МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПЛОСКОЙ И ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧАХ ОБ УДАРЕ ПЛАСТИНЫ О ЖИДКОСТЬ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПЛОСКОЙ И ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧАХ ОБ УДАРЕ ПЛАСТИНЫ О ЖИДКОСТЬ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ"

Транскрипт

1 98 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2. Т. 42, N- 4 УДК МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПЛОСКОЙ И ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧАХ ОБ УДАРЕ ПЛАСТИНЫ О ЖИДКОСТЬ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ В. П. Рябченко Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 639 Новосибирск Предложен метод интегральных уравнений для решения плоских и пространственных задач об ударе пластины о несжимаемую жидкость конечной глубины. Проведено аналитическое и численное исследование решений полученных уравнений. Изучено поведение ударного импульса в зависимости от глубины жидкости и удлинения пластины. Введение. Плоская задача об ударе пластины о поверхность жидкости конечной и бесконечной глубины исследована достаточно подробно. Обзор полученных результатов содержится в []. Рассмотрены задачи о центральном и нецентральном ударе круглого диска о жидкость конечной глубины, о вертикальном ударе эллиптического цилиндра, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости, заполняющей софокусный канал, об ударе шаров и некоторых видов эллипсоидов []. В пространственной теории удара результаты получены только для частных случаев, когда тело имеет каноническую форму и поэтому возможно применение метода разделения переменных. Учет реальной формы тела требует дальнейшего развития теории удара в трехмерной постановке. В данной работе предлагается метод интегральных уравнений, позволяющий решать задачу об ударе пластины о жидкость конечной глубины как в плоской, так и в пространственной постановках. Даны приближенные решения интегрального уравнения плоской задачи, использующие разложения искомой функции и ядра уравнения по степеням некоторых параметров, связанных с глубиной жидкости. Получены численные решения этого интегрального уравнения методом механических квадратур, в котором сингулярные интегралы вычисляются по формулам Чебышева, и методом коллокации, в котором искомый потенциал представляется тригонометрическим рядом, учитывающим его поведение в окрестности концов пластины. Проведено сравнение с точным решением М. В. Келдыша [2]. В трехмерной задаче получено соответствующее интегральное уравнение и показано, что для жидкости бесконечной глубины оно с точностью до множителя /2 совпадает с уравнением, используемым в теории крыла конечного размаха при расчете присоединенных масс. В случае, когда один из размеров пластины значительно больше другого, найдены точное решение интегрального уравнения, распределение ударного импульса вдоль пластины и суммарный импульс сил давления. Эти результаты совпадают с результатами, полученными в плоской теории и теории крыла конечного размаха. Для прямоугольной пластины получено более простое интегральное уравнение, аналог которого имеется в теории крыла [3]. Как и в плоском случае, построено его приближенное решение в виде ряда по степеням величины, обратной глубине жидкости. Получено численное решение данного уравнения методом коллокации, в котором искомый потенци- Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта --839) в рамках Интеграционного проекта N- СО РАН.

2 В. П. Рябченко 99 Рис. ал представляется в виде двойного тригонометрического ряда, учитывающего его поведение на кромках пластины. В результате расчетов найдены коэффициенты этого ряда, распределение ударного импульса по пластине и суммарный импульс сил давления, действующих на пластину при различных удлинениях. С увеличением удлинения пластины влияние глубины жидкости становится более существенным. Проведено сравнение полного ударного импульса, полученного по предлагаемому методу, с результатами расчетов, в которых использованы присоединенные массы прямоугольного крыла в безграничной жидкости при различных удлинениях. Следует отметить медленный выход кривой на асимптоту при больших удлинениях.. Постановка задачи. Рассматриваются плоская и пространственная задачи о вертикальном ударе абсолютно жесткого тонкого тела по поверхности идеальной несжимаемой жидкости плотности ρ. На свободной поверхности жидкости конечной глубины h плавает бесконечно тонкое тело S, ограниченное контуром C. Считаем, что до удара тело и жидкость покоятся, а в момент удара скорость V тела направлена ортогонально свободной поверхности. Необходимо найти распределение скоростей в области, занятой жидкостью, скорость движения тела V в момент, следующий за ударом, распределение импульса сил давления по поверхности тела. Деформацией свободной поверхности за время удара пренебрегаем, т. е. считаем, что она совпадает с поверхностью покоящейся жидкости. Течение жидкости около тела предполагается безотрывным. Введем декартову систему координат Oxyz с осью x, направленной вдоль свободной поверхности, и осью z, перпендикулярной к ней (рис. ). Поскольку движение возникает из состояния покоя, оно потенциальное. Обозначим через ϕ(x) (x = (x, y, z)) потенциал скоростей течения жидкости, образующегося в момент, следующий за ударом. Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа в области течения ϕ = (z < ). Граничные условия записываются следующим образом: условия непротекания дна ϕ z = (z = h); условия непротекания тела ϕ z = V (z = ), (x, y) S; условия на свободной поверхности вне тела ϕ =, (x, y) S; условия на бесконечности ϕ при x. Определив потенциал течения жидкости, можно найти распределение давления по поверхности тела и суммарную силу, действующую на тело. Обозначим через J импульс сил давления вдоль поверхности тела. Тогда из интеграла Коши Лагранжа для случая удара получим J = ρϕ(x, y, ). Суммарная сила, действующая на тело: P = ρ ϕ(x, y) dx dy. S

3 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2. Т. 42, N Плоская задача о вертикальном ударе пластины о жидкость конечной глубины. Функция Грина. Введем функцию Грина G(x, z; ξ, ζ) для полосы D = { < x <, h < z < } (рис. ), удовлетворяющую неоднородному уравнению (δ(x) функция Дирака) с краевыми условиями G = δ(x ξ)δ(z ζ) () G =, z = ζ = ; G z =, z = h; G ζ =, ζ = h; G, x, ξ. Вторую формулу Грина для функций ϕ и G в области D с границей P = в виде ϕ(x, z) = S ( G ϕ n ϕ G ) ds. n С учетом граничных условий для точек (x, z) D имеем c ϕ(x, z) = c ϕ(ξ, ) G ζ (x, z; ξ, ). 4 P i запишем Таким образом, если известна функция Грина G, то значения потенциала в области D определяются через его граничные значения только на пластине x c. Для нахождения функции G представим δ(z ζ) в виде ряда [4] δ(z ζ) = 2 h sin m= ( h ( m + 2 ) z ) sin ( h( m + 2 Функцию Грина будем искать в виде G = 2 g m (x, ξ) sin (µ m ζ) sin (µ m z), h m= где µ m = (/h)(m + /2). Эта функция удовлетворяет всем краевым условиям по z и ζ. Подставим G в уравнение (). Тогда для функций g m получим уравнение Представим δ-функцию интегралом g m µ 2 mg = δ(x ξ). (2) δ(x ξ) = 2 exp (ik(x ξ)) dk и подставим ее в уравнение (2). Функции g m будем искать в виде g m = 2 exp (ik(x ξ))a m (k) dk. В результате подстановки g m в уравнение (2) находим A m = k 2 + µ 2 m ) ζ, g m = 2µ m exp ( µ m x ξ ). ). i=

4 В. П. Рябченко Здесь использована формула [5] Таким образом, cos (ax) x 2 + b 2 dx = exp ( ab) (a >, Re b > ). 2b G(x, z; ξ, ζ) = h m= µ m exp ( µ m x ξ ) sin (µ m z) sin (µ m ζ). Интегральное уравнение. Потенциал на пластине определяется как решение интегрального уравнения, которое получается из условия равенства нормальных скоростей движения жидкости и пластины: ϕ V = lim z z = lim z c c В (3) ядро определяется рядом Тогда Введем функцию ϕ(ξ, ) 2 G (x, z; ξ, ) = z ζ 2 G z ζ (x, ; ξ, ) = h G = x c. c c µ m exp ( µ m x ξ ). m= exp ( µ m x ξ ) = m= ϕ(ξ, ) 2 G (x, ; ξ, ), z ζ 2 sh ( x ξ /(2h)). 2 G z ζ (x, ; ξ, ) = h sign (x ξ) G ξ. В правой части уравнения (3) выполним интегрирование по частям с учетом ϕ(±c, ) = : V = 2h c c ϕ ξ (3). (4) sh ((ξ x)/(2h)) Таким образом, получено сингулярное интегральное уравнение относительно скорости вдоль пластины, решение которого следует искать в классе функций, не ограниченных на обоих концах пластины. Заметим, что к этому виду приводится интегральное уравнение, полученное в [6] другим методом. Решение сингулярного интегрального уравнения в виде ряда. Будем искать решение уравнения (4) в виде разложения в ряд по степеням параметра τ = c/h [7]. Приведем уравнение (4) к безразмерному виду с помощью замены переменных x cx, ξ cξ, ϕ cv ϕ, В результате уравнение (4) принимает вид τ 2 γ(ξ) ϕ(ξ, ) ξ γ(ξ). =. (5) sh (τ(ξ x)/2)

5 2 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2. Т. 42, N- 4 Для решения уравнения (5) используется разложение sh X = X X 6 + 7X (X2 < 2 ). (6) Решение уравнения (5) будем искать в виде γ = γ + τ 2 γ + τ 4 γ (7) Подставляя разложения (6) и (7) в интегральное уравнение (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях τ в обеих частях уравнения, для функций γ, γ,... получим систему уравнений γ (ξ) γ 2 (ξ) ξ x =, ξ x = γ (ξ) ξ x = 24 γ (ξ)(x ξ) γ (ξ)(ξ x), γ (ξ)(ξ x). Аналогичным образом выписываются уравнения для последующих членов разложения (7). Первое из полученных уравнений служит для определения функции γ (ξ), соответствующей удару по пластине, находящейся на свободной поверхности бесконечно глубокой жидкости, остальные позволяют найти γ n (ξ), если известны функции γ, γ,..., γ n. Задача определения каждой неизвестной функции сводится к решению сингулярного интегрального уравнения первого рода вида γ(ξ) ξ x = f(x), где γ(ξ) неизвестная функция, а правая часть f(x) задана. Решение данного уравнения в классе функций, не ограниченных на обоих концах пластины, имеет вид γ(x) = x 2 Применяя эту формулу обращения, найдем γ (x) = x x 2, γ (x) = 2 48 x x 2, f(ξ) ξ 2 ξ x. γ 2(x) = 4 x 234 4,2x 2 2,5. x 2 Полный ударный импульс на единицу длины пластины, отнесенный к ρv c 2 и равный P = ϕ(x, ) dx, (8) можно представить в виде ряда по параметру τ P = P + τ 2 P + τ 4 P После вычислений получим P = /2, P = 3 /96, P 2 =,55 5 /234, а для распределения ударного импульса вдоль пластины p (x) = x 2, p (x) = ( 2 /48) x 2, p 2 = ( 4 /234) x 2 (,75 +,4x 2 ).

6 В. П. Рябченко 3 При таком подходе строится решение вблизи τ =. При τ получены результаты для безграничной жидкости, а переход к случаю малых глубин (τ ) оказывается некорректным. Случай движения крыла на малых расстояниях от твердой поверхности (экрана) подробно рассмотрен в [8]. В [8] предлагается ввести параметр τ, который всегда меньше единицы при < τ <. Введем параметр τ = /τ 2 + /τ такой, что τ при τ и τ при τ. Для ядра интегрального уравнения (5) будем использовать разложение 2h sh [(ξ x)/(2h)] = (ξ x) + 2 n= () n (ξ x) 2 + 4n 2 h 2, в котором каждый член можно разложить в ряд по τ (ξ x) 2 + 4n 2 h 2 = τ 2 [ n 2 τ 2 (τ 2 2) τ 2 ] n 2 (x ξ) Подставив разложения потенциала и ядра в интегральное уравнение (5) и приравняв члены при одинаковых степенях τ, получим систему сингулярных интегральных уравнений γ (ξ) γ 2 (ξ) ξ x = 6 Здесь учтено, что [5] ξ x =, () n n= n 2 γ (ξ)(ξ x) + 3 = 2 2, γ (ξ) ξ x = 6 n= γ (ξ)(ξ x), γ (ξ) [ξ x 72 2 (ξ x)3]. () n n 4 = Следовательно, решениями этих уравнений будут x γ (x) =, γ 2 x (x) = x 2 2 x, 2 γ 2 (x) = 2 ( + 42 ) x x 3 x 2 24 x. 2 Для полного ударного импульса получим выражения P = 2, P = 3 24, P 2 = 3 ( + 42 ) , а для распределения ударного импульса по пластине p = x 2, p (x) = 2 x 2 2, p 2 (x) = 2 x 2[ 2 ( x2)]. Численное решение сингулярного интегрального уравнения. Метод механических квадратур. Для решения уравнения (5) можно применить метод, в котором используются квадратурные формулы для сингулярных интегралов и затем решается конечная система алгебраических уравнений [9]. Интеграл будем вычислять с помощью квадратурной формулы Чебышева u(ξ) ξ 2 = n n u(ξ k ), (9) k=

7 4 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2. Т. 42, N- 4 которая позволяет учесть, что искомое решение уравнения (5) имеет особенность при ξ = ± порядка квадратного корня из расстояния до этих точек. Здесь узлы ξ k, являющиеся корнями полиномов Чебышева первого рода T n (ξ), вычисляются по формуле ( 2k ) ξ k = cos 2n, k =, 2,..., n. Уравнению (5) будем удовлетворять в точках x i = cos (i/n) (i =, 2,..., n ) корнях полиномов Чебышева второго рода. Решение уравнения (5), имеющее указанную выше особенность, должно определяться при дополнительном условии γ(ξ) =. () Интеграл в () вычисляется по квадратурной формуле (9). В результате получим систему n линейных алгебраических уравнений n n τ γ(ξ k )K(ξ k, x i ) =, γ(ξ k ) =, K(ξ k, x i ) = () 2 sh [τ(ξ k x i )/2] k= k= для определения n неизвестных γ(ξ k ) (k =, 2,..., n). Система () является дискретным аналогом интегрального уравнения (5) и условия () и может быть численно решена с помощью стандартных программ. Для определения значения функции γ в произвольной точке ξ используется интерполяционный полином Лагранжа по узлам ξ k. Полный ударный импульс, определенный по формуле (8) после интегрирования по частям, также вычисляется с использованием (9). Как отмечено в [9], сходимость процесса следует из сходимости квадратурной формулы (9) и единственности решения интегрального уравнения (5) при условии (). Метод коллокации. В уравнении (5) сделаем замену переменных ξ = cos θ, x = cos ψ. Потенциал в точках пластины будем искать в виде ряда ϕ(θ, ) = N m= Полученные после подстановки (2) в уравнение (5) интегралы I im = a m m sin (mθ). (2) cos (mθ) sh [τ(cos θ cos ψ i )/2] dθ вычисляем по квадратурной формуле Чебышева (9): I im = n cos (mθ k ) n sh [τ(cos θ k cos ψ i )/2], k= где θ k = (2k )/(2n); ψ i = i/n (i =, 2,..., n ). Для того чтобы число уравнений в алгебраической системе совпало с числом неизвестных коэффициентов ряда (2), число членов ряда N должно быть равно n. Полный ударный импульс P = (/2)a определяется коэффициентом при особенности на кромках пластины. Результаты расчетов. Результаты расчетов полного ударного импульса P h и P τ с помощью разложений по параметрам τ и τ соответственно, результаты численного решения

8 В. П. Рябченко 5 Т а б л и ц а h P h P τ P r P c P k,2 3,782 4, , ,256,4 2,464 2, , ,5492,6 2,34 2, ,92 23,9936,8,947,965 2,965 2,758,,827,837,84 78,84 78,8276 3,,658,658,65 823,65 822,655 5,,5837,5836,59 4,59 3,654,578,578,578 интегрального уравнения методом механических квадратур P r и методом коллокации P c, а также точное решение P k [2] приведены в табл.. При h = h/c < импульс P k определялся согласно приближенной формуле для малых глубин, полученной в [] на основе точного решения М. В. Келдыша [2]. Однако уже при h =,8, как следует из табл., эта формула дает большую погрешность. В разложениях по параметрам τ и τ учитывались члены до шестой степени. Для значений h < разложение по параметру τ становится несправедливым. Для параметра τ ударный импульс P τ удалось вычислить и при достаточно малых значениях h, однако при h =,2 его значение существенно отличается от точного P k и полученного с помощью решения интегрального уравнения P r. В целом согласие результатов удовлетворительное. Распределение ударного импульса, отнесенного к ρv c 2, по длине пластины P (x) приведено в табл. 2 ( P h значения, полученные с помощью разложения по параметру τ, P τ по параметру τ, Pk данные из [2]). Рассчитанные приближенными методами распределенные характеристики согласуются с их точными значениями. 3. Вертикальный удар пластины конечного размаха о жидкость конечной глубины. Функция Грина бесконечной полосы. Введем функцию Грина G(x, y) (x = (x, y, z), y = (ξ, η, ζ)) для полосы D = { < x <, < y <, h < z < } (рис. 2), удовлетворяющую неоднородному уравнению G = δ(x y) (3) с краевыми условиями G = при z = ζ =, G z = при z = h; G ζ = при ζ = h, G при x ; G при y. Так же как в плоском случае, вторую формулу Грина для функций ϕ и G в области D запишем в виде ϕ(x) = S ϕ(ξ, η, ) G ζ (x; ξ, η, ) dη. Т а б л и ц а 2 x P h Pτ Pk h = h = 5 h = h = h = 5 h = h = h = 5 h =,74,8,,74,8,,72,8, ±,2,48,988,98,44,988,98,46,993,98 ±,4,67,924,97,72,924,97,76,92,97 ±,6,922,87,8,93,87,8,926,86,8 ±,8,682,65,6,79,65,6,688,64,6 ±,

9 6 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2. Т. 42, N- 4 Рис. 2 Функция ϕ определяется через ее граничные значения только на поверхности тонкого тела S, если известна функция Грина G(x, y). Функцию Грина будем искать в виде G = 2 sin (µ m z) sin (µ m ζ)g m (x, y; ξ, η). h m= Подставляя G в уравнение (3), для функций g m получим уравнение 2 g m x g m y 2 µ2 mg m = δ(x ξ)δ(y η). (4) Представим δ-функцию и фундаментальное решение уравнения (4) в виде δ(x ξ)δ(y η) = 4 2 g m (x, y; ξ, η) = 4 2 Подставляя эти выражения в уравнение (4), получим A m = k 2 + k2 2 +, g m = µ2 m 4 2 exp (ik (x ξ) + ik 2 (y η)) dk dk 2, A m (k, k 2 ) exp (ik (x ξ) + ik 2 (y η)) dk dk 2. exp(ik (x ξ) + ik 2 (y η)) k 2 + k2 2 + µ2 m dk dk 2. (5) В (5) перейдем к полярным координатам (k, θ): k = k cos θ, k 2 = k sin θ. С учетом равенства 2 exp (ikρ cos θ) dθ = 2J (kρ), где J (kρ) функция Бесселя нулевого порядка, находим g m = kj (kρ) 2 k 2 + µ 2 dk. m

10 В. П. Рябченко 7 Рис. 3 Выражение для данного интеграла приведено в [4]. Таким образом, G(x, y) = K (µ m ρ) sin (µ m z) sin (µ m ζ). h m= Здесь K модифицированная функция Бесселя; ρ 2 = (x ξ) 2 + (y η) 2. Функцию Грина можно представить в виде G(x, y) = G G 2, где G = K (ν m ρ)[cos (ν m (z ζ)) cos (ν m (z + ζ))], 2h G 2 = 2h m= K (2ν m ρ)[cos (2ν m (z ζ)) cos (2ν m (z + ζ))], m= ν m = m 2h. Ряды, входящие в выражения для G и G 2, можно просуммировать [5]. Окончательно получим G(x, y) = ( ) 4 r n r n, n= где rn 2 = (x ξ) 2 +(y η) 2 +[z (2nh+() n ζ)] 2 ; r n 2 = (x ξ) 2 +(y η) 2 +[z (2nh () n ζ)] 2. Интегральное уравнение. Условие непротекания поверхности S позволяет получить интегральное уравнение для определения потенциала в точках этой поверхности ϕ V = lim z z = lim z S ϕ(ξ, η, ) 2 G (x, y) dη = z ζ = Ядро интегрального уравнения (6) определяется рядом 2 G (x, y, ; ξ, η, ) = () n( z ζ 2 S n= ϕ(ξ, η, ) 2 G (x, y, ; ξ, η, ) dη. (6) z ζ R 3 n 2n2 h 2 R 5 n где R 2 n = (x ξ) 2 + (y η) 2 + 4n 2 h 2. Предположим, что поверхность имеет форму, показанную на рис. 3. Верхняя и нижняя границы поверхности отрезки прямых y = и y = d. Уравнения левой x = x (y) и правой x = X(y) границ области S произвольные непрерывные функции. ),

11 8 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2. Т. 42, N- 4 В интеграле, стоящем в правой части уравнения (6), проведем интегрирование по частям по переменной ξ, учитывая, что ϕ(x (η), η, ) = ϕ(x(η), η, ) =. Получим V = d X(η) { x ξ γ(ξ, η) 2 (y η) 2 [(x ξ) 2 + (y η) 2 ] /2 + x (η) + 2 () n[ x ξ 2n2 h 2 Y n R n n= Y 2 n ( x ξ R n где Y n = (y η) 2 + 4n 2 h 2. Первый член ядра уравнения (7) можно записать в виде x ξ (y η) 2 [(x ξ) 2 + (y η) 2 ] /2 = (x ξ) 2 + (y η) 2. y (y η)(x ξ) Тогда V = d X(η) (x ξ) γ(ξ, η) 2 + (y η) 2 dη + 2 y (x ξ)(y η) + x (η) d X(η) x (η) γ(ξ, η) () n[ x ξ 2n2 h 2 R n Y n n= Y 2 n ( x ξ R n (x )]} ξ)3 3Rn 3 dη, (7) (x )] ξ)3 3Rn 3 dη. (8) Если в правых частях уравнений (7) и (8) отбросить ряды по n, то с точностью до множителя /2 получим интегральное уравнение задачи бесциркуляционного обтекания равномерным потоком со скоростью V тонкого крыла конечного размаха с поверхностью S. Таким образом, получено двумерное сингулярное интегральное уравнение относительно скорости вдоль пластины по оси x, решение которого следует искать в классе функций, не ограниченных на кромках x = x (y), x = X(y) и обращающихся в нуль на отрезках [ y =, x () < x < X()], [y = d, x (d) < x < X(d)]. Жидкость бесконечной глубины. В случае жидкости бесконечной глубины интегральное уравнение (8) упрощается: V = 2 d y X(η) x (η) (x ξ) γ(ξ, η) 2 + (y η) 2 dη. (9) (x ξ)(y η) Предположим, что один из размеров пластины значительно больше другого (например, вдоль оси x). Используя классическую аппроксимацию теории крыла конечного размаха, можно записать (x ξ) 2 + (y η) 2 = x ξ. Тогда уравнение (9) примет вид V = 2 d y X(η) x (η) γ(ξ, η) sign (x ξ) η y dη. После вычислений с учетом того, что потенциал ϕ обращается в нуль на кромках пластины S, получим V = d ϕ(x, η, ) dη. (2) y y η

12 В. П. Рябченко 9 Интегрируя уравнение (2) по частям, внося производную по y под знак интеграла и переходя к безразмерным переменным η (2η d)/d, y (2y d)/d, окончательно находим ϕ η (x, η, ) dη = V. (2) η y Решение интегрального уравнения (2), не ограниченное на обоих концах пластины, имеет вид ϕ y = V η 2 dη. y 2 y η Вычислив интеграл, находим ϕ(x, y) = V y 2. Суммарный импульс сил давления, действующих на пластину в сечении x = const (на единицу ее длины по x), определенный по формуле (8), равен P = /2 и совпадает со значением, полученным согласно плоской теории, которая может быть применена к рассматриваемому случаю. Прямоугольная пластина. Пусть поверхность S представляет собой прямоугольник [ c x c, l y l]. Отметим, что x ξ R n Y 2 n 4n 2 h 2 (x ξ) 3 R 3 ny 2 n y = η, = 8n 2 h 2 (x ξ) η x ξ = R n Y n 2nh (x ξ)(y η) arctg, η 2nhR n R n (y η) (x ξ)2 4n 2 h 2 Y n 6n 3 h 3 (x ξ) 2 (x ξ)(y η) arctg, η 2nhR n = { (x ξ)(y η) [(x ξ)2 2n 2 h 2 ](y η) η 2R n Y n 2(x ξ)r n [(x ξ) 2 + 4n 2 h 2 ] + (x ξ)(y η) + R n [(x ξ) 2 + 4n 2 h 2 ] + (x ξ)2 2n 2 h 2 (x ξ)(y η) } 4nh(x ξ) 2 arctg. 2nhR n Подставляя эти выражения в уравнение (8), интегрируя по частям по переменной η и учитывая, что γ(ξ, ±l) =, получим интегральное уравнение V = 2 c l c l { γ (x ξ) (ξ, η) 2 + (y η) 2 + η (x ξ)(y η) + 2 () n (x ξ)(y η)(rn 2 + 4n 2 h 2 ) } [(x ξ) 2 + 4n 2 h 2 ][(y η) 2 + 4n 2 h 2 dη. (22) ]R n n= Решение уравнения (9) в виде ряда по параметру τ имеет вид γ = γ + τ 3 γ + τ 6 γ , так как первый член разложения по τ части ядра, учитывающей влияние дна, равен,45 77(x ξ)(y η)τ 3. Здесь учтено, что [5] () k k 3 =,9 54. k= Этот результат отличается от плоского случая, когда разложение решения проводится по степеням величины τ 2.

13 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2. Т. 42, N- 4 Численное решение уравнения (22) методом коллокации. Сделаем замену переменных x = c cos θ, y = l cos ψ, ξ = c cos θ, η = l cos ψ. Потенциал в точках пластины будем искать в виде M N a km ϕ(ξ, η) = sin (kθ) sin (mψ), (ξ, η) S. (23) km m= k= В безразмерных переменных ϕ cv ϕ, x cx, ξ cξ, y ly, η lη вместо интегрального уравнения (22) получим 2λ = { γ (x ξ) 2 + λ 2 (y η) 2 + η (x ξ)(y η) + 2λ 2 () n (x ξ)(y η)(rn 2 + 4n 2 τ 2 ) [(x ξ) 2 + 4n 2 τ 2 ][λ 2 (y η) 2 + 4n 2 τ 2 ]R n n= } dη, (24) где λ = l/c удлинение пластины. Подставив ряд (23) в уравнение (24) и проведя численное интегрирование по квадратурной формуле Чебышева, получим систему линейных алгебраических уравнений где I km ij = 2 NM N+ p= N M k= m= M+ q= a km I km ij = 2λ, cos (kθ p ) cos (mψ q )K(ω i, χ j ; θ p, ψ q ); K(x, y; ξ, η) ядро уравнения (24); ω i = i/(n + ), χ j = j/(m + ) (i =, 2,..., N, j =, 2,..., M) точки коллокации; θ p = (2p)/(2(N+)), ψ q = (2q)/(2(M+)) узлы квадратурной формулы Чебышева, примененной к повторному интегралу, заменяющему двойной интеграл в уравнении (24). Полный ударный импульс, отнесенный к ρv c 2 l, определялся формулой P = ξη 2 ϕ dη = 2 ξ η 4 a. Численные результаты. На рис. 4 представлены зависимости полного импульса P от удлинения пластины λ при различных относительных глубинах жидкости h. Расчеты про- Рис. 4

14 В. П. Рябченко ведены с использованием метода коллокации при решении интегрального уравнения (24). На рис. 4 точками показаны значения импульса P, полученные с помощью коэффициентов присоединенных масс прямоугольных крыльев в безграничной жидкости []. Видно, что эти значения близки к кривой, описывающей ударный импульс при h = 2. С увеличением удлинения влияние глубины жидкости становится более существенным. При фиксированном h уменьшение удлинения (за счет уменьшения поперечного размера пластины) приводит к ослаблению влияния границы (дна водоема) на ударный импульс, действующий на пластину. Следует также отметить медленный выход кривых при различных h на асимптоту при больших удлинениях. ЛИТЕРАТУРА. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. Л.: Судостроение, Келдыш М. В. Удар пластинки о воду, имеющую конечную глубину // Тр. ЦАГИ Вып. 52. С Бисплингхофф Р. Л., Эшли Х., Халфмен Р. Л. Аэроупругость. М.: Изд-во иностр. лит., Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, Келдыш М. В., Лаврентьев М. А. О движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости // Келдыш М. В. Механика: Избр. тр. М.: Наука, 985. С Панченков А. Н. Теория потенциала ускорений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук. думка, 98.. Веклич Н. А., Малышев Б. М. Плоская задача об ударе по жидкой полосе // Взаимодействие пластин и оболочек с жидкостью и газом: Сб. науч. тр. М.: Изд-во Моск. ун-та, 984. С Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. М.: Наука, 975. Поступила в редакцию 7/XI 2 г.

ОБРАЗОВАНИЕ КАВЕРНЫ НА НАЧАЛЬНОМ ЭТАПЕ ДВИЖЕНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ЖИДКОСТИ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ

ОБРАЗОВАНИЕ КАВЕРНЫ НА НАЧАЛЬНОМ ЭТАПЕ ДВИЖЕНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ЖИДКОСТИ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ 74 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2012. Т. 53 N- 4 УДК 532.582.33 ОБРАЗОВАНИЕ КАВЕРНЫ НА НАЧАЛЬНОМ ЭТАПЕ ДВИЖЕНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ЖИДКОСТИ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ М. В. Норкин Южный федеральный

Подробнее

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет) ВЕСТНИК ЧГПУ им И Я ЯКОВЛЕВА МЕХАНИКА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ 7 УДК 5975 Мирсалимов М В ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (Тульский государственный университет) Рассматривается задача механики

Подробнее

1 Точные решения уравнений Навье-Стокса

1 Точные решения уравнений Навье-Стокса В настоящем курсе рассматривается теория устойчивости плоских течений вязкой несжимаемой жидкости Рассматриваются только установившиеся слоистые течения плоскопараллельные или близкие к ним; массовыми

Подробнее

= 0. (1) E 2z. ϕ(x, y, z) = f 1 (x) f 2 (y) f 3 (z). (3) f 1 (x) + f ) f 3 (z) f. f 3 (z) = γ2. f 3 (z) = Ae γz + B e γz. f 1 (x) = γ2 1, z=0 E 1z

= 0. (1) E 2z. ϕ(x, y, z) = f 1 (x) f 2 (y) f 3 (z). (3) f 1 (x) + f ) f 3 (z) f. f 3 (z) = γ2. f 3 (z) = Ae γz + B e γz. f 1 (x) = γ2 1, z=0 E 1z 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 6 Разделение переменных в декартовых координатах 1.1. (Задача 1.49) Плоскость z = заряжена с плотностью σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), где σ, α, β постоянные.

Подробнее

РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. Ю. М. Волчков,, Д. В. Важева

РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. Ю. М. Волчков,, Д. В. Важева ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 28. Т. 49, N- 5 69 УДК 539.3 РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Ю. М. Волчков,, Д. В. Важева Институт гидродинамики им. М.

Подробнее

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N- 4 35 УДК 539.3 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ИЗГИБА АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат.

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в декартовой системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 25. Разделение переменных в уравнении Лапласа 511

Подробнее

Уравнение Лапласа в полярной системе координат.

Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 518 Глава 5. Уравнения эллиптического типа 25.2. Разделение

Подробнее

А.И. Соловьев, канд. физ.-мат. наук КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ДВУМЯ СООСНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ

А.И. Соловьев, канд. физ.-мат. наук КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ДВУМЯ СООСНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ 4 УДК 539.3 А.И. Соловьев, канд. физ.-мат. наук КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ДВУМЯ СООСНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ Имеется лишь небольшое число публикаций,

Подробнее

Лекция 4. Идеальная несжимаемая жидкость.

Лекция 4. Идеальная несжимаемая жидкость. Лекция 4. Идеальная несжимаемая жидкость. Жидкость называется идеальной, если коэффициенты вязкости равны нулю. Предположим, что ρt, x является константой. Тогда уравнения, описывающие движение идеальной

Подробнее

УДК Вестник СПбГУ. Сер Вып. 3

УДК Вестник СПбГУ. Сер Вып. 3 УДК 629.12.035 Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 3 РАСЧЕТ ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС НЕКОТОРОГО КЛАССА ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ Е. Н. Надымов С.-Петербургский государственный университет, аспирант, johnnypmpu@gmail.com

Подробнее

МИНОБРНАУКИ РОССИИ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.АЛЕКСЕЕВА» МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Подробнее

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ АНАЛОГ ФОРМУЛ СОХОЦКОГО ПЛЕМЕЛЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ КРЫЛА

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ АНАЛОГ ФОРМУЛ СОХОЦКОГО ПЛЕМЕЛЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ КРЫЛА 36 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2011. Т. 52, N- 6 УДК 532.5: 533.6 ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ АНАЛОГ ФОРМУЛ СОХОЦКОГО ПЛЕМЕЛЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ КРЫЛА Д. Н. Горелов Омский филиал Института математики

Подробнее

1 = = 0. (1) R + 1 = C, (2) 1(R)

1 = = 0. (1) R + 1 = C, (2) 1(R) . Электростатика. Электростатика Урок 7 Разделение переменных в сферической и цилиндрической системах координат Оператор Лапласа в сферической системе координат записывается в виде = 2 = 2 ) + sin θ )

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Выполнил: студент 3-го курса, гр. АК3-51 Ягубов Роман Борисович Проверил:

Подробнее

УДК Гоголева О.С. Оренбургский государственный университет

УДК Гоголева О.С. Оренбургский государственный университет УДК 5393 Гоголева ОС Оренбургский государственный университет E-mail: ov08@inboxru ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛУПОЛОСЕ (СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА) Даются примеры решения

Подробнее

Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омск

Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 28. Т. 49, N- 3 19 УДК 532.5: 533.6 РАСЧЕТ ДАВЛЕНИЯ НА КОНТУР В РЕЖИМЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ Д. Н. Горелов Омский филиал Института математики им.

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж

Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 009. Т. 50, N- 6 19 УДК 59.; 5; 517.946 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КРУЧЕНИИ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ s-угольного СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ РАСШИРЕНИЯ ГРАНИЦ А. Д. Чернышов Воронежская государственная

Подробнее

Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре Е-mail:

Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре Е-mail: 15 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 008. Т. 49, N- УДК 53.56. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЗДЕЙСТВИИ УДАРНОГО ИМПУЛЬСА НА ЛЕДЯНОЙ ПОКРОВ В. Д. Жесткая, В. М. Козин Комсомольский-на-Амуре государственный

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ СТУПЕНЬКИ ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ СТУПЕНЬКИ ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 006. Т. 47, N- 6 7 УДК 5.5:59.6 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ СТУПЕНЬКИ ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ М. Г. Хажоян, Г. С. Хакимзянов Институт вычислительных

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

УДК c Р.Н. Нескородев ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

УДК c Р.Н. Нескородев ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД ISSN 1683-472 Труды ИПММ НАН Украины. 29. Том 19 УДК 539.3 c 29. Р.Н. Нескородев ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД Разработан численно аналитический

Подробнее

Уравнения математической физики

Уравнения математической физики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАСТИТЕЛЬНЫХ

Подробнее

МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. В. Д. Бондарь

МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. В. Д. Бондарь ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2000. Т. 41, N- 1 133 УДК 539.3 МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В. Д. Бондарь Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск

Подробнее

, vy,0. Условие несжимаемости divv. 0 потенциального течения rotv. Для двумерного течения условие несжимаемости имеет вид 0, что приводит

, vy,0. Условие несжимаемости divv. 0 потенциального течения rotv. Для двумерного течения условие несжимаемости имеет вид 0, что приводит Методы расчета плоских течений Функция тока В плоском течении уменьшается количество переменных, что позволяет в случае потенциального течения существенно упростить решение задач об определении течения

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск 138 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2003. Т. 44, N- 5 УДК 539.3 НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ О ДЕФОРМИРОВАНИИ И РАЗРУШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД И. Ю. Цвелодуб Институт гидродинамики

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛА С ЯДРОМ КОШИ ПО КОНТУРУ КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ

ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛА С ЯДРОМ КОШИ ПО КОНТУРУ КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ Вычислительные технологии Том, 4, 2006 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛА С ЯДРОМ КОШИ ПО КОНТУРУ КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ Д.Н. Горелов, Д.Г. Редреев Омский филиал института математики

Подробнее

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Задача о нагреве стержня, вывод уравнения теплопроводности. Краевые условия. Метод Фурье решения уравнения теплопроводности для бесконечного стержня.

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Метод разделения переменных применяется для решения линейных однородных уравнений с линейными однородными граничными условиями вида α 0, β0, 0,

Подробнее

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов Метод конечных элементов 1. Область применения МКЭ. 2. Основная концепция МКЭ. 3. Преимущества МКЭ. 4. Разбиение расчётной области на конечные элементы. 5. Способ аппроксимации искомой функции в конечном

Подробнее

Майер Р.В., г. Глазов Метод компьютерного моделирования при изучении физических явлений

Майер Р.В., г. Глазов Метод компьютерного моделирования при изучении физических явлений Майер РВ, г Глазов Метод компьютерного моделирования при изучении физических явлений Часто аналитические методы не позволяют исследовать эволюцию сложных систем, или их применение связано со сложными математическими

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

Аналитические формулы для расчета тепловых потоков на затупленных телах малого удлинения

Аналитические формулы для расчета тепловых потоков на затупленных телах малого удлинения # 8, август 6 УДК 533655: 5357 Аналитические формулы для расчета тепловых потоков на затупленных телах малого удлинения Волков МН, студент Россия, 55, г Москва, МГТУ им Н Э Баумана, Аэрокосмический факультет,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 1-13 Вычисление

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

Исследование особенностей обтекания профиля при нестационарном движении

Исследование особенностей обтекания профиля при нестационарном движении УДК 568 ВВ Тюрев, ВА Тараненко Исследование особенностей обтекания профиля при нестационарном движении Национальный аэрокосмический университет им НЕ Жуковского «ХАИ» При современном развитии авиатранспортных

Подробнее

Элементы теории поля

Элементы теории поля Элементы теории поля Пусть Ω некоторая область в R 3. Будем говорить, что в Ω задано скалярное поле, если каждой точке M Ω поставлено в соответствие некоторое число U(M). Примерами скалярных полей могут

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики, механики

Подробнее

Интеграл в смысле конечной части по Адамару для функций, заданных на разомкнутой кривой

Интеграл в смысле конечной части по Адамару для функций, заданных на разомкнутой кривой Вісник Харківського національного університету 89, УДК 539.3:533.6 Интеграл в смысле конечной части по Адамару для функций, заданных на разомкнутой кривой И. Ю. Кононенко, Е. А. Стрельникова Харьковский

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

А. П. ИВАНОВ, Л. Т. ПОЗНЯК ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ, Л. Т. ПОЗНЯК ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ, Л. Т. ПОЗНЯК ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Лекция 3. Плоская задача теории упругости.

Лекция 3. Плоская задача теории упругости. Лекция 3 Плоская задача теории упругости. 3.1 Плоское напряженное состояние. 3. Плоская деформация. 3.3 Основные уравнения плоской задачи. 3.4 Использование функции напряжений 3.5 Решение плоской задачи

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

ПОСТРОЕНИЕ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2003. Т. 44, N- 6 35 УДК 517.9; 519.6; 530.1; 531.01 ПОСТРОЕНИЕ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Г. В. Дружинин Казанский

Подробнее

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Для многомерных уравнений колебаний можно составить аналог схемы «крест» и неявной схемы. При этом явная схема «крест» так же, как и в одномерном

Подробнее

1.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ. и ее масса и скорость). Из закона изменения импульса системы

1.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ. и ее масса и скорость). Из закона изменения импульса системы Импульс системы n материальных точек ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ где импульс i-й точки в момент времени t ( i и ее масса и скорость) Из закона изменения импульса системы где

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

Ключевые слова: растущее тело, теплопроводность, шар, собственные функции, разложение, замкнутое решение.

Ключевые слова: растущее тело, теплопроводность, шар, собственные функции, разложение, замкнутое решение. УДК 539.3 А. В. М а н ж и р о в, С. А. Л ы ч е в, С. И. К у з н е ц о в, И. Ф е д о т о в АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В РАСТУЩЕМ ШАРЕ Работа посвящена исследованию эволюции температурного

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ СУХОГО ТРЕНИЯ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ СУХОГО ТРЕНИЯ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N- 4 161 УДК 539.3 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ СУХОГО ТРЕНИЯ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ А. Е. Алексеев Институт гидродинамики им. М. А.

Подробнее

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy Двойные интегралы Примеры решения задач 1. Свести двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если G область, ограниченная кривыми x = 1, y = x 2, y =

Подробнее

ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ИЗЛОМА ПЕРЕДНЕЙ КРОМКИ ТОНКОГО КРЫЛА НА РЕЖИМЕ СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ИЗЛОМА ПЕРЕДНЕЙ КРОМКИ ТОНКОГО КРЫЛА НА РЕЖИМЕ СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ У Ч Е Н Ы Е З А П И С К И Ц А Г И Т о м X L I I УДК 53.56. ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ИЗЛОМА ПЕРЕДНЕЙ КРОМКИ ТОНКОГО КРЫЛА НА РЕЖИМЕ СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Г. Н. ДУДИН А. В. ЛЕДОВСКИЙ Исследовано течение

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

ОБРАЗОВАНИЕ ЗОНЫ КОНТАКТА ПРИ СЖАТИИ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ

ОБРАЗОВАНИЕ ЗОНЫ КОНТАКТА ПРИ СЖАТИИ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 00. Т. 5 N- 3 65 УДК 539.74375 ОБРАЗОВАНИЕ ЗОНЫ КОНТАКТА ПРИ СЖАТИИ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ М. Е. Кожевникова Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ НЕУПРУГИХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ НЕУПРУГИХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2005. Т. 46, N- 2 151 УДК 539.37 НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ НЕУПРУГИХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК И. Ю. Цвелодуб Институт гидродинамики

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ, ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПО ДВУМ ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ КРАЯМ

АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ, ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПО ДВУМ ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ КРАЯМ ТЕХНИКА УДК.. (.) (0) АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПО ДВУМ ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ КРАЯМ В.Э. Еремьянц докт. техн. наук профессор Л.Т. Панова канд. техн. наук доцент

Подробнее

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова Сибирский математический журнал Май июнь, 1. Том 53, 3 УДК 517.95 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова Аннотация.

Подробнее

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя.

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Линейные и нелинейные уравнения физики Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Однородные линейные дифференциальные уравнения

Однородные линейные дифференциальные уравнения 1 Семинар 6 по теме Дифференциальные уравнения Однородные линейные дифференциальные уравнения Линейными дифференциальными уравнениями назвыаются уравнения вида: a k (x) y (k) (x) = 0 Такие уравнения называются

Подробнее

БАНК ЗАДАЧ для вступительных испытаний в магистратуру (базовая часть)

БАНК ЗАДАЧ для вступительных испытаний в магистратуру (базовая часть) БАНК ЗАДАЧ для вступительных испытаний в магистратуру (базовая часть) Задания билета,, 4 5 Разделы, 4, 5, 6, 7,,,,, 8, 9,, 6, 7, 8, 4, 5, 9 Количество баллов 5 б б 5 б Содержание Раздел Производная, частная

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Труды международного симпозиума «Надежность и качество 2009», Пенза том 1

Труды международного симпозиума «Надежность и качество 2009», Пенза том 1 Труды международного симпозиума «Надежность и качество 009», Пенза том Горячев ВЯ, Савин АВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ УСКОРЕНИЕМ И ПОПЕРЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИЕЙ УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА ДАТЧИКА Упругий элемент является

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение)

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение) Глава 5 Поверхностные интегралы -го типа (продолжение) 5 Задачи в классе Задача 5 (4349) Вычислить интеграл где часть поверхности конуса z d, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin α, z = ρ cos α ( ( ρ h,

Подробнее

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики. Схема переменных направлений для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в прямоугольнике. Как уже было показано

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ С П ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ, СР ТИХОМИРОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Формулировка задания 3 Варианты задания 3 Пример выполнения задания и комментарии

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки 0030 Математика

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

= u. u(x) dx и u(x) dx, u ρρ (1, θ) dθ. u(x) = 0, x := (x 1, x 2 ) B1(0);

= u. u(x) dx и u(x) dx, u ρρ (1, θ) dθ. u(x) = 0, x := (x 1, x 2 ) B1(0); Самостоятельная работа 2 Задание 1. Гармонические функции. 1. Найти все гармонические в R 2 функции u(x, y), для которых u y (x, y) = 3xy 2 x 3. 2. Найти все гармонические в R n функции, принадлежащие

Подробнее

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции 1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции ( x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции ( x в произвольной точке x Для

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

Двумерное установившееся движение вязкой жидкости 1

Двумерное установившееся движение вязкой жидкости 1 КЛАССИЧЕСКИЕ РАБОТЫ. ОБЗОРЫ Двумерное установившееся движение вязкой жидкости 1 Дж. Б. Джеффри Цель данной работы заключается в поиске некоторых новых решений уравнений движения вязкой жидкости. Имеется

Подробнее