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

Тема7. «Численное интегрирование.»

Тема7. «Численное интегрирование.» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема7. «Численное интегрирование.» Кафедра теоретичской и прикладной математики. разработана доц.

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Математический анализ-2

Математический анализ-2 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-2 Баку - 215 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-2. Учебное

Подробнее

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4 I типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание Вычислите неопределенный интеграл I cos d 9 Представим данный интеграл I в виде суммы интегралов: d I cos d d d 9 Используя

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x ГЛАВА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Свойства определенного интеграла Пусть функция y f ( ) задана на отрезке [ ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками n n Интегральной суммой функции f( )

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

РАЗДЕЛ V. Интегральное исчисление функций одной переменной. Введение

РАЗДЕЛ V. Интегральное исчисление функций одной переменной. Введение РАЗДЕЛ V Интегральное исчисление функций одной переменной Введение «Ни для кого не секрет, что математику учат, решая задачи, а не наблюдая, как их решают другие». М.Рид, В. Саймон, Методы современной

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.5

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.5 Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция.5 Аннотация Несобственные интегралы I рода. Определение ограниченное числовое множество. Множество вещественных

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то ЛЕКЦИЯ N4. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем..свойства определенного интеграла.....теорема о среднем значении.....производная интеграла по переменной верхней

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл Методы

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Лекция 7 Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются определенные интегралы, для которых не выполнено хотя бы одно из условий существования определенного (собственного) интеграла: )либо

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b)

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b) Лекция подготовлена доц Мусиной МВ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функции и неопределенный интеграл В прошлой главе мы ввели понятие производной и научились находить производные элементарных функций

Подробнее

= v(τ i ) t i (2.1.1)

= v(τ i ) t i (2.1.1) Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.1 Аннотация Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Теорема об интегрируемости кусочнонепрерывных

Подробнее