ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ."

Транскрипт

1 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие от задачи Коши, в которой все необходимые условия задаются в начальной точке, в краевых задачах часть условий задается в начальной точке, а другая часть условий в конечной точке отрезка, на котором определено дифференциальное уравнение. Поэтому краевые задачи часто называют задачами с нелокальными условиями. Например, для нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка для вектор-функции ( ) ( ), ( ),..., ( ) краевая задача ставится следующим образом: d d n A ˆ f ( ),, ( ) b ( ),, m n n j j ( ) c ( ),, s j j m s n.,,

2 9 Постановка краевых задач 8 Для линейного уравнения n го порядка краевая задача ставится с теми же краевыми условиями. L ( ) ( n) ( ) ( n ) p ( )... p ( ) f ( ), n n, при при n ( j) ( ) a j ( ),, m j n ( j) ( ) b j ( ),, s j m s n., В зависимости от выбора коэффициентов a j и bj можно получать различные виды краевых задач. Исследование уравнения n го порядка достаточно сложно. В нашем курсе мы подробно исследуем краевые задачи для уравнения второго порядка, которые наиболее часто встречаются на практике. Наиболее просто ставится краевая задача для линейного уравнения второго порядка, т.к. в этом случае одно условие задается на конце отрезка при, а другое краевое условие задается при : L( u) ( u) ( u) a( ) u u ( u ( ( ) ) ) b( ) u ( ) c( ) u( ) u( u( ) ) u u., F( ),, Заменой искомой функции ( u ( ) ( ) ( ) u ) ( ) u

3 8 Глава VI граничные условия можно сделать однородными, и тогда получим задачу для функции () в виде L( ) a( ) ( ) b( ) ( ) c( ) ( ) f ( ),, ( ), ( ), где (9.) f ( ) F( ) b( )( u u ) c( ) ( ) u ( ) u ( ) Для оператора L ( ) в (9.) можно ввести сопряженный оператор M ( ), такой, что для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции z() выражение z ( ) L( ) есть производная некоторой функции, если M (z). Для вывода выражения для сопряженного дифференциального оператора рассмотрим выражение: z( ) L( ) d ( a( ) ( ) b( ) ( ) c( ) ( )) z( ) d. Проинтегрировав два раза по частям, получим: z( ) L( ) a( )( z( ) ( ) z ( ) ( )) ( b( ) a ( )) z( ) ( ) ( )(( a( ) z( )) ( b( ) z( )) c( ) z( )) d. Оператор, стоящий под интегралом справа в равенстве, и есть сопряженный с L ( ). Таким образом, имеем M ( z) ( a( ) z( )) ( b( ) z( )) c( ) z( ), и должно выполняться соотношение:

4 9 Постановка краевых задач 83 ( z( ) L( ) ( ) M ( z)) d a( )( z( ) ( ) z ( ) ( )) ( b( ) a ( )) z( ) ( ) или z( ) L( ) ( ) M ( z) d ( a ( )( z ( ) ( ) z ( ) ( )) d ( b( ) a ( )) z( ) ( )) (9.) Полученное выражение называется условием Лагранжа. Если сопряженный оператор M ( ) L( ), то дифференциальный оператор L( ) называется самосопряженным. Получим выражение для самосопряженного оператора. Из условия M ( ) L( ) получаем ( a) ( b) c a b c откуда получаем a a a b b a b или ( a b) ( a b ) Это равенство превращается в тождество при любой функции ( ) C, если выполняется условие b ( ) a ( ). При этом условии получаем самосопряженный дифференциальный оператор второго порядка в виде: L( ) a( ) a ( ) ( ) c( ) ( ) d d ( a( ) ) c( ) ( ) d d В теории краевых задач для самосопряженного оператора обычно обозначают первый коэффициент a ( ) p( ), а c ( ) q( ), причем считается, что p (). В результате получаем краевую задачу в виде:

5 84 Глава VI L( ) ( ) ( ) d d d p( ) d () ( ) () ( ) q( ) ( ). f ( ),,, p( ) (9.3) Формула Лагранжа (9.) при b ( ) a ( ), a( ) p( ), c ( ) q( ) принимает более простой вид: z( ) L( ) ( ) L( z) d (9.4) ( p ( )( z ( ) ( ) z ( ) ( ))) d Естественно, возникает вопрос о возможности существования решения однородной краевой задачи ( f () ).Однородное уравнение в общем случае имеет два линейно независимых решения ( ) и ( ), которые являются решениями задач Коши:. L ( ( )), [, ]. L ( ( )), [, ] ( ), ( ), (9.5) ( ), ( ). Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид ( ) C ( ) C ( ) Постоянные C и C должны быть определены из граничных условий. Подставив общее решение в краевые условия (9.3) получим ) C, ( C ( ) ( C ( ) C( )) ( C ( ) C( )). Определитель этой системы равен

6 9 Постановка краевых задач 85 D ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) Если D, то C C. В результате решение однородной краевой задачи ( ). Однако, при определенных коэффициентах уравнения p() и q (), возможен случай D. Тогда имеем решение системы C и получаем решение однородной краевой, C задачи ) ( ) C ( ( ) ( )). (9.6) ( Константу C обычно находят из нормировки ( ) d. Легко понять, что если решение однородной краевой задачи существует, то другого линейно независимого решения однородной краевой задачи не существует. Предположим, что существует два линейно независимых решения ( ) и ( ). Они должны удовлетворять краевому условию при : ( ) ( ), ( ) ( ). Это однородная алгебраическая система для и. Так как существует ненулевое решение системы, то определитель системы должен равняться нулю: D ( ) ( ) ( ) ( ). Это определитель Вронского для решений дифференциального уравнения. Известно, что если определитель Вронского равен нулю в одной точке

7 86 Глава VI (при ), то он равен нулю при любом [, ]. Следовательно, решения линейно зависимы, т.е. ( ) C ( ), что и требовалось доказать. 3 Формула Грина. Построение решения краевой задачи с помощью функции Грина. Если проинтегрировать формулу Лагранжа (9.4), то получим формулу Грина: d dz zl( ) L( z) d p( ) z d d (3.) Если () и z ( ) удовлетворяют одним и тем же d dz однородным граничным условиям, то z при d d и. Откуда имеем zl( ) L( z) d (3.) при ( z ) ( ) ; ( z) ( ). С помощью формулы Лагранжа можно определить определитель Вронского для двух линейно независимых решений самосопряженного дифференциального оператора второго порядка.

8 3 Формула Грина 87 Т е о р е м а 3.. Если ( ) и ( ) - линейно независимые решения однородного уравнения L (), то их определитель Вронского равен C,, p( ) (3.3) причем при ( ), общее решение можно представить в виде: ( ) d C ( ) C ( ) p( ) ( ) (3.4) Д о к а з а т е л ь с т в о. Из тождества Лагранжа (9.4) при L ( ) L( ) следует d d d ( p( )( ( ) ( ) )) d d d. Следовательно, d d p ( )( ( ) ( ) ) d d C const. d d Т.к. ( ( ) ( ) (, ) - определитель d d Вронского для функций ( ), ( ), причем (, ) следствие линейной независимости ( ) и ( ).Тогда получаем (3.3) C (, ). p( ) Если ( ), то разделив (3.3) на ( ), получим (при ( ) ( ) ), ( () - независима от ) ( ) ( ) ( ) C ( ) p( ) ( ), в

9 88 Глава VI или d ( ) C. d ( ) p( ) ( ) Проинтегрировав, получим окончательно d ( ) ( ) C C, p( ) ( ) т.е. получили выражение (3.4), что и требовалось доказать. Если однородная краевая задача (9.3) имеет только тривиальное решение, то функцией Грина G (, ) называется решение краевой задачи, имеющей разрыв производной в точке, причем этот разрыв равен / p( ). Таким образом функция Грина является решением следующей задачи: d d dg p( ) q( ) G, [, ) (, ] d ( G) ( G) dg(, ) G( d dg(, ) G( d, ), ),, G(, ) G(, ); dg(, ) dg(, ) d d p( ) (3.5)

10 3 Формула Грина 89 Заметим, что из постановки задачи (3.5) следует симметричность функции Грина G (, ) G(, ). Пусть функция Грина существует и единственна (это будет доказано в следующем параграфе). Тогда справедливо следующее утверждение: Т е о р е м а 3.. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, то решение неоднородной краевой задачи существует для любой непрерывной на, функции f () и выражается через функцию Грина в виде: ( ) G(, ) f ( ) d. (3.6) Д о к а з а т е л ь с т в о: Единственность решения задачи (9.3) доказывается от противного. Пусть существуют два решения задачи (9.3) ( ) и ( ). Тогда их разность u ( ) ( ) ( ) является решением однородной краевой задачи, которое, согласно условию теоремы, равно нулю. Следовательно, ( ) ( ). Доказательство представления решения неоднородной задачи в виде (3.6), а, следовательно, и доказательство существования решения, т.к. функция Грина существует, проводится простой проверкой. Доказывается, что, ( ) представленная в виде (3.6), удовлетворяет всем условиям задачи (9.3). Для этого нам необходимо вычислить производные от.т.к. ( ) функция Грина G (, ) имеет разрыв производной в точке, то запишем представление(3.6) в виде ( ) G(, ) f ( ) d G(, ) f ( ) d, (3.7)

11 9 Глава VI В (3.7) имеем интеграл с переменным пределом, одновременно зависящий от как от параметра. Производная от таких интегралов вычисляется по следующим формулам: d d d d K(, ) K(, ) u( ) d K(, ) u( ) u( ) d, K(, ) K(, ) u( ) d K(, ) u( ) u( ) d. Продифференцировав по выражение (3.7), получим dg, dg, ( ) f d f d, d d d dg d dg p( ) ( ) p f d p f d d d d d dg, dg, p( ) f ( ) f ( ) p( ) d d Учитывая, что dg dg, d d p( ) получим p( ) ( ) d dg d dg p f d p d d d d f d f ( ). Откуда получаем. L( ) L( G) f ( ) d L( G) f ( ) d f ( ). Учитывая, что LG ( ) при [, ) и (, ], получаем L( ) f. Следовательно,, ( ) представленная в виде (3.7), является решением уравнения. Краевые условия для

12 3 Существование и единственность функции Грина. 9 ( ) при и выполняются, т.к. этим условиям удовлетворяет функция Грина. 3. Существование и единственность функции Грина. Нам необходимо доказать, что функция Грина как решение задачи (3.5) существует, и это решение единственно. Легко показать, что функция Грина G (, ) является единственным решением задачи (3.5). Для этого предположим, что задача (3.5) имеет два решения G (, ) и G (, ). Введем разность этих функций U(, ) G(, ) G(, ). Из условий сопряжений следует U (, ) U (, ); du (, ) du (, ) d d Т.к. коэффициенты уравнения p( ) C, q( ) C, а du. U C,то это означает, что непрерывна d Следовательно, U(, ) является решением однородной краевой задачи LU ( ) при [, ], ( U ) и ( U ). Согласно условию определения функции Грина, однородная задача имеет только тривиальное решение U(, ). Следовательно, имеем единственность функции Грина (, ) G = (, ) G. Докажем теперь существование функции Грина.

13 9 Глава VI Т е о р е м а 3.. Решение задачи (3.5) для функции Грина существует. Теорема доказывается прямым построением функции Грина в виде C( ),, G ( ) (3.) C ( ),, где ( ) и ( ) - решения задач Коши а. При б. При L ( ), L ( ), (), ( ), ( ). ( ). Заметим, что ( ), ( ),.. Функции ( ) ( ) существуют, согласно теореме существования решения задачи Коши. Причем функции ( ) ( ) линейно независимы. Если бы они были зависимы, т.е. ( ) ( ) удовлетворяла как краевому условию ( ), так и краевому условию ( ) C ( ).Это означало бы, что ( ) - решение однородной краевой задачи, которое по условию тождественно равно нулю. Заметим, что представленная в виде (3.) функция Грина, удовлетворяет уравнению и краевым условиям: LG ( ) при [, ), (, ].. При, выполняются краевые условия ( G) ( G ).

14 3 Существование и единственность функции Грина. 93 Осталось доказать, что можно подобрать C и C чтобы выполнялись условия сопряжения при : G C ( ) C ( ), так, dg d C ( ) C ( ) p( ). Из этой системы находим ( ) C ; p( ) (, ) C ( ) p( ) (, ) Согласно (3.3), p( ) (, )=С=const. Тогда, подставив C и C в (3.), найдем функцию Грина: G (, ) ( ) ( ),, C ( ) ( ),. C Легко видеть, что G (, ) = G(, ). Существование функции Грина для случая, когда однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, доказано.

15 94 Глава VI 3. Постановка краевой задачи при существовании решения однородной задачи. Пусть существует отличная от нуля функция ( ), которая является решением однородной краевой задачи. L( () ), [, ], ( ), ( ) (3.) Как было показано выше, другого решения, линейно независимого к ( ),не существует. Т.к. любое ( ) C ( ) является решением задачи (3.), то для выделения единственного решения однородной краевой задачи вводится нормировка: ( ) d. (3.) Докажем два условия, которым должна удовлетворять постановка краевой задачи при существования решения однородной задачи. Эти условия, добавленные к постановке неоднородной краевой задачи L( ) f ( ), [, ], ( ), ( ) (3.3) должны гарантировать существование и единственность решения. Наиболее просто решается вопрос о единственности решения. На этот вопрос отвечает следующая лемма.

16 3 Постановка краевой задачи 95 Лемма 3.. Однородная краевая задача с дополнительным условием ортогональности решения к ( ) имеет только тривиальное решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Дана задача L ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) d. (3.4) Решение однородной краевой задачи имеет единственное решение ( ). Следовательно, решение нашей задачи имеет решение ( ) C ( ). Подставив в ( ) дополнительные условия, получим ( ) ( ) = ( ) = d C d C, Откуда следует ( ). Однородная краевая задача с дополнительным условием ортогональности решения к решению однородной задачи имеет только тривиальное решение ( ). Доказанная лемма позволяет доказать единственность решения неоднородной краевой задачи.

17 96 Глава VI Т е о р е м а 3.. Неоднородная краевая задача с условием ортогональности решения к решению однородной задачи имеет единственное решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимо доказать единственность решения следующей краевой задачи L( ) f ( ), [, ] ( ), ( ) ( ) ( ) d. Пусть данная задача имеет два решения ( ) и ( ). Тогда разность этих решений u( ) ( ) ( ) удовлетворяет задаче L( u), [, ] ( u), ( u) u( ) ( ) d. Согласно лемме 3., такая задача имеет только тривиальное решение u ( ). Следовательно, ( ) ( ), что и требовалось доказать. Решение неоднородной задачи ( ) должно быть связано с решением однородной задачи. Отсюда следует следующее утверждение

18 3 Постановка краевой задачи 97 Т е о р е м а 3.. Необходимым условием разрешимости неоднородной краевой задачи является ортогональность правой части уравнения f( ) к решению однородной задачи ( ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем две задачи: L( ) f ( ), ( ), ( ), L( ), ( ) ( ), ( ) d, Применяя формулу Грина и учитывая, что ( ) и ( ) удовлетворяют одним и тем же краевым условиям, получим Откуда ( ) L( ( )) ( ) L( ) d. f ( ) ( ) d, (3.5) что и требовалось доказать. Отметим, что полученное условие (3.5), согласно теореме 3., является необходимым условием существования решения краевой задачи. Ниже мы докажем, что условие является также и достаточным.

19 98 Глава VI Таким образом, мы приходим к следующей постановке неоднородной краевой задачи: L( ) f ( ), (, ), ( ), ( ), f ( ) ( ) d, ( ) ( ) d, (3.6) т.е. введены дополнительные условия ортогональности правой части и решения к решению однородной краевой задачи ( ). Заметим, что если однородная задача имеет только тривиальное решение ( ), то дополнительные условия выполняются автоматически, и мы получаем обычную неоднородную краевую задачу. 33.Обобщенная функция Грина и представление решения неоднородной задачи, если существует решение однородной задачи. Наша цель представить решение краевой задачи (3.6) для случая существования решения однородной краевой задачи ( ) через функцию Грина G (, ) : ( ) f ( ) G (, ) d, (33.) где G (, ) - обобщенная функция Грина. Согласно условиям задачи (3.6), решение должно быть ортогонально к ( ). Это означает, что обобщенная функция Грина должна быть ортогональна к ( ), т.е. должно выполняться условие

20 33 Обобщенная функция Грина. 99 G (, ) ( ) d. (33.) Выше мы имели задачу для функции Грина, если однородная краевая задача имеет только тривиальное решение ( ). Для функции Грина G (, ) условие (33.) не выполняется. Для того, чтобы для G (, ) условие (33.) выполнялось, мы можем уравнение для G (, ) сделать неоднородным, следовательно, вместо задачи (3.5) для обобщенной функции Грина мы введем новую задачу: d d dg p q G d ( ) ( ) (, ) (, ), [, ) (, ] ( G ) ; ( G ), G (, ) G (, ); (33.3) dg(, ) dg(, ) d d p( ) Кроме того, должно выполняться условие (33.). Нам необходимо определить, чему равна функция (, ), чтобы выполнялось условие (33.). Для этого применим формулу Грина к функции Грина G (, ) и решению однородной краевой задачи ( ) на отрезках [, ) и (, ]. В результате получим:

21 Глава VI ( ( ) L( G ) G (, ) L( )) d G p( )( ( ) G (, ) ( ( ) L( G ) G (, ) L( )) d G p( )( ( ) G (, ) Сложив эти выражения и учитывая условия задачи (33.3) для G (, ) и задачи (3.) для ( ), получим : ( ) (, ) d p dg (, ) dg (, ) d d ( ) ( ) или ( ) (, ) d ( ). Последнее равенство выполняется, если (, ) ( ) ( ). В результате мы получаем задачу для обобщенной функции Грина:

22 33 Обобщенная функция Грина. d d ( ) ( ) (, ) ( ) ( ), [, ) (, ] ( G ) ; ( G ), G (, ) G (, ); dg(, ) dg(, ) d d p ( ) dg p q G d G (, ) ( ) d (33.4) Из постановки задачи следует, что G (, ) = G (, ). Заметим, что при ( ) = (решение однородной краевой задачи только тривиальное), обобщенная функция Грина G (, ) превращается в обычную функцию Грина. Для вывода представления решения неоднородной задачи через обобщенную функцию Грина применим формулу Грина к G (, ) и ( ) на отрезках [, ) и (, ]. Тогда имеем:

23 Глава VI ( ( ) L( G ) G (, ) L( )) d G p G ( )( ( ) (, ) ( )), ( ( ) L( G ) G (, ) L( )) d G p G ( )( ( ) (, ) ( )). Сложив равенства и учитывая свойства задачи (33.4) и задачи (3.6), получим: ( ( ) ( ) ( ) d G (, ) f ( ) d ( ). Т.к. ( ) ортогональна к ( ), получаем ( ) G (, ) f ( ) d, или, учитывая что G (, ) = G (, ), получим: ( ) G (, ) f ( ) d, (33.5) Т е о р е м а 33.. Необходимым и достаточным условием однозначности и разрешимости неоднородной краевой задачи является условие ортогональности правой части уравнения к собственной функции ( ). При этом

24 33 Обобщенная функция Грина. решение представляется через обобщенную функцию Грина в виде: ( ) G (, ) f ( ) d и оно ортогонально к ( ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проводится путем прямой проверки того, что представление (33.5) удовлетворяет всем условиям задачи (3.6): L( ) f ( ),,, ( ), ( ), ( f ( ) ( ) d ; ( ) ( ) d. где ( ) решение однородной краевой задачи. Т.к. нам будет необходимо вычислить производные от представления (33.5), а функция Грина G (, ) терпит разрыв при, то запишем (33.5) в виде: ( ) G (, ) f ( ) d + G (, ) f ( ) d., Продифференцировав, получим:

25 4 Глава VI dg, ( ) G, f ( ) d dg, G, f ( ) f d. d f d Поскольку функция Грина непрерывна в точке итоге получим, то в dg, dg, f d f d d d ( ). Если и подставить в краевые условия при и, то получим ( ) ( G (, )) f d, ( ) ( G (, )) f d. Функция Грина удовлетворяет краевым условиям. Следовательно,, ( ) представленная формулой (33.5), также удовлетворяет краевым условиям. Теперь вычислим производную

26 33 Обобщенная функция Грина. 5 p( ) ( ) p( ) f d d d d d dg (, ) p f d d dg (, ) d ( ) = dg, d dg ( ) ( ) ( ) d d d - p f p f d dg, d dg p f p f d ( ) ( ) ( ). d d d Так как dg, dg,, d d p( ) то окончательно имеем d dg (, ) p( ) ( ) p ( ) f d d d d d dg (, ) p ( ) f d + f ( ). d Полученные выражения дают нам возможность вычислить дифференциальный оператор нашей задачи L( ) L G f d L G f d f ( ).

27 6 Глава VI Так как обобщенная функция Грина удовлетворяет уравнению L( G) ( ) ( ), [, ) и (, ], то в итоге получаем, что L( ) ( ) ( ) f d f ( ). (33.6) Из (33.6) следует, что, ( ) представленная в виде (33.5), тогда и только тогда является решением задачи (3.6), когда правая часть уравнения f( ) ортогональна к ( ). Осталось проверить еще условие ортогональности и ( ) ( ).Это следует из ортогональности функции Грина G (, ) и ( ): ( ) d f d G, ( ) d, что и требовалось доказать. Все выше сказанное делалось при условии существования обобщенной функции Грина как решения задачи (33.4). Поэтому необходимо доказать следующую теорему. Т е о р е м а 33.. Решение задачи (33.) для обобщенной функции Грина существует и единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть нам известна некоторая функция g (, ), являющаяся решением задачи (33.4) без условия ортогональности к ( ), т.е.

28 33 Обобщенная функция Грина. 5 L( g) ( ) ( ), [, ) (, ] ( g) ; ( g) g(, ) g(, ); dg(, ) dg(, ) d d p ( ) (33.7) Тогда обобщенную функцию Грина, являющуюся решением задачи (33.4), можно представить в виде: G(, ) g(, ) C ( ). Константа С определяется из условия ортогональности G (, ) к ( ). Тогда Откуда имеем g, d C d C( ) g, d Окончательно, имеем представление обобщенной функции Грина в виде G (, ) g(, ) ( ) g(, ) ( ) d (33.8)

29 8 Глава VI Это единственное решение задачи (33.4). Для доказательства существования G (, ) необходимо построить функцию g (, ). Для этого введем две функции ( ) и ( ), являющихся решениями следующих задач Коши: L( ) ( ), [, ], ( ), ( ), (33.9) L( ) ( ), [, ], ( ), ( ), (33.) Заметим, что ( ) и ( ). Причем ( ) и ( ) линейно независимые функции. Докажем это утверждение. Предположим, что ( ) и ( ) линейно зависимы, т.е. ( ) C( ). Это означает, что ( ) ( C) C ( ). Таким образом получаем, что ( ) является решением краевой задачи L( ) ( ), ( ), ( ). Это невозможно, т.к. выше было доказано, что решение неоднородной краевой задачи существует при выполнении условия ортогональности правой части к - решению однородной задачи. Это условие в нашем случае не

30 33 Обобщенная функция Грина. 7 выполняется. Следовательно, ( ) и ( ) - линейно независимы. Определив функции ( ) и ( ), построим функцию g, в виде: g, ( ) ( ) при [, ), ( ) ( ) C ( ) при (, ]. При таком представлении g, удовлетворяет ) всем (33.) условиям задачи (33.7), кроме условия сопряжения при. Подставив (33.) в условия сопряжения, получим ( ) ( ) C ( ) ( ) ( ) (33.) ( ) ( ) C ( ) ( ) ( ) / p( ) Это два уравнения для одного неизвестного С. Из первого уравнения находим: C ( ) ( ) (33.3) Подставив выражение (33.3) во второе уравнение, получим условие разрешимости системы (33. ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) / p ( ) (33.4) Покажем, что условие (33.4) выполняется. Для этого применим формулу Грина к функциям ( ) и ( ) на отрезке [, ]. Тогда имеем: ( ( ) L ( ) L ) d = p( )( ( ) ( ) ( ) ( )) p()( () () () ())

31 Глава VI Т.к. ( ) и ( ), то () () () (). Учитывая, что L, L ( )), получим окончательно ( ) d p( )( ( ) ( ) ( ) ( )) (33.5) Аналогично, применив формулу Грина к функциям ( ) и ( ) на отрезке [, ], найдем ( ) d p( )( ( ) ( ) ( ) ( )) (33.6) Сложив (33.5) и (33.6) и учитывая нормировку ( ), получим: p( )(( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( )), (33.7) Легко видеть, что (33.7) совпадает с (33.4), т.е. условие разрешимости системы (33.) выполняется, и мы нашли правильное С. Подставив (33.3) в (33.), получим, окончательно, ( ) ( ), g, (33.8) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) Таким образом доказано существование функции g,, а, следовательно, и существование G (, ), которая определяется через g, по формуле (33.8). 34. Поведение решения краевой задачи в окрестности, если p ( ). При исследовании краевой задачи считалось, что первый коэффициент уравнения p ( ). Если pв ( ) некоторой точке обращается в ноль, то

32 34 Поведение решения краевой задачи 9 дифференциальный оператор вырождается в алгебраический. В этом случае задача рассматривается раздельно на интервале до точки и после точки, а в точке должны быть введены дополнительные условия, которые обеспечивают существование и единственность решения задачи. Ясно, что без ограничения общности в качестве такой точки можно взять. В этом случае у нас отсутствует краевой условие при. Необходимо ввести новое условие, которое гарантировало бы единственность решения краевой задачи. Как мы увидим в дальнейшем, таким условием является ограниченность решения в точке. Для доказательства этого утверждения рассмотрим поведение решения краевой задачи в окрестности точки, в которой коэффициент p ( ) обращается в ноль. Поведение решения краевой задачи в окрестности точки зависит от того, как обращается в ноль p. ( ) Мы рассмотрим случай линейного обращения в ноль, т.е. будем считать p( ) ( ), ( ). В результате приходим к следующей краевой задаче: d d L( ) p( ) q( ) ( ),,, d d ( ) ( ), p( ) ( ), ( ). (34.) Докажем следующее утверждение

33 Глава VI Лемма 34. Если в задаче (34.) коэффициент q ( ) ограничен, то для ограниченного решения ( ) этой задачи выполняется условие m p( ) ( ) (34.) Д о к а з а т е л ь с т во. Проинтегрируем уравнение (34.) при ( ), где - ограниченная функция. d d p( ) d q( ) ( ) d,. d d Откуда p( ) ( ) Q( ) где Q( ) p( ) ( ) q( ) ( ) d. (34.3) Из ограниченности q ( ) следует ограниченность Q, ( ) откуда получаем m p( ) ( ) m Q( ) C. Покажем, что С=. Из (34.3) имеем Q( ) Q( ) ( ). p( ) ( ) Откуда после интегрирования от до получаем, что Q( ) d ( ) ( ), ( ) (34.4) ( ) Т.к. решение ( ) - ограничено, то при интеграл в (34.4) должен сходится, т.е. Q( ) d m ( ) m ( ) C. ( )

34 34Поведение решения краевой задачи 3 В подынтегральной функции знаменатель стремится к нулю при. Поэтому, чтобы интеграл сходился, необходимо выполнение условия m p( ) ( ) m Q( ). Лемма доказана. Используя результат леммы 34. можно доказать основную теорему о поведении решения в точке, если в этой точке первый коэффициент дифференциального уравнения обращается в ноль. Т е о р е м а 34. Если ( ), ( ) независимые решения уравнения L( ), [, ], а p( ) ( ), ( ), [, ], то если ( ) - ограниченная m ( ) C, то ( ) - неограниченная функция при Д о к а з а т е л ь с т в о базируется на формуле (3.4), выражающей одно линейно независимое решение ( ) через другое ( ). d C C, p( ) ( ) (34.5) Пусть ( ) const.тогда при p ( ) ( ) интеграл в (34.5), равный d ( ) ( ) при, а, следовательно, ( ) при. Получим, что ( ) является неограниченной функцией.

35 4 Глава VI Более сложно исследовать случай, когда ( ) при, т.к. в выражении (34.5) мы получаем неопределенность при. Ее можно раскрыть по правилу Лопиталя. Для этого представим (34.5) в виде C C d : ( ) ( ) ( ) Тогда имеем d d m ( ) m C ( ) d ( ) ( ) C / p( ) ( ) m C m. / ( ) p( ) ( ) C d d или C / p( ) ( ) m C m / ( ) p( ) ( ) Согласно лемме 34., имеем

36 34Поведение решения краевой задачи 5 m p( ) ( ), следовательно, в итоге получаем m ( ), что и требовалось доказать. Следствие. Полученный результат показывает, что условие ограниченности решения задачи (34.) выделяет единственное решение, т.к. другое линейно независимое решение не ограничено. Таким образом, однородная краевая задача (34.) при условии ограниченности решения имеет единственное решение ( ). Рассмотрим теперь решение неоднородной краевой задачи L( ) f ( ),,, ( ) ( ), p( ) ( ), ( ). (34.6) Как было показано в 3, решение задачи (34.6) выражается с помощью функции Грина в виде: ( ) f ( ) G(, ) d, где функция Грина G (, ), является ограниченным решением следующей задачи:

37 6 Глава VI L( G) d dg ( p( ) ) d d q( ) G, [, ) (, ] dg G, при d (34.7) G(, ) G(, ) dg(, ) dg(, ) d d p( ) Функцию Грина представляют в виде C ( ) ( ), [, ), G (, ) C ( ) ( ), (, ], (34.8), где функции ( ) и ( ) являются решениями следующих задач Коши: L( ), [, ], (34.9) ( ) (), ( ) q() L( ), [, ], ( ), ( ) (34.) В задаче (34.) начальные условия выбраны так, чтобы ( ) удовлетворяла граничному условию при а в задаче (34.9) начальные условия выбраны так, чтобы выполнялось уравнение L ( ) при : ( p( ) p ( ) ( ) q( ) ( )) () () q() ()

38 34Поведение решения краевой задачи 7 Постоянная в (34.8) находится из условия разрыва производной функции Грина при. C ( ( ) ( ) ( ) ( )) p( ) Откуда C (, ) p( ), (34.) где (, ) - определитель Вронского. 35. Построение решения дифференциального уравнения в виде степенных рядов. Уравнение Бесселя. Если коэффициенты дифференциального уравнения представляют собой степенные функции, то решение такого уравнения можно представить в виде степенного ряда. Рассмотрим этот метод применительно к уравнению Бесселя, которое можно получить из самосопряженного уравнения второго порядка, если положить p( ), q( ) : d d ( ) ( ) d d (35.) или ( ) ( ) ( ) (35.)

39 8 Глава VI Представим решение в виде степенного ряда ( ) a (35.3) Подставив это представление в уравнение (35.), получим: или ( ) a m a (( m ) a a ) m m m Откуда получаем am a ; am ; m [, ) ( m ) Это означает, что a( ) a ; a ; [, ) 4 (35.4) Из (35.4) следует, что a a ( ) ; [, ) (!) (35.5)

40 35 Уравнение Бесселя 7 Формула (35.5) легко доказывается методом математической индукции. Подставив (35.5) в степенной ряд (35.3), получим ограниченное решение уравнения Бесселя: a ( ) ( ) ;!. (!) Из условия ( ) выбираем a. В этом случае ( ) J( ) - функция Бесселя нулевого порядка J ( ) ( ) (!) Полученный ряд сходится абсолютно и равномерно. (35.7) Задачи к VI главе.. Найти решение краевых задач, [, / ].. (), ( / ).., [, ] ( ), ( ) ( ), [, ].3. (), ( ). Построить функцию Грина для краевых задач

41 Глава VI f ( ), [, ].. (), ( )...3. f ( ), [,] ( ), ( ) f ( ), (, ) ( ) ограничено при 3. При каких краевая неоднородная задача, [, ] (), ( ) не имеет решения? 4. Найти решение неоднородной краевой задачи sn, [, ] 4.. (), ( ) 4.. e, [,] ( ), ( ) Глава VII Задачи на собственные значения дифференциальных уравнений.

42 36 Задача Штурма Лиувилля 36. Задача Штурма Лиувилля и ее свойства. В предыдущих параграфах мы видели, что у краевой однородной задачи либо существует только тривиальное решение, либо отличное от нуля решение ( ). Пусть у однородной задачи d d L( ( )) ( p( ) ) q( ) ( ), [, ] d d ( ) ; ( ) (36.) существует только тривиальное решение ( ). Поставим следующий вопрос: можно ли так изменить коэффициент q (), чтобы при новом коэффициенте существовало решение однородной задачи. Введем следующее изменение коэффициента qнов q( ) ( ), т.е. из qвычитается ( ) некоторая функция ( ), умноженная на число. В результате получаем новую однородную краевую задачу: L( ) ( ) ( ), [, ] ( ) ; ( ) ; p( ) ; ( ) (36.) Задача Штурма Лиувилля заключается в определении множества, при которых существуют отличные от нуля решения задачи (36.) ( ). В дальнейшем будет показано, что существует бесконечное число (называемых собственные значения дифференциального оператора) и соответствующих собственных функций

43 Глава VII ( ) решений однородной задачи (36.). Таким образом, имеем следующую постановку задачи Штурма-Лиувилля: Найти собственные значения, при которых однородная краевая задача (36.) имеет нетривиальные решения, ( ) - собственные функции. Предполагаем, что не является собственным значением. Рассмотрим свойства этой задачи. Т е о р е м а 36.. Если собственное значение задачи Штурма-Лиувилля, то ему соответствует единственная собственная функция ( ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существуют две собственные функции ( ) и z ( ). Тогда они должны быть линейно независимы. Но при выполняется граничное условие z () () z () (). (36.3) Т.к. существует отличное от нуля решение (, ) линейной системы (36.3), то однородная алгебраическая система должна иметь определитель, равный нулю. Следовательно, определитель Вронского. (, z ) при Тогда имеем, что определитель Вронского (, z ) при (, ). Следовательно, решения

44 36 Задача Штурма Лиувилля 3 z C. ( ), z ( ) - линейно зависимы, т.е. ( ) ( ) Следовательно, возможна только одна собственная функция для данного. Т е о р е м а 36.. Собственные функции и m ортогональны с весом ( ), т.е. m Д о к а з а т е л ь с т в о. ( ) ( ) ( ) d m. (36.4) Т.к. ( ) и m краевым условиям, то из формулы Грина имеем m ( ) удовлетворяют одним и тем же ( ) L m ( ) m ( ) L ( ) Подставим L( s) s ( ) s( ), получим d. ( ) ( ) ( ) d, m m что и требовалось доказать. m, Т е о р е м а Для граничных условий I или II рода ( ) (или ( ) );( ) (или ( ) ) и при q( ) все собственные значения задачи Штурма - Лиувилля положительны, n.

45 4 Глава VII Д о к а з а т е л ь с т в о. Умножим уравнение Штурма-Лиувилля при n на n ( ) и проинтегрируем по. Тогда d dn n( ) p q( ) n( ) n ( ) n( ) d d d. Откуда найдем: n q( ) n ( ) d d d ( ) n dn p d ( ) d n ( ) d Проинтегрировав по частям и учитывая граничные условия, получим;. d d d p n ( ) p( ) ( ) ( ) p( ) n n n n d d d d. Учитывая граничные условия для ( ) при и, получим

46 37 Редукция задачи Штурма-Лиувилля 5 n ( )[ n ( )] ( ) n ( ) ( ) n ( ) d p d q d. (36.5) Т.к. p( ), ( ), q( ), то имеем. что и требовалось доказать. Дополнение. Результат теоремы 36.3 переносится и на третье краевое условие ( ) ( ) ( ),если, и на условие ( ) ( ) ( ),если,. 37. Редукция задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

47 6 Глава VII Запишем задачу Штурма-Лиувилля в виде неоднородной задачи: L( ) f, f ( ) ( )=. (37.) Т.к. не является собственным значением, то однородная задача (37.) имеет только тривиальное решение. Следовательно, согласно теореме 3., решение неоднородной задачи может быть представлено через функцию Грина G(, ) в виде: ( ) G(, ) f ( ) d, [, ] Подставив f( ) ( ) ( ), получим однородное интегральное уравнение второго рода: ( ) G(, ) ( ) ( ) d, [, ] (37.) Для дальнейших исследований мы будем использовать результаты теории Шмидта для интегральных уравнений с симметричным ядром. Поэтому необходимо симметризовать уравнение (37.). Введем новую функцию ( ) u( ) ( ), ( ). Тогда интегральное уравнение (37.) запишется в виде: u( ) K(, ) u( ) d (37.3)

48 37 Редукция задачи Штурма-Лиувилля 7 K(, ) ( ) ( ) G(, ). Т.к. G(, ) = G(, ), то ядро K(, ) K(, ), т.е. (37.3) - интегральное уравнение с симметричным ядром, и мы можем использовать теорию Шмидта. Для интегрального уравнения (37.3) можно поставить задачу на собственные значения так же, как и для задачи Штурма-Лиувилля: найти собственные значения, при которых существует собственная функция u ( ), являющаяся решением однородного интегрального уравнения (37.3). Докажем эквивалентность задачи на собственные значения для интегрального уравнения и задачи Штурма-Лиувилля. Пусть существует собственное значение собственная функция u ( ) (35.3), т.е. выполняется тождество и интегрального уравнения u ( ) K(, ) u ( ) d, [, ] Тогда выполняется тождество ( ) G(, ) ( ) ( ) d, [, ] Необходимо доказать, что ( ). (37.4)., представленное выражением (37.4), является решением задачи Штурма- Лиувилля. Для этого продифференцируем (37.4) G (, ) ( ) ( ) ( ) d. (37.5) Если (35.4) и (35.5) подставить в краевые условия задачи Штурма Лиувилля, то получим

49 8 Глава VII ( ) ( G(, )) ( ) ( ) d ( ) ( G(, )) ( ) ( ) d (37.6) Согласно определению функции Грина (3.5) ( G ) и ( G ). Следовательно, из (37.6) получаем краевые условия для ( ) : ( ) ; ( ) (37.7) Теперь нужно доказать, что ( ) удовлетворяет уравнению задачи Штурма-Лиувилля. Нам необходимо вычислить ( p( ) ( )). Т.к. функция Грина G (, ) имеет разрывную производную, то запишем: ( p( ) ( )) d dg(, ) p( ) d d ( ) ( ) d d dg(, ) p( ) d d ( ) ( ) d. Продифференцировав, получим

50 37 Редукция задачи Штурма-Лиувилля 9 d dg (, ) ( p( ) ( )) p( ) ( ) ( ) d d d dg(, ) p( ) ( ) ( ) d dg(, ) + p( ) ( ) ( ) d d dg (, ) p( ) ( ) ( ) d. d d Сложив полученное выражение с q( ) ( ) определенное (37.4), найдем: L( ) L( G) ( ) ( ) d L( G) ( ) ( ) d dg(, ) dg(, ) p( ) ( ) ( ). d d Учитывая свойства функции Грина G (, ), определенной задачей (3.5): LG ( ) при [, ) и (, ] dg(, ) dg(, ) p ( ), d d получим выражение L( ) ( ) ( ), совпадающее с уравнением Штурма Лиувилля (36.). Таким образом, доказана эквивалентность задачи на собственные значения для дифференциального уравнения (36.) и задачи для интегрального уравнения (37.3).,

51 3 Глава VII В дальнейшем мы будем опираться на несколько утверждений для интегральных уравнений с симметричным ядром, которые примем без доказательства.. Собственные значения для интегрального уравнения с симметричным ядром существуют.. Если число собственных значений интегрального уравнения (37.3) конечно, то ядро уравнения называется вырожденным и представимо в виде: n um( ) um( ) K (, ). (37.8) m m В соответствии с этими утверждениями, мы можем утверждать, что задача Штурма Лиувилля имеет собственные значения и собственные функции. Докажем теперь, что их бесконечное (счетное) множество. Т е о р е м а 37.. Ядро K(, ) интегрального уравнения (37.3) является невырожденным, а, следовательно, у него и у задачи Штурма-Лиувилля существует бесконечное (счетное) множество собственных значений и соответствующая им бесконечная последовательность () собственных ортонормированных функций. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что ядро K(, ) вырожденное, т.е. n K(, ) um( ) um( ) m m n, и мы имеем конечное число собственных значений. Тогда, согласно (35.3), имеем функцию Грина n u ( ) u ( ) G (, ) m m. ( ) ( ) m m

52 37 Редукция задачи Штурма-Лиувилля 3 Учитывая, что um( ) ( ) m( ), где m( ) собственная функция задачи Штурма-Лиувилля, получим n G(, ) m( ) m( ) m m Функции m( ) удовлетворяют дифференциальному уравнению второго порядка, т.е. m ( ) C. Конечная сумма таких функций тоже является дважды непрерывно дифференцируемой функцией, т.е. G(, ) C. Однако, это невозможно, т.к. функция Грина имеет разрывную производную. Следовательно, K(, ) невырожденное ядро, которое имеет бесконечное число собственных значений и собственных функций u. При этом собственные функции образуют ортонормированную систему, если m u ( ) u ( ) d m, если m Учитывая, что интегральное уравнение эквивалентно задаче Штурма Лиувилля, можно утверждать, что задача Штурма Лиувилля имеет бесконечное число собственных значений u ( ) и собственных функций, которые ( ) ортогональны с весом ( ):, если m ( ) ( ) ( ) d m, если m что и требовалось доказать. (37.)

53 3 Глава VII 38. Решение неоднородного интегрального уравнения с симметричным ядром. Теорема Стеклова. Излагаемые в этом параграфе результаты опираются на теорему Гильберта-Шмидта о разложимости функции по собственным функциям интегрального уравнения с симметричным ядром. Прежде чем дать формулировку теоремы, рассмотрим следующее определение. Функция f( ) называется истокообразно представимой через ядро интегрального уравнения K(, ), если существует такая непрерывная функция h( ) C, [, ], что f ( ) K(, ) h( ) d. (38.) Т е о р е м а Гильберта Шмидта. Если функция f( ) является истокообразно представимой через ядро K(, ), то она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям интегрального уравнения um( ) m K(, ) um ( ) d, (38.) f ( ) fmum( ); fm f ( ) um( ) d m. (38.3) Опираясь на теорему Гильберта-Шмидта, получим решение неоднородного интегрального уравнения с симметричным ядром:

54 38 Решение неоднородного интегрального уравнения 33 u( ) K(, ) u( ) d f ( ), [, ], (38.4) Пусть правая часть уравнения является истокообразно представимой, т.е. она может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд (38.3). Тогда, умножив (38.4) на u m и проинтегрировав от до, получим m c u ( ) d K(, ) u( ) d где m f m, (38.5) c u( ) u ( ) d. (38.6) m m Заметим, что благодаря симметричности ядра, можно записать u ( ) K(, ) u ( ) (, ) ( ) m m d K um d Подставив это равенство в (38.5), получим или m m c u( ) u ( ) d Откуда находим c m m ( ) f. m m f m m. cm fm f m. (38.7) m Зная c m, мы можем найти решение неоднородного интегрального уравнения в виде:

55 34 Глава VII u c u f m m m m Ряд в (38.8) сходится абсолютно и равномерно, что и требовалось доказать. m f u. (38.8) m m По собственным функциям можно разлагать в ряд функции, заданные на отрезке,. Возможность такого разложения определяет теорема Стеклова. Т е о р е м а Стеклова. Если дважды непрерывно дифференцируемая на, функция z удовлетворяет однородным граничным условиям z и z, то она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на функциям задачи Штурма-Лиувиля., ряд по собственным Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как z дважды непрерывно дифференцируемая функция, то L( z) Легко показать, что f, где f непрерывная функция. z истокообразно представима по ядру интегрального уравнения K,. Т.к. z удовлетворяет неоднородному уравнению и

56 38 Решение неоднородного интегрального уравнения 35 соответствующим краевым условиям, то она представима через функцию Грина краевой задачи G, в виде: z( ) G(, ) f ( ) d. (38.9) Учитывая, что K(, ) G(, ) ( ) ( ) из (38.9) получим где ( ) z( ) K(, ) h( ) d, ( ) f ( ) ( ) h непрерывная функция. Следовательно, ( ) z( ) истокообразно представимая функция, и, согласно теoреме Гильберта-Шмидта, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям интегрального уравнения (38.): ( ) z( ) Cnn u ( ) n, (38.) Cn ( ) z( ) un( ) d Собственная функция интегрального уравнения un( ) связана с собственной функцией задачи Штурма Лиувилля n ( ) соотношением un( ) ( ) n( ). Подставив это соотношение в (38.), получим, окончательно, разложение функции zв ( ) ряд по собственным функциям задачи Штурма Лиувилля:

57 36 Глава VII z( ) Cnn( ), n Cn z( ) n( ) ( ) d, (38.) причем ( ) n ( ) d, что и требовалось доказать. 39. Задачи на собственные значения для уравнения с постоянными коэффициентами. Рассмотрим простейшую задачу для уравнения с постоянными коэффициентами, когда p( ), q( ), а граничные условия первого рода. Тогда задача Штурма-Лиувилля (36.) будет иметь вид: d ( ) ( ), [, ] d () ; ( ) (39.) Общее решение уравнения (39.) равно: ( ) Csn Ccos (39.) Подставив в граничные условия задачи, получим: C, C sn ; C Откуда получаем n, где любое натуральное число n [,,3,... ). В результате находим собственные числа

58 39 Задачи на собственные значения 37 задачи n n ( ) и, соответственно, собственные функции ( ) sn n n C. (39.3) Постоянную C легко определить из условия n ( ) d. Откуда находим C функция равна ( ) sn n n, и собственная. (39.4) В случае краевых условий второго рода имеем задачу Штурма-Лиувилля в виде d ( ) ( ), [, ] d () ; ( ) (39.5) Подставив общее решение (39.) в граничные условия, получим C, C sn ; C откуда находим n n ( ) ( ) cos n n и собственную функцию. (39.6) Если одно граничное условие первого рода, а другое второго рода, т.е.

59 38 Глава VII d ( ) ( ), [, ] d () ; ( ) (39.7) то собственные значения получаются другими. Подставив общее решение (39.) в граничные условия, найдем C C cos ; C (n ) Откуда находим n ( ), а собственные функции имеют вид (n ) n( ) C sn. (39.8) Из нормировки находим C. Наиболее сложно определяются собственные значения в случае условия третьего рода. Например, рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля d ( ) ( ), [, ] d (39.9) () ; ( ) ( ) Подставив общее решение (39.) в граничные условия, найдем: C ; C cos sn. Откуда для определения получаем уравнение tg. (39.)

60 39 Задачи на собственные значения 39 Если обозначить и, то получим уравнение tg. (39.) Определив корни этого уравнения n, n [, ), найдем собственные значения n n и собственные функции ( ) sn n n. (39.) Рисунок Корни n находятся как значения, при которых пересекаются функции tg и. На рис показано получение этих корней. При (n ) n, n,чем больше, тем быстрее n выходят на асимптотические значения. 4. Собственные функции краевой задачи для уравнения Бесселя. В 35 было рассмотрено уравнения Бесселя d d ( ) ( ), d d

61 4 Глава VII Ограниченным решением которого является функция Бесселя нулевого порядка J ( ) ( ) (!) Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя нулевого порядка ставится следующим образом: найти собственные значения n для краевой задачи d d ( ) ( ), [, ] d d ( )., (4.) при которых существуют ограниченные решения краевой задачи (4.). Если сделать замену переменного t, то задача (4.) примет вид d dz ( t ) tz( t), t [, ] dt dt (4.) Z( ) ; Z( t) ( t ) Уравнение Бесселя (4.) имеет ограниченное решение Z( t) J ( t ). Следовательно, решение задачи (4.) равно: ( ) J ( ), (4.3) n где n находятся из граничного условия J ( ) n. (4.4) Если обозначить нули функции Бесселя n, где J ( n), n [, ), (4.5) то мы находим собственные функции задачи (4.) в виде: n

62 4 Собственные функции краевой задачи 4 n n( ) J( ). Для функции Бесселя известна асимптотика при больших значениях аргумента: ( ) cos( ) ( 3 ) 4 J O. (4.6) Следовательно, при больших корни Бееселевой функции будут близки к корням уравнения или cos( n ) ; n ( n ), 4 4 n n, n [, ). (4.7) 4 В таблице 4. приведены значения точных корней приближенных n. n и Таблица 4. n n,448 5,5 8,6537,795 4,939 n,356 5,4978 8,6394,78 4,96 Легко видеть, что уже при n приближенное значение отличается от точного всего на,4 %, а при n 4 они отличаются всего на, 9 %. Поэтому, начиная с n 4, можно при расчетах пользоваться асимптотической формулой (4.7) для определения n.

63 4 Глава VII Задачи к VII главе.. Найти собственные числа и собственные функции следующих краевых задач , [, ] (), ( ), [, ] (), ( ), [, ] (), ( ), [, ] (), ( ) ( )

64 4Понятие функционала и вариации 43 ГЛАВА VIII Вариационное исчисление. 4.Понятие функционала и вариации. Постановка вариационной задачи. Необходимое условие экстремума. Определение 4. Функционалом называется отображение множества функций Y в множество чисел. Обычно описание некоторого процесса мы получаем в виде функции, зависящей от времени или пространственных координат. Однако на практике очень часто необходимо знать интегральные характеристики процесса. Например, не только траекторию движения объекта, но и время необходимое на переход по траектории из точки А в точку В, т.е. функции, описывающей траекторию, ставится в соответствие скалярная величина (время в пути). Если ( ) - траектория, а v(, ) - скорость движения в зависимости от координат положения объекта, то время T, затраченное на прохождение траектории из точки (, ( )) в точку (, ( )), определяется функционалом T ( ) v(, ) d; ( ), ( ) (4.)

65 44 Глава VIII Вариационное исчисление изучает методы определения максимальных (или минимальных) значений функционала. Вариационными задачами называют задачи, в которых необходимо исследовать функционал на экстремальные значения. Вариационная задача может быть поставлена на закрепленных концах функции или на подвижных границах, когда значения функции на концах отрезка неизвестны. В нашем курсе будут рассматриваться только задачи с закрепленными концами. Определение 4.. Вариацией, или приращением функции ( ) (аргумента функционала) называется разность функций ( ) ( ), где ( ) - фиксированная функция, а ( - ) произвольная функция из множества Y, на котором определен функционал. Т.к мы рассматриваем вариационные задачи с закрепленными концами, то должно выполнятся условие ( ) ( ). Определение 4.3 Функционал [ ( )] называется непрерывным, если малым изменениям аргумента ( соответствует ) малое изменение функционала. Естественно, возникает вопрос о том, в каком смысле понимать малость вариации функции ( ) ( ). Определение 4.4. Функции ( ) и ( ) считаются близкими в смысле к-ого порядка, если ( ) C и ma ( ) ( ),..., ( ) ( ) [, ] C ( ) ( ) (4.3)

66 4Понятие функционала и вариации 45 Определение 4.5 Функционал [ ( )] называется непрерывным при ( ) в смысле близости к-ого порядка, если для любого положительного можно найти такое δ, что ( ) ( ), если Определение 4.6. Линейным функционалом называется функционал, удовлетворяющий условиям L( ) L( ) L( ), (4.5), const. Например, линейным является функционал так как L( ) ( p( ) q( ) ) d, L( ) ( p( )( ) q( )( )) d ( p( )( ( )) q( )( ( )) d ( p( )( ( )) q( )( ( )) d L( ) L( ). Определение 4.7 Вариацией функционала называется главная, линейная по отношению к часть приращения функционала.

67 46 Глава VIII Если приращение функционала можно представить в виде L ( ),, ma (4.6) где, при ma ( ), а L ( ), -линейный по отношению к функционал, то вариация ( ) L ( ), (4.7) Используя (4.6) и (4.7), можно получить легкий способ определения вариации функционала. Для этого введем параметр в значении вариации функции. Тогда, согласно (4.6) и (4.7), имеем: ( ) L ( ),, ma (4.8) Учитывая, что L ( ), - линейный по отношению к функционал, то L ( ), L ( ), Следовательно,

68 4Понятие функционала и вариации 47 L ( ),, ma Откуда получаем L, [ ] или, учитывая (4.8), имеем вариацию функционала [ ] [ ( ) ] (4.9) Именно по формуле (4.9) в дальнейшем будем вычислять вариацию функционала. Естественно, при этом должна существовать производная [ ( ) ]. Если производная не существует, значит, не существует и вариации функционала. Необходимое условие экстремума функционала. Определение 4.8 Функционал ( ) достигает на кривой ( ) ma (или mn), если значение функционала ( ) на любой близкой к ( ) кривой не больше (не меньше), чем ( ), т.е. или ( ).

69 48 Глава VIII Т е о р е м а 4. Если функционал ( ), имеющий вариацию, достигает максимума (или минимума) при ( ), где ( ) - внутренняя точка области определения функционала, то при ( ) (4.) Д о к а з а т е л ь с т в о. При фиксированных ( ) и функционал ( ( ) ) ( ). По предположению ( ) достигает ma (или mn) при. Следовательно, должно выполняться необходимое условие (). Тогда, согласно определению вариации функционала (4.), имеем [ ( ) ]. Если экстремум достигается для (), близких к нулевого порядка, то экстремум сильный, если для близких к первого (или выше) порядка, то экстремум слабый.

70 4 Основная лемма вариационного исчисления 49 4.Основная лемма вариационного исчисления. Уравнения Эйлера. Исследуем вариационную задачу для простого функционала вида [ ( )] F(, ( ), ( )) d, ( ), ( ) (4.) Пусть ( - ) экстремаль (т.е. на ( ) достигается экстремум [ ]). Тогда зададим параметрическое семейство функций (, ) ( ), ( ) ( ). (4.) Вычислим вариацию функционала. Согласно (4.9) [ ( )] F(,, ) d, (, ) (, ) F F d, F F где F, F. Подставив (, ) из (4.), получим

71 5 Глава VIII [ ( )] ( F F ) d F F F ( ) d, Учитывая, что ( ) ( ), имеем окончательно F [ ( )] F ( ) d. (4.3) Таким образом, исследование вариационной задачи сводится к исследованию интеграла (4.3), где ( ) - любые непрерывные функции, обращающиеся в ноль на концах интервала. Для этого исследования принципиальное значение имеет основная лемма вариационного исчисления. Лемма 4. Основная лемма. Если для каждой непрерывной на [, ] функции ( )[ ( ) ( ) ] выполняется условие ( ) ( ) d, где ( ) -непрерывная на [, ] функция, то ( ) при [, ]. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть существует [, ] такое, что ( ). Тогда из непрерывности ( )

72 4 Основная лемма вариационного исчисления 5 следует, что существует окрестность[, ] точки, где ( ) сохраняет знак. Так как ( ) - любая непрерывная функция, то взяв ( ), [, ] 3, [, ] 3 получим 3 ( ) ( ) d ( ) ( ) d Пришли к противоречию. Следовательно, ( ), что и требовалось доказать Используя основную лемму, можно получит уравнение, которому должна удовлетворять функция, являющаяся экстремалью функционала. Т е о р е м а 4. Необходимым условием экстремума функционала при ( ), ( ) ( ) F(,, ) d является выполнение на экстремали уравнения Эйлера

73 5 Глава VIII d F ( F ) (4.4) d Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 4., необходимым условием экстремума функционала является условие. Подставив в это условие выражение (4.3) для вариации функционала, получим F [ ( )] F ( ) d, ( ) ( ). Согласно основной лемме вариационного исчисления, из полученного выражения следует F d ( F ), d что и требовалось доказать. Уравнения Эйлера (4.4) можно записать в виде F F F F, [, ] ( ), ( ). (4.5) Таким образом, если существуют соответствующие производные функции F(,, ),экстремаль

74 4 Основная лемма вариационного исчисления 53 функционала является решением краевой задачи для уравнения второго порядка (4.5). Рассмотрим, например, задачу определения экстремума для функционала / [ ( )] ( ) d, (), ( ). (4.6) Имеем F ; F ; F ; F. Следовательно, уравнение Эйлера имеет вид ( ) ( ), [, ], (), ( ). Решение этой краевой задачи дает ( ) sn. Следовательно, экстремум функционала (4.6) достигается на функции ( ) sn и равен / / (sn ) (cos sn ) d cos d. 43.Функционалы, содержащие производные порядка выше первого. Необходимые условия экстремума.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ (

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ ( Краевые задачи L ни разу все функции комплекснозначные Определение: - задачей называют задачу найти такое что верно задача имеет хоть одно решение а именно Предложение : - линейный оператор L и - линейные

Подробнее

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Лекция 5. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава. 8 1.Понятие дифференциального уравнения.математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями.11 3.Решение

Подробнее

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен:

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен: Лекция 5 Задачи с подвижной границей Рассмотрим задачу минимизации функционала V F при условии что левый конец функции на которой достигается экстремум закреплен: а правый может перемещаться вдоль заданной

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя.

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Линейные и нелинейные уравнения физики Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи Лекция 0 4 Задачи на условный экстремум Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала V [ ] = F(,,,,,, где = (, = (, с граничными условиями ( = 0, ( = 0; ( =, ( = Кроме того, предположим, что функции

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 23 23.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве Про компактные операторы в банаховых пространствах нам уже довольно много известно (см. лекции 18

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание . ДУ курс семестр задание. Постановка задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.. Выяснить, при каких начальных условиях существует единственное решение уравнения y y y.. Решить уравнения,

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом 2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом Приведем формулировку и доказательство принципа максимума Понтрягина для следующего частного случая задачи оптимального

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика»

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами.

ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами. ТЕМА 8 Основные понятия вариационного исчисления Задача с закрепленными концами Основные определения и теоремы Если на некотором множестве функций указано правило, которое ставит в соответствие каждой

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление Глава 1 Вариационное исчисление Началу появления вариационного исчисления дала толчок работа И. Бернулли 1696 года Новая задача, к решению которой приглашаются математики, в которой поставлена задача о

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Семинар 8 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Функционалы ( ) ( ) зависящие от одной функции ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

Задача 1. dx x. Найти экстремум функционала. f C. y y = + = 2 = + ~ +

Задача 1. dx x. Найти экстремум функционала. f C. y y = + = 2 = + ~ + Задача Найти экстремум функционала d d b a d d d ~ Задача Найти экстремум функционала d d b a d d ~ Задача Найти экстремум функционала d d b a d d ~ Задача Решить интегральное уравнение d d 6 d d 6 8 Найдём

Подробнее

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала [ ] (,, ) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

4. Функция Грина краевой задачи

4. Функция Грина краевой задачи Функция Грина краевой задачи 4. Функция Грина краевой задачи I.4.1. Существование функции Грина Опр. 1. 1. Функцией Грина краевой задачи Ly = k)y ) ) q)y = f), 1) Γ y y ) sin α + y) cos α = 0, α 0, π 2,

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром.

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Лекция 4 6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Подытожим результаты полученные в предыдущем параграфе в следующей теореме.

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее