x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)"

Транскрипт

1 ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В.

2 Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений Определения Теорема о структуре общего решения НСЛДУ Однородные системы линейных дифференциальных уравнений Теорема о линейном пространстве решений СОЛДУ Фундаментальная система решений СОЛДУ. Вронскиан Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций Теорема о вронскиане фундаментальной матрицы Теорема об обратимости фундаментальной матрицы Теорема о структуре общего решения СОЛДУ Теорема о восстановлении СОЛДУ по ФСР Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Теорема о корневом подпространстве и СДУ Замечание о комплексном решении СОЛДУ

3 4. Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений 30

4 1. Системы линейных дифференциальных уравнений Сначала рассмотрим несколько определений.

5 1.1. Определения Определение 1. Системой линейных дифференциальных уравнений (сокращенно СЛДУ) называется СДУ вида x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t)... x n = a n1 (t)x 1 + a n2 (t)x a nn (t)x n + b n (t) (1)

6 1.1. Определения Определение 2. Системой линейных дифференциальных уравнений (сокращенно СЛДУ) называется СДУ вида x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t)... x n = a n1 (t)x 1 + a n2 (t)x a nn (t)x n + b n (t) Систему линейных дифференциальных уравнений удобно записывать в матричном виде: X = A(t)X + B(t), (2) где A(t) = a 11 (t) a 12 (t)... a 1n (t) a 21 (t) a 22 (t)... a 2n (t)... a n1 (t) a n2 (t)... a nn (t), B(t) = b 1 (t) b 2 (t)... b n (t), X(t) = x 1 (t) x 2 (t)... x n (t). (1)

7 1.1. Определения Методика, разработанная для линейных дифференциальных уравнений переносится на случай систем линейных дифференциальных уравнений с некоторыми изменениями, но расчеты становятся более громоздкими. Поэтому с СЛДУ удобно работать в матричной форме.

8 1.1. Определения Определение 3. Линейная система дифференциальных уравнений называется однородной или СОЛДУ тогда и только тогда, когда B(t) = 0, то 0 есть B(t) = В противном случае линейная система дифференциальных уравнений называется неоднородной системой дифференциальных 0 уравнений или сокращенно НСЛДУ.

9 1.1. Определения Определение 4. Линейная система дифференциальных уравнений называется однородной или СОЛДУ тогда и только тогда, когда B(t) = 0, то 0 есть B(t) = В противном случае линейная система дифференциальных уравнений называется неоднородной системой дифференциальных 0 уравнений или сокращенно НСЛДУ. Определение 5. Линейная система дифференциальных уравнений называется линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами тогда и только тогда, когда все a ij являются константами (коэффициенты b i могут при этом зависеть от t).

10 1.2. Теорема о структуре общего решения НСЛДУ Теорема 1 (О структуре общего решения НСЛДУ). Общее решение НСЛДУ X = A(t)X + B(t) равно сумме общего решения соответствующей СОЛДУ X = A(t)X и произвольного фиксированного частного решения исходной НСЛДУ. Доказательство. Пусть X(t) произвольное частное решение исходной НСЛДУ X = A(t)X + B(t), X OO (t, C 1,..., C n ) общее решение СОЛДУ X = A(t)X. Надо, во-первых, доказать, что при любых значениях C1, C2,..., Cn констант C 1, C 2,..., C n вектор-функция X OO (t, C1,..., Cn) + X(t) является решением исходной НСЛДУ X = A(t)X + B(t), и, во-вторых, для любого решения X(t) НСЛДУ X = A(t)X + B(t) найдутся такие значения C1, C2,..., Cn констант C 1, C 2,..., C n, что X(t) = X OO (t, C1,..., Cn) + X(t). Докажем первое из этих утверждений. Пусть C1, C2,..., Cn произвольные значения констант C 1, C 2,..., C n. Тогда (X OO (t, C 1,..., C n) + X(t)) = X OO(t, C 1,..., C n) + X (t) = = A(t)X OO (t, C 1,..., C n) + A(t)X(t) + B(t) = = A(t) (X OO (t, C 1,..., C n) + X(t)) + B(t),

11 то есть X OO (t, C 1,..., C n) + X(t) решение НСЛДУ X = A(t)X + B(t). Теперь докажем второе утверждение. Пусть X(t) произвольное решение НСЛДУ X = A(t)X + B(t). Тогда (X(t) X(t)) = X (t) X (t) = = (A(t)X(t) + B(t)) (A(t)X(t) + B(t)) = A(t) (X(t) X(t)). Значит, X(t) X(t) является решением СОЛДУ X = A(t)X. Так как X OO (t, C 1,..., C n ) общее решение этой СОЛДУ, то, по определению общего решения, найдутся такие значения C1,..., Cn констант C 1,..., C n, что X(t) X(t) = X OO (t, C1,..., Cn). Следовательно, при этих значениях констант имеет место тождество X(t) = X OO (t, C1,..., Cn) + X(t), что и требовалось доказать.

12 2. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений По аналогии с системами линейных алгебраических уравнений сначала рассмотрим однородные системы.

13 2.1. Теорема о линейном пространстве решений СОЛДУ Теорема 2 (О линейном пространстве решений СОЛДУ). Множество решений СОЛДУ X = A(t)X является линейным пространством относительно операций сложения вектор-функций и умножения вектор-функции на число. В частности, любая линейная комбинация λy (t) + µz(t) решений Y (t), Z(t) СОЛДУ X = A(t)X является решением этой СОЛДУ. Доказательство. Так как множество дифференцируемых функций является линейным пространством, то надо только доказать, что множество решений СОЛДУ X = A(t)X является подпространством в нем. Для этого, согласно критерию подпространства, достаточно проверить, что линейная комбинация λy (t) + µz(t) решений Y (t), Z(t) СОЛДУ X = A(t)X является решением этой СОЛДУ. Итак, пусть Y = A(t)Y и Z = A(t)Z. Тогда (λy + µz) (t) = λy (t) + µz (t) = λa(t)y (t) + µa(t)z(t) = ( ) = A(t) λy (t) + µz(t), то есть λy + µz действительно является решением СОЛДУ X = A(t)X.

14 2.2. Фундаментальная система решений СОЛДУ. Вронскиан Определение 6. Всякий базис пространства решений СОЛДУ X = A(t)X называется фундаментальной системой решений этой СОЛДУ, сокращенно ФСР. Если {X 1 (t), X 2 (t), (..., X n (t)} фундаментальная ) система решений этой СОЛДУ, то Φ(t) = X 1 (t) X 2 (t)... X n (t) называется фундаментальной матрицей СОЛДУ X = A(t)X.

15 2.2. Фундаментальная система решений СОЛДУ. Вронскиан Определение 6. Всякий базис пространства решений СОЛДУ X = A(t)X называется фундаментальной системой решений этой СОЛДУ, сокращенно ФСР. Если {X 1 (t), X 2 (t), (..., X n (t)} фундаментальная ) система решений этой СОЛДУ, то Φ(t) = X 1 (t) X 2 (t)... X n (t) называется фундаментальной матрицей СОЛДУ X = A(t)X. Определение 7. Вронскианом системы вектор-функций {X 1 (t), X 2 (t),..., X n (t)} называется определитель ( ) W (X 1 (t), X 2 (t),..., X n (t)) = det X 1 (t) X 2 (t)... X n (t).

16 2.3. Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций Теорема 3 (о вронскиане линейно зависимой системы функций). Вронскиан линейно зависимой системы функций {X 1 (t), X 2 (t),..., X n (t)} тождественно равен 0.

17 2.3. Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций Теорема 3 (о вронскиане линейно зависимой системы функций). Вронскиан линейно зависимой системы функций {X 1 (t), X 2 (t),..., X n (t)} тождественно равен 0. Доказательство. ( Очевидно, так ) как по условию при любом t система столбцов матрицы X 1 (t) X 2 (t)... X n (t) линейно зависима.

18 2.3. Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций Теорема 3 (о вронскиане линейно зависимой системы функций). Вронскиан линейно зависимой системы функций {X 1 (t), X 2 (t),..., X n (t)} тождественно равен 0. Возникает естественное предположение, что эту теорему можно превратить в критерий. Однако это не так, из того, что вронскиан системы вектор-функций тождественно равен 0, не следует, что эта система линейно зависима. ( ) Например, 0 при t < 0 0 рассмотрим систему функций {X 1 (t), X 2 (t)}, где X 1 (t) = X 2 (t) = ( t 2 0 ( 0 0 ) ) при t < 0 при t 0 ( 0 t 2 ) при t 0. Нетрудно доказать, что вектор-функции X 1 (t) и,

19 X 2 (t) дифференцируемы на всей числовой оси. Покажем, ( что ) система функций 0 {X 1, X 2 } линейно независима. Пусть λx 1 (t) + µx 2 (t). Тогда при t > 0 получаем λ 0 ( ) ( ) ( ) t 2 + µ, откуда λ = 0. С другой стороны, при t < 0 получаем λ + µ, откуда µ = 0. Таким образом, λ = µ = 0. Зна- 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 t чит, система функций {X 1 (t), X 2 (t)} линейно независима. Но, очевидно, вронскиан этой системы тождественно равен 0: W (X 1 (t), X 2 (t)) = 0. Действительно, при отрицательных t имеем W (X 1, X 2 ) = 0 t2. При неотрицательных t полу- t < = 0. t 0 чаем W (X 1, X 2 ) = 0 0. Таким образом, при любых значениях t имеем W (X 1, X 2 ) = 0, несмотря на то, что система вектор-функций {X 1, X 2 } линейно t 2 0 = 0. независима. Однако, оказывается, рассматриваемая ситуация является своеобразной «патологией», которой «не страдают» решения СОЛДУ!

20 2.4. Теорема о вронскиане фундаментальной матрицы Теорема 4 (о вронскиане фундаментальной матрицы). Система решений {X 1 (t), X 2 (t),..., X n (t)} СОЛДУ X = A(t)X является фундаментальной системой решений этого СОЛДУ тогда и только тогда, когда W (X 1 (t), X 2 (t),..., X n (t)) не обращается в ноль ни в одной точке. Без доказательства.

21 мат- Теорема 5 (об обратимости фундаментальной матрицы). Фундаментальная рица СОЛДУ X = A(t)X обратима в любой точке Теорема об обратимости фундаментальной матрицы Доказательство. Это прямое следствие критерия обратимости матрицы и теоремы о вронскиане фундаментальной матрицы.

22 2.6. Теорема о структуре общего решения СОЛДУ Теорема 6 (О структуре общего решения СОЛДУ). Общее решение СОЛДУ X = A(t)X имеет вид C 1 X OO (t, C 1, C 2,..., C n ) = C 1 X 1 (t) + C 2 X 2 (t) C n X n (t) = Φ(t) C C n где {X 1 (t), X 2 (t),..., X n (t)} фундаментальная система решений СОЛДУ X = A(t)X, Φ(t) фундаментальная матрица этой СОЛДУ. Доказательство. Это прямое следствие из теоремы о линейных комбинациях базисных векторов (доказанной в курсе алгебры) и доказанной выше теоремы о линейном пространстве решений СОЛДУ.

23 2.7. Теорема о восстановлении СОЛДУ по ФСР Теорема 7 (о восстановлении СОЛДУ по ФСР). Если Φ(t) фундаментальная матрица СОЛДУ X = A(t)X, то A(t) = Φ (t)φ 1 (t). Доказательство. Так как каждый столбец матрицы Φ(t) является решением СОЛДУ X = A(t)X, то с помощью умножения на макроуровне получаем Φ (t) = A(t)Φ(t), откуда, в силу теоремы об обратимости фундаментальной матрицы, получаем требуемое равенство A(t) = Φ (t)φ 1 (t). С помощью этих результатов проблема нахождения общего решения СОЛДУ сведена к намного более простой проблеме нахождения фундаментальной системы решений этой СОЛДУ. В крайнем случае это можно сделать и численно, но в данном курсе нас интересуют точные решения. Мы ограничимся хорошо разработанной теорией решения СОЛДУ с постоянными коэффициентами.

24 3. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Для решения СОЛДУ X = AX с постоянными коэффициентами обычно применяют метод Эйлера решения СОЛДУ с постоянными коэффициентами.

25 3.1. Теорема о корневом подпространстве и СДУ Теорема 8 (о корневом подпространстве и СДУ). Пусть = {E 0, E 1,..., E k } базис жордановой клетки матрицы A, отвечающий собственному значению λ, где A матрица коэффициентов ОСЛДУ с постоянными коэффициентами X = A X. Для каждого номера m с условием 0 m k обозначим через Y m (t) вектор-функцию m E p t m p (m p)! eλt, то есть положим Y m (t) = ( E 0 tm m! + E 1 p=0 t m 1 (m 1)! E m 1 t + E m ) e λt. (3) Тогда система функций {Y 1 (t), Y 2 (t),..., Y k (t)} является линейно независимой системой решений ОСЛДУ X = A X. Доказательство. Левая часть доказываемого равенства Y m = A Y m равна ( m ) t m p m 1 E p (m p)! t m p 1 m eλt = E p (m p 1)! eλt + E p λ tm p (m p)! λ eλt. p=0 p=0 p=0

26 Правая часть равенства Y m = A Y m равна ( m ) t m p m A E p (m p)! t m p eλt = (m p)! eλt (A E p ) = = p=0 + tm m! eλt λ E 0 + m 1 p=0 Теорема доказана. E p m p=1 t m p 1 (m p 1)! eλt + p=0 t m p (m p)! eλt (λe p E p 1 ) = m E p λ tm p (m p)! λ eλt. p=0

27 3.2. Замечание о комплексном решении СОЛДУ Замечание 1 (о комплексном решении СОЛДУ). Если λ комплексное число, то вещественная и мнимая часть решения (3) тоже являются решениями этого СОЛДУ. Рассмотреть пример?

28 Дальше всякий мусор. В полном объеме этот метод требует использования нормальной жордановой формы, поэтому мы рассмотрим только «урезанный» вариант этого метода, применимый не ко всем системам, и укажем способ, с помощью которого можно «подправить» наш вариант метода Эйлера для решения произвольных СОЛДУ с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера состоит в том, что решение СОЛДУ ищется в некотором специальном виде. Мы будем искать его в виде X(t) = P e λt, где P некоторая матрица-столбец (ее коэффициенты числа). Подставляя это решение в СОЛДУ X = AX, получаем λ P e λt = A P e λt. Сокращая на ненулевое число e λt, получаем A P = λp. Это хорошо нам знакомая задача на нахождение собственного вектора и собственного значения линейного оператора с матрицей A в некотором базисе. При этом мы находим λ и P. Неприятности могут возникнуть в том случае, если A матрица оператора, не являющегося оператором простой структуры. Тогда для некоторого корня λ i кратности k характеристического уравнения получим меньше, чем k линейно независимых собственных векторов. Пусть мы получим m векторов. В этом случае для нахождения оставшихся k m линейно независимых решений СОЛДУ, соответствующих собственному значению λ i можно применить метод неопределен-

29 ных коэффициентов. Он состоит в том, что недостающие решения ищем в виде p 1 (t) p 2 (t)..., где p i(t) многочлены степени не выше k m. p n (t) Осталось рассмотреть еще случай, когда корень характеристического многочлена комплексный: λ i = α + iβ. Ситуация и в этом случае напоминает ту, с которой мы сталкивались в теории дифференциальных уравнений. Во-первых, комплексные корни появляются парой: α ± iβ. Поэтому по каждому «комплексному решению» P e (α+iβ)t = (Q + ir) (cos βt + i sin βt)e αt = = (Q cos βt R sin βt) e αt + i (Q sin βt + R cos βt) e αt. мы должны научиться находить пару «вещественных решений». Это сделать легко, если заметить, что и вещественная, и мнимая часть этого «комплексного решения» СОЛДУ X = AX снова являются решениями этой СОЛДУ. Рассмотреть пример?

30 4. Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений Теорема о структуре общего решения НСЛДУ сводит проблему нахождения общего решения НСЛДУ к проблемам нахождения общего решения соответствующего СОЛДУ (эту проблему мы уже рассмотрели), и нахождения частного решения исходного НСЛДУ. Оказывается, если известно общее решение соответствующего СОЛДУ, то относительно нетрудно найти частное решение исходного НСЛДУ. А именно, пусть X OO (t, C 1, C 2,..., C n ) = Φ(t) D, где D = C 1 C 2... C n общее решение СОЛДУ X = A(t)X при t (a, b), где b может быть +. Будем искать частное решение X(t) НСЛДУ X = A(t)X + B(t) в виде Φ(t) D(t), где C 1 (t) C D(t) = 2 (t).... C n (t)

31 Учитывая тождество Φ (t) = A(t)Φ(t), получаем, ( Φ D) (t) = Φ (t) D(t) + Φ(t) D (t) = A(t)Φ(t) D(t) + Φ(t) D (t). Следовательно, подставляя Φ(t) D(t) в исходное НСЛДУ X = A(t)X + B(t), получим A(t)Φ(t) D(t) + Φ(t) D (t) = A(t)Φ(t) D(t) + B(t), откуда Φ(t) D (t) = B(t). Следовательно, согласно теореме об обратимости фундаментальной матрицы вектор-функция D(t) должна удовлетворять уравнению D (t) = Φ 1 (t) B(t), (4) покоординатно интегрируя которое получаем требуемую вектор-функцию t D(t) = Φ 1 (τ) B(τ) dτ t 0 (где {t 0, t} (a, b)), и, следовательно, получим ис-

32 комое частное решение X(t) = Φ(t) D(t) = Φ(t) t Φ 1 (τ) B(τ) dτ. Таким образом, согласно теореме о структуре общего решения НСЛДУ, общее решение системы X (t) = A(t)X(t) + B(t) имеет вид X(t) = X OO (t, C 1, C 2,..., C n ) + X(t) = Φ(t) D + Φ(t) t 0 t t 0 Φ 1 (τ) B(τ) dτ. (5) Этот метод нахождения частного решения называется, естественно, методом вариации произвольных постоянных. Формула (5) называется формулой Коши. Рассмотреть пример?

33 Список литературы [1] Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, с. [2] Болгов В. А., Ефимов А. В., Каракулин А. Ф. и др. Сборник задач по математике для втузов. Т. 2 «Специальные разделы математического анализа». М.:Наука, С [3] Корн. Г., Корн Т. Справочник по высшей математике для научных работников и инженеров. М.: Наука г. 833 с. [4] Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, С. 36. [5] Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие для втузов. М.: Высш.школа, 1978, 287 с. М.: Наука, С. 36. [6] Н.В.Мельникова, Ю.Б.Мельников. Лекции по алгебре. Ч 1. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2000, ISBN с.

34 [7] Н.В.Мельникова, Ю.Б.Мельников. Лекции по алгебре. Ч 2. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2000, ISBN с. [8] А.А.Махнев, Н.В.Мельникова, Ю.Б.Мельников. Определенные и несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра. Ряды. Изд-во Урал. ун-та, Екатеринбург, 2001 г, ISBN с. [9] Мельникова Н.В., Мельников Ю.Б. Жорданова нормальная форма матрицы // Изд-во УГТУ, Екатеринбург, 1998 г, 31 с.


1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Линейные системы со специальной правой частью

Линейные системы со специальной правой частью Линейные системы со специальной правой частью А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этой лекции мы рассмотрим неоднородные линейные уравнения, однородная часть которых автономна.

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Аннотация Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.4

Линейная алгебра. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н.

Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н. Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н. www.linis.ru Основные понятия и определения. Нормальные системы Определение. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Линейные неавтономные системы

Линейные неавтономные системы Линейные неавтономные системы А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В предыдущих лекциях исследовались линейные автономные системы. Они допускают точные решения, которые выражаются

Подробнее

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия Нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка n называется система вида n dk akj j k n d j () где a cons kj Вводя

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции.

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции. Функции от матриц Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ. 2011-2012 учебный год. Общее замечание. В этом листочке мы рассматриваем матицы над полем комплексных чисел, хотя условие задач везде вещественно. Следите

Подробнее

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов Теория полугрупп Полугруппы линейных операторов Пример Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами dx ax x x Как решить эту начальную задачу или, другими словами, задачу

Подробнее

1) Найти общее решение дифференциального уравнения (из контрольной УПИ, 2007)

1) Найти общее решение дифференциального уравнения (из контрольной УПИ, 2007) ) Найти общее решение дифференциального уравнения y + y (из контрольной УПИ, 007) - линейное неоднородное ДУ 3-го порядка. Общее решение уравнения представляет собой сумму общего решения ŷ соответствующего

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".

Подробнее

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ (

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ ( Краевые задачи L ни разу все функции комплекснозначные Определение: - задачей называют задачу найти такое что верно задача имеет хоть одно решение а именно Предложение : - линейный оператор L и - линейные

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y +, ) Найти решение ДУ ( ) удовлетворяющее начальным условиям,. Данное уравнение не содержит в явном виде независимой переменной x ; интегрируем его методом понижения порядка. Суть метода заключается в

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А.

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А. Лекция Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Однородная система линейных алгебраических уравнений Пусть дана однородная система линейных уравнений: или в матричной форме: m m n n A

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 41 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

Лекция 5 Решение волнового уравнения. 1. Решение Даламбера 2. Формула Даламбера 3. Решение 1-й начально краевой задачи для волнового уравнения

Лекция 5 Решение волнового уравнения. 1. Решение Даламбера 2. Формула Даламбера 3. Решение 1-й начально краевой задачи для волнового уравнения Лекция 5 Решение волнового уравнения 1. Решение Даламбера 3. Решение 1-й начально краевой задачи для волнового уравнения 1.Решение Даламбера Рассмотрим уравнение колебаний однородной струны 2 u t 2 = 2

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

Тема: Линейные операторы

Тема: Линейные операторы Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

О б р а з е ц в ы п о л н е н и я э т а п а #5

О б р а з е ц в ы п о л н е н и я э т а п а #5 Курсовая работа по курсу «Дифференциальные уравнения». Выполнил студент группы 7o-0С Иванов И.И. Вариант Этап #5 Задание: Вариант = x + 3y., x(0) = 4, y(0) y = 4y + x x = x + y., x(0) = 4, y(0) y = 3y

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее