Первые интегралы систем ОДУ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Первые интегралы систем ОДУ"

Транскрипт

1 Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1 D. x = f x, x D R n, 1 Опр Первым интегралом системы 1 будем называть функцию u x C 1 D такую, что: 1 u x const ни в какой подобласти области D. 2 Для любого решения x = ϕt ϕ 1 t,, ϕ n t системы 1 u ϕt const. Замечание Иногда первым интегралом называют не функцию u x, а соотношение u x = c; это бывает удобно при практическом решении систем. Пример Рассмотрим систему { ẋ1 = x 1 ; ẋ 2 = 2x 2. Тогда решение этой системы представляется в виде x 1 = c 1 e t, x 2 = c 2 e 2t. Покажем, что функция u x 1, x 2 = x 2 1 x 2 является первым интегралом рассматриваемой системы, например, в области { x 1, x 2 : x1 > 0, x 2 > 0 }. Действительно, u x 1, x 2 const ни в какой подобласти, но если взять решение системы x 1 = c 1 e t, x 2 = c 2 e 2t, то u x 1 t, x 2 t = c2 1 c 2 93 const.

2 Первые интегралы систем ОДУ В дальнейшем нам понадобится понятие функциональной зависимости функций, которое вводится в курсе математического анализа. Напомним его. Опр Пусть D область в R n. Рассмотрим функции u 1 x,, u k x C 1 D. Пусть j один из номеров 1,, k. Скажем, что функция u j x зависима от функций u 1 x,, u j 1 x, u j+1 x,, u k x, если функция ϕ y 1,, y k 1 класса C 1 такая, что u j x = ϕ u 1 x,, u j 1 x, u j+1 x,, u k x, x D. Система функций u 1 x,, u k x называется в этом случае зависимой на множестве D. В противном случае эта система называется независимой. В курсе математического анализа доказываются следующие утверждения, которые нам понадобятся в дальнейшем. Утверждение Пусть 2 k n. Система функций u 1 x,, u k x является зависимой в D, тогда и только тогда, когда ранг матрицы Якоби 1 x меньше k в каждой точке x D. 1 x k x k x Утверждение Пусть 1 p < k n. Рассмотрим в D систему функций u 1 x,, u k x. Предположим, что x D ранг матрицы Якоби 1 x 1 x k x k x равен p < k, и существует x 0 D такая, что Якобиан 1 x 1 x x p 0. p x p x x p x= x 0-94-

3 Первые интегралы автономных систем ОДУ Тогда существует окрестность U x 0 D такая, что система функций u 1 x,, u p x не является зависимой в U x 0, и в то же время функции u p+1 x,, u k x являются зависимыми от функций u 1 x,, u p x в U x 0. Замечание Если функции u 1 x,, u k x линейно зависимы на D, то они, очевидно, и функционально зависимы на D. Действительно, если u 1 x,, u k x линейно зависимы, то существует номер j и числа c 1,, c j 1, c j+1,, c k такие, что u j x = c 1 u 1 x + + c j 1 u j 1 x + c j+1 u j+1 x + + c k u k x. Следовательно, в качестве функции ϕ y в определении 4. 1 достаточно взять ϕ = c 1 y c j 1 y j 1 + c j+1 y j c k y k C 1. Обратное утверждение неверно. Например, функции u 1 x = sin x, u 2 x = cos x зависимы на 0, π, поскольку sin x = 1 cos 2 x 1 2, но, очевидно, эти функции не являются линейно зависимыми. Приведем без доказательства теорему о существовании системы из n 1 независимого первого интеграла. Теорема Пусть дана система 1, где f x C 1 D и точка a D не является положением равновесия этой системы, т.е. f a 0. Тогда в некоторой окрестности точки a существует система из n 1 независимых первых интегралов u 1 x,, u n 1 x. Следующая теорема дает ответ на вопрос о необходимом и достаточном условии, при котором некоторая функция u x является первым интегралом системы 1. Теорема 4. 2 критерий первого интеграла. Пусть дана автономная система 1. Пусть функция u x C 1 D такова, что u x const ни в какой подобласти области D. Тогда справедливо утверждение: u x первый интеграл системы 1 тогда и только тогда, когда grad u x, f x = 0 в D. -95-

4 Первые интегралы систем ОДУ Доказательство. Пусть xt произвольное решение системы 1. Тогда du xt n x n x = ẋ i t = f i x grad u x, f x. 2 dt x i x i i=1 i=1 Если u x первый интеграл системы 1, то u xt const и левая часть равенства 2 равна нулю. Следовательно, обращается в нуль и правая часть 2. Если же grad u x, f x = 0, то обращается в нуль и левая du xt часть 2: dt = 0, а значит u xt const на любом решении xt системы 1, откуда следует, что u x первый интеграл системы 1. Следствие. u x первый интеграл системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1 тогда и только тогда, когда u x 1,, x n решение следующего линейного уравнения в частных производных первого порядка: f 1 x + + f n x = 0. 3 Докажем несколько полезных свойств первых интегралов системы 1. Теорема Пусть u 1 x,, u k x первые интегралы системы 1. Пусть Φ y 1,, y k функция класса C 1. Рассмотрим сложную функцию u x = Φ u 1 x,, u k x. Пусть u x const ни в какой подобласти области D. Тогда u x тоже первый интеграл системы 1. Доказательство. Поскольку u 1 x,, u k x первые интегралы системы 1, то на любом решении xt системы 1 они обращаются в константы: u 1 xt = c 1,, u k xt = c k. Тогда и u xt = Φ u 1 xt,, u k xt = Φ c 1,, c k const, что по определению и означает, что u x первый интеграл системы

5 Первые интегралы автономных систем ОДУ Следствие. Система 1 в окрестности любой точки имеет бесконечно много первых интегралов. Теорема Рассмотрим систему 1. Пусть точка a не является положением равновесия этой системы. Пусть u 1 x,, u n 1 x n 1 независимых первых интегралов системы 1 в окрестности точки a их существование гарантировано теоремой Пусть u x еще один первый интеграл системы 1 в окрестности точки a. Тогда в этой окрестности u x является зависимой функцией от u 1 x,, u n 1 x. Доказательство. В силу теоремы 4. 2 имеем в окрестности точки a: 1 f f n = 0, n 1 f n 1 f n = 0, f f n = 0. Положим x = a. Тогда система 4 представляет собой однородную СЛАУ n-го порядка относительно f 1,, f n, которая имеет ненулевое решение { f 1 a,, f n a }. Следовательно, определитель этой системы равен нулю. Но этот определитель представляет собой Якобиан n 1 n 1 Значит в силу утверждения 4. 1 данного параграфа система функций u 1 x,, u n 1 x, u x является зависимой в некоторой окрестности точки a. В то же время, функции u 1 x,, u n 1 x не являются зависимыми, поэтому в силу того же утверждения 4. 1 ранг матрицы n 1 n x=a 4

6 Первые интегралы систем ОДУ равен n 1, а следовательно, один из миноров n 1-го порядка этой матрицы не равен нулю. Применяя утверждение 4. 2, получаем, что функция u x является зависимой от функций u 1 x,, u n 1 x в некоторой окрестности точки a. Следствие. Если a не является положением равновесия автономной системы 1, то в окрестности этой точки существует ровно n 1 независимых первых интегралов, а любая система из n первых интегралов функционально зависима. Теорема Если для системы 1 в окрестности точки a найдено k независимых первых интегралов, то в окрестности этой точки порядок системы понижается на k единиц. Доказательство. Пусть u 1 x,, u k x k n 1 независимые первые интегралы системы 1. Тогда согласно утверждению 4. 1 матрица Якоби 1 x имеет ранг k. k k Переобозначая переменные, можно считать, что 1 x 1 1 x k det... 0 в окрестности точки a. 5 k k x k Рассмотрим решение x системы 1, проходящее через точку a. Тогда u 1 x 1,, x n c 1, 6 u k x 1,, x n c k на этом решении, в том числе и в точке a. В силу условия 5 к системе 6 можно применить теорему о неявной функции, по которой в окрестности точки a переменные x 1,, x k можно выразить через остальные: x 1 = w 1 x k+1,, x n, c 1,, c k, x k = w k x k+1,, x n, c 1,, c k. -98-

7 Неавтономные системы ОДУ Тогда систему 1 можно переписать в виде ẋ k+1 = f k+1 w 1 x k+1,, x n, c 1,, c k,, w k x k+1,, x n, c 1,, c k, x k+1,, x n ẋ n = f n w 1 x k+1,, x n, c 1,, c k,, т.е. порядок системы понизился на k единиц. w k x k+1,, x n, c 1,, c k, x k+1,, x n, Замечание Если k = n 1, то в теореме 4. 5 получаем уравнение ẋ n = f n w 1 x n, c 1,, c n 1,, w n 1 x n, c 1,, c n 1, x n. Это уравнение с разделяющимися переменными, которое легко решается. Таким образом, нахождение n 1 независимого первого интеграла позволяет полностью решить систему 1 в окрестности неособой точки. 2. Неавтономные системы ОДУ Рассмотрим теперь общую систему уравнений первого порядка x = f x, t, x, t G D [0, T, D R n, 7 f x, t = f 1 x, t,, f n x, t, f i C 1 G. В развернутом виде система 7 запишется следующим образом: dt = f 1 x1,, x n, t, dx n dt = f n x1,, x n, t. Это система n-го порядка. Сведем ее к автономной системе n + 1-го порядка. Для этого введем еще одну переменную x n+1 = t. Тогда систему 7 можно, очевидно, записать в виде dt = f 1 x1,, x n, x n+1, dx n dt = f n x1,, x n, x n+1, dx n+1 dt = 1 f n+1 x1,, x n, x n

8 Первые интегралы систем ОДУ Система 8 это автономная система n + 1-го порядка. Но тогда для системы 8, а значит, и для исходной системы 7, можно ввести понятие первого интеграла, причем будут справедливы доказанные в 1 свойства. Замечание Отметим, что f n+1 1, поэтому у системы 8 нет точек равновесия. Опр Функция u x, t называется первым интегралом системы 7, если 1 u x, t const ни в какой подобласти области G. 2 Для любой интегральной кривой x = xt решения системы 7 u x 1 t,, x n t, t c, t [0, T. Теорема Если f x, t C 1 G, то в окрестности любой точки из G существует система из n независимых первых интегралов системы 7. Доказательство. Как было показано выше, система 7 сводится к автономной системе n + 1-го порядка, причем в силу замечания 4. 4 для этой системы каждая x, t G не является положением равновесия. Поэтому утверждение теоремы следует из теоремы Теорема Пусть u x, t C 1 G и u x, t const ни в какой подобласти области G. Тогда u x, t является первым интегралом системы 7 тогда и только тогда, когда в области G. t + f 1 x, t + + f n x, t = 0 Доказательство. Сразу следует из теоремы В самом деле, так как f n+1 1, то по теореме 4. 2 тот факт, что u x, t первый интеграл системы, равносилен уравнению в частных производных f 1 x, t + + f n x, t + +1 }{{} t f n+1 x, t = 0. }{{}

9 Симметричная запись систем ОДУ первого порядка Следствие. u x 1,, x n, t C 1 G первый интеграл системы 7 тогда и только тогда, когда функция u x 1,, x n, t решение следующего уравнения в частных производных первого порядка: u t + f 1 x, tu x1 + + f n x, tu xn = Симметричная запись систем ОДУ первого порядка Система 7 может быть переписана в виде f 1 x 1,..., x n, t dx n f n x 1,..., x n, t = dt 1, 10 = dt 1. Равенства 10 понимаются как пропорции, т.е. если f i x1,, x n, t = 0, то считается, что и dx i = 0, а соответствующее отношение равно dt. Учитывая примененный в 2 прием по введению новой переменной x n+1 = t, систему 10 можно записать в виде f 1 x1,, x n, x n+1 = = dx n = dx n f n x1,, x n, x n+1 1 Систему 11 можно, очевидно, умножать на любую не равную нулю функцию, и в результате мы придем к системе f 1 x1,, x n, x n+1 = = dx n f n x1,, x n, x n+1 = dx n+1 f n+1 x1,, x n, x n Опр Запись 12 называют записью системы 7 в симметричной форме. При этом предполагается, что хотя бы одна из функций f i x1,, x n, x n+1, i = 1,, n, n + 1 не равна нулю. Рассмотрим автономную систему 1. Будем считать, что f x 1,, x n 0 в окрестности некоторой точки a. Симметричная запись системы 1 будет иметь вид f 1 x 1,, x n = = dx n f n x 1,, x n = dt 1. 13

10 Первые интегралы систем ОДУ В системе 13 n равенств. Но при этом первые n 1 равенств образуют замкнутую систему уравнений учтем, что f x 0 в окрестности точки a. Поэтому автономной системе 1 соответствует еще одна симметричная запись f 1 x 1,, x n = = dx n f n x 1,, x n, 14 где в качестве независимой переменной можно взять ту x i, для которой f i x 1,, x n 0. Замечание Если дана система в симметричной форме 14 и f x f 1 x,, f n x 0 в окрестности некоторой точки a, то эту систему можно рассматривать в двух видах: 1 свести ее к автономной системе 1; 2 выбрать одну из переменных за независимую а именно ту x i, для которой f i x 0, получить неавтономную систему в виде dx i = f 1x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n f i x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n, dx i 1 dx i = f i 1x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n f i x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n, dx i+1 dx i = f i+1x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n f i x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n, dx n dx i = f nx 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n f i x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n. Пример Рассмотрим систему в симметричной форме x 1 x 2 = dx 2 x 2 2 = dx 3 x 2 x в окрестности точки a a 1, a 2, a 3, a2 0. Если мы воспользуемся первым способом, то будем рассматривать автономную систему ẋ 1 = x 1 x 2, ẋ 2 = x 2 2, 16 ẋ 3 = x 2 x Для системы 16 нетрудно получить два независимых первых интеграла. Действительно, первое соотношение в 15 дает x 1 = dx 2 x 2, откуда ln x1 = ln x2 + c1-102-

11 Симметричная запись систем ОДУ и мы получаем первый интеграл в виде Второе соотношение в 15 дает x 1 x 2 = c 1. dx 2 x 2 = dx 3 x 3 + 1, получаем еще один первый интеграл откуда алалогично x x 2 = c 2. Найденные первые интегралы, очевидно, независимы, поскольку в первый из них не входи x 3, а во второй x 1. Теперь в соответствии с замечанием 4. 3 нетрудно получить и общее решение системы 16. Действительно, из второго уравнения имеем dx 2 dt = x 2 2, dx 2 x 2 2 следовательно, = dt, откуда x 2 = 1 c 3 t. Таким образом, получаем решение системы 16 в виде x 1 = c 1 c 3 t, x 2 = 1 c 3 t, x 3 = 1 c 3 t 1. Фазовыми же траекториями будут линии { x1 = c 1 x 2, x 3 = x 2 c 2 1. Систему 15 можно также свести к неавтономной системе вида 17 { dx1 dx 2 = x 1 x 2, x 3 x 2 = x 3+1 x Система 18 легко решается, и, очевидно, общее решение этой системы запишется в виде 17. Таким образом, интегральные кривые неавтономной системы 18 являются фазовыми траекториями автономной системы

12

13 Глава V. Уравнения в частных производных первого порядка 1. Однородные линейные уравнения в частных производных первого порядка Пусть D ограниченная область в R n, x x 1,, x n D. Опр Однородным линейным уравнением в частных производных первого порядка называется уравнение n i=1 a i x x i = 0; n a 2 i x > 0 x D; 1 i=1 здесь u x 1,, x n искомая функция, ai x, i = 1,, n заданные функции. Опр Неоднородным линейным уравнением в частных производных первого порядка называется уравнение n i=1 a i x x i = a n+1 x; n a 2 i x > 0 x D; 1 i=1 a n+1 x 0 в D; a n+1 x также заданная функция. В данном параграфе мы рассмотрим однородное уравнение 1 при условии, что a i x C 1 D. Опр Решением уравнения 1 называется функция u x C 1 D, обращающая это уравнение в верное равенство x D. 105

14 Уравнения в частных производных первого порядка Сопоставим уравнению 1 автономную систему ОДУ вида x = a x, a x a 1 x,, a n x. 2 Опр Система 2 называется характеристической системой для уравнения в частных производных 1, а ее фазовые траектории характеристиками. Теорема Функция u x C 1 D является решением уравнения 1 тогда и только тогда, когда u x первый интеграл системы 2 или u x const. Доказательство. Данная теорема является всего лишь перефразированным следствием из теоремы 4. 2, если это следствие рассматривать с точки зрения не системы, а УЧП. Из свойств первых интегралов, доказанных в предыдущей главе, вытекает, на основании доказанной теоремы 5. 8, следующее свойство решений уравнения 1. Теорема Если функции u 1 x,, u k x являются решениями уравнения 1, а Φ y 1,, y k функция класса C 1 от своих аргументов, то u x = Φ u 1 x,, u k x также является решением уравнения 1. Доказательство. Данная теорема является непосредственным следствием теоремы Теорема В окрестности любой точки P D существует n 1 независимых решений u 1 x,, u n 1 x уравнения 1, а общее решение этого уравнения задается формулой u x = Φ u 1 x,, u n 1 x, 3 где Φ y 1,, y k произвольная функция класса C 1. Доказательство. В силу условия n i=1 a 2 i x > 0 в каждой точке области D, каждая точка P D не является точкой покоя характеристической системы 2, а тогда утверждение теоремы вытекает из теорем 4. 1 и Теорема Любое решение уравнения 1 тождественно равно константе на любой характеристике

15 Задача Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка Доказательство. Если u x решение уравнения 1, то в силу теоремы 5. 8 u x первый интеграл системы 2 или u x const. Но в силу определения первого интеграла u xt const на любом решении системы 2, т.е. на любой характеристике. Пример Решим уравнение x 2 x 1 x 2 = 0 вне точки x x 1, x 2 = 0. Характеристическая система имеет вид x 2 = dx 2 x 1, первым интегралом является, например, x x 2 2 = c. Следовательно, общее решение рассматриваемого уравнения можно записать в виде u = Φ x x 2 2, где Φy C 1. Это семейство поверхностей вращения. 2. Задача Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка Пусть область D R n имеет вид D = D x 0 n h, x 0 n + h, где D область переменных x 1,, x n 1 в R n 1, h = const > 0. Пусть на области D задана функция ϕ x 1,, x n 1 C 1 D см. рис Задача Коши для уравнения 1 заключается в том, чтобы найти решение u x уравнения 1, удовлетворяющее условию u x 1,, x n xn =x 0 n = ϕ x 1,, x n

16 Уравнения в частных производных первого порядка Рис Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Рассмотрим задачу Коши 1, 4. Пусть коэффициенты a i x C 1 D, ϕ x 1,, x n 1 C 1 D. Пусть точка P 0 x 0 1,, x 0 n 1, xn 0 D такова, что an P 0 0. Тогда найдется окрестность точки P 0, в которой существует решение u x задачи Коши 1, 4, и оно единственно. Доказательство. I. Существование решения. Рассмотрим характеристическую систему ẋ 1 = a 1 x, ẋ n = a n x. 2 Поскольку по условию теоремы a n P 0 0, то в силу теоремы 9.1 из главы 9, 1, в окрестности точки P 0 существует n 1 независимых первых интегралов ψ 1 x,, ψ n 1 x системы 2. При этом поскольку a n P 0 0, то по той же теореме 9.1 в указанной окрестности точки P

17 Якобиан Задача Коши для линейного УЧП первого порядка det Сделаем замену переменных ψ 1 Якобиан этой замены D ξ 1,, ξ n D = det x 1,, x n ψ 1... ψ n 1 1 ψ n 1 1 ξ 1 = ψ 1 x1,, x n ξ n 1 = ψ n 1 x1,, x n ξ n = x n. ψ ψ 1 ψ ψ n ψ n 1 ψ n 1 0 в силу условия 5. Таким образом, замена переменных является невырожденной в окрестности точки P 0. Перепишем уравнение 1 в новых переменных. Имеем x k = n ξ j j=1 ξ j x k. Следовательно, уравнение 1 перепишется в виде n n ξ j a k x = 0 ξ j x k или k=1 n ξ j j=1 j=1 n k=1 a k x ξ j x k = 0. Если j = 1, 2,, n 1, то n a k x ξ n j = a k x ψ j = dψ j x k x k dt в силу k=1 k=1 системы = 0, поскольку ψ j x первый интеграл системы 2. Если же j = n, то n a k x ξ n = a n x. x k k=1-109-

18 Уравнения в частных производных первого порядка Таким образом, в новых переменных уравнение 1 записывается в виде a n xξ xξ ξ n = 0. Но в окрестности точки P 0 a n x, поэтому окончательно получаем уравнение xξ = 0. 6 ξ n Начальное условие 4 в новых переменных перепишется в виде u xξ ξn =x 0 n = ϕ x 1 ξ,, x n 1 ξ ξn =x 0 n. Но тогда в силу 6 имеем u xξ = u xξ ξn =x 0 n = = ϕ x 1 ξ1,, ξ n 1, x 0 n,, xn 1 ξ1,, ξ n 1, x 0 n. 7 Таким образом, решение уравнения 1 в окрестности точки P 0 существует и задается формулой 7. II. Докажем единственность решения задачи Коши 1, 4. Пусть, напротив, эта задача в некоторой окрестности точки P 0 имеет два решения u x и v x. Тогда функция w x = u x v x является решением задачи Коши n a i x w = 0, i=1 w = 0. xn =x 0 n Рассмотрим семейство характеристик уравнения 1 в окрестности точки P 0. По условию теоремы a n P 0 0, поэтому применима теорема 9.8 из главы 9, 3, в силу которой существует такая окрестность точки P 0 для которой через каждую точку этой окрестности проходит характеристика и притом единственная. Поскольку в системе 2 a n x 0 в окрестности точки P 0, то, как можно показать, все характеристики пересекаю плоскость x n = x 0 n возможно, для меньшей окрестности точки P 0. Пусть теперь M произвольная точка выбранной окрестности. Проведем через нее характеристику до пересечения с плоскостью x n = x 0 n в некоторой точке P M см. рис

19 Задача Коши для линейного УЧП первого порядка С одной стороны, w P M = 0 в силу 8. С другой стороны, по доказанному в первой части теоремы, w x = const на любой характеристике. Следовательно, wm = 0. В силу произвольного выбора M имеем w x 0 в окрестности точки P 0, т.е. u x = v x. Противоречие. Замечание Геометрически задача Коши 1, 4 заключается в следующем: из каждой точки P плоскости x n = x 0 n в окрестности P 0 выпускаем характеристику; существует некоторая окрестность точки P 0, в которой эти характеристики не пересекаются и заполняют всю окрестность; вдоль характеристики «сносится» значение начальных данных ϕ P без изменения, т.е. зная характеристики, мы решаем задачу Коши. Замечание По характеристикам «сносятся», вообще говоря, разные значения ϕ P с плоскости x n = x 0 n, поэтому решение задачи Коши будет существовать, пока характеристики не начнут пересекаться. Как только это произойдет, решение разрушается см. рис Рис Разрушение решений в точке пересечения характеристик

20 Уравнения в частных производных первого порядка 3. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка Пусть, как и выше, D ограниченная область в R n, x x 1,, x n D, u U, Ω = D U, U некоторый интервал из R 1. Опр Квазилинейным уравнением в частных производных первого порядка называется уравнение n Lu a i x1,, x n, u = b x 1,, x n, u ; 9 x i i=1 при этом предполагается, что n i=1 a 2 i x, u > 0 x, u Ω. Будем также предполагать, что функции a i x, u, i = 1,, n и b x, u C 1 Ω заданные функции. Опр Решением уравнения 9 в области D будем называть функцию u x C 1 D, обращающую это уравнение в верное равенство в каждой точке x D. Геометрически решение уравнения 9 представляет собой поверхность в пространстве R n+1 переменных x, u. Сопоставим квазилинейному уравнению 9 следующее линейное однородное уравнение n a i x1,, x n, u v + b x 1,, x n, v v = x i i=1 Связь между этими уравнениями определяется следующей теоремой. Теорема Пусть v = V x 1,, x n, u решение уравнения 10; пусть точка Q 0 = x 0 1,, x 0 n, u 0 такова, что V 0, V x 0 Q 0 1,, x 0 n, u 0 = 0. В этом случае в силу теоремы о неявной функции соотношение V x 1,, x n, u = 0 11 определяет в окрестности Q 0 некоторую функцию u = ϕx. Тогда утверждается, что функция u = ϕx является решением уравнения 9 в окрестности точки P 0 = x 0 1,, xn

21 Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка Доказательство. Пусть u = ϕx решение функционального уравнения 11. Тогда в силу теоремы о неявной функции ϕ x i = x, u V x i V x, u Подставляя эти выражения в левую часть уравнения 9, получим n V x, u Lϕ = a i x, ϕ x i. 12 i=1. V x, u Но V x, u решение уравнения 10 для всех u, в том числе и для uϕ x. Следовательно, n V x, u a i x, ϕ = b x, ϕ V x, u, x i т.е. i=1 n V a i x, ϕ i=1 поэтому из 12 следует, что V x, u x i x, u Lϕ = b x, ϕ, = b x, ϕ, что и означает выполнение уравнения 9 для функции ϕ x. Теорема доказана. Замечание Уравнение 10 соответствует автономной системе ОДУ ẋ 1 = a 1 x, u, 13 ẋ n = a n x, u, u = b x, u, которую в симметричной форме см. главу 9, 3 можно записать в виде a 1 x, u = = dx n a n x, u = du b x, u

22 Уравнения в частных производных первого порядка Опр Система 13 или в симметричной форме записи 14 называется характеристической системой для квазилинейного уравнения 9. Фазовые траектории системы 13 или, что то же самое, интегральные кривые системы 14 называются характеристиками. Из теоремы с учетом замечания 5. 8 вытекает алгоритм нахождения решений уравнения 9. Алгоритм решения квазилинейного уравнения 1 Записываем характеристическую систему Находим n независимых первых интегралов этой системы ψ 1 x, u = c1,, ψ n x, u = cn. 3 Строим общий интеграл системы 14 в виде v = V ψ 1 x, u,, ψn x, u, 15 где V y 1,, y n произвольная функция класса C 1 от своих аргументов, причем dv du 0 в окрестности некоторой точки Q 0 = P 0, u 0. В силу теоремы 5. 9 формула 15 задает решение линейного уравнения Решение u x уравнения 9 в окрестности точки P 0 находим по теореме о неявной функции как решение функционального уравнения V ψ 1 x, u,, ψn x, u = Замечание Вообще говоря, не исключена возможность существования решений u = ϕ x уравнения 9, которые не получаются из формулы 16, поскольку условия теоремы являются только достаточными для существования решений уравнения 9 и не являются необходимыми. Такие решения могут существовать. Они называются специальными решениями, но мы их рассматривать не будем. Поэтому решение, получаемое из формулы 16, будем называть общим решением уравнения 9 в окрестности точки P

23 Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка Замечание При построении первых интегралов системы 14 в ряде случаев может оказаться, что переменная u войдет только в один из них: ψ 1 x = c 1,, ψ n 1 x = c n 1, ψ n x, u = c n. Тогда общее решение будет находиться из соотношения V ψ 1 x,, ψ n 1 x, ψ n x, u = 0, которое можно по теореме о неявной функции переписать в виде ψ n x, u = f ψ 1 x, u,, ψn 1 x. 17 Разрешив равенство 17 относительно u, мы получим общее решение уравнения 9 в явном виде. В частности, однородное линейное уравнение 1 можно рассматривать как частный случай уравнения 9. Характеристическая система 14 запишется в этом случае в виде a 1 x = = dx n a n x = du 0. Система из n независимых первых интегралов может быть выбрана следующим образом ψ 1 x = c 1,, ψ n 1 x = c n 1, u = c n. Видим, что переменная u войдет только в последний первый интеграл. Решение уравнения может быть записано по формуле 17, которая в данном случае совпадает с формулой 3. Замечание Теорема сводит решение квазилинейного уравнения к решению линейного уравнения, которое в соответствии с теоремой решалось локально в окрестности некоторой точки. Таким образом, мы можем гарантировать разрешимость уравнения 9 тоже только локально, хотя реально полученное решение может существовать и глобально. Пример Решим уравнение x 2 + x 1 x 2 = x 1 x 2. Характеристическая система имеет вид x 2 = dx 2 x 1 = du x 1 x

24 Первое равенство Уравнения в частных производных первого порядка перепишется в виде x 1 = x 2 dx 2 x 2 = dx 2 x 1 и приводит к первому интегралу x 2 1 x 2 2 = c 1. Для получения другого первого интеграла воспользуемся свойством сложения пропорций: d x 2 x 1 = du, x 1 x 2 x 1 x 2 откуда получаем первый интеграл u + x 1 x 2 = c 2. Поскольку u входит только в один из полученных первых интегралов, то получаем решение уравнения в явном виде u = x 2 x 1 + f x 2 1 x 2 2, функция fy произвольная функция класса C 1. Пример Решим уравнение x2 + 2u 2 2x 2 1u x 2 = x 2 1. Характеристическая система запишется в виде x 2 + 2u = dx 2 2 2x 2 1 u = du. Из второго соотношения имеем dx 2 = 2udu, откуда получаем первый интеграл x 2 + u 2 = c Подставляя x 2 = c 1 u 2 в соотношение x 2 +2u 2 откуда x 2 1 = c 1 + u 2 du, а следовательно, x 2 1 = du, получаем dx x c 1 +u 2 = du, x 2 1 Подставляя сюда c 1 x = c 1u + u3 3 + c 2. из 18, получаем еще один первый интеграл x x 2 + u 2 u u 3 = c

25 Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка Тогда общее решение уравнения запишется в неявном виде V x 2 + u 2, x x 2 + u 2 u u 3 = 0, где функция V y 1, y 2 произвольная функция класса C 1 V x 2 + u 2, x x 2 + u 2 u u 3 0. и такая, что Следующие две теоремы объясняют геометрический смысл характеристик квазилинейного уравнения 9. Теорема Всякая интегральная поверхность u = ϕ x 1,, x n уравнения 9 график решения этого уравнения состоит из характеристик в том смысле, что через каждую точку этой поверхности проходит характеристика, целиком лежащая на этой поверхности. Доказательство. Обозначим интегральную поверхность u = ϕ x 1,, x n через S. Пусть P x, u произвольная точка этой поверхности; обозначим через Q проекцию точки P на гиперплоскость переменных x1,, x n см. рис Рис Интегральная поверхность. Рассмотрим систему ОДУ вида ẋ 1 = a 1 x1,, x n, ϕ x 1,, x n, ẋ n = a n x1,, x n, ϕ 19 x 1,, x n

26 Уравнения в частных производных первого порядка Эта система определяет интегральные кривые решения системы в пространстве R n переменных x 1,, x n. Рассмотрим интегральную кривую Γ, проходящую через точку Q рис Пусть в параметрической форме она задается уравнениями x i = x i t, i = 1, 2,, n. В пространстве R n+1 переменных x, u ей будет соответствовать кривая γ, проходящая через точку P и лежащая на поверхности S см. рис Тогда γ задается уравнениями { xi = x i t, i = 1, 2,, n, u = ϕ x 1 t,, x n t 20. Покажем, что кривая γ является характеристикой, т.е. функции x1,, x n, u из 20 удовлетворяют характеристической системе 13. В силу соотношений 19 первые n уравнений системы 13, очевидно, удовлетворяются. Осталось проверить выполнение последнего, n + 1-го уравнения. Имеем du dt = n i=1 ϕ x i ẋ i = n i=1 ϕ x i a i x1,, x n, ϕ x 1,, x n. 21 Но функция u = ϕ x 1,, x n по условию является решением уравнения 9, поэтому последняя сумма в соотношении 21 равна b x 1,, x n, ϕ x 1,, x n. Таким образом, du dt = b x 1,, x n, ϕ x 1,, x n b x1,, x n, u, т.е. и последнее уравнение системы 13 выполнено. Теорема доказана. Справедливо и обратное утверждение. Теорема Если поверхность S, задаваемая функцией u = ϕ x 1,, x n, где ϕx функция класса C 1 своих аргументов состоит из характеристик уравнения 9, то функция u = ϕ x 1,, x n является решением уравнения

27 Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка Доказательство. Пусть параметрически в виде γ характеристика уравнения 9, задаваемая x 1 = x 1 t x n = x n t u = ut. Тогда по определению характеристики функции x 1 t,, x n t, ut удовлетворяют системе 13, а следовательно, ẋ 1 = a 1 x, u ẋ n = a n x, u u = bx, u. Но тогда касательный вектор τ к кривой γ в точке P = x, u имеет вид τ = a 1 x, u,, a n x, u, bx, u. С другой стороны, вектор нормали N к поверхности S в точке x, u имеет вид ϕ ϕ N =,,, 1. Скалярное произведение τ, N = 0, поэтому имеем соотношение a 1 x, u ϕ + + a n x, u ϕ bx, u = 0, которое означает, что функция u = ϕ x 1,, x n удовлетворяет уравнению 9. Замечание Из доказанных теорем вытекает геометрическое построение решения уравнения 9: 1 n независимых первых интегралов характеристической системы 13 можно рассматривать как n-параметрическое семейство характеристик ψ 1 x1, x n, u = c 1 ψ n x1, x n, u = c n, зависящих от n параметров c 1,, c n, и заполняющих некоторую область в пространстве R n+1 переменных x 1, x n, u

28 Уравнения в частных производных первого порядка 2 Наша задача «склеить» из этих характеристик гладкую поверхность, которая будет тогда интегральной поверхностью уравнения 9. 3 Чтобы это сделать, наложим на параметры c 1,, c n гладкую связь: V c 1,, c n = Подставляя в 22 первые интегралы характеристической системы, как раз и придем к формуле 16, задающей общее решение уравнения Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка Для простоты формулировок рассмотрим случай n = 2. Тогда уравнение 9 можно записать в виде a 1 x, y, u + a 2 x, y, u x 2 = b x, y, u, x, y, u Ω R Опр Задача Коши для уравнения 23 состоит в нахождении интегральной поверхности u = ϕx, y решения уравнения 23, проходящей через заданную линию L, которая параметрически задана в виде x = x t y = y t u = u t. 24 Опишем, как решается задача Коши 23, 24. Из результатов предыдущего параграфа вытекает, что общее решение уравнения 23 может быть записано как неявная функция ux, y, получаемая из уравнения V ψ 1 x, y, u, ψ2 x, y, u = 0, 25 где ψ 1 x, y, u = c1, ψ 2 x, y, u = c2 26 два независимых первых интеграла характеристической системы. Таким образом, соотношение 25 представляет собой связь V c 1, c 2 = 0 на параметры c 1, c 2 см. замечание и, в частности, соотношение 22 из предыдущего параграфа. Чтобы решить задачу Коши, нам требуется выбрать такую связь т.е. такую функцию V, чтобы соответствующее однопараметрическое семейство характеристик образующее в силу результатов предыдущего параграфа искомую интегральную поверхность пересекало бы кривую L

29 Задача Коши для квазилинейного УЧП Подставим соотношения 24 в 16: { ψ1 x t, y t, u t = c 1 ψ 2 x t, y t, u t = c Очевидно, характеристики будут пересекать L тогда и только тогда, когда оба соотношения в 27 удовлетворяются при одних и тех же t. Исключая t из 27 если это возможно, мы получаем искомую связь на параметры c 1, c 2 : V c 1, c 2 = Подставляя в 28 первые интегралы из 26, получаем искомое решение задачи Коши: V ψ 1 x, y, u, ψ2 x, y, u = Действительно, формула 29 задает решение уравнения 23 в силу теоремы C другой стороны, в силу 27 и 28 V ψ 1 x t, y t, u t, ψ 2 x t, y t, u t = 0, следовательно, интегральная поверхность, задаваемая соотношениями 29, проходит через линию L. Замечание Если линия L сама является характеристикой, то по определению первого интеграла соотношения 27 выполняются тождественно для любого t, т.е. t из 27 исключить нельзя. В этом случае задача Коши поставлена некорректно, поскольку имеется много решений задачи Коши 23, 24. Геометрически это тоже понятно, поскольку в этом случае все характеристики, «выпущенные» из точек на L, совпадают с L и не будут образовывать никакой определенной интегральной поверхности см. рис

30 Уравнения в частных производных первого порядка Рис L характеристика, S 1 и S 2 2 интегральные поверхности, проходящие через L. Пример Требуется найти решение задачи Коши для уравнения проходящее через линию L x x + y y = u2 x 2 y 2, 30 u = 2x x 2, y = 1 x. 31 Характеристическая система для уравнения 30 имеет вид dx x = dy y = du u 2 x 2 y2. 32 Из первого соотношения находим первый интеграл в виде y x = c Чтобы найти другой первый интеграл, воспользуемся свойством сложения пропорций: dx x = откуда имеем du 2x dx = u 2 x 2 y2 2x 2 = 2y dy 2y 2 = u + x 2 + y 2 x du + 2x dx + 2y dy = u + x 2 + y 2 = du + dx2 + dy 2 u + x 2 + y = d u + x 2 + y 2 u + x 2 + y 2, = c 2. 34

31 Задача Коши для квазилинейного УЧП Общее решение уравнения 30 можно теперь записать в виде см. замечание u + x 2 + y 2 y = f или x x y u = x 2 y 2 + xf f C x 1 произвольная функция. Чтобы решить задачу Коши, подставим в первые интегралы 33 и 34 соотношение 31. Имеем: 1 x x = c 1, 2x x 2 + x x 2 x = c x2 x = c 2. Исключим здесь x и установим соотношение между c 1 и c 2 : из первого равенства x = 1 1+c 1 ; подставив во второе равенство, получим 1 + c c 1 = c 2. Подставляя сюда вместо c 1 и c 2 первые интегралы из 33 и 34, получаем искомое решение задачи Коши: 1 + y x y x = u + x2 + y 2 x или после преобразований u = x 2 y 2 + x + y + x2 x + y

32

33 Литература [1] Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости// М.: «Наука», [2] Камынин Л. И. Курс математического анализа// М., [3] Понтрягин Л. C. Обыкновенные дифференциальные уравнения// М., «Наука», [4] Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений// М.,

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1)

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1) 29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение

Подробнее

6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами.

6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами. Лекция 6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами. Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными действительными

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения

Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА Физический факультет Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения Июль 215 1) Сформулируйте теорему существования решения задачи Коши

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 1.1. Основные определения Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию y (

Подробнее

5. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения

5. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения УРАВНЕНИЯ НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения Уравнениями первого порядка неразрешенными относительно производной называются уравнения вида F ( x ) () Уравнение () можно решать следующими

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА МАТЭМАТЫКА 9 УДК 579 АВ Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА Рассматривается метод построения общего интеграла специальной формы для нелинейного дифференциального

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

DIRECTION FIELDS AND THEIR CORRESPONDING TRAJECTORIES. å. à. Çàòàä M. I. VISHIK. This paper is an introduction

DIRECTION FIELDS AND THEIR CORRESPONDING TRAJECTORIES. å. à. Çàòàä M. I. VISHIK. This paper is an introduction ÇË ËÍ å.à., 1996 DIRECTION FIELDS AND THEIR CORRESONDING TRAJECTORIES M. I. VISHIK This paper is an introduction to the theory of the first order ordinary differential equations on a plane. The following

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

9. Кривые с самопересечениями

9. Кривые с самопересечениями 9. Кривые с самопересечениями На прошлой лекции мы выяснили, что существуют негиперэллиптические римановы поверхности рода g 3, если только g является треугольным числом. Сейчас мы установим, что тоже

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Лекция 11. Оптимальное управление

Лекция 11. Оптимальное управление Лекция 11. Оптимальное управление 11.1 Постановка задачи Задана динамическая система с управлением, описываемая системой дифференциальных уравнений в форме Коши { ẋi = f i (x, u(t)), (11.1) (i = 1,...,

Подробнее

Лекции по теории уравнений с частными производными

Лекции по теории уравнений с частными производными Лекции по теории уравнений с частными производными А. И. Кожанов 13 февраля 2007 г. Стр. 2 MFH Corporation Оглавление 1 Уравнения первого порядка 11 1.1 Уравнения первого порядка......................

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава. 8 1.Понятие дифференциального уравнения.математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями.11 3.Решение

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt Семинар 4 Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в

Подробнее

сил реакций связи обозначим R j . Виртуальной работой сил реакций связи называют величину R = j. Если она равна нулю, то связи

сил реакций связи обозначим R j . Виртуальной работой сил реакций связи называют величину R = j. Если она равна нулю, то связи Вопрос 44 Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Канонические уравнения механики Cвязи, реакции, идеальные связи. Обобщенные коодинаты и их ваиации. Общее уавнение механики Связями называют

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1 Постановка задачи Пусть

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее