РЯДЫ. Методические указания

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЯДЫ. Методические указания"

Транскрипт

1 Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5

2 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5

3 УДК 5975 Рецензент доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики СибГИУ ВЕГромов Ряды: методические указания /Сост: МСВолошина, СФГаврикова: СибГИУ Новокузнецк, 5 с Изложены методические указания по теме «Ряды» Приведено 57 примеров с решениями по всем разделам Предназначены для студентов всех специальностей

4 Содержание Понятие числового ряда Сумма ряда Необходимый признак сходимости ряда 5 Основные свойства сходящихся рядов 6 Достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов 7 5 Признак сходимости Даламбера 9 6 Интегральный признак сходимости Коши 7 Радикальный признак сходимости Коши 8 Знакочередующиеся ряды Признак Лейбница для сходимости знакочередующихся рядов Оценка остатка ряда 9 Абсолютная и условная сходимость рядов Свойства абсолютно сходящихся рядов Функциональный ряд и его область сходимости Степенной ряд Интервал сходимости Радиус сходимости степенного ряда 5 Ряды Тейлора и Маклорена Разложение функций в степенной ряд 7 Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов 7 Разложение в ряд Фурье функции с периодом π 9 5 Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом π 6 Ряды Фурье для функции с любым периодом 5 7 Разложение в ряд Фурье непериодической функции, заданной на отрезке [ l, l] 7 8 Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [, l] 8 9 Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [ a, ]

5 Понятие числового ряда Сумма ряда Выражение =, () = где { k } ( k N ) заданная действительная последовательность, называется числовым рядом Конечные суммы S =, S =, () S =, Называются частичными суммами ряда () Если бесконечная последовательность частичных сумм ряда () S, S, S,, S, S имеет конечный предел, те lim S = S, () то говорят, что этот ряд сходится В этом случае число S называется суммой сходящегося ряда () Если же частичная сумма S не имеет конечного предела при, то ряд () называется расходящимся В этом случае не имеет смысла говорить о его сумме Если ряд () сходится, и его сумма равна S, то разность S S называется -ным остатком ряда и обозначается R Очевидно, что остаток R = () также является числовым рядом Пример Написать пять первых членов ряда по данному общему члену = ( ) Решение Полагая в формуле общего члена последовательно значения =,,,, 5, получим: = ; = ; = ; = ; 5 = Пример Написать формулу общего члена для каждого ряда: а), б), 6 8 в) 5 8 Решение а) Знаменатели членов данного ряда натуральный ряд чисел

6 Следовательно, общий член имеет вид: = б) Знаменатели членов данного ряда могут быть получены из формулы, где =,,, Следовательно, общий член имеет вид: = в) Числители членов данного ряда четные числа вида, а знаменатели числа, которые могут быть получены по формуле Следовательно, общий член имеет вид: = Пример Исследовать на сходимость ряд q q q q q (5) Решение Ряд (5) есть геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен q Известно, что сумма первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле (при q ): q S = q Если знаменатель прогрессии q по абсолютной величине меньше единицы, те q p, то lim q = и q q lim S = lim = lim = q q q q Следовательно, при q p ряд (5) сходится и его сумма равна q Ряд (5) в этом Если знаменатель прогрессии q f, то lim q = и lim S = случае расходится При q = S = = ; lim S = При q = последовательность частичных сумм имеет вид,,,,, и не стремится ни к какому пределу Таким образом, при q = и при q = ряд (5) расходится Необходимый признак сходимости ряда Следует отметить, что далеко не всегда сходимость или расходимость ряда удается установить, исходя из определения сходимости ряда, те непосредственно из рассмотрения предела частичных сумм ряда В большинстве случаев это весьма сложно Поэтому для установления сходимости (или расходимости) ряда прибегают к использованию теорем, которые называются «признаками сходимости» Теорема (необходимый признак сходимости) Если ряд () 5

7 сходится, то его общий член стремится к нулю при, те lim = () Доказательство Общий член можно представить в виде разности частных сумм S и S, те = S S Так как ряд () по условию сходится, то lim S = S, где S - сумма ряда С другой стороны, при частичная сумма S будет иметь тот же предел S Следовательно, lim = lim( S S ) = lim S lim S = S S = Из доказанной теоремы следует, что если предел общего члена при отличен от нуля, то ряд сходится Пример Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда 5 Решение Общий член имеет вид = Так как lim = lim =, то необходимое условие сходимости () не выполняется Следовательно, данный ряд расходится Пример 5 Проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости () для ряда () 5 Решение lim lim = = Как видно, необходимое условие сходимости () выполняется Отметим, что из выполнения условия lim = отнюдь не следует сходимость ряда Ряд () называется гармоническим Этот ряд расходится, хотя для него выполняется необходимое условие сходимости () Основные свойства сходящихся рядов Свойство Если ряд сходится и имеет сумму S, то его можно почленно умножить на одно и то же число С ( C ) При этом полученный ряд С C C C тоже сходится и имеет сумму CS Свойство Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать Если ряд сходится и имеет сумму А, а ряд v v v v сходится и имеет сумму В, то ряд 6

8 ( v) ( v) ( v) сходится и имеет сумму А В, а ряд ( v) ( v) ( v) сходится и имеет сумму А В Свойство Если ряд сходится, то сходится ряд, полученный из данного путем приписывания или отбрасывания любого конечного числа членов Достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов Первый признак сравнения Если каждый член данного ряда с положительными членами, (А) начиная с некоторого члена, не превосходит соответствующего члена другого заведомо сходящегося ряда v v v v, (В) то данный ряд (А) тоже сходится Если же каждый член ряда (А), начиная с некоторого члена, не меньше соответствующего члена заведомо расходящегося ряда (В), то данный ряд (А) тоже расходится Пример 6 Исследовать на сходимость ряд Решение Сравним данный ряд с геометрической прогрессией (*) Ряд (*) сходится, так как знаменатель прогрессии q = p Члены данного ряда не превосходят соответствующих членов геометрической прогрессии (*) Следовательно, по признаку сравнения данный ряд также сходится Пример 7 Исследовать на сходимость ряд Решение Общий член данного ряда = больше общего члена v = гармонического ряда, который, как известно, расходится Следовательно, данный ряд тоже расходится Пример 8 Исследовать на сходимость ряд

9 Решение Сравним данный ряд с бесконечной геометрической прогрессией (**) Так как прогрессия (**) сходится и p, то по признаку сравнения данный ряд также 5 5 сходится Второй признак сравнения Если при существует конечный отличный от нуля предел отношения общих членов рядов (А) и (В), те lim = k, то рассматривае- v мые ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся Пример 9 Исследовать сходимость ряда si si si si Решение Общий член данного ряда = si Общий член расходящегося гармонического ряда v = Применяем второй признак сравнения si Так как lim = lim =, то исследуемый ряд сходится v Пример Известно, что числовой ряд, общий член которого =, сходится Доказать сходимость ряда с общим членом v = ( ) Решение Применяем второй признак сравнения ( ) lim = lim = ( ) Следовательно, ряд с общим членом v = ( ) сходится Пример Доказать сходимость ряда с общим членом = l( ), зная, что ряд с общим членом v = сходится Решение Применяем второй признак сравнения l( ) lim = lim = lim l( ) lim l l lim = l = = = e v 8

10 Следовательно, исследуемый ряд также сходится 5 Признак сходимости Даламбера Признак сходимости Даламбера: если в ряде с положительными членами () отношение ( )-го члена к -му при имеет конечный предел q, то есть lim = q, то ряд () сходится при условии, что q p, и расходится при условии, что q f Если q =, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся В этом случае должны быть использованы другие признаки сходимости Пример Исследовать на сходимость ряд =! Решение = ; =! ( )! Применяем признак Даламбера:! q = lim = lim = lim = ( )!! ( )! Так как q p, то по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится Пример Исследовать на сходимость ряд 5 = ( ) Решение Применяем признак Даламбера: 5 5 = ; = ; ( ) ( )( ) 5 ( ) 5 q = lim = lim = lim 5 ( )( )5 = Так как q = 5 f, то по признаку Даламбера ряд расходится Пример Исследовать на сходимость ряд!!! Решение ( ) = ; = ;! ( )! q = lim ( )! ( ) ( )! ( ) = lim = lim = lim ( )!!( ) = lim = lim = e = 9

11 Так как q = e f, то по признаку Даламбера ряд расходится 6 Интегральный признак сходимости Коши Интегральный признак сходимости Коши: если функция f () на промежутке [, ] является непрерывной, положительной и монотонно убывающей, то числовой ряд, где = f (), сходится, если сходится несобственный интеграл f ( ) d, и расходится, если этот несобственный интеграл расходится Пример 5 Исследовать на сходимость ряд 5 7 Решение Применим интегральный признак сходимости Коши Чтобы составить функцию f (), достаточно в формуле общего члена ряда заменить на Таким образом, f ( ) = Как видно, функция f ( ) на промежутке [, ] является непрерывной, положительной и убывающей Рассмотрим соответствующий несобственный интеграл: d d π π π = lim = lim[ ] = = arctg Так как несобственный интеграл сходится, то по признаку Коши сходится и исследуемый ряд Пример 6 Исследовать на сходимость ряд = ( ) Решение Применим интегральный признак Коши Для данного ряда f ( ) = ( ) d = lim ( ) d = lim ( ) d = lim l [ l( ) ] = = lim l lim l l l l = = = Так как несобственный интеграл сходится, то по признаку Коши сходится и исследуемый ряд Пример 7 Исследовать сходимость ряда, где p - любое действительное число p = Решение Общий член ряда = Если p, то общий член p не будет стремиться к нулю при Следовательно, не выполняется необ-

12 ходимый признак сходимости ряда; ряд в этом случае будет расходиться Для p f применяем признак Коши Для данного ряда f ( ) = Рассмотрим отдельно три случая p ) Пусть p = ; тогда общий член =, ряд гармонический Имеем: d d = lim = lim[ l ] = lim l l = Следовательно, гармонический ряд расходится ) Пусть p f Тогда p d d p = lim = = = = lim d lim lim p p p p p = lim = p p p ) Если p p, то lim = p, и несобственный интеграл расходится Таким образом, ряд сходится при p f и расходится при p p = Этот ряд часто используют для сравнения с другими рядами при исследовании вопроса о сходимости В частности, свойства этого ряда были использованы при решении задач и, где предполагалось, что ряд с общим членом сходится Ряд действительно сходится, так как в = этом случае p = f 7 Радикальный признак сходимости Коши Радикальный признак сходимости Коши: если в ряде с положительными членами () корень -ной степени из -го члена при имеет конечный предел q, то есть lim = q, то ряд () сходится при условии, что q p, и расходится при условии, что q f Если q =, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся В этом случае должны быть использованы другие признаки сходимости Пример 8 Исследовать на сходимость ряд = 5 Решение Имеем = 5

13 Применяем интегральный признак Коши: 5 q = lim = lim = = 9 Так как q p, то по радикальному признаку Коши исследуемый ряд сходится Пример 9 Исследовать на сходимость ряд = Решение Общий член ряда признак Коши: = Применяем радикальный q = lim = lim = lim = e Так как q f, то по радикальному признаку Коши данный ряд расходится 8 Знакочередующиеся ряды Признак Лейбница для сходимости знакочередующихся рядов Оценка остатка ряда Если среди членов данного ряда имеются как положительные, так и отрицательные (притом и тех, и других неограниченное число), то такой ряд называется знакопеременным Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если любые два члена рядом стоящие имеют противоположные знаки Знакочередующийся ряд можно записать так: ( ), () где все числа ( =,,,) положительны Для знакочередующихся рядов справедлив следующий признак сходимости Лейбница Признак Лейбница Если члены ряда () монотонно убывают по абсолютной величине, и общий член стремится к нулю при, то ряд сходится и его сумма по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины первого члена Пример Доказать сходимость ряда ( ) Решение Данный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница Члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают, так как f f f f ; lim = lim = Следовательно, по признаку Лейбница этот ряд сходится

14 Знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница, обладает следующим свойством: если сумму такого ряда заменить -й частичной суммой S = ( ), () то есть отбросить остаток R = S S, то при этом будет допущена ошибка, абсолютная величина которой меньше абсолютной величины первого отброшенного члена Пример Дан сходящийся ряд Сколько членов!!! 5! ряда достаточно учесть, чтобы допущенная ошибка была по абсолютной величине меньше,? Решение Имеем 6 = = ; 7 = = ; так как 7 6! 7 7! 5 p,, то, ограничившись суммой первых шести членов, мы допустим ошибку, абсолютная величина которой меньше, Пример Вычислить с точностью до, сумму ряда 5 6 Решение Данный ряд сходится по признаку Лейбница Отбросив все члены, начиная с, мы допустим ошибку, которая меньше, Так как 5 первый из отброшенных членов имеет знак плюс, то сумма первых четырех членов 59 S = = является приближенным значением суммы данного ряда по недостатку 9 Абсолютная и условная сходимость рядов Свойства абсолютно сходящихся рядов Пусть дан ряд с членами произвольного знака () Составим новый ряд из абсолютных величин членов ряда (): () Ряд () называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, те сходится ряд () Ряд () называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов, те ряд (), расходится Пример Доказать, что ряд ( )

15 сходится условно Решение Если составить ряд из абсолютных величин членов данного ряда, то получим гармонический ряд, который, как известно, расходится Что же касается данного ряда, то он сходится по признаку Лейбница (см пример ) Следовательно, данный ряд сходится условно Пример Доказать, что ряд сходится абсолютно Решение Данный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница Если составить ряд из абсолютных величин его членов, то получим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, которая сходится Следовательно, данный ряд сходится абсолютно Пусть ряд () с членами произвольного знака сходится абсолютно Если в этом ряду выбрать только положительные или только отрицательные члены, то полученные ряды будут оба сходящимися Если же ряд () сходится условно, то ряды, составленные только из положительных или только отрицательных его членов, будут расходящимися рядами Абсолютно сходящиеся ряды обладают следующими свойствами: Свойство Если ряд () сходится абсолютно и имеет сумму S, то любой ряд, полученный из него любой перестановкой членов, сходится также абсолютно и имеет сумму S Свойство Если ряды и v сходятся абсолютно и их суммы = = соответственно равны S и S, то ряд, составленный из всех произведений вида i v k ( i, k =,,,), взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно, и его сумма равна S S Ряд, составленный из всевозможных произведений вида i v k ( i, k =,,,), называют произведением абсолютно сходящихся рядов = и = v Пример 5 Доказать, что ряд сходится абсолютно Решение Положительные члены данного ряда образуют сходящуюся геометрическую прогрессию, сумма которой равна Аналогично отрицательные члены данного ряда образуют прогрессию 8, сумма которой равна Следовательно, данный ряд сходится абсолютно и сумма его равна

16 S S = = Функциональный ряд и его область сходимости Степенной ряд Интервал сходимости Радиус сходимости степенного ряда Пусть дана бесконечная последовательность функций ( ), ( ), ( ),, ( ),, имеющих общую область определения Функциональным рядом называется составленное из этих функций выражение вида ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = () Функциональный ряд () при одних значениях аргумента может оказаться сходящимся числовым рядом, а при других значениях аргумента - расходящимся числовым рядом Если функциональный ряд () сходится при =, то говорят, что ряд сходится в точке Областью сходимости ряда () называется совокупность всех значений аргумента, при которых этот ряд сходится Если члены () функционального ряда () являются степенными функциями аргумента, то ряд называется степенным Степенным рядом называется ряд вида a a( ) a( ) a( ), () где - данное число, а a, a, a, a, - известные числовые коэффициенты В частности, если =, то получаем степенной ряд a a a a a = a = () Очевидно, степенной ряд () всегда сходится при = Определение области сходимости степенного ряда () базируется на следующей теореме Абеля Теорема Абеля Если степенной ряд () сходится при = ( ), то он сходится абсолютно при любом значении, удовлетворяющем неравенству p Если же степенной ряд () расходится при =, то он расходится при любом значении, удовлетворяющем неравенству f Из теоремы Абеля следует, что если степенной ряд сходится в точке, то он сходится в интервале (, ) Можно доказать, что для всякого степенного ряда, который имеет точки сходимости (кроме точки = ) и точки расходимости, существует 5

17 некоторое число R f ; при этом ряд сходится во всех точках, для которых p R, и расходится во всех точках, для которых f R Это число R называется радиусом сходимости ряда () Если ряд () сходится только при =, то полагаем R = Если же ряд () сходится при любом значении, то полагают R = Интервалом сходимости ряда () называется интервал ( R; R ) Чтобы найти область сходимости степенного ряда (), надо сначала определить интервал сходимости ( R; R ) и затем выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала, те при = R и при = R На практике радиус сходимости степенного ряда () отыскивают с помощью признака Даламбера или радикального признака Коши Применим признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов ряда (): a a lim = lim = q, a a a где lim = q a Ряд () сходится абсолютно при всех тех значениях, которые удовлетворяют неравенству q p, или p, или p p, или q q q R p p R, () a где радиус сходимости R = = lim q a (5) Отметим, что формула (5) справедлива только в том случае, если степень при переходе от одного члена к следующему возрастает строго на единицу Для степенных рядов справедливы следующие теоремы: Теорема Сходящийся степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз внутри его области сходимости Теорема Сходящийся степенной ряд можно почленно интегрировать в любом промежутке, содержащемся внутри области сходимости данного ряда Пример 6 Найти область сходимости степенного ряда (*) Решение a = ; a = a Радиус сходимости R = lim = lim a 6

18 Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-; ) Теперь исследуем поведение ряда на границах найденного интервала, те при =, = Если =, то получаем ряд ( ), который сходится по признаку Лейбница Если =, то из (*) получаем гармонический ряд, который расходится Таким образом, область сходимости данного ряда есть промежуток [-; ) Пример 7 Найти область сходимости ряда =! Решение ( )! a = ; = ; = lim = lim( =! ( )! ) a R! Так как R =, то исследуемый ряд сходится при любом значении переменной Пример 8 Найти область сходимости ряда = Решение ( ) a = ; a = ; R = lim = lim = = ( ) При = получаем ряд ( ), который сходится по признаку Лейбница При = получаем гармонический ряд, который, как известно, расходится Следовательно, область сходимости ряда есть промежуток [-; ) Пример 9 Найти радиус сходимости ряда! = Решение =! ( )! a ; a = ; ( ) a R = lim a!( ) = lim ( )! = lim = lim = e Таким образом, R = e!( ) ( ) ( ) = lim = lim!( ) Ряды Тейлора и Маклорена Разложение функций в степенной ряд Если функция f () непрерывна в некотором интервале, содержащем точку = a, и в этом интервале имеет непрерывные производные от первой до -го порядка включительно, то она может быть представлена в виде = 7

19 суммы многочлена -й степени и остаточного члена R () по формуле Тейлора: ( ) f ( a) f ( a) f ( a) f ( a) f ( ) = f ( a) ( a) ( a) ( a) ( a) R ( ) ()!!!! Предполагая, что функция f () имеет в окрестности точки = a производные до ( )-го порядка включительно, можно остаточный член R () записать в форме Лагранжа так: ( ) f ( c) R ( ) = ( a), () ( )! где с некоторое среднее значение между а и х, те p c p a (или a p c p ) Если в формуле Тейлора положить a =, то получим формулу Маклорена: ( ) f () f () f () f ( ) = f () R ( ), ()!!! ( ) f ( c) где R ( ) =, () ( )! а число с заключено между и х, те с принадлежит интервалу (, х) Если функция f () имеет в некотором интервале, содержащем точку = a, производные любого порядка, и если для некоторого значения х остаточный член R () в формуле Тейлора стремится к нулю при, то получаем ряд Тейлора: ( ) f ( a) f ( a) f ( a) f ( ) = f ( a) ( a) ( a) ( a) (5)!!! В частном случае, при a =, получаем ряд: ( ) f () f () f () f ( ) = f () (6)!!! Ряд (6) называется рядом Маклорена Данная функция f () может быть разложена в ряд Маклорена, если она имеет производные любого порядка, те бесконечно дифференцируема в точке = Это условие является необходимым Для разложимости функции f () в ряд Маклорена необходимо и достаточно, чтобы остаточный член R () стремился к нулю при, те ( ) f ( c) lim R ( ) = lim = (7) ( )! Если условие (7) не имеет места, то степенной ряд, стоящий в правой части (6), не представляет собой функцию f () Если условие (7) выполняется на некотором промежутке, то на этом промежутке составленный ряд Маклорена сходится к функции f () Условие (7) можно переписать так: 8

20 lim R ( ) = lim f Так как ( )! ( ) ( c) lim = (7 ) ( )! есть общий член ряда, который сходится при любом значении х, то при любом значении х имеем lim = Отсюда следует, ( )! ( что условие (7) будет выполняться в любом промежутке, в котором f ) ( c) есть величина ограниченная, где p c p Пример Разложить в степенной ряд функцию f ( ) = e Решение Последовательно дифференцируя функцию f (), будем иметь: ( ) f ( ) = e ; f ( ) = e ;; f ( ) = e ; Вычислим значения самой функции и ее производных при = : ( ) f () = e = ; f () = e = ;; f () = e = ; Подставив найденные значения производных в правую часть (6), получим следующий степенной ряд: (*)!!!! В задаче 7 было установлено, что радиус сходимости этого ряда R =, те ряд сходится при любом значении х Если теперь удастся доказать, что lim R ( ) =, то найденный ряд (*) будет представлять собой разложение функции e Так как f ( ) ( ) = e, то остаточный член в форме Лагранжа запишется так: ( ) f ( c) c R ( ) = = e ( )! ( )! c Так как e есть величина ограниченная, а второй сомножитель ( )! стремится к нулю при, то lim R ( ) = Следовательно, ряд (*) сходится к функции e при любом х c Таким образом, e =, (8)!!!! где p p Пример Разложить в степенной ряд функцию f ( ) = si Решение Вычислим производные любого порядка от этой функции при = : f ( ) = si, f () = ; f ( ) = cos, f () = ; f ( ) = si, f () = ; 9

21 f ( ) = cos, f () = ; f () ( ) = si, f () () = ; (5) (5) f ( ) = cos, f () = Нетрудно заметить, что производные четного порядка равны нулю, а ( ) производные нечетного порядка f () = ( ) Составляем ряд Маклорена для функции f ( ) = si : 5 7 ( ) (**)! 5! 7! ( )! Этот ряд сходится при любом значении х Исследуем теперь остаточный член R () Так как производные любого порядка по абсолютному ( значению не больше единицы, те f ) ( c), то lim R ( ) = Следовательно, найденный ряд (**) сходится к функции si при любом значении х Итак, 5 7 si = ( ), (9)! 5! 7! ( )! где p p Пример Разложить в степенной ряд функцию f ( ) = cos Решение Последовательно дифференцируя данную функцию и вычисляя значения производных при =, будем иметь: f ( ) = cos, f () = ; f ( ) = si, f () = ; f ( ) = cos, f () = ; f ( ) = si, f () = ; f () ( ) = cos, f () () = ; (5) (5) f ( ) = si, f () = Легко заметить, что производные нечетного порядка равны нулю, а () производные четного порядка f = ( ) Составим ряд Маклорена для функции f ( ) = cos : 6 ( ) (***)!! 6! ()! Для составленного ряда радиус сходимости R = Исследуем остаточный член R () Так как производные любого порядка по абсолютному значению не больше единицы, то условие (7) выполняется, те lim R ( ) =, и ряд (***) при любом значении х сходится к функции cos : 6 cos = ( ), ()!! 6! ()! где p p Пример Разложить в ряд Маклорена функцию f ( ) = e

22 Решение Заменив в формуле (8) х на -х, получим искомое разложение: ( ) ( ) ( ) ( ) e =!!!! или e = ( )!!! ( )! Пример Разложить в степенной ряд функцию f ( ) = si Решение Заменяя в равенстве (9) х на х, получим искомое разложение: 5 5 si = ( )! 5! ( )! Пример 5 Разложить в степенной ряд функцию f ( ) = si cos Решение Из тригонометрии известно, что si = Предварительно найдем разложение функции cos, для чего заменим в равенстве () х на х: 6 () () () cos =!! 6! 6 () () ( ) Тогда cos = и!! 6! 5 6 si = ( ),!! 6! ()! где p p m Пример 6 Разложить в ряд Маклорена функцию f ( ) = ( ), где m - любое действительное число Решение Вычислим значения производных любого порядка при = : m f ( ) = ( ), f () = ; m f ( ) = m( ), f () = m; m f ( ) = m( m )( ), f () = m( m ); m f ( ) = m( m )( m )( ), f () = m( m )( m ); ( ) m ( ) f ( ) = m( m )( m )( ), f () = m( m )( m ) m Составим ряд Маклорена для заданной функции ( ) : m m( m ) m( m )( m ) (*)!!! Определим радиус сходимости составленного ряда (*): m( m )( m ) m( m )( m )( m ) a = ; a = ;! ( )!

23 a m( m )( m )( )! R = lim = lim = lim = lim = a! ( )( )( ) m m m m m m Следовательно, ряд (*) сходится в интервале (-, ) Можно доказать, m что в этом интервале ряд (*) сходится к функции ( ) Таким образом, m m m( m ) m( m )( m ) ( ) =, ()!!! где p p Ряд () называется биномиальным Если m есть число целое и положительное, то правая часть () обрывается на ( m )-м члене, так как все последующие члены в этом случае равны нулю Пример 7 Разложить в степенной ряд функцию f ( ) = Решение Данную функцию можно записать так: ( ) Чтобы найти искомый ряд, достаточно в разложении () положить m = Тогда получим: 5 =!! или =!!! Пример 8 Разложить в ряд Маклорена функцию f ( ) = l( ) Решение Последовательно дифференцируя данную функцию f ( ) = l( ) и вычисляя значения производных при =, будем иметь: f ( ) = = ( ), f () = ; f ( ) = ( ), f () = ; f ( ) = ( ), f () = ; () () f ( ) = ( ), f () = ; ( ) ( ) f ( ) = ( ) ( )!( ), f () = ( ) ( )! Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получим: ( )! l( ) = ( )!!!!! или l( ) = ( ) () `

24 Степенной ряд, стоящий в правой части (), сходится в промежутке (-, ] Можно доказать, что в этом промежутке ряд сходится к функции l( ) l( ) Пример 9 Разложить в степенной ряд функцию f ( ) = Решение Данную функцию можно переписать так: f ( ) = ( ) l( ) Функцию ( ) можно разложить в степенной ряд, положив в равенстве () m = : ( ) = (*) Разложением функции l( ) служит ряд () Чтобы получить искомое разложение, достаточно перемножить ряды (*) и () (ввиду абсолютной сходимости этих рядов) Следовательно, l( ) = ( ) ( ) = = ( ) ( ) ( ), где p p Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям Рассмотрим некоторые примеры вычислений с помощью степенных рядов а) Вычисление значений тригонометрических функций Пример Найти приближенное значение cos (с точностью до,) Решение Переведем градусную меру угла в радианную Так как cos cos π π =, то в разложение функции cos положим = : 8 8 π π π 8 8 cos = 8!! или (,75) (,75) cos =!! (*) (,75) (,),6 Так как p = p,, то требуемая точность будет! обеспечена, если ограничиться только первыми двумя членами разложения (*) Итак, (,75) cos,988!

25 Пример Найти приближенное значение si 8 (с точностью до,) Решение si8 si π π = ; положив в разложении функции si =, получим: 5 π π π π si =! 5! Так как полученный ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, а третий член разложения меньше,, то получаем: si8,,5 =,9 в) Приближенное вычисление корней Пример Вычислить 6 с точностью до, Решение = 65 5 = 65(,8) = 5,8 = 5(,8) 6 Используем биномиальный ряд () Полагая =, 8 и m =, полу- чим следующее разложение: 7 (,8) =,8 (,8) (,8) 6! 6! или (,8) =,,6,8 (*) Если в знакочередующемся ряде (*) учитывать только первые два члена, а остальные отбросить, то погрешность при вычислении, 8 не превысит по абсолютной величине,6 Тогда погрешность при вычислении 6 = 5,8 не превысит числа 5,6 =, p, Следовательно, 6 = 5,8 5(,) = 5, Пример Вычислить 6 с точностью до, Решение 5 = = 5( ) = 8 = 8 = 8 5 Чтобы обеспечить требуемую точность, достаточно учитывать только первые три члена знакочередующегося ряда Итак, 6 8 8,6 с) Приближенное вычисление определенных интегралов Пусть требуется вычислить определенный интеграл f ( ) d, для которого не может быть использована формула Ньютона-Лейбница, так a как

26 первообразная функция не выражается в элементарных функциях Если подынтегральная функция f () разлагается в степенной ряд, а отрезок интегрирования [ a, ] принадлежит области сходимости этого ряда, то, ссылаясь на теорему о том, что сходящийся степенной ряд можно почленно интегрировать в любом промежутке, лежащем внутри области сходимости, получаем равенство: ( ) f () f () f () f ( ) d = f () d a a!!! Пример Вычислить e d с точностью до, Решение Так как для данного интеграла не может быть использована формула Ньютона-Лейбница, то разложим подынтегральную функцию e в степенной ряд и затем будем почленно интегрировать полученный сходящийся ряд в указанных пределах Заменив в разложении функции e на, получим искомое разложение: 6 e = ( )!!!! Следовательно, 6 8 e d = d =!!!! 5! = =!5!7!9 5! 6 Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница Так как шестой член этого ряда по абсолютной величине меньше,, то для обеспечения требуемой точности достаточно учесть только сумму первых пяти членов Таким образом, e d 6 Пример 5 Вычислить Решение,77 d с точностью до, d = ( ) d Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд Для этого положим m = и заменим на : 6 ( ) = 9 8 5

27 Так как отрезок интегрирования, принадлежит области сходимости полученного ряда (-, ), то будем интегрировать почленно в ука- занных пределах: d 6 = d = = = В полученном знакочередующемся ряде четвертый член по абсолютному значению меньше, Следовательно, требуемая точность будет обеспечена, если учитывать только три члена ряда d 9 = =, Так как первый из отброшенных членов имеет знак минус, то полученное приближенное значение будет с избытком Поэтому ответ с точностью до, равен,87 Пример 6 Вычислить si d с точностью до, Решение Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда Заменив в разложении функции si х на х, получим: 5 7 () () () si =! 5! 7! Тогда si d =! 5 5! 7 7! 6 d = = =! 5! 5 7! Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница Четвертый член ряда по абсолютному значению меньше, Чтобы обеспечить требуемую точность, достаточно найти сумму первых трех членов Следовательно, si d 8 6,96 6

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ПЛАН ЛЕКЦИИ Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВОЙ РЯД Бесконечная сумма чисел вида: а а а... а... 3 называется числовым

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы РБ КАРАСЕВА Р Я Д Ы Омск Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» РБКарасева Р Я Д Ы Учебное пособие Омск СибАДИ УДК ББК К Рецензенты:

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И М Аксененкова ТР Игонина ОА Малыгина НС Чекалкин АГ Шухов Редактор: НС Чекалкин Математический анализ семестр

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. Учебное пособие

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие. Н. Ю. Горбунова, Н. Н. Платонова

РЯДЫ. Учебное пособие. Н. Ю. Горбунова, Н. Н. Платонова Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени

Подробнее

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика»

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» «Ряды Часть II» Авторы

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть IV для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 45 «Сети

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики Экзаменационный билет Факультет: ПО и ВП, гр.04, 07 и 7.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.. Признак Лейбница. 3 Вычислить интеграл: dx 0 x 6x + Экзаменационный билет Факультет: : ЭМФ.

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет им СА Есенина» ЛГ Насыхова, МТ Терехин ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти радиус сходимости степенного ряда, используя признак Даламбера: ( 89 ( ) n n (n!) ) p (n + )! n= Ряд Тейлора f(x)

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности «Математика» (2 семестр)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности «Математика» (2 семестр) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математического анализа МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания

Подробнее

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция 5 Абсолютная и условная сходимости. Понятие абсолютной и условной сходимостей Пусть дан ряд (данный ряд). Поставим ему в соответствие ряд, члены которого равны

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э.

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика РЯДЫ Методические указания к курсовой работе Составитель:

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее