ИГРОВАЯ ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ИГРОВАЯ ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ"

Транскрипт

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики Магистерская диссертация ИГРОВАЯ ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ Работу выполнил студент Славнова А.В. Научный руководитель: доцент, к.ф.-м.н. Морозов В.В. Москва 2014

2 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 ГЛАВА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИГРЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ОБСЛУЖИВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ОБЪЕКТОВ КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СПОСОБОВ НЕПРЕРЫВНЫЙ СЛУЧАЙ ГЛАВА СЛУЧАЙ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ С ДВУМЯ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ПРИМЕР ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА

3 ВВЕДЕНИЕ Рыночная экономика требует высокого уровня использования ресурсов субъектов. Оптимальное распределение ресурсов является основным и обязательным условием для стабилизации экономики. Этот факт привел к повышению интереса к задачам оценки и оптимального распределения ресурсов. В то же время действия субъектов рынка всегда связаны с риском и конфликтом интересов. Поэтому задачи оптимизации распределения ресурсов часто рассматривают с теоретико-игровых позиций. Распределение и использование ограниченных ресурсов часто встречает организованное противодействие конкурента, преследующего противоположные цели. Одной из моделей конфликта, имеющих большую практическую значимость в силу простоты построения и возможностей описания широкого круга ситуаций, является модель матричных игр. Исследование возможности теоретико-игровой оптимизации распределения ресурсов на основе аппарата матричных игр и их смешанного расширения является актуальной задачей. Целью работы является исследование игровой модели обслуживания объектов и нахождение оптимальной стратегии игроков в случае дискретного распределения ресурсов. За основу берется ситуация, предложенная Э.Г. Давыдовым в [3] и проводится решение задачи с двумя ограничениями в n-мерном случае. 3

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 Задачи исследования: построение вычислительного алгоритма нахождения точек с целочисленными координатами близких к вершинам - мерного симплекса, образованного системой с двумя ограничениями, решение антагонистической игры в целых числах, исследование игровой модели обслуживания объектов. Магистерская диссертация состоит из 35 страниц, включающих в себя две главы, введение, заключение, приложение и список литературы. Первая глава содержит постановку задачи и теоретический материал, вторая глава включает в себя подробное исследование и решение дискретной задачи обслуживания объектов с примером. 4

5 ГЛАВА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим следующую ситуацию. Имеются два игрока и объектов, часть из которых может быть обслужена игроками. У первого игрока в распоряжении n способов обслуживания. Кроме того, в распоряжении первого игрока имеется бюджет величины. В рамках этого бюджета он может обслужить объекты любым из своих способов. При этом стоимость обслуживания одного объекта -м способом равна. Таким образом, чтобы не выйти за рамки своего бюджета, он должен принимать такие решения, чтобы выполнялось неравенство Второй игрок имеет в распоряжении m способов обслуживания объектов. В распоряжении второго игрока имеется бюджет величины. Стоимость обслуживания одного объекта -м способом равна. Если игрок решил использовать свой бюджет для обслуживания -м способом объектов,, то он затратит на реализацию этого решения средства бюджет, величина которого Чтобы не выйти за рамки своего бюджета, игрок должен принимать только следующее решение: 5

6 Если некоторый объект обслуживается -м способом первого игрока и -м способом второго игрока, то на этом объекте первый игрок выигрывает величину. Если первый игрок обслуживает некоторый объект -м способом, а второй игрок его не обслуживает, то выигрыш первого игрока на этом объекте равен. Если некоторый объект обслуживается -м способом второго игрока, а первым игроком не обслуживается, то выигрыш первого игрока на этом объекте равен. Если некоторый объект не обслуживается ни одним из игроков, то будем предполагать, что на этом объекте никто ничего не выигрывает. Кроме того, будем предполагать, что при любом допустимом решении ни первый, ни второй игроки не могут обслуживать более чем объектов. Из таких предположений получаем следующие системы неравенств: { { Естественно предположить, что вероятность встречи -го способа обслуживания первого игрока с -м способом обслуживания второго игрока равна 6

7 Вероятность того, что некоторый объект будет обслуживаться -м способом первого игрока, а вторым игроком не обслуживается вовсе, равна ( ) Вероятность того, что некоторый объект обслуживается -м способом второго игрока, а первым игроком не обслуживается вовсе, равна В качестве критерия эффективности операции принимаем математическое ожидание выигрыша первого игрока. Считаем, что первый игрок стремится максимизировать свой выигрыш, а второй игрок минимизировать выигрыш первого игрока. Если первый игрок распределил свой бюджет в соответствии с вектором, а второй игрок в соответствии с вектором, то ожидаемый выигрыш равен ( ) Функцию рассматриваем в качестве платежной функции игры. Так как области изменения векторов x и y выпуклы, а игра билинейна, то игра имеет седловую точку. 7

8 Эта игра имеет следующую интерпретацию. Первый игрок нападающий, а второй игрок защищается от нападения. У первого игрока имеется способов нападения на одинаковых объектов, принадлежащих защите. Защита располагает способами обороны своих объектов. Если нападающий атакует некоторый объект -м способом, то нападение выигрывает величину. В эту величину могут входить ущерб, нанесенный объекту, стоимость средства нападения, стоимость средства защиты. Величина не обязательно положительна, поскольку защита может уничтожить средство нападения, а объект остается целым. Если нападение атакует -м способом объект, который не обороняется противником, то оно выигрывает величину, причем не обязательно меньше, так как в число способов нападения могут входить сравнительно недорогие фиктивные способы, направленные на дезориентацию обороны противника. Если этими способами обслуживаются свободные от защиты объекты, то нападение выигрывает стоимость фиктивного способа. В противном случае защита проигрывает величину, равную разности между стоимостью обороны объекта и стоимостью фиктивного способа нападения. Если некоторый объект защищается -м способом обороны и на него не нападает первый игрок, то выигрыш первого игрока равен. Величина не обязательно отрицательна, так как оборона затрачивает на обслуживание этого объекта некоторые средства, а они не наносят ущерба противнику в виде уничтоженных средств нападения. Величины - стоимости обслуживания -м и -м способом одного объекта первым и вторым игроком соответственно. Константы и - бюджеты сторон, а 8

9 и - количества объектов, обслуживаемых способами обслуживания первого и второго игроков соответственно. 1.2 ИГРЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ Рассмотрим игру с платежной функцией замкнутые ограниченные множества конечномерных евклидовых пространств. Пусть заданы неотрицательные счетноаддитивные меры сосредоточенные на множествах соответственно, причем Требуется найти такие вероятностные меры сосредоточенные на множествах соответственно, чтобы они образовывали седловую точку и чтобы для любых измеримых множеств выполнялись соотношения Такая игра называется игрой с ограничениями. Возьмем произвольные меры удовлетворяющие ограничениям, и образуем меры Эти меры неотрицательны, причем и следовательно, и вероятностные меры. Кроме того, 9

10 Получаем Очевидно, что если то, поскольку вероятностные меры, Далее получаем [ ] где 10

11 Предположим, что игра с платежной функцией имеет седловую точку. Это означает, что существуют такие вероятностные меры, что где произвольные вероятностные меры. Но мере соответствует произвольная мера, удовлетворяющая ограничениям задачи; мере произвольная допустимая мера ; мерам допустимые. Подставляя в предыдущее, выражение получаем Если выражение выполняется при некоторых допустимых мерах, то игра имеет седловую точку в смешанных стратегиях тогда и только тогда, когда имеет решение игра с платежной функцией. В действительности для нахождения оптимальных смешанных стратегий игры с ограничениями достаточно решить игру с платежной функцией. Тогда по теореме 1 можно найти оптимальные смешанные стратегии игры с платежной функцией. ТЕОРЕМА 1 Каждая пара оптимальных смешанных стратегий игры с платежной функцией является парой оптимальных смешанных стратегий игры с платежной функцией, где произвольная константа, функция непрерывна на компактах. 11

12 Пусть состоят из конечного числа точек. Переобозначим платежную функцию следующим образом: ( ) Исходная задача при этом переходит в задачу о нахождении оптимальных смешанных стратегий в игре с платежной функцией, причем допустимые стратегии должны удовлетворять следующим ограничениям: Получаем Таким образом, конечная игра с ограничениями имеет седловую точку. Ее решениями являются решения игры с платежной функцией 12

13 1.3 ОБСЛУЖИВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ОБЪЕКТОВ КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СПОСОБОВ Рассмотрим еще одну модель. Имеется два игрока. Первый игрок обороняет одинаковых объектов и нападает на одинаковых объектов противника. Второй игрок нападает на объекты, принадлежащие первому игроку, и обороняет свои объекты. В распоряжении первого игрока имеется способов нападения на объекты противника и способов обороны своих объектов. Второй игрок располагает способами нападения на объекты противника и способами защиты своих объектов. Стоимость обслуживания одного объекта -ым средством нападения первого игрока. Стоимость обслуживания одного пункта -ым способом защиты первого игрока. Стоимость обслуживания одного объекта -ым способом нападения второго игрока. Стоимость обслуживания одного объекта -ым способом защиты второго игрока. У первого и второго игроков имеются бюджеты, величины которых и соответственно. В рамках этих бюджетов каждый игрок может дополнительно затратить средства на нападение и оборону, учитывая при этом, что распределение ресурсов должно быть допустимым, т.е. чтобы где ( ) распределения ресурсов первого игрока для выбора способов обслуживания объектов при 13

14 нападении и обороне соответственно, а ( ) аналогичные распределения второго игрока. Если первый игрок нападает на некоторый объект -ым способом, а второй игрок защищает этот объект -ым способом, то выигрыш первого игрока на этом объекте равен. Если этот объект не защищен вторым игроком, то выигрыш первого игрока на этом объекте равен. Если некоторый объект защищается вторым игроком способом, а первый игрок на него не нападает, то выигрыш первого игрока на этом объекте равен. Если второй игрок нападает на некоторый объект -ым способом нападения, а первый игрок обороняет этот объект -ым способом защиты, то первый игрок проигрывает на этом объекте. Если этот объект не обороняется первым игроком, то проигрыш первого игрока на этом объекте равен. Если этот объект обороняется -ым способом первого игрока и на него не нападает второй игрок, то проигрыш первого игрока на этом объекте равен. Вероятность встречи -го способа нападения первого игрока с -ым способом защиты второго игрока равна Вероятность нападения первого игрока -ым способом на незащищенный объект равна ( ) 14

15 Вероятность того, что данный объект не подвергается нападению со стороны первого игрока и защищен -ым способом второго игрока, равна ( ) Соответствующие вероятности на объектах, принадлежащих первому игроку, таковы: ( ) ( ) Кроме того, будем предполагать, что при любом распределении ресурсов ни один из игроков не может обслужить более чем все свои обороняемые объекты, на которые он совершает нападение. Это предположение будет выполняться, если Предположим далее, что имеется игра по выбору допустимых распределений ресурсов с платежной функцией, равной математическому ожиданию выигрыша первого игрока, т.е. игра со следующим критерием эффективности и ограничениями: ( ) ( ) 15

16 ( ) ( ) ( ) Эта игра, как игра (2), имеет седловую точку. Сведем эти игры к матричным, проведя некоторые построения. Обе игры имеют вид ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) 16

17 где часть бюджета, которую первый игрок не расходует вовсе; аналогичная величина для второго игрока. Игрока (2) получается из (5) при, игра (4) при. В дальнейшем будем считать. Произведем в (5) перегруппировку членов: ( ) { ( ) Обозначим Переходя к новым переменным и, получим 17

18 ( ) ( ) Введем новые обозначения: ( ) ( ) В этих обозначениях 18

19 Но Подставляя в платежную функцию, получаем 19

20 Игра с платежной функцией (5) является игрой с ограничением; при в обозначениях модели (2), переименовав, получаем: где ( ) Применяя к (5) формулы (7) и (8) и учитывая, что имеем 20

21 Таким образом, игра сведена к матричной, причем смешанные стратегии этой матричной игры описывают распределение бюджета, т.е. каждой координате стратегий соответствует доля бюджет, выделенная для обслуживания соответствующего типа НЕПРЕРЫВНЫЙ СЛУЧАЙ Будем искать вершины многогранников, образованных системами: { { Воспользуемся следующими теоремами: ТЕОРЕМА 4. Всякая непрерывная квазивыпуклая функция, определенная на выпуклом компакте из, достигает на максимума в некоторой крайней точке множества. 21

22 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть замкнутое выпуклое множество в. Точка называется крайней точкой множества, если не существует таких точек из и такого числа, что. ТЕОРЕМА 5. Пусть. Для того, чтобы была крайней точкой многогранного множества Y, необходимо и достаточно, чтобы точка была единственным решением ее граничной системы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Множество { Получаемое пересечение конечного числа полупространств, называется, многогранным. Многогранник это ограниченное многогранное множество. Крайние точки многогранного множества называются вершинами. Координаты вершин многогранника имеют не более двух ненулевых компонент. В зависимости от значений параметров в системе возможны три варианта решений: I) Если рассматривать первое уравнение системы как неравенство, а второе как равенство и тогда решение: ( ) для (9) и 22

23 ( ) для (10) II) Если первое уравнение равенство, а второе неравенство и, тогда решение: ( ) для (9) и ( ) для (10) III) Если оба неравенства и, то ( ) для (9) и ( ) для (10) Подставляя найденные значения в функцию, формируем матричную игру, решение которой можно свести к паре двойственных задач линейного программирования. Использование линейного программирования для решения матричной игры наиболее эффективный прием, позволяющий использовать алгоритм симплекс-метода. 23

24 ГЛАВА СЛУЧАЙ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ Теперь рассмотрим решение систем (9) и (10) в целых числах. { { Разобьем задачу на два этапа. В первом этапе будем искать целочисленные решения системы с одним ограничением. { Будем считать числа целыми. Действительно, если они рациональные, то неравенства можно домножить на общий знаменатель. Для исследования разрешимости уравнения в целых неотрицательных числах нам потребуется ЛЕММА 2. 24

25 числах Пусть НОД( )=1 и. Тогда, где, уравнение разрешимо в целых неотрицательных Пусть - наибольшее из чисел. При на всех ребрах симплекса существуют целые точки. Для каждого ребра [( ) ( ) ] симплекса строим на нем крайние точки из ( множество крайних точек выпуклой оболочки), имеющие соответственно максимальные i-ю и j-ю компоненты. При этом компонента равна наименьшему числу, удовлетворяющему сравнению { {, а. Аналогично определяется точка {, а. Просматриваем все симплексы {, близкие к вершинам симплекса. Если, то по аналогии с предыдущим строим на ребрах симплекса точки из и симплексы, близкие к вершинам симплекса. Если, то перебором находим все целые решения симплекса.[4] 2.2 ЛИНЕЙНЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ Уравнения, в которых необходимо найти целые решения, называются диофантовыми уравнениями. Запишем уравнение первой степени с двумя неизвестными: 25

26 Как правило, считают, что параметры тоже целые. Однако если это не так, то их легко можно привести к целым числам, домножив на общий знаменатель. Эйлер доказал, что такое уравнение разрешимо в целых числах, если. А Гаусс доказал, что уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда кратно. С учетом этих результатов, а также неотрицательности и целочисленности параметров, без потери общности будем предполагать, что. Если пара решение (13) в целых числах и, тогда все остальные решения представимы в виде Явная формула для этого решения может быть достигнута с помощью теоремы Ферма-Эйлера, которая применяется к тождественному равенству. Такой прием имеет преимущество перед другими методами решений, таких как алгоритмы, включающие последовательность рекурсивных шагов. Теорема Ферма-Эйлера включает в себя концепцию функции Эйлера, обозначаемую, равная числу натуральных чисел, меньших и взаимно-простых с. Значение задается явной формулой: ( ) ( ) ( ) 26

27 где утверждение теоремы Ферма различные простые множители числа. Запишем Если предположить, что неотрицательны и, то если равны 0 или 1, то решение уравнения (13) сводится к частному случаю. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что больше 1. Это означает, что, так как если, то, но, откуда следует, что приводит к противоречию. Явная формула связана с понятием основного остатка по модулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 Следующая лемма показывает существование возможности решения примера. ЛЕММА 1 В качестве отдельного следствия можно отметить следующее: Так как число решений уравнения (13) конечно, метод решения будет заключаться в нахождении минимального положительного интегрального значения, а затем соответствующего ему значения 27

28 , которые обязательно будут максимальными, а затем вычесть кратные, чтобы получить множество всевозможных неотрицательных решений уравнения (13). Следующая формула Коши- Буняковского для минимального значения. ТЕОРЕМА 2 Если уравнение имеет неотрицательные параметры, и, тогда существует неотрицательное целое решение и минимальное неотрицательное целое значение, удовлетворяющее равенству, находится по формуле: СЛЕДСТВИЕ 1 Если неотрицательно целочисленное решение (1) существует и, то существует решений как минимум [ ] и не более [ ]. Решение (13) может не существовать даже в случае, когда взаимно просты, так как они должны быть неотрицательными. Хотелось бы знать, в каких случаях не существует решений. Для этого необходима следующая теорема. ТЕОРЕМА 3 Равенство, где неотрицательные целые числа и и, не будет иметь неотрицательного целочисленного решения при, где.[6] 28

29 2.3 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ С ДВУМЯ ОГРАНИЧЕНИЯМИ Введем еще одно ограничение в систему. Оно добавит новые точки и отсечет лишние. { Находим решение системы с двумя ограничениями для непрерывного случая. Целочисленное решение получим путем округления координат найденных точек до целых в большую и меньшую сторону. Для минимизации потерь оптимальных решения, добавим во множество решений точки с координатами, отличающимися от целочисленных решений непрерывной задачи на. Без каких-либо потерь мы можем включить в дальнейшее решение задачи только те точки, которые составляют выпуклую оболочку. ТЕОРЕМА 6. (теорема Каратеодори) Пусть некоторое множество, а его выпуклая оболочка. Тогда каждая точка множества может быть представлена как выпуклая комбинация, содержащая не более чем точек множества. 29

30 Воспользовавшись теоремой, запишем условие, с помощью которого можем исключить точки, не составляющие выпуклую комбинацию с другими: Аналогично решая систему (5) для второго игрока при помощи равенства (2) можем сформировать матрицу платежной функции из точек, удовлетворяющих ограничениям каждой системы. Сформировав матричную игру, при помощи симплекс-метода не трудно найти решение поставленной задачи в смешанных стратегиях. 2.4.ПРИМЕР Рассмотрим пример. В распоряжении первого игрока находится 3 способа обслуживания со стоимостью 5, 3 и 2. Имеется бюджет равный 179, и количество объектов 40. Составим систему: { Будем искать целочисленные решения задачи. Для начала оставим только первое ограничение. Минимальный коэффициент нашего неравенства равен 2-ум, что дает нам право искать крайние целые точки не более чем на двух слоях. 30

31 Действительно, в противном случае, решения на других слоях можно получить, уменьшая переменную с минимальным коэффициентом на какое-либо целое число. При помощи алгоритма получаем точки с координатами: (34, 3, 0), (34, 1, 3), (35, 0, 2), (1, 58, 0), (0, 57, 4), (0, 59, 1), (1, 0, 87), (0, 1, 88), (35, 1, 0), (34, 2, 1), (34, 0, 4), (2, 56, 0), (1, 57, 1), (0, 58, 2), (0, 0, 89) Переходим к следующему этапу: решение непрерывной задачи с двумя ограничениями. Результат запишем в виде матрицы ( ) Округлением координат до целых в большую и меньшую сторону, а также изменением целых координат на, получим матрицу целочисленных решений. Добавим к ней ранее найденные точки и оставим только те, которые удовлетворяют обоим условиям ограничений в задаче. Мы получили матрицу достаточно большой размерности. Воспользовавшись теоремой Каратеодори и условиями (4) и (15), избавимся от точек, доминируемых выпуклой комбинацией остальных. Итоговая матрица примет вид 31

32 ( ) Рассмотрим второго игрока, для которого систему ограничений зададим следующим образом: { Решая аналогичным образом, получаем матрицу решений: Введем величины: ( ) 32

33 ( ) ( ) Формируем матричную игру используя (2) и решаем задачу линейного программирования. Решением конкретного примера в смешанных стратегиях будет: ( ) ( ). Значение матричной игры 33

34 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Взяв за основу сформулированную Э.Г. Давыдовым непрерывную задачу распределения ресурсов, мы провели исследование и решили её дискретный вариант. В процессе нахождения решения мы сталкивались с несколькими проблемами, такими как решение диофантова уравнения в - мерном случае; нахождение целых точек, близких к вершинам -мерного симплекса. Был разработан алгоритм нахождения таких точек и нахождения целочисленного решения системы с двумя ограничениями с применением понятия доминируемости стратегий. Алгоритм был реализован на языке C++ в программной среде C++ Builder. Решение матричной игры сведением к паре двойственных задач линейного программирования произведено в математическом пакете MAPLE Алгоритм является универсальным и подходит для решения задач подобного рода любой размерности. Основные результаты работы, выносимы на защиту: 1. Разработан вычислительный алгоритм нахождения точек с целочисленными координатами, близких к вершинам симплекса; 2. Разработан вычислительный алгоритм решения дискретной антагонистической игры. Одним из этапов которого является уменьшение размерности матрицы выигрыша при помощи доминирования стратегий 34

35 ПРИЛОЖЕНИЕ Реализация на языке C++ алгоритма нахождения точек с целочисленными координатами близких, к вершинам симплекса, заданного уравнением с неотрицательными компонентами. int lemma(int a, int b) { if ((a < 0) (b < 0)) outfile << "Warning" << a << b << "negative" << endl; return (a - 1) * (b - 1); int euclid(int a, int b, int summ, int * arr) { int ca[2]; int cb[2]; int cswap[2]; int ta, tb, swap; if (a > b) { ta = a; tb = b; ca[0] = 1; ca[1] = 0; cb[0] = 0; cb[1] = 1; else { ta = b; ca[0] = 0; ca[1] = 1; tb = a; cb[0] = 1; cb[1] = 0; while (ta % tb > 0) { swap = tb; cswap[0] = cb[0]; cswap[1] = cb[1]; tb = ta % swap; cb[0] = ca[0] - (ta / swap) * cswap[0]; cb[1] = ca[1] - (ta / swap) * cswap[1]; ta = swap; ca[0] = cswap[0]; ca[1] = cswap[1]; if ((summ % tb)!= 0) { outfile << "Warning! Can't calculate " << summ << " from " << a << b << endl; return -1; cb[0] *= (summ / tb); cb[1] *= (summ / tb); if (cb[0] < 0) { int c = cb[0] / b; if (cb[0] % b!= 0) c--; cb[0] -= c * b; 35

36 cb[1] += c * a; else if (cb[1] < 0) { int c = cb[1] / a; if (cb[1] % a!= 0) c--; cb[1] -= c * a; cb[0] += c * b; // cout << cb[0] << "*" << a << "+" << cb[1] << "*" << b << "=" << summ << endl; arr[0] = cb[0]; arr[1] = cb[1]; return 0; int solve(const int coef[], int tvalue, int i, int j, int tmp[]) { int var[2]; int k; if (euclid(coef[i], coef[j], tvalue, var)!= 0) { outfile << "No solution for this case" << endl; int *koef = new int[size]; for (k = 0; k < size; k++) koef[k] = tmp[k]; koef[i] += var[0]; koef[j] += var[1]; outfile << "vector (" << koef[0]; for (k = 1; k < size; k++) outfile << ", " << koef[k]; outfile << ")" << endl; delete[] koef; koef = new int[size]; for (k = 0; k < size; k++) koef[k] = tmp[k]; for (k = 0; k < size; k++) { if ((k!= i) && (k!= j)) { if (lemma(coef[i], coef[k]) < tvalue - coef[j]) { koef[j]++; solve(coef, tvalue - coef[j], i, k, koef); koef[j]--; if (lemma(coef[j], coef[k]) < tvalue - coef[i]) { koef[i]++; solve(coef, tvalue - coef[i], j, k, koef); koef[i]--; delete[] koef; return 0; int main() { outfile << "Points!!!" << endl; ifstream infile("d:\\alyona\\diploma\\src\\inputb.txt"); 36

37 int i, j; infile >> size; int *coef = new int[size]; int value, min_coef; for (i = 0; i < size; i++) { infile >> coef[i]; infile >> value; infile.close(); min_coef = coef[0]; for (i = 0; i < size; i++) { cout << coef[i] << "*x[" << i + 1 << "]"; if (coef[i] < min_coef) min_coef = coef[i]; if (i < size - 1) cout << "+"; cout << "=" << value << endl; for (int k = 0; k < min_coef; k++) { for (i = 0; i < size; i++) { for (j = 0; j < size; j++) if (j!= i) { // solve int tvalue = value - k - lemma(coef[i], coef[j]) - 1; if (tvalue > 0) { int *tmp = new int[size]; for (int t = 0; t < size; t++) tmp[t] = 0; tmp[i] = tvalue / coef[i]; // cout << tmp_i << endl; tvalue = value - k - (tmp[i] * coef[i]); solve(coef, tvalue, i, j, tmp); delete []tmp; system("pause"); delete[] coef; return 0; 37

38 ЛИТЕРАТУРА 1. Васин А.А. Исследование операций / А.А.Васин, П.С.Краснощеков, В.В. Морозов. М.: Издательский центр «Академия», с. 2. Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. М.: МАКС Пресс, с. 3. Давыдов, Э.Г. Исследование операций М.: Высшая Школа, с. 4. Морозов В.В., Шалбузов К.Д. О решении дискретной игры распределения ресурсов //Вестн. Моск. ун-та, сер. 15. Вычисл. матем. и матем. киберн С Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. Т.2 М.: Мир, с. 6. Green, T.M. Linear Diophantine equations with non-negative parameters and solutions // Fibonacci Quarterly. V.6, No P

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Ýêîíîìèêà УДК 5985 ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 00 АИ Чегодаев* Ключевые слова: чистые

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

Введение в матричные игры

Введение в матричные игры Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны.

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что Математика. О некоторых экстремальных прямых Ипатова Виктория физико-математический класс ГБОУ «Химический лицей» город Москва Научный руководитель: Привалов Александр Андреевич МПГУ доцент к.ф.-м.н. Пусть

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Линейное программирование. Славнейшев Ф.В.

Линейное программирование. Славнейшев Ф.В. Линейное программирование Славнейшев Ф.В. Пример задачи На заводе можно разместить 7 конвейеров. При этом есть два вида конвейеров обычные и роботизированные. У каждого свои плюсы и минусы. Нужно выбрать,

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

Ýêîíîìèêà О МОДЕЛИРОВАНИИ КОНФЛИКТА МАТРИЧНОЙ ИГРОЙ И ПРИМЕНЕНИИ СВОЙСТВ ЕЕ РЕШЕНИЙ К ПРИКЛАДНЫМ ЗАДАЧАМ ЭКОНОМИКИ И ВОЕННОГО ДЕЛА

Ýêîíîìèêà О МОДЕЛИРОВАНИИ КОНФЛИКТА МАТРИЧНОЙ ИГРОЙ И ПРИМЕНЕНИИ СВОЙСТВ ЕЕ РЕШЕНИЙ К ПРИКЛАДНЫМ ЗАДАЧАМ ЭКОНОМИКИ И ВОЕННОГО ДЕЛА Ýêîíîìèêà УДК 0 О МОДЕЛИРОВАНИИ КОНФЛИКТА МАТРИЧНОЙ ИГРОЙ И ПРИМЕНЕНИИ СВОЙСТВ ЕЕ РЕШЕНИЙ К ПРИКЛАДНЫМ ЗАДАЧАМ ЭКОНОМИКИ И ВОЕННОГО ДЕЛА 009 АИ Чегодаев Ключевые слова: антагонистическая игра множество

Подробнее

три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A 6 ресурсов на производство единицы каждого вида продукции, вектор b 150

три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A 6 ресурсов на производство единицы каждого вида продукции, вектор b 150 Линейная производственная задача. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя при этом три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A затрат 7 8 ресурсов на производство единицы

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б.

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Block linear programming problem. Decomposition method Dantsinga-Wolf Orlov

Подробнее

4.5 Размерность множества

4.5 Размерность множества 1 4.5 Размерность множества Пусть X линейное нормированное пространство. Подпространство аффинное множество, проходящее через 0. Аффинные множества A и B параллельны, если c X : B = A + c. Размерность

Подробнее

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1)

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1) ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 3, том 53, 6, с. 867 877 УДК 59.658 ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И

Подробнее

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство).

Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 1 4 Выпуклый анализ Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа 4.1.1 Выпуклые

Подробнее

Вопросы выносимые на экзамен по дисциплине «Высшая математика» для слушателей 1-го курса ФРК

Вопросы выносимые на экзамен по дисциплине «Высшая математика» для слушателей 1-го курса ФРК Вопросы выносимые на экзамен по дисциплине «Высшая математика» для слушателей -го курса ФРК I Раздел: Линейная алгебра Определения: матрицы, строки и столбцы матрицы Прямоугольная, квадратная матрица Главная

Подробнее

Методы оптимальных решений

Методы оптимальных решений Министерство образования и науки Российской Федерации Рубцовский индустриальный институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова» Н.С. Зорина Методы оптимальных

Подробнее

определяется матрицей A.

определяется матрицей A. Задание.Мебельная фабрика планирует выпуск двух видов продукции А и Б. Спрос на продукцию не определен, однако можно предполагать, что он может принимать одно из трех состояний (I, II и III). В зависимости

Подробнее

МЕТОД ДИХОТОМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МЕТОД ДИХОТОМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ МЕТОД ДИХОТОМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В.Н. Бурков, И.В. Буркова, М.В. Попок (Институт проблем управления РАН, Москва) f f f f f f f(x). Введение Многие задачи дискретной оптимизации сводятся к следующей

Подробнее

Игрой в нормальной форме называется совокупность

Игрой в нормальной форме называется совокупность Глава 2. ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ При изолированном поведении игроков, действующих самостоятельно, не обмениваясь информацией, центральное место занимают игры в нормальной форме. Здесь рассматриваются принципы

Подробнее

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x 4.3 Выпуклые задачи 4.3.1 Задачи без ограничений Пусть f : X R выпуклая функция, отображающая нормированное пространство X в расширенную прямую. Выпуклой задачей без ограничений называется следующая экстремальная

Подробнее

с/к Эффективные алгоритмы Лекция 14: Линейное программирование

с/к Эффективные алгоритмы Лекция 14: Линейное программирование с/к Эффективные алгоритмы Лекция 14: Линейное программирование А. Куликов Computer Science клуб при ПОМИ http://logic.pdmi.ras.ru/ infclub/ А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 14. Линейное программирование 1

Подробнее

Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Задача математического программирования

Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Задача математического программирования Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 3.. Задача математического программирования В предыдущей главе мы познакомились с линейным программированием. Приведенные примеры показывают что многие практические

Подробнее

Глава 2. Линейное программирование

Глава 2. Линейное программирование Глава 2 Линейное программирование В линейном программировании изучаются задачи об экстремуме линейной функции нескольких переменных при ограничениях типа равенств и неравенств, задаваемых также линейными

Подробнее

Решение задачи целочисленного программирования методом Гомори. Решение двойственной задачи

Решение задачи целочисленного программирования методом Гомори. Решение двойственной задачи Решение задачи целочисленного программирования методом Гомори. Решение двойственной задачи ЗАДАНИЕ.. Найти целочисленное решение задачи линейного программирования..составить двойственную задачу и решить

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г.

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г. ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ М. В. Долгополик maxim.dolgopolik@gmail.com 10 ноября 2016 г. Аннотация. В докладе обсуждается в некотором смысле оптимальный градиентный метод

Подробнее

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов

Подробнее

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63)

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63) УДК 0 Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà 00 ¹ (6) ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ И ПРИНЦИПА ДОМИНИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 00 АИ Чегодаев Ключевые слова:

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных «Юго-Западный государственный университет» ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных средств МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Методические указания по выполнению лабораторной работы

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр Введение в матричные игры «Семейный спор» Муж и жена решают куда пойти в субботу вечером на футбол или в театр. Им небезразлично куда пойдет другой но всё-таки каждому больше хотелось бы пойти на что-то

Подробнее

ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ УРОВНЯ РИСКА ПОРТФЕЛЕЙ, ДОПУСТИМЫХ В МОДЕЛИ БЛЭКА Сигал А.В., Козловская Е.В.

ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ УРОВНЯ РИСКА ПОРТФЕЛЕЙ, ДОПУСТИМЫХ В МОДЕЛИ БЛЭКА Сигал А.В., Козловская Е.В. Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского Серия «Экономика и управление». Том 7 (66. 04 г. 4. С. 59-68. УДК:0..7 ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ УРОВНЯ РИСКА ПОРТФЕЛЕЙ,

Подробнее

Графическое решение задачи

Графическое решение задачи Решить задачу линейного программирования, где 3x12x2 8 x14x2 10 x1 0 x 2 0 LX3x14x2 max а) геометрическим способом, б) перебором базисных решений, в) симплекс-методом. Графическое решение задачи L X 3x14

Подробнее

Тема 3. Элементы алгебраической и аналитической теории чисел. Теоретический материал

Тема 3. Элементы алгебраической и аналитической теории чисел. Теоретический материал Тема 3. Элементы алгебраической и аналитической теории чисел Теоретический материал 1. Цепные дроби. Конечной цепной дробью называется выражение a +, (1) где a - целое число, a, i > 0, натуральные числа,

Подробнее

К теме «Линейное программирование. Симплексный метод решения задач ЛП.»

К теме «Линейное программирование. Симплексный метод решения задач ЛП.» К теме «Линейное программирование. Симплексный метод решения задач ЛП.» Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИМПЛЕКС МЕТОДА

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИМПЛЕКС МЕТОДА Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Машиностроительный факультет Кафедра «Технология машиностроения» ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ С

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия Введение Данные методические указания адресованы студентам заочной формы обучения всех специальностей, которые будут выполнять контрольную работу т 4 по высшей математике, и охватывают раздел математического

Подробнее

Тест по дисциплине «Исследование операций и методы оптимизаций» Шарина М.В.

Тест по дисциплине «Исследование операций и методы оптимизаций» Шарина М.В. Тест по дисциплине «Исследование операций и методы оптимизаций» 2013-2014 Шарина М.В. 1. Если платежные матрицы двух игр с одинаковым числом ходов для каждого игрока инвариантны относительно линейного

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций ( 0 )(mod ) ( 0 )(mod ) Натуральные числа N,,,,,, - множество натуральных чисел, используемых для счета или перечисления

Подробнее

4.5 Размерность множества

4.5 Размерность множества 4.5 Размерность множества Пусть X линейное нормированное пространство. Подпространство аффинное множество, проходящее через 0. Аффинные множества A и B параллельны, если c X : B = A + c. Размерность аффинного

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

MATHEMATICAL PROGRAMMING. Ç. Ä. ÉéêÖãàä V. A. GORELIK

MATHEMATICAL PROGRAMMING. Ç. Ä. ÉéêÖãàä V. A. GORELIK MATHEMATICAL PROGRAMMING V. A. GORELIK The modern methods of solutions of nonlinear extremum problems with restrictions imposed by equality and inequality are described. ê ÒÒÏ ÚappleË ÚÒfl ÒÓ- appleâïâìì

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА "Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности

Подробнее

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА В некоторых приложениях удобно выполнять арифметические операции над целыми числами, заданными в так называемом модульном представлении Это представление предполагает, что целое число

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 00 Корянов А.Г. Задания С г. Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: akoryanov@mail.ru УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) Линейные

Подробнее

Тема 11. Матричные игры

Тема 11. Матричные игры Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между

Подробнее

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ижевский государственный технический университет кафедра САПР МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине "Системный анализ" на тему

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) М.Л. ОВЕРЧУК ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Лекция 12 Задачи нелинейного и квадратичного программирования

Лекция 12 Задачи нелинейного и квадратичного программирования Лекция Задачи нелинейного и квадратичного программирования Нелинейное программирование (НЛП). НЛП это такая задача математического программирования, F когда-либо целевая функция, либо ограничения, либо

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

, f (x) многочлен с целыми коэффициентами, то

, f (x) многочлен с целыми коэффициентами, то Тема. Основы элементарной теории чисел и приложения- Теоретический материал. Множество вычетов по модулю, свойства сравнений. Пусть натуральное число, большее. Через Z обозначаем множество всех классов

Подробнее

План лекции. с/к Эффективные алгоритмы Лекция 7: Линейное программирование. План лекции. Что такое линейное программирование?

План лекции. с/к Эффективные алгоритмы Лекция 7: Линейное программирование. План лекции. Что такое линейное программирование? План лекции Введение с/к Эффективные алгоритмы Лекция 7: Линейное программирование А. Куликов Computer Science клуб при ПОМИ http://logic.pdmi.ras.ru/ infclub/ Потоки в сетях 3 Максимальное паросочетание

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Тема 2. Основы элементарной теории чисел и приложения-2. Теоретический материал. тогда, согласно теореме Эйлера, a m )

Тема 2. Основы элементарной теории чисел и приложения-2. Теоретический материал. тогда, согласно теореме Эйлера, a m ) Тема. Основы элементарной теории чисел и приложения-. Первообразные корни, индексы. Теоретический материал Пусть а, m натуральные взаимно простые числа, причем m, тогда, согласно теореме Эйлера, a m )

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Последовательности. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения. Общие решения линейных рекуррентных однородных и неоднородных уравнений. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Подробнее

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Цель: познакомить читателя с симплекс-методом решения задачи линейного программирования и основными понятиями и теоремами теории двойственности

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера x x n m x В решении игр используется следующая теорема: если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

О МИНОРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЁТОК ) С. И. Веселов, В. Н. Шевченко

О МИНОРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЁТОК ) С. И. Веселов, В. Н. Шевченко УДК 519.854, 512.643 ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Июль август 2008. Том 15, 4. 25 29 О МИНОРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЁТОК ) С. И. Веселов, В. Н. Шевченко

Подробнее

МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ Учебно-методический комплекс Екатеринбург 0 Составители:

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

3 Симплекс-метод. 3.1 Базисные решения ЗЛП

3 Симплекс-метод. 3.1 Базисные решения ЗЛП 3 Симплекс-метод Поиск оптимального решения ЗЛП путем простого перебора крайних точек допустимого множества возможен, но совершенно непрактичен с вычислительной точки зрения. Неэффективность такого подхода

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Эквивалентные формулировки задачи линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования. Напомним, что математически задача

Подробнее

Дискретные задачи принятия решений. Лекция 2. Анализ качества математических моделей

Дискретные задачи принятия решений. Лекция 2. Анализ качества математических моделей Дискретные задачи принятия решений. Лекция 2. Анализ качества математических моделей Екатерина Алексеева Новосибирский Государственный Университет Механико-математический факультет http://math.nsc.ru/

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Г.М. БАРТЕНЕВ, А.Н. ДУК, Е.Г. ТКАЧЕНКО, В.В. ТОЛСТОЙ, Н.В. ЦЕЛУЙКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Раздел Математическое

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента»,

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку.

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку. торговец Пример из лекции Торговец на сумму у.е. может закупить зонтики по цене у.е. за штуку и солнечные очки по цене у.е. за штуку. Он продает зонтики по у.е. за штуку очки по у.е. за штуку. Если идет

Подробнее

L(x, y) = f(x) + {y, H(x) B}, min f(x), (3)

L(x, y) = f(x) + {y, H(x) B}, min f(x), (3) 318 вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11 УДК 519.6 МЕТОД ЧАСТИЧНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОЙ ПРЯМО-ДВОЙСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ Д.А. Дябилкин 1, И.В. Коннов 1 Рассматривается обобщенная

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В ВОЕННОМ ДЕЛЕ Попкович А. С. руководитель: Шевелева И. В. к.ф.-м.н., доцент СФУ МАОУ Лицей 6 "Перспектива"

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В ВОЕННОМ ДЕЛЕ Попкович А. С. руководитель: Шевелева И. В. к.ф.-м.н., доцент СФУ МАОУ Лицей 6 Перспектива УДК 519.8 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В ВОЕННОМ ДЕЛЕ Попкович А. С. руководитель: Шевелева И. В. к.ф.-м.н., доцент СФУ МАОУ Лицей 6 "Перспектива" Введение Война является ярчайшем проявлением одного из наиболее

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее